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 Caderno de Fichas
Para reforçar a aprendizagem, consolidar conhecimentos 
e preparar os testes de avaliação, no Caderno de Fichas 
encontra duas propostas de trabalho:
Fichas para praticar – conjunto de questões que 
ajudarão o aluno a desenvolver a destreza na resolução 
de problemas e aplicação dos procedimentos descritos 
no manual.
2 Estes recursos podem ser 
utilizados para uma melhor 
compreensão de alguns conceitos 
e procedimentos, sendo muito 
úteis para verificar e/ou simular 
resultados.
 e-Manual Premium
Versão digital do manual com 
acesso a todos os recursos do 
projeto em contexto.
Caderno de Fichas 
com exercícios interativos 
e soluções.
Menu de recursos para aceder 
diretamente a todos os recursos 
do projeto que se encontram em 
formato digital.
O acesso à versão definitiva do 
e-Manual Premium é exclusivo 
do Professor adotante e estará 
disponível a partir de setembro 
de 2015.
 e-Manual do Aluno
O acesso ao e-Manual do Aluno 
é disponibilizado, gratuitamente, 
na compra do manual em papel, 
no ano letivo 2015-2016, e poderá 
ser adquirido autonomamente 
através da Internet.
66
7
O Máximo MACS 10 proporciona a mobilização de recursos variados 
e o acompanhamento do professor mediante os diferentes ritmos 
de aprendizagem dos seus alunos.
Máximo na Tecnologia
Este componente do projeto foi elaborado com a colaboração 
de especialistas na área das tecnologias educativas.
O Máximo na Tecnologia está dividido em duas partes.
Parte 1: Calculadoras gráficas e aplicações
Nesta parte, apresenta-se um guia de utilização das calculadoras gráficas 
TI-Nspire, TI 84 Plus C e Casio fx-CG.
5
• apresenta-lhe assuntos atuais 
e ilustrações com um toque 
de humor.
 Máximo do Aluno
Para que o aluno possa 
exercitar e saber mais sobre 
os conteúdos lecionados, são 
propostas, para além de 
provas globais, atividades de 
investigação e 
experimentação em grupo, 
que poderão ser úteis para 
aprofundar alguns dos temas. 
3
 Máximo do Professor
Para que o professor possa organizar as suas aulas de 
acordo com a sua metodologia, e ainda proporcionar 
uma aprendizagem diferenciada, propõe:
• Planificações: para facilitar a integração do manual 
no vasto conjunto de recursos disponíveis, são 
apresentadas propostas de planificação semanal e de 
aula a aula que possibilitam ao professor organizar 
mais rapidamente o seu trabalho.
• Recursos por subdomínio: proporcionam um apoio 
complementar na preparação das aulas e momentos 
de avaliação. Estes recursos são todos editáveis para 
que os professores possam diferenciar e adaptar as 
suas metodologias e estratégias pedagógicas. 
Para cada semana existem questões-aula e 
testes de avaliação em momentos próprios. 
• Propostas de resolução: detalhadas dos 
exercícios do Manual e Caderno de Fichas 
permitem uma melhor gestão do tempo, 
nomeadamente na preparação das aulas 
e na promoção do trabalho autónomo 
dos alunos.
Em caso de adoção, o professor terá acesso 
às restantes resoluções das questões do 
manual e do Caderno de Fichas.
4
 Manual
Para aprender Matemática é essencial um estudo autónomo e sistemático e, com base nesse paradigma, o novo 
manual Máximo, Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º ano, foi pensado para proporcionar ao professor 
e seus alunos um sólido auxiliar de trabalho.
O desenvolvimento deste manual alicerçou-se no programa de MACS e foi, no que respeita ao domínio 
da Estatística, atualizado de acordo com os últimos documentos oficiais.
É um manual funcional, que possibilita um trabalho autónomo e facilita, em todos os momentos, a aprendizagem 
do aluno, conduzindo-o através dos vários recursos que integram o projeto. 
Tendo como foco o aluno, o Máximo MACS 10 :
1
espacoprofessor.pt
Experimente em
e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)6 e-Manual do Aluno7Caderno de Fichas2Manual1 Máximo do Aluno3 Máximo na Tecnologia5Máximo do Professor4
NOVIDADE
Síntese
Percentilpara dados simples
O percentil de ordem k da amostra 
x
~
= 1x1 , x2 , p , xn2 é: 
 o valor máximo da amostra se 
k = 100 ; 
 a média dos elementos de ordem 
kn
100
 e 
kn
100
+1 na amostra orde-
nada, se k 0 100 e kn
100
 for inteiro; 
 o elemento de ordem c kn
100
d +1 na 
amostra, nos restantes casos. 
No diagrama de caule-e-fo-
lhas ao lado apresenta-se a 
altura, em centímetros, de 
20 plantas. 
P25 = ? ; 
25 * 20
100
= 5 
P25 =
x152 + x162
2
= 10 + 11
2
= 10,5 ; P25 = 10,5 cm 
P76 = ? ; P76 =
76 * 20
100
= 15,2 ; P76 = x1162 = 35 cm 
Percentil para dados agrupados 
em classes
Para dados agrupados em classes, 
Pk determina-se utilizando o 
respetivo histograma. 
Se desenharmos a linha vertical que 
contém a mediana, a área do histo-
grama fica dividida em duas partes 
iguais. 
Massa, em gramas, de 
20 sacos de laranjas 
At = 200 * 20 = 4000 
P50 = ? ; 
P50 =
50 * 4000
100
= 2000 
1P50 - 4002 * 7 + 1000 = 2000 
P50 =
1000
7
+ 400 ) 542,86 ; P50 ) 542,96 g 
Quartis. Diagrama de extremos e 
quartis
O 1.° Quartil 1Q12 = P25 . 
O 2.° Quartil 1Md2 = P50 . 
O 3.° Quartil 1Q32 = P75 . 
Q3 - Q1 = amplitude interquartis. 
O diagrama de extremos e quartis 
constrói-se conhecendo: 
 os extremos 1valores máximo e mí-
nimo2; 
 os quartis Q1 , Q2 e Q3 . 
Considere o conjunto de dados ao 
lado, relativos ao número de frutos 
de 40 plantas de um pomar jovem. 
25 * 40
100
= 10 ; Q1 = 1 
Q1 = 1 fruto.
50 * 40
100
= 20 ; Q2 = 2,5 
Q2 = 2,5 frutos.
75 * 40
100
= 30 ; Q3 = 4 
Q3 = 4 frutos.
1 2,50 2 3 5 74 86
Números de frutos das plantas
Pág. 183
Pág. 186
Pág. 191Caderno 
de Fichas 
FP13
0 2 3 9
1 0 0 1 2
2 1 1 2 3 4 
3 1 3 4 5 7 8
4
5 2 3 
2 | 1 representa 21 cm
N.° de 
frutos 
N.° de 
plantas 
0 4 
1 9 
2 7 
3 7 
4 8 
5 3 
6 0 
7 0 
8 2 
Total 40 
2000
Massa (g)
N
úm
er
o 
de
 s
ac
os
400 600
542,86
800 1000
2
3
4
5
6
1400
400
1000
1200
7
8
1
197
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
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Investiga
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Investiga 7
IUC 1Imposto Único de Circulação2 
N.° de elementos por grupo: 2 
Material: 
• Computador com ligação à internet 
• Calculadora 
O Imposto Único de Circulação 1IUC2 é um imposto anual que incide sobre a propriedade, e não sobre 
a circulação, pago até o veículo ser abatido, sendo atualizado em Janeiro de cada ano civil. 
O IUC é de periodicidade anual e deve ser pago até ao 
termo do mês de aniversário da matrícula do veículo, inde-
pendentemente de uso ou fruição, até que haja cancela-
mento da matrícula por abate da viatura efetuado nos ter-
mos da lei. 
Cada grupo de trabalho deve investigar as seguintes carac-
terísticas de dois automóveis 1dos pais, irmãos, tios, etc.2: 
tipo de veículo 1ligeiro de passageiros, ligeiros de mercado-
rias, etc.2, tipo de combustível, ano da matrícula, cilin-
drada, emissões de dióxido de carbono 1CO22 .
Dica: Todas estas informações encontram-se facilmente no DUA 1Documento Único Automóvel2 ou 
certificado de matrícula que resulta da fusão do antigo livrete e do título de registo de propriedade. 
1 O imposto único de circulação incide sobre os veículos matriculados ou registados em Portugal 
e estão agrupados em várias categorias. Quais são essas categorias e que veículos abrangem? 
2 Como as taxas associadas ao imposto são atualizadas todos os anos em função do índice de 
preços no consumidor, devem em primeiro lugar investigar quais as tabelas atualizadas com as 
taxas mais recentes. 
Devem depois calcular o valor do IUC para os automóveis dos vossos familiares. 
Dica: Existem tabelas para a categoria do veículo, com taxas que dependem do tipo de combus-
tível, da cilindrada e das emissões de CO2 . Não esquecer que ao ano da matrícula do automó-
vel também está associado um coeficiente que é utilizado no cálculo do IUC. 
3 Procurar um simulador do IUC dos vários existentes na Internet e confirmar os resultados obtidos. 
Exemplos: www.site.aran.pt/ ou www.portaldoautomovel.pt 
Bom trabalho. 
9
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Aplicações didáticas
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primeira classe, a amplitude e a frequência absoluta de cada classe, de modo a ilustrar o histograma, o 
percenatil de ordem k e a respetiva área acumulada. 
 
A aplicação apresenta uma tabela resumo com a área total do histograma, a área de cada barra, a área acu-
mulada e as respetivas áreas relativas. 
Guia de utilização 
Deverá inserir o limite inferior da primeira classe, a amplitude da classe e as frequências absolutas das clas-
ses definidas. Seleciona-se o conceito a explorar clicando num dos dois botões de opção, Pk = ? ou k = ? . O 
primeiro, o amarelo, permite determinar o percenatil da ordem k inserido a ordem na caixa “k = ” . O se-
gundo, o azul, permite determinar a que percenatil pertence o dado inserido na caixa “Pk = “ . Os dados da 
tabela permitem facilmente determinar a área de cada barra e da área total do histograma. Também é calcu-
lada a área a que corresponde k% da área total do histograma. Por fim, pode optar-se por apresentar em 
cada barra do histograma a respetiva área e alternar a visibilidade do percenatil no histograma. 
Exploração 
Sugere-se a introdução da noção de percenatil usando exemplos de dados organizados em classes, desta-
cando o percenatil de ordem k como sendo o ponto do eixo horizontal para o qual a área acumulada à sua 
esquerda é igual a k% da área total do histograma. 
Também se sugere a determinação da percentagem da área acumulada à esquerda de um determinado 
valor relativamente à área total do histograma e a determinação do percenatil a que pertence. 
Aplicação 14: Diagrama de extremos e quartis 
Descrição 
Permite construir um diagrama de extremos e 
quartis para quatro amostras distintas. 
Guia de utilização 
Os dados são introduzidos na tabela obtendo-se 
os valores necessários à construção do diagrama 
de extremos e quartis. 
Exploração 
A aplicação pode ser explorada na construção de 
diagramas de extremos e quartis e na compara-
ção de amostras em termos de simetria. 
MMACSMT_20145055_P001_048_1P.indd 45 3/17/15 12:02 PM
Estatística
 1 O diagrama de dispersão ao lado apresenta a 
classificação, de 0 a 100 , que 10 alunos 
obtiveram, nas partes prática e teórica de um teste. 
1.1. Quando alunos obtiveram a classificação de 
50 na parte teórica? 
1.2. Um aluno obteve 60 na parte prática. Qual a 
classificação que obteve na parte teórica? 
1.3. Mais quatro alunos fizeram o mesmo teste. 
A tabela seguinte mostra os respetivos 
resultados obtidos. 
Teórica 10 94 52 84
Prática 15 90 46 80
 2 O estrelinha-de-poupa pertence a uma espécie de aves pequenas. 
Nos dias de inverno, esta ave tem de comer o suficiente para 
produzir calor durante a noite. Durante o dia, por essa razão, a 
massa da ave aumenta. 
O diagrama de dispersão mostra as massas de 17 destas aves, a 
diferentes horas do dia, durante um dia de inverno. 
No diagrama está representada a correspondente reta de 
regressão linear. 
2.1. Faça uma estimativa da massa de um 
estrelinha-de-poupa às 11:30 . 
2.2. Estime quantos gramas, em média, a 
massa de um estrelinha-de-poupa 
aumenta numa hora. 
2.3. Qual o estrelinha-de-poupa, 
representado no diagrama, tem 
menos hipóteses de sobreviver 
durante a noite, se estiver frio? 
 Dê a resposta colocando um círculo 
em torno do ponto do diagrama de 
dispersão e explique porque escolheu 
esse ponto. 
Ficha para praticar 17
FP17
20 3010
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 40 50 60 70 80 90 100
Parte teórica
P
ar
te
 p
rá
ti
ca
9 108
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
7
0
11 12 13 14 15
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as
sa
 /
 g
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MMACS10CFP_20145051_P032_063_1P.indd 56 3/6/15 1:55 PM2.7. Dados bivariados
 3 O diagrama de dispersão seguinte apresenta os comprimentos e os diâmetros máximos de 15 bolotas. 
15
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
D
iâ
m
et
ro
 /
 m
m
 
3.1. Indique a classe modal dos comprimentos máximos das bolotas. 
3.2. Indique o ponto do diagrama que corresponde ao comprimento mediano das bolotas. 
 Coloque um círculo à volta desse ponto. 
3.3. Dos diagramas seguintes, indique aqueles em que a reta de regressão linear melhor se ajusta à 
nuvem de pontos. 
15
10
10,5
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12
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13
13,5
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Comprimento / mm
Diagrama A
D
iâ
m
et
ro
 /
 m
m
 
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Comprimento / mm
Diagrama B
D
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m
et
ro
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 m
m
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Comprimento / mm
Diagrama C
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Atividade inicial 4
Selecionou-se, aleatoriamente, cinco alunos do 10.° A aos quais 
se perguntou a idade. 
As respostas foram as seguintes:
15 14 15 16 17
Para indicar a amostra obtida pode-se escrever os dados, se-
parados por vírgulas, dentro de parêntesis. 
A amostra representa-se por x
~
 . 
x
~
= 115 , 14 , 15 , 16 , 172 x1 é o primeiro elemento da amostra. 
 3 3 3 3 3 
 x1 x2 x3 x4 x5 x3 é o terceiro elemento da amostra. 
A amostra ordenada é a seguinte: 
114 , 15 , 15 , 16 , 172 x(1) é o primeiro elemento da amostra ordenada. 
 3 3 3 3 3 
 x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(3) é o terceiro elemento da amostra ordenada. 
1 Considere a amostra seguinte: 
 
1.1. Escreva a amostra ordenada. 
1.2. Indique e . 
2 Numa amostra ordenada , de dimensão 5 , sabe-se que: 
 ; ; e 
Qual é o valor de ? Escreva a amostra.
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
Utilizamos frequentemente medidas estatísticas 
para compreendermos o mundo à nossa volta, 
pois estas medidas permitem resumir de forma 
simples um conjunto de dados que, da forma 
como são recolhidos, não possuem signifi-
cado. Pode citar-se, como exemplo, se o co-
nhecimento do “peso” de um bebé está no 
percentil adequado à sua idade.
2
182
Estatística
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• desafia-o a resolver, já no 10.º ano, 
exercícios tipo exame, dotando-o 
dos instrumentos necessários à 
superação do seu exame nacional 
no final do ano letivo seguinte;
• sugere-lhe numerosas e 
variadas questões para o ajudar 
a atingir o seu máximo, através 
das atividades complementares, 
das sínteses e da avaliação 
global no final de cada 
subdomínio;
• orienta-o no seu estudo, 
indicando-lhe como pode reforçar 
e consolidar os conteúdos 
apresentados;
Fichas de teste – conjunto de questões-tipo para rever 
definições e conceitos, bem como processos relevantes 
na preparação para os testes de avaliação.
O manual remete para a resolução destas fichas nos 
momentos adequados.
Parte 2: Aplicações didáticas 
Propõem-se guiões de utilização e exploração para abordar um vasto leque 
de conteúdos, que englobam os métodos eleitorais, os métodos de partilha 
equilibrada, a estatística e os modelos financeiros. 
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Dados bivariados 
Exemplo 4: 
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus 
Celsius 1ºC2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias. 
Temperatura 1ºC2 18 20 21 19 17 21 22
Pressão atmosférica 1mmHg2 810 810 800 800 800 815 805
Descrição Resultado
Introduzir as listas 
na calculadora
 Prima as teclas S e e. 
 Insira a lista de Temperaturas em L1 
e a lista Pressão atmosférica em L2. 
 Para regressar à janela principal da 
calculadora prima `M.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima as tecla S > > e selecione 
a opção LinRegTTest. 
 Insira L1, L2 e Y1, nos campos Xlist, 
Ylist e RegEq, respetivamente, e 
selecione Calculate. 
 A reta de regressão está 
automaticamente inserida no menu 
das funções. 
 Com uma aproximação às milésimas, 
obtemos a equação da reta de 
regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
Nuvem de pontos e 
reta de regressão
 Prima as teclas `! para aceder ao 
menu STAT PLOT. 
 No menu Plot1, selecione a opção On 
e o gráfico de pontos. 
 Insira L1 em Xlist e L2 em Ylist. 
 Selecione a marca, a cor dos pontos e 
prima a tecla %. 
 Poderá ser necessário ajustar a 
janela de visualização ao conjunto de 
dados. Para isso, prima a tecla # 
e selecione a opção ZoomStat. 
 Pode alternar a visibilidade da reta de 
regressão linear obtida com a função 
LinRegTTest e guardada em Y1, 
premindo a tecla! e alternado a 
seleção do carater =. 
 
 
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As calculadoras na Estatística
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Descrição Resultado
Introduzir as duas 
listas na aplicação 
Calculadora
Insira as seguintes expressões e prima ·: 
temperatura:= 518, 20, 21, 19, 17, 21, 226 
pressao:= 5810, 810, 800, 800, 800, 815, 8056 
 Prima /t para aceder a Ï.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima a tecla b e a opção 6: Estatística, 
1: Cálculos estatísticos e 1: Regressão 
linear 1mx + b2 . 
 Insira a variável temperatura, pressao e f1, nos 
campos Lista X, a Lista Y e Guardar RegEqn 
em, respetivamente, e prima a tecla ·. 
 Com uma aproximação às milésimas, 
obtemos a equação da reta de regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
 
Nuvem de pontos
 Na aplicação Dados e Estatística, prima a 
tecla b e selecione a opção 
2: Propriedades do gráfico. 
 Na opção 5: Adicionar variável X, 
selecionamos a variável temperatura. 
 Na opção 8: Adicionar variável Y, 
selecionamos a variável pressao. 
 
 
 
Reta de regressão
Prima a tecla b e selecione as opções 
6: Regressão e 1: Mostrar linear 1mx + b2 
para adicionar a reta de regressão linear à 
nuvem de pontos.
 
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As calculadoras na Estatística
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Dados bivariados 
Exemplo 4: 
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus 
Celsius 1°C2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias. 
Temperatura 1ºC2 18 20 21 19 17 21 22
Pressão atmosférica 1mmHg2 810 810 800 800 800 815 805
Descrição Resultado
Introduzir as listas 
na calculadora
 Na opção 2 Statistics do menu 
principal, insira a lista de 
temperaturas em List 1 e a 
lista de pressões em List 2.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima as teclas w e u para 
inserir a variável List2 em 1Var 
Freq. 
 De seguida, prima d para 
regressar ao menu anterior e 
prima eqq, para aceder a 
REG, X e ax + b, respetivamente. 
 Com uma aproximação às 
milésimas, obtemos a equação 
da reta de regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
 
 
Nuvem de pontos
 Prima as teclas q e u para 
selecionar o tipo de gráfico 
1Scatter2 em StatGraph1, inserir 
a variável List1 em XList e a 
variável List2 em YList. 
 De seguida, prima d para 
regressar ao menu anterior e 
prima q para representar a 
nuvem de pontos. 
 
 
Reta de regressão
 Prima a sequência de teclas 
q, w, q e u para aceder 
a Calc, X, ax + b e Draw, 
respetivamente, para adicionar 
a reta de regressão linear à 
nuvem de pontos.
 
 
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Resolução 
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados,ou 
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 
10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem 
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos 
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente. 
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos 
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo. 
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-
der a uma votação com a ajuda do professor de MACS. 
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 
 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 
 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 
 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 
 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. 
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? 
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. 
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, . 
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação? 
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de 
eleitores participantes e comente.
Caderno 
de Fichas 
FP3
Atividades 
complementares
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1.1. Teoria matemática das eleições
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Resolução 
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou 
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 
10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem 
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos 
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente. 
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos 
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo. 
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-
der a uma votação com a ajuda do professor de MACS. 
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 
 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 
 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 
 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 
 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. 
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? 
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. 
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, . 
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação? 
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de 
eleitores participantes e comente.
Caderno 
de Fichas 
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Atividades 
complementares
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1.1. Teoria matemática das eleições
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 Caderno de Fichas
Para reforçar a aprendizagem, consolidar conhecimentos 
e preparar os testes de avaliação, no Caderno de Fichas 
encontra duas propostas de trabalho:
Fichas para praticar – conjunto de questões que 
ajudarão o aluno a desenvolver a destreza na resolução 
de problemas e aplicação dos procedimentos descritos 
no manual.
2 Estes recursos podem ser 
utilizados para uma melhor 
compreensão de alguns conceitos 
e procedimentos, sendo muito 
úteis para verificar e/ou simular 
resultados.
 e-Manual Premium
Versão digital do manual com 
acesso a todos os recursos do 
projeto em contexto.
Caderno de Fichas 
com exercícios interativos 
e soluções.
Menu de recursos para aceder 
diretamente a todos os recursos 
do projeto que se encontram em 
formato digital.
O acesso à versão definitiva do 
e-Manual Premium é exclusivo 
do Professor adotante e estará 
disponível a partir de setembro 
de 2015.
 e-Manual do Aluno
O acesso ao e-Manual do Aluno 
é disponibilizado, gratuitamente, 
na compra do manual em papel, 
no ano letivo 2015-2016, e poderá 
ser adquirido autonomamente 
através da Internet.
66
7
O Máximo MACS 10 proporciona a mobilização de recursos variados 
e o acompanhamento do professor mediante os diferentes ritmos 
de aprendizagem dos seus alunos.
Máximo na Tecnologia
Este componente do projeto foi elaborado com a colaboração 
de especialistas na área das tecnologias educativas.
O Máximo na Tecnologia está dividido em duas partes.
Parte 1: Calculadoras gráficas e aplicações
Nesta parte, apresenta-se um guia de utilização das calculadoras gráficas 
TI-Nspire, TI 84 Plus C e Casio fx-CG.
5
• apresenta-lhe assuntos atuais 
e ilustrações com um toque 
de humor.
 Máximo do Aluno
Para que o aluno possa 
exercitar e saber mais sobre 
os conteúdos lecionados, são 
propostas, para além de 
provas globais, atividades de 
investigação e 
experimentação em grupo, 
que poderão ser úteis para 
aprofundar alguns dos temas. 
3
 Máximo do Professor
Para que o professor possa organizar as suas aulas de 
acordo com a sua metodologia, e ainda proporcionar 
uma aprendizagem diferenciada, propõe:
• Planificações: para facilitar a integração do manual 
no vasto conjunto de recursos disponíveis, são 
apresentadas propostas de planificação semanal e de 
aula a aula que possibilitam ao professor organizar 
mais rapidamente o seu trabalho.
• Recursos por subdomínio: proporcionam um apoio 
complementar na preparação das aulas e momentos 
de avaliação. Estes recursos são todos editáveis para 
que os professores possam diferenciar e adaptar as 
suas metodologias e estratégias pedagógicas. 
Para cada semana existem questões-aula e 
testes de avaliação em momentos próprios. 
• Propostas de resolução: detalhadas dos 
exercícios do Manual e Caderno de Fichas 
permitem uma melhor gestão do tempo, 
nomeadamente na preparação das aulas 
e na promoção do trabalho autónomo 
dos alunos.
Em caso de adoção, o professor terá acesso 
às restantes resoluções das questões do 
manual e do Caderno de Fichas.
4
 Manual
Para aprender Matemática é essencial um estudo autónomo e sistemático e, com base nesse paradigma, o novo 
manual Máximo, Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º ano, foi pensado para proporcionar ao professor 
e seus alunos um sólido auxiliar de trabalho.
O desenvolvimento deste manual alicerçou-se no programa de MACS e foi, no que respeita ao domínio 
da Estatística, atualizado de acordo com os últimos documentos oficiais.
É um manual funcional, que possibilita um trabalho autónomo e facilita, em todos os momentos, a aprendizagem 
do aluno, conduzindo-o através dos vários recursos que integram o projeto. 
Tendo como foco o aluno, o Máximo MACS 10 :
1
espacoprofessor.pt
Experimente em
e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)6 e-Manual do Aluno7Caderno de Fichas2Manual1 Máximo do Aluno3 Máximo na Tecnologia5Máximo do Professor4
NOVIDADE
Síntese
Percentil para dados simples
O percentil de ordem k da amostra 
x
~
= 1x1 , x2 , p , xn2 é: 
 o valor máximo da amostra se 
k = 100; 
 a média dos elementos de ordem 
kn
100
 e 
kn
100
+1 na amostra orde-
nada, se k 0 100 e kn
100
 for inteiro; 
 o elemento de ordem c kn
100
d +1 na 
amostra, nos restantes casos. 
No diagrama de caule-e-fo-
lhas ao lado apresenta-se a 
altura, em centímetros, de 
20 plantas. 
P25 = ? ; 
25 * 20
100
= 5 
P25 =
x152 + x162
2
= 10 + 11
2
= 10,5 ; P25 = 10,5 cm 
P76 = ? ; P76 =
76 * 20
100
= 15,2 ; P76 = x1162 = 35 cm 
Percentil para dados agrupados 
em classes
Para dados agrupados em classes, 
Pk determina-se utilizando o 
respetivo histograma. 
Se desenharmos a linha vertical que 
contém a mediana, a área do histo-
grama fica dividida em duas partes 
iguais. 
Massa, em gramas, de 
20 sacos de laranjas 
At = 200 * 20 = 4000 
P50 = ? ; 
P50 =
50 * 4000
100
= 2000 
1P50 - 4002 * 7 + 1000 = 2000 
P50 =
1000
7
+ 400 ) 542,86 ; P50 ) 542,96 g 
Quartis. Diagrama de extremos e 
quartis
O 1.° Quartil 1Q12 = P25 . 
O 2.° Quartil 1Md2 = P50 . 
O 3.° Quartil 1Q32 = P75 . 
Q3 - Q1 = amplitude interquartis. 
O diagrama de extremos e quartis 
constrói-se conhecendo: 
 os extremos 1valores máximo e mí-
nimo2; 
 os quartis Q1 , Q2 e Q3 . 
Considere o conjunto de dados ao 
lado, relativos ao número de frutos 
de 40 plantas de um pomar jovem. 
25 * 40
100
= 10 ; Q1 = 1 
Q1 = 1 fruto.
50 * 40
100
= 20 ; Q2 = 2,5 
Q2 = 2,5 frutos.
75 * 40
100
= 30 ; Q3 = 4 
Q3 = 4 frutos.
1 2,50 2 3 5 74 86
Números de frutos das plantas
Pág. 183
Pág. 186
Pág. 191Caderno 
de Fichas 
FP13
0 2 3 9
1 0 0 1 2
2 1 1 2 3 4 
3 1 3 4 5 7 8
4
5 2 3 
2 | 1 representa 21 cm
N.° de 
frutos 
N.° de 
plantas 
0 4 
1 9 
2 7 
3 7 
4 8 
5 3 
6 0 
7 0 
8 2 
Total 40 
2000
Massa (g)
N
úm
er
o 
de
 s
ac
os
400 600
542,86
800 1000
2
3
4
5
6
1400
400
1000
1200
7
8
1
197
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
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Investiga
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Investiga 7
IUC 1Imposto Único de Circulação2 
N.° de elementos por grupo: 2 
Material: 
• Computador com ligação à internet 
• Calculadora 
O Imposto Único de Circulação 1IUC2 é um imposto anual que incide sobre a propriedade, e não sobre 
a circulação, pago até o veículo ser abatido, sendo atualizado em Janeiro de cada ano civil. 
O IUC é de periodicidade anual e deve ser pago até ao 
termo do mês de aniversário da matrícula do veículo, inde-
pendentemente de uso ou fruição, até que haja cancela-
mento da matrícula por abate da viatura efetuado nos ter-
mos da lei. 
Cada grupo de trabalho deve investigar as seguintes carac-
terísticas de dois automóveis 1dos pais, irmãos, tios, etc.2: 
tipo de veículo 1ligeiro de passageiros, ligeiros de mercado-
rias, etc.2, tipo de combustível, ano da matrícula, cilin-
drada, emissões de dióxido de carbono 1CO22 .
Dica: Todas estas informações encontram-se facilmente no DUA 1Documento Único Automóvel2 ou 
certificado de matrícula que resulta da fusão do antigo livrete e do título de registo de propriedade. 
1 O imposto único de circulação incide sobre os veículos matriculados ou registados em Portugal 
e estão agrupados em várias categorias. Quais são essas categorias e que veículos abrangem? 
2 Como as taxas associadas ao imposto são atualizadas todos os anos em função do índice de 
preços no consumidor, devem em primeiro lugar investigar quais as tabelas atualizadas com as 
taxas mais recentes. 
Devem depois calcular o valor do IUC para os automóveis dos vossos familiares. 
Dica: Existem tabelas para a categoria do veículo, com taxas que dependem do tipo de combus-
tível, da cilindrada e das emissões de CO2 . Não esquecer que ao ano da matrícula do automó-
vel também está associado um coeficiente que é utilizado no cálculo do IUC. 
3 Procurar um simulador do IUC dos vários existentes na Internet e confirmar os resultados obtidos. 
Exemplos: www.site.aran.pt/ ou www.portaldoautomovel.pt 
Bom trabalho. 
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Aplicações didáticas
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primeira classe, a amplitude e a frequência absoluta de cada classe, de modo a ilustrar o histograma, o 
percenatil de ordem k e a respetiva área acumulada. 
 
A aplicação apresenta uma tabela resumo com a área total do histograma, a área de cada barra, a área acu-
mulada e as respetivas áreas relativas. 
Guia de utilização 
Deverá inserir o limite inferior da primeira classe, a amplitude da classe e as frequências absolutas das clas-
ses definidas. Seleciona-se o conceito a explorar clicando num dos dois botões de opção, Pk = ? ou k = ? . O 
primeiro, o amarelo, permite determinar o percenatil da ordem k inserido a ordem na caixa “k = ” . O se-
gundo, o azul, permite determinar a que percenatil pertence o dado inserido na caixa “Pk = “ . Os dados da 
tabela permitem facilmente determinar a área de cada barra e da área total do histograma. Também é calcu-
lada a área a que corresponde k% da área total do histograma. Por fim, pode optar-se por apresentar em 
cada barra do histograma a respetiva área e alternar a visibilidade do percenatil no histograma. 
Exploração 
Sugere-se a introdução da noção de percenatil usando exemplos de dados organizados em classes, desta-
cando o percenatil de ordem k como sendo o ponto do eixo horizontal para o qual a área acumulada à sua 
esquerda é igual a k% da área total do histograma. 
Também se sugere a determinação da percentagem da área acumulada à esquerda de um determinado 
valor relativamente à área total do histograma e a determinação do percenatil a que pertence. 
Aplicação 14: Diagrama de extremos e quartis 
Descrição 
Permite construir um diagrama de extremos e 
quartis para quatro amostras distintas. 
Guia de utilização 
Os dados são introduzidos na tabela obtendo-se 
os valores necessários à construção do diagrama 
de extremos e quartis. 
Exploração 
A aplicação pode ser explorada na construção de 
diagramas de extremos e quartis e na compara-
ção de amostras em termos de simetria. 
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Estatística
 1 O diagrama de dispersão ao lado apresenta a 
classificação, de 0 a 100 , que 10 alunos 
obtiveram, nas partes prática e teórica de um teste. 
1.1. Quando alunos obtiveram a classificação de 
50 na parte teórica? 
1.2. Um aluno obteve 60 na parte prática. Qual a 
classificação que obteve na parte teórica? 
1.3. Mais quatro alunos fizeram o mesmo teste. 
A tabela seguinte mostra os respetivos 
resultados obtidos. 
Teórica 10 94 52 84
Prática 15 90 46 80
 2 O estrelinha-de-poupa pertence a uma espécie de aves pequenas. 
Nos dias de inverno, esta ave tem de comer o suficiente para 
produzir calor durante a noite. Durante o dia, por essa razão, a 
massa da ave aumenta. 
O diagrama de dispersão mostra as massas de 17 destas aves, a 
diferentes horas do dia, durante um dia de inverno. 
No diagrama está representada a correspondente reta de 
regressão linear. 
2.1. Faça uma estimativa da massa de um 
estrelinha-de-poupa às 11:30 . 
2.2. Estime quantos gramas, em média, a 
massa de um estrelinha-de-poupa 
aumenta numa hora. 
2.3. Qual o estrelinha-de-poupa, 
representado no diagrama, tem 
menos hipóteses de sobreviver 
durante a noite, se estiver frio? 
 Dê a resposta colocando um círculo 
em torno do ponto do diagrama de 
dispersão e explique porque escolheu 
esse ponto. 
Ficha para praticar 17
FP17
20 3010
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 40 50 60 70 80 90 100
Parte teórica
P
ar
te
 p
rá
ti
ca
9 108
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
7
0
11 12 13 14 15
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 g
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 Porto Editora
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2.7. Dados bivariados
 3 O diagrama de dispersão seguinte apresenta os comprimentos e os diâmetros máximos de 15 bolotas. 
15
1010,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
D
iâ
m
et
ro
 /
 m
m
 
3.1. Indique a classe modal dos comprimentos máximos das bolotas. 
3.2. Indique o ponto do diagrama que corresponde ao comprimento mediano das bolotas. 
 Coloque um círculo à volta desse ponto. 
3.3. Dos diagramas seguintes, indique aqueles em que a reta de regressão linear melhor se ajusta à 
nuvem de pontos. 
15
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
Diagrama A
D
iâ
m
et
ro
 /
 m
m
 
15
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10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
Diagrama B
D
iâ
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et
ro
 /
 m
m
15
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
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16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
Diagrama C
D
iâ
m
et
ro
 /
 m
m
 
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Atividade inicial 4
Selecionou-se, aleatoriamente, cinco alunos do 10.° A aos quais 
se perguntou a idade. 
As respostas foram as seguintes:
15 14 15 16 17
Para indicar a amostra obtida pode-se escrever os dados, se-
parados por vírgulas, dentro de parêntesis. 
A amostra representa-se por x
~
 . 
x
~
= 115 , 14 , 15 , 16 , 172 x1 é o primeiro elemento da amostra. 
 3 3 3 3 3 
 x1 x2 x3 x4 x5 x3 é o terceiro elemento da amostra. 
A amostra ordenada é a seguinte: 
114 , 15 , 15 , 16 , 172 x(1) é o primeiro elemento da amostra ordenada. 
 3 3 3 3 3 
 x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(3) é o terceiro elemento da amostra ordenada. 
1 Considere a amostra seguinte: 
 
1.1. Escreva a amostra ordenada. 
1.2. Indique e . 
2 Numa amostra ordenada , de dimensão 5 , sabe-se que: 
 ; ; e 
Qual é o valor de ? Escreva a amostra.
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
Utilizamos frequentemente medidas estatísticas 
para compreendermos o mundo à nossa volta, 
pois estas medidas permitem resumir de forma 
simples um conjunto de dados que, da forma 
como são recolhidos, não possuem signifi-
cado. Pode citar-se, como exemplo, se o co-
nhecimento do “peso” de um bebé está no 
percentil adequado à sua idade.
2
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Estatística
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• desafia-o a resolver, já no 10.º ano, 
exercícios tipo exame, dotando-o 
dos instrumentos necessários à 
superação do seu exame nacional 
no final do ano letivo seguinte;
• sugere-lhe numerosas e 
variadas questões para o ajudar 
a atingir o seu máximo, através 
das atividades complementares, 
das sínteses e da avaliação 
global no final de cada 
subdomínio;
• orienta-o no seu estudo, 
indicando-lhe como pode reforçar 
e consolidar os conteúdos 
apresentados;
Fichas de teste – conjunto de questões-tipo para rever 
definições e conceitos, bem como processos relevantes 
na preparação para os testes de avaliação.
O manual remete para a resolução destas fichas nos 
momentos adequados.
Parte 2: Aplicações didáticas 
Propõem-se guiões de utilização e exploração para abordar um vasto leque 
de conteúdos, que englobam os métodos eleitorais, os métodos de partilha 
equilibrada, a estatística e os modelos financeiros. 
TI–84 Plus C
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 Porto Editora
Dados bivariados 
Exemplo 4: 
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus 
Celsius 1ºC2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias. 
Temperatura 1ºC2 18 20 21 19 17 21 22
Pressão atmosférica 1mmHg2 810 810 800 800 800 815 805
Descrição Resultado
Introduzir as listas 
na calculadora
 Prima as teclas S e e. 
 Insira a lista de Temperaturas em L1 
e a lista Pressão atmosférica em L2. 
 Para regressar à janela principal da 
calculadora prima `M.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima as tecla S > > e selecione 
a opção LinRegTTest. 
 Insira L1, L2 e Y1, nos campos Xlist, 
Ylist e RegEq, respetivamente, e 
selecione Calculate. 
 A reta de regressão está 
automaticamente inserida no menu 
das funções. 
 Com uma aproximação às milésimas, 
obtemos a equação da reta de 
regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
Nuvem de pontos e 
reta de regressão
 Prima as teclas `! para aceder ao 
menu STAT PLOT. 
 No menu Plot1, selecione a opção On 
e o gráfico de pontos. 
 Insira L1 em Xlist e L2 em Ylist. 
 Selecione a marca, a cor dos pontos e 
prima a tecla %. 
 Poderá ser necessário ajustar a 
janela de visualização ao conjunto de 
dados. Para isso, prima a tecla # 
e selecione a opção ZoomStat. 
 Pode alternar a visibilidade da reta de 
regressão linear obtida com a função 
LinRegTTest e guardada em Y1, 
premindo a tecla! e alternado a 
seleção do carater =. 
 
 
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As calculadoras na Estatística
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Descrição Resultado
Introduzir as duas 
listas na aplicação 
Calculadora
Insira as seguintes expressões e prima ·: 
temperatura:= 518, 20, 21, 19, 17, 21, 226 
pressao:= 5810, 810, 800, 800, 800, 815, 8056 
 Prima /t para aceder a Ï.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima a tecla b e a opção 6: Estatística, 
1: Cálculos estatísticos e 1: Regressão 
linear 1mx + b2 . 
 Insira a variável temperatura, pressao e f1, nos 
campos Lista X, a Lista Y e Guardar RegEqn 
em, respetivamente, e prima a tecla ·. 
 Com uma aproximação às milésimas, 
obtemos a equação da reta de regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
 
Nuvem de pontos
 Na aplicação Dados e Estatística, prima a 
tecla b e selecione a opção 
2: Propriedades do gráfico. 
 Na opção 5: Adicionar variável X, 
selecionamos a variável temperatura. 
 Na opção 8: Adicionar variável Y, 
selecionamos a variável pressao. 
 
 
 
Reta de regressão
Prima a tecla b e selecione as opções 
6: Regressão e 1: Mostrar linear 1mx + b2 
para adicionar a reta de regressão linear à 
nuvem de pontos.
 
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As calculadoras na Estatística
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Dados bivariados 
Exemplo 4: 
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus 
Celsius 1°C2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias. 
Temperatura 1ºC2 18 20 21 19 17 21 22
Pressão atmosférica 1mmHg2 810 810 800 800 800 815 805
Descrição Resultado
Introduzir as listas 
na calculadora
 Na opção 2 Statistics do menu 
principal, insira a lista de 
temperaturas em List 1 e a 
lista de pressões em List 2.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima as teclas w e u para 
inserir a variável List2 em 1Var 
Freq. 
 De seguida, prima d para 
regressar ao menu anterior e 
prima eqq, para aceder a 
REG, X e ax + b, respetivamente. 
 Com uma aproximação às 
milésimas, obtemos a equação 
da reta de regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
 
 
Nuvem de pontos
 Prima as teclas q e u para 
selecionar o tipo de gráfico 
1Scatter2 em StatGraph1, inserir 
a variável List1 em XList e a 
variável List2 em YList. 
 De seguida, prima d para 
regressar ao menu anterior e 
prima q para representar a 
nuvem de pontos. 
 
 
Reta de regressão
 Prima a sequência de teclas 
q, w, q e u para aceder 
a Calc, X, ax + b e Draw, 
respetivamente, para adicionar 
a reta de regressão linear à 
nuvem de pontos.
 
 
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Resolução 
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou 
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 
10.3. Sim. Uma vezque todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem 
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos 
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente. 
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos 
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo. 
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-
der a uma votação com a ajuda do professor de MACS. 
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 
 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 
 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 
 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 
 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. 
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? 
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. 
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, . 
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação? 
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de 
eleitores participantes e comente.
Caderno 
de Fichas 
FP3
Atividades 
complementares
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1.1. Teoria matemática das eleições
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Resolução 
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou 
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 
10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem 
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos 
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente. 
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos 
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo. 
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-
der a uma votação com a ajuda do professor de MACS. 
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 
 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 
 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 
 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 
 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. 
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? 
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. 
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, . 
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação? 
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de 
eleitores participantes e comente.
Caderno 
de Fichas 
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Atividades 
complementares
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1.1. Teoria matemática das eleições
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 Caderno de Fichas
Para reforçar a aprendizagem, consolidar conhecimentos 
e preparar os testes de avaliação, no Caderno de Fichas 
encontra duas propostas de trabalho:
Fichas para praticar – conjunto de questões que 
ajudarão o aluno a desenvolver a destreza na resolução 
de problemas e aplicação dos procedimentos descritos 
no manual.
2 Estes recursos podem ser 
utilizados para uma melhor 
compreensão de alguns conceitos 
e procedimentos, sendo muito 
úteis para verificar e/ou simular 
resultados.
 e-Manual Premium
Versão digital do manual com 
acesso a todos os recursos do 
projeto em contexto.
Caderno de Fichas 
com exercícios interativos 
e soluções.
Menu de recursos para aceder 
diretamente a todos os recursos 
do projeto que se encontram em 
formato digital.
O acesso à versão definitiva do 
e-Manual Premium é exclusivo 
do Professor adotante e estará 
disponível a partir de setembro 
de 2015.
 e-Manual do Aluno
O acesso ao e-Manual do Aluno 
é disponibilizado, gratuitamente, 
na compra do manual em papel, 
no ano letivo 2015-2016, e poderá 
ser adquirido autonomamente 
através da Internet.
66
7
O Máximo MACS 10 proporciona a mobilização de recursos variados 
e o acompanhamento do professor mediante os diferentes ritmos 
de aprendizagem dos seus alunos.
Máximo na Tecnologia
Este componente do projeto foi elaborado com a colaboração 
de especialistas na área das tecnologias educativas.
O Máximo na Tecnologia está dividido em duas partes.
Parte 1: Calculadoras gráficas e aplicações
Nesta parte, apresenta-se um guia de utilização das calculadoras gráficas 
TI-Nspire, TI 84 Plus C e Casio fx-CG.
5
• apresenta-lhe assuntos atuais 
e ilustrações com um toque 
de humor.
 Máximo do Aluno
Para que o aluno possa 
exercitar e saber mais sobre 
os conteúdos lecionados, são 
propostas, para além de 
provas globais, atividades de 
investigação e 
experimentação em grupo, 
que poderão ser úteis para 
aprofundar alguns dos temas. 
3
 Máximo do Professor
Para que o professor possa organizar as suas aulas de 
acordo com a sua metodologia, e ainda proporcionar 
uma aprendizagem diferenciada, propõe:
• Planificações: para facilitar a integração do manual 
no vasto conjunto de recursos disponíveis, são 
apresentadas propostas de planificação semanal e de 
aula a aula que possibilitam ao professor organizar 
mais rapidamente o seu trabalho.
• Recursos por subdomínio: proporcionam um apoio 
complementar na preparação das aulas e momentos 
de avaliação. Estes recursos são todos editáveis para 
que os professores possam diferenciar e adaptar as 
suas metodologias e estratégias pedagógicas. 
Para cada semana existem questões-aula e 
testes de avaliação em momentos próprios. 
• Propostas de resolução: detalhadas dos 
exercícios do Manual e Caderno de Fichas 
permitem uma melhor gestão do tempo, 
nomeadamente na preparação das aulas 
e na promoção do trabalho autónomo 
dos alunos.
Em caso de adoção, o professor terá acesso 
às restantes resoluções das questões do 
manual e do Caderno de Fichas.
4
 Manual
Para aprender Matemática é essencial um estudo autónomo e sistemático e, com base nesse paradigma, o novo 
manual Máximo, Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º ano, foi pensado para proporcionar ao professor 
e seus alunos um sólido auxiliar de trabalho.
O desenvolvimento deste manual alicerçou-se no programa de MACS e foi, no que respeita ao domínio 
da Estatística, atualizado de acordo com os últimos documentos oficiais.
É um manual funcional, que possibilita um trabalho autónomo e facilita, em todos os momentos, a aprendizagem 
do aluno, conduzindo-o através dos vários recursos que integram o projeto. 
Tendo como foco o aluno, o Máximo MACS 10 :
1
espacoprofessor.pt
Experimente em
e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)6 e-Manual do Aluno7Caderno de Fichas2Manual1 Máximo do Aluno3 Máximo na Tecnologia5Máximo do Professor4
NOVIDADE
Síntese
Percentil para dados simples
O percentil de ordem k da amostra 
x
~
= 1x1 , x2 , p , xn2 é: 
 o valor máximo da amostra se 
k = 100 ; 
 a média dos elementos de ordem 
kn
100
 e 
kn
100
+1 na amostra orde-
nada, se k 0 100 e kn
100
 for inteiro;o elemento de ordem c kn
100
d +1 na 
amostra, nos restantes casos. 
No diagrama de caule-e-fo-
lhas ao lado apresenta-se a 
altura, em centímetros, de 
20 plantas. 
P25 = ? ; 
25 * 20
100
= 5 
P25 =
x152 + x162
2
= 10 + 11
2
= 10,5 ; P25 = 10,5 cm 
P76 = ? ; P76 =
76 * 20
100
= 15,2 ; P76 = x1162 = 35 cm 
Percentil para dados agrupados 
em classes
Para dados agrupados em classes, 
Pk determina-se utilizando o 
respetivo histograma. 
Se desenharmos a linha vertical que 
contém a mediana, a área do histo-
grama fica dividida em duas partes 
iguais. 
Massa, em gramas, de 
20 sacos de laranjas 
At = 200 * 20 = 4000 
P50 = ? ; 
P50 =
50 * 4000
100
= 2000 
1P50 - 4002 * 7 + 1000 = 2000 
P50 =
1000
7
+ 400 ) 542,86 ; P50 ) 542,96 g 
Quartis. Diagrama de extremos e 
quartis
O 1.° Quartil 1Q12 = P25 . 
O 2.° Quartil 1Md2 = P50 . 
O 3.° Quartil 1Q32 = P75 . 
Q3 - Q1 = amplitude interquartis. 
O diagrama de extremos e quartis 
constrói-se conhecendo: 
 os extremos 1valores máximo e mí-
nimo2; 
 os quartis Q1 , Q2 e Q3 . 
Considere o conjunto de dados ao 
lado, relativos ao número de frutos 
de 40 plantas de um pomar jovem. 
25 * 40
100
= 10 ; Q1 = 1 
Q1 = 1 fruto.
50 * 40
100
= 20 ; Q2 = 2,5 
Q2 = 2,5 frutos.
75 * 40
100
= 30 ; Q3 = 4 
Q3 = 4 frutos.
1 2,50 2 3 5 74 86
Números de frutos das plantas
Pág. 183
Pág. 186
Pág. 191Caderno 
de Fichas 
FP13
0 2 3 9
1 0 0 1 2
2 1 1 2 3 4 
3 1 3 4 5 7 8
4
5 2 3 
2 | 1 representa 21 cm
N.° de 
frutos 
N.° de 
plantas 
0 4 
1 9 
2 7 
3 7 
4 8 
5 3 
6 0 
7 0 
8 2 
Total 40 
2000
Massa (g)
N
úm
er
o 
de
 s
ac
os
400 600
542,86
800 1000
2
3
4
5
6
1400
400
1000
1200
7
8
1
197
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
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Investiga
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Investiga 7
IUC 1Imposto Único de Circulação2 
N.° de elementos por grupo: 2 
Material: 
• Computador com ligação à internet 
• Calculadora 
O Imposto Único de Circulação 1IUC2 é um imposto anual que incide sobre a propriedade, e não sobre 
a circulação, pago até o veículo ser abatido, sendo atualizado em Janeiro de cada ano civil. 
O IUC é de periodicidade anual e deve ser pago até ao 
termo do mês de aniversário da matrícula do veículo, inde-
pendentemente de uso ou fruição, até que haja cancela-
mento da matrícula por abate da viatura efetuado nos ter-
mos da lei. 
Cada grupo de trabalho deve investigar as seguintes carac-
terísticas de dois automóveis 1dos pais, irmãos, tios, etc.2: 
tipo de veículo 1ligeiro de passageiros, ligeiros de mercado-
rias, etc.2, tipo de combustível, ano da matrícula, cilin-
drada, emissões de dióxido de carbono 1CO22 .
Dica: Todas estas informações encontram-se facilmente no DUA 1Documento Único Automóvel2 ou 
certificado de matrícula que resulta da fusão do antigo livrete e do título de registo de propriedade. 
1 O imposto único de circulação incide sobre os veículos matriculados ou registados em Portugal 
e estão agrupados em várias categorias. Quais são essas categorias e que veículos abrangem? 
2 Como as taxas associadas ao imposto são atualizadas todos os anos em função do índice de 
preços no consumidor, devem em primeiro lugar investigar quais as tabelas atualizadas com as 
taxas mais recentes. 
Devem depois calcular o valor do IUC para os automóveis dos vossos familiares. 
Dica: Existem tabelas para a categoria do veículo, com taxas que dependem do tipo de combus-
tível, da cilindrada e das emissões de CO2 . Não esquecer que ao ano da matrícula do automó-
vel também está associado um coeficiente que é utilizado no cálculo do IUC. 
3 Procurar um simulador do IUC dos vários existentes na Internet e confirmar os resultados obtidos. 
Exemplos: www.site.aran.pt/ ou www.portaldoautomovel.pt 
Bom trabalho. 
9
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Aplicações didáticas
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primeira classe, a amplitude e a frequência absoluta de cada classe, de modo a ilustrar o histograma, o 
percenatil de ordem k e a respetiva área acumulada. 
 
A aplicação apresenta uma tabela resumo com a área total do histograma, a área de cada barra, a área acu-
mulada e as respetivas áreas relativas. 
Guia de utilização 
Deverá inserir o limite inferior da primeira classe, a amplitude da classe e as frequências absolutas das clas-
ses definidas. Seleciona-se o conceito a explorar clicando num dos dois botões de opção, Pk = ? ou k = ? . O 
primeiro, o amarelo, permite determinar o percenatil da ordem k inserido a ordem na caixa “k = ” . O se-
gundo, o azul, permite determinar a que percenatil pertence o dado inserido na caixa “Pk = “ . Os dados da 
tabela permitem facilmente determinar a área de cada barra e da área total do histograma. Também é calcu-
lada a área a que corresponde k% da área total do histograma. Por fim, pode optar-se por apresentar em 
cada barra do histograma a respetiva área e alternar a visibilidade do percenatil no histograma. 
Exploração 
Sugere-se a introdução da noção de percenatil usando exemplos de dados organizados em classes, desta-
cando o percenatil de ordem k como sendo o ponto do eixo horizontal para o qual a área acumulada à sua 
esquerda é igual a k% da área total do histograma. 
Também se sugere a determinação da percentagem da área acumulada à esquerda de um determinado 
valor relativamente à área total do histograma e a determinação do percenatil a que pertence. 
Aplicação 14: Diagrama de extremos e quartis 
Descrição 
Permite construir um diagrama de extremos e 
quartis para quatro amostras distintas. 
Guia de utilização 
Os dados são introduzidos na tabela obtendo-se 
os valores necessários à construção do diagrama 
de extremos e quartis. 
Exploração 
A aplicação pode ser explorada na construção de 
diagramas de extremos e quartis e na compara-
ção de amostras em termos de simetria. 
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Estatística
 1 O diagrama de dispersão ao lado apresenta a 
classificação, de 0 a 100 , que 10 alunos 
obtiveram, nas partes prática e teórica de um teste. 
1.1. Quando alunos obtiveram a classificação de 
50 na parte teórica? 
1.2. Um aluno obteve 60 na parte prática. Qual a 
classificação que obteve na parte teórica? 
1.3. Mais quatro alunos fizeram o mesmo teste. 
A tabela seguinte mostra os respetivos 
resultados obtidos. 
Teórica 10 94 52 84
Prática 15 90 46 80
 2 O estrelinha-de-poupa pertence a uma espécie de aves pequenas. 
Nos dias de inverno, esta ave tem de comer o suficiente para 
produzir calor durante a noite. Durante o dia, por essa razão, a 
massa da ave aumenta. 
O diagrama de dispersão mostra as massas de 17 destas aves, a 
diferentes horas do dia, durante um dia de inverno. 
No diagrama está representada a correspondente reta de 
regressão linear. 
2.1. Faça uma estimativa da massa de um 
estrelinha-de-poupa às 11:30 . 
2.2. Estime quantos gramas, em média, a 
massa de um estrelinha-de-poupa 
aumenta numa hora. 
2.3. Qual o estrelinha-de-poupa, 
representado no diagrama, tem 
menos hipóteses de sobreviver 
durante a noite, se estiver frio? 
 Dê a resposta colocando um círculo 
em torno do ponto do diagrama de 
dispersão e explique porque escolheu 
esse ponto. 
Ficha para praticar 17
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20 3010
10
20
30
40
50
60
70
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90
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0 40 50 60 70 80 90 100
Parte teórica
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 p
rá
ti
ca
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3,5
4,0
4,5
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2.7. Dados bivariados
 3 O diagrama de dispersão seguinte apresenta os comprimentos e os diâmetros máximos de 15 bolotas. 
15
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
D
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m
et
ro
 /
 m
m
 
3.1. Indiquea classe modal dos comprimentos máximos das bolotas. 
3.2. Indique o ponto do diagrama que corresponde ao comprimento mediano das bolotas. 
 Coloque um círculo à volta desse ponto. 
3.3. Dos diagramas seguintes, indique aqueles em que a reta de regressão linear melhor se ajusta à 
nuvem de pontos. 
15
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Comprimento / mm
Diagrama A
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 /
 m
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16 17 18 19 20 21 22 23 24
Comprimento / mm
Diagrama B
D
iâ
m
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 m
m
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Comprimento / mm
Diagrama C
D
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Atividade inicial 4
Selecionou-se, aleatoriamente, cinco alunos do 10.° A aos quais 
se perguntou a idade. 
As respostas foram as seguintes:
15 14 15 16 17
Para indicar a amostra obtida pode-se escrever os dados, se-
parados por vírgulas, dentro de parêntesis. 
A amostra representa-se por x
~
 . 
x
~
= 115 , 14 , 15 , 16 , 172 x1 é o primeiro elemento da amostra. 
 3 3 3 3 3 
 x1 x2 x3 x4 x5 x3 é o terceiro elemento da amostra. 
A amostra ordenada é a seguinte: 
114 , 15 , 15 , 16 , 172 x(1) é o primeiro elemento da amostra ordenada. 
 3 3 3 3 3 
 x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(3) é o terceiro elemento da amostra ordenada. 
1 Considere a amostra seguinte: 
 
1.1. Escreva a amostra ordenada. 
1.2. Indique e . 
2 Numa amostra ordenada , de dimensão 5 , sabe-se que: 
 ; ; e 
Qual é o valor de ? Escreva a amostra.
2.4. Percentis. Mediana. Quartis. Diagrama de extremos e quartis
Utilizamos frequentemente medidas estatísticas 
para compreendermos o mundo à nossa volta, 
pois estas medidas permitem resumir de forma 
simples um conjunto de dados que, da forma 
como são recolhidos, não possuem signifi-
cado. Pode citar-se, como exemplo, se o co-
nhecimento do “peso” de um bebé está no 
percentil adequado à sua idade.
2
182
Estatística
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• desafia-o a resolver, já no 10.º ano, 
exercícios tipo exame, dotando-o 
dos instrumentos necessários à 
superação do seu exame nacional 
no final do ano letivo seguinte;
• sugere-lhe numerosas e 
variadas questões para o ajudar 
a atingir o seu máximo, através 
das atividades complementares, 
das sínteses e da avaliação 
global no final de cada 
subdomínio;
• orienta-o no seu estudo, 
indicando-lhe como pode reforçar 
e consolidar os conteúdos 
apresentados;
Fichas de teste – conjunto de questões-tipo para rever 
definições e conceitos, bem como processos relevantes 
na preparação para os testes de avaliação.
O manual remete para a resolução destas fichas nos 
momentos adequados.
Parte 2: Aplicações didáticas 
Propõem-se guiões de utilização e exploração para abordar um vasto leque 
de conteúdos, que englobam os métodos eleitorais, os métodos de partilha 
equilibrada, a estatística e os modelos financeiros. 
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Dados bivariados 
Exemplo 4: 
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus 
Celsius 1ºC2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias. 
Temperatura 1ºC2 18 20 21 19 17 21 22
Pressão atmosférica 1mmHg2 810 810 800 800 800 815 805
Descrição Resultado
Introduzir as listas 
na calculadora
 Prima as teclas S e e. 
 Insira a lista de Temperaturas em L1 
e a lista Pressão atmosférica em L2. 
 Para regressar à janela principal da 
calculadora prima `M.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima as tecla S > > e selecione 
a opção LinRegTTest. 
 Insira L1, L2 e Y1, nos campos Xlist, 
Ylist e RegEq, respetivamente, e 
selecione Calculate. 
 A reta de regressão está 
automaticamente inserida no menu 
das funções. 
 Com uma aproximação às milésimas, 
obtemos a equação da reta de 
regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
Nuvem de pontos e 
reta de regressão
 Prima as teclas `! para aceder ao 
menu STAT PLOT. 
 No menu Plot1, selecione a opção On 
e o gráfico de pontos. 
 Insira L1 em Xlist e L2 em Ylist. 
 Selecione a marca, a cor dos pontos e 
prima a tecla %. 
 Poderá ser necessário ajustar a 
janela de visualização ao conjunto de 
dados. Para isso, prima a tecla # 
e selecione a opção ZoomStat. 
 Pode alternar a visibilidade da reta de 
regressão linear obtida com a função 
LinRegTTest e guardada em Y1, 
premindo a tecla! e alternado a 
seleção do carater =. 
 
 
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As calculadoras na Estatística
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Descrição Resultado
Introduzir as duas 
listas na aplicação 
Calculadora
Insira as seguintes expressões e prima ·: 
temperatura:= 518, 20, 21, 19, 17, 21, 226 
pressao:= 5810, 810, 800, 800, 800, 815, 8056 
 Prima /t para aceder a Ï.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima a tecla b e a opção 6: Estatística, 
1: Cálculos estatísticos e 1: Regressão 
linear 1mx + b2 . 
 Insira a variável temperatura, pressao e f1, nos 
campos Lista X, a Lista Y e Guardar RegEqn 
em, respetivamente, e prima a tecla ·. 
 Com uma aproximação às milésimas, 
obtemos a equação da reta de regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
 
Nuvem de pontos
 Na aplicação Dados e Estatística, prima a 
tecla b e selecione a opção 
2: Propriedades do gráfico. 
 Na opção 5: Adicionar variável X, 
selecionamos a variável temperatura. 
 Na opção 8: Adicionar variável Y, 
selecionamos a variável pressao. 
 
 
 
Reta de regressão
Prima a tecla b e selecione as opções 
6: Regressão e 1: Mostrar linear 1mx + b2 
para adicionar a reta de regressão linear à 
nuvem de pontos.
 
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As calculadoras na Estatística
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Dados bivariados 
Exemplo 4: 
Considere a tabela seguinte que mostra os resultados obtidos por observação da temperatura em graus 
Celsius 1°C2 e da pressão atmosférica em milímetros de mercúrio 1mmHg2, durante sete dias. 
Temperatura 1ºC2 18 20 21 19 17 21 22
Pressão atmosférica 1mmHg2 810 810 800 800 800 815 805
Descrição Resultado
Introduzir as listas 
na calculadora
 Na opção 2 Statistics do menu 
principal, insira a lista de 
temperaturas em List 1 e a 
lista de pressões em List 2.
Parâmetros da reta 
regressão e 
coeficiente de 
regressão
 Prima as teclas w e u para 
inserir a variável List2 em 1Var 
Freq. 
 De seguida, prima d para 
regressar ao menu anterior e 
prima eqq, para aceder a 
REG, X e ax + b, respetivamente. 
 Com uma aproximação às 
milésimas, obtemos a equação 
da reta de regressão, 
y = 0,846x + 789,044 
e o coeficiente de correlação, 
r = 0,250 .
 
 
 
Nuvem de pontos
 Prima as teclas q e u para 
selecionar o tipo de gráfico 
1Scatter2 em StatGraph1, inserir 
a variável List1 em XList e a 
variável List2 em YList. 
 De seguida, prima d para 
regressar ao menu anterior e 
prima q para representar a 
nuvem de pontos. 
 
 
Reta de regressão
 Prima a sequência de teclas 
q, w, q e u para aceder 
a Calc, X, ax + b e Draw, 
respetivamente, para adicionar 
a reta de regressão linear à 
nuvem de pontos.
 
 
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Resolução 
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou 
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 
10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem 
neles próprios2, então vários podem ter mais de50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos 
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente. 
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos 
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo. 
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-
der a uma votação com a ajuda do professor de MACS. 
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 
 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 
 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 
 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 
 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. 
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? 
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. 
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, . 
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação? 
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de 
eleitores participantes e comente.
Caderno 
de Fichas 
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Atividades 
complementares
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1.1. Teoria matemática das eleições
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Resolução 
10.1. O número total de “aprovações” é igual à soma das “aprovações” de todos os membros votados, ou 
seja, 388 .
10.2. O membro escolhido foi a Esmeralda, pois obteve a maioria das “aprovações”, 88 . 
10.3. Sim. Uma vez que todos os membros podem aprovar de 1 a 110 membros 1ou 109 , caso não votem 
neles próprios2, então vários podem ter mais de 50, dos votos. Neste caso, a Esmeralda ganhou com 
80, dos votos, mas tanto a Paula, como a Ivone ou o Cristiano também obtiveram mais de 50, dos 
votos: 64, , 55, e 75, dos votos, respetiva e aproximadamente. 
10.4. Não, os resultados dos outros membros não são alterados. Neste sistema eleitoral, se acrescentarmos 
ou retirarmos candidatos/alternativas, a pontuação total dos restantes candidatos não é alterada.
Exercício 13
Uma turma do 10.° ano decidiu encomendar pizza para comemorar o final do ano letivo. 
Para decidir o tipo de pizza, relativamente aos ingredientes que deveriam encomendar, decidiram proce-
der a uma votação com a ajuda do professor de MACS. 
As opiniões recolhidas foram as seguintes: 
 12 alunos votaram Pizza 4 Estações e Pizza Calzone; 
 10 alunos votaram Pizza Camponesa; 
 6 alunos votaram Pizza Bolonhesa e Pizza Calzone; 
 4 alunos votaram Pizza Camponesa, Pizza 4 Estações e Pizza Calzone. 
Utilizando o sistema de aprovação, qual a pizza vencedora? 
Exercício 12
A Renata, o Emídio e o Manuel foram os três únicos candidatos numa eleição onde votaram 1250 pessoas. 
A Renata obteve 48, dos votos, o Emídio obteve 36, e o Manuel 46, . 
12.1. Qual foi o vencedor nesta eleição pelo método de aprovação? 
12.2. Determine o número total de votos atribuídos a cada candidato. Compare com o número de 
eleitores participantes e comente.
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Atividades 
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1.1. Teoria matemática das eleições
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 Caderno de Fichas
Para reforçar a aprendizagem, consolidar conhecimentos 
e preparar os testes de avaliação, no Caderno de Fichas 
encontra duas propostas de trabalho:
Fichas para praticar – conjunto de questões que 
ajudarão o aluno a desenvolver a destreza na resolução 
de problemas e aplicação dos procedimentos descritos 
no manual.
2 Estes recursos podem ser 
utilizados para uma melhor 
compreensão de alguns conceitos 
e procedimentos, sendo muito 
úteis para verificar e/ou simular 
resultados.
 e-Manual Premium
Versão digital do manual com 
acesso a todos os recursos do 
projeto em contexto.
Caderno de Fichas 
com exercícios interativos 
e soluções.
Menu de recursos para aceder 
diretamente a todos os recursos 
do projeto que se encontram em 
formato digital.
O acesso à versão definitiva do 
e-Manual Premium é exclusivo 
do Professor adotante e estará 
disponível a partir de setembro 
de 2015.
 e-Manual do Aluno
O acesso ao e-Manual do Aluno 
é disponibilizado, gratuitamente, 
na compra do manual em papel, 
no ano letivo 2015-2016, e poderá 
ser adquirido autonomamente 
através da Internet.
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7
O Máximo MACS 10 proporciona a mobilização de recursos variados 
e o acompanhamento do professor mediante os diferentes ritmos 
de aprendizagem dos seus alunos.
Máximo na Tecnologia
Este componente do projeto foi elaborado com a colaboração 
de especialistas na área das tecnologias educativas.
O Máximo na Tecnologia está dividido em duas partes.
Parte 1: Calculadoras gráficas e aplicações
Nesta parte, apresenta-se um guia de utilização das calculadoras gráficas 
TI-Nspire, TI 84 Plus C e Casio fx-CG.
5
• apresenta-lhe assuntos atuais 
e ilustrações com um toque 
de humor.
 Máximo do Aluno
Para que o aluno possa 
exercitar e saber mais sobre 
os conteúdos lecionados, são 
propostas, para além de 
provas globais, atividades de 
investigação e 
experimentação em grupo, 
que poderão ser úteis para 
aprofundar alguns dos temas. 
3
 Máximo do Professor
Para que o professor possa organizar as suas aulas de 
acordo com a sua metodologia, e ainda proporcionar 
uma aprendizagem diferenciada, propõe:
• Planificações: para facilitar a integração do manual 
no vasto conjunto de recursos disponíveis, são 
apresentadas propostas de planificação semanal e de 
aula a aula que possibilitam ao professor organizar 
mais rapidamente o seu trabalho.
• Recursos por subdomínio: proporcionam um apoio 
complementar na preparação das aulas e momentos 
de avaliação. Estes recursos são todos editáveis para 
que os professores possam diferenciar e adaptar as 
suas metodologias e estratégias pedagógicas. 
Para cada semana existem questões-aula e 
testes de avaliação em momentos próprios. 
• Propostas de resolução: detalhadas dos 
exercícios do Manual e Caderno de Fichas 
permitem uma melhor gestão do tempo, 
nomeadamente na preparação das aulas 
e na promoção do trabalho autónomo 
dos alunos.
Em caso de adoção, o professor terá acesso 
às restantes resoluções das questões do 
manual e do Caderno de Fichas.
4
 Manual
Para aprender Matemática é essencial um estudo autónomo e sistemático e, com base nesse paradigma, o novo 
manual Máximo, Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º ano, foi pensado para proporcionar ao professor 
e seus alunos um sólido auxiliar de trabalho.
O desenvolvimento deste manual alicerçou-se no programa de MACS e foi, no que respeita ao domínio 
da Estatística, atualizado de acordo com os últimos documentos oficiais.
É um manual funcional, que possibilita um trabalho autónomo e facilita, em todos os momentos, a aprendizagem 
do aluno, conduzindo-o através dos vários recursos que integram o projeto. 
Tendo como foco o aluno, o Máximo MACS 10 :
1
espacoprofessor.pt
Experimente em
e-Manual Premium (exclusivo para o Professor)6 e-Manual do Aluno7Caderno de Fichas2Manual1 Máximo do Aluno3 Máximo na Tecnologia5Máximo do Professor4
NOVIDADE
Síntese
Percentil para dados simples
O percentil de ordem k da amostra 
x
~
= 1x1 , x2 , p , xn2 é: 
 o valor máximo da amostra se 
k = 100 ; 
 a média dos elementos de ordem 
kn
100
 e 
kn
100
+1 na amostra orde-
nada, se k 0 100 e kn
100
 for inteiro; 
 o elemento de ordem c kn
100
d +1 na 
amostra, nos restantes casos. 
No diagrama de caule-e-fo-
lhas ao lado apresenta-se