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Atividade 2 (A2) GRA1569 CÁLCULO APLICADO A UMA VARIÁVEL

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Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como , como, por exemplo, a função Verifique que, nesse caso, fica difícil 
explicitar a variável dependente y, portanto, é recomendável derivá-la implicitamente. 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. A derivada da função aplicada ao ponto é igual a . 
Pois: 
II. A função derivada de y=f(x) é igual a . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição verdadeira 
y’=2e, desde quando a asserção II também é verdadeira. De fato, 
a derivada de y=f(x) é igual a e é claro que ao aplicarmos o 
ponto (0,1), em que x=0 e y=1, o valor de y’ é igual a . 
Portanto, a segunda asserção justifica a primeira. 
 
 
 
Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: 
deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, 
derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções 
constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta. 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos 
que = Derivada do Quociente. = Derivada da 
Soma. = Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia. 
 
 
 
Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código 
com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em 
que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º 
dígito: , em que Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 1, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 1, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta incorreta. De acordo com os cálculos a seguir, 
obteve-se o código igual a 2114. Cálculos: 
1º dígito: , em que . 
2º dígito: , em que 
 
3º dígito: , em que 
 
4º dígito: , em que 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 As derivadas das funções elementares podem ser obtidas através dos resultados tabelados. 
Os resultados da tabela foram obtidos através do limite por definição da derivada. Assim, é 
importante conhecer as derivadas das funções elementares para derivar funções com maior 
facilidade. 
A respeito das derivadas de funções elementares, considere e analise as afirmativas 
a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Se , então . 
II. ( ) Se , então 
III. ( ) Se , então . 
IV. ( ) Se então . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, F, V, F. 
Resposta Correta: 
V, F, V, F. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. A afirmativa I é verdadeira, se , então 
, por regra de derivação. A afirmativa II é falsa, visto que se , 
então , pois a derivada de uma constante é igual a zero. A 
afirmativa III é verdadeira, porque se , então , como 
consta na tabela de derivadas. E, finalmente, a afirmativa IV é 
falsa, dado que se então . Verifique que a função é 
uma função composta e, portanto, através da regra da 
cadeia 
 
 
 
Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a 
derivada da seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do 
professor a resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as 
afirmações descritas nas asserções I e II, a seguir. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II e a relação proposta 
entre elas. 
 
 
I. A derivada da função é igual 
Pois: 
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
Resposta 
Selecionada: 
 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma 
proposição verdadeira. 
Resposta Correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma 
proposição verdadeira. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De 
acordo com a regra do quociente, a derivada da função racional é 
igual a , diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. 
É evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi utilizada a 
regra do quociente para derivar. 
 
 
 
Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável dependente y não 
se apresenta explicitamente como A forma implícita pode ser representada 
como . Nem sempre é possível explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, 
deve-se derivar a função dada na forma implícita. 
Nesse contexto, dada a função , definida implicitamente, assinale a alternativa que 
determine o valor de 
 . 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para derivar implicitamente, devem-se derivar 
ambos os lados da equação. Verifique os cálculos a seguir, que 
constatam que o valor da derivada é igual a De fato, 
temos: 
 . 
 
 
 
Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional polinomial, 
recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. Nesse caso de 
funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração do polinômio através da regra prática 
de Ruffini para facilitar os cálculos. 
 Nesse sentido, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
 21/19 
 
Resposta Correta: 21/19 
 
 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a 21/19. 
Inicialmente, verifica-se que, ao substituir a tendência do limite, a 
indeterminação é do tipo 0/0. Assim, pela regra de Ruffini, 
e , portanto, o valor do limite é igual a : . 
 
 
 
Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em 
um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de 
uma função aplicada em um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. 
Na cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em 
relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função 
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte 
situação problema: o deslocamento (em metros) de uma partícula, movendo-se ao longo de 
uma reta, é dado pela equação do movimento , em que t é medido em segundos. 
Neste contexto, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e é igual a 
40,0 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. A aceleração é sempre constante. 
IV. A aceleração quando o tempo é é igual a . 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta incorreta. A afirmativa I é incorreta, dado que a 
velocidade média para o período de tempo que começa 
quando e é igual a 40,0 m/s. De fato: . A afirmativa 
II é correta, uma vez quea velocidade instantânea quando é 
igual a . De fato: A afirmativa III é incorreta, porque a 
aceleração é sempre constante. De fato: 
 Por fim, a afirmativa IV é correta, já que a aceleração 
quando o tempo é é igual a . De fato: 
 
 
 
Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. A velocidade média em 
um intervalo de tempo inicial ( e tempo final é dada por . A derivada de 
uma função aplicada a um ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na 
cinemática, dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em 
relação ao tempo , enquanto que a aceleração é a derivada da função 
velocidade em relação ao tempo . Com essas informações, considere a seguinte 
situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 40 m/s e sua 
altura (em metros), após t segundos, é dada por 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir: 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e dura é 
igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. O instante em que a velocidade é nula é . 
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, III e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa I é correta, visto que a velocidade 
média para o período de tempo que começa quando e 
dura é igual a -25,6 m/s. De fato: . A afirmativa II é 
incorreta, uma vez que a velocidade instantânea quando é 
igual a . 
A velocidade instantânea é dada por: 
 A afirmativa III é correta, porque o instante em que a 
velocidade é nula é . De fato: Por fim, a afirmativa IV é 
incorreta, dado que a altura máxima atingida pela bola é de 25 
metros. De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura máxima 
é de e . Portanto, a altura de máxima é de . 
 
Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o 
líquido está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através 
da modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse 
contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, 
quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado. 
 
Resposta Selecionada: 
4,875 litros/horas. 
Resposta Correta: 
4,875 litros/horas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Para encontrar a taxa de variação do 
gotejamento do líquido no recipiente em relação ao tempo, basta 
derivar a função e aplicar o ponto horas, como 
mostram os cálculos a seguir.

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