Atividade 04 Cálculo Aplicado a Uma Variável

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Pergunta 1
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resposta:
Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte
para resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos de
interseção do gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível calcular a área
limitada por integração. 
 
Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais definidas, analise as
afirmativas a seguir.
 
I. A integral definida .
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
III. Os pontos de interseção da curva e o eixo x são .
IV. A área limitada pela curva e o eixo x ao 1º quadrante é igual a u.a.
 
É correto o que se afirma em:
II e IV, apenas.
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, já que
. A
alternativa II verdadeira pois, por simetria, a área abaixo do eixo x é dada por: 
A alternativa III é falsa, pois há interseção com o eixo x ocorre em
. Finalmente, a alternativa IV é verdadeira, pois a área ao
primeiro quadrante é dada por:
1 em 1 pontos
Pergunta 2
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resposta:
O deslocamento depende apenas das condições finais e iniciais de uma partícula em movimento, pois
o deslocamento é a medida da linha reta que une a posição inicial e a posição final em que a partícula
se encontra nesses instantes. Portanto, o valor do deslocamento só depende dessas posições, não
depende da trajetória. Tomando-se como base essa informação, resolva a situação problema a seguir. 
Considere a função velocidade de um ponto material que se desloca ao
longo de uma reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos.
A condição inicial do espaço-tempo é . Com essas informações e o gráfico da figura a
seguir, analise as asserções e a relação proposta entre elas. 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. O deslocamento do ponto material do tempo inicial até é igual a - 60 m
Pois:
II. O deslocamento é igual a integral a 
 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I é uma proposição
verdadeira, uma vez que o deslocamento do ponto material é dado por: 
 Consequentemente, a asserção II é verdadeira e justifica a I.
Pergunta 3
O conceito da primitiva de uma função está interligado à definição de integral indefinida, assim como
ao conceito de derivada de uma função. A integral indefinida de uma função é igual a uma família de
primitivas. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, considere
as função e , contínuas, e analise suas derivadas ou
integrais em relação à variável x. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta
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resposta:
entre elas. 
 
I. é primitiva da função .
Pois:
II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao derivarmos a função , temos:
 Portanto, a função é primitiva da 
Pergunta 4
Arquimedes (287-212 a. C.), inventor, engenheiro militar, médico e o maior matemático dos tempos
clássicos no mundo ocidental, descobriu que a área sob um arco parabólico é dois terços da base
vezes a altura. Além disso, o cálculo da área também pode ser calculado por meio da integral
definida. 
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura a seguir, analise as
afirmativas e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. ( ) A área limitada pela curva e o eixo x pode ser calculada por meio da integral
 , e seu valor é igual à 
1 em 1 pontos
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resposta:
II. ( ) A altura do arco (ver Figura) é dada por 
III. ( ) Segundo Arquimedes, a área do arco parabólico é igual a dois terços da base b vezes a altura h
do arco, portanto, a área é igual à 
IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
F, V, V, F.
F, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa I é falsa, uma vez que a
área é igual a | . A alternativa II é
verdadeira, pois a altura do arco parabólico é dada pelo y do vértice ( ) da parábola: 
. Consequentemente, a alternativa III também é verdadeira,
pois, para Arquimedes, . Finalmente, a alternativa IV é
falsa, pois a área ao primeiro quadrante é igual a 
Pergunta 5
É possível, por meio a análise gráfica, identificar pontos importantes para determinar a lei que rege a
função do gráfico em estudo. Para tanto, é necessário identificar o tipo de função elementar. Além
disso, é possível identificar ferramentas de suporte para o cálculo da área de regiões planas limitadas
pelo gráfico da função e pelos eixos coordenados. 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Considerando o contexto apresentado e utilizando como suporte a figura anterior, analise as
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s) 
 
I. ( ) A equação da parábola é dada por .
II. ( ) A área da região hachurada é igual a 
III. ( ) a área da região interna da parábola é igual a 
1 em 1 pontos
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IV. ( ) A área hachurada no primeiro quadrante é igual a 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
 
 
V, F, V, F.
V, F, V, F.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, desde quando
ao substituir os ponto visualizados no gráfico na lei genérica da
parábola , ; portanto, a lei da função é dada por 
. A alternativa II é falsa já que a área hachurada é dada por
. A alternativa III é
verdadeira, e a conta pode ser feita rapidamente diminuindo-se a área do retângulo
menos a área hachurada determinada no item II; portanto, a área
solicitada é Finalmente, a alternativa IV é falsa pois a área
hachurada do primeiro quadrante é igual a 
.
Pergunta 6
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resposta:
Dada a integral indefinida , verifique que a função integranda é um
produto entre uma função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-
la pelo método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada. Nesse
sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta. 
 
 
. 
 
 
.
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral
 por substituição de variável, fazemos a substituição:
; portanto, 
.
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
Avalie a escolha correta para aplicar o método de substituição de variável na resolução da integral
indefinida , que envolve a função exponencial. Para tanto, é necessário verificar a
escolha adequada, tal que a derivada da parte escolhida esteja na integração a menos de alguma
constante. Após a resolução da integral, assinale a alternativa correta. 
 
 
1 em 1 pontos
0 em 1 pontos
 
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da
resposta:
. -
.
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a integral por
substituição de variável, fazemos a substituição: ;
portanto, .
Pergunta 8
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Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento em metros, 
 em segundos, velocidade instantânea e aceleração . Conhecendo-se a funçãovelocidade, é
possível determinar as funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial
e integral. Nesse contexto, considere a função e seu gráfico como suporte (figura a
seguir) e analise as afirmativas a seguir.
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do tempo é dada
por .
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, para 
 , é igual a integral 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a . 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os instantes e
 , em que .
 
É correto o que se afirma em: 
 
II, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é verdadeira, uma vez que,
1 em 1 pontos
da
resposta:
por mudança de variável, fazendo , temos: 
 
, substituindo , . A
alternativa II é verdadeira, pois o deslocamento é dado por
É fácil ver que a aceleração é igual à derivada da função velocidade
. Por fim, a alternativa é
verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda positiva e a posição inicial é
igual a zero, coincide com a distância percorrida.
Pergunta 9
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resposta:
Em relação aos métodos de integração, evidenciamos dois deles: o método por substituição de
variáveis e o método de integração por partes. Ambos são aplicados com o intuito de reduzir a integral
original a uma integral elementar de resolução muito simples. Para tanto, é preciso analisar e fazer a
escolha adequada. 
 
Nesse sentido, analise as alternativas a seguir.
 
I. A integral de é .
II. Se é uma primitiva de .
III. Se , então sua primitiva .
IV. Se , então .
 
É correto o que se afirma em:
I, II e IV, apenas. 
 
 
I, II e IV, apenas.
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a alternativa II é falsa, desde quando 
f'(x)12x-3g(x) e a alternativa III , também, é falsa, pois integrando-se, por substituição de
variáveis, fazendo t=cos(x) dt=-sen(x), temos: cos2(x)sen(x) dx= -cos3(x)3+CF(0)=
-13+C. As demais são verdadeiras.
Pergunta 10
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Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral . Observe que a
intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, pois não é
uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse sentido, utilize a fórmula
 para resolver a integral e assinale a alternativa correta. 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para resolver a integral 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
da
resposta:
 por partes, fazemos a substituição: , e ;
portanto, por meio dafórmula: