Atividade 04 Laboratório de Matemática e Física

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Pergunta 1
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resposta:
Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por
 , em que é o ângulo subentendido entre
eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k -1, 20K, 20) e R(10, 30, -10) em um
sistema de eixos cartesianos.
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s).
I. ( ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k.
II. ( ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo.
III. ( ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P.
IV. ( ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
F, V, V, V.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Três pontos distintos no espaço R 3 sempre
definem um triângulo no espaço tridimensional. Dados os pontos P, Q e R, as arestas do
triângulo identificam-se com os vetores = (-1, 20k-10, 20), = (10 – 10k, 20, -10) e 
 = (11 – 10k, 30 – 20k, -30). Para que o triângulo seja retângulo em P, então, 
, para que entre eles, ou seja, (-1) ⋅ (10-10k) + (20k-10) ⋅ (20) +
(20) ⋅ (-10) = 0 ⇒ k = 1. 
Se k = 1, o triângulo é retângulo em P e Área = u.a.
Pergunta 2
Em um plano, a posição de um ponto P pode ser definida por meio de um par ordenado de valores do
tipo (x, y) em um sistema de coordenadas cartesianas. Outra possibilidade é determinar a posição do
ponto P pela distância r em relação à origem O e pelo ângulo que a reta que une a origem O ao ponto
P define com um dos eixos cartesianos. Essa representação, expressa ( , ), é denominada
coordenadas polares.
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir das descrições apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s)
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) .
III. ( ) .
IV. ( ) .
0 em 1 pontos
0 em 1 pontos
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resposta:
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, F, F.
V, V, V, V.
Sua resposta está incorreta. Justificativa: As relações de conversão entre as
coordenadas cartesianas e polares podem ser definidas trigonometricamente a partir do
triângulo de vértices OxP. Assim, , , 
 e .
Pergunta 3
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resposta:
Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de
coordenadas (x, y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar.
Seja, então, um campo de forças F: definido por .
 
Considere as figuras a seguir:
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F?
IV.
IV.
Resposta correta. Justificativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso da
distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja, pois 
 = , em que d é o valor da
distância do ponto (x, y), em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário para
qualquer coordenada (x, y), a orientação do campo de forças F é anti-horário.
1 em 1 pontos
Pergunta 4
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resposta:
Suponha que o vetor posição de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja dado, em função
do tempo, pela expressão . Os vetores , e 
 possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema
cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s)
falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é .
III. A posição inicial da partícula é .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, V.
Resposta correta. Justificativa: .
 ⇒
. . Na direção
z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações
cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal,
ascendente, a partir do plano XY.
Pergunta 5
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Seja dado um triângulo de vértices A, B e C. Considere que o ponto médio do segmento é o ponto
M e que N é o ponto médio do segmento . As propriedades da geometria euclidiana podem,
também, ser definidas em termos da notação vetorial.
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. é paralelo a .
PORQUE
II. .
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
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resposta:
Resposta correta. Justificativa: 
. Portanto,
. Se dois vetores são proporcionais entre si é porque possuem a mesma
direção. Então, por isso, os segmentos e são paralelos entre si.
Pergunta 6
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resposta:
Nos estudos da Física, algumas grandezas necessitam que lhes sejam atribuídas uma direção e um
sentido. Não é suficiente especificarmos somente o valor numérico e uma unidade). Essas grandezas
são denominadas vetoriais. Muitas vezes, operações matemáticas simples, aplicadas sobre
grandezas vetoriais, não são possíveis de serem realizadas pelo uso direto de uma calculadora.
A seguir, assinale a alternativa que lista grandezas cujas somas podem ser realizadas somente pelo
uso direto de uma calculadora.
Massa, potência, resistência elétrica.
Massa, potência, resistência elétrica.
Resposta correta. Justificativa: Grandezas como massa, potência e resistência elétrica
são denominadas escalares. Para defini-las completamente, basta conhecermos os
valores numéricos e as unidades. O resultado da soma de várias massas, por exemplo,
pode ser conhecido aplicando-se os valores individuais diretamente em uma calculadora.
Basta que as unidades de medida utilizadas sejam as mesmas.
Pergunta 7
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resposta:
Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três
vetores linearmente independentes, , e , pode ser expresso como um produto misto do tipo
 . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10,
10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido.
Resposta correta. Justificativa: Denominando (20-(-10), 10-20, -30-0), 
 (10-(-10), 10-20, 10-0) e (30-(-10), -20-20, 30-0) temos, pelo teorema,
que X = u.v.
Pergunta 8
Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F,
G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a
interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J
é representado por .
 
1 em 1 pontos
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0 em 1 pontos
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resposta:
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s)
falsa(s).
I. ( ) .
II. ( ) // 
III. ( ) . 
IV. ( ) .
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V, V, V, V.
V, V, V, F.
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si,
necessitam possuir mesmo módulo, direção e sentido. Assim, O é ponto médio do
segmento e . Como EFGH é um paralelogramo, as arestas opostas são
paralelas entre si e EH // GF. O paralelogramo EFGH também é quadrado e as diagonais
de um quadrado são ortogonais entre si. Por isso . As arestas opostas de um
paralelogramo estão orientadas na mesma direção e possuem a mesma medida. Todavia,
os vetores e possuem sentidos opostos e, portanto, são vetores distintos.
Pergunta 9
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Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto está relacionado ao
volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas
coordenadas em um espaço euclidiano ℝ 3 : P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles
definem os vetores = (1, -1, 1), = (1, -3, -1), = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto X = 0.
1 em 1 pontos
da
resposta:
Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer
se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares
e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares.
Pergunta 10
Resposta
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da
resposta:
No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por
unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é definido por
 , em que , e são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem
módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos
cartesianos x, y e z.
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
2. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa
correta da I.
Resposta correta. Justificativa: Esta é a própria definição de uma grandeza vetorial. A
função identifica o módulo, a direção e o sentido em que a
função escalar apresenta a maior taxa de variação por unidade de comprimento em
um dado ponto de coordenadas .
1 em 1 pontos