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1.1 O QUE É ESTATÍSTICA?
É uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para utilização dos mesmos na tomada de decisões.
Os métodos estatísticos são usados para nos ajudar a descrever e compreender a variabilidade. Por variabilidade, queremos dizer que as observações sucessivas de um sistema ou fenômeno não produzem exatamente o mesmo resultado. Todos nós encontrar variabilidade na nossa vida quotidiana, e pensamento estatístico, podem dá-nos uma maneira útil para incorporar essa variabilidade em nossos processos de tomada de decisão.
1.2 DIVISÃO DA ESTATÍSTICA
No sentido de melhor esclarecer o significado da análise e interpretação dos dados, deve-se estabelecer uma distinção entre: Estatística Descritiva, teoria da probabilidade e Estatística Inferencial.
Estatística Descritiva: É o ramo da estatística que envolve a organização, o resumo e a representação dos dados, em geral, a simplificação de informações.
Estatística Inferencial: é o ramo da estatística que envolve a análise e interpretação de dados amostrais. A idéia básica é efetuar determinada mensuração sobre uma parcela pequena, mas típica, de determinada “população” e utilizar essa informação para chegar a conclusões sobre a população toda.
Ex: Não preciso comer um bolo inteiro para saber se é bom.
1.3 – CONCEITOS IMPORTANTES
a) População: é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm, pelo menos, uma variável (característica) comum e observável.
Ex: População dos alunos do primeiro período de uma faculdade;
População de peças fabricadas numa linha de produção.
b) Amostra: é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre ela.
As vantagens de amostrar são: Economiza mão-de-obra, tempo e dinheiro. Possibilita rapidez na obtenção dos resultados. Coleta de dados mais precisos. É a única opção quando o estudo resulta em destruição ou contaminação dos elementos pesquisados.
c) Parâmetro: é a descrição numérica de uma característica populacional. Exemplo: Média (µ), variância (σ²), coeficiente de correlação (ρ).
d) Estimador: também denominado Estatística. É a descrição numérica de uma característica amostral. Exemplo: Média amostral (), variância amostral (s²), coeficiente de correlação amostral (r).
e) Estimativa: é o valor numérico obtido para o estimador numa certa amostra.
1.4 – VARIÁVEIS
Em Estatística, variável é cada característica que pode ser observada (ou medida) em cada elemento da população, sob as mesmas condições.
Dados estatísticos são observações da realidade que nos cerca, podem ser fatos ou números. A característica de interesse de estudo (variável) pode ser dividida em duas categorias: qualitativas e quantitativas.
1.4.1 – Variáveis Qualitativas: são aqueles nos quais as características de um elemento são fornecidas por um nome ou por um rótulo. São classificadas como:
Qualitativas Nominais: os dados que podem ser separados em categorias não mensuráveis.
Ex.: Estado civil, sexo, cor da pele, grupo sanguíneo, tipo de transporte.
Qualitativas Ordinais: envolvem dados que podem ser dispostos em alguma ordem. O nível ordinal dá informação sobre comparações relativas, mas os graus de diferença não servem para cálculos.
Ex.: Grau de instrução (Nível fundamental, Nível médio, Nível superior).
Aparência (Péssima, ruim, regular, boa e ótima)
Classe social (Baixa, média baixa, média e alta)
1.4.2 - Variáveis Quantitativas: são aquelas nos quais as características do elemento observado é uma quantidade. São classificadas como:
Quantitativas Discretas: Assumem valores inteiros. Os dados discretos são resultados da contagem de um número de itens.
Ex.: idade em anos completos, nº de carros que circulam em Vila Velha, nº de pessoas atendidas em um caixa de banco.
Quantitativas Contínuas: Assumem qualquer valor num intervalo de valores. São dados resultantes de medições. Resultam em um número infinito de valores possíveis.
Ex.: Temperatura da cidade de Vila Velha, Quantidade de água gasta por dia na cidade de Vitória, peso dos alunos da turma de estatística.
RESUMO DOS TIPOS DE VARIÁVEIS
1.5 - FORMAS DE ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS: TABELAS E GRÁFICOS
Os requisitos de uma boa apresentação de dados são:
· Clareza (até os leigos compreendem o que está sendo apresentado)
· Objetividade (atinge o fim que se quer atingir)
· Concisão (é resumido, mas é também preciso, exato)
Os dados podem ser apresentação das seguintes formas: Brutos, Rol, Tabelas e gráficos.
DADOS BRUTOS: quando os dados originais (coletados) ainda não se encontram prontos para análise, por não estarem numericamente organizados.
Ex.: Foi coletada uma amostra de Idades dos alunos do último período do curso de Engenharia Civil da UVV, no ano de 2013.
	24
	23
	23
	27
	26
	23
	28
	26
	24
	23
	25
	27
	24
	28
	25
	25
	23
	26
	24
	25
ROL: é uma lista em que os valores estão dispostos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente.
Ex.: Utilizando os mesmos dados anteriores (idade dos alunos).
	23
	23
	23
	23
	23
	24
	24
	24
	24
	25
	25
	25
	25
	26
	26
	26
	27
	27
	28
	28
Como pode-se observar a simples organização dos dados em um Rol, aumenta muito a capacidade de informação destes. Ela torna possível visualizar, de forma bem ampla, as variações dos dados, uma vez que os valores extremos são percebidos de imediato. Mas a análise com este tipo de disposição começa a se complicar quando o número de observações tende a crescer.
Ao estudarmos grandes conjuntos de dados, é conveniente organizá-los e resumi-los de forma clara e objetiva.
Os dados qualitativos ou quantitativos discretos podem ser apresentados ou organizados das seguintes maneiras:
· Tabela de Frequências
· Gráfico de Barras/Colunas
· Gráfico de Setores
Os dados quantitativos contínuos ou amostra grande de dados discretos podem ser apresentados ou organizados das seguintes maneiras:
· Tabela de Frequências em classes (agrupada)
· Histogramas
· Polígono de frequências e Curvas de frequências
1.5.1 - Tabela de Frequências (Distribuição de frequências)
São representações nas quais os valores se apresentam em correspondência com suas repetições, evitando-se, assim, que eles apareçam mais de uma vez na tabela, como ocorre com o rol.
Este tipo de tabela não é aconselhável quando estamos trabalhando com amostragens grandes, pois pode ficar muito extensa, dificultando, além de sua elaboração, as análises e conclusões dos dados pesquisados. Contudo, neste tipo de tabela não há perda de informação.
Uma tabela de frequências pode representar e caracterizar um dos seguintes tipos de frequências:
· Frequência absoluta
· Frequência relativa
· Frequência Percentual
· Frequência acumulada (absoluta, relativa e percentual)
Frequência Simples Absoluta (fi ou fai): é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável.
Frequência Relativa (fr ou fri): é a relação entre a frequência de uma classe e a frequência total (soma das frequências de todas as classes).
 
Frequência Percentual (fr(%) ou pi): é a frequência relativa de uma classe multiplicada por 100.
Exemplo: Suponha que foi realizado uma pesquisa com os funcionários da empresa X e verificado o grau de satisfação em relação ao salário.
	Satisfeito
	Muito Satisfeito
	Insatisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Muito Satisfeito
	Insatisfeito
	Insatisfeito
	Insatisfeito
	Satisfeito
	Satisfeito
	Muito Satisfeito
	Satisfeito
	Muito Satisfeito
	Satisfeito
A tabela de distribuição de frequências ficará assim:
	Grau de satisfação
	Frequência absoluta
	Frequência Percentual (%)
	Insatisfeito
	4
	20,0
	Satisfeito
	12
	60,0
	Muito satisfeito
	4
	20,0
	Total
	20
	100,0
Frequência Acumulada: Contabiliza as observações até o valor considerado. Pode ser calculada apenas para variáveis numéricas. Pode ser: frequência acumulada (Fi), frequência relativa acumulada (Fri), ou frequência acumulada percentual(Pi).
Exemplo: Tabela de distribuição de frequências utilizando os dados de Idades dos alunos do último período do curso de Engenharia Civil.
	23
	23
	23
	23
	23
	24
	24
	24
	24
	25
	25
	25
	25
	26
	26
	26
	27
	27
	28
	28
No caso as frequências acumuladas são as seguintes:
	Idade
	Frequência absoluta
	Cálculo
	Frequência acumulada
	23
	5
	5
	5
	24
	4
	5 + 4
	9
	25
	4
	9 + 4
	13
	26
	3
	13 + 3
	16
	27
	2
	16 + 2
	18
	28
	2
	18 + 2
	20
	Total
	20
	-
	-
Frequência relativa acumulada (Fri): Fornece a relação entre a frequência acumulada e o nº total de observações realizadas.
	Idade
	Frequência absoluta
	Frequência acumulada
	Frequência relativa
	Cálculo
	Frequência relativa acumulada
	23
	5
	5
	0,25
	5/20
	0,25
	24
	4
	9
	0,20
	9/20
	0,45
	25
	4
	13
	0,20
	13/20
	0,65
	26
	3
	16
	0,15
	16/20
	0,80
	27
	2
	18
	0,10
	18/20
	0,90
	28
	2
	20
	0,10
	20/20
	1,00
	Total
	20
	-
	1,00
	-
	-
1.5.2 – Gráfico de Colunas/Barras
No eixo horizontal deve ser colocada a variável sob estudo
No eixo vertical a frequência (absoluta, acumulada ou relativa)
É traçada, para cada valor (atributo) da variável, uma barra com comprimento proporcional à frequência.
O eixo vertical e horizontal pode ser invertido, ou seja, a variável pode ser colocada no eixo vertical e a frequência no eixo horizontal (gráfico de barras).
Figura 1 . Título da figura
1.5.3 – Gráfico de Setores (Pizza)
· Consta de um círculo dividido em setores, cada setor relacionado a um valor da variável a ser representada.
· A abertura angular de cada setor é proporcional à frequência observada para cada valor.
Exemplo:
Figura 2. Título da figura
1.5.4 Tabela de Frequências para dados agrupados em classes
É constituída da mesma forma que para os dados não agrupados, com a diferença de que agora os valores da variável a ser organizados por classes.
Ao agrupar-se os valores das variáveis em classes, se ganha em simplicidade, mas se perde em detalhes (informações). Neste tipo de tabela se destaca o que há de essencial nos dados.
Normalmente sugere-se o uso de 5 a 15 classes com a mesma amplitude. Menos que cinco classes pode ocultar detalhes importantes dos dados, e mais que quinze torna a apresentação demasiado detalhada.
Exemplo de dados agrupados em classes para os salários dos 36 empregados da seção de orçamento da Companhia XX por faixa de salários.
	Classe de salários
	Frequência (fi)
	Porcentagem (%)
	4,0 |-- 8,0
	10
	27,78
	8,0 |-- 12,0
	12
	33,33
	12,0 |-- 16,0
	8
	22,22
	16,0 |-- 20,0
	5
	13,89
	20,0 |-- 24,0
	1
	2,78
	Total
	36
	100,00
Dada a sequência: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Podem-se representar intervalos das seguintes formas:
· Intervalo aberto: 1 --- 6 => 2, 3, 4, 5
· Intervalo fechado: 1|---|6 => 1, 2, 3, 4, 5, 6
· Intervalo fechado à esquerda: 1|--- 6 => 1, 2, 3, 4, 5
· Intervalo fechado à direita: 1 ---|6 => 2, 3, 4, 5, 6
Os principais estágios na construção de uma distribuição de frequência para dados agrupados em classes são:
1. Organizar os dados brutos em um rol de ordem crescente ou decrescente.
2. Determinar a amplitude total dos dados que é a diferença entre o maior e menor dos dados.
3. Determinar quanto ao número de classes a usar (k).
4. Determinar a amplitude de cada classe (c).
Em que: c é amplitude de classe; AT é a amplitude total; k é o número de classes.
OBS: Se necessário o valor encontrado deve ser aproximado para cima com o mesmo número ou mais casas decimais que os valores das variáveis.
5. Estabelecer os intervalos das classes começando com um inteiro logo abaixo do menor valor observado ou com o menor valor observado e somando a amplitude das classes. Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 866/66 do IBGE em termos de “desta quantidade até menos aquela”, empregando, para isso, o símbolo |-- (inclusão por limite inferior e exclusão do limite superior).
6. Relacionar os intervalos e fazer a contagem dos pontos por classe. A contagem total deve ser igual a n.
7. Construir uma tabela de frequência ou um gráfico de frequência.
Exemplo: Num determinado processo de fabricação foram feitas 50 observações de uma característica de qualidade de um tipo de peça, resultando nas seguintes medidas de diâmetro em milímetros.
1. Determinar a amplitude total: 
2. Determinar o número de classes: 
3. Determinar a amplitude de cada classe: 9,14 
OBS.: A amplitude da classe foi arredondada para cima, pois o número de classes já havia sido arredondado para baixo.
Para se formar as classes tomam-se o menor valor do conjunto de dados, 60, e soma à ele amplitude, 10, obtendo assim o limite superior da classe (ls), 70, os outros limites são obtidos sempre somando-se a amplitude, 10, até formar 7 classes.
A frequência absoluta (observada) é obtida contando-se a quantidade de elementos no intervalo, ou seja, de 60 a 70 (não incluindo esse extremo) existem 5 valores, e assim sucessivamente. As outras frequências são obtidas da mesma forma que para dados não agrupados em classes.
1.5.5 Histograma
· Cada classe é representada por um retângulo.
· A base do retângulo é o intervalo de classe.
· A altura do retângulo é proporcional à frequência da classe.
· A área do histograma é proporcional à soma das frequências, se usarmos a frequência relativa a área sob a curva vale 1.
Exemplos de histogramas:
1.5.6 Polígono de frequências
Neste gráfico as classes são representadas pelos seus pontos médios.
O Polígono é formado pela união, por retas, dos pontos médios das partes superiores de cada retângulo do histograma.
As figuras abaixo mostram exemplos de polígonos de frequências.
1.5.7 Ogiva de Galton ou Polígono de frequências Acumuladas
Neste gráfico as classes são representadas pelos seus limites superiores, utilizando a frequência acumulada.
A Ogiva de Galton é formada pela união, por retas, dos pontos que interceptam os limites superiores de cada classe da tabela e a frequência acumulada. O ponto inicial é o limite inferior da 1ª classe.
EXERCÍCIOS (resolvidos na aula)
1. O corpo administrativo de uma indústria estudou o tempo de espera dos produtos que chegavam no setor de despache com uma solicitação de emergência. Os seguintes dados foram coletados no período de um mês (os tempos de espera estão em minutos):
2	5	10	12	4	4	5	17	11	8	9	8	12	21	6	8	7	13	18	3.
1. Montar uma distribuição de frequência em uma tabela em classes,
1. Que proporção destes produtos enfrentam um tempo de espera de 9 minutos ou mais no setor?
1. Construa um histograma.
1. Construa um polígono de frequências.
2. Complete a distribuição de frequências.
	Notas
	Número de alunos
	Freq. relativa
	Freq. Absoluta acumulada
	0
	1
	0,05
	1
	1
	3
	0,15
	4
	2
	4
	0,20
	8
	3
	5
	0,25
	13
	4
	3
	0,15
	16
	5
	2
	0,10
	18
	6
	1
	0,05
	19
	7
	1
	0,05
	20
	TOTAL
	
	∑ = 1,00
	
(a) Montar o gráfico apropriado para esses dados.
(b) Que proporção tiram pelo menos 4 pontos?
(c) Podemos dizer que 50% dos alunos conseguiram no máximo que nota?
UNIDADE II – MEDIDAS DE POSIÇÃO
Na análise descritiva de dados as medidas estatísticas são instrumentos de avaliação e tomada de decisões.
Entre essas medidas estão as Medidas de Resumo, também conhecidas como Medidas de Posição.
O objetivo dessas medidas é de resumir um conjunto de dados ou uma distribuição de frequência através de uma medida central, em torno da qual os dados tendem a se concentrar; por isso, também são conhecidas como Medidas de Tendência Central.
As medidas de tendência central são: Média, mediana, moda.
2.1 - MÉDIA
Definimos a média aritmética simples (ou média, apenas) de uma população de tamanho N como sendo o quociente da soma de todos os dados da população pelo tamanho da mesma.
Seja o seguinte conjunto de dados de uma variável X:
Estes dados podem ser provenientes de uma amostra ou de uma população (normalmente o tamanho da amostra é simbolizado por “n” – minúsculo -, e o tamanho da população por N – maiúsculo).
	Média de uma amostra
	Média de uma população
	
	
2.1.1Média para dados não agrupados (Média Simples)
Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média aritmética simples. Calculada por 
Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12 litros, temos, para produção mediada semana:
Logo,
 14 litros
2.1.2 Média para dados agrupados (Média Ponderada)
Quando desejamos conhecer a média dos dados agrupados numa distribuição de frequências, determinamos a média ponderada.
A fórmula para calcular a média ponderada de uma amostra é: ou 
Quando os dados estiverem em uma distribuição de frequência em classes, as observações são estimadas pelos pontos médios xi, obtidos da seguinte maneira:
Onde: Liminf é o limite inferior do intervalo
Limsup é o limite superior do intervalo
Exemplo (sem intervalo de classe)
Considere a variável X como o número de faltas de 25 funcionários de uma empresa computadas em um período qualquer e apresentada na distribuição de frequência abaixo:
	Nº de faltas (xi)
	fi
	fr
	0
	8
	0,32
	1
	10
	0,40
	2
	4
	0,16
	3
	3
	0,12
	Total
	25
	1,00
O número médio de faltas por funcionários pode ser obtido por
ou
	Estatura (cm)
	Nº de funcionários (fi)
	xi
Exemplo (com intervalo de classe)
Consideremos a tabela de distribuição da estatura(cm) de uma amostra de funcionários, a média de estatura é calculada da seguinte maneira:
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, onde no cálculo o xi é o ponto médio.
A altura média dos funcionários é de 161cm.
2.2 - MEDIANA (Md)
É uma medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos seguindo uma ordem. É o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
É frequentemente usada para a renda anual e para dados de valores de bens, porque algumas rendas ou valores de bens extremamente elevados podem inflacionar a média, nesses casos a mediana é melhor medida de posição.
2.2.1 - Mediana para dados não agrupados
· Com “n” impar
Para um número impar de observações a mediana será o termo de ordem:
· Com “n” par
Para um número impar de observações a mediana será a média aritmética dos termos de ordem:
Após a ordenação dos valores, do menor para o maior, a mediana dividirá a série de observações em 2 partes iguais, ou seja, 50% menores valores se encontram abaixo da mediana e 50% maiores valores se encontram acima da mediana.
Exemplos:
· Dadas a série de valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, a mediana será:
n= 9 (impar)
Valores ordenados: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
Conclusão: 50% menores valores se encontram abaixo de 10.
· Dadas a série de valores: 12, 18, 7, 10, 2, 13, 6, 21
n= 8 (par)
Valores ordenados: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21.
 =11
Conclusão: 50% menores valores se encontram abaixo de 11.
2.2.2 - Mediana para dados agrupados em intervalos de classe
Para calcularmos a mediana numa distribuição de dados agrupados devemos seguir alguns passos até chegarmos ao valor que representa a mediana.
Passo 1- Na distribuição de frequência, devemos localizar a classe que contém o valor estimado da mediana. Para isso devemos localizar a classe que contém o termo de ordem , ou seja, a classe que contém a observação é a mesma classe que contém a mediana.
Passo 2 – Localizada a classe da mediana, utiliza-se a formula:
Onde: li = limite inferior da classe
F(ant.) = frequência acumulada anterior a da classe mediana
c = amplitude da classe da mediana
fi = frequência absoluta simples da classe mediana
EXEMPLO:
Calcular o salário mediano a partir da distribuição de frequência dos 40 funcionários de uma empresa.
	Salários (xi)
	Nº de Funcionários (fi)
	Fi
	400 |-- 600
	2
	2
	600 |-- 800
	8
	10
	800 |-- 1000
	16
	26
	1000 | -- 1200
	10
	36
	1200 |-- 1400
	4
	40
	Total
	40
	-
 a classe de Md é a classe que contém x20, está na 3ª classe (800 |- -1000).
Localizada a classe mediana, devemos utilizar a fórmula seguinte para o cálculo do valor mediano:
O que significa que 50% dos funcionários recebem até 925,00.
Emprego da média e da mediana:
De uma maneira geral, prefere-se empregar a média aritmética quando a distribuição dos dados é simétrica, ou nos casos em que se faz necessário o cálculo de outras estatísticas. Por outro lado, a mediana é preferida quando se deseja o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais ou nos casos em que na distribuição dos dados existam valores muito distanciados dos demais, comumente chamados de valores extremos.
2.3 - MODA (Mo)
Denominamos moda (Mo) ao valor que mais se repete num conjunto de dados simples ou isolado, ou o valor de maior frequência num conjunto de dados agrupados numa tabela de frequência.
Quanto ao valor que se destaca num conjunto de dados podemos ter várias definições.
Distribuição Unimodal: Quando somente um valor se destaca no conjunto de dados
Distribuição Bimodal: Quando dois valores se destacam no conjunto de dados
Distribuição Trimodal: Quando três valores se destacam no conjunto de dados
Distribuição Multimodal: Quando mais três valores se destacam no conjunto de dados
Distribuição Amodal: Quando nenhum valor se destaca no conjunto de dados
2.3.1 - Moda para dados brutos ou não agrupados em classes
Quando lidamos com dados brutos ou agrupados a moda é o valor de maior frequência (maior número de repetições).
EXEMPLO: Indique a moda para cada conjunto de dados.
a) 8; 10;13; 17; 25; 10 -> Moda = 10
b) 1; 3; 6; 7; 20; 12; 5 -> Amodal
c) 2; 1; 9; 7; 15; 2; 9; 4 -> Moda = 2 e 9
d) e)
	Nº de faltas/Serviço
(xi)
	Nº de Funcionários (fi)
	
	Nº de faltas/Serviço
(xi)
	Nº de Funcionários (fi)
	1
	2
	
	1
	2
	2
	15
	
	2
	15
	3
	3
	
	3
	3
	4
	2
	
	4
	15
	5
	2
	
	5
	2
	6
	3
	
	6
	3
Moda = 2						Moda1 = 2 , Moda2 = 4
2.3.2 - Moda para dados agrupados em intervalos de classe
Para o cálculo da moda nas distribuições de frequência com intervalo de classe, precisamos primeiro identificar a classe modal (classe com maior frequência) para depois calcular o valor da moda.
Fórmula para cálculo da moda:
Onde:
EXEMPLO:
Calcular o salário modal a partir da distribuição de frequência dos 40 funcionários de uma empresa.
	Salários (xi)
	Nº de Funcionários (fi)
	400 |-- 600
	3
	600 |-- 800
	8
	800 |-- 1000
	20
	1000 | -- 1200
	9
	Total
	40
O intervalo de salários de 800 a 1000 reais é considerado a classe modal, pois é o intervalo que tem a maior frequência de funcionários com estes salários.
Utilizando a fórmula para cálculo da moda temos:
O salário que mais se repete entre os funcionários é de R$904,35.
Exercícios (Resolvidos em sala)
1 - Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
	Notas
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Nº de alunos
	1
	4
	7
	14
	10
	6
	4
	3
	1
Calcule:
a) A nota média
b) A nota mediana
c) A nota modal
2 - Dada a seguinte distribuição de frequência calcule a média aritmética, mediana e moda.
	Notas
	0 |-- 2
	2|-- 4
	4 |-- 6
	6|-- 8
	8|--10
	Total
	Nº de alunos
	6
	11
	8
	12
	5
	45
3 - Num determinado processo de fabricação foram feitas 50 observações de uma característica de qualidade de um tipo de peça, resultando nas seguintes medidas de diâmetro em milímetros.
Calcule o diâmetro médio e o mediano das peças.
2.4 – Medidas Separatrizes
As medidas de separatrizes têm o objetivo de auxiliar na interpretação dos dados tornando possível a interpretação de uma distribuição de frequência de forma fracionada.
São as medidas que separam o rol ou a distribuição de frequências em partes iguais. Vimos que a mediana divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte.
Agora vamos estudar outras medidas que dividem a distribuição em partes iguais, de forma fracionada, que serão as chamadas separatrizes. São elas:
2.4.1 Quartis (Qi)Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:
Q1: 1º quartil. Deixa 25% dos elementos antes do seu valor
Q2: 2º quartil. Deixa 50% dos elementos antes do seu valor. Coincide com a mediana
Q3: 3º quartil. Deixa 75% dos elementos antes do seu valor.
Genericamente, para determinar a ordem ou posição do quartil a ser calculado, usaremos a seguinte expressão:
onde: i = número do quartil a ser calculado
n = número de observações.
Para dados agrupados em classes, encontraremos os quartis de maneira semelhante à usada para o cálculo da mediana:
Onde:
li = limite inferior da classe que contém o quartil desejado
c = amplitude do intervalo de classe
F(ant) = frequência acumulada até a classe anterior à classe quartílica.
fi = frequência absoluta simples da classe quartílica.
2.4.1.1 Diagrama de Caixa ou BOX-PLOT
O boxplot (gráfico de caixa) é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição empírica do dados. O boxplot é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana. As hastes inferiores e superiores se estendem, respectivamente, do quartil inferior até o menor valor não inferior ao limite inferior e do quartil superior até o maior valor não superior ao limite superior.
Para este caso, os pontos fora destes limites são considerados valores discrepantes (outliers) e são denotados por asterisco (*).
· A escala de medida da variável encontra-se na linha horizontal do quadro onde está inserida a figura.
· Observe que 50% da distribuição têm valores dentro da caixa.
· As linhas horizontais que saem da caixa terminam nos limites inferior (LI) e superior (LS) da distribuição. Entre esses limites encontram-se os valores considerados como típicos da distribuição.
· Esses limites são determinados em função da distância entre os dois quartis (Q3 e Q1), isto é, do desvio inter-quartílico: DQ = Q3 – Q1.
2.4.2 Centil ou Percentil(Ci):
São as medidas que dividem a amostra em 100 partes iguais. Assim:
O elemento que definirá a ordem do centil será encontrado pelo emprego da expressão:
onde:
i = número identificador do centil
n = número total de observações
Para dados agrupados em classes, encontraremos os centis de maneira semelhante à utilizada para cálculo da mediana, dos quartis.
Onde: li = limite inferior da classe que contém o centil desejado
c = amplitude do intervalo de classe
F(ant) = frequência acumulada até a classe anterior à classe centílica.
fi = frequência absoluta simples da classe centílica.
Exemplo: A tabela abaixo refere-se a quantidade de negócios efetuados diariamente por uma instituição financeira. Calcular o 3º quartil.
	Quantidade de neg/dia
	fi
	Fi
	11
	2
	2
	12
	5
	7
	13
	6
	13
	14
	8
	21
	15
	3
	24
	16
	2
	26
Calculando o terceiro quartil do exemplo acima:
Passo 1) Identificar a posição do terceiro quartil
Portanto, a posição do quartil de ordem 3 é = 20.
Passo 2) Encontrando o valor do quartil
O valor 14 está na posição 20 da tabela de distribuição de frequência.
Interpretação: 75% das quantidades negociadas são menores ou igual a 14.
Exemplo: Com base na tabela de distribuição do consumo médio de eletricidade (kw/hora) entre usuários em uma cidade X. Encontre o:
a) Terceiro quartil;
b) vigésimo quinto centil;
	Consumo (Kwh)
	Nº de usuários (fi)
	Fi
	5 |-- 25
	6
	6
	25 |-- 45
	4
	10
	45 |-- 65
	14
	24
	65 |-- 85
	26
	50
	85 |-- 105
	14
	64
	105 |-- 125
	7
	71
	125 |-- 145
	6
	77
	145 |-- 165
	3
	80
Resolução:
a) Q3
Encontrar a posição do terceiro quartil: 
O Q3 está localizado na 60ª posição, logo encontra-se na 5ª classe. Com base nesses dados, calcularemos Q3 da seguinte forma:
Interpretação: 75% dos usuários consomem até 99,29 kwh. De maneira análoga, 25% dos usuários consomem mais de 99,29 kwh.
b) C25
Encontrar a posição do centil 25: 
O C25 está localizado na 20ª posição, logo se encontra na 3ª classe. Com base nesses dados, calcularemos C25 da seguinte forma:
Interpretação: 25% dos usuários consomem até 59,29 kwh. De maneira análoga, 75% dos usuários consomem mais de 59,29 kwh.
å
=
=
k
i
ri
f
1
00
,
1
N
f
f
f
f
i
k
i
i
i
ri
=
=
å
=
1