Material Teórico (sec x, cosec x e cotg x)

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Encontro 1: Relações Trigonométricas: sec x, cosec x e cotgx 
 
 
COSSECANTE 
 
Por definição, cossecante é a relação do inverso do seno. 
 
Assim: cossecx = 
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
 
 
Dado um número real x , tal que x kπ, considerando a reta s tangente ao circulo trigonométrico no 
ponto P que intercepta o eixo do seno no ponto C, definimos por cossecante o módulo do segmento 
que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
Sinal da cossecante 
Quando o ângulo é do primeiro ou do segundo quadrante seu sinal é positivo, quando do terceiro ou 
quarto seu sinal é negativo. 
 
Secante 
Por definição temos que secante é a relação do inverso do cosseno. 
Assim: secx = 
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
 
Dado um número real x , tal que x π/2 + kπ , considerando a reta s tangente ao circulo 
trigonométrico no ponto P que intercepta o eixo do cosseno no ponto C, definimos por secante o 
módulo do segmento que vai do centro da circunferência trigonométrica até o ponto S. 
 
 
 
 
Sinal da secante 
Quando o ângulo é do primeiro ou do quarto quadrante seu sinal é positivo, quando do segundo ou 
do terceiro seu sinal é negativo. 
 
Cotangente 
Por definição temos que cotangente é a relação do inverso da tangente. 
Assim: cotgX = 
1
𝑡𝑔𝑥
 = 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
 
Dado um número real x , tal que x kπ, considerando a reta d tangente ao círculo trigonométrico no 
ponto B seja D o ponto de intersecção da reta d com o segmento OP, definimos por cotangente o 
módulo do segmento que vai do ponto B até o ponto D. 
 
 
De onde vieram essas relações trigonométricas? 
 
Relações trigonométricas são funções trigonométricas relacionadas com os lados e o ângulo de um 
triângulo retângulo. 
As funções seno e cosseno de um ângulo são as funções trigonométricas básicas e as mais 
conhecidas, através destas funções é possível chegar nas outras funções trigonométricas: tangente 
(tg), cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc). 
Exemplo: 
Seja o triângulo ABC abaixo, em que θ representa o ângulo: 
 
Veja como podemos representar as relações trigonométricas a partir das 
funções seno, cosseno e tangente. 
 A função seno é representado como sen(θ); 
 A função cosseno é representado por cos(θ); 
 A função tangente é representada por tan(θ). 
Essas funções são definidas pela razão entre os lados do triângulo e o ângulo θ. Assim: 
 sen(θ) = b/a 
 cos(θ) = c/a 
 tan(θ) = b/c 
Onde: 
 a é a hipotenusa; 
 b é o cateto oposto; 
 c é o cateto adjacente ao ângulo θ. 
Essas funções também são chamadas de razões trigonométricas, pois é através das razões entre os 
lado que elas são obtidas. 
A partir dessas razões podemos definir outras funções que são importantes na 
trigonometria: cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc). 
https://matematicabasica.net/funcoes-trigonometricas/
https://matematicabasica.net/razoes-trigonometricas/
A tangente também pode ser representada como: 
 
A cotangente é o inverso da tangente, logo: 
 
A secante é o inverso do cosseno: 
 
A cossecante é o inverso do seno: 
 
 
Perceba que encontramos as outras funções apenas conhecendo as funções seno e cosseno. Dessa 
forma, 
 a tangente é o seno sobre o cosseno do ângulo; 
 a cotangente é o inverso da tangente, ou seja, o cosseno sobre o seno do ângulo; 
 a secante é o inverso do cosseno do ângulo; 
 e a cossecante é o inverso do seno do ângulo. 
 
 
 
Relação Fundamental da Trigonometria 
 
 
𝐬𝐞𝐧𝟐x + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 = 𝟏 
 
Utiliza-se essa relação para se calcular o valor do seno de um arco desde que se saiba o valor 
do cosseno desse arco, ou vice versa. E a partir deles calcular as outras relações. Pois sabemos, 
agora, que elas dependem do seno ou do cosseno. 
 
 
Exemplo de aplicação da relação fundamental: 
 
Sabendo que cos a = 
1
2
 , 0 < a < 
𝜋
2
 , determine o valor de sen a. 
 
 
 
 
Exemplos de como se calcular outras relações trigonométricas ou simplificar expressões: 
 
 
1- 
 
 
 
 
 
 
 
2- Calcule o valor da expressão abaixo, sabendo que senx = 3/5. 
z = sec x – cos x 
 tg x + cotg x 
 
 
 
3- 
 
Solução 
P = (sen x) * (cos x) * (tg x) * (cotg x) * (sec x) * (cossec x) 
 
O valor do desenvolvimento da expressão dada por P é igual a 1. 
 
 
4- 
 
Solução