A Matemática do Ensino Médio Volume 3 by Elon Lages Lima Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner Augusto César Morgado (z-lib org)
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A Matemática do Ensino Médio Volume 3 by Elon Lages Lima Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner Augusto César Morgado (z-lib org)


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A Matemática do 
Ensino Médio 
Volume 3 
Elon Lages Lima 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
Eduardo Wagner 
Augusto César Morgado 
COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 
SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 
A Matemática 
do Ensino Médio 
Volume 3 
COMPRA 
Quinta Edição 
Elon Lages Lima 
Paulo Cezar Pinto Carvalho 
Eduardo Wagner 
Augusto César Morgado 
Ir SOCIEDADE BRASILEIRA 
DE MATEMÁTICA 
umverstdade de Fortaleza 
RIRL iáTECA CENTRAL 
Copyright 2005, 2004, 2001, 1999, 1998 by Élon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, 
Eduardo Wagner e Augusto Cesar Morgado 
Direitos reservados, 1998 pela Sociedade Brasileira de Matemática 
Estrada Dona Castorina, 110 - Horto 
22460-320, Rio de Janeiro - RJ 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
Coleção do Professor de Matemática 
Capa: Rodolfo Capeto 
Distribuição e vendas: 
Sociedade Brasileira de Matemática 
e-mail: vendalivros@sbm.org.br 
Tel.: (21) 2529-5073 
www.sbm.org.br 
ISBN: 85-85818- 12-3 
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Prefácio 
Com este terceiro volume da série "A Matemática do Ensino Médio", 
completamos a apresentação dos principais temas matemáticos que se 
ensinam nesses três anos finais da Educação Básica em nosso país. 
Os quatro capítulos iniciais são dedicados ao uso de coordenadas 
no plano e no espaço, fazendo uma introdução à Geometria Analítica a 
duas e três dimensões, seguida de um estudo de sistemas de equações 
lineares, matrizes e determinantes. 
Procuramos sempre pôr em relevo as conexões entre os métodos 
algébricos e os conceitos geométricos. Este ponto de vista prossegue 
no capítulo de números complexos, onde é dada uma ênfase especial 
ao significado geométrico das operações com aqueles números, inclu-
sive com uma aplicação às transformações geométricas de inversão. O 
capítulo final retoma o estudo dos polinômios iniciado no Volume 1, ad-
mitindo agora polinômios complexos e abordando mais detalhadamente 
as equações algébricas de grau qualquer. 
O material exposto nestes três volumes foi apresentado no pro-
grama de aperfeiçoamento para professores de Matemática do Ensino 
Médio, que se vem realizando no IMPA desde 1996, com o apoio da 
CAPES e da FAPERJ. 
Os quatro primeiros capítulos do presente livro foram redigidos por 
Elon Lages Lima e Eduardo Wagner, o quinto por Augusto César Mor-
gado e o sexto por Paulo Cezar P. Carvalho. Na realidade, porém, todos 
nós discutimos longamente os assuntos tratados nos três volumes e so-
mos igualmente responsáveis por todos eles. 
Rio de Janeiro, setembro, 1998 
Elon Lages Lima 
Paulo Cezar P. Carvalho 
Eduardo Wagner 
Augusto César Morgado 
Universidade de Fortaleza 
BIBLIOTECA CENTRAI. 
Conteúdo 
Capítulo 1 - Geometria Analítica Plana 
1. Introdução 1 
2. Coordenadas na reta 1 
3. Coordenadas no plano 5 
4. A distância entre dois pontos 13 
5. Escolhendo o sistema de coordenadas 19 
6. As equações da reta 23 
7. Ângulo entre duas retas 32 
8. Distância de um ponto a uma reta 33 
9. Área de um triângulo 39 
10. Equação da circunferência 40 
11. Vetores no plano 54 
Exercícios 67 
Capítulo 2 - Geometria Analítica Espacial 
1. Introdução 73 
2. Coordenadas no espaço 73 
3. As equações paramétricas de uma reta 75 
4. Distância entre dois pontos no espaço 77 
5. Vetores no espaço 83 
6. Equação do plano 87 
7. Distância de um ponto a um plano 90 
Exercícios 91 
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares 
1. Sistemas com duas incógnitas 97 
2. Duas equações com três incógnitas 100 
3. Três equações com três incógnitas 104 
4. Escalonamento (eliminação gaussiana) 117 
Exercício 126 
Capítulo 4 - Matrizes e Determinantes 
1. Introdução 130 
2. Multiplicação de matrizes 131 
3. Determinantes 137 
4. A regra de Cramer 143 
5. O determinante do produto de duas matrizes 146 
6. Caracterização das matrizes invertíveis 152 
Exercícios 
Capítulo 5 - Números Complexos 
1. Introdução 160 
2. A forma algébrica 161 
3. A forma trigonométrica 168 
4. Raízes da unidade 182 
5. Inversão 190 
Capítulo 6\u2014 Equações Algébricas 
1. Introdução 198 
2. Polinômios complexos 200 
3. Divisão de polinômios 204 
4. Divisão de um polinômio por x- a 210 
5. Reduzindo o grau de uma equação algébrica 215 
6. O teorema fundamental da Álgebra 218 
7. Relações entre coeficientes e raízes 221 
8. Equações algébricas com coeficientes reais 225 
9. Demonstrando o Teorema Fundamental da Álgebra 229 
10. Resolução numérica de equações 239 
Exercícios 244 
Capítulo 1 
Geometria Analítica Plana 
1. Introdução 
Neste capítulo é feita uma breve apresentação da Geometria Ana-
lí tica do plano, com ênfase nos princípios básicos que determinam 
o uso de coordenadas. Não há nenhuma preocupação de comple-
teza. Para um tratamento mais extenso, o leitor pode consultar 
o livro "Coordenadas no Plano", da Coleção do Professor de Ma-
temática da SBM. 
2. Coordenadas na reta 
Admitimos fixada, de uma vez por todas, uma unidade de com-
primento. Dados os pontos A, B quaisquer, o comprimento do 
segmento de reta AB chama-se a distância entre os pontos A e 
B. Escrevemos d(A, B) para indicar essa distância, que é um 
número real. Convencionaremos pôr d(A, A) = O. Se A B, 
tem-se d(A, B) > O. Além disso, vale 
d(A, C) + d(C,B) = d(A, B) 
se, e somente se, o ponto C pertence ao segmento de reta AB. É 
claro também que d(A, B) = d(B, A). 
A noção de distância permite introduzir coordenadas sobre 
uma reta, ou seja, representar os pontos da reta por meio de 
números reais. Para fazer isto, será necessário orientar a reta 
e escolher um dos seus pontos como origem. 
Seguem-se os detalhes desse procedimento. 
2 Geometria Analítica Plana 
Uma reta diz-se orientada quando sobre ela se escolheu um 
sentido de percurso, chamado positivo; o sentido inverso chama-se 
negativo. Numa reta orientada, diz-se que o ponto B está à direita 
do ponto A (portanto A está à esquerda de B) quando o sentido de 
percurso de A para B é positivo. 
Um eixo é uma reta orientada na qual se fixou um ponto O, 
chamado a origem. 
Todo eixo E pode ser posto, de modo natural, em correspon-
dência biunívoca com o conjunto IR dos números reais, do seguinte 
modo. À origem O do eixo faz-se corresponder o número zero. A 
cada ponto X de E situado à direita de O corresponde o número real 
positivo x = d( O, X) = distância de X à origem = comprimento 
do segmento de reta OX. Aos pontos situados à esquerda de O 
correspondem números _reais negativos, cujos valores absolutos 
medem as distâncias deses pontos à origem. 
Portanto, a cada ponto X no eixo E corresponde o número real 
x = d( O , X) se X está à direita de O e x \u2014d( O, X) se X está à 
esquerda de O. 
O número real x, que corresponde ao ponto X do eixo E da 
maneira acima indicada, chama-se a coordenada desse ponto. 
XI X 
xl o 
Figura 1: x = d(0, X) x' = \u2014d(0, X') 
Se x e y são respectivamente as coordenadas dos pontos X e Y 
do eixo E então tem-se x < y se, e somente se, X está à esquerda 
de Y. Além disso, tem-se d(X, Y) = Ix \u2014 y I. 
A importante igualdade d(X, Y) = I se demonstra usando 
(além da relação evidente d(A, B) = d(B, A)) o fato de que se A, B, 
C são pontos de uma reta tais que C está situado entre A e B então 
d(A, B) = d(A, C) + d(C, B). 
Com efeito, dados os pontos X e Y sobre o eixo E, com coordena-
A Matemática do Ensino Médio, Volume 3 3 
das respectivas x e y, sem perda de generalidade podemos supor.
que X esteja à esquerda de Y. Então há 3 casos possíveis: 
(a) O está entre X e Y (logo x < O < y); 
(b) Y está entre X e O (logo x < y <O); 
(c) X está entre O e Y (logo O < x < y). 
No primeiro caso, tem-se 
d(X,Y) = d(X, O) d(0,Y) =\u2014x+bJ = 
No segundo caso, 
d(0, X) = d(0,Y) + d(Y, X), 
ou seja, \u2014x = + d(X, Y), donde 
Finalmente,