AULA 01 - CONJUNTOS NUMERICOS E FRAÇÕES

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 1: Conjuntos numéricos e frações
/
Apresentação
De�nimos como conjunto o agrupamento de termos com características parecidas. No caso da Matemática, os números
são agrupados em conjuntos numéricos. Ao longo da história da disciplina, de acordo com a necessidade de representar
certas situações, o homem buscou símbolos capazes de satisfazer suas necessidades. Os primeiros números a surgirem
foram os naturais, que tinham como objetivo de representar quantidades.
Com o aumento da atividade comercial, os cálculos começaram a ser utilizados de forma intensa. Novos símbolos surgiram
para suprir as necessidades operatórias do momento. Com isso, surgiu um novo conjunto numérico: números inteiros.
Veremos que esse conjunto tem como objetivo a indicação de situações de ganho e perda, com os números positivos
representando os ganhos e os números negativos indicando as perdas. Os números inteiros eram escritos na companhia de
símbolos, os positivos recebiam o sinal de + (mais) e os negativos o sinal de – (menos).
Também apresentaremos o conjunto dos números racionais, que surgiram da necessidade de demonstrar partes de um
inteiro, divisões que obtinham resultados decimais, e a união de todos os conjuntos numéricos dando origem à criação do
conjunto dos números reais, responsável por representar e organizar os números em um único conjunto.
Objetivos
Reconhecer a teoria dos conjuntos, sua importância para a matemática e seus principais conceitos;
Interpretar os diferentes problemas e operações envolvendo numéricos;
Praticar problemas de razão e proporção.
/
Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos menores formados por números. São eles:
Clique nos botões para ver as informações.
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é
in�nito.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5..., n, ...}
Naturais (N) 
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus
opostos negativos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z, pois podemos dizer o conjunto dos números naturais N
está contido no conjunto dos números inteiros Z (N ⊂ Z):
Subconjuntos dos Números Inteiros:
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...}
Inteiros (Z) 
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Ele engloba todos os números que podem ser escritos na forma
p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.
Racionais (Q) 
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Esse conjunto contém os números decimais não exatos com uma
representação in�nita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se
repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...
Irracionais (I) 
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I),
naturais (N) e inteiros (Z).
Reais (R) 
/
Um número real é racional. Portanto, ele não pode ser também irracional. Da mesma
maneira, se ele for irracional, não poderá ser racional.
Podemos representar o conjunto dos números reais pelo seguinte diagrama:
 Fonte: Diagrama do conjunto dos números reais. Fonte: Autoria própria.
 Reais
 Racionais
 Naturais
 Irracionais
 Inteiros
O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros.
Z (N ⊂ Z).
O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais.
(Z ⊂ Q).
O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
(Z ⊂ R).
Atenção
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).
/
Atividade
1. Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos (IESES – IGP – SC).
I. O número natural N pode ser chamado antecessor de N+1.
II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.
III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.
IV. Entre dois números racionais, A e B, com A diferente de B, existe sempre outro número racional.
Marque a única alternativa correta:
a) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas.
b) Apenas as assertivas III e IV estão corretas.
c) As assertivas I, II, III e IV estão corretas.
d) Apenas as assertivas I e II estão corretas.
Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas, realizamos, primeiramente, as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas
estiverem indicadas, e depois adições e subtrações.
Nas expressões em que aparecem sinais de reunião, efetuam-se as operações eliminando-as dos sinais interiores para os
exteriores, ou seja:
( )
Parênteses

[ ]
Colchetes

{ }
Chaves
Quando o sinal negativo estiver à frente do sinal da reunião eliminado, todos os sinais dos termos internos são trocados.
No produto e divisão entre números:
/
(-) x (-) = +
(-) x (+) = -
(+) x (-) = -
(+) x (+) = +
Exemplo
a) 2 + [2 – (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 – 1] = 2 + [2 – 6] = 2 - 4 = -2
b) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 11
c) { 2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 *( 3 – 1) ] } + 1 = {2 – [12 ÷ 2 – 2 * 2] } + 1 = {2 – [6 – 4] } + 1 = 1
O sinal * representa multiplicação.
Atividade
2. Leia essa situação, arme uma expressão numérica e determine o valor da expressão.
Milena foi a uma loja de bijuteria com R$ 100 reais comprar alguns presentes. Ela comprou um cordão para dar a sua tia, que
custou R$ 22,30 reais, comprou cinco pares brincos para dar as suas amigas, sendo que cada par custou R$ 13,20.
3. Ana Laura tem cinco tios. Ela ganhou quatro presentes de um deles. Outro tio deu dois presentes e dois tios compraram
juntos um presente para Ana Laura. Represente a expressão que mostra todos os presentes que ela ganhou dos tios e indique
quantos presentes foram no total.
Frações ordinárias
Rotineiramente somos obrigados a lidar com frações. Quando uma receita pede 1/2 tablete de manteiga ou quando precisamos
dividir uma pizza entre seis pessoas, trabalhamos com partes de um todo, ou seja, com frações.
/
A palavra fração vem do
latim fractus, que signi�ca
partido ou quebrado.
 Fonte: Por artnLera / Shutterstock
Número racional fracionário (fração)
É todo o número escrito na forma , onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero.
Termos da fração:
a
b
→
a
b
numerador
denominador
Conceito de fração
Toda fração indica uma divisão - ainda não efetuada – de um número inteiro (o numerador) por outro inteiro (o denominador),
sendo este diferente de zero.
/
O numerador indica quantas partes do inteiro estamos utilizando.
O denominador indica em quantas partes iguais esse inteiro foi dividido.
Dica
Uma fração pode ser representada das seguintes formas:
3 ÷ 5 → 3/5 → 3
5
Veja mais um exemplo a seguir:
1
Um inteiro
6/6
Seis sextos
5/6
Cinco sextos
Saiba mais
Assista ao vídeo na página Frações em uma reta numérica <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-
arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line> .
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-fractions-on-the-number-line/v/fractions-on-a-number-line
/
Atividade
4. Cinco amigos foram para uma pizzaria, pediram uma pizza tamanho família e dividiram em 10 partes. Uma das amigas estava
fazendo uma dieta e só quis comer as outras duas moças comeram cada uma e um dos rapazes comeu . Responda às
questões abaixo.
a) Qual é a fração que representa a pizza inteira?
b) Qual parte da fração que �cou para o outro amigo?
1
10
2
10
3
10
5. Identi�que qual fração representa um número natural.
a) 5/4
b) 18/6
c) 20/3
d) 28/5
6. Em uma sala de aula 2/3 dos alunos passaram por média.
a)Qual é a fração que representa a parte dos alunos que não passaram por média?
b) Qual é a fração que representa toda a sala?
Operações com frações
Agora, veremos algumas operações com frações. Vamos lá!
 
Adição e subtração entre frações
A soma ou a subtração de duas ou mais frações com o mesmo denominador é igual a uma nova fração, que tem como
numerador a soma dos numeradores das frações dadas e o denominador é o mesmo das frações envolvidas na operação.
Veja os exemplos a seguir:
+ =
2
8
3
8
5
8
− = =
21
20
15
20
6
20
3
10
Para somar ou subtrair frações heterogêneas (denominadores diferentes), deve-se, antes, transformar as frações dadas em
frações homogêneas (denominadores iguais).
/
Veja os exemplos a seguir:
+ = = = =2
3
3
4
(12÷  numerador  3) ×  numerador  2 + (12÷numerador  4) ×  numerador  3
3×4=12
4×2+3×3
12
8+9
12
17
12
− = = = =5
7
4
9
(63 ÷  numerador  7) ×  numerador  5 − (63÷numerador  9) ×  numerador  4
7×9=63
9×5−7×4
63
45−28
63
17
63
Saiba mais
Assista ao vídeo na página Problema de soma de frações: tinta <https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-
arithmetic/arith-review-add-sub-frac-word-probs/v/adding-fractions-with-unlike-denominators-word-problem> .

Multiplicação
Nas operações de multiplicação de fração, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si, o produto obtido
deve ser simpli�cado para apresentação do resultado.
× = = =2
3
4
10
2×4
3×10
8
30
4
15

Divisão
Nas operações de divisão de fração, multiplicamos a primeira fração pela segunda com os termos invertidos. O quociente obtido
deve ser simpli�cado para apresentação do resultado.
÷ = ×  ( )  = × = =2
3
4
10
2
3
inverter  
4
10
10
4
2
3
10
4
20
12
5
3
https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic/fraction-arithmetic/arith-review-add-sub-frac-word-probs/v/adding-fractions-with-unlike-denominators-word-problem
/
Atividade
7. Efetue os produtos abaixo (simpli�que se for possível).
a) 
b) 
c) 
d) 
×
1
2
2
5
×
4
7
3
2
× ×
10
12
48
50
25
16
× ×
2
7
21
14
8
6
8. Ache o quociente das frações abaixo.
a) 
b) 
c) 
d) 
÷
2
7
8
14
÷
6
9
4
15
÷ ÷
2
3
10
12
1
15
÷
7
5
3
10
 Fonte: Por rawf8 / Shutterstock).
Proporcionalidade
Veja a seguir conceitos relacionados à proporcionalidade.
Razão
Considerando dois números genéricos a e b, a razão entre eles é representada por , a/b ou a:b, sendo b≠0.
Proporção
a
b
/
Proporção é a igualdade de duas razões.
Considerando a proporção: , seus elementos se denominam:=a
b
c
d
 Fonte: Fonte: Autoria própria.
Propriedade fundamental
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Considerando as proporções:
Então, a *d = b *c
=
a
b
c
d
Então, 4*6 = 3*8
=
4
3
8
6
Então, 5*x = 4*20
x= 80/5 ou x = 16
=
x
2
3
5
Saiba mais
Assista ao vídeo presente na página Exemplo de escrita de proporções <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-
algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/writing-proportions > .
Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
Duas grandezas x e y são denominadas:
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-write-and-solve-proportions/v/writing-proportions
/
 
Diretamente proporcionais
Quando a razão entre x e y é constante.
, então x = k*y= kx
y
 
Inversamente proporcionais
Quando o produto delas é constante.
x*y = k ou 
Sendo k denominada constante de proporcionalidade.
x = k
y
Saiba mais
Assista ao vídeo Introdução às relações proporcionais <https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-
rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships > .
Depois, pratique com a lista de exercícios <galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf> . e con�ra o Gabarito
<galeria/aula1/anexo/a1_doc2.pdf> .
Atividade
9. Qual das proposições abaixo é verdadeira:
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) Todo número real é negativo.
c) O número 2/3 é um número irracional.
d) O número -1 pode ser classificado somente como número racional.
e) O número +5 pode ser classificado como número real.
Notas
Referências
MATEMÁTICA BÁSICA. Fração. Disponível em: https://matematicabasica.net/fracao/ <https://matematicabasica.net/fracao/> .
Acesso em: 09 nov. 2018.
CANDAL, Denise. Fundamentos de Matemática, Rio de Janeiro: SESES, 2015.
Próxima aula
Números decimais;
Regra de três simples;
Regra de três composta.
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-ratios-rates/pre-algebra-proportional-rel/v/introduction-to-proportional-relationships
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc1.pdf
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/galeria/aula1/anexo/a1_doc2.pdf
https://matematicabasica.net/fracao/
/
Explore mais
Exercícios de números decimais e frações negativas na Khan Academy <https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-
math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line> .
Exercícios de proporções para concursos <http://www.gabaritodematematica.com/exercicios-de-proporcoes-para-
concursos/> .
https://pt.khanacademy.org/math/cc-sixth-grade-math/cc-6th-negative-number-topic/cc-6th-neg-dec-frac-number-line/v/positive-and-negative-decimals-on-a-number-line
http://www.gabaritodematematica.com/exercicios-de-proporcoes-para-concursos/