FÍSICA - HORIZONTES

Prévia do material em texto

11
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
• 
 
 
11110121Z*11TE 
 
 
IVAN GOKALVES DOS ANJOS 
 
ATENDE AOS PARAMETROS CURRICULARES DO ENSINO MEDIO 
 
 
 
 
A114,4 0 
v4 
Comore. Vende, Troop N, 
 Livros Novos e UsadOs 
RUA TAMOIOS, 748 
Te1e.: 8201-8186 / 3201-6181 
56 ANOS NA VIDA CULTURAL 
DE BH-MG 
1948 - 2004 
 
••
••
••
••
••
••
••
••
••
• •
••
• •
••
••
••
••
 
EDITORIAL 
Edicao de arts: Celso Vicente Silva. Editoraclo Eletronica: Contemporanea Arte Digital. Ilustragoes: Hello Senatore, 
Osvaldo Sequetim, Paulo Manzi. Rev'sac): Equipe IBEP. Capa: Osvaldo Sequetim. Foto capa: Pictor. Fotolito e 
impressao: IBEP. 
INSTITUTO BRASILEIRO DE EDIOES PEDAGOGICAS 
E-mail: ibep@uol.com.br 
CENTRAL DE ATENDIMENTO 
Distribuicho, Promocao e Vendas - LIG/WA° GRATUITA 0800 17 56 78 
Vendas - Fax: (OXX11) 6694 5338 - Propaganda - Fax: (OXX11) 6692 0122 
Rua Joli, 294 - Tel.: (OXX11) 291 2355 (PABX) 
CEP 03016-020 - Caixa Postal 285 - Sao Paulo - Brasil 
SEDES REGIONAIS 
ACRE - Rio Branco - R. Floriano Peixoto, 743 - Centro - Tels.: (0XX68) 223 7740 / 224 2258 - Fax: (0XX68) 224 7253. 
ALAGOAS - Macei6 - R. Prof. Virginia de Campos, 206 - Faro! - Tel.: (0XX82) 221 5872 - Fax: (0XX82) 336 1050. 
AMAZONAS - Manaus - R. Henrique Martins, 396 - andar - Centro - Tel.: (0XX92) 633 1943 - Fax: (0XX92) 633 3703. 
BAHIA - Salvador - R. Visconde de Itaborai, 989 - Amaralina - Tels.: (0XX71) 240 1121 / 240 1811 - Fax: (0XX71) 248 2683. 
BRASILIA (DF) - SIG/Sul - Quadra 3 - Bloco C - Loja 68 - Tel.: (0XX61) 344 1550 - Fax: (0XX61) 344 3741. 
CEARA - Fortaleza - Av. Aguanambi, 145 - Jose Bonded° - Tel./Fax: (0XX85) 226 2800. 
ESPIRITO SANTO - Vila Velha - R. Presidente Lima, 1027 - Centro - Tel.: (0XX27) 229 7189 - Fax: (0XX27) 229 2972. 
GOIAS - Goiania - R. 70, 647 - Centro - Tel./Fax: (0XX62) 224 2454. 
MARANHAO - Sao Luis - Av. Getulio Vargas, 14 - M. Castelo - Tel.: (0XX98) 232 2810 - Fax: (0XX98) 232 6646. 
MATO GROSSO - Cuiaba -R. Baran de Melgaao, 789 - Porto - Tel.: (0XX65) 637 7860 - Fax: (0XX65) 637 4787. 
MATO GROSSO DO SUL - Campo Grande - Av. Bandeirantes, 865 - P. de Ferro - Tel.: (0XX67) 784 3961 - Fax: (0XX67) 721 7905. 
MINAS GERAIS - Belo Horizonte - Av. Isabel Buena, 1024/1026 - Jaragua - Tels.: (OXX31) 441 7886 / 441 0655 - Fax: (OXX31) 441 1166. - TeOfilo 
Otoni - Av. Getulio Vargas, 933 - Centro - Tel.: (0XX33) 522 2902. - Fax: (0XX33) 522 3063 - Gov. Valadares - R. Bkoara Heliodora, 486 - Centro 
Tel.: (0XX33) 271 3270 - Fax: (0XX33) 271 4042. - Cel. Fabriciano - R. Maria Matos, 25 - Centro - Tel 	(0XX31) 842 1100. - Montes Claws - 
Rua Cel. Joaquim Costa, 270 - Centro - TeUFax: (0XX38) 223 1000. - Juiz de Fora - R. Halfeld, 716 - Centro - Tel 	(0XX32) 215 8311 
PARA - Belem - Tray. Padre Eutiquio, 850 - Cameral° - Tel.: (OXX91) 223 1507 - Fax: (OXX91) 242 5057. 
PARAIBA - Joao Pessoa - Av. 1' de Maio, 253 - Jaguaribe - Tel.: (0XX83) 241 2768 - Fax: (0XX83) 241 5935. 
PARANA - Curitiba - R. Engenheiro Heitor Soares Games, 479 - Porta° - Tels.: (OXX41) 345 1561 / 345 0268 - Fax: (OXX41) 345 1781. 
PERNAMBUCO - Recife - R. Gervasio Pires, 125 - Boa Vista - Tel.: (OXX81) 423 5853 - Fax: (OXX81) 423 0105. 
PIAUI - Teresina - R. Quintino Bocaiiiva, 350 - Centro Sul - Tel./Fax: (0XX86) 222 7392. 
RIO GRANDE DO NORTE - Natal.- Av. Rio Branco, 431 - Centro - Tel./Fax: (0XX84) 212 2142. 
RIO GRANDE DO SUL - Porto Alegre - R. Ernesto da Fontoura, 392 - Sao Geraldo - Tel.: (0XX51) 342 9338 - Fax: (OXX51) 343 1811. 
RIO DE JANEIRO - Rio de Janeiro - Av. Lobo JOnior, 1011 - Penha - Tel.: (0XX21) 573 1647 - Fax: (0XX21) 590 0042. 
RONDONIA - Ji-Parana - R. Ipe, 2001 - Valparaiso - 'Tel/Fax: (0XX69) 421 4806. 
SANTA CATARINA - Florian6polis - R. Jose Candid° da Silva, 382 - Baln. do Estreito - Tel.: (0XX48) 248 4194 - Fax: (0XX48) 248 8080. 
SAO PAULO - Aragatuba - R. Osvaldo Cruz, 173/177 - Centro - Tel.: (OXX18) 623 2917 - Fax: (OXX18) 623 7834. - Bauru - Av. Aureliano 
Cardia, 6-36 - V. Cardia - Tel.: (0XX14) 234 8191 - Fax: (OXX14) 234 1467. - Presidente Prudente - Av. Coronel JoseSoares Marcondes, 
1120 - Centro - Tel.: (0XX18) 221 5311 - Fax: (OXX18) 223 2689. - Ribeirao Preto - R. Florencio de Abreu, 823 - Fundos - Centro - Tel.: 
(OXX16) 636 7715 - Fax: (OXX16) 610 6368. - Sao Jose do Rio Preto - R. General Glicerio, 3254 - Centro - Tel.: (OXX17) 232 9699 - Fax: 
(0XX17) 234 4028. 
0 •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • 
• •
 • Sumairio 
1 INTRODUCAO 
0 que é fisica? 	 
5 CINEMATICA VETORIAL 
Grandezas escalares e 
Para que serve o estudo da vetoriais 	 54 
fisica 	 Vetor deslocamento 	 59 
Grandezas fisicas e unidades Vetor velocidade 	 59 
Algarismos significativos 	 9 	Vetor aceleracao 	 60 
Notacc3o cientifica 	 10 
Medidas de intervalos de 6 MOVIMENTO CIRCULAR 
tempo 	 UNIFORME 10 
Medidas de comprimento 	 
Period() e frequencia do M.C.U. 
10 
64 
Aceleracao do M.C.U. 	 65 
Posicao angular 	 65 
2 DESCRICAO DE 
MOVIMENTOS 
Velocidade angular 	 66 
Movimento e repouso 	 
Funcao horaria angular do 
12 	M.C.U. 	 67 
Particula ou ponto material 	 13 
Traletoria 	 13 	 Fs". 
Posicao ao longo de uma I ntrod Licao 	 70 
traletoria 	 15 	Nocao de forca 	 70 
Velocidade media 	 16 	Forca resultante. Equilibrio 	 71 
Velocidade instantanea 	 16 	Primeira Lei de Newton ou 
Aceleracao media 	 20 	Principio da Inertia 	 72 
Movimento acelerado e Referential inertial 	 73 
retardado 	 22 	Segundo Lei de Newton ou 
Principio Fundamental 
da Dineimica (PFD) 	 74 
3 MOVIMENTO UNIFORME 
' Funcao horaria do M.U. 	 25 
Peso 	 
Unidades 	 
75 
75 
Graficos do movimento Terceira Lei de Newton ou 
uniforme 	 27 	Principio da AO° e Reacao 76 
Forca de tracao 	 77 
4 MOVIMENTO 
UNIFORMEMENTE R.,qC 
VARIADO Atrito estatico e atrito 
Funcaes horarias do M.U.V. 	 33 	dinamico 	 87 
Equacao de Torricelli 	 36 	Forca de atrito maxima 	 88 
Graficos do M.U.V. 	 39 	Forca de atrito dinamico 	 89 
Resumo dos groficos do M.U.V. 43 
Propriedades dos graficos 9 PLANO INCLINADO 
horarios 	 45 	Componentes da forca peso 	 93 
• •
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
• •
••
 
Binorio 	 
Equilibria estotico de urn 
146 
Forca resultante centripeta 	 99 corpo extenso 	 148 
Componentes da forca Centro de massa e centro 
resultante 	 100 de gravidade 	 148 
Tipos de equilibria 	 1 . 53 
15 EQUILIBRIO ESTATICO DOS 
Trabalho de uma forca LICIUIDOS 
constante 	 106 
Densidade de urn corpo 	 156 
Trabalho motor e trabalho 
resistente 	 107 
Pressao 	 157 
Trabalho da forca peso 	 108 
Pressao atmosferica 	 158 
Pressao exercida par coluna 
Propriedade do grafico F x d 108 
liquida 	 159 
Porencia 	 1 13 Experiencia de Torricelli 	 160 
Principio de Pascal 	 164 
Empuxo 	 165 
Peso aparente 	 167 
Teorema da energia cinetica 	 115 
Arquimedes 	 167 
Energia potencial 	 118 
Energia potencial 
gravitational 	 118 
7i5 TEMPERATURA 
Energia potencial elastica 	 119 
Equilibria termico 	 172 
Energia mecanica 	 122 
Medida da temperatura 	 173 
Sistema nnecanico Conversao de escalas 
conservativo 	 122 termornetricas 	 174 
Forca conservativo 	 123 Escala Kelvin 	 177 
Dilatacao linear 	 179 
Dilatacao superficial e 
Quantidade de movimento 	 127 volumetrica 	 183 
Impulso de uma forca 	 127 Aplicacoes praticas da 
Teorema do impulso 	 128 dilatacao termica 	 185 
Principio da conservacao da Dilatacao dos liquidos 	 186 
quantidade de movimento 	 133 Dilatacao anornala da ogua 	 187 
Colisoes ou choques 
mecanicos 	 136 1 8 CALOR 
Colisao frontal 	 137 Equilibria termico 	 190 
Coeficiente de restituicao 	 137 Propagacao do calor 	 190 
Tipos de choques ou colisaes 138 Trocas de calor 	 196 
Calculo da quantidade de 
calor sensivel 	 197 
Colculo da quantidade de 
Momenta de uma forca 	 143 calor latente 	 201 
19 TERMODINAMICAModelo de urn gas perfeito 	205 
Equacao de Clapeyron 	205 
Transformacoes gasosas 	206 
Trabalho numa transformacao 
gasosa 	210 
Trabalho numa transformacao fechada 
23 REF' 
Velocidade da luz 	 
Cor da luz 	 
Indice de refracao 	 
Leis da refracao 	 
Prisma e dispersao da luz 	 
Angulo limite e reflexao total 	 
243 
243 
243 
244 
246 
250 
(ciclo) 	 212 
Primeira Lei da 
Termodinamica 	 213 
Transformacao adiabatica.... 	 214 Definicao e classificacao 	 253 
Segunda Lei da Comportamento optic° das 
Termodinamica 	 215 lentes 	 253 
Ciclo de Carnot 	 215 Lentes esfericas delgadas 	 254 
Entropia 	 216 Focos das lentes 	 255 
Construcao geornetrica de 
20 INTRODUCAO A OPTICIA 
GEOMETRICA 
innagens 	 256 
Equac5es das lentes esfericas 	 261 
Raio de luz e feixe de luz 	 222 Vergencia 	 263 
Meios opticos 	 222 Aplicac5es das lentes esfericas. 
Fontes de luz 	 223 Correcao dos defeitos de visao 264 
Principio da propagacao Complement° 	 267 
retilinea 	luz 	 223 
Eclipses 	 224 
Sombras 	 224 O que é uma onda? 	 268 
21 REFLEXAO DA LUZ E Natureza das ondas 	 269 
ESPELHOS PIANOS Dimensao das ondas 	 269 
Ondas longitudinais e 
Leis da reflexao 	 227 transversais 	 270 
Espelhos pianos 	 228 Ondas peri6dicas 	 271 
Campo de urn espelho piano 	 231 Fen8menos ondulatorios 	 275 
Associacao de espeihos 
pianos 	 232 26 NATUR 
DA 
Ondas estacionarias 	 279 
22 ESPELHOS ESFERICO:i 
Definicao e eiementos do 
espelho esferico 	 234 
Ondas sonoras 	 
Velocidade do som 	 
279 
280 
Focos dos espeihos esfericos 	235 Qualidades fisiologicas do 
som 	 281 
Construcao geornetrica de 
innagens 	 236 Ondas luminosas 
	 286 
Equacoes dos espeihos Luz visivel 
	 286 
esfericos 	 239 Difracao da luz 	 287 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• •
••
••
••
• •
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
 
32 CAMPO ELETRICO 
Cargo eletrica 	 288 Analogia con) o campo 
Isolantes e condutores 	 289 gravitational 	 345 
Corrente eletrica 	 290 Vetor campo eletrico 	 345 
Sentido da corrente eletrica 	 291 Campo eletrico de cargo 
Circuito eletrico 	 291 puntiforme 	 347 
Intensidade da corrente Campo eletrico de varias 
eletrica 	 292 cargas puntiformes 	 348 
Linhas de forcas 	 352 
28 RESISTORES Superficie equipotencial 	 353 
Efeito joule 	 296 Campo eletrico uniforme 	 354 
Resistoncia eletrica 	 296 Trabalho da forca eletrica 	 355 
Leis de Ohm 	 297 
Associacao de resistores 	 302 33 CAPACITORES 
Associacao em serie 	 303 Condutor em equilibrio 
Associacao em paralelo 	 303 eletrostatico 	 359 
Amperimetro 	 308 Capacitoncia ou capacidade 
Voltimetro 	 308 de urn condutor isolado 	 
359 
Fusivel 	 309 Capacitor ou condensador 	 361 
Curto-circuito 	 310 Capacitor piano 	 363 
Associacao de capacitores 	 363 
GERADORES E RECEPTORES 
LETRICOS 34 CAMPO MAGNETICO 
Bipolos eletricos 	 313 imas 	 368 
Gerador eletrico 	 313 Campo magnetic° — 
Associacao de geradores Linhas de inducao 	 369 
eletricos 	 316 Experiencia de Oersted 	 370 
Receptor eletrico 	 317 Campo magnetic° da Terra 	 373 
`"" POTINCIA E ENERGIA ELETRICA 35 FORCA MAGNETICA 
Potencia eletrica 	 323 Interacao entre cargo eletrica e 
Potencia eletrica dissipada 	 324 campo magnetic° 	 378 
Energia eletrica 	 325 Forca magnetica sobre 
Potencia do gerador 	 326 corrente eletrica 	 
380 
Potencia do receptor 	 327 36 INDIO° 
Circuitos eletricos simples 	 332 ELETROMAGNETICA 
31 INTERA00 ENTRE CARGAS 
Fluxo de inducao 	 388 
C-7TRICAS Inducao eletromagnetica 	 389 
Quantizacao da cargo eletrica .. 335 Lei de Lenz 	 390 
Processos de eletrizacao 	 335 Lei de Faraday-Neumann 	 390 
Forca eletrica e energia Alternador 	 391 
potential eletrica 	 338 Transformador 	 392 
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
 
Introducao 
0 que 6 fisica? 
Segundo a Grande Enciclopedia Larousse Cultural fisica é a ciencia que 
estuda, pela experimentacao e elaboracao de conceitos, as propriedades fun-
damentais da materia e do espaco-tempo. 
Durante muito tempo — de AristOteles ate Newton — o que hoje entendemos 
por fisica era chamado de "filosofia natural". A fisica moderna, essencialmente 
experimental e matematica, desenvolveu-se gracas ao aperfeicoamento dos 
instrumentos de observacao , a elaboracao de teorias e a reunido de leis disper-
sas num todo coerente, com definicoes e principios claramente formulados. 
A fisica classica, que é aquela estudada nos cursos de ensino medio e nos 
anos iniciais dos cursos superiores, costuma ser dividida em cinco grandes 
grupos: a Mecanica, a Eletricidade, a Termodinamica, a Ondulatoria e a 
Optica. 
Sao grandes nomes da fisica classica Galileu (considerado o pai da fisica), 
Kepler, Huygens, Stevin, Pascal e especialmente Isaac Newton (1643-1727). 
Id a fisica moderna, cujos representantes mais conhecidos sao Dirac, 
Heinsenberg, de Broglie, Planck e principalmente Albert Einstein, tern condo 
ramos a Mecanica Quantica e a Relatividade. 
Para que serve o estudo da fisica 
Como uma das ciencias basicas da natureza, o estudo da fisica é indispen-
savel aqueles que querem entender os mecanismos mais profundos de tudo 
que ocorre na natureza. No mundo atual, globalizado e altamente tecnologico, 
quem domina o conhecimento — e a fisica é parcela relevante desse conhe-
cimento — certamente esta a frente dos demais. 
Alem disso, estudar fisica desenvolve o raciocinio, estimula a imaginacao 
e a criatividade. Dificilmente alguem ligado ao estudo da fisica fica restrito a 
esse campo, mas cria asas e circula por muitos outros, contribuindo com certe-
za para sua propria cidadania. 
Urn dos maiores fisicos do Brasil, o pernambucano Mario Schenberg 
(1916-1990) foi tambem critico e colecionador de obras de arte, inclusive 
participando do jtiri de algumas Bienais de Sao Paulo. 
Capitulo 1 • Introducao 	7 
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
 
Grandezas fisicas e unidades 
Em sua origem a palavra fisica vem do grego e significa natureza. Assim, 
tudo que ocorre na natureza, isto é, quaisquer acontecimentos, tais como a 
queda de um corpo, o relampago, o trovao, o chute de uma bola, a colisdo 
entre dois automoveis, a repulsao ou atracao entre imas, etc, sac) considerados 
FENOMENOS FiSICOS. 
Ao estudar os fenomenos fisicos os cientistas procuram descobrir regras 
gerais, denominadas LEIS ou PRINCIPIOS da fisica. 
Para chegar a estabelecer as leis da fisica e necessario muita observacao 
dos fenomenos, e na maioria das vezes isso implica em efetuar MEDIDAS da-
quilo que chamamos de GRANDEZA FiSICA , como o comprimento, a area, o 
volume, a temperatura, a velocidade, a forca, a energia, etc. 
As medidas das grandezas fisicas por sua vez implicam no use de UNIDA-
DES DE MEDIDA. Essa unidades sao estabelecidas em relacdo a certos pa-
drOes, e o conjunto de padrOes de medida utilizado pela comunidade cientifica 
constitui o SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, conhecido pela, si-
gla SI, que utilizaremos em todo este curso. 
0 SISTEMA INTERNACIONAL tem como unidades fundamentais o 
metro (comprimento), o quilograma (massa), o segundo (tempo), o ampere (in-
tensidade de corrente eletrica), o kelvin (temperatura termodinamica), o mol 
(quantidade de materia) e a candela (intensidade luminosa). 
S. I. 
Unidades fundamentais Simbolo 
metro m 
quilograma kg 
segundo s 
ampere A 
kelvin K 
mol mol 
candela cd 
Notas 
1. Os simbolos das unidades de medida devem sempre ser escritas em letras 
minosculas (tal como m para metro, s para segundo, kg para quilograma). 
Se o simbolo se refere a algum cientista, ou seja, é urn nome proprio, deve 
ser representado corn letra mai6scu la ( como A de Ampere ou K de Kelvin.) 
2. Quando escrito por extenso, mesmo que sejam nomes proprios, os nomes 
das unidades devem iniciar corn letras min6sculas( tal como metro, ampe-
re, kelvin, etc) 
8 	Capitulo1 • Introducao 
Direita 
• 
• 
• Algarismos significativos 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Nota: • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Que leitura voce faria para a velocidade indicada nos dois velocfmetros 
representados a seguir? 
Esquerda 
Observe que o velocfmetro da esquerda tern sua escala de medida dividida 
de 10 km /h em 10 km /h. Talvez voce pudesse ler 42 ou 43 km/h. 
Já no velocimetro da direita a escala é dividida de 1 em 1 km/h, e nesse 
caso voce talvez pudesse dizer 42,5 km /h. 
Observe que ao escrever a medida no primeiro caso voce teria certeza do 
algarismo 4 (que representa as dezenas), mas ficaria com duvida no algarismo 
das unidades (2 ou 3?). 
Porem no segundo caso voce pode ter certeza dos algarismos da dezenas 
(4) e das unidades (2), passando a chivida ou incerteza para o algarismo 5, alp& 
a virgula, que representa decimos. 
Em qualquer medida, por mais precisdo que possa ter o aparelho de medi-
da, sempre havera um algarismo no qual teremos chivida ou incerteza. Por ou-
tro lado, se a leitura de uma medida efetuada corn qualquer aparelho tiver mais 
que urn algarismo duvidoso, essa medida nao foi efetuada corretamente. 
Supondo medidas efetuadas de forma correta, todos os algarismos da me-
dida sao considerados ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS, inclusive o algaris-
mo duvidoso. 
Zeros a direita sac) algarismos significativos; zeros a esquerda nao sac). 
Ex: 7,5m — 2 algarismos significativos (7 e 5) 
7,50m — 3 algarismos significativos (7, 5 e 0) 
0,0028 kg — 2 algarismos significativos (2 e 8) 
0,00280 kg — 3 algarismos significativos (2, 8 e 0) 
Capitulo 1 • Introducao 	9 
1 Levando em conta os algarismos 
significativos, escreva a leitura da 
temperatura, em graus Celsius (°C) 
indicada no termometro ao lado. 
Notacao cientifica 
Em ciencia é usual e recomendavel escrever numeros, principalmente os 
muito grandes ou muito pequenos, utilizando a NOTAcA0 CIENTIFICA. 
Observe os exemplos a seguir: 
5 000 000 000 = 5 . 109 
853 000 000 = 8,53 . 10 8 
0,000 012 = 1,2 . 10' 
0,000 000 000 780 = 7,80 . 10' 
Medidas de intervalos de tempo 
A unidade SI de intervalo de tempo é o segundo (s). 
Para intervalos de tempo maiores que o segundo, podemos usar o minuto 
(min), a hora (h) ou o dia. 
1 min = 60s 
1 h = 60 min = 60 . 60 s = 3600 s 
1 dia = 24 h = 86 400 s 
Medidas de comprimento 
A unidade SI de comprimento é o metro (m). 
Para comprimentos maiores ou menores que o metro, podemos usar o 
quilometro (km), o centimetro (cm) ou o milimetro (mm). 
1 km = 1 000 m = 103 m 
1 cm = 0,01 m = 10-2 m 
1 mm = 0,001 m = 10-3 m 
EXERCICIOS 
• • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • 
• • • • • 
• • 
Notacao cientifica 
10 	Capftulo 1 • Introducao 
• 
Que significa SI? 
3 Como devem ser escritos os simbolos de unidades que sao nomes pro- 
•
prios? De dois exemplos. 
• 4 Usando uma regua comum, graduada em milimetros, voce seria capaz de medir a espessura da folha de papel deste livro? Em caso afirmativo, 
• calcule essa espessura. (se nao tiver nenhuma ideia, peca auxilio a seu 
professor). 
• 5 Escreva em notacao cientifica as medidas abaixo: 
•
a) 750 metros 
• b) 0,000 34 centimetros 
c) 8 950 000 segundos 
• d) 0,000 000 000 013 quilometros 
• 
• 6 Efetue 'as conversoes abaixo: 
a) 1 h em min 
• b) 1 dia em h 
• c) 1 cm em m 
• d) 1 m em mm 
• e) 2 h 20 min em s 
• • 
• I 
• • • 
S 
• 
S 
• CapRulo 1 • Introdwao 	11 
• 
• • • • • • • • • 
• • • • 
• • • 
• • • • • • • • • • • 
• • 
• • • 
• • 
Descricao de Movimentos 
Movimento e repouso 
Suponha um passageiro confortavelmente sentado numa poltrona de um 
onibus que trafega a 80 km/h em uma estrada. 
Esse passageiro esta parado ou em movimento? 
Sem pensar muito, poderiamos dizer que o passageiro esta parado, pois 
quern se movimenta de fato é o onibus. 
No entanto, vale a pena discutir um pouco mais sobre o assunto. 
Se o passageiro esta parado, por que normalmente ele nao desce do onibus, 
que esta a 80 km/h? 
Na realidade, o passageiro sabe que ele proprio esta a 80 km/h em relacao 
a estrada e que seria muito arriscado descer do onibus corn essa velocidade, 
embora ele esteja parado em relacao a poltrona ou outras partes do onibus em 
que viaja. 
Observe que o mesmo passageiro pode estar em repouso (parado) ou em 
movimento, dependendo do referencial (poltrona ou estrada) escolhido. 
Movimento e repouso sac) conceitos relativos, isto e, dependem de urn 
referencial. 
Escolhido urn referencial, para saber se urn corpo esta em repouso ou em 
movimento basta verificar se a posicao do corpo varia ou nao no decorrer do 
tempo. 
Urn corpo esta em movimento quando sua posicao em relacao a urn 
referencial varia no decorrer do tempo; caso contrario, esta em repouso. 
Observacao: Referencial pode ser um corpo ou um sistema de eixos adota-
do como referencia. 
12 	Capltulo 2 • Descrictio de Movimentos 
Observador 
na estacao 
Em movimento 
Observador no no vagao 
• • 
• 
• 
onibus nao seja tao pequeno, suas dimensOes (tamanho) sao despreziveis no 
Particula ou ponto material 
Suponha novamente urn onibus percorrendo uma estrada. Embora urn 
estudo de seu movimento ao longo da estrada. Nesta situacao, ele é considera-• 	do uma particula ou ponto material. • 	E evidente que se o onibus estiver sendo manobrado numa vaga da estacao 
• 
	
	
rodoviaria seu tamanho nao pode mais ser desprezado e, neste caso, ele nao é 
considerado uma particula. • 
• 
Particula ou ponto material é todo corpo cujas dimensOes sac) desprezi-• 	veis no estudo de urn movimento. 
• 
• 
Trajetoria 
Quando uma particula esta em movimento, podemos obter uma linha geo- • 	
metrica formada pela unido dos diversos pontos ocupados pela particula no • 	espaco, que recebe o nome de trajetoria. 
• 
• 	Trajetoria é a linha geometrica que representa o caminho descrito por uma 
particula ern movimento (movel) em relacao urn dado referencial. • 
• 
A trajetoria pode ser retilinea ou curvilinea, porem depende sempre do • 	referencial adotado. Por exemplo, analisemos a trajetoria de urn objeto abando- 
nado livremente no interior de urn vagao que apresenta movimento uniforme e • 	
retilineo em relacao a Terra, desprezando qualquer efeito do ar. • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Em relacao a urn referencial fixo no vagao, a trajetoria do objeto sera uma 
reta vertical, mas ern relacao a urn referencial fixo na Terra sua trajetoria sera 
uma linha curva (arco de parabola). 
Capffulo 2 • Descricao de Movimentos 	13 
• • • • • 
AT I • 
\ \ 
.\ 
\\`,‘," \ k1-yt.€4.1 
	
\ A \ 	\ 
t \ 	\\ 
"4 	
‘i 
"" 1'41> 1\ 	
\ 
T. N. A 	\ 
\ \I 
s4 ss 
Bonnba 
Ponto de referencia 
Obs,rvador 
Superficie da Terra 
	 4E 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Num outro exemplo, suponha a trajetoria de urn ponto marcado na extre-
midade da Mice de urn avian ern movimento. 
No referencial do 
avian, a trajetoria sera cir-
cular, mas no referencial 
da Terra a trajetoria sera 
helicoidal (tipo espiral de 
caderno). 
- m• 
‘Th):;• 
41 • 
EXERCICIOS 
1 0 predio em que se localiza sua escola esta em movimento ern relacdo a 
Terra? E em relacao ao Sol? 
2 (F.M. Santos-SP) Considere urn ponto na superficie da Terra. Podemos 
afirmar que: 
a) o ponto descreve uma trajetoria circular. 
b) o ponto esta ern repouso. 
c) o ponto descreve uma trajetoria eliptica. 
d) o ponto descreve uma trajetoria parabolica. 
e) a trajetoria descrita depende do referencial adotado. 
Um avian voando hori-
zontalmente deixa cair 
uma bomba. Desprezan-
do a resistencia do ar, es-
creva qual é a trajetoria 
da bomba: 
a) ern relacao a urn 
referencial fixo na 
Terra; 
b) em relacao a um 
referencial fixo 
no avian. 
4 Una carro em movimento sobre uma estrada plana e horizontal é acompa-
nhado por urn helicopter° que se mantern sempre acima do carro, corn a 
mesma velocidade. 
a) Em relacao ao carro, o helicopter° estaem repouso ou em movimento? 
b) Se o piloto do helicopter° deixar cair urn objeto, qual sera a trajetoria 
do movimento desse objeto? 
14 	Copaulo 2 • Descricao de Movimentos 
Onde esta a particula, isto 6, qual é a posicao da particula na trajetoria de-
senhada? 
Qual é a posicao da particula na trajetoria? 
A medida algebrica (positiva ou negativa) do segmento que vai da ori-
gem (0) ate o ponto considerado representa a posicao (ou abscissa) da parti-
cula e a representaremos pela letra S. 
Assim, na trajetoria anterior: SA = 4cm 
Verifique a seguir como se torna facil dar a posicao de uma particula em 
qualquer ponto da trajetoria. 
• 
• Movimento em uma dimensao 
• 
Como ja foi dito, trajetoria é uma linha geometrica (unidimensional) que 
• representa o caminho descrito por um movel. 
• A nao ser que se determine o contrario, consideraremos todo o estudo ini- 
• cial do movimento sobre a propria trajetoria, isto e, sobre uma linha geometri-
ca. Ern outras palavras, estudaremos o movimento em uma dimensao. 
• Por enquanto isto é muito conveniente, pois a posicao de uma particula ao 
• longo de uma trajetoria pode ser dada atraves de urn imico numero real. 
•
Posicao ao longo de uma trajetoria 
41) 	Suponha uma particula no ponto A da trajetoria desenhada abaixo, onde 
cada divisao vale 1 cm. 
• • 
Da maneira como esta, sera dificil dar uma resposta precisa, nao acha? 
Vamos entao escolher urn ponto como origem (0) e uma orientacao positiva 
para a trajetoria. 
SA 
1 
origem das 	 orientacao 
•
posicoes 	 positiva 
S 
S 
S 
S • 
• _1 	 1 
•
2 	3 	4 	5 	6 
•
SA = 4 cm SB = -2 cm Sc = 0 SD = 6 cm 
• 
• 
SO 
• 
S 
• 
Capitulo 2 • Descrictio de Movimentos 	15 
origem das 
posicoes 
• 
• 
S 
• e 	• 
• 
• • 
• 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Velocidade media 
Considere uma particula em movimento na trajetoria esquematizada a se-
guir e ocupando as posicOes indicadas em cada instante. 
(t 1 ) 
S 2 
No instante inicial t 1 , a posicao inicial 
No instante final t2, a posicao final é S2. 
0 intervalo de tempo (At) decorrido é a diferenca entre o instante final (t 2 ) 
e o instante inicial (t 1 ). 
At = t2 — t i 
A variacao de posicao (AS) e a diferenca entre a posicao final (S 2) e a 
posicao inicial (S 1 ). 
AS = S 2 — S 1 
A velocidade media (Vm) e o quociente entre a variacao de posicao (AS) e 
o correspondente intervalo de tempo (At). 
AS 	 S — S 1 V — 	ou 	vm = 2 
m 	At 	 t2 — t 1 
As unidades de medida de velocidade sao as unidades de comprimento 
(metro, quilometro, centimetro, etc.) divididas pelas unidades de tempo (se-
gundo, hora, minuto, etc.). No SI a unidade de velocidade é o metro por segun-
do (m/s), embora se use frequentemente o quilometro por hora (km/h). 
Velocidade instantanea 
Velocidade instantanea significa velocidade num dado instante e nao num 
intervalo de tempo. 
0 velocimetro dos automoveis é 
urn aparelho que permite medir a 
velocidade instantanea, pois, a qual-
quer momento em que se queira sa-
ber a velocidade do carro, basta 
olhar a indicacao do ponteiro. 
16 	Capffulo 2 • Desoicao de Movimentos 
( t ) 
B 	 C 
(t,= 0) 
A 
It o = 4s) (t B = 2s) 	 (t c = 3s) 
(metros) 
• • • • • • • 
• x 3 , 6 4 km/h 
• :3,6 
• Sinai da velocidade • • 
• • • • 
• EXEMPLOS • 
Geralmente, a indicacao dos velocimetros e dada em km/h. Para se trans-
formar km/h para m/s, basta lembrar o seguinte: 
1 km = 1.000 m 
1 h = 60 min
.} h = 3.600 s 
1 min = 60 s 
1 km 	1.000 m 1 	= 	m/s 
S 
S 
• 
S 
• 
• 
h 	3.600 s 	3,6 
Portanto, vale o esquema de transformacao a seguir: 
m/ s 
O sinal da velocidade esta relacionado corn o sentido de movimento do 
ponto material: 
• A velocidade é positiva quando a particula se move no sentido dos es-
pacos crescentes. Nesse caso, o movimento é chamado progressivo. 
• A velocidade é negativa quando a particula se move no sentido dos es-
pacos decrescentes. Nesse caso, o movimento é chamado retrogrado. 
	
v > o 	 v < 0 
	
progressivo 	 retrogrado 
✓ IJma particula em movimento sobre a trajetoria abaixo ocupa sucessiva-
mente as posicoes A, B, C e D, nos instantes de tempo indicados. Deter-
mine a velocidade media: 
a) entre A e B 
inicio tA = 0 	SA = — 4 m 
final t B = 2s 	SB = 0 
	} 
V = 	 = V,,, 	At 	2 — 0 	2 
V, = 2 m/s 
AS 	0—(-4) 	4 
• b) entre B e C 
inicio tB = 2s = SB = 0 
• final tc = 3s Sc = 5 m 
• c) entre C e D 
inicio tc = 3s = Sc = 5 m 
• final t
r, = 4s S1) = 2 m 
• • 
V = 
	
AS 	5 - 0 	5 
= 
	
m At 	3 - 2 J 
 - 
1 
Vm = 5 m/s 
AS _ 2 - 5 	-3 
	
Vm At 	4 - 3 	1 
Vm = - 3 m/s 
Capitulo 2 • Descricoo de Movimentos 	17 
• •
 • •
 • •
 • •
 • •
 • •
 • •
 • 
• • 
• 
• • 
• 
S • • • 
• • • • • • • 
VA posicao de urn move' pode ser dada atraves de urn grafico (ou diagra- 
ma) da posicao (eixo vertical) em fungao do tempo (eixo horizontal). 
Corn base no grafico ao lado, deter-
mine as velocidades medias entre A e B, 
entre B e C, entre CeD e entre A e D. 
Do grafico: 	 30 
em A = tA = 0 = SA =10m 
20 
em B = tB = 2s 	SB = 20 m 
em C = tc = 4s = Sc = 30 m 	lo 	 
em D = t ip = 6s = SD = 10 M 
entre A e B 
V = 	= AS 	
S
B 	
— S
A 	20 	—10 	10 V , 	 = 5 m/s 
	
At 	tB — tA 	2 — 0 	2 	
m 
entre B e C 
	
AS 	Sc — SB 	30 	— 20 	10 
V — 	 V = 5 m/s 
m 	At 	tc — tB 	4 — 2 	2 	
m 
 
entre C e D 
	
AS 	S — S _ 10 — 30 	—20 
V = 
	= D 	 Vm = -10 M/S 
m 	At 	— tc 	6 — 4 	2 
entre A e D 
v _ AS _ SD — SA 	10 —10 Vm = 0 
m 	At 	tr) — tA 	6 — 0 
VUm movel tern velocidade de 72 km/h. Quanto vale essa velocidade 
em m/s? 
V= 72— 20 
	
V = 20 m/s 
3,6 
VEm urn determinado instante, a velocidade de uma motocicleta é de 
30 m/s. Que valor indica o velocimetro da moto? 
V = 30 . 3,6 = 108 	V = 108 km/h 
VUm automovel faz uma viagem de 240 km. Metade do percurso é feita 
corn velocidade media de 60 km/h e a outra metade, corn velocidade 
media de 40 km/h. Qual foi sua velocidade media no percurso todo? 
14 	 
240 km 
 
18 	Capitulo 2 ♦ Descrictio de Movimentos 
S( m) 
t ( s) 
120 km 
	
120 km 
60 km/h 
	
40 km/h 
( 1 a parte) 
	
(2' parte) 
C 
-5 	0 	5 
25 
D 
• • 
1 a parte: AS = 120 km1 	AS 	120 
• Vm = 60 km/hf At, — V 	60 
— 	— 2 h 
•
n, 
• } 
2 a parte: AS = 120 km 	At — AS . 120 _ 3 h 
Vm = 40 km/h 	2 V 	40 
• m 
Attotal = 
• 
• V =
AS 	240 km 
— 48 km/h 
	
 — 		 
m AtTotal 	5 h 
• 
• EXERCICIOS 
Vm = 48 km/h 
• 5 De a posiedo da particula em cada urn dos pontos indicados na trajetoria 
•
abaixo. 
A 
30 (m) 
6 A posiedo de uma particula em furled° do tempo é dada pela tabela: 
A B C D E 
X(m) —10 0 30 40 10 
t(s) 0 2 4 6 8 
Determine a velocidade media da particula: 
• a) entre A e B; 	b) entre B e C; 	c) entre C e D; 
1111 	7 0 grafico ao lado mostra como s(m) 
varia a posited° de um movel 
em funedo do tempo. 	 B 
• Determine a velocidade media 	
120 1 
1 80 
III 	entre: 40 	I 
a) A e B; 	 0 A 1 I 	D 
• b) B e C; 	 0 1 2 3 4 5 6 7 
• C) C e D ; 
c) A e D. 
• 
•
8 No exercicio anterior, que tipo de movimento (progressivo ou retrogrado) 
o move! realiza: 
• a) entre A e B? 	b) entre C e D? 
• 9 Transforme em m/s: a) 36 km/h; b) 54 km/h; c) 90 km/h. 
• 10 Transforme em km/h: a) 5 m/s; b) 35 m/ s; c) 100 m/s. 
• Capitulo 2 • Descristio de Movimentos 	19 
• 
Atl +At2 = 2 h+ 3 h= 5 h 
• 
• • • • • • • 
d) entre A e E. 
t(s) 
• • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
tir 
• 
• 
• 
• 
•
 • 
• 
0
 • 
• 
0 
• • 
• 
• 
• 
20 cm 
B 
Uma formiga percorre a trajetoria 
ao lado indo do ponto A ate o ponto 
B e depois voltando ao ponto A. A 
distancia efetivamente percorrida e 
a variacao de posicao da formiga va-
lem, respectivamente: 
a) zero e 20 cm 
	
b) 20 cm e 20 cm 
c) 40 cm e zero 
	
d) 40 cm e 20 cm 
0 tempo medio de urn atleta olimpico para a corrida de 100 m rasos é de 
10 s. A velocidade media desse atleta, em km/h, é de, aproximadamente: 
a) 12b) 24 	c) 36 	d) 48 	e) 60 
(ITA-SP) Urn motorista deseja percorrer a distancia de 20 km corn a velo-
cidade media de 80 km /h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos corn 
velocidade media de 40 km/h, corn que velocidade devera fazer o percur-
so restante? 
Aceleractio media 
Quando a velocidade de uma particula em movimento varia no decorrer 
do tempo, dizemos que ele apresenta aceleracao. 
Suponha a situacao indicada na trajetciria abaixo. 
v, 
No instante inicial t 1, a velocidade inicial é V 1 . 
No instante final t2, a velocidade final é V2. 
No intervalo de tempo At = t 2 — t 1, ocorre uma variacao de velocidade 
AV = V2 — V1. 
A aceleracao media (am) é o quociente entre a variacao de velocidade (AV) 
e o correspondente intervalo de tempo (At). 
AV 	 V2 — V 1 
a = 	OU 	a m = 
m 	At 	 m 	t2 — t i 
As unidades de medida de aceleracao sao as unidades de velocidade (m / s, 
km/h, cm/ s) divididas pelas unidades de tempo (segundo, hora, minuto, etc.). 
No SI a unidade de aceleracao sera 
m/s ou m/ s2 (metros por segundo ao quadrado). 
s 
 
20 	Capftulo 2 • Descricoo de Movimentos 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• b) entre B e C 
• inicio tB = 5s = VB = 50 m/s 
•
final tc = 6s = Vc = 80 m/ s 
Determine a aceleracao media: 
a) entre A e B 
inicio to = 2s 	VA = 20 m/s 
final tB = 5s = VB = 50 m/s 
AV 50 — 20 30 
am — 
	— 
	= 	 am = 10 m/s2 
At 	5 — 2 	3 
C 
(6s) 
D 
(10s) 
•
inicio tc = 6s = Vc = 80 m/s 
final -ID = 10s = VD = 60 m/s • • AV 60 — 80 —20 am — 	— 	 am = — 5 m/s2 At 	10-6 	4 
• 
• 
• EXEMPLOS • • 
•
20 m/s 
• 
50 m/s 
60 m/s 
80 m/s 
Considere urn move' sucessivamente nas posicoes A, B, C e D, nos ins-
tantes de tempo indicados e corn suas respectivas velocidades. 
• a _ ,Av 80 — 50 — 30 
am = 30 m/ s 2 
•
m 
At 	6 — 5 	1 
• c) entre C e D 
S 
•
0/Determine a aceleracao 
media do movel cuja ye- 
• locidade instantanea va- 
•
ria de acordo corn o dia-
grama ao lado, entre 0 e 
• 10 s. 
t 1 = 0 = V1 =50m/s 
t2 = 10s = V2 = 0 
AV 	0 — 50 	—50 
am — 	= 	— 
At 	10 — 0 	10 
• 
• 
• 
• 
• • 
V(m/s) 
50 
0 
 
 
0 
 
am = — 5 m/s2 
(5s) 0 	(2s) 
Capitulo 2 ♦ Descricao de Movimentos 	21 
acelerado 	V aumenta 
• • • • • • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
EXERCICIOS 
14 Determine a aceleracao media da particula que ocupa, nos instantes indi-
cados, as posicoes A, B e C da trajetaria desenhada abaixo: 
a) entre A e B; 	b) entre B e C. 
5 Qual e o intervalo de tempo necessario para que um movel cuja acelera-
cao media é igual a 5 m / s 2 sofra uma variacao de velocidade de 25m/ s? 
Um move! parte do repouso e atinge a velocidade de 10m/ s em 5s. Qual é 
a aceleracao media do movel nesse intervalo de tempo? 
17 A velocidade de uma lancha em fun-
cao do tempo obedece ao grafico ao 
lado. Determine a aceleracao media 
da lancha entre 0 e 5s. 
I 
	• 
2 	3 
	
5 Us) 
Aceleracao instantanea 
A aceleracao instantanea é a grandeza que mede a rapidez com que a velo-
cidade varia num dado instante, isto é, a aceleracao instantanea é a aceleracao 
medida num determinado instante e nao num intervalo de tempo. 
Movimento acelerado e retardado 
Urn movimento é acelerado quando a velocidade instantanea aumenta em 
valor absoluto no decorrer do tempo. 
Urn movimento é retardado quando a velocidade instantanea diminui em 
valor absoluto no decorrer do tempo. 
retardado 	V I diminui 
22 	Capltulo 2 • Descricao de Movimentos 
♦ V(m /s ) 
15 
• 
• Como tanto a velocidade quanto a aceleracao podem ser positivas ou nega-
tivas, é necessario o maxim() cuidado ao se caracterizar um movimento como 
•
acelerado ou retardado. 
A maneira mais pratica é verificar o sinal (ou o sentido) tanto da velocida- 
• de quanto da aceleracao. 
• movimento acelerado 	aceleracao e velocidade tem o mesmo sinal 
• (mesmo sentido) • 
1110 movimento retardado 	aceleracao e velocidade tem sinais contrarios (sentidos contrarios) 
• 
• EXEMPLO 
✓Nos casos a seguir classifique o movimento do veiculo no intervalo de 
• tempo fornecido. 
1° caso: 
V 1 = 1 Om/s V2 = 40m/s 
611111 61.81 
(t 1 = 2s) 	 (t2 = 5s) 
} acelerado 
movimento progressivo —p 	V > 0 
AV 	40 – 10 	 ---1. = +10 	 0 am 	 m/s2 a > 
At 	5 – 2 
2- 2̀ caso: 
V 7 = 50m/s 
-10- 
V2 = 1 OM/S 
-1.- 0 
4iiit. 4.0 ► 
(t, = 0) (t2 = 2s) 
V > 0 movimento progressivo —. 
_ AV 	10 – 50 – 	20 a 	= 	 m/ s2 m —. 	0 a < 
} retardado 
At 	2 – 0 
32 caso: 
V2 = -30m/s V 1 = -20m/s 
4-- 0 41--- 
ea* 014 
•
(t2 = 7s) 	= 5s) 
•
movimento retrogrado 	 V < 0 
acelerado 
a 	AV 	–30 – (-20) = 5 m/ s2 
At 	2 – 0 	
• 	
a < 0 
• m = 	= 
• 
Observe que a aceleracao pode ser negativa e o movimento ser acelerado. 
• 
• Capitol° 2 ♦ Descrictio de Movimentos 	23 • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
41 
• • 
• 
• 
4° caso: 	 • 
0 
	
4111.6, 	 41111i■ 	 • 
	
= 7s) 	 (t, = 2s) 
• • • 
410 
EPCiCIOS 	 • 
• 
• 
I ) v = 20 m/s 	 11111 
IV) V = —50 m/s 
a = —7 m/s 2 	 • 
Uma particula move-se em trajetoria retilinea com aceleracao constante 	• 
de 5 m/ s2 . Isto significa que ern cada segundo: 	 • 
a) sua posicao varia de 5 m. 
b) sua velocidade varia de 5 m/ s. 	 • 
c) sua aceleracao varia de 5 m/s 2 . 
d) seu movimento muda de sentido. 
e) sua velocidade nao varia. 	 • 
Num dado instante, o movimento de urn move' é acelerado. Pode-se afir- • 
mar que nesse instante: 
a) a velocidade é positiva. 
• b) a aceleracao é positiva. 
c) a velocidade e a aceleracao tem sinais contrarios. 
d) a velocidade e a aceleracao tem o mesmo sinal. 
e) seu movimento é progressivo. 	 • 
Urn certo tipo de foguete, partindo do repouso, atinge a velocidade de 	
• 
12 km/ s apps 36 s. Qual a aceleracao media, em km/ s 2, nesse intervalo de 	• 
tempo? 
• 
a) zero 	b) 3 	c) 1/ 2 	d) 1/3 	e) 2 
• 
• 
• 
V2 =.-20m/s 	V, = —40m/s 	 • 
movimento retrogrado 	 V < 0 
AV 	—20 — (-40) am = 	— 	 — +4 m/ s 2 	a > 0 
At 	7 — 2 
} retardado 
Em cada um dos casos a seguir sao dados os valores instantaneos da velo-
cidade e da aceleracdo de uma particula. Para cada caso, escreva se o mo-
vimento é acelerado ou retardado. 
a = 10 m/s 2 	 • 
II) V = —10 m/s 
• a = 5 m/s2 
III) V = 8 m/s 
a = —3 m/s 2 
• 
24 	Capitol° 2 • Descrictio de Movimentos 
Considere urn move' em movimento uniforme na trajetoria esquematizada 
a seguir: 
(t) 
	
0 
S 
• 
• 
• 
• • Movimento Uniforme 
• Se urn ponto material em movimento (geralmente denominado "moven 
• apresenta uma velocidade constante no decorrer do tempo, diremos que ele 
executa urn movimento uniforme (MU). 
Nessas condicoes a velocidade em qualquer instante apresenta o mesmo 
• valor que a velocidade media, ou seja: 
• Vm = V •=> MOVIMENTO UNIFORME (M.U.) • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• Funciso horaria do MU • 
No instante inicial t o = 0, a posicao inicial e So . 
No instante final t, a posicao final é S. 
A velocidade media nesse intervalo de tempo sera: 
• Vm 
 AS 	S Se 	Vm 
 = S — S0 	
— So = V . t 
	
 At 	t — 0 
• 
• S = So + V . t 	(funcao horaria do MU.) 
• onde So e V sdo constantes (V # 0) e S e t sao variaveis, isto é, a cada valor de t 
• existe um correspondente valor de S. 
• Capitulo 3 • Movimento Uniforme 	25 
• 
• •
 0 •
 • •
 • 
EXEMPLOS 
✓ Urn movel realiza urn movimento que obedece a funcao: 
S = –20 + 5 . t (SI) 
a) Qual é a posicao inicial (S o) e a velocidade (V) do movel? 
S= So +V.t 1 S0 =-20m 
S= –20 + 5 .t J V= 5 m/s 
b) Qual é a posicao do movel nos instantes 0, 1 s, 2 s, 3 s, 4 s e 5 s? 
t = 0 = 
t = 1s 
t = 2s 
t = 3s 
t = 4s 
t = 5s 
c) Ern que instante o movel passa pela origem das posicoes (S = 0)? 
S = –20 + 5 . 0 = –20 + 0 = –20 m 
S = –20 + 5 . 1 = –20 + 5 = –15 m 
S = –20 + 5 . 2 = –20 + 10 = –10 m 
S = –20 + 5 . 3 = –20 + 15 = – 5m 
S = –20 + 5 . 4 = –20 + 20 = 0 m 
S = –20 + 5 . 5 = –20 + 25 = + 5m 
• 
• • • 
• 
• • • 
• • • • • 
• • • • • 
• • 
• • • 
• 
• • • 
• • • 
• • • • 
Do item anterior -- ■ S = 0 = t = 4s 
✓ Urn movel em movimento uniforme parte da posicao 100 m e 3 s depois 
passa pela posicao 70 m. Pedem-se: 
a) a velocidade do movel: 
t = 0 =So =100m 
t = 3s S = 70m 
S – So _ 70 – 100 	–30 
V = = 	 V = –10 m/s 
t 3 – 0 	3 
b) a fungdo horaria das posicoes. 
So = 100 m 	S = So + 	t 
V = –10 m/s 	S = 100 – 10 t (SI) 
c) o movimento é progressivo ou retrogrado? 
0 movimento é retrogrado, pois a velocidade é negativa (V = –10 m/s). 
EXERCiCIOS 
1 A funcao horaria das posicoes de urn movel é: 
S = 30 + 5 . t (S —■ m, t 	s) 
Determine: 
a) a posicao inicial e a velocidade; 
b) a posicao no instante t = 5 s; 
c) o instante ern que a posicao é S = 80 m. 
26 	Capaulo 3 • Movimento Uniforme 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• •
 • 
• •
 0 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
2 A funcao horaria que cld a posicao de uma particula em funcao do 
tempo é: 
S = —50 + 10 . t (SI) 
a) Determine o instante em que a particula passa pela origem das posicoes. 
b) Complete a tabela abaixo. 
S(m) 
t(s) 
	
0 
	
1 
	
2 
	
3 
	
4 
	
5 
Grisficos do movimento uniforme 
Grafico da aceleracao (aceleracao x tempo) 
V = cte (#0) —■ a = 0 
reta coincidente corn o eixo dos tempos 
A a 
0 
0 	 t 
Grafico da velocidade (velocidade x tempo) 
V = cte (#0) 	reta paralela ao eixo dos tempos 
✓ > 0 	reta paralela acima do eixo dos tempos 
✓ < 	rela paralela abaixo do eixo dos tempos 
A V 
V > 0 
0 
0 
	
t 
V < 0 
Grafico da posicao (posicao x tempo) 
MU —÷ S = S o + V . t 	funcao do 1c2 grau 
reta inclinada em relacao ao eixo dos tempos 
✓ > 0 	reta inclinada para cima (crescente) 
✓ < 0 	rela inclinada para baixo (decrescente) 
Capltulo 3 • Movimento Uniforme 	27 
0 
0 
	
t 
• 
• • • 
• • • • • • 
• S • 
• • • 
• • 
• • 
• • • 
• • • • 
• • 
• • 
• • • 
Importante: As funcoes horarias ou os graficos nada informam sobre a tra-
jetoria. 
Em outras palavras, nao é porque urn grafico de urn movimento é uma reta 
que o movimento sera retilineo. 0 fato de o grafico ser uma reta apenas indica 
que a funcao horaria é constante ou do IQ grau. 
EXEMPLO ► 
viUma particula em MU obedece a fling -do: 
S = 10 — 5 . t (SI) 
a) construa o grafico da posicdo correspondente, do instante t = 0 ate o 
instante t = 4 s. 
t = 0 	S = 10 — 5 . 0 = 10 — 0 = 10m 
t=1sS= 10-5 .1 =10-5 = 5m 
t = 2s 	S= 10 — 5 . 2 = 10 — 10 = Om. 
t=3s= S = 10 — 5 . 3 = 10 — 15 = — 5m 
t = 4s 	S = 10 — 5 . 4 = 10 — 20 = —10 m 
Colocando os valores obtidos em uma tabela: 
S(m) 10 5 0 —5 —10 
t(s) 0 1 2 3 4 
Levando esses valores para o grafico: 	
10• S(m) 
5— - 
0 
	
I 	̀,4 
	
0 1 	2\ t(s) 
-5 
10 
b) construa o grafico da velocidade. 	A V(m/s) 
S = 	51. t V = —5 m/s (cte) 	0 	 ► 
S = So ft 	t 	 0 1 	2 	4 t(s) 
c) construa o grafico da aceleracdo. 	a(m/s2 ) 
V = —5 m/s (cte) --0 a = 0 
t(s) 
28 	Capftulo 3 • Movimento Uniforme 
0 	 
0 1 	2 	3 	4 
• • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
O grafico das posicoes de urn 'novel no decorrer do tempo é dado a seguir: 
S (m ) 
30 	 
Determine: 
a) a posicao inicial: 
Do grafico = t = 0 
	
So = —10 m 
b) o instante em que o movel passa pela origem das posicOes: 
Do grafico = S = 0 = 	t = 2 s 
c) a velocidade do movel: 
t1 = 0 = S1 =-10m 
t2 = 8s 	S2 — 30 m 
30 — (-10) _ 30 + 10 	40 
8 — 0 	8 	8 
d) a funcao horaria das posicoes: 
S = So + V . t = 	S = —10 + 5 . t 	(SI) 
/Dols carros A e B partem simultaneamente das posicoes indicadas na 
figura, com velocidades constantes. 
A --I" 	 B --1" 0 0 41110 	 4rae■ 	. 
i 	 20 km 1 
I. 1 
 , 	 100 km 	1 .-1 
a) Qual é o instante em que ocorrera a ultrapassagem do carro A pelo B? 
Na ultrapassagem, os dois carros estardo na mesma posicao, isto é: 
} So = 20 km 	SA = So + V . t 
carro A 
0 
4 	fi 	8 t(s) 
- 10 T 
V(MU) =5 = V = 5 m/s 
V = 80 km/h 	SA = 20 + 80 . t 
• 
• carro B 	
So = 100 km } SB=So+V.t 
V = 60 km/h 	SB = 100 ± 60 .t 
• 
• SA 	SB 
• SA = SB = 20+ 80 . t = 100 + 60 . t 
	t = 4 h 
• CapItulo 3 • Movimento Uniforme 	29 
ID 
0 12 13 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
b) A que distancia da origem ocorrera a ultrapassagem? 
Substituindo-se o tempo encontrado numa das duas funcOes obtidas 
obtem-se: 
SA = 20 + 80 . 4 = 340 km ou SB = 100 ± 60 . 4 = 340 km 
A ultrapassard B a 340 km da origem dos espacos. 
V A posicao de urn move' varia no decurso do tempo de acordo corn o 
grafico abaixo. Determine: 
• S ( m ) 
20 
10 
	• 
t(s) 
-20 	 
a) qual é a posicao inicial do movel? 
t = 0 = S = So = 10 m 
b) em que intervalo(s) de tempo(s) o movel apresentou movimento pro-
gressivo? 
de 0 a 2 sede 9 sa 13 s 
c) em que instantes o move! passou pela origem dos espacos? 
no instante t = 7 s e no instante t = 13 s. 
d) qual é a velocidade do movel no instante t = 1 s? 
no instante t =1 s sua velocidade é igual a velocidade media entre 0 e 2 s: 
t=1 s = V=Vm = 	= 
AS 20 – 10 
= —
10 
 = 5 m/s 
I 	I At 	2 – 0 	2 
0 2s 
e) qual é a velocidade do movel no instante t = 8 s? 
no instante t= 8 s sua velocidade é igual a velocidade media entre 5 s e 9 s: 
	
AS –20-20 	40 
t=8s 	V=V – 	– 	– 10 m/s 
	
m I At 	9 – 5 	4 
5s 9s 
tif No grafico abaixo, determine a variacao de espaco do 'novel no intervalo 
de 0 s a 10 s. 
• v (m/s) 
V=V AS – 	 As = V . At m
At 
30 	Capffulo 3 • Movimento Unifo► ne 
As = 2 . 10 = 20 m 
2 
	• 
0 
	
10 
	
Vs) 
• • 
EXERCiCIOS 
• 3 A funcao horaria das posicoes de urn movel e: 
•
S = —50 + 2 . t (SI) 
Construa os graficos da posicao, da velocidade e da aceleracao. 4111 
•
4 Repita o exercicio anterior para a funcao: 
S = 18 — 6 . t (SI) 410 • • • • • • • • • 1110 
5 0 grafico da posicao em funcao do tempo para um movel em MU é dado 
a seguir: 
Determine: 
a) a posicao inicial do movel; 
b) a velocidade do movel; 
c) a funcao horaria das posicoes do movel; 
d) o grafico da velocidade; 
e) o grafico da aceleracao. 
Testes 7 e 8 — Dois moveis, A e B, percorrem uma trajetoria retilinea con- 
•
forme as equagoes horarias SA = 30 + 20 t e S B = 90 — 10 t, sendo a posicao 
S em metros e o tempo t em segundos. 
Copffulo 3 ♦ Movimento Uniforme 	31 
S(m) 
60 
40 
20 
	
0 	 
0 2 	4 
- 20 - 
- 40 	 
1 10 
	
Vs
▪ 
) 
• 
6 (UFMG) Duas esferas se movem em linha reta e corn velocidades constan- 
• tes ao longo de uma regua centimetrada. Na figura estao indicadas as 
•
velocidades das esferas e as posicOes que ocupavam num certo instante. 
• 	5 cm/s 	 3 cm/s 
410 
	
0 	 0- 	 
•
9 
I 	
10 11 12 	13 	14 	15 	16 	17 	18 	19 
I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	
20 	21 	22 
	
I 	I I 	I 	I 
1110 	As esferas irao colidir na posicao correspondente a: 
• a) 15 cm 	b) 17 cm 	c) 18 cm 	d) 20 cm 	e) 22 cm 
• 7 No instante t = 0 s, a distancia entre os moveis, em metros, era: 
• a) 30 	b) 50 	c) 60 	d) 80 	e) 120 
• 8 0 instante de encontro dos dois moveis, em segundos, foi: 
• a) 1 	b) 2 	c) 3 	d) 4 	e) 5 
• 
• 
a) zero e 40 m/s b) 10 m/s e 5 m/s c) 5 m/s e zero d) —10 m/s e zero 
No grafico ao lado tem-se os 	S(km) 
dados obtidos durante o movi-
mento de dois carros A e B. A 
velocidade do carro A é: 
a) maior que a do carro B. 
b) menor que a do carro B. 
c) igual a do carro B. 
d) nada se pode concluir sobre a velocidade a dos carros. 
t(h) 
• 
• • 
Vs) 	• 
9 (Fuvest-SP) 0 grafico representa a 
posicao de urna particula, em mo- 
vimento retilineo, como funcao do 
tempo. 
	 2 
Assinale a alternativa correta: 
a) Entre 0 s e 10 s a aceleracao vale 
0,1 m/s2 . 
b) Entre 10 s e 20 s a velocidade é 0,3 m/ s. 
c) No instante t = 15 s a velocidade é 0,2 m/ s. 
d) Entre 0 s e 20 s a velocidade media é 0,05 m/s. 
e) Entre 0 s e 30 s a velocidade media é 0,1 m/ s. 
figura representa a distancia per- 
(E.E. Sao Carlos-SP) 0 grafico da 
40 
50 
corrida por um homem em funcao 	 30 
20 do tempo. Qual o valor da veloci- 10 
dade do homem quando: 
a) t = 5 s 	b) t = 20 s 
Os valoresdas velocidades dos moveis cujas funcoes horarias estao re-
presentadas nos graficos abaixo sao, respectivamente: 
A S(m) 
S( m) 
10 
S(m) 
20 30 • 
• 
• 
• 
• 
A S(m) 
20 
0 
2 	 t(s) 
	 0 	 t(s) 
0 	10 	20 
	
30 	t(s) 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
20 
S(m) 
t(s) 
• • • • • • • 
20 
0 
0 
Um movel percorre uma trajetoria retilinea obedecendo a equacao horaria: 
S = 3 . t + 6 (SI) 	 • 
• A velocidade media entre os instantes t=1set=5s vale: 
a) 1 m/s 	b) 2m/s 	c) 3 m/s 	d) 6m/s 
14 0 grafico ao lado mostra como 
varia a posicao de um movel 
corn o tempo. Sua funcao hora-
ria das posicoes no SI é: 
a) S = 
b) S = 
20 — 10 . t 
—20 + 10 . t 
c) S = —20 
d) S = —20 
+ 20 . t 
+ 40 . t -20 
32 	Capftlo 3 • Movimento Uniforme 
• • 
I Movimento 
• - i Uniformemente Variado • 
• Se urn movel apresenta aceleracao constante no decorrer do tempo, dire- 
• mos que ele executa urn movimento uniformemente variado (MUV). 
• Nessas condicoes a aceleracao em qualquer instante apresenta o mesmo 
valor que a aceleracao media, ou seja: 
• 
• am = a <=, MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.U.V.) • 
Funsoes horcirias do M.U.V. • 
Considere urn movel em MUV na trajetoria esquematizada a seguir. 
• 
• va 
(t) • 
• No instante inicial t o, a velocidade inicial é V o . 
• No instante t, a velocidade é V. 
• A aceleracao media nesse intervalo de tempo sera: 
• AV V — Vo V — V0 	V — Vo am — 	— a 
At 	t — 0 
• = V — Vo = a . t = 	V = Vo + a . t 	(funcao horaria das 
velocidades do MUV) • 
•
onde Vo e a sao constantes (a # 0) e V e t sac) variaveis, isto e, para cada valor de 
t existe um correspondente valor de V. 
• Pode se demonstrar que no MUV a posicao varia no decorrer do tempo de 
• acordo corn a funcao: 
S = So + Vo . t + 
2 a 
 . t2 	(funcao horaria das posicoes do MUV) 
• 
• onde So (posicao inicial), Vo (velocidade inicial) e a (aceleracao) sao constantes 
(a # 0). 
• Note que a funcao horaria das posicoes do MUV é do 2c- 3- grau. • 	 Capital° 4 • Movimento Uniformemente Varied° 	33 • 
• 
• • • 
• • • • 
• • • • • 
• • 
• • • • 
• 
• 
• 
• • • • 
• • 
• 
• • • • 
Resumindo, no M.U.V. 
S = So + Vo + 	.t2 
2 
V = Vo + a . t 
a = am = cte 0) 
EXEMPLOS 
✓Dadas as funcOes horarias das posicOes de urn movel em MUV no Sistema 
Internacional de Unidades, determine S o, Vo e a e escreva as funcOes bora-
rias das velocidades correspondentes. 
a) S = —10 + 5 . t + 3 . t 2 (S.I.) 
S = —10 I, + 1, 5 !. t + 	3 ;. t2 
I 	I 	I 	1 	a 
S= 	So i+iVo i.t+i 	'.t2 11 	2 1 
So = —10 m 
Vo = 5 m/s 
a 
2 =3 	a = 6 m/s 2 
V=Vo +a.t = V=5 + 6 .t (SI) 
	
b) S = 7 — 20 . 	(S.I.) 
S .1 71+' 	 t + (-20)!. t2 , 
S = 
 c, 	1, 7 	a 	t2 
D-1D0I+IV0I.t+1 	 
	
I 	I 	1 	I 	1 	2 	I 
V = Vo + a . 	V = —40 . t (SI) 
C) S 	t + t2 
- 
	
S = 	0 	+ +1 • t + 	1 
	
I 	I 	I 	I 	I 	a 
 S=IS1+1Vl.t+1 
t2 
1.t2 
= 0 M 
VO = +1 
a = 1 
S 
a= 2 m/s 2 0 	o 	1 
L-J 	 L-J 2 
V = Vo + a . 	V = —1 + 2 . t (SI) 
d) S = — 2 . t2 (S.I.) 
S 	0 1 + 1 0 1 . t 	1 (-2)! r2 
II 
	 Vo = 0 
So = 0 
a I 2 
S = I So + _ . 1 — I. t 	 = —2 = a = —4 m/s 2 2 	2 L-J 	 L-J 
V = Vo + a . t = V = 0 + (-4) . t = V = —4 . t (SI) 
34 	Capltulo 4 ♦ Movimento Uniformemente Variado 
So = 7 m 
Vo = 0 
a 	= —20 = a = —40 m/s 2 
2 
• 
• • 	%/Urn move' varia sua posicao no decorrer do tempo, obedecendo a funcao: 
S = 9 + 3 . t - 2 . t 2 (no SI) • 	Determine: • 	a) a funcao horaria das velocidades 
	
S =1 9 1+ 1 31 . t +1(- 2) 11 . t2 	a 
• 	 = -2 = a = -4 m/s2 2 
• 
111 
•
b) a posicao e a velocidade do 'novel em t = 5 s 
• S = 9 + 3 . 5 - 2 . 5 2 = 9 + 15 - 50 	S = -26 m • 
•
V = 3 - 4 . 5 = 3 - 20 	V = -17 m/s 
• ✓ Um 'novel tem velocidade inicial de 40 m/s. Apos 5 s, sua velocidade é de 
• 30 m/s e a aceleracao é constante 
• a) Qual o valor da aceleracao? 
• MUV a = am = AV = 30 - 40 = -10 	 = 2 = a = -2 m/s2 
•
At 	5 	5 
• b) Qual a equacao das velocidades? 
• v = vo + a . t = V = 40 - 2 . t (SI) 
• 
•
c) Qual o instante em que a velocidade se anula? 
• V = 0 = 0 = 40 - 2 . t = 2 . t = 40 	t = 20 s • 
•
A equacao das velocidades de urn, movel é: 
V = 30 - 5 . t (no SI) 
a) No instante t = 3 s, o movimento é acelerado ou retardado? • 
• 
• 
111 	S = So + Vo . t + a . 	So = 9 m 
• 
2 	Vo = 3 m/s 
V=Vo +a.t = V= 3 -4 .t (SI) 
V = 301- 51. t 
V=Vol L+alJ .t 
t = 3 s = V = 30 - 5 
a = -5 m/s2 (cte) 
. 3 = V = 15 m/s = 
a<0 
V > 0 
retardado 
Capftulo 4 • Movimento Unifmmemente Variado 	35 • 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• • 
• • • • 
• • 
• • 
• • • • 
• • 
• 
• 
• • 
b) em que instante o movel muda o sentido de movimento? 
Isto ocorre quando a velocidade se anula. 
V = 30 — 5 t 
0 = 30 — 5 t 
5 t = 30 
	
t = 6 s 
EXERCICIOS 
A velocidade de urn movel obedece a func -do: 
V = 20 — 5 . t (SI) 
a) Qual o valor da velocidade inicial e da aceleracdo? 
b) Qual o valor da velocidade em t = 10 s? 
c) Em t = 10 s, o movimento é acelerado ou retardado? 
2 A posic -do de urn move' varia de acordo corn a tune -do: 
S = 42 — 20 . t + 2 . t 2 (SI) 
Pedem-se: 
a) So, Vo e a; 
b) a func -do hordria das velocidades; 
c) o instante em que a velocidade se anula; 
d) a posiedo no instante t = 4 s. 
3 Um movel parte do repouso (V o = 0) e atinge a velocidade de 20 m/ s em 
5 s. Sendo a aceleracdo constante, determine: 
a) a aceleracdo do movel; 
b) a equac -do das velocidades. 
4 Em relacdo ao exercicio anterior, sabendo-se que o movel iniciou o movi-
mento na posicao So = 15 m, determine a tune -do horaria das posicoes do 
movel. 
Equaciao de Torricelli 
Pode se eliminar a varidvel t das funcOes horarias e das posicoes das velo-
cidades do MUV e deduzir a equacdo a seguir: 
V 2= V20 + 2 . a . AS 
	
(equacao de Torricelli) 
onde: Vo é a velocidade inicial; 
V é a velocidade final; 
a é a aceleracdo (cte) e 
AS é a variacdo de posic -do (AS = S — So ) 
36 	Capftulo 4 • Movimento Uniformemente Variado 
• • 
EXEMPLOS • 
•
✓Um movel parte do repouso (Vo = 0) corn aceleracao constante de 2 m/s 2 . 
Qual sera sua velocidade apos ter percorrido 16 m? 
• Vo = 0 	 = + 2 . a . AS 
• a = 2 m/s2 	 = 02 + 2 . 2 . 16 
•
AS = 16 m 	 V2 =64 	 V=8 m/s 
V =? 
• 
411 	✓uma moto esta desenvolvendo uma velocidade de 72 km/h. Repentina- mente, aparece urn obstaculo a frente da moto e o motoqueiro aciona os 
• freios, provocando uma aceleracao contraria ao movimento de 5 m/s 2, 
411 	
constante. 
a) Qual foi o espaco percorrido ate parar? 	 - - 
• Vo = 72 km/h = 20 m/s 
a = -5 m/ s 2 (aceleracao contraria ao movimento) 
• V = 0 (parou) 
• V2 = + 2 . a . AS = 02 = 202 + 2 . (-5) . AS 
•
0 = 400 - 10 . AS 	10 . AS = 400 = AS = 40 m 
, 	 , 
•
C6XA/04 	i k.SY1411) (.-,L' DI--,-;1 --, - ilL-1 .,,,„ .1.-vt,1 \it._, ‘ a,, cut t C,C; c ao /it 0 c`) i 
b) Qual foi a velocidade media da moto nesse intervalo de tempo? 
• v = Vo + .at = 0 = 20 + (-5) . t = 5 t = 20 = t = 4 s 
• AV 40 Vm - 	- 	- 10 	Vm = 10 m/s 
•
At 4 
•
Perceba que nesse caso (e sempre que tivermos M.U.V.), a velocidade me- 
• dia coincide corn a media aritmetica das velocidades V m - 
202 + 0 =10 m/ s. 
Num movimento uniformemente, variado, a velocidade media (V m), para 
4111 	urn dado intervalo de tempo (t 1 ; t2), é igual a media aritmetica entre as respecti- 
• vas velocidades V 1 e V2. 
• 
• V 	
± V2 
 V
l 
m 	2 	(no M.U.V.) 
• • • • 
• Capilulo 4 • Movimento Uniformemente Varied° 	37 
• 
411 Velocidade media no M.U.V. • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
EXEMPLO 
✓Urn objeto realizando MUV apresenta velocidade de 6,0 m/s no instante 
4,0 s e velocidade de 12 m/s no instante 7,0 s. 
a) calcule sua aceleracao media nesse intervalo de tempo. 
t1 = 4,0 s 	= 6,0 m/s} 
t2 = 7,0 s = V2 = 12 m/s 
a= 2,0 m/ s 2 
b) o que ocorreu corn a aceleracao em cada instante, desde 4,0 s ate 7,0 s? 
Como se trata de urn MUV a aceleracaoem cada instante desse interva-
lo de tempo é igual a aceleracao media. 
c) calcule a velocidade media no referido intervalo de tempo. 
Vm — V1 +2 V2 _ 6,0 12 _ 18 _ 9,0 m/s 	Vn, = 9 m/s 
2 	2 
EXERCICIOS 
5 Um trem apresenta velocidade de 20 m/s. Ao frear, é aplicada uma 
desaceleracao constante de 4 m/ s 2 . Qual e a distancia percorrida pelo 
trem ate a parada final? 
6 Urn movel parte do repouso corn aceleracao constante de 3 m/s 2 . Qual 
sera sua velocidade apos ter percorrido 24 m? 
7 (UFRN) Urn trem corre a uma velocidade de 20 m/s quando o maquinista 
ve urn obstaculo 50 m a sua frente. A desaceleracao minima que deve ser 
dada ao trem para que nao haja choque é de: 
a) 4 m/ s2 	b) 2 m/s2 	c) 1 m/s2 	d) 0,5 m/s 2 	e) zero 
8 (MACK-SP).Uma particula, inicialmente em repouso, passa a ser acelera-
da constantemente a razao de 3,0 m/ s 2 no sentido da trajetoria. Apos ter 
percorrido 24 m, sua velocidade é: 
a) 3,0 m/s 	 d) 72 m/s 
b) 8,0 m/s 	 e) 144 m/s 
c) 12 m/s 
9 (PUC-SP) A velocidade de urn carro é, no instante ern que o motorista 
nota que o sinal fechou, 72 km/h. 0 tempo de reacao do motorista é de 
0,7s (tempo de reacao = tempo decorrido entre o instante em que o moto-
rista ye o sinal fechar ate aquele em que aplica os freios) e os freios apli-
cam ao carro urn retardamento uniforme de 5 m/ s 2 . A distancia per-
corrida pelo carro, do instante em que o motorista nota que o sinal fechou 
ate parar, é: 
a) 54 m 	b) 20 m 	c) 14 m 	d) 10 m 	e) 44 m 
38 	Capftulo 4 • Movimento Uniformemente Variado 
	
AV 	12 — 6,0 	6,0 — 	— 	' — ' — 2,0 m/s2 
	
m At 	7,0 — 4,0 	3,0 
P 
—4. 
A B 
• 
• 10 Urn ponto material passou por 
• A corn velocidade de 8,0 m/s e 
atingiu o ponto B corn veloci- 
• dade de 12 m/s. Sua acelera- 
• cao se manteve constante. 
Determine: 
• a) a aceleracao 	 20 m 
•
b) a velocidade media entre A e B. 
• 
Graficos do M.U.V 
• 
• 	Grafico da posicao (posicao x tempo) 
MUV S = So + Vo . t + —a ,t2 —+ 
2 
funcao do 2° grau 	parabola 
a > 0 	concavidade voltada para cima 
a < 0 	concavidade voltada para baixo 
EXEMPLO 
✓Construir o grafico S x t para urn M.U.V que obedece a funcao horaria: 
S = 21 – 10 t + t2 (S.I). 
Para cada valor de t podemos obter o correspondente valor de S: 
t= Os = S= 21 –10 . 0 + 0 2 = 21 m 
t= 1s = S = 21 – 10 . 1 + 1 2 = 12 m 
t= 2s = S= 21-10.2 +22 = 5 m 
t= 3s = S=21 –10 .3 + 32 =Om 
t= 4s = S=21 –10 .4 + 42 =-3 m 
t= 5s = S= 21 –10.5 + 5 2 =-4 m 
t= 6s = S= 21 –10 .6 + 62 =-3 m 
t= 7s = S= 21 –10. 7 + 72 =Om 
t= 8s = S=21 –10 .8 + 8 2 =5 m 
t= 9s = S= 21 –10 .9 + 9 2 =12 m 
t = 10 s = S = 21 – 10 . 10 + 10 2 = 21 m 
Capftulo 4 • Movimento Uniformemente Voriado 	39 
• 
• 
• 
• • • • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• • 
I • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• • • 
• • • 
• 
• 
• • 
• • • 
• 
• • 
• • 
• 
• • • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
marcando-se os pares ordenados (t; S) obtem-se: 
Observe que: 
a) nos instantes 3 s e 7 s o mcivel passa pela origem das posicoes. 
b) no instante 5 s o movel inverte o sentido de seu movimento, ou seja, 
nesse instante sua velocidade se anula. 
c) entre 0 e 5 s, o movimento é retrogrado. A partir de 5 s passa a ser pro-
gressivo. 
d) entre 0 e 5 s, o movimento retardado (a > 0 e V< 0). A partir de 5 s o 
movimento acelerado (a > 0 e V > 0). 
Grafico da velocidade (velocidade x tempo) 
MUV 	V = Vo + a . t --0 funcao do 1 2 grau —■ 
reta inclinada em relacao ao eixo dos tempos 
a > 0 ---■ reta inclinada para cima (crescente) 
a < 0 	reta inclinada para baixo (decrescente) 
EXEMPLA 
✓Construir o grafico V x t para um M.U.V do exemplo anterior, que obede-
ce a funcao horaria S = 21 – 10 t + t 2 (S.I). 
40 	Caprivi° 4 ♦ Movimento Unifonnemente Variado 
• • 
41 • • • • • 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Primeiramente vamos obter os valores da velocidade inicial (V 0) e da ace-
leracao (a) por comparacao: 
- - 
S = 21'- 10 '. t + 
S = So 1+ Vo l. t + 
Vo =-10 m/s 
a =1 	a= 2 m/s2 
2 
Portanto: V = V o + at 
V=-10 + 2 t 	S.I. 
Para cada valor de t podemos obter o correspondente valor de V: 
t = 0 
	
V=-10 + 2 . —10 m/s 
t = 1 s 	V=-10+2 .1 =-8 m/s 
t = 2 s 	V=-10+2 .2=-6 m/s 
t = 3 s 	V=-10+2 .3=-4 m/s 
t = 4 s 	V=-10 + 2 .4 =-2 m/s 
t = 5 s 
	
V=-10 + 2 .5 = 0 m/s 
t = 6 s 	V=-10 + 2 .6 =2 m/s 
t = 7 s 	V=-10 + 2 . 7=4 m/s 
Marcando-se os pares ordenados (t; V), obtem-se: 
Observe que: 
a) no instante 5 s a velocidade se anula, ou seja, ocorre a inversao do sen-
tido do movimento. 
b) entre 0 e 5 s o movimento é retrogrado (V < 0) e retardado (V< 0 e a> 0). 
c) a partir de 5 s o movimento é progressivo (V > 0) e acelerado 
(V > 0 e a > 0). 
Capffulo 4 • Movimento Uniformemente Variodo 	41 
-
1- '.t2 
a 
I
I 	
t2 
2 _ — 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
40 
• 
• 
• 
• 
• 
0 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Grafico da aceleracao (aceleracao x tempo) 
a = cte 0) 	reta paralela ao eixo dos tempos 
a > 0 	reta paralela acima do eixo dos tempos 
a < 0 	reta paralela abaixo do eixo dos tempos 
• a 
	
	 A a 
a > 0 
0 
0 	
t 
a < 0 
EXEMPLO 
✓Construir o grafico v x t para o movel do exemplo anterior, cuja funcao 
horaria é S = 21 — 10 t + t 2 (S.I). 
Como já foi deduzido, neste caso a = 2 m/ s 2 (constante). Portanto: 
t=Os 	a= 2 m/s2 
t=1 s = a= 2 m/s2 
t= 7 s = a = 2 m/s2 
Marcando-se os pares ordenados (t; a), obtem-se: 
♦ a (m/s 2 ) 
 
2 
 
 
 
 
 
tls ) 
	 )10 
10 
 
 
0 
 
2 	4 	6 	8 
 
42 	Capital() 4 ♦ Movimento Uniformemente Variado 
0 
0 	 t 
t 0 
S a > 0 
0 
A a 
S(m) 
t(s) 
	
0 
	
1 
	
2 
	
3 
	
4 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• (funcao do 2 ° grau) 
• 
• 
• 
• V = V o + at 
• (funcao do 1° grau) 
• 
• 
• 
• a = constante 
• (funcao constante) 
• 
• 
EXERCICIOS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
S = S o + V ot +at 2 
2 
0 
0 
	► 
t 
0 
0 	 t 
a 
Capitulo 4 • Movimento Uniformemente Variado 	43 
Resumo dos graficos do M.V.V. 
11 A funcao horaria das posicoes de urea particula é: 
S = 3 — 4 . t + t2 (no SI) 
a) Determine as posiccies da particula nos instantes 0, 1 s, 2 s, 3 s e 4 s. 
b) Complete a tabela a seguir: 
) Construa o grafico posicao x tempo. 
12 Em relacao ao exemplo anterior, determine a funcao horaria das velocida- 
des e complete a tabela. 
V(m / s) 
t( s) 0 1 2 3 4 
13 Construa os graficos da velocidade e da aceleracao em funcao do tempo. 
• 
• • • • 
• • • 
• 
• • 
• • 
• • 
• • • 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• • 
• • 
14 0 grafico da posicao de urn movel 
em funcao do tempo é dado ao lado. 
Corn base nesse grafico, pergunta- 
se: 
t(s) 
2 
pela origem das posicoes? 
d) Em que intervalo de tempo o movimento é acelerado? 
e) Em que intervalo de tempo o movimento é retardado? 
15 A posicao de urn 'novel varia corn o 
tempo conforme mostra o diagrama 
ao lado. Determine: 
a) a posicao inicial e o sinal da acele-
raga(); 
b) em que instante o movel inverte o 
sentido do movimento; 
c) em que instantes o movel passa 
pela origem das posicoes; 
d) em que intervalo de tempo o mo-
vimento é retardado. 
16 S = 12 t — 3 t 2 (S em m e t em s) é a funcao horaria do movimento unifor-
memente variado de um movel. Determine para esse movel: 
a) o espaco inicial S o, a velocidade inicial Vo e a aceleracao a do movimento; 
b) os graficos S x t, V xt e a x t; 
c) o instante em que passa pelo marco zero. 
d) o instante em que muda o sentido do seu movimento; 
e) os intervalos de tempo em que o movimento é retardado e em que é 
acelerado. 
44 	Capffulo 4 • Movimento Uniformemente Variodo 
S(m) 
a) Qual é o instante em que o movel 
inverte o sentido do movimento e 
a velocidade se anula? 
b) A aceleracao é positiva ou negati- 	-18 
va? Justifique. 
c) Em que instantes o movel passa 	-27 
t(s) 
• 
• • 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
Propriedades dos graficoshorarios 
Grafico S x t 
Neste grafico a inclinacao da reta representa numericamente a velocidade 
do 'novel. 
AS 
 V = Vm 	
N 
 tg 0 
At 
numericamente igual 
E importante frisar que o 'Angulo 0 sera geometricamente correto se as esca-
las de representacao nos eixos forem iguais. Se as escalas nao sdo as mesmas 
nos dois eixos, o 'Angulo estard distorcido, mas a tangente trigonometrica do 
mesmo tera urn valor correto porque estamos medindo os catetos opostos e 
adjacentes usando os valores dos eixos, independentemente de escala de repre-
sentacao. 
Se o grafico S x t for curvilineo a propriedade continua valida, porem a 
tangente tera uma inclinacao diferente a cada instante. 
em t1 = V1 tg 01 
 ern t2 = V2 tg 02 
Capitol° 4 • Movimento Uniformemente Variado 	45 
• • • • • • • • • • • • • • • 
• • 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Grafico V x t 
Neste grafico ha duas propriedades: 
I)a inclinacao da reta representa numericamente a aceleracao do move!. 
II) a area compreendida entre a reta do grafico e o eixo t, no intervalo de 
tempo considerado, representa numericamente a variacao da positcao 
(AS) do movel no mesmo intervalo de tempo. 
Nota: 
Variacao da posic5o é o mesmo 
que variacao do espaco 
I 
AS 
 I 
C) 
tl 	t2 
 
 
Grafico a x t 
Neste grafico a area compreendida entre a reta do grafico e o eixo t, no 
intervalo de tempo considerado, representa numericamente a variacao de ve-
locidade (AV) do movel no mesmo intervalo de tempo. 
AV 1\® 
t2 
t 	 t 2 
46 	Capffulo 4 • Movimento Uniformemente Varied° 
a = 	
AV N 
— 	 — tg 0 
At 
a(m/s 2 ) 
♦ a(m/s 2 ) 
4 
0 
	Ira- t(s) 
• 
• 
• EXEMPLOS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
•
 
•
 
• 
• 
• • •
 • •
 • 
• 
✓No grafico da aceleracao abaixo, determinar a variacao da velocidade no 
intervalo de 5 s a 10 s. 
Para determinar AV entre 5 s e 10 s basta calcular a area do retangulo 
hachurado a seguir: 
AO--' A 	 5 
5 ---_____Th____1 0 
® 
 
4 
--o■ t(s) 
AV= 5 . 4 = 20 m/s 
AV = 20 m/s 
sit dado o grafico da velocidade de urn movel em funcao do tempo. De-
termine: 
a) a aceleracao do movimento; 
AV 16-0 16 a = am — 	— 	— 
At 	4 — 0 	4 
t(s) 
a = 4 m/ s2 
b) a variacao de espaco entre 0 e 4 s 
AS = 
N 	 — area A — base x altura 4 x 16 = 32 m 
2 	2 
AS = 32 m 
Caphdo 4 ♦ Movimento Uniformemente Variado 	47 
0 h 
t(s) 
3 
V(m/s) 
bo( 
• 
• • • 
• • 
• • 
• • • 
• • 
• • 
• 
• • • 
• • • • 
• • 
• • 
• • 
• 
• • 
• • 
/Escreva a funcao horaria correspondente ao grafico a seguir: 
Diretamente do grafico obtemos: 
to = 0 = 	S0 = m 
t= 5 s = S= 8 m 
V= = 	— 	— 1 s AS 8 — 	3 5 
	
V = 1 m/ s 
At 5 — 0 5 
S = So + Vt 
S = 3 + 1 . t 
	
S=3 +t 
	
S.I. 
/Determine a variacao de espaco no intervalo de 0 ate 5 s no grafico a 
seguir: 
 
 
 
t(s) 
0 3 
 
A variacao de espaco é igual numericamente a area hachurada (area do 
trapezio). 
♦ V(m/s) 
15 	 
AS = area do trapezio — 
(10 + 5) . 3 	45 
AS — 	
2 	
— 	— 22,5 m 
2 
AS = 22,5 m 
(B + b) . h 
2 
48 	Capihslo 4 • Movimento Uniformemente Variado 
• • • 
• 
e 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
••
•
••
••
 
S (m) 
40 
	t (s ) 
0 	10 	20 	30 	 0 
Capitulo 4 • Movimento Uniformemente Variado 	49 
✓(Fatec-SP) Urn corpo se move numa trajetoria reta, de tal forma que o gra-
fico de sua velocidade em funcao do tempo é o representado abaixo. 
v(rnts) 
t(s) 
10 
a) Determine a aceleracao media do corpo no intervalo de 2 s a 4 s. 
t = 2 s = V = 10 m/s 
t = 4 s = V = 0 
AV 0-10 	10 
a = = 	— 	 — 5 m/s 2 
At 	4 — 2 	2 
am = —5 m/s2 
b) Determine a velocidade media do corpo no intervalo de 0 a 4 s. 
AS 
m 
— 
 At 
N area 
	+ 2) . 10 
As = area = 	— 30 m 
2 0 4s 0 4s 
At = 4 — 0 = 4 s 
AS 30 m 
Vm — 	— 	— 7,5 m/s 
0 	s 
At 	4 s 
4 
Vm = 7,5 m/ s 
EXERCICIOS 
A explicacao seguinte refere- 
se aos testes de ntimeros 17 a 
18. 0 grafico do espaco S de 
urn move' em funcao do tern- 
• po a partir de uma origem 0, 
sobre uma reta, é o represen- 
• tado ao lado. 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • • 
• • 
• • 
• 
• • 
• 
• • • 
• • 
• 
• • 
• • 
17 A velocidade media do movel entre 0 s e 30 s é: 
a) nula 	b) 1 m/s 	c) – —1 m/s 	d) —1 m/s 	e) —3 m/s 
3 	 3 	 5 
18 0 move! tern velocidade negativa entre: 
a) 20 s e 30 s 	 d) 0 s e 10 s 
b) 10 s e 20 s 	 e) nunca 
c) 10 s e 40 s 
19 0 move' tern aceleracao nula: 
a) nunca. 
b) so entre 10 s e 20 s. 
c) em todo o percurso representado no grafico. 
d) so entre 0 s e 10 s. 
e) nenhuma das afirmativas anteriores é correta. 
20 0 diagrama a seguir representa os espacos ocupados por uma esfera em 
movimento sobre uma trajetoria retilinea em funcao do tempo. 
a) Qual é a posicao inicial da esfera? 
b) Qual foi a variacao de espaco entre A e B, B e C, CeDeDe E? 
c) Qual foi a velocidade nos mesmos intervalos do item anterior? 
d) Em cada um dos trechos anteriores podemos afirmar que a velocidade 
media é igual a instantanea. Por que isso é possivel? 
21 0 movimento dos corpos A e 
B é representado atraves do 
grafico S x t. Supondo que os 
moveis permanecam em 
seus estados de movimento, 
determine: 
a) os espacos iniciais de A e 
B; 
b) as velocidades de cada 
corpo; 
c) as equacoes horarias do 
espaco de cada corpo; 
d) o instante em que os cor-
pos A e B se encontram; 
5 
0 
t(s) 
S(m) 
A 
45 
35 	 
A 
B 
10 
50 	Capitol° 4 • Movimento Uniformemente Voriado 
22 Um carro esti em movimento, 
com velocidade constante de 
20 m/ s. 0 motorista aciona os 
freios e o carro para, conforme o 
diagrama ao lado. Determine a 
variacao de posicao e a velocida-
de media durante os 10 s de 
freamento. 
3 A aceleracao de uma particula 
varia de acordo corn o grafico ao 
lado. Determine a variacao da 
velocidade e a aceleracao media 
entre 0 e 4 s. 
24 A velocidade de uma lancha em 
funcao do tempo obedece ao gra-
fico ao lado. Determine a ace-
leracao media da lancha entre 
0 e 5 s. 
15 
10 
5 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 2 
• 
• 
• 
• 
•
26 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
A area hachurada da figura ao 
lado representa numericamente: 
a) a velocidade media entre t 1 e t2 . 
b) a posicao no instante t 1 . 
c) a variacao de posicao entre os 
instantes t 1 e t2 . 
d) nao tem significado fisico. 
A velocidade de um movel é dada, em funcao do tempo, 
0 
Qual dos graficos a seguir identifica esse mesmo movimento? 
a) A s 	b) A s 	c) A s 	d) 
t 	0 0 
pelo grafico: 
Capftulo 4 • Movimento Uniformemente Variado 	51 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
I • 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
27 0 grafico abaixo representa a velocidade (V) de urn movel em funcao do 
tempo (t). 
V(m/s) 
2 
0 	
1 	 1 
10 20 30 40 5060 70 80 	 t(s) 
Qual foi a distancia percorrida pelo move' no intervalo de tempo entre 
0 e 40s? 
a) 240 m 	b) 200 m 	c) 60 m 	d) 120 m 
29 (FUVEST-SP) Na figura, estao representadas as velocidades, em funcao 
do tempo, desenvolvidos por urn atleta, em dois treinos A e B, para uma 
corrida de 100 m rasos. 
Corn relacao aos tempos gastos pelo atleta para percorrer os 100 m, pode-
mos afirmar que, aproximadamente. 
a) no B levou 0,4 s a menos que no A. 
b) no A levou 0,4 s a menos que no B. 
c) no B levou 1,0 s a menos que no A. 
d) no A levou 1,0 s a menos que no B. 
e) no A e no B levou mesmo tempo. 
8 (U. Mackenzie-SP) Urn movel, 
numa trajetoria retilinea, parte 
do repouso e percorre 36 m em 
6 s corn velocidade que varia 
conforme o grafico dado. A 
maxima velocidade atingida 
pelo move' foi de: 
a) 15 m/s 
b) 12 m/s 
c) 9 m/s 
d) 6 m/s 
e) 3 m/s 
52 	CapItulo 4 ♦ Movimento Uniformemente Variado 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
30 (UFRJ) Urn movel em movimento retilineo tern velocidade escalar v va-
riando corn o tempo t, de acordo corn o grafico. Podemos afirmar que 
entre os instantes: 
a) 0 e t 1 o movimentoé retrogrado acelerado. 
b) t 1 e t2 o movimento é progressivo acelerado. 
c) t2 e t3 o movimento é retrogrado acelerado. 
d) t3 e t4 o move' esta parado. 
e) t4 e t5 o movimento é progressivo retardado. 
Capitulo 4 • Movimento Uniformemente Variado 	53 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
•
 •
 • 
0 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Cinematica Vetorial 
Grandezas escalares e vetoriais 
Em Fisica, grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, direta ou indireta-
mente. 
0 lapis é uma grandeza? 
Geralmente se pensa que sim, achando que é possivel medir o lapis, mas na 
realidade o que se pode medir é o comprimento, ou o volume, ou a massa do 
lapis, etc. 0 lapis é apenas urn objeto ao qual se podem associar diversas gran-
dezas, tais como comprimento, volume e outras. 
Grandezas escalares sao aquelas que ficam perfeitamente caracterizadas 
apenas corn urn numero (que exprime a sua medida), acompanhado da uni-
dade de medida. 
Exemplos: comprimento, area, volume, massa, temperatura, energia, etc. 
Grandezas vetoriais sao aquelas que so ficam perfeitamente caracteriza-
das atraves do modulo (nCimero corn unidade de medida), da direcao e do 
sentido. 
Exemplos: posicao, velocidade, aceleracao, forca, etc. 
Observacao: Ate este ponto estudamos posicao, velocidade e aceleracao 
como se fossem grandezas escalares porque os movimentos estudados eram 
unidimensionais. Porem, quando se estuda a posicao ou a velocidade de urn 
avian ou de urn barco, por exemplo, nao se pode esquecer da direcao e do sen-
tido. 
Quando se pretende indicar o carater vetorial de uma grandeza, coloca-se 
sobre o simbolo da grandeza uma pequena seta (V , F ). 
0 simbolo sem a seta ou entre duas barras verticais representa o modulo 
ou valor numeric° da grandeza. 
Assim, temos: 
V — vetor velocidade ou velocidade vetorial 
— vetor aceleracdo ou aceleracao vetorial 
V = V — modulo do vetor velocidade 
a = I a I — modulo do vetor aceleracao 
54 	Capffulo 5 • Cinemittica Vetortal 
IRI = Va 2 + b2 + 2ab cos a 
Atencao: o modulo de ik-*, em geral nao é igual a soma dos modulos de 
e b ou seja, I R# ra+ 1 + b I (Isto so é verdade se a e b tiverem mesma 
direcao e mesmo sentido). 
A matematica demonstra que se entre os vetores a e b existe um angulo a, 
entao: 
CapItulo 5 ♦ Cinematica Vetorial 	55 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
As grandezas vetoriais sao representadas atraves de vetores. 
0 vetor se caracteriza por ter modulo (valor numerico), direcao e sentido 
e e representado graficamente atraves de urn segmento de reta orientado. 
• 
• 	Segmentos de reta orientados que possuem a mesma direcao, o mesmo 
• 	sentido e o mesmo modulo representam o mesmo vetor. 
• • 
Segmentos de reta que possuem a mesma direcao e o mesmo modulo po-
• 
	rem sentidos contrarios representam vetores opostos. 
• 
	
a 	 a = -b 
• 
ou 
• 
	
b
- 
= -a
. 
• 
Vetor soma S ou vetor resultante R é o vetor equivalente a dois ou 
• 
	
mais vetores. • 	Para se obter o vetor resultante de dois vetores, dois metodos sao 
•
comumente utilizados: 
modulo: 3 unidades 
direcao: horizontal 
sentido: para a direita 
• 1 ) • • 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
Metodo do paralelogramo 
b 
 
lk* = a + b
. 
 
Colocam-se os dois vetores corn a mesma origem e desenha-se urn 
paralelogramo corn os vetores dados. 0 vetor resultante é a diagonal do 
paralelogramo que parte da origem dos vetores. 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
S 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
S 
• • 
• 
• 
2) Metodo da linha poligonal 
Considere os vetores a, b,ee d, a seguir: 
Como encontrar o vetor R que represente a soma dos vetores, isto é, 
R ='+b +c +d? 
Simplesmente desenham-se os vetores (em qualquer ordem) de tal forma 
que a extremidade de cada um deles coincida com a origem do outro. 
O vetor resultante R e obtido ligando-se a origem do primeiro (A) com a 
extremidade do ultimo (B). 
Observe que se o desenho for feito em escala, em papel quadriculado, fa-
cilmente pode se obter o modulo do vetor R . 
Vetor diferenca (D) e o vetor equivalente a diferenca entre dois 
vetores. 
Para subtrair dois vetores basta somar um deles corn o oposto do outro. 
Por exemplo, considere os vetores a e b (fig. A). 0 vetor diferenca ID = 	b 
corresponde a adicao do vetor a corn o vetor -b , pois 	b = a +(-b ), como 
ilustra a figura B: 
56 	Capftulo 5 • Cnematica Vetorial 
_. _. --■ 
• b) se tiverem a mesma direcao e sentidos opostos? • R = a – b 
• 
• 
• 
• 
• 
Observe que, se os dois vetores tiverem a mesma origem, o vetor diferenca 
pode ser obtido ligando-se as extremidades dos vetores, tendo o sentido sem-
pre indicado para o primeiro, ou seja, o vetor D = a – b aponta para o vetor 
enquanto o vetor D' = b – a aponta para o vetor b : 
• • 
b 
110 
1; 
• D'= - a 
• 
• a e b . A matematica demonstra que: 
• = 161 = V + 13 2 – 2ab . cos a • • 
• EXEMPLOS 
• "'Dols vetores a e b tern modulos respectivamente iguais a 4 unidades e 
3 unidades. Qual é o modulo do vetor resultante: 
• a) se tiverem a mesma direcdo e o mesmo sentido? 
• R = a + b► 
• R = 7 unidades 
0 modulo de D ou D' em geral nao é igual a diferenca dos modulos de 
c) se tiverem direcoes perpendiculares entre si? 
• ► 	 Aplicando Pitagoras: 
• 
•
=Z R2 a2 b2 
R = 5 unidades 
• 
• 
• / 
	
	R = Va2 + b2 + 2ab . cos 60° / 
	
// 	 R V42 + 32 + 2 . 4 . 3 . _I- 
•
a 	 I 
I i 	 2 
•
60° 
/ 
/ / 	 R V16 + 9 + 12 / 
• e 	 R = V37 = R = 6,08 unidades 
• Capitulo 5 ♦ anematica Vetorial 	57 
• 
• '
b 
	 R = 1 unidadeR .
I 
• 
d) se formarem urn Angulo de 60° entre si? Dado cos 60° = —
1 
 
2 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
I 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
✓Ern relacao aos vetores do exemplo anterior, qual é o modulo da diferenca 
entre eles (D = 	b). 
a) se tiverem a mesma direcao e o mesmo sentido: 
a 
-b 
	_
a
. 	
D = a — b 
b 
	
D = 4 — 3 = 1 unidade 
b) se tiverem a mesma direcao porem sentidos opostos. 
a 
=ID 	a 	D=a—(—b)=a+b 
-b 
	 4 	 D = 4 + 3 = 7 unidades 
	► 
D 
c) se formarem urn Angulo de 60° entre si? 
D = V a2 + b2 — 2ab . cos 60° 
D =V42 + 32 —/. 4 . 3 . 1 
2' 
D = V16 + 9 — 12 
D = 13 = 3,6 unidades 
a 
EXERCICIOS 
1 Determine o modulo do vetor resultante dos vetores a e b , sabendo que 
seus modulos valem respectivamente 6 unidades e 8 unidades: 
a) se tiverem a mesma direcao e sentido; 
b) se tiverem a mesma direcao e sentidos opostos; 
c) se tiverem direcoes perpendiculares entre si. 
d) se formarem urn Angulo de 60° entre si. 
2 Desenhe o vetor resultante nos casos abaixo. 
a) 
d) 
c) 
b) 
a 
b 
b 
58 	Capaulo 5 • Cinematica Vetorial 
d) 
a' 	 1:1- 
■ 	 ► 
a
. 
posicao inicial 
Em uma trajetOria retilinea, o vetor deslocamento tern modulo igual a variacao 
da posicao. 
Vetor velocidade V-+ é urn vetor sempre tangente a trajetOria, no mesmo 
sentido do movimento. 
V2 
	 V 3 
	 movimento 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• b) 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• Vetor velocidade 
• 
• 
• • 
• 1 
3 Desenhe o vetor diferenca nos casos a seguir: 	= 
a) 	 c) 
Vetor deslocamento 
trajetOria curvillnea 
posicao final 
trajetOria retilinea 
1110 	 
Considere um movel em uma traietoria qualauer. 
J. 	 1 
0 vetor deslocamento d é urn vetor que tern origem na posicao inicial e 
extremidade na posicao final do mOvel. 
• 
• 
• 
• • 
Em trajetOrias retilineas, o vetor velocidade tern direcao constante, mas em 
trajetorias curvilineas a direcao do vetor velocidade varia a todo instante. 
Capitol° 5 • Cinematica vetorial 	59 
trajetoria 
Movimento retardado 
a / 
trajetoria 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• • • 
• 
• 
• • 
• • • 
• • 
• 
• • • 
• 
Vetor aceleracao 
0 vetor aceleracao (a) é urn vetor que indica a variacao do vetor velocida-
de, tanto em modulo como em direcao e sentido. 
Para tornar mais simples o estudo do vetor aceleracao, utilizam-se seus 
componentes na direcao tangente (4) e na direcao normal a trajetoria (a' n):Movimento acelerado 
a) aceleracao tangencial (4): e tangente a trajetoria e indica a variacao 
apenas do modulo do vetor velocidade. SO existe em movimentos acelerados 
ou retardados; 
b) aceleracao normal ( 4) ou aceleracao centripeta (Kp): é perpendicular 
a trajetoria e indica a variacao apenas da direcao do vetor velocidade. S6 existe 
em movimentos curvilineos e a ponta sempre para o centro da trajetoria. 
0 modulo da aceleracao centripeta é dado pela expressao: 
, V2 
 a = cp R 
onde V e o modulo de velocidade do mOvel e R é o raio da trajetoria. 
CASOS PARTICULARES IMPORTANTES: 
movimentos uniformes 	cte 4 = o 
movimentos retilineos 	direcao de V é cte 	= 0 
÷ = 0 
movimento retilineo e uniforme 	V é de 
a t - 0 cp 
EXEMPLOS 
✓Urn barco tern velocidade prop-la de 40 m/s. Ele se movimenta em um 
rio cuja correnteza tern velocidade de 30 m/s. Qual é o modulo da velo-
cidade resultante do barco quando colocado: 
a) na mesma direcao e sentido da correnteza? 
Vb 
	 vc VR = Vb 
VR = 70 m/s V R 
60 	Capitulo 5 • Onematica Vetorial 
4 km 
0 • 	 ► L 3 km 
• • 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
b) na mesma direcao e sentido contrgrio ao da correnteza? 
Vb 
	 VR = Vb — 
Nic 
c) na direcao perpendicular a da correnteza? 
✓Urn andarilho anda 3 km para Norte e 4 km para Leste. Qual e o desloca-
mento resultante? 
Aplicando o teorema de 
Pitagoras: 
d2 = 32 + 42 
d2 = 25 
d = V25 
d = 5 km 
✓Uma particula movimenta-se sobre uma circunferencia no sentido hora-
rio e mantern sua velocidade corn modulo constante, isto e, desenvolve 
movimento circular uniforme. Represente a trajetoria e os vetores \-7* e 
em dois pontos distintos da trajetoria. 
Sendo uniforme: --a+t = o = a= 
a cp # 	mas I a cpi I = I a cp2 I constante 
# 	mas 	= I V2 1 = constante 
Capitol° 5 • Cinematica Vetorial 	61 
VR= 10 MiS 
 
VR = VV12, N7 
VR = V402 + 302 
 VR = V1600 + 900 
VR = V2500 
VR = 50 m/s 
• 
• • • • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• • • 
• 
• • • 
• 
• • 
• • 
• 
• • 
• 
• 
✓Uma particula descreve urn movimento circular de raio R = 1 m com a 
aceleracao escalar a = 3 mis 2 . Sabe-se que no instante t = 0 a velocidade 
escalar da particula é V o = 0,5 m/s. Determine no instante t = 0,5 s os 
modulos da: 
a) velocidade vetorial; 	c) aceleracao tangencial; 
b) aceleracao centripeta; 	d) aceleracao vetorial. 
a) se a = cte = M.U.V. 
V=Vo +a.t 
V=0,5+3.0,5 	1V1 =2,0m/s 
V2 	(2, 0)2 _ 4 b) acp = 	= 	0 
R 
14p 1 = 4,0 m/ s2 
c)141=a=3m/s 2 
d)Ia l =V32 +42 =125=5,0m/s2 
1 -a-'1 =5,0 m/s2 
EXERCICIOS 
4 Urn aviao desloca-se 60 km para o Sul e 80 km para o Oeste. Qual é o 
deslocamento resultante do avido? 
5 Urn barco tern velocidade propria de 8 m/ s e tenta atravessar um rio per-
pendicularmente a correnteza, que tern velocidade de 6 m/ s. Qual é a ve-
locidade resultante do barco em relacao as margens? 
6 Uma gaivota voa de Leste para Oeste, corn velocidade de 40 km/h. Se 
estiver soprando urn vento de velocidade igual a 30 km/h, de Norte para 
Sul, qual sera o valor da velocidade resultante da gaivota? 50 Vr, 
11 	)1, 
7 Se a aceleracao vetorial (resultante) de urn move' é nula, pode-se afirmar 
que: 
a) sua velocidade é nula. 
b) seu movimento é circular e uniforme. 
c) seu movimento é retilineo e uniforme, se existir. 
d) seu movimento é apenas retilineo. 
8 Em todos os movimentos retilineos é correto afirmar que: 
a)V =0 	b)a =0 	c) = 0 cp 	 d) -a-*t = 
9 Em todos os movimentos uniformes é verdade que: 
a) V =0 	b)a =0 	c) = 	01)4= 
62 	Capfrulo 5 • Cinematica Vetorial 
• 
• • 
• • 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
a) o modulo da velocidade vetorial; 
• b) o modulo da aceleracao centripeta; 
•
c) o esquema mostrando V , , 	 e a. • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
10 (UF-MG) Observe a figura. 
Ela representa urn carro de Formula 1 freando numa curva da pista de 
corrida. A forca resultante que atua sobre o carro, naquele instante, sera 
melhor representada pelo vetor: 
a) A 	b) B 	c) C 	d) D 	e) 
(UF-MG) Urn ventilador (veja figu-
ra) acaba de ser desligado e esta pa-
rando vagarosamente, girando no 
sentido horario. A direcdo e o senti-
do da aceleracao da pa do ventilador 
no ponto P é: 
	
b) 	c) 	d) 	p e) 
12 Um movel descreve urn movimento circular de 10 m de raio, a partir do 
repouso, no sentido horario. A aceleracao escalar é igual a 1,0 m/s 2. En-
tao, no instante t = 5,0 s, determine: 
Capftulo 5 • Cinematica Vetorial 	63 
cunferencia e cuja velocidade vetorial tem modulo constante. 
R é o raio de circunferencia 
= V21 =1V31 = cte 
Periodo e frequencia do M.C.U. 
Periodo (T) e o tempo gasto numa volta completa na circunferencia. 
Frequencia (f) e o nOmero de voltas efetuadas por unidades de tempo. 
A freqiiencia é o inverso do periodo, e vice-versa: 
	
f= 1 	ou 	T= 1 
	
T 	 f 
No SI 
iunidade (T) = segundo (s) 
unidade (f) = Hertz (Hz) 
1 Hz = 1 — 
• 
• 
• 
• 
• 
Movimento circular uniforme (M.C.U.) é aquele cuja trajetoria é uma cir- • • • 
• 
• 411 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
EXEMPLO 	 • 
• 
• 
• • 
• 
64 	Capitulo 6 • Movimento Circular Uniforme 	 • 
• 
) Movimento Circular 
Uniforme 
✓ Uma particula em MCU efetua 100 voltas em 2 segundos. Qual é a fre-
quencia e o period() do movimento? 
100 	 1 
0 
	
f= 2 — 50 Hz T — 5 
	
T = 0,02 s 
• 
• 
• EXERCICIOS 
• 1 0 eixo do motor de urn carro efetua 1.200 rpm (rotacoes por minuto). 
• Determine essa freqiiencia em Hertz. 
• 	2 No exercicio anterior, determine o period° do movimento. 
• 3 Qual é o periodo do ponteiro • 	dos segundos de um relogio? 
• 
• 
• 
• Aceleractio do M.C.U. 
No movimento circular uniforme, o vetor velocidade tern modulo constan- 
• te, porem sua direcao varia em cada ponto da circunferencia. Portanto, o MCU 
•
possui aceleracao centripeta. 
IV^ I =IV21=IV31=cte 
= I 41,21 = I 401 = cte 
0 modulo da aceleracao centripeta é constante e é dado pela expressao: 
onde: V é o modulo da velocidade e 
R é o raio da circunferencia 
CapItulo 6 • Movimento Circular Uniforme 	65 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• Posicao angular 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
A aceleracao centripeta ( 4) é sempre perpendicular ao vetor velocidade e 
dirigida para o centro da circunferencia (dal o nome centripeta). 
Urn ponto material, em movimento numa trajetoria circular de centro c, 
encontra-se no ponto P, num certo instante t. 
P1t) 
a V2 
R 
= 	 app 
Definimos posicao angular ou fase (cp) ao angulo central cp correspondente 
ao arco S, tal que: 
S 	ou 	S = R 
R 
Quando S = R o valor de cp é unitario, isto é, vale 1 radiano. 
S=R 	= 1 rad 
Para uma volta completa: 
S = 2ir R (perimetro de circunferencia) 
cp = 2n rad = 360° 
Velocidade angular 
Considere urn ponto material em MCU ocupando a posicao P 1 no instante 
t 1 e posteriormente a posicao P2 no instante t2 : 
P i It I 
No intervalo de tempo At = t 2 — t 1, o espaco angular sofre uma variacao Ocp 
e o espaco linear varia AS. Denomina-se velocidade angular (representada pela 
letra grega omega mintiscula: co) a razao entre a variacao de espaco angular Acp 
e o intervalo de tempo At. 
= 
Ocp 
At 
Na realidade a expressao acima corresponde a velocidade angular media 
(com), porem no MCU a velocidade angular em cada instante é a mesma (co = co m). 
Podemos relacionar velocidade angular corn a velocidade escalar v: 
A(P R =i- . 	V=w. R 
At ,' 
co 
66 	Capltulo 6 • Movimento circular Uniforme 
• • • • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
} = = AS 
Ot 
AS = Ocp . R 
S 
• 
• Alem disso, para uma volta completa: 
	
2n
• 	
= 2 
	
Acp 	27t f 
At = T (periodo) 	At 	T 
S 
27c = —T = 27c f 
• 
• 
Funsao horaria angular do M.C.U. 
Partindo da funcao horaria do movimento uniforme linear, podemos obter 
• a funcao horaria angular do MCU dividindo todos os termos pelo raio R da 
circunferencia: 
• S = So + v . t• S 	v t 
•
R R R 
• = (Po + 0) • t • 
Para a funcao acima a posicao angular inicial é 90 no instante inicial to = 0, 
enquanto num instante generic° t a posicao angular correspondente é cp. e 90 
• sao constantes, enquanto (f) e t sao variaveis. 
S 
• EXEMPLOS 
•
✓ Um movel em M.C.U. completa uma volta a cada decimo de segundo, 
•
sobre uma circunferencia de raio 20 cm. Determine, para esse M.C.U.: 
•
a) o period° (T) 
T= 
1
0 
— s = 0,1 s T = 0,1 s 
• 10 
• b) a freqiiencia (f) 
f= —
1 
= —
1 =10 Hz f = 10 Hz 
•
T 0,1 
•
c) a velocidade angular (o)) 
•
co = 2ic f = 27c . 10 	co = 207c rad/ s 
• d) a velocidade linear do movel (V) 
• V = co . R = 20n . 20 	V = 400n rad/ s 
S 
• Capaulo 6 • Movimento Circular Uniform 67 • 
• 
• • 
• 
• • • 
• • • 
• 
• • 
• • • 
• 
• • 
• 
• • • 
• • 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
e) a aceleracao centripeta (a cp ) 
V2 	(40070 2 	160 	0007r2 a = 	— 	— 4007c2 cm / s2 
cID 	R 	(20)2 	400 
app = 4007E2 cm/ s2 
✓Um movel descreve M.C.U. obedecendo a funcao horaria: 
= arc + 1C t (S.I.) 
a) qual é a posicao angular inicial (90) e a velocidade angular (co)? 
(po = 3 rc rad 
co = it rad / s 
b) no instante t = 5 s qual é a posicao angular do movel? 
t = 5 s = cp = 37c + IC . (5) = firc 	cp =8zc rad 
✓(Fuvest-SP) Uma cinta funciona solidaria com dois cilindros de raios 
R 1 = 10 cm e R2 = 50 cm. Supondo que o cilindro maior tenha uma fre-
qiiencia de rotacao f 2 = 60 cm. 
a) qual é a frequencia de rotacao f 1 do cilindro menor? 
b) qual a velocidade linear da cinta? 
a) todos os pontos da cinta tern a mesma velocidade linear V, a qual é a 
mesma dos pontos de periferia dos cilindros. Assim: 
	
V 1 = V2 = COi Ri = CO2R2 	/21fl R1 =X7L/ f2 R2 
f1 • R1 = f2 • R2 
f1 . 1/0/p = 60rpm.5% 
fl = 300 rpm 	ou 	300 = 	— 5 Hz 
60 
b) V = co iRi = 2it f l Ri = 	. 5 . 10 cm = 100n cm/s = 1C M S 
V = TC MIS 
68 	Capftulo 6 • Movimento Circular Uniforme 
t 
t 
• • 
• EXERCICIOS 
• 4 
 0 raio da Orbita da Lua em torno da Terra é de aproximadamente 
400.000 km e a velocidade da Lua é de aproximadamente 1.000 m/ s. De- 
• termine a aceleracao centripeta da Lua. 
411 	5 Uma particula em MCU tern aceleracao centripeta igual a 4 m / s 2 e percorre 
uma circunferencia de raio igual a 25 m. Qual e a velocidade da partfcula? 
• 
Urn movel da uma volta completa em uma circunferencia em cada 10 s. 0 
• periodo e a frequencia do movimento do movel valem, respectivamente: 
• a)10 se 10Hz 	b)1 se 10Hz 	c)0,1 se 1Hz 	d)10 se 0,1Hz 
7 0 movimento circular uniforme: 
•
a) rao tem aceleracdo, pois é uniforme. 	c) tern aceleracao centripeta. 
b) tern aceleracao tangencial. 	d) tern velocidade constante em direcao. • 
8 Um corpo gira corn MCU completando uma volta em cada 10 s. Se o raio 
• da circunferencia descrita vale 4 cm, determine: 
a) o periodo; 
b) a velocidade angular; 
c) o modulo da aceleracao centripeta. 
• 9 (UFSE) A polia A, de raio 8 cm, 
•
é ligada por uma correia a po-
lia B, de raio 20 cm. Nao ha- 
• vendo deslizamento enquanto 
giram, se o periodo de rotacao 
• da polia A é de 0,50 s, o periodo 
•
de rotacao da polia B é de: 
a) 1,5 s 	d) 0,75 s 
• b)1, 25 s 	e) 0 ,50 s 
•
c) 10 s 
 
B 
 
(EEUF-RJ) Urn automovel corre a 72 km/h. Suas rodas tem 60 cm de dia.- 
metro. Quantas rotacOes por minuto elas executam? 
(UFRGS) 0 volante de um motor gira corn movimento circular uniforme 
completando 1,2 . 10 3 voltas em urn minuto. Qual o periodo desse movi-
mento? 
a) 1,2 . 10-3 s 	b) 0,8 . 10-3 s 	c) 5 . 10-2 s 	d) 2 s 	e) 20 s 
• 12 (FEI-SP) Duas polias, A e B, rigi- 
• damente unidas por urn eixo, gi- 
ram corn frequencia f constante, 
• como mostra a figura. Sendo 
•
RA = 2RB, a razao aA / aB entre as 
aceleracoes dos pontos das per-- 
• ferias das respectivas polias é: 
a) 4 	b) 0,25 	c) 1 
• d) 0,5 	e) 2 • CapItulo 6 • Movimento Circular Uniforme 	69 
• • 
• • • • 
• 
Isaac Newton (1642 - 1727) 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Leis de Newton 
Nos capitulos anteriores limitamo-nos a descrever os movimentos sem nos 
preocuparmos corn suas causas, ou seja, estudamos a Cinematica. A partir des-
te capitulo procuraremos analisar as causas de uma particula estar em movi-
mento ou nao, isto é, passaremos a estudar a parte da Mecanica chamada Dina-
mica. 
Todo o estudo da Dinamica baseia-se 
em tres principios ou leis formuladas por 
Isaac Newton, fisico ingles considerado 
um dos maiores genios da humanidade. 
Newton formulou essas leis baseado 
em experiencias e observaceies suas e de 
outros (como Galileu), por meio de abs-
tracoes e idealizacoes prOprias do metodo 
cientlfico. 
Alem disso, todos os principios formulados sao relativos a um sistema de 
referencia chamado ref erencial inercial. 
Nocao de forca 
Temos intuitivamente a ideia do que é forca toda vez que puxamos ou em-
purramos um objeto. Podemos afirmar que forca e o agente fisico capaz de 
movimentar, parar ou deformar urn corpo. 
Puxando ou comprimindo a mola, estamos aplicando 
uma FORCA sobre ela. Como conseqiiencia, a mola se 
deforma, esticando-se ou comprimindo-se. 
70 	Capitulo 7 • Leis de Newton 
L ) 
Forca resultante é uma forca imaginaria que produz sozinha urn efeito 
equivalente ao de todas as forcas aplicadas sobre uma particula. 
Observe na figura ao lado que a forca 
resultante é obtida somando-se vetorial-
mente as forcas aplicadas e que ela nao é 
uma forca a mais agindo sobre o corpo, 
mas apenas a resultante das forcas que re-
almente atuam. 
S 
S 
Uma pessoa chutando uma bola, urn 
• caminhao puxando urn carro por meio de 
uma corda, um pugilista desferindo urn 
soco em seu adversario, etc. sao exemplos 
de forca nos quais é necessario urn contato 
• fisico, sendo chamadas forcas de contato. 
• 
• Ja a forca de atracao gravitacional en-
tre a Terra e a Lua ou a forca entre um find 
• e urn pedaco de ferro agem mesmo a dis-tancia, sem necessidade de haver urn con- 
• tato fisico entre os corpos, sendo chama- 
•
das forcas de campo. 
S 
Devemos lembrar ainda que todo tipo 
de forca deve ser representado atraves de 
•
vetores, pois é uma grandeza que so fica 
perfeitamente caracterizada quando se 
conhece seu modulo (ou intensidade), sua 
•
direcao e seu sentido. 
• 
• 
• 
•
Force' resultante. Equilibrio 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• +r2 
Uma particula esta ern equilibrio quando a resultante das forcas atuantes 
a) equilibrio estatico: sinonimo de repouso; 
b) equilibrio dinamico: sinonimo de movimento retilineo e uniforme. 
• • 
nula. Ha dois tipos de equilibrio: 
• 
• 
• 
• 
• 
Capttulo 7 • Leis de Newton 	71 
• 
• • 
• 
• 
• • • 
• • • 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• • • 
• 
• 
Primeira Lei de Newton ou Principio da Inercia 
Inercia é a propriedade da materia de resistir a qualquer variacao de sua 
velocidade, seja essa variacao em modulo ou em direcao e sentido (lembre-se 
de que a velocidade é uma grandeza vetorial). 
Por exemplo, urn carro, ao fazer uma curva, tende a sair pela tangente e 
manter a direcao da velocidade que possula por inercia. 
Um passageiro de urn onibus que arranca bruscamente sente-se projetado 
para tras em relacao ao onibus porque tende a permanecer em repouso por 
inercia. 
• V 
a 
 
Se o onibus esta em movimento retillneo e freia bruscamente, o passageiro 
sente-se projetado para a frente do onibus, pois tende a permanecer em movi-
mento por inercia. 
 
 
 
 
 
 
OCI 	 
 
 
 
 
Esses fatos descritos podem ser entendidos atraves do Principio da Inercia 
ou Primeira Lei de Newton, que afirma: 
U ma particula livre da acao de forcas permanece em repouso ou em movi-
mento retilineo uniforme. 
ou 
Se a forca resultante sobre uma particula e nula, ela permanece em 
equilibrio. 
72 	Capftulo 7 • Leis de Newton 
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
• •
••
••••
••
 
REFERENCIAL INERCIAL 
Urn sistema de referencia no qual vale o Principio da Inercia é um referen-
cial inercial. A Terra nao é urn sistema de referencia rigorosamente inercial de-
vido a seu movimento de rotacao, porem em fenomenos comuns, de curta du-
racao (bem menor que o period° de rotacao da Terra, isto 6, bem menor que 
24 h), a rotacao da Terra pode ser desprezada e ela pode ser considerada um 
referencial inercial. 
Nos exemplos do onibus "arrancando" ou "freando" o onibus nao é urn 
referencial inercial e o passageiro é "empurrado" para tras ou para frente EM 
RELAcA0 AO ONIBUS. A "forca" aplicada pelo onibus nao existe em relacao 
a Terra (e considerada uma "forca fictIcia" em relacao ao referencial inercial). 
Nota: 
0 Principio da Inercia foi estabelecido inicialmente por Galileu, que mor-
reu no mesmo ano em que Isaac Newton nasceu (1642). 
EXEMPLOS 
i 0 filosofo Aristoteles afirmava que urn corpo so podia permanecer em 
movimento se existisse urn forca agindo sobre ele. Tal afirmacao 
corresponde ao "senso comum" das pessoas ainda hoje. 
E correta a afirmacao de Aristoteles? Justifique. 
A primeira vista parece realmente que urn corpo so se movimenta quan-
do é puxado ou empurrado, porem Galileu mostrou que é devido a exis-
tencia da forca de atrito que isso assim parece. Se o atrito entre os corpos 
pudesse ser eliminado urn corpo poderia permanecer em movimento in-
definidamente, apenas por inercia. 
✓ Urn professor colocou urn apagador sobre uma folha de papel cedida por 
um aluno e colocou tudo sobre uma mesa. A seguir o professor puxou 
bruscamente a folha de papel e todos constataram que o apagador prati-
camente nao se mexeu, ficando no mesmo lugar em que estava. Como 
explicar este fato? Quern "segurou" o apagador? 
Na realidade ninguem segurou o apagador, simplesmente ele estava pa-
rado em relacao a mesa e assim continuou, devido a sua inercia. 
Capftulo 7 • Leis de Newton 	73 
m 
Ia 
m 
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
• •
••
••
••
••
 
EXERCICIOS 
1 A forca resultante sobre urn corpo é nula. 0 que voce pode dizer a respei-
to da velocidade do corpo? 
2 Uma pessoa esta ern pe no vagdo de urn trem. Diga (justificando) o que 
acontece com'a pessoa quando o trem: 
a) inicia o movimento; 
b) já ern movimento, faz uma curva para a direita; 
c) chegando a uma estacao, reduz a velocidade. 
0 que o use dos cintos de seguranca dos velculos tern a ver corn o princi-
pio de Inercia? 
Segundo Lei de Newton 
ou Principio Fundamental da Dinamica (PFD) 
A resultante das forcas aplicadas em uma particula produz uma aceleracao 
na mesma direcao e sentido da forca resultante e de intensidade proporcional 
ao valor desta. 
ou 
A forca resultante (F) e igual ao produto da massa (m) pela aceleracao (a) da 
particula, ou seja, F = m.r. 
Observe os esquemas a seguir, onde a forca resultante e obtida 
vetorialmente e a aceleracao tern a direcao e o sentido da mesma: 
F 
Iri 	F=m.a 
= + F2 	± F2 = M . a 
a 
F z 	
m 
	F 1 	
I F I = F l — F2 	F1 — F2 = M . a 
a 
IF l =V F? + F; = V F? + = m . a 
74 	Capaulo 7 • Leis de Newton 
-P 
Dinamometro 
m 
Balanca 
• 
• Do PFD podemos verificar que a massa é uma medida da inercia de urn 
• corpo, pois, para uma mesma forca, quanto maior a massa menor sera a varia- 
•
cdo da velocidade (aceleracao). 
Peso 
• Peso é o nome dado a forca de campo corn a qual os corpos, em especial a 
4111 	Terra, atraem outros corpos, devido ao campo gravitacional. 
•
Em queda livre, a forca resultante em urn corpo é o seu proprio peso (P) e 
a aceleracao adquirida é a aceleracao da gravidade 
0 g 	F =m . 
P = m . 
Terra 	 Terra 
Massa é uma grandeza escalar constante para determinado corpo, porem 
o peso a uma grandeza vetorial que depende do local, pois o mesmo ocorre 
com a aceleracdo da gravidade. 
A direcdo de P e g 6 vertical e seu sentido aponta para o centro da Terra. 
A intensidade (ou modulo) de g-* varia dependendo do local, porem nas proxi-
midades da superficie da Terra considera-se o valor normal igual a 9,8 m/ s 2 . 
• A massa é uma grandeza 
• fundamental da mecanica e 
pode ser obtida atraves de ba-
g) 	lamas enquanto o peso é uma 
•
grandeza derivada que pode 
ser medido atraves de dinamo- 
• metros (balancas de mola). 
• 
Unidades 
No SI a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de aceleracdo é 
o m/ s2. A unidade de forca no SI é denomiada newton (N), embora seja ainda 
comum medir forca numa unidade chamada quilograma-forca (kgf). 
1 N é a forca que aplicada em um corpo de 1 kg produz uma aceleracao de 
1 m/s2 . 
1 N = 1 kg . 1 m/s2 
1 kgf é o peso de um corpo de 1 kg num local da terra onde é normal, isto 
• 6, 1 kgf = 1 kg . 9,8 m/ s 2 = 9,8 N 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
1 kgf = 9,8 N 
• 
• 
• 
Copffulo 7 • Leis de Newton 	75 
FAB FBA • 
frna" 
B 
ferro 
FAB =— FBA 
Terceira Lei de Newton 
ou Principio da Actio e Reactio 
Se urn corpo A aplica uma forca em outro corpo B, este tambern aplica em 
A uma forca de mesma intensidade e mesma direcao, porem de sentido 
contrario. 
} FAB : forca corn que o frna (A) atrai o ferro (B) 
par acao-reacao 
FBA : forca corn que o ferro (B) atrai o ima (A) 
Importante: 
I) As forcas de acdo e reacao sao aplicadas em corpos diferentes, nao 
podendo se equilibrar mutuamente. 
II) As forcas sempre aparecem aos pares, isto é, nao existe acao sem a 
correspondente reacao. 
As situagoes ilustradas a seguir caracterizam alguns pares de acao-reacao. 
I) Urn barco corn motor de popa vai para a frente gracas a acao da Mice, 
que ao girar suas pas empurra a agua para tras. A agua reage e empurra o barco 
para frente. 
4 11111111111111111r 4.....___f• J., ......._._*. 
F 	 _- 
II) Urn foguete empurra para tras os gases produzidos em seu interior. A 
reacao dos gases sobre o foguete é que impelem o mesmo para frente. 
V 
• • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
76 	Capitulo 7 • Leis de Newton 
	 • • 
 
fio ideal 	 -Y 
1,1 
	Jr. 
 
homem puxando fio ideal 
T 
▪ 	
polia ideal 
Capaulo 7 • Leis de Newton 	77 
• 
• III) Ao andar para a frente o pe do pedestre empurra o chao para tras. 0 
• chdo reage e empurra o pedestre para frente. 
• 
411 • • • 
—• V 
 
• Forca de trace's° 
• Um fio esticado aplica nos pontos onde esta preso uma forca chamada tra- 
cao, que tern a direcao do fio. Se o fio puder ser considerado urn fio ideal, as 
•
tracoes nas duas extremidades terdo o mesmo modulo. 
(Fio ideal é aquele que teoricamente tern massa nula e comprimento inva- 
• Havel) 
• 
• • • • 
• parede 
• preso recebe a acao de forcas. 
(aplicada pela parede) 
-T 4 	 
 
(aplicada pelo homem) 
T 
fio ideal esticado 
 
•
Quando se quer mudar a direcao da forca de tracao, utiliza-se uma polia ou 
roldana. Se a polia puder ser considerada ideal, isto é, de massa desprezivel e 
• sem atrito no eixo, entdo a tracdo nos extremos do fio que passe pela polia sera 
•
a mesma, em modulo. 
• 
• f1 é horizontal. 
• T 2 é vertical. 
• mas 	= if21= T 
• 
• 
• 
E evidente que o fio permanece esticado porque nos pontos em que ele esta • 
• 
• 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
EXEMPLOS 
✓ Uma particula de massa 2 kg sofre a acao de uma forca F constante, de 
intensidade F = 10 N. Qual o modulo da aceleracao adquirida pelo bloco? 
Sendo F a -Unica forca atuante sobre a particula, ela e a propria forca resul-
tante. Assim, aplicando o PFD teremos: 
1fI=F = F=m. a= 10 = 2 . a= a= 5 m/s 2 
bloco da figura a seguir estaapoiado em urn piano horizontal sem atrito 
e submetido a acao das forcas F 1 e F2, paralelas ao piano e de mesma dire-
cao e sentido. 
F1 
/ / / / / / / / / / / / / / / 7/ / / / / / / 
Sabendo-se que m = 5 kg, F 1 =12 N e F2 = 8 N, determine o valor da acelera-
cao imposta ao bloco. 
Inicialmente, representamos todas as forcas que agem sobre o bloco. 
 
P = peso do bloco 
= reacao normal do apoio 
Na direcaovertical nao ha aceleracao, pois F e iqequilibram-se. Na direcao 
horizontal as forcas F l e F2 admitem uma forca resultante F = F 1 + F2 que acelera 
o bloco. Aplicando o PFD, vem: 
F = m . a 
F1 + F2 = M . a 
12+8 = 5 . a 
a = 4 m/ s2 
Obs.: P e N nao constituem urn par acao-reacao, pois sao aplicados no 
mesmo corpo e se equilibram. 
78 	Coptluto 7 • Leis de Newton 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• 
• v(Qual é o valor do peso de urn corpo de massa 10 kg num local onde 
• g = 9,8 m/ s 2? 
De a resposta em newton (N) e em quilograma-forca (kgf). 
•
Se g = 9,8 m/ s2 (aceleracao normal), entao: 
1 kg 1 kgf e 10 kg E 10 kgf 
Aplicando a formula: 
P=m.g = P= 10 kg . 9,8 m/s 2 	P = 980 N 
No esquema ao lado temos urn blo-
co apoiado em uma mesa colocada 
sobre a superficie da Terra. Repre-
sente, usando vetores, as forcas que 
atuam sobre o bloco e as correspon-
dentes reacoes, dizendo se é forca de 
contato ou de campo. 
As forcas que atuam sobre o bloco sao: 
P : forca de campo aplicada pela Terra. 
forca de contato aplicada pela mesa. 
As reacoes correspondentes sao: 
— P : forca de campo aplicada pelo bloco. 
— N: forca de contato aplicada pelo bloco. 
Os pares de forcas P e —P ou N e 	constituem acao-reacao e, portanto, 
nao se equilibram mutuamente. As forcas P e N nab constituem acao-reacao, 
pois ambas sao aplicadas no mesmo corpo e equilibram-se mutuamente. 
Lembre-se: 0 bloco comprime a mesa para baixo (forca —Sr ) e a mesa reage 
sobre o bloco (forca N ). 
"Os blocos da figura abaixo tern massas m A = 2 kg e mB = 3 kg. A forca F 
paralela plano de apoio dos blocos e tern intensidade 40 N. 
F A 
piano de apoio 
Nao considerando atrito entre os blocos e o plano de apoio, determine: 
a) a aceleracao dos blocos; 
b) a intensidade da forca que A aplica em B; 
c) a intensidade da forca que B aplica em A. 
Copftulo 7 • Leis de Newton 	79 
Isolamos os blocos e representamos as forcas que atuam em cada um. 
NA 
NB 
A 
F FBA 	 B 
acao-reacao 
PA 
13; 
Havendo movimento apenas na direcao horizontal, as reacoes normais do 
apoio equilibram os respectivos pesos, isto e, NA = PA e NB = PB. Por esse moti-
vo, vamos considerar apenas as forcas horizontais atuantes em cada bloco: 
F : forca aplicada pelo agente externo (cuja reac -do esta no proprio agente 
externo que a produziu); 
FAB: forca de contato que A aplica em B (cuja reacao é a forca F BA ); 
FBA: forca de contato que B aplica em A. 
Observacao: FAB = FBA, pois constituem um par acao-reacao. 
Aplicando o PFD para cada bloco: 
bloco A: F — '/BA = MA . a CD 
bloco B: 	'JAB = mB . a 0 
F = (mA + mB ) . a 
40 = (2 + 3) . a 	a = 8 m/s' 	(a) 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • 
cp. 
Nota: 
E claro que F BA = FAB
. 
Num elevador ha uma balanca de 
molas graduada em newtons. Urn 
homem de 60 kg sobre a mesma le 
720 N quando o elevador sobe corn 
certa aceleracao e 456 N quando des-
ce corn essa mesma aceleracao. Nes-
tas condicoes, qual é o valor da ace-
leracao da gravidade no local e qual 
é a aceleracao do elevador? 
80 	Capffulo 7 ♦ Leis de Newton 
(b) 	• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Substituindo em II 
	
FAB = mB • a = 3 
 
8 = 	FAB = 24 N 
Substituindo em 0 = F — FAB = MA • a 
40 — FBA = 2 . 8 
FBA = 24 N 	(c) 
a 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Isolando o homem, verificamos que sobre ele atuam duas forcas: 
P : peso do homem 
reacao da balanca (de modulo igual ao 
da acao do homem sobre a balanca) 
Aplicando o PFD, teremos: 
a) para o elevador subindo acelerado 
N = 720 N 
N>P = F=N—P m.a=N—m.g 
60 . a = 720 — 60 . g 
b) para o elevador descendo acelerado 
N = 456 N 
P>N F=P—N m.a=m.g—N 
60. a = 60 . g — 456 
Igualando as expressOes 	e II : 
720 — 60 . g = 60 . g — 456 
720 + 456 = 60 . g + 60 . g 
1176 = 120 . g 	g= 9,8m/ s2 
Substituindo o valor de g em 	, vem: 
60 . a = 720 — 60.9,8 
60 . a = 720 — 588 
60. a = 132 
	
a= 2,2 m/ s2 
Observacio: 0 valor indicado pela balanca (N) pode ser maior ou me-
nor que o peso real (P) e é comumente chamado de peso aparente. 
No exemplo anterior, quanto registrars a balanca, se o elevador subir ou 
descer corn velocidade constante? E se o cabo de sustentacao se romper? 
velocidade constante = a = 0 = F = 0 
N=P=m.g= 60 . 9,8 
	
N = 588 N 
(peso aparente igual ao peso real) 
Coplulo 7 • Leis de Newton 	81 
CD 
Sem o cabo de sustentacao, o elevador estard em queda livre, ou seja: 
F = P = P — N = P = N = 0 (peso aparente nulo) 
Nota: Diz-se que esta é uma situacao de imponderabilidade. 
/A maxima tracao que urn barbante pode suportar é de 30 N. Urn extremo 
desse barbante é preso a urn bloco de 1,5 kg, num local onde a aceleracao 
da gravidade vale 10 m/ s'. Qual é a maxima aceleracao vertical, para 
cima, que se pode imprimir ao bloco, puxando-o pelo outro extremo do 
barbante, em m/ s'? 
Desenhando-se a situacao: 
Supondo urn barbante ideal, ele ape-
nas transmite a forca F para o bloco, As-
sim: 
F—P=m.a 
Fmax — mg = m • amax 
30 —1,5.10 = 1,5 amax 
15 = 1,5 . amax 
amax = 10 m/ 
No esquema representado na figura os fios, a polia e o dinamometro sao 
considerados ideais. Nao ha forcas de atrito. 
As massas dos corpos A e B valem respectivamente 15,0 kg e 5,0 kg. Adote 
g= 10 m/ s'. 
Determine: 
a) a intensidade da aceleracao dos corpos, 
b) a indicacao do dinamometro. 
a) forcas aplicadas nos corpos A e B: 
PA = MA g = 15 . 10 = 150 N 
PB = MB • g = 5,0 . 10 = 50 N 
82 	Copftulo 7 • Leis de Newton 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
a
t 
• • • Aplicando o P.F.D. a cada corpo isoladamente: 
•
CD PB 	mB • a 
0 
3( = mA • a 
• PB = (MA + mB) • a 
• 50 = (15 + 5,0) . a 	a = 2,5 m/ 
40 	b) 0 dinamornetro indica a intensidade da forca de tracao (T) no fio, que 
• pode ser calculada por qualquer das equagoes anteriores: 
• 
• 
• 
• • 
T = 	. a 
T = 15 . 2,5 
T = 37,5 N 
ExERciaos 
PB 	T = MB • a 
50 — T = 5,0 . 2,5 
T = 37,5 N 
• 4 Quando afirmamos que uma particula esta em equilibria podemos ga-rantir que a particula se encontra necessariamente: 
• a) em repouso. 
•
b) em movimento. 
'c) em repouso ou movimento retilineo uniforme. 
• d) todas as alternativas estao erradas. 
• Forca resultante quer dizer, necessariamente: 
•
a) a unica forca que age sobre um corpo. 
in) a soma vetorial de todas as forcas que agem sobre um corpo. 
• c) a soma algebrica de todas as forcas que agem sobre urn corpo. 
•
d) todas as alternativas estao corretas. 
• 6 Uma forca horizontal, de intensidade 30 N, atua sobre urn corpo que ini-
cialmente se encontra em repouso sobre uma superficie lisa e horizontal. 
•
Apos 2 segundos, sua velocidade é de 30 m/s. Calcule a massa do corpo. 
• Durante quanto tempo uma forca de 120 N deve atuar sobre urn corpo de 
massa 5 kg para aumentar sua velocidade de 1 m/s para 25 m/s? • 
• Urn automovel corn velocidade de 20 m/s é freado quando urn motorista 
ye urn obstaculo. 0 carro é arrastado por 40 metros ate parar. Se a massa 
•
do carro é de 1.000 kg, qual a intensidade da forca media que atuou no 
automovel durante a freada? 
• 9 Seu carro tem uma aceleracao maxima de 4 m/ s 2. Voce reboca urn carro 
• enguicado identico ao seu. A aceleracao maxima que voce podera conse- 
• guir nessa circunstancia (supondo sempre a estrada horizontal): 
a) sera igual a 4 m/ s 2 . 
• b) podera ser maior que 4 m/ s 2 . 
c) nao podera ser maior que 2 m/s 2 . 
d) estard compreendida entre 2 m/ s 2 e 4 m/s2 . 
• Captlulo 7 • Leis de Newton 83 
• 
• 
10 Urn corpo de massa m = 2 kg e puxado por uma forca e move-se corn 	• 
aceleracao de 12 m/ s 2. Qual o valor dessa forca? 
a) 12 N. 
b) 14 N. 
c) 24 Kgf. 
d) 24 N. 
11 Dois blocos A e B, de pesos respectivamente iguais a 30 N e 70 N, apoiam-
se sobre uma mesa horizontal. 0 atrito entre os blocos e a mesa é desprezi-
vel. Aplicando-se ao primeiro bloco uma forca F = 50 N e supondoa acele-
raga° da gravidade g = 10 m/ s 2, a aceleracao comunicada ao sistema vale: 
a) 5 m/s2 . 
b) 4 m/s2 . 
c) 3 m/s2 . 
d) 2 m/s2 . 
12 Em relacao ao exercicio anterior, a tracao no fio ideal que liga os blocos 
A e B vale, em newtons: 
a) 50 	b) 35 	c) 25 	d) 15 
13 Sobre urn corpo de massa 50 kg agem simultaneamente duas forcas per-
pendiculares entre si, corn intensidades de 40 N e 30 N, tendo a primeira 
direcao horizontal. Calcule a intensidade da aceleracao resultante. 
14 Urn bloco esta em repouso sobre a superficie de uma mesa. De acordo 
corn o Principio da Acao e da Reacao de Newton, a reacao ao peso do 
bloco é: 
a) a forca que o bloco exerce sobre a mesa. 
b) a forca que a mesa exerce sobre o bloco. 
-g) a forca que o bloco exerce sobre a Terra. 
d) a forca que a Terra exerce sobre o bloco. 
e) uma outra forca aplicada ao bloco. 
15 Quando a resultante das forcas que atuam sobre urn corpo e 10 N, sua 
aceleracao é 4 m/ s 2 . Se a resultante das forcas fosse 12,5 N, a aceleracao 
seria: 
a) 2,5 m/ s2 . 
b) 5 m/s2 . 
c) 7,5 m/ s2 . 
d) 10 m/s2 . 
e) 12,5 m/ s2 . 
16 Em relacao as forcas do par acao-reacao é correto afirmar que: 
a) primeiro surge a acao e, apps urn certo intervalo de tempo, a reacao. 
b) sao forcas iguais. 
c) sao forcas de igual intensidade, porem de sentidos contrarios: 
logo se anulam. 
d) atuam sempre em corpos distintos. 
84 	CapItulo 7 • Leis de Newton 
F 
A 
	
B 
/ / / / / / / / / / / / / 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
I • • • 
I • • • • • • • 
--■ 
F 
F- 
(Fatec-SP) 0 enunciado a seguir corresponde aos, testes 17 e 18. 0 bloco A 
da figura tern massa m A = 80 kg e o bloco B tem massa m B = 20 kg. A forca 
F tern intensidade de 600 N. Os atritos e a inercia do fio e da polia sao 
desprezIveis. 
	1 
B 
Considere g = 10 m/ s 2 • 
17 A aceleracao do bloco B é: 
• a) nula 
• b) 4,0 m/ s2 para baixo 
c) 4,0 m/ s 2 para cima 
• d) 2,0 m/ s2 parabaixo 
IP 	e) 2,0 m/ s 2 para cima 
• 18 A intensidade da forca que traciona o fio é: 
• a) nula 
b) 200N 
• c) 400N 
d) 600N 
• e) 280N • 19 (UFES) Desprezando-se os atritos, a aceleracao do bloco A sera de: 
• a) 12,0m/ s2 
•
b) 9,8m/ s 2 
c) 4,8m/ s2 
• d) 4,0m/ S2 	 B 	 F = 24N 
•
e) 2,4m/ s 2 
4) 
I 	20 Dois corpos A e B, de massas respectivamente iguais a 2,0 kg e 3,0 kg, 
• estao apoiados sobre uma superficie horizontal perfeitamente lisa. Uma 
forca horizontal F = 20,0 newtons, constante, é aplicada no bloco A. A 
• forca que A aplica em B tem intensidade dada ern newtons de: 
• a)4 b) 6 
• c) 8 
•
d) 12 
e) 20 
• 
• 
• 	 Capftulo 7 • Leis de Newton 	85 
• 
• • • • • • • • • 
3kg 
2kg 
A 
V(ms) 
2 
1 2 3 4 5 6 	t(s) 
(MACK-SP) Admita que sua 
massa seja 60 kg e que voce es-
teja sobre uma balanca, dentro 
da cabina de urn elevador, 
como ilustra a figura. Sendo 
g = 10 m/s2 e a balanca calibra-
da em newtons, a indicacao 
por ela fornecida, quando a ca-
bina desce corn aceleracao 
constante de 3 m/s 2, é: 
a) 180N 
b) 240N 
c) 300N 
d) 420N 
e) 780N 
 
• • • • • • • • • 
• 
 
 
y 
(FGV-SP) 0 grafico abaixo refere-se ao movimento de urn carrinho de mas- 
sa 10 kg lancado corn velocidade de 2 m/ s ao longo de uma superficie 
horizontal. A forca resultante que atua sobre o carrinho, em modulo, é de: 
a) 0,5N 
b) 2N 
c) 4N 
d) 20N 
e) 40N 
• • • • • • • • • • • • 
86 	Capitulo 7 • Leis de Newton 
	 • • 
• • • • • • • • • 
• 
• 
• ) Atrito • 
• 
• Voce é capaz de andar normalmente sobre uma superficie bem lisa, como a 
• de urn piso de granito ensaboado ou uma pista de patinacao de gelo? 
•
A experiencia mostra que isto é bastante dificil. Por que motivo? 
Na realidade quando andamos para frente fazemos com nossos pes uma 
• forca para tras no piso em que nos apoiamos. 
Sendo lisa a tendencia de nosso pes é de escorregar sobre a superficie, da 
•
mesma forma que urn carro "patina" quando as rodas motrizes estao sobre as-
falto em que caiu oleo. 
• Para que possamos andar é ne- 
• cessario haver atrito entre os pes e a 
superficie de apoio, de tal forma que 
• a reacao da superficie sobre nossos 
• pes nos empurre para a frente 	 reacao da 
A forca trocada entre os pes e a 	 superficie 
• superficie na direcao do movimento 
(force de atrito) 
•
é uma forca de atrito. Os pes tendem 
a it para tras em relacao a superficie 
• e a forca de atrito sobre eles é para a 
•
frente. 
 
 
 
force exercida pelo pe sobre 
(force de atrito) 
a superficie 
 
 
• A forca de atrito e sempre contraria a tendencia de movimento relativo 
• entre as superficies em contato. 
IP 
• • • 
• 
Atrito estatico e atrito diatomic° 
• As forcas de atrito entre dois corpos que escorregam ou tendem a escorre-
gar urn ern relacao ao outro podem ser: 
• a) forca de atrito estatico (Fate
) 
• 
A forca de atrito 'uma forca de reacao ao movimento ou a tentativa de 
produzi-lo e, portanto, nao existe forca de atrito sem a solicitacao de uma 
forca motriz (forca que tenta movimentar um corpo). 
E a forca que atua no corpo enquanto nao se inicia o processo de escorrega- 
• mento. 
• • 
Capitulo 8 ♦ Atrito 	87 
N 
FAT 
—0- F 
(forca 
solicitadora) 
P 
iminencia do movimento 
movimento 
F (forca 
solicitadora) 
Suponha que voce tente mover um 
corpo comunicando-lhe uma determina-
da forca. Voce nao consegue seu intento e 
aplica uma forca de maior intensidade, 
mas ele ainda nao se movimenta. Voce, 
entdo, aplica uma forca de intensidade 
ainda maior, ate conseguir movimenta-lo. 
Verifique que a forca de atrito estatico vai aumentando de valor enquanto 
o corpo ainda esta em repouso, ate atingir um valor maximo, chamado forca 
de atrito maxima (Fatmax), a partir do qual o corpo comeca a escorregar. 
Ao atingir o valor maxim° o corpo fica na iminencia de escorregar. 
b) forca de atrito dinamico (Fat d) 
E a forca que atua no corpo enquanto ele esta em movimento. Essa forca 
tem valor constante, ao contrario do que ocorre corn a forca de atrito estatico, 
que aumenta de zero ate o valor da forca de atrito maxima. 
0 grafico a seguir representa o modulo da forca de atrito em funcao do 
modulo da forca motriz. 
FAT 
Forgo de atrito maxima 
A experiencia mostra que a for-0 de atrito maxima tern modulo proportio-
nal a compress -do que o bloco exerce sobre a superficie, isto é, quanto mais corn-
primido estiver o bloco sobre a superficie, maior sera o valor da forca de atrito 
maxima. Como esta compressao tern valor igual ao da reacao normal N da su-
perficie sobre o bloco, podemos escrever que: 
Fatmax 	N 
forca de compressao 
– N = reacao normal 
F AT J) 
—N 
88 	Capitulo 8 • Atrito 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• 
• A constante de proporcionalidade entre F atmax e N é representada por µe e é 
• denominada coeficiente de atrito estatico. 0 valor de lie depende da natureza 
das superficies em contato, do polimento destas superficies e da existencia ou 
• nao de lubrificacao entre elas. • 
• Forces de Atrito Dinamico 
• Verifica-se que o modulo de F:td e menor do que o modulo F atmax, isto 6, o 
•
valor da forma de atrito diminui quando o movimento se inicia. 0 valor do 
modulo de Fatd e praticamente constante (independente da velocidade do corpo) 
411 	e proporcional ao valor da compressao normal que o corpo exerce na superficie. • 	Fatd = Rd • N • 
• sendo j.tc o coeficiente de atrito cinetico entre o corpo e a superficie. 0 valor de 
depende dos mesmos fatores que afetam µe e, evidentemente, para duas su- 
• perficies dadas, temos < • 
•
EXEMPLOS 
410 	✓A figura ao lado mostra uma forca 
•
horizontal F aplicada a urn bloco A 
que se encontra inicialmente em re- 
pouso sobre urn piano horizontal. 	
///!///////// 
411 	Sabe-se que a massa do bloco e 4 kg e os coeficientes de atrito valem: 
lie = 0,5 e gd = 0,3. Adotando g = 10 m/s', calcule as forcas de atrito que 
• agem no corpo, bem como as aceleracoes deste, para os seguintes valores 
•
de F : 
•
a)F = 10 N; 
b) F = 20 N; 
• c) F = 40 N. 
Isolemos o bloco A, representando as forcas que agem sobre ele: 
N
. 
Como sabemos que o bloco esta em equilibrio, teremos: 
N=P = N=m.g = N= 4 .10 = N= 40N 
Capitulo 8 • Atrito 	89 
A 
• • • • • • • • • • • 
F rat 
Para calcularmos as forcas de atrito, devemos inicialmente determinar a 
forca de atrito de maxima (F atmax ). 
	
Fatmax = µe . N = Fatmax = 0,5 . 40 	Fatdest = 20 N 
a) F = 10 N 
Nao superamos Fatmax e o corpo esta em repouso: 
F 0 = F — Fat 	Fat = F 	at = 10 N e a = 0 
b) F = 20 N 
Nao superamos Fatmax e o corpo permanece em repouso: 
0 = F Fat 	Fat = F 	Fat = 20 N e a = 0 
C) F = 40 N 
Superamos Fatmax e o corpo esta entao em movimento acelerado. 
A forca de atrito é dinamica e vale: Fatd = I.td . N 
Fatd = 0,3 . 40 	Fatd = 12 N 
Aplicando o PFD: 
FR =F— Fatd 	m.a=F— Fed 	4 .a= 40-12 
a = 7 m/s 2 
vt Um corpo de massa 10 kg esta em MRU sobre um plano horizontal e su-
porta a acao de uma forca horizontal F de valor 20 N. Qual o valor do 
coeficiente de atrito dinamico entre o corpo e o piano? (Adote g = 10 m/ s 2.) 
Temos no corpo a acao de quatro forcas: 
/////////////1/*//////////// 
Como nao ha aceleracao vertical: 
N=P=m.g = N=10.10 = N= 100 N 
O movimento horizontal é uniforme. Entao: 
0 = F — Fatd 	Fatd = F 	Fatd = 20 N 
Mas, Fatd = µd . N 	20 = .L (1 . 100 	11d = 0,2 
90 	Copilulo 8 • Atrito 
• • • • • • • • • • • 
• 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • EXERCICIOS • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
✓Dois blocos identicos, ambos 
corn massa m, sao ligados por 
urn fio leve, flexivel. Adotar 
g= 10 m/s'. A polia é leve e o 
coeficiente de atrito do bloco 
corn a superficie é g = 0,2. 
Qual é a aceleracao dos blocos? 
Isolando cada bloco e aplicando o P.F.D. teremos: 
N 3`—Fat =m.al 
P-1=m.aj 
F AT 
T P — Fat = 2 m . a 
mg—i.t.N= 2 m.a 
Mg — 	. 	= 2,M .a 
10 — 0,2 . 10 = 2 . a 
10 — 2 = 2 . a 	a = 4 m/s2 
P 
Consideremos um bloco de massa igual a 20 kg em repouso sobre uma 
mesa. Os coeficientes de atrito entre o bloco e a mesa sao µ e = 0,25 e 
= 0,20. Aplica-se ao bloco uma forca horizontal de 40 N. Pede-se a in-
tensidade da forca de atrito. (Admita g = 10 m/s 2). 
2 Os corpos A e B do esquema tern 
massas respectivamente iguais a 
2 kg e 8 kg. Sendo µ e = 0,5, i.td = 0,2 e 
g = 10 m/s2 e admitindo que os fios e 
a polia sao ideais, pergunta-se: 
a) se havera ou nao movimento; 
b) a aceleracdo do sistema; 
c) a tracao no fio. 
3 0 coeficiente de atrito entre os blocos representados e o piano é 0,20. Qual 
o valor da forca (F) constante capaz de arrasta-los corn aceleracao cons-
tante de 0,5 m/ s'? (Admita g = 10 m/s 2 .) 
CapItulo 8 • Atrito 	91 
4 Urn corpo de 2 kg é empurrado num piano horizontal corn velocidade de 
3 m/s. Cessada a forca, ele percorre 1,5 m ate parar. Calcule coeficiente de 
atrito dinamico entre o corpo e o piano. (Admita g = 10 m/s 2 .) 
5 Um corpo de 20 N de peso, sobre um piano horizontal, é puxado por uma 
forca F tambem horizontal, de 5 N. Determine a aceleracao do corpo, sa-
bendo que o coeficiente de atrito é 0,2 e g = 10 m/s 2 . 
6 (Med.-Jundia1) Um corpo de peso igual a 10 N desliza sobre uma superff-
cie horizontal. 0 coeficiente de atrito constante é igual a 0,20. Para que a 
velocidade vetorial do corpo seja constante, é necessario manter aplicada 
uma forca horizontal cujo modulo, em newtons, é igual a: 
a) 0,20 	 d) 20 
b) 2 	 e) 50 
c) 10 
7 Urn bloco de 5 kg de massa esta em repouso numa superficie. Os coefici-
entes de atrito estatico e dinamico sao respectivamente iguais a 0,4 e 0,3 e 
g = 10 m/s 2 . 
a) Determinar a intensidade da torca horizontal com que o bloco deve ser 
puxado para que fique na iminencia de deslizamento. 
b) Determinar a intensidade da aceleracao sobre o bloco quando ele é puxa-
do por uma forca de 50 N que forma urn angulo de 60° corn a horizontal. 
8 (PUC-RS) Urn bloco de 20 kg de massa é arrastado sobre um piano 
horizontal por uma forca de 100 N tambem na horizontal, movendo-se 
corn uma aceleracao de 1 m/s 2. Supondo a aceleracao da gravidade 
g = 10 m/s2, o coeficiente de atrito cinetico entre o bloco e o piano é: 
a) 0,5 	b) 0,4 	c) 0,3 	d) 0,2 	e) 0,1 
9 (Unifor-CE) Sob a acao de uma forca F de 50N de intensidade, um corpo 
de 8 kg tern uma aceleracao de 5 m/s 2 . Considerando que apenas a forca 
de atrito (F at ) interfere no movimento, seu valor, ern newtons, é: 
a) 5 	b) 10 	c) 20 	d) 30 	e) 40 
10 (Fuvest-SP) Um bloco de 10 kg move-se com atrito sobre urn piano hori-
zontal. No instante t = Os sua velocidade é de 1 m/s e no instante t = 10 s 
ele para. Qual o valor da forca de atrito? 
a) 0,1 N 	b) 0,5 N 	c) 1 N 	d) 5 N 	e) 10 N 
92 	Capitol° 8 • Atrito 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
F' < P 
• • • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • • • • 
• 
• • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Plano Inclinado 
Sabemos pela observacao dos fenomenos que é mais facil levantar urn ob-
jeto usando uma rampa do que faze-lo verticalmente. Isto ocorre porque numa 
rampa ha apoio do objeto, neutralizando parte do peso do corpo, o que nao 
acontece se tentarmos ergue-lo verticalmente. 
F = PI 
Componentes da forca peso 
Suponhamos urn corpo deslizando sobre urn piano inclinado de urn Angu-
lo a , sem nenhum atrito. 
As forcas que atuam no corpo sao apenas o seu peso (P) e a reacao normal 
do apoio ( N ). 	
N 
 
r= &*+ F 
 
A resultante das forcas P e if aceleram o corpo na direcao do piano, para 
baixo. 
• Para facilitar a resolucao de 
muitos problemas é usual de- 
• compor a forca pelo peso em 
•
duas componentes, numa tan-
gencial ao planog t) e outra nor- 
• mal ao mesmo (P N ). • • • 	 Capftulo 9 • Plano Indinado 	93 • 
• • 
Assim temos: 
a) componente tangencial (P t): é a parcela do peso que quer fazer o corpo 
descer. Seu valor é dado por: 	 • 
• 
Pt = P . sen a 
onde P é o peso do corpo e a o angulo de inclinacao com a horizontal. 
b) componente normal (P n): é a parcela do peso que equilibra a reacao 
normal de apoio aplicada pelo piano. Seu valor é dado por: 
Pn = P . cos a 
Nao havendo atrito, a componente P t faz o papel de forca resultante, pois 
N e PN se equilibram. Portanto, nao havendo atrito: 
F = Pt 
ma = m. g . sen a 
a= g . sen a 
EXEMPLOS 
✓Um corpo de peso P esta apoiado sobre uma superficie inclinada de urn 
angulo a em relacao a horizontal. Determine o coeficiente de atrito estati-
co entre as superficies, sabendo que o corpo esta na iminencia de movi-
mento. 
0 corpo esta sob acao da forca peso 
(P) e da forca de contato com o pia-
no, que vamos decompor em duas: 
forca normal (N) e forca de atrito 
(F at ) orientada para cima, pois o cor-
po tende a se mover para baixo. A 
forca de atrito é maxima pois o corpo 
esta na iminencia de movimento. 
Podemos decompor o peso P em 
duas componentes, P t e P, nas dire-
goes do piano e perpendicular ao 
piano. 
Como o corpo esta em equilibria po-
demos estabelecer uma igualdade 
entre os valores das forcas opostas: 
N = Pn e 	F - atmax = Pt 
94 	Capffulo 9 • Plano Indinado 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • 
✓Dada a figura, calcule a acele-
rag -do dos blocos e a forca 
tensora no fio que os liga, sa-
bendo que nao existe atrito en-
tre o bloco B e o piano. 
mA = 6 kg 
mB = 4 kg 
sen 30° = 0,5 
g = 10 m/s2 
Dados 
Isolemos os blocos A e B, colocando em cada urn as forcas que agem so-
bre eles: 
a 
Tili 
P A 
• • 
•
Portanto: 
N = Pn = P . cos a 
• Fent" = Pt = P . sen a 
O [i. e . N = Pt = P . sen a 
•
ge . pi. cos a = pi. sen a 
sen a 
– tg a O 11 e - cos OE • 11 e = tg a 
• 
40 	✓Calcule a aceleracao de urn corpo que desce urn piano inclinado sem atrito. 
• Dados { g = 10 m/s2 
•
a = 30° (Angulo de inclinacao do piano) 
A forca resultante que faz corn que o corpo desca é a componente 
• tangencial da forca peso: 
• F = Pt = m . a = mg sen a 
•
a = g sen a 
a =10 . sen 30° 
n 
a = 1u . 1 — = a = 5 m/ s2 
2 
No bloco B as forcas P n e Kise equilibram: 
Pn = N 
Copilot° 9 • Plano Indinodo 	95 
• • • • • • • • • • 
6 • • • • • 
S • • 
Como A tern mais massa que B e nao esta apoiado, A deve descer e B deve 
subir. Entao: 
corpo A: mA . a = mA g — T 
	
6 . a = 6 . 10 — T 	6a = 60 — T 0 
corpo B: mB . a = T — mB g sen 30° 
4 . a = T — 4 . 10 . 0,5 = 4a = T — 20 
Somando e 	vem: 
6a = 60 — T 
4a = T — 20 j 
10a = 40 	a = 4 m/s2 (aceleracao dos blocos) 
Substituindo ern II , vem: 
4 . 4 = T — 20 	T = 36 N (forca tensora) 
✓Calcule a aceleracao do bloco 
abandonado no piano da figu-
ra, sabendo que ha atrito. 
sen a = 0,8 
cos a = 0,6 
g = 10 m/s2 
lid = 0, 5 
Forcas que agem no bloco: 
Sabemos que: 
N= Pn = P . cos a = N=m.g.cosa 
A forca resultante vale: F = Pt — Fat 0 
Pelo PFD: F=m.a 0 
Mas: Fat = P d . N 
	
Fed = 	m g . cos a 
e 	Pt =m. g.sen a 	IV 
Substituindo 	0 em0 vem: 
j7ri . a = 	g sen a — i.t d . 	g . cos a 
a = g . sen a — 	 . g . cos a = 10 . 0,8 — 0,5 . 10 . 0,6 
a = 5 m/s2 (aceleracao do bloco) 
96 	Capftulo 9 • Plano Indinodo 
• • • • • • • 
S 
• • • • • • • 
S • • • • • 
• • • • • • 
I 
Dados 
• • 
• • • E X E RC C 105 
• 1 No esquema apresentado, temos: 
mA = 20 kg 
• mB = 30 kg 
•
g = 10 m/s' 
0 atrito entre os blocos e o piano e na 
• roldana é desprezivel. Determine: 
•
a) a aceleracao do sistema; 
b) a tracao no fio. 
2 Um corpo de 20 kg, colocado num piano inclinado de 3 m de altura e 5 m • 	de comprimento, desce o piano corn movimento uniforme. Pode-se con- 
• a) o coeficiente de atrito entre o corpo e o piano é nulo. 
cluir que: 
• b) o coeficiente de atrito entre o corpo e o piano é 0,75. 
c) a forca de atrito é igual ao peso do corpo. 
• d) a forca de atrito é maior do que o peso do corpo. 
•
e) é impossivel qualquer conclusao. 
• 
• 
	3 Urn homem de peso igual a 600 N, apoiado em urn patim, é puxado para 
cima por meio de uma corda paralela ao piano inclinado. Os atritos sao 
despreziveis. Se o movimento tem velocidade constante, a forca F aplica-
da para fazer o homem subir e, em modulo e em newtons, igual a: • 	
a) 600 
• b) 600 VT 
•
c) 300 
d) 450 
• e) 500 
• 
411 
• 
• 
• 
• 
• 
4 Em relacao ao exercicio anterior, a forca de tracao na corda, ainda no caso • 	da velocidade constante, tern intensidade: 
• a) maior que F. 
•
b) menor que F. 
c) igual a F. 
• d) independente de F. 
•
e) nada se pode concluir. 
• 	 Capffulo 9 • Plano Indinado 	97 • 
Urn corpo de peso P encontra-
se apoiado sobre urn piano in-
clinado de urn angulo de 30° 
em relacao a horizontal. Deter-
mine o coeficiente de atrito es-
tatico entre as superficies do 
corpo e do piano, sabendo que 
o corpo encontra-se na imi-
nencia de movimento. 
• • • • • • • • • • • • • 
• 
6 (MACK-SP) Os corpos A (m A = 2,0 kg) 
e B (mB = 4,0 kg) da figura ao lado so-
bem a rampa corn movimento unifor-
me, devido a acao da forca F , paralela 
ao piano inclinado. Despreze os atri-
tos e adote g = 10 m/s 2 . 
Qual é a intensidade da forca que A 
exerce em B? 
• • • • • • • • • • • • • • • • • 
98 	Capitulo 9 • Plano Inclinado 
	 • • 
F 
Movimento retilineo acelerado 	 Movimento retilineo retardado 
• • • • 
• • 
• Dinamica dos 
• Movimentos Curvilineos • 
• Forst' resultante centripeta 
• De acordo corn o PFD uma particula de massa m sujeita a acao de uma 
•
forca F apresenta uma aceleracao a na mesma direcao e mesmo sentido da for-
ca, tal que F = m . 
• F' 	0 ---.
►• 	 -11, 
•
M 
•
E em relacao a velocidade V da particula, tera tambem sempre a mesma 
direcao e sentido da forca F? 
• A resposta é NAO. A direcao e o sentido da forca so coincide corn o da 
•
velocidade se a particula estiver em movimento retilineo e acelerado. Se o mo- 
vimento for retilineo retardado a forca tern ainda a mesma direcao porem sen- 
• tido oposto ao da velocidade. 
• Se o movimento for circular, ainda que uniforme, a forca nao tern a mesma 
• direcao da velocidade, pois a variacao da direcao de V é caracterizada pela 
aceleracao centripeta (4). Tal aceleracao tern uma forca responsavel, denomi- 
• nada forca resultante centripeta (F cp), dada pela expressao: 
F = m . op 	 cp 
Tal como a aceleracao centripeta, a forca resultante centripeta (F cp) aponta 
sempre para o centro da curva e é perpendicular ao vetor velocidade. 
Copftulo 10 • Dinamica dos Movimentos Curvilineos 	99 
• 
• • 
• 
• • • • • • • • 
trajetOria 
FOP 
a c 
• 
• • • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • 
Como I = —V , onde R é o raio da circunferencia, entao: 
2 
Fcp = m . —
V 
Componentes da forgo resultante 
De uma maneira geral, se uma particula estiver em movimento nao 
retilineo e nao uniforme, a forca resultante aponta para a parte "de dentro" da 
curva e pode ser decomposta em duas componentes, uma tangente a trajetoria 
(tal como o vetor velocidade V) e outra normal ("perpendicular") a tangente. 
normal 
tangente 
Assim como a forca resultante é 
F= m.a 
a componente tangencial da forca resultante é 
= m at 
e a componente normal da forca resultante (forca resultante centripeta) é 
F cp = m . 
A forca resultante é obtida somando-se vetorialmente as componentes 
tangencial e centripeta: 
100 	Copftulo 10 • Dinamico dos Movimentos Curvilineos 
ou, em modulo, lembrando que o 
triangulo hachurado é retangulo e 
aplicando o teorema de Pitagoras: 
F2 = F2 + F2 t 	cp 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
Quando uma particula descreve uma trajetoria curvilinea ha uma compo-
nente centripeta da forca resultante. Tal componente tern sempre urn agente 
fisico responsavel. Por exemplo, ao fazer uma curva num solo piano, a compo-
nente centripeta da resultante é a forca de atrito entre os pneus e o solo (N e P 
se equilibram). 
Num corpo girando sobre uma mesa lisa horizontal ligado a um fio ideal 
fixo no centro, a forca resultante centripeta nada mais é que a tracao T do fio. 
(N e P se equilibram). 
Fop = PAT 
rcp f 
— 
— 	 . 
. 	 . 
I , 
. 	 1 
T 	: t 
J. 
. 
. 
, — — — io- — — — — — 
EXEMPLOS 
lima pessoa gira uma pedra por meio de um barbante num piano vertical. 
Quando a pedra passa pelo ponto mais alto de sua trajetoria, sua velocida-
de vale 5 m/ s; quando passa pelo ponto mais baixo, sua velocidade vale 
6 m/s. Calcule a forca exercida pela pessoa no barbante nessas duas 
posiceies. 
m = 4 kg (massa da pedra) 
R = 0,5 m (comprimento do barbante) 
Dados g = 10 m/s' 
Seja A o ponto mais alto da traje-
toria. Nesse ponto, as forcas que 
atuam na pedra estao representa-
das na figura ao lado: 
T 1 — forca aplicada pelo barbante 
P — peso da pedra 
Copilot° 10 • Dinelmica dos Movimentos Curvilfneos 	101 
Como estas for-gas tern mesma direcao e apontam para o centro, a resultan-
te é centrIpeta. 
Fcp = T1 + P 
mv2 — T 1 + mg 
mv2 
— R mg 
4 . (5 )2 T1 — 
	
4 . 10 = 200 — 40 
0,5 
T1 = 160 N 
Seja B o ponto mais baixo da trajetoria. A figura anterior mostra as forcas 
que atuam na pedra nesse ponto: 
T2 — forca aplicada pelo barbante 
P — peso da pedra 
Fcp = T2 — P 
T2 mg 
R 
mv2 
T2= 	
R + mg 
4 . (6)2 
T2 — 	+ 4.10 = 288 + 40 
0,5 
T2 = 328 N 
/Um autornovel de massa m = 1200 kg deve fazer uma curva de raio 
R = 100 m numa estrada plana e horizontal, corn velocidade constante e 
igual a 72 km/h. Qual deve ser o coeficiente de atrito entre as rodas e a 
estrada para que o carro nab derrape? 
Dado: g = 10 m/s 2 
km 	100m 	 • v = 72 	— 72 	— 20 m/ s 
h 	3 600 s 
Podemos considerar que ha tres forcas: o peso 1 34 a normal ST e a forca de 
atrito F at . Sendo a estrada plana e horizontal, N e P se anulam. 
102 	Capftulo 10 • Dinamica dos Movimentos Curvilineos 
• • 
S • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
R 
mv2 
• • • • • • • 
• 
• Logo, a resultante centripeta é igual a forca de atrito, responsavel pela 
• curvatura da trajetoria. 
• Fcp = FAT 
•
MV2 N• 
R 2 110 	 R 	121 g 
• v2 • gR 
• (20)2 	400 - 	- 0,4 • 10 . 100 	1 000 
S 
1.1 = 0,4 
• 
11 
EXERCiCIOS 
• 	Uma particula de massa igual a 4 kg descreve urn movimento uniforme 
• 	sobre uma circunferencia de raio R = 5 m. Sabendo-se que a velocidade 
da particula vale 10 m/s, qual é a intensidade da forca centripeta? 
• 2 Urn veiculo de massa 1.600 kg per-
corre urn trecho de estrada (dese- 
• nhada em corte na figura e contida 
•
num piano vertical), em lombada, 
corn velocidade de 72 km/ h. De- 
• termine a intensidade da for-ca que o 
leito da estrada exerce no veiculo 
quando este passa pelo ponto mais 
•
alto da lombada. 
(Admita g = 10 m/ s 2 .) 
• 
•
3 Urn 'novel percorre uma circunferencia em movimento uniforme. A forca 
resultante a ele aplicada: 
• a) é nula porque nao ha aceleracao. 
•
b) é dirigida para o centro. 
c) é dirigida para fora. 
• d) é tanto maior quanto menor a velocidade. 
e) é tangente a trajetoria. 
• 
• 	 Capttulo 10 • Diniimica dos Movimentos Curvitineos 	103 • 
Admitamos que voce esteja apoiado, em pe, sobre o fundo de urn cilindro 
de 4 m de raio, que gira em torno de seu eixo vertical. Admitindo 
g = 10 m/ s2 e o coeficiente de atrito g entre a sua roupa e a superficie do 
cilindro igual a 0,4, a minima velocidade tangencial que o cilindro deve 
ter para que, retirado o fundo do mesmo, voce fique "preso" a parede 
dele é: 
a) 10 m/s 	b) 8 m/s 	c) 9 m/s 	d) 11 m/s 	e) 12 m/s 
(PUC-MG) Uma pedra de peso P gira em urn piano vertical presa a extre-
midade deem barbante de tal maneira que este é mantido sempre estica-
do. Sendo F , a resultante centripeta na pedra e T a tracao exercida sobre 
ela pelo barbante e considerando desprezivel o atrito corn o ar, seria ade-
quado afirmar que, no ponto mais alto da trajetoria, atua(m) na pedra: 
a) as tres forcas P, T e F,. 
b) apenas a forca P. 
c) apenas as duas forcas e P 
d) apenas as duas forcas F e T. 
e) apenas as duas forcas T e P . 
(Fatec-SP) Uma esfera de 2,0 kg de massa oscila num piano vertical, 
suspensa por urn fio leve e inextensivel de 1,0 m de comprimento. Ao 
passar pela parte mais baixa da trajetoria, sua velocidade é de 2,0 m/s. 
Sendo g = 10 m / s2, a tracao no fio quando a esfera passa pela posicao 
inferior e, em newtons: 
a) 2 	b) 8 	c) 12 	d) 20 	e) 28. 
(Cesgranrio) Oito criancas de massas iguais estdo sentadas em uma roda-
gigante, que gira corn velocidade angular constante no sentido indicado 
nas figuras das opceies abaixo. A linha tracejada indica, em cada figura, a 
direcdo da vertical. Em qual dessas opcoes as forcas resultantes que 
atuam sobre as oito criancas estao mais bem ilustradas? 
• 
• • • 
• • • • • • • 
• • • • • • • • • • 
a) 
t 
e) • • • 
• 
(UFPB) Urn carro de formula 1 percorre uma curva circular de 50 m de 
raio a uma velocidade constante de 180 km/h. Determine quantas vezes a 
aceleracao do carro é maior do que a aceleracao da gravidade. (Considere 
g = 10m/s2.) 
104 	Copftulo 10 • Dinamica dos Movimentos Curvilineos 
d) 
I CI) 
\\. e4 
• • • • • • • • • 
• 
Uma motociclista descreve uma circunferencia vertical num "globo da 
• morte" de 4 m de raio. Que forca é exercida sobre o globo no ponto mais 
•
alto da trajetoria, se a velocidade da moto al é de 12 m/s? A massa total 
(motociclista + moto) é de 150 kg. 
• a) 1500 N 	b) 2400 N 	c) 3900 N 	d) 5400 N 	e) 6900 N 
• 10 Numa curva horizontal de 200 m de raio, o coeficiente de atrito estatico en- 
• tre os pneus de urn carro e a estrada e Il e = 0,2. Considerando g = 10m / s 2, 
determinar a velocidade escalar maxima que o automovel pode alcancar na 
• referida curva. 
• 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• Capftulo 10 • Dinamica dos Movimentos Curvilineos 	105 • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
, 1 , I Energia, Trabalho e 
Potencia 
0 conceito de energia é intuitivo, ou seja, "sabemos" o que é energia sem 
que ninguem nos diga o que é energia. Conhecemos tambem diversas formas 
de energia em nosso dia a dia tal como a energia eletrica, a energia quimica, a 
energia mecanica, a energia luminosa e muitas outras. 
Uma das leis basicas da Fisica afirma que a energia do Universo a constan-
te, isto é, a energia pode ser transformada ou transferida, mas nunca pode ser 
criada ou destruida. 
0 aspecto mais importante da energia é que, em qualquer uma de suas 
formas, ela serve para a realizacao de algum tipo de trabalho. E claro que, na 
medida em que aprendeu a obter, transformar e controlar as diversas formas de 
energia, o homem pode utiliza-las em seu beneficio. 
Ja a rapidez corn que urn trabalho é realizado ou é transferida a energia 
esta ligada a potencia de quem realiza o trabalho ou transfere a energia. Por 
exemplo, urn chuveiro eletrico certamente tern mais potencia que uma lampa-
da eletrica comum, provocando maior consumo de energia eletrica num mes-
mo periodo de funcionamento. 
Trabalho de uma forca constante 
Verifica-se experimentalmente que, sempre que ocorre transferencia ou 
transformacao de energia, uma forca esti deslocando seu ponto de aplicacao. 
Verifica-se, tambern, que quanto maiores forem o deslocamento do ponto de 
aplicacao da forca, ou sua intensidade o cosseno do Angulo formado entre as 
direcoes da forca e do deslocamento, maior sera a transferencia ou transforma-
cdo de energia. 
106 	Capltulo 11 ♦ Energia, irabalho e Potenda 
0° 5 a < 90° 	2>0 
trabalho motor 
90° < a 180° = r < 0 
trabalho resistente 
Caprlulo TI • Enargia, Trabalho a Potencia 	107 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• • 
• 
• 
Suponha urn bloco, apoiado ern urn piano horizontal, no qual é aplicada 
uma forca F , constante. 
A direcao da forca F forma urn angulo a corn a direcao do vetor desloca-
mento d sofrido pelo ponto de aplicacao da forca e a componente da forca 
paralela ao deslocamento é F . cos a. 
Define-se entdo trabalho como a grandeza escalar dada pela expressao: 
= 	. cos a I • I cTI 	ou 	= F . d . cos a 
Nota: é a letra grega tau, que representa trabalho. 
Observe que a grandeza trabalho nao tern direcao nem sentido (grandeza 
escalar) e ndo depende da trajetoria, mas sim do deslocamento do ponto de 
aplicacao da forca. 
No SI, a unidade de medida de trabalho é o joule (J), que corresponde a 
newton x metro. 
1J=1N.m 
Trabalho motor e trabalho resistente 
0 trabalho é chamado motor quando a forca que o realiza favorece o deslo-
camento da particula e é chamado resistente quando dificulta esse deslocamen-
to. 0 trabalho motor é positivo e o trabalho resistente é negativo. 
Por exemplo, quando puxamos urn 
corpo ao longo de urn piano horizontal 
por mein de uma corda, a forca aplica-
da pela mao realiza urn trabalho motor 
(fiC > 0), enquanto a forca de atrito entre 
o corpo e o piano realiza urn trabalho 
resistente (t < 0 .) 
T-P = P • h ou T-= m g h P • 	• (na descida) 
 
111•11111111111111111111111MeMMA 
Onde h é o desnlvel vertical en-
tre dois pontos, independente 
da trajetoria descrita. 
t_po. t*® 
• • • 
• • 
• • • 
• 
• • • • • • • • 
• • • • 
• • • • • • • • • • • • 
• 
Casos em que o trabalho é nulo 
Da definicdo, deduzimos que: 
a) se F = 0 	= 0 (nao ha trabalho sem forca); 
b) se d = 0 	= 0 (nao ha trabalho se a forca aplicada nao provocar urn 
deslocamento); 
c) se a = 90° 	cos 90° = 0 	= 0 (nao ha trabalho se a forca aplicada for 
perpendicular ao deslocamento). 
Como conseqUencia deste Ultimo caso, convem ressaltar que as reacoes 
normais de apoio e a componente centripeta da forca resultante nunca realizam 
trabalho. 
Trabalho da forca peso 
Como o peso tern direcao vertical, seu trabalho é nulo para deslocamentos 
horizontais. Mas, para deslocamentos nao-horizontais proximos a superficie 
da Terra, o peso pode ser considerado constante e seu trabalho pode ser calcu-
lado pela relacao: 
Nota: evidente que na descida a forca peso realiza urn trabalho motor 
(tp > 0)porem na subida o trabalho da forca peso é resistente (tp < 0), poden-
do ser calculado pela expressao: 
"r f,. =—mgh 
	
(na subida) 
Propriedade do grafico F x d 
Da definicao de trabalho de uma forca constante podemos perceber que a 
componente da forca aplicada que realmente realiza trabalho e aquela que tern 
a mesma direcao do deslocamento, isto é, a componente da forca paralela ( ou 
tangencial) ao deslocamento. 
108 	Capaulo 11 • Energia, Wabalho e Potencia 
• 
• • • • • • 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• EXEMPLOS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Se o modulo ou intensidade da fox-ca constante tangencial ao deslocamento 
for colocada num grafico em funcao do modulo do deslocamento obtem-se a 
figura a seguir: F, 
A 
d 
A 
A area hachurada no grafico representa numericamente o trabalho realiza-
do pela forca tangencial entre os pontos A e B, pois: 
iti=iF.d-area 
AB 	A B 
Essa propriedade grafica e tambem valida para o caso da forca tangencial 
ao deslocamento de intensidade variavel: 
F, 
A 
 
L_J 	area — 
AB A B 
 
 
d 
 
 
A 
a) T F. = F . d . cos 37° 
"C• = 20 N . 0,4 m . 0,8 
corpo é arrastado sobre urn piano horizontal por uma forca constante 
F. Essa forca forma angulo de 37° corn o deslocamento d do corpo. Calcu-
le o trabalho: 
a) da forca F . 
b) do peso P do corpo. 
c) da reacao normal N do piano. 
Dados: 
fI= 20 N 
d = 40 cm 
cos 37° = 0,8 
= 6,4 J 
Capftulo 11 • Energia, Trabalho e Potencia 	109 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
b) 0 peso P forma angulo a = 90° corn o deslocamento, logo: 
T • = P • • d cos 90° P 
P • = P • • d 0 
T = 0 
c) A reacao normal N forma angulo a = 90° corn o deslocamento, logo: 
CN = N . d . cos 90" 
T N. = N . d . 0 
T N = 0 
corpo se desloca 2,0 m em linha reta, de A para B, sob acao de uma 
forca de atrito de intensidade 10 N. Calcule o trabalho dessa forca. 
TrAT = FAT . d . cos 180° 
T F•Ai = 10 . 2,0 . (-1) 
FAT 
'CFAT = -20 J 	(T resistente) 	
, 41111-- 
2,0 m 
Uma pequena esfera de mas-
sa 60 g presa a extremidade 
de um fio ideal (como ilustra 
a figura) é abandonada na 
posicao A. 
a) Qual é o trabalho da forca 
peso do ponto A ate o ponto 
B? 
T p. =mgh 
m = 60 g = 60 . 10' kg = 6 . 10-2 kg 
h = 20 cm = 20 . 10-2 m = 2 . 10-1 m 
= 6 . 10' kg. 10 m/s2 . 2 . 10- ' m 
T . = 12. 10-2 N . m 
T • = 1,2 . 10-1 J 
b) Qual e o trabalho da forca tensora (T) do ponto A ate o ponto B? 
= 0 	pois T é perpendicular ao deslocamento em qualquer ponto 
desde A ate B. 
110 	Capitulo 11 • Energia, trabalho e Potencia 
A 
FAT 
4— 
5 
0 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
(Fuvest-SP) 0 grafico ao lado 
representa a variacao da 
intensidade da forca resultante 
F, que atua sobre urn corpo de 
2 kg de massa, em funcao do 
deslocamento x. Sabendo que a 
forca F tem a mesma direcao e 
o mesmo sentido do desloca-
mento, determine: 
a) a aceleracao maxima adquirida pelo corpo; 
b) o trabalho total realizado pela forca F entre as posicaes x = 0 m e 
x = 3 m. 
a) Do grafico obtem-se: F max = 4 N 
F max = m • a max 
4 = 2 . amax 
amax = 2 m/ s2 
b) T F -is. area do triangulo 
. 4 
Tr- 32 - 6 J 
iF = 6 J 
EXERCICIOS 
Uma caixa é arrastada a uma distancia de 10 m sobre uma superficie hori-
zontal pela acao de uma forca constante F de valor igual a 80 N, conforme 
a figura. A forca de atrito FAT atuante na caixa tern intensidade de 10 N. A 
figura tambem representa as forcas peso (P ) e reacao normal (N ). 
 
FAT 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 m 
 
 
p 
a) Calcule para cada forca 	FAT, F e N* ) o trabalho realizado. 
b) Calcule o trabalho total realizado sobre a caixa. 
Capfrulo 11 • Energia, Trabalho e Potoncia 	111 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
2 Uma particula de massa igual a 0,20 kg descreve uma trajetoria circular 
cujo raio vale 10 cm. A velocidade da particula possui intensidade cons-
tante e igual a 3,0 m/ s. Determine: 
a) a forca resultante sobre a particula; 
b) o trabalho realizado pela forca resultante quando a particula descreve 
meia volta. 
3 Numa estrada refill/lea a forca 
resultante sobre urn automovel 	 A F(N) 
possui intensidade variavel 
corn as posicoes ocupadas con-
forme o grafico dado: 
(Valores positivos para a inten-
sidade da forca indicam ter ela 
o mesmo sentido do desloca-
mento. E valores negativos, 
sentido oposto.) 
Determine o trabalho da forca entre as posicoes definidas por d = 0 e 
d = 300 m. 
4 0 fato de o trabalho de uma forca ser nulo sugere necessariamente que: 
a) a forca é nula. 
b) o trabalho é um vetor; logo, a forca deve ser paralela ao deslocamento. 
c) o deslocamento é nulo. 
d) ou a forca é nula ou o deslocamento é nulo. 
e) o produto do deslocamento pela componente da forca na direcao do 
deslocamento é nulo. 
5 Uma forca de intensida-
de variavel atuou sobre 
um corpo, inicialmente 
em repouso, deslocan-
do-o em linha reta ao 
longo de 5,00 m. 0 grafi-
co ao lado representa 
como variou a intensida-
de dessa forca durante o 
percurso. Qual foi o tra-
balho realizado pela for-
ca para fazer o corpo 
percorrer os 5,00 m? 
6 (PUC-RS) Urn corpo de massa igual a 5,0 kg é levantado verticalmente, 
corn velocidade constante, a uma altura de 5,0 m. Sendo g = 10 m/ s 2, o 
trabalho realizado pela for-0 peso do corpo, durante esse levantamento, 
vale: 
a) 250 	b) —250 J 	c) 25 J 	d) —25 J 	e) 5 J 
112 	Capffulo 11 • Energia, trabalho a Potenda 
5, 0 
 
 
 
i 	 
100 	200 	1300 I 1 3 
0 
-5, 0 
 
 
 
• 
S • • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• Potencia • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• pela express -do: 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
(MED. UBERABA-MG) A forca F de modulo 50 N atua sobre urn objeto, 
formando Angulo constante de 60 0 corn a direcao do deslocamento d do 
objeto. 
Se d = 10 m, o trabalho executado pela forca F expresso em joules é igual a: 
a) 500 	b) 25013— 
	
c) 250 	d) 125 
	
e) 100 
(F. C. CHAGAS-SP) 0 corpo C, representado na figura ao lado, desloca-se 
na direcao da forca de modulo igual a 2,0N. Durante um deslocamento de 
1,0 m, qual e o trabalho realizado pelas forcas que atuam sobre o corpo? 
(Considere despreziveis os atritos.) 
a) 1,0 J 	b) 2,0 J 	c) (1-5—)/2 J 	d) 	J 	e) 3,0 J 
2, 0 N 
////////// ////////////////////////////// 
Para se medir a rapidez corn que um determinado trabalho é realizado, 
define-se uma grandeza denominada potencia. 
A potencia media é entao definida corn a razao entre o trabalho realizado 
(t) e o intervalo de tempo (At). 
Pm 
 = At 
Para uma forca paralela ao deslocamento e no mesmo sentido: 
= F d 
entao 
/ d 
Pm = 	= F.d = F Vm 	pois Vm = 	 
At 	'At, 	 At 
Num determinado instante teremos a potencia mecanica instantanea, dada 
P = F . V 
Assim como o trabalho e a energia, a potencia tambem é uma grandeza 
escalar. 
No SI, a unidade de potencia e o watt(W), que corresponde ao trabalho de 
1 joule realizado em 1 segundo. 
1 W = 1J 
1s 
Capitol° 11 • Energia, Trabalho e Potencia 	113 
• • • • 
• 
• • • 
• • 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• • 
• • • 
EXEMPLOS 
✓Calcule a potencia de um guindaste capaz de erguer um bloco de massa 
de 20 kg a altura de 30 m em 15 s, corn velocidade constante. 
Dado: g = 10 m/s2 
Neste caso o guindaste realiza urn trabalho de mesmo valor absoluto que 
o trabalho do peso. Temos, entao: 
t =m.g.h= 20.10.30 	= 6.000 J 
'r 	6.000 P = 	— 	P = 400 W 
At 	15 
✓Uma forca horizontal constante é aplicada pelo motor de urn carro, a fim 
de manter sua velocidade constantemente igual a 30 m/ s na direcao da 
forca aplicada. Se a potencia do motor é de 60.000 W, qual a intensidade 
da forca aplicada por ele? 
Dados: P = 60.000 W 
V = 30 m/s 
P 	60.000 P=F.V 	F— — 	F = 2.000 N 
V30 
EXERCICIOS 
9 Calcule a potencia media de urn motor cuja forca realiza um trabalho de 
1.600 J em 8 segundos. 
10 Um corpo de massa 2 kg esta inicialmente em repouso. Num dado instan-
te passa a atuar sobre ele uma forca F constante e igual a 10 N. Sabendo-
se que apos percorrer 10 m sua velocidade é de 10 m/s, calcule neste des-
locamento: 
a) o trabalho da forca F; 
b) sua potencia media; 
c) sua potencia instantanea (para V = 10 m/s). 
Uma locomotiva, deslocando-se corn velocidade constante de 15,2 m/ s, 
exerce uma tracao de 91.000 N no engate. Dado 1 CV = 735 W, qual a po-
tencia em CV que desenvolve, aproximadamente? 
a) 2 x 103 	d) 1,90 x 103 
b) 1,73 x 103 	e) 2,0 x 105 	Nota: CV significa cavalo-vapor. 
c) 1,88 x 103 
12 Para arrastar urn corpo de massa 100 kg entre dois pontos corn movi-
mento uniforme, urn motor de potencia igual a 500 W opera durante 
120 s. 0 trabalho motor realizado em joules é: 
a) 1 x 104 
	
b) 2 x 104 	c) 3 x 104 	d) 4 x 104 
	
e) 6 x 10 4 
114 	Capffulo 11 • Energia, Trabalho e Potencia 
• E MV2 cf 
• 
• 
• 
energia cinetica final energia cinetica inicial 
Capital° 12 • Conservactio da Energia Mecanica 	115 
2 
mv 2 
E — c i 	7 
• • 
• Conservacie da Energia 
• Mecanica • 
• Dizemos que urn corpo possui energia sempre que ele é capaz de realizar 
• trabalho. 
•
Podemos realizar trabalho utilizando as mais diversas formas de energia, 
seja ela quimica, eletrica, mecanica, calorifica, nuclear, etc. 
• Dentre as diversas formas de energia da natureza vamos destacar neste 
• capitulo a ENERGIA MECANICA, a qual pode estar armazenada (ENERGIA 
POTENCIAL) ou estar movimentando o corpo (ENERGIA CINETICA). 
• 
Teorema da energia cinetica 
• Consideremos uma particula de massa m sujeita a acao de diversas forcas 
•
cuja resultante é constante e vale F. 
• 
• 
• cT •/ • 
• A forca resultante F acelera a particula na direcao e sentido de F ( P.F.D), 
fazendo corn que a mesma passe de uma velocidade inicial V o para outra velo-
cidade V, apcis, percorrer uma distancia correspondente ao deslocamento d. 
• Mantendo-se F constante, a particula desloca-se em MUV, de modo que: 
• V 
 2d
V — 
2.a.d ou a— 	(equacao de Torricelli) 
• 
• 
• 
• • • 
• 
Por outro lado ao deslocar seu ponto de aplicacao no deslocamento d a 
forca resultante F realiza o trabalho t =F.d=m.a. d. 
Assim teremos, substituindo a aceleracao a: 
tp- = 	(v2 — v2) mv2 	mv2 m . 	• 
A 
2 	2 
v 2 
foi denominada ENERGIA CINETICA (E r) da grandeza escalar 
ticula. 
par- 
2 
in 
• 
Dessa forma podemos escrever: 	 • • 
'CF = Ecf — Ec, ou tiF = AEc 	 • 
0 trabalho de todas as forcas que agem num corpo (trabalho da forca 	• 
resultante) é igual a variacao da energia cinetica desse corpo. 	
• 
Teorema da Energia Cinetica (TEC) 
	 • 
	
A unidade de medida de energia cinetica, assim como de qualquer outra 	• 
	
forma de energia, no SI, é o joule (J), que tambem é a unidade de medida de 	• 
trabalho. 
• 
• 
EXEMPLOS • 
/Qual é a energia cinetica de uma bola de massa 0,8 kg, no instante em que 
a sua velocidade e 4 m/ s? 
• 
m = 0,8 kg 
	
v = 4 m / s 	 • 
mv2 — 0,8 . 
2 
 (4)2 	 ID — 	— 0,4 . 16 = 6,4J 	Ec = 6,4J Ec 	 
2 	
• 
	
✓Um corpo de massa m 2,0 kg apresenta velocidade inicial V o = 10 m/s. 	• 
	
Sob a acao de uma forca F, sua velocidade passa a ser V = 30 m/s. Deter- 	• 
mine o trabalho realizado por essa forca. 
Se a forca F e unica ela é a resultante. 
TF = AE C = Ecf — Ec, 	 • 
• MV2 MV2 0 
TF 
2,0 .230)2 2,0 .210)2 
 TF 	2 	2 	
— 900 —100 = 	TF = 800 J 
1/Calcule a velocidade final do bloco da figura, 
repouso e a forca F , constante, atuou nos primeiros 
sabendo que ele partiu do 
10 m do deslocamento. 
• 
• 
Dados {F = 40 N 
m = 2 kg 
F • 
• 
Observacao: Nao existe atrito entre o bloco e o piano. • 
• 
• 
116 Capaulo 12 • Consentacao da Energia Mecanica • 
• 
2 	2 	 • 
• 
• 
intensidade da 
forca (N) 
30 
20 
deslocamento 
(m) 
Capital() 12 • Conservacao da Energia Mecanica 	117 
10 
• • 
•
A forca F no caso, é a forca resultante. Pelo teorema da energia cinetica: 
•
= Ec f — E C 	CD 
• Pela definicao: 	tf = F . d . cos a 	CD 
DI = II = F d . cos a = Eci — E ci 
• 
' 
• F . d . cos 0° —
mV 0 
R 
• 
40 . 10 . 1 - 2 . V' 
• 2 
• 40 . 10 . 0 = V2 	V = 20 m/s 
• 
• EXERCICIOS 
• 1 Qual é a energia cinetica de uma particula de massa 5,0 kg cuja velocida- 
• de vale 72 km/h? 
2 No exercicio anterior, o que ocorre com a energia cinetica da particula: 
• a) se sua massa triplicar, mantendo a mesma velocidade? b) se sua velocidade dobrar, mantendo a mesma massa? 
• 
Lima particula sujeita a uma forca constante de 2 N move-se sobre uma 
• reta. A variacao da energia cinetica da particula entre dois pontos A e B é 
•
igual a 3 J. Calcule a distancia entre A e B, supondo que a direcao de F se 
mantem paralela ao deslocamento. 
I 
1110 
• 
• 
• 
• 
4 Urn corpo de massa m = 10 kg é arremessado horizontalmente sobre o 
tampo horizontal de uma mesa. Ele inicia seu movimento com velocidade 
Vo = 10 m / s e abandona a mesa com velocidade V = 5 m/ s. 
0 trabalho realizado pela forca de atrito que age no corpo: 
a) e nulo. 
b) nao pode ser calculado, por falta do coeficiente de atrito. 
c) nao pode ser calculado, por nao se conhecer a trajetoria. 
d) vale —375 J. 
• 5 A forca que atua sobre urn cor- 
• po de massa 2,2 kg, inicialmen-
te em repouso, tern direcao 
constante e intensidade que va-
ria segundo o diagrama da fi- 
• gura; o trabalho realizado pela 
forca no intervalo (0 m, 2 m) é: 
a) 20 J 	c) 50 J 
• b) 30 J 	d) 60J 
• 
• 
• • • • • • • 
4P • • • • 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
6 Em relacao ao exercicio anterior, a velocidade do corpo ape's deslocar-se 
4 m é: 
a) 2 m/s 	b) 4 m/s 	c) 8 m/s 	d) 10 m/s 
7 (USF-SP) Em determinado intervalo de tempo, um corpo de massa de 
6,00 kg tern sua velocidade aumentada de 2,00 m/ s para 5,00 m / s. 0 tra-
balho da forca resultante nesse intervalo de tempo, em joules, é igual a: 
a) 9,0 	b) 18,0 	c) 25,0 	d) 52,0 	e) 63,0 
8 (UFMA) Urn corpo de 2 kg de massa inicialmente em repouso, é puxado 
sobre uma superficie horizontal, sem atrito, por uma forca constante, 
tambem horizontal, de 4 N. Qual sera sua energia cinetica apps percorrer 
5 m? 
a) 20 J 	b) 10 J 	c) 30 J 	d) 40 J 
9 (UCSa1-BA) Uma for-0 F atua num corpo de 2 kg de massa, cuja velocida-
de passa de zero a 10 m/ s durante um intervalo de tempo At, sem interfe-
rencia de outras forcas. 0 trabalho executado por F durante At é em 
joules, é igual a: 
a) 20 	b) 40 	c) 60 	d) 80 	e) 100 
(UFRGS) Uma forca resultante constante de modulo igual a 40 N atua 
sobre um corpo que se movimenta em linha reta. Qual a disfancia percor-
rida por esse corpo durante o tempo em que sua energia cinetica variou 
de 80 J? 
a) 0,5 m 	b) 2 m 	c) 40 m 	d) 80 m 	e) 3 200 m 
Energies potencial 
Denomina-se energia potencial a energia mecanica armazenada por urn 
corpo ou sistema. Se o sistema for uma mola ou urn elastic° ligado a uma parti-
cula tem-se a energia potencial elastica; se o sistema for uma particula num 
campo gravitacional tern-se a energia potencial gravitacional. 
Energies potencial gravitacional 
Considere uma particula de massa m situada a uma altura h em relacao ao 
solo, que sera o nivel de referencia. 
	 solo (h = 0) 
118 	Capitulo 12 • Conservacdo do Energia Mecanico 
Figura I 
Figura II 
• 
Fazendo-se o grafico do 
• modulo da forca elastica em 
• fungdo da deformacao x obtem-se uma reta como a da figura ao 
lado. 
• • 
• A area entre a reta do grafico e o eixo x representa numericamente trabalho, pois x é urn comprimento. Este trabalho é aquele realizado pela forca elastica. 
Esta expressao é conhecida como lei de Hooke. 
FEL 
	 x 
• • 
Se na regiao existe uma aceleracao devido a gravidade 	entao define-se 
• energia potencial gravitacional(E p) como sendo: S 
41) • 
111 
•
A figura I representa 
uma molade comprimen-
to L quando nao esta de- 
formada, ou seja, quando 
• nao esta esticada e nem 
• comprimida. 
Devido ao peso de uma carga colocada em sua extremidade, a mola sofre a 
acao de uma forca F que a estica de urn comprimento x (fig. II). Nessa nova 
posicao, a mola exerce sobre a carga uma forca F EL, denominada forca elastica. 
A experiencia mostra que a intensidade da forca elastica é tanto maior 
quanto maior é a deformacdo produzida, ou seja, a forca elastica FEL é direta-
mente proporcional a deformacao x. 
A constante de proporcionalidade entre FEL e x é representada por k e é 
uma caracteristica de cada mola denominada constante elastica da mola. 
FEL = k x 
Ep =m.g.h 
Energia potencial elastica 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• Assim: 
• tp*ei = area do triangulo 
• x F,J _ x.k.x 	kx2 TFel 
•
2 	2 	2 
• 
kx2 
Tfel — 2 
Capftulo 12 • Conserve* do Energia Mectinica 	119 • 
k 
Se uma mola de constante k, presa em uma de suas extremidades, for 
acoplada na outra extremidade a urn corpo de massa m e deformada de x o 
sistema armazenard uma energia potencial elastica igual ao trabalho da forca 
elastica. 
0 
 
1111•b1111 
FEL 
 
 
 
 
 
 
x 
Portanto, a energia potencial elastica (E el ) é dada pela mesma expressao do 
trabalho da forca elastica. 
— k. x2 
Eel 
EXEMPLOS 
,/Urn corpo de massa m = 20 kg é suspenso por urn operador ate a altura 
h = 2,50 m, medida em relacao ao solo, num local onde g = 10 m/ s 2 . 
Determine a energia potencial gravitacional do corpo em relacao ao solo. 
Ep =mgh 
Ep = 20 . 10 . 2,50 
Ep = 500 J 
e/Uma mola possui comprimento natural de 10,00 cm. Fixa-se a mola 
verticalmente e coloca-se em sua extremidade livre um objeto de massa 
igual a 50,0 g. Nessa nova situacao, o comprimento da mola passa a ser 
12,00 cm. A aceleracao da gravidade no local vale g = 10 m/ s 2. Calcule: 
a) a intensidade da forca F que deformou a mola, em newtons. 
b) a deformacdo x sofrida pela mola 
c) a constante elastica k da mola, em N / m 
d) a energia armazenada na mola, em joules. 
120 	Capftulo 12 ♦ Conservacao da Energia Meconica 
• • • • • • • • • • • • • • • 
2 • • • • • 
• • 
• 
• • • 
• • • • • 
• 
• 
• • 
a)F=P=m.g 
• m= 50,0 g = 50,0 . 10' kg 
g = 10 m/ s 2 
•
F = 50,0 . 10' . 10 = 0,50 N 	F = 0,50 N 
•
b) x = 12,00 - 10,00 = 2, 00 cm = 0,020m = x = 0,020 m 
	
10 - 5 = 5 (%m 	01 05,(r 
411 	c) F=k.x = k= —F 
k= 0,50 N 
• - 25,0 N/m 0,020 m 
• 
k= 25,0 N/m 
• 
• kx2 - 	 _ 25,0 x (0,020)2 d) Eel - 	 0,0050 J 	Eel = 0,0050J 
•
2 	2 
• iCalcule a energia armazenada em uma mola de constante elastica 
• k = 100 N/m, sabendo que ela esta comprimida de x = 20 cm. 
•
Temos que x = 20 cm = 0,20 m. 
• Eel = k . x2 Eel — 	 Ed = 2,0 J 100. (0,20)2 	100 . 0,04 
	
2 	 2 	a 	2 
• 10' ., (0, 05) 	_ 
•
. 
	
. EXERCICIOS 	 2 	0 /- ) • 
•
11 Urn corpo de massa igual a 0,5 kg é atirado verticalmente para cima atin-
gindo a altura maxima de 4 m. Adote g = 10 m/s 2. Determine, na altura 
• maxima, a sua energia potencial gravitacional. 
• 2 Uma mola de constante elastica k = 100 N/m é distendida 10 cm. Deter- 
•
mine a energia potencial elastica armazenada ern joules 
• 3 Uma mola helicoidal é submetida a en- 
80 
saio de tracao. 0 diagrama representa a 
410 	forca tensora F em funcao da distensao x. 	
60 
•
a) A constante elastica da mola é: 	
o - 40 
k= IF/ x I= 4,0 newton/ metro. 	 c 0 ..... 
• b) A distensao x é inversamente propor- LI. 20 
cional a forca tensora F. III 	c) 0 trabalho de distensdo, de 0 a 20 cm, 
• é t = 8,0 joules.. 
d) Corn F = 160 N; é x = 40 cm, necessa- 
• riamente. 
• 
5 	10 	15 20 
0-sosekosp) 
mola helicoidal 
Capitulo 12 • Conservacao da Energia Mecanica 	121 
subida 
= m . 
= 
h 
 
 
122 	Capfrulo 12 • Conservacao da Energia Mecanica •
 • •
 • 
• •
 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
14 (UFSE) Um garoto de peso P = 600 N sobe, por uma escada, a uma altura 
h = 5m. A variacao de energia potencial envolvida foi, em joules, de: 
a) 30 000 	b) 3 000 	c) 300 	d) 120 	e) 0 
Energia mecanica 
Num determinado instante, um corpo pode apresentar as duas modalida-
des de energia mecanica e a soma destas é denominada energia mecanica do 
corpo. 
Em = Ec + Ep 
Sistema meolnke conservative 
E todo sistema (isto e, conjunto de corpos) em que a energia mecanica é 
constante. 
Se lembrarmos que a energia mecanica é resultado da soma de duas quan-
tidades de energia (potencial e cinetica), o aumento no valor de uma delas im-
plica a diminuicao no valor da outra, num sistema mecanico conservativo. Por 
exemplo, quando arremessamos urn corpo para cima, verificamos que enquan-
to ele sobe diminui sua velocidade (diminui a energia cinetica), ao mesmo tem-
po em que sua altura aumenta (aumenta a energia potencial), porem a energia 
mecanica do sistema formado pelo corpo e a Terra permanece constante. 
h 
Admita que na altura h o corpo possua velocidade nula, ou seja, ele perde 
toda sua energia cinetica, e, agora, comeca o seu movimento de queda. Durante 
a queda o corpo ganha energia cinetica e perde energia potencial, porem a 
energia mecanica do sistema (corpo-terra) permanece constante. 
• • • 
• • • • 
• 
• • • • 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Assim, a uma diminuicao de energia cinetica (AE c) correspondera urn au-
mento de energia potencial gravitacional (AE p): 
AEc = —AEp 
(0 sinal negativo na igualdade anterior é devido justamente ao fato de que, 
quando urn lado da igualdade representa um aumento, o outro lado estard re-
presentando uma diminuicao.) 
Forca conservativa 
Quando se arremessa urn corpo verticalmente para cima, a energia cinetica 
perdida pela acao da forca peso, durante a subida, conserva-se ainda no corpo 
sob forma de energia potencial gravitacional. Devido a isso, diz-se que a forca 
peso a uma forca conservativa. 
Observe, agora, o sistema elastic° ilustrado abaixo. Inicialmente, temos 
urn corpo em repouso, associado a uma mola ideal que esta corn deformacao 
maxima. Assim, o sistema possui energia potencial elastica maxima e energia 
cinetica nula. 
11111 1111 
x 
1111111111 
1111111111 
Instantes depois, o corpo passa pela posicao ern que a mola nao esta 
deformada. 0 sistema elastic° tem, entao, energia potencial elastica nula e 
energia cinetica maxima. 
A energia cinetica transforma-se ern potencial elastica e vice-versa, porem 
a soma delas é constante. Assim, a forca elastica tambem a uma forca 
conservativa. 
Pode-se demonstrar que o trabalho da forca peso ou o trabalho da forca 
elastica nao depende da trajetoria de seu ponto de aplicacao, justamente pelo 
fato de serem forcas conservativas. 
O trabalho de uma forca conservativa depende apenas do ponto inicial e 
do ponto final, ou seja, nao depende da trajetoria entre os dois pontos. 
Capitulo 12 • Conservacao da Energia Meconica 	123 
• • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
EXEMPLOS 
✓Urn corpo de massa igual a 6 kg é abandonado de uma altura de 120 m 
em relacao ao solo. Admitindo g = 10 m/s 2, determine, apps 2 s de queda, 
desprezando a resistencia do ar: 
a) a energia mecanica do corpo; 
b) a energia cinetica do corpo; 
c) a energia potencial gravitacional do corpo em relacao ao solo. 
Trata-se de urn sistema mecanico conservativo, porque nao havendo resis-
tencia do ar, toda a energia potencial gravitacional perdida na queda se trans-
forma em energia cinetica. 
Vejamos o que ocorre no ponto A: 
VA = 0 
A 0 (tA = 
VA = 0 = E A = 0 
hA = 120 m 	
120 nn 
EpA = m g hA = 6 . 10 . 120 
EPA = 7.200 J 
EmA = Eck EpA = 0 + 7200 = 	EmA = 7200 J (item a) 
(essa energia mecanica vale para qualquer posicao, pois o sistema é 
conservativo) 
Apos 2 s, o corpo esta no ponto B na figura. Determinemos VB, (velocidade 
no ponto B). 
A queda livre é urn MUV cuja funcao horaria das velocidades é 
V = Vo + a .t. Neste caso, V = VB. 
Vo = VA = 0 
a = g = 10 m/s 
t = 2 s 
M N7. 3 	6 . (20)2 
1-cB 	
2 2 	
EcB = 1.200 J (item b) 
Mas, EMB = EcB EpB e EMB = EMA = 7.200 J (cte) 
Portanto, 7200 = 1200 + EpB = EpB = 6.000 J (item c) 
124 	Captlulo 12 • Conservacilo da Energia Meconica 
(t B = 2s) 
VB = 0 + 10 . 2 	VB = 20 m/ s 
V 	 k 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
✓ Determine a altura maxima h que urn corpo atinge quando atirado verti-
calmente corn velocidade de 15 m/s. Dado g = 10 m/ s 2. Despreze a resis-
tencia do ar. 
iV 2 
raigh — 
v. = 15 m/s 	 2 
A 	
h= V2 = 
 (15)2 — 11,25 m 	h = 11,25 m 
20 	20 
✓ Um carrinho de massa m = 4 kg e velocidade de 6 m/s choca-se corn uma 
mola de constante elastica k = 100 N / m. Determine a maxima compressao 
sofrida pela mola. Despreze quaisquer atritos. 
Ao chocar-se corn a mola o sistema massa-mola so possui energia 
cinetica. 
mV2 
EMinicial = Ec 
Apos comprimir a mola ao maxim() o caminho para e a energia do siste-
ma passa a ser apenas potencial elastica. 
kx2 
EMfinal = Eel 
2 
EMfinal = EMinicial 
kx2 mV2 
2' 	2- 
100 . x2 = 4 . 62 
 x2 = 1,44 
x = V1,44 = 1,2 
x = 1,2 m 
Capaulo 12 • Conservacao da Energia Mecanica 	125 
 
	0
VB = 0 
B 
m . V 2 
em A 	EmA = EcA + EpA = 0 + 	 
2 
em B EmB = EcB + EpB = 0 + mgh 
sistema conservativo = E mB = EMA 
 
 
 
2 
• • • • 
• • 
• • • • • • • • 
• • • • • • 
• • • • • • • 
O • • • • • • 
EXERCICIOS 
15 Urn corpo de 2 kg é lancado do solo verticalmente para cima, corn veloci-
dade de 30 m/ s. Desprezando a resistencia do ar e admitindo g = 10 m/ s 2, 
determine: 
a) a energia mecanica do corpo; 
b) a energia potencial do corpo no instante em que sua velocidade e 10m/s; 
c) a energia potencial do corpo no ponto de altura maxima. 
6 Urn corpo de massa m = 200 g é lancado verticalmente para cima corn velo-
cidade Vo = 20 m/ s. E dado g =10 m/52 . A energia cinetica do corpo é 10 J: 
a) somente no instante t = 1 s apos o lancamento. 
b) somente no instante t = 3 s apos o lancamento. 
c) somente nos instantes t=1s e t=3s apos o lancamento. 
d) nunca: 
17 Um garoto de massa igual a 50 kg parte do repouso de uma altura 2,5 m, 
desliza ao longo de um toboga e atinge a parte mais baixa corn velocidade 
igual a 2 m/ s. Admitindo-se a aceleracao da gravidade igual a 10 m/ s 2, 
podemos afirmar que, no movimento descrito: 
a) houve conservacao da ener-
gia mecanica. 
b) houve aumento tanto no 
energia cinetica como na 
potencial. 
c) houve um aumento de 100 J 
na energia mecanica. 
d) houve uma diminuicao de 
1.250 J na energia mecanica. 
e) dissiparam-se 1.150 J de 
energia mecanica. 
18 Um treno de massa igual a 25 kg desliza de uma colina de 15 m de altura, 
a partir do repouso. Sua velocidade ao atingir o fim da encosta é 16 m/s. 
Supondo a aceleracao da gravidade 10 m/ s 2, a perda de energia devida 
ao atrito é: 
a) 3.750 J 	b) 550 J 	c) 2.550 J 	d) 1.550 J 	e) 3.250 J 
19 Uma esfera de massa 0,2 kg esta 	i--- 
suspensa por um fio e é abandonada 
de uma altura h = 1,25 m. Despreze a 
resistencia do ar. Determine a velo- 
cidade do pendulo ao passar pelo 	h 
ponto mais baixo de sua trajetoria. 
20 (Fuvest-SP) Uma pedra corn massa m = 0,10 kg é lancada verticalmente 
para cima, corn energia cinetica E c = 20 J. Qual a altura maxima atingida 
pela pedra? (Considere g = 10 m/ s 2.) 
a) 10m 	b) 15m 	c) 20m 	d) 1 m 	e) 0,2 m 
126 	Capftulo 12 • Conservacao da Energia Med-mica 
A 
• 
• 
• • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • 
Conservavio da 
Quantidade de Movimento 
Quantidade de movimento 
Seja m a massa de um corpo e V a sua velocidade em urn determinado 
instante de tempo. A quantidade de movimento (ou momento linear) Q desse 
corpo e, por definicao: (m) 
= m . v 
A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial que possui a mesma 
direcao e o mesmo sentido da velocidade. 
A unidade de medida de d e o produto da unidade de massa pela unidade 
de velocidade. Entao, no SI, a quantidade de movimento é medida em kg . m/s. 
Impulso de uma forga 
Quando uma forca é aplicada sobre um corpo, sabemos que a velocidade 
sofre variacao e é intuitiva a idea de que, quanto maior for o tempo de aplica-
cao da forca, maior sera a variacao sofrida pela velocidade. 
Tal fato levou ao conceito de impulso de uma forca. 
(At) 
F 	 I 
0 impulso (I )de uma forca constante F que age sobre urn corpo 
durante urn intervalo de tempo At e, por definicao: I = F . At 
0 impulso I e uma grandeza vetorial que possui a mesma direcdo e mes-
mo sentido da forca F. 
A unidade de medida do impulso, no SI, é o produto de newton pelo se-
gundo (N.$). 
0 impulso de uma forca de direcao constante pode ser calculado grafica-
mente pela medida algebrica da area num diagrama da intensidade da forca 
aplicada em funcao do tempo de aplicacao. 
F A 
N 
A=I 
	
(entre t 1 e t2) 
	 t t, 	t, 
	
Capitulo 13 • Conservactio da Quantidade de Movimento 	127 
• • • 
• 
• • • • • 
• 
• 
• 
• • • • 
• • 
• 
• • • 
• 
• 
• • 
• • • 
• • 
• 
• 
Teorema do impulso 
Considere uma particula de massa m sob a acao exclusiva de uma forca 
constante F durante um intervalo de tempo At = t — to : 
(t) 
A aceleracao a da particula é constante e igual a aceleracao media, dada 
por: 
a = 	= a = (V — Vo) 
At 
	
At 
De acordo corn o P.F.D. podemos escrever: 
(v— Vo) F 	F 	F = m . 
	
At 	 At 
F . At = m 	m 
0 lado esquerdo da igualdade representa o impulso da forca constante F, 
no intervalo de tempo At: 
= f* . At 
0 lado direito da igualdade representa a variacao da quantidade de movi-
mento (AQ), pois: 
= m . N76 a quantidade de movimento no instante t; 
Qo = m . é a quantidade de movimento no instante t o . 
Assim, a igualdade pode ser reescrita como a seguir: 
I = - 	 = 
Teorema do impulso 
128 	Capitulo 13 • Conservacao da Quantidade de Movimento 
Q = m . v = 0,30 kg . 10 m/s 
Q= 3,0 kg . m/s (modulo) 
I = 50 N . s 
• 
S • 
S 
• 
S • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
S 
• 
• 
• 
0 impulso da forca resultante sobre uma particula é igual a variacao 
da quantidade de movimento da particula, para urn dado intervalo de 
tempo. 
Nota: se os vetores Q e Q o tiverem direcoes diferentes, devemos lembrar 
que a diferenca entre dois vetores representados corn a mesma origem é obtida 
I igando-se as duas extremidades. 0 sentido do vetor diferenca aponta para o 
primeiro, ou seja o vetor Q — Q 0 aponta para extremidade de Q . 
EXEMPLOS 
✓Uma bola de massa 300 g inicialmente em repouso sofre uma queda livre 
e num dado instante sua velocidade vale 10 m/s. Determine o modulo, 
a direcao e o sentido da quantidade de movimento da bola no inAante citado. 
m= 300 g= 0,30 kg 
v=10 m/s 
Neste caso a velocidade é necessariamente vertical e para baixo. Portan-
to Q tern direcao vertical e sentido para baixo. 
✓Duas forcas perpendiculares entre si atuam sobre urn corpo durante 5s. 
Calcule o impulso resultante. 
F1 = 6 N 
Dados F2 = 8 N 
At = 5 s 
Calculemos primeiramente a forca resultante que atua no corpo 
Pelo teorema de Pitagoras: 
F2 = F12 + F22 
F2 = 36 + 64 
F2 = 100 
F = 10 N 
Temos: 
I = F . At = I = 10 . 5 
CapaUlo 13 • Conservaciio da Quantidade de Movirnento 	129 
V 
as 
• 
• • 
• • • • 
• • 
• • 
• 
S 
• 
• • • 
• 
• • 
• • • 
• • 
• • 
• 
• 
• • 
viCalcule o impulso aplicado 
pela forca F, de direcao cons-
tante, cuja intensidade varia 
como mostra o diagrama ao 
lado, entre os instantes 0 e 5 s. 
0 impulso e numericamente 
igual a area do triangulo 
hachurado. 
5 . 20 
I — 	I = 50 N . s 
2 
iUrn corpo em repouso sobre um piano horizontal sofre acao de uma forca 
resultante horizontal constante de intensidade 10 N durante 10 s. Calcule 
a velocidade final do corpo sabendo que sua massa é 5 kg. 
0 teorema do impulso diz que: 
I = Q — Q o 0 
Qo = m Vo = 5 . 0 = Q0 = 0 
Q=m.V= 5 .V = Q=5 .V 
I = F 	= 20. 10 = I = 200 N . s 
Substituindo os valores I, Q e Q 0 em 10, vem: 
200 = 5 . V — 0 	V= 200 	V = 40 m/s 
5 
t/Uma particula de 0,5 kg tern velocidade inicial horizontal de 6 m/ s. Ao 
receber urn impulso de uma forca F constante, modifica a sua velocidade 
para 8 m/ s, em direcao perpendicular a inicial, num intervalo de 0,1 s. 
Calcule: 
a) a intensidade do impulso de 
b) a intensidade de F . 
a) inicial: Q0 = m vo = 0,5 . 6 	final: 	Q = m vf = 0,5 . 8 
Qo = 3 kg . m/ s 	 Q = 4 kg . m/s 
0 	 0 
A d = 0-* — Q 0 
 Aplicando Pitagoras: 
AQ2 _ Q2 ± = 42 + 32 = 25 
 AQ = "12- 5= 5 kg . m/ s 
I=AQ = I= 5 N.s 
b) I = F . At 
5 = F . 0,1 
	
F = 50 N 
130 	Copftulo 13 • Conservactio da Quantidade de Movimento 
7,4,1,11 011.1MM11.1110.11111,40, 02, tplIrtr,..,,r140.1.6i,ii, 
• 
• 
• EXERCICIOS 
• 1 Um automovel de massa m = 
•
1 000 kg desloca-se numa rodo-
via horizontal, da esquerda 
para a direita, corn velocidade 
V = 20 m/s, conforme mostra o 
• esquema. Determine a quanti-
dade de movimento do auto-
movel no instante considerado 
• (modulo, direcao e sentido). 
• 2 Uma particula de massa m = 10 kg desloca-se sobre uma linha reta. Num 
•
dado instante sua velocidade vale v o = 5,0 m/ s, a partir do qual se aplica 
uma forca constante de 30 N, no mesmo sentido da velocidade. Determine: 
a) o valor do impulso aplicado pela forca, apOs urn intervalo de 20 s; 
b) o modulo da velocidade da particula apos o referido intervalo de tempo. 
• 3 Imediatamente apos o chute, uma bola de futebol que repousava sobre o gramado sai corn velocidade de 24 m/s. Se a massa da bola vale 400 g e o 
• tempo de contato entre o pe do jogador e a bola vale 3,0 . 10 -2 s, qual é a 
intensidade da forca media aplicada pelo pe do jogador? 
• 4 Determine durante quanto tempo deve agir uma forca de intensidade 40 N sobre urn corpo de massa 4 kg para que sua velocidade passe de 
• 20 m/ s para 80 m/ s, na mesma direcao e sentido. • • • 
• 
• t I s) 
• 
• 
• 
• 6 (UFPI) Urn vagdo de massa M e sua carga de massa m tern velocidade v. A 
ID 
	quantidade de movimento do conjunto é: 
• 	a) m .v 	b) M . m . v 	c) (M — m) v 	d) (M + m) v 	e) . v M 	 rn • • • 
5 Consideremos uma particula de massa 3 kg, inicialmente em repouso. 0 
grafico representa a variacao da forca resultante que atua sobre a particu-
la, em funcao do tempo. A particula descreve trajetoria retilinea. Pede-se 
o impulso da forca resultante nos intervalos 0 a 8 s. 
FIN) 
i 8 
Calabria 13 • Conservacao da Quantidade de Movimento 	131 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
(UCSa1-BA) Uma forca F, que atua sobre uma particula, tern modulo vari-
avel, conforme o grafico abaixo, e direcao constante. A variacao da quan-
tidade de movimento da particula, em virtude da acao de F durante o 
intervalo de 0 s a 6,0 s, tern modulo, em kg m/s, igual a: 
t I s) 
a) 42 	b) 28 	c) 21 	d) 14 	e) 11 
132 	Capffulo 13 • Conservactio da Quantidade de Movimento 
• 
• 
Consideremos um sistema cons- 
• tituido de dois patinadores (A e B), 
• inicialmente em repouso sobre uma 
pista de patinacao horizontal, pi-6)(i- 
• mos urn do outro: 
• Admitindo despreziveis quais-
41 	quer forcas dissipativas (atrito, re- 
sistencia do ar, etc.), devera ocorrer 
• corn a quantidade de movimento de 
• cada patinador se A empurrar B? 
• A experiencia mostra que os 
•
patinadores adquirem movimentos em 
sentidos opostos, corn velocidades 
(SA 
• cujos modulos sao inversamente 
•
proporcionais as suas respectivas 
massas (por exemplo, se a massa de A 
• e o dobro da massa de B, a velocidade 
• adquirida por A sera a metade da 
velocidade adquirida por B). Portanto, 
• os patinadores adquirem quantidades 
• de movimento iguais e opostas. 
Principio da Conservacao da Quantidade de Movimento 
= - Q B 
• 
• A quantidade de movimento dos dois patinadores, isto é, do sistema, tem 
•
valor nulo (Q A + QB = 0), tanto antes (pois ambos estavam em repouso) como 
depois do empurrao (pois os vetores QA e QB tern modulos iguais mas sentidos 
• contrarios). Em outras palavras, a quantidade de movimento do sistema nao 
•
mudou, mas permaneceu constante antes e depois do empurrao. 
•
Quando o patinador A empurra o patinador B, este reage corn uma forca 
igual e contraria. Esse par acao-reacao corresponde a forcas trocadas entre corpos 
• que pertencem ao sistema, sendo chamadas de forcas internas a esse sistema. 
• Ja as forcas aplicadas pela Terra sobre os patinadores (ou seja, seus propri- 
• os pesos) e as forcas aplicadas pela pista de patinacao sobre os mesmos 
patinadores (isto é, as reacOes normais em cada urn) sao forcas aplicadas por 
• corpos que nao pertencem ao sistema, sendo entao denominadas forcas exter- 
• nas ao sistema 
• Como a forca peso de cada patinador é anulada pela reacao normal da pista, 
a resultante das forcas externas a esse sistema e nula, caracterizando o que se 
chama de sistema isolado de forcas externas, ou simplesmente sistema isolado. 
• A variacao da quantidade de movimento total de urn sistema de particulas 
• so podera ocorrer se existirem forcas externas ao sistema. Caso contrario, ou 
• Capffulo 13 • Conservacao da Quantidade de Movimento 	133 • 
• • • • • 
• • 
0 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• 
• • • • • 
seja, se o sistema for isolado, a quantidade de movimento do sistema permane-
cera constante, como pode ser verificado usando-se o teorema do impulso. 
I =AQ=Q— Q o 
Como F = decorre que I = 0 , pois I = F . At 
=Q- Q= Qo 
A quantidade de movimento de urn sistema isolado permanece constante. 
Notas: 
I) Por sistema isolado de forcas externas entenda: 
(1)nao atuam forcas externas, podendo no entanto haver forcas internas 
entre os corpos; 
(2)existem externas, mas sua resultante é nula; 
(3)existem externas, mas tao pouco intensas (quando comparadas as in-
ternas) que podem ser desprezadas. 
II) A quantidade de movimento pode permanecer constante ainda que a 
energia mecanica nao permaneca. Dessa forma, os principios da conser-
vacao da energia e da quantidade de movimento sao independentes. 
EXEMPLOS 
✓Um fuzil dispara uma bala de massa m = 50 g, que o abandona corn velo-
cidade de 200 m/ s. Se a massa do fuzil é 10 kg, calcule sua velocidade de 
recuo. 
mB = 50 g = 50 . 10' kg 
Dados VB = 200 m/ s 
mf = 10 kg 
Consideremos a bala e o fuzil constituindo urn tinico sistema inicialmente 
em repouso e livre de forcas externas, pois estas sao desprezfveis em rela-
cao as forcas internas. Nestas condicoes o sistema é isolado e teremos: 
I =10 = d=o0=o+ 
Como a bala e o fuzil terao quantidade de movimento de sentidos opos-
tos, seus modulos serao iguais para que a resultante seja nula. 
(18, 
bala 
df = did 
Mf • Vf = M B VB 	V_ — MB • VB 
 50 . 10 3 . 200— 
rnf 
	10 
	 Vf = 1 m/ s 
134 	Capaulo 13 • Conservacao da Quantidade de Movimento 
• • • 
• • 
• • 
0 
0 • 
• 
• 
• 
0 • • • 
• 
• 
• 
• EXERCICIOS • • • • • • • • • • • • • 
✓ Urn carrinho de massa igual a m move-se num piano horizontal de atrito 
desprezivel corn velocidade constante V +. A partir de um dado instante, e 
por urn intervalo de tempo, chove verticalmente sobre o carrinho, fazen-
do corn que ao final o carrinho transporte uma massa de agua igual a 3 m. 
Determine o valor da velocidade 	do carrinho apps a chuva. 
Na direcao horizontal nao ha forcas externas e a quantidade de movi-
mento se conserva: 
Qantes = Qdepois 
m . = (m + 3 m) . 
em que (m + 3 m) é a massa total do sistema apps a chuva. 
Simplificando a expressao anterior, temos: 
v m = 4 m 	v =- 
4 
8 Sobre uma pista de gelo, urn garoto sobre patins, de massa igual a 30 kg, da 
urn empurrao num homem, tambem sobre patins, de massa M. Se a velocidade 
adquirida pelo homem é a terra parte da velocidade adquirida pelo garoto, 
calcule M. (Supondo que inicialmente ambos estavam em repouso). 
9 Uma bola de massa 1,5 kg e velocidade 4 m/ s incide perpendicularmen-te em um muro e é rebatida sem perda de energia cinetica. 0 intervalo de 
tempo do choque é igual a 2 s. Determine, em modulo: 
a) o impulso recebido pela bola; 
b) a forca media atuante sobre a bola. 
10 (AFA-SP) Urn canhao dispara urn projetil na horizontal, corn uma veloci-
dade de 500 m/ s. Sendo a massa do canhao 1 000 vezes maior que a do 
projetil, a velocidade de recuo, em m/ s, sera igual a: 
a) 0,5 	b) 2,0 	c) 5,0 	d) 20,0 
Copilot° 13 • Consetvocao do Quontidade de Movimento 	135 
• • 
S • 
• • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • 
• • • • • 
• • • 
11 (PUCC-SP) A mola da figura abaixo tern massa desprezivel e é comprimi-
da por dois carrinhos de massas MA = 2 kg e MB = 4 kg; inicialmente em 
repouso. Quando abandonados, B adquire velocidade de 0,5 m/ s. A velo-
cidade de A, ern m / s, sera: 
a) 0,5 
b) 1,0 
c) 1,5 	o 	o 	o 	o 	o 	 o 	o 	o 
d) 2,0 
e) 2,5 	0 	 A 
0 	0 0 0 0 	 0 	0 0 0 
o) 
	
C-c) 	 
Colisoes ou choques rneconicos 
Quando dois ou mais corpos entram em contato, sofrendo uma interacao 
qualquer, dizemos que ocorre um choque (ou colisao). 
Quando ocorre urn choque ou colisao entre dois corpos surgem deforma-
coes, que podem ser elasticas ou plasticas. 
A deformacao é dita elastica quando, apps a interacao, os corpos retornam 
a sua forma e dimensoes originais. Por exemplo, quando uma esfera de aco 
colide com urn anteparo rigid() e fixo, ha uma deformacao (imperceptivel a 
olho nu) enquanto existe o contato, mas, uma vez cessada a interacao, a esfera e 
o anteparo retornam a sua forma e dimensoes iniciais. 
A deformacao é chamada plastica (ou permanente) quando, apps a 
interacao entre os corpos, pelo menos urn deles muda de forma e / ou dimen-
soes. E o que ocorre, por exemplo, quando se atira um pedaco de goma de mas-
car contra uma parede. Embora a parede permaneca corn sua forma original, a 
goma de mascar muda de forma durante a colisao e assim permanece apps a 
mesma. 
136 	Capftulo 13 • Conservacoo da Quantidade de Movimento 
• • • • 
•
Sistema isolado = Q = cte Qfinal = Qinicial 
• 
Coeficiente de restituicao 
• Nas colisOes frontais, temos: 
• I — antes do choque, a velocidade relativa de aproximacao (Vap) 
• V.1 Vap = VA — VB 	 (VA > VB) 
0 choque entre as particulas ocorre em curtissimo intervalo de tempo, e as 
forcas internas trocadas durante o fenomeno sao muito intensas comparadas as 
for-gas externas que eventualmente agem sobre o sistema. Isso leva a conserva-
cao da quantidade de movimento imediatamente antes e imediatamente de-
pois da colisao. 
• 
• CoHisao frontal • 
•
Colisao frontal é aquela que ocorre entre particulas que se deslocam no 
mesmo sentido ou em sentidos contrarios e na mesma direcao. 
• antes da colisao 	_
v (VA > VB) 	 VA 
0-1" aproximacao 
I 
S 
afastamento 
colisao 
vA depois da colisao 
(VB ' > VA') 
 
•
II — depois do choque, a velocidade relativa de afastamento (V af ) 
• Vaf = V'B — V 'A CO 	 (V'B > V'A) 
• 
Define-se coeficiente de restituicao (e) corn sendo quociente entre a veloci- 
dade relativa de afastamento (V af) e a velocidade relativa de aproximacao (Vap). 
• 
•
e= Vaf 
Vap • 
• Para se obter a velocidade relativa entre dois corpos que se movem na mes- 
a) se as velocidades tem sentidos opostos, somam-se seus valores absolutos. 
• b) se as velocidades tern o mesmo sentido, subtraem-se seus valores absolutos. 
•
ma direcao, procede-se da seguinte maneira: 
4110 	 Capitulo 13 • Conservacao da Quantidade de Movimento 	137 
• • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • 
Tipos de choques ou colisoes 
Dependendo do valor do coeficiente de restituicao, os choques podem ser 
de tres tipos: 
a) choque ou colisao elistica: ocorre quando e = 1 , ou seja, a velocidade 
de afastamento é igual a velocidade de aproximacao. Neste tipo de cho-
que, a energia cinetica final do sistema é igual a energia cinetica inicial e 
constitui urn caso ideal. 
b) choque ou colisio inelastica: ocorre quando e = 0 , isto é, a velocidade 
de afastamento é nula, estando os corpos apos o choque com a mesma 
velocidade. Neste caso a energia cinetica final do sistema é menor que a 
energia cinetica inicial. 
c) choque parcialmente elistico: ocorre quando 0 < e < 1 , o que significa 
urn caso intermediario entre os dois tipos anteriores. Embora os corpos 
se afastem apas o choque, ha uma diminuicao da energia cinetica do 
sistema. 
Exemplos de coliseies frontais: 
1) Colisdo elastica: 
Antes 
	
Depois 
7,0 m/s 	3,0 m/s 
	
4,0 m/s 	6,0 m/s 
0 
	
0 
Vap = 7/0 +3/0 = 10 m/s 
	
Vaf = 4,0 + 6,0 = 10 m/s 
e — V
V 
	
	10 af 	=1 
Vap 10 
Depois 
5,0 m/s 	5,0 m/s 
o 
	
Vap = 10 — 8,0 = 2,0 m/s 
	
Vap = 5/ 0 — 5/ 0 = 0 
V 	0 e = af 	= 1 	e = 0 
Vap 2, 0 
138 	Capaulo 13 • Conservactio do Quantidade de Movimento 
2) Colisdo inelastica: 
Antes 
10 m/s 
e = 1 
8,0 m/s 
• 
• 2) Colisdo parcialmente elastica: 
• Antes 	 Depois 
io m/s 	2,0 m/s 	3,0 m/s 	5,0 m/s 
	
- 	0 -to. 
Vap = 10 — 2,0 = 8,0 m/s 	Vaf = 5,0 — 3,0 = 2,0 m / s 
e Kif 2,0 _ 1 e = 0,25 
• Kip 8,0 4 • • 
•
EXEMPLOS 
• ✓Dois corpos A e B, de mesma massa, chocam-se frontalmente num piano sem atrito e horizontal. Sabendo-se que o choque foi perfeitamente elasti- 
• co, que B estava inicialmente em repouso e que a velocidade inicial de A 
1111 	era V, determine as velocidades de A e B ape's o choque. 
antes do choque 
	
= V 	= 0 
	 Vap = V — 0 	Vap = V 
--- 11013 
	
Qf = rn.V±M*0 = Qf = MoV 
m 
ap6s o choque 
V A 	 V 8 
111, 	 Qf = rne 	± 	. 111 • 
Trata-se de urn choque elastic°, portanto: 
• 
•
e=1 	af =1 	Vaf Vap 	V'B — \PA = V 0 
ap 
Qfmal = Qinicial 	1111 • • 	M . V'B = m . V 
• 
V'A = 0 
Observacao: como ocorreu neste exemplo, sempre que corpos de mesma 
•
massa sofrem choques elasticos e frontais eles trocam de velocidades. 
Capitol° 13 • Conservactio da Quanfidade de Movimento 	139 • 
• 
• 
• 
• 
Val = — 	(supondo 	> VA) 
• 
•
Resolvendo o sistema de equacOes I e II: 
• VB VA V 	
2VB = 2V 	= V 
+ B= 
\P M(V'A O = M V = 	V'A 	= V 0 
✓Duas bolas A e B deslocam-se seguindo a mesma reta e vao chocar-se fron-
talmente, como indica o esquema. 
ViA = 20 m/s ViB = 10 M/S 
A 
	
B 
antes do choque 
Calcule: 
a) o coeficiente de restituicao; 
e = 
Vaf 
Vap 
Va f = 18 — 12 	Vaf = 6 m/s 	 6 
Vap = 20 — 10 	Vap = 10 m/ s; 	10 
e — 	e = 0,6 
b) a massa de B, se a massa de A é m = 5 kg. 
A quantidade de movimento se conserva: 
Qi = Qf 
Qi = QiA QiB = Qi mA • ViA mB • ViB 
Of = QA QB Qf mA • VfA mB • VfB 
mA • ViA mB • ViB = mA • VfA mB • VfB 
5 . 20 + mB . 10 = 5 . 12 + mB . 18 
100 + 10 mB = 60 + 18 mB 
40 = 8 mB = mB = 5 kg 
EXERCICIOS 
12 0 esquema mostra o movimento de duas particulas antes e depois de ha-
ver uma colisdo entre elas. Sabendo ainda que a massa de B vale 2 kg, 
determine: 
a) o coeficiente de restituicao; 
b) a massa de A. 
140 	Capftulo 13 • Conservactio da Quantidade de Movimento 
• • • • 
• • 
• 
• 
• • • • • • • • • 
• 
• • 
• 
I 
• 
• • • 
• • 
• 
• • • 
• • 
VfA = 12 m/s VfB = 18 m/s 
A 
depois do choque 
A 
-N10 m/s 20 m/s 
B 	 A 
10 m/s 0) 
4- -- 
B 
(0 20 m/s 
( 
I 
Urn aviao a jato voa a 900 km/h. Urn passaro de 2 kg é apanhado por ele, 
• chocando-se perpendicularmente contra o vidro dianteiro inquebravel da 
• cabine. Que forca é aplicada no vidro se o choque dura urn milesimo de 
segundo? 
• Uma nave espacial é constituida por estagios. Cada vez que urn estagio é 
• lancado fora, a nave adquire major velocidade. Isto esta de acordo corn o 
•
principio da: 
a) gravitacao universal. 
• b) independencia dos movimentos. 
c) inercia. 
d) conservacao da quantidade de movimento. 
• e) conservacao da energia mecanica. 
(Fuvest-SP) Uma bola preta, de massa m e velocidade v, movendo-se so- 
bre uma superficie muito lisa, sofre uma colisao frontal, perfeitamente 
• elastica, corn uma bola vermelha, identica, parada. ApOs a colisao, qual a 
4111 	velocidade da bola preta?a) v 	b) v/2 	c) 0 	d) —v/2 	e) —v 
• 
• (UFMS) IJ caracteristica de urn choque perfeitamente elastic°, entre dois corpos rigidos: 
a) a conservacao da quantidade de movimento do sistema constituido 
• pelos dois corpos. b) ter a energia cinetica final do sistema constituido pelos dois corpos 
• major que a inicial. 
•
c) ter o coeficiente de restituicao major que 1. 
d) ter velocidade relativa de aproximacao antes do choque major que a 
• velocidade relativa de afastamento ap6s o choque. e) a uniao dos dois corpos apos o choque. 
S 
• 17 (Fuvest-SP) Urn carro de 800 kg, parado num sinal vermelho, é abalroado 
por tras por outro carro, de 1 200 kg, corn uma velocidade de 72 km / h. 
• Imediatamente apos o choque os dois carros se movem juntos. 
a) Calcule a velocidade do conjunto logo apos a colisao. 
• b) Prove que o choque nao é elastic°. 
• (UFSE) Considere as afirmacoes I, II e III referentes a urn choque 
• inelastic° entre dois corpos, de massas desiguais, que constituem urn sis-
tema isolado: 
• I) A quantidade de movimento do sistema se conserva. 
• II) A energia cinetica nao se conserva. III) 0 modulo da velocidade dos corpos ap6s o choque e a media dos 
• mOdulos das velocidades antes do choque. 
• Dentre as afirmacoes: 
• a) somente I é correta. 	 d) I e II sao corretas. b) somente II é correta. 	e) I e III sao corretas. 
• c) somente III é correta. 
• Capaulo 13 • Conservacao da Quantidade de Movimento 	141 
I 
S • 
19 (UEL-PR): Considere as seguintes afirmacoes sobre choque mecanico: 
I) Ha conservacao da quantidade de movimento do sistema apenas 
quando o choque é perfeitamente elastic°. 
II) Ha perda da energia cinetica do sistema quando o choque é inelastic°. 
• III) 0 coeficiente de restituicao de um choque perfeitamente elastic° é 
sempre maior que 1. 
Dentre essas afirmacoes: 110 
a) apenas a I é correta. 
b) apenas a II é correta. 
c) apenas a III é correta. 	 • 
d) I e II sao corretas. 
e) II e III sao corretas. 
20 (Fiube-MG) Urn corpo de massa igual a 200 g e velocidade de 10,0 m/s 	• 
colide corn outro de 50,0 g que estava em repouso. A colisao é perfeitamen- 
• to inelastica. Alp& a colisao, a velocidade de ambos é, em m/ s, igual a: 
a) 2,50 	b) 4,00 	c) 6,00 	d) 8,00 	e) 12,5 	• 
21 (Fuvest-SP) Uma particula de massa m e velocidade v colide com outra 	• 
de massa 3 m inicialmente em repouso. AID& a colisdo elas permanecem • juntas, movendo-se corn velocidade V. Entao: 
a) V = 0 	b) V = v 	c) 2V = v 	d) 3V = v 	e) 4V = v 	• 
• 
110 • • • • • • • • • • • • • • • 142 	Capftulo 13 • Conservocao do Quantidade de Movimento • 
 
Equilibrio Estatico dos 
Solidos 
• A esta altura voce ja deve saber descrever os movimentos, aplicar as leis 
de Newton e da conservacao da energia e da quantidade de movimento em 
situaciies onde as dimensOes dos corpos podem ser desprezadas, isto e, cor- 
1111 	
pos que sao considerados particulas ou ponto materiais. 
410
Vamos relembrar que a l a lei de Newton ou Principio da Inercia trata do 
EQUILIBRIO de uma particula, afirmando que SE A RESULTANTE DE TODAS 
• AS FORCAS ATUANTES NUMA PARTICULA FOR NULA ELA ESTARA EM 
EQUILIBRIO, o qual pode ser estatico (repouso) ou dinamico(MRU). 
• Se as dimensoes de urn corpo forem relevantes havera alguma alteracao 
• nesse conceito de equilibrio? E o que pretendemos discutir a seguir. • 
1111 	
Memento de uma force 
• Imagine que um motorista 
tenha que substituir o pneu de 
• urn carro, usando urn "maca- 
•
co" e uma chave de roda. 
S • 
• Se os parafusos da roda es-
tiverem muito apertados o mo- 
• torista pode nao conseguir 
• desaperta-los, mesmo usando toda sua forca e aplicando-a 
• perpendicularmente na extre- 
• midade do "braco" da chave de 
roda. 
Como é possivel solucio-
nar esse problema? 
0 motorista poderia pedir 
auxilio a outra pessoa, utilizar 
seu proprio peso (subindo na 
chave de roda)ou simples-
mente aumentar o "braco" da 
chave de roda, adaptando-se 
urn pedaco de cano metalico. 
• • 
F 
osW 	 
braco 
• • 
.7,1,....(101.10.1......1101,1,1 ,10.171:11717.17101MB11.11.4 ■31-.9011111.1.1.5013Mkt 
0 • 	 i 	 , 	cano 
%. 	 ,/ brag() mais comprido N.. 
	
. 	 . 
	
. 	 , .......___,, 
	
Capitol° 14 • Equilibria Estatico dos Solidos 	143 
• • 
• 
• • 
• • 
q71111.11.1.1411.11114.40011,.....0111.7i018461.1111100 
SENTIDO HORARIO: M=-F•d SENTIDO ANTI-HORARIO: M= +F• d 
d 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • • • • • • 
A grandeza fisica ligada a capacidade de "giro" de urn corpo (como a cha-
ve de roda) depende da intensidade da forca e da sua distancia ao ponto onde 
ocorre a rotacao. E caracterizado por uma grandeza chamada momento de 
uma forca em relacao a urn ponto, que é medida multiplicando-se a intensida-
de da forca F pela distancia d do ponto a linha de acao da forca. 
M = ± F.d 
A atribuicao dos sinais (- ou +) dependera de a forca tender a girar o corpo 
no sentido horario ou anti-horario em relacao ao ponto 0. Adotaremos a con-
vencao mostrada na figura a seguir: 
Observe que o momento é calcu-
lado em relacao a urn ponto (geral-
mente chamado de polo) e a distan-
cia entre a linha de acao da forca e o 
polo constitui o brag() da forca. 
No SI a unidade de momento é o 
newton . metro (N . m). 
Sob a acao de forcas coplanares, o momento total (M) é dado pela soma 
algebrica dos momentos de cada forca: 
F 
M = 	+ M2 + M3 = -Fi • di - F2 • d2 + F3 . d3 
Se o momento total for nulo o corpo onde as forcas estao aplicadas nao 
entrard em rotacao, isto e, nao girard em tomb do polo considerado. 
144 	Capitol° 14 • Ego!!brio Est6fico dos Se•lidos 
Linha de acao da forca 
• • • 
• • • • • 
• 
b) 
• 
• 
• 
• 
•
c) 
• 
• 
• 
• 
• • 
1 • • • • • 
• 
• Fi 	 
• • • • • 
EXEMPLOS 
✓Forcas diferentes, porem todas de intensidade 20 N atuam numa porta de 
1,0 m de largura, em tres situagOes distintas, conforme as figuras a seguir. 
Calcule o momento da forca aplicada em relacdo ao ponto 0 (dobradica) 
em cada uma das situagoes esquematizadas. 
a) 
M = Fa da = 20 . 1,0 = 20 N . m 
(o momento é positivo pois a 
porta tende a girar no sentido 
anti-horario) 
M = Fb db = 20 . 0 = 0 
(o momento é nulo pois a porta 
nao tende a girar, ja que a linha 
de acao de forca passa pelo 
ponto 0) 
M = Fc . dc = —20 . 0,6 = —12 N . m 
(o momento é negativo pois 
tende a girar a porta no sentido 
horario) 
EXERCICIOS 
A figura representa as forcas F 1 e F2 aplicadas sobre uma barra que pode 
girar ao redor do ponto de apoio 0. 
a) A forca F1 tern a tendencia de girar a barra no sentido horario ou anti-
horario? E a forca F2, tem a tendencia de girar a barra, em que sentido? 
b) Quais sac) os sinais de Mr, e de Mr2? 
c) Calcule MF e Mr2, sendo IF1 1 = 30 N e r2 1= 50 N 
d i = 2,0m d2 = 1 ,2m 
 
1 0 
• 
/////// / ///// 
Capftulo 14 • Equilibria Estatico dos Solidos 	145 
b a 
4- 
0 
 
barra- 
 
 
 
• • • • • 
I • • • • 
S • • • • • 
• • • 
I • • • • • 
I • • • • • • • 
2 (Fatec-SP) Sobre a barra esquematizada atuam as forcas F 1 e F 2, de mesma 
intensidade f. 
0 momento resultante em relacdo ao ponto 0 tem intensidade: 
a) f(a + b) 	b) f . b 	c) 2f(a + b) 	d) f . a 	e) 2f . a 
3 (UFF-RJ) Uma barra rigida e de massa desprezivel é articulada, sem atri-
to, a uma parede vertical. Um objeto de massa M é colocado sobre a barra, 
que é mantida na posicao horizontal por um apoio em cunha. Em relacao 
a forca que a cunha faz sobre a barra nas tres posicoes descritas na figura, 
podemos afirmar que: 
a) F 1 > F2 > F3 
b)F1 <F2 < F3 
c)F1=F2=F3 
Binario 
Em muitas situagoes do quotidi-
ano, como quando abrimos ou fecha-
mos uma simples torneira, aplica-
mos em pontos diferentes do mesmo 
corpo forcas paralelas e opostas, isto 
é, forcas. de mesma direcao e mesma 
intensidade, porem de sentidos 
contrarios(F e - F ). 
146 	CapItulo 14 • Equilbrio Estatico dos &Midas 
 
 
M 
 
 
 
d)F 1 = F3>F2 
e) F 1 = F3 < F2 
• 
• 
•
0 sistemaconstituido por duas for-gas de mesma intensidade, mesma dire-
cao e de sentidos contrarios, mas cujas linhas de acao estao separadas por uma 
• distancia D (chamada brag()) constitui urn BINARIO. • • 
4111 brat ,) • 
• 
• 
• 
0 momento de urn binario, tambem conhecido por TORQUE, é o momento 
total das duas for-gas opostas. Pode se demonstrar que o torque nao depende do 
• polo 0 adotado mas sim da intensidade das forcas e do braco do binario, isto é: 
M = ±F . D 
• 
Considera-se positivo o torque que tende a fazer girar no sentido anti-hora- 
• rio e negativo o torque que tende a fazer girar no sentido horario. 
• 
Atente para o fato de que o binario aplicado a urn corpo inicialmente para- 
• do tende a coloca-lo em rotacao nao uniforme, embora nao produza translacao 
• do mesmo corpo. 
• EXEMPLOS 
• ✓Determine os momentos dos binarios (torques) nos casos ilustrados a 
• seguir: 
• a) 
•
M = + F . D 
M=+5N.lm 
• f F =5N 	M = 5 N . m • • 
•
b) 
M = — F . D 
• M = — 8 N . 0,8 m 
•
F =8N 	80 cm 	M = — 6,4 N . m 
• 
• 
• Capitulo 14 • Equilibdo Estidico dos Solidos 	147 • 
• 
I 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
0 
• 
• 
I 
• 
• 
S 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
EXERCICIOS 
4 Urn motorista de onibus faz 
uma curva para a esquerda, 
aplicando urn binario ao volan-
te. Determine o momento des-
se binario, sabendo que a forca 
exercida pelo motorista no vo-
lante tern intensidade 50 N e 
que o raio do volante e de 
20 cm. 
5 Calcule o torque responsavel 
pela rotacao do sistema de irri-
gaga° ilustrado a seguir, saben-
do-se que o raio do sistema vale 
R = 8,0 cm e as forcas aplicadas 
tern intensidade F = 10 N. 
Equilibrio estatico de um corpo extenso 
Para que urn corpo extenso fique em equilibrio estatico é necessario que 
ele, estando inicialmente parado, nao adquira movimento de translacao nem 
de rotacao. 
Isto ocorrera se duas condicOes forem obedecidas: 
1 2 A forca resultante sobre o corpo deve ser nula. 
+ + = = 
(esta condicao garante que nao havera translacao) 
22 0 momento total sobre o corpo deve ser nula em relacao a qualquer ponto. 
M1 +M2 +M3+...=M= O 
(esta condicao garante que nao havera rotacao) 
Centro de masses e centro de gravidade 
Em que ponto de um corpo extenso esta aplicada a forca peso do mesmo? 
E evidente que cada umas das particulas (protons, neutrons, eletrons) do 
corpo possui massa e conseqiientemente, sob acao da gravidade, apresentam 
tambem peso. Porem sempre e possivel determinar UM UNICO PONTO DO 
CORPO onde teoricamente toda a massa estaria concentrada. Tal ponto é deno-
minado CENTRO DE MASSA do corpo. 
148 	Capltulo 14 • Equilibdo Estatico dos Solidos 
• • • • • • • • 
S • • • 
• • S • • • 
Supondo aceleracao da gravidade uniforme na regido onde se encontra o 
corpo, o centro de massa corn o CENTRO DE GRAVIDADE (CG), e é exatamen-
te no centro de gravidade que se considera o ponto de aplicacao da forca peso 
do corpo. 
Nos corpos homogeneos e regulares o centro de gravidade coincide corn o 
centro geometrico do corpo. 
Em urn corpo qualquer, é sempre possivel determinar a posicao do CG sus-
pendendo o corpo por varias posicoes e marcando a vertical que passa pelo 
ponto de suspensao (em geral se utiliza para isso urn fio de prumo). 
0 encontro das verticais (que representam as direcoes da forca peso) 
corresponde ao CG do corpo. • • 
• 
• • • 
EXEMPLOS • 
 
//i//////////// 
411 ✓ 
 Na figura abaixo temos uma barra homogenea de peso 100 N. Determine 
as intensidades das reacOes N A e Ng dos apoios em A e B. • 
Ti 
• 
7 m 
AA • • • • Capitol° 14 • Equilibrio Estcitico dos Solidos 	149 
parede lisa 
tabua 
chao 
• • • • • • 
S • 
• 
• • • 
• • • O 
• 
• 
• • • 
• 
• • • 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
Desenhando todas as forcas que atuam na barra, lembrando que o peso da 
barra esta aplicado no seu centro de gravidade, que coincide corn o proprio 
centro geometrico. 
—10 
NA 
► 	 
P 
• condicao: F = 0 = NA + NB = P = 	NA + NB = 100 N 
• condicao: M® = 0 (escolhendo o ponto como polo) 
NB . 0 -FP. 4 — NA . 7=0 
100 . 4 = 7 . NA = 	NA= 400 = 57,2 N 
M® = 0 (escolhendo o ponto ® como polo) 
NA . 7 — P . 3 — NA . 0 = 0 
NB . 7 — 100 . 3 = 0 
3 NB —00 = 42,8 N 
7 
Podemos usar a P condicao para conferir: 
400 300 700 NA + NB — 	 — 100 N 
7 	7 	7 
✓A figura representa uma tabua homogenea e regular em equilibria apoia-
da no chao horizontal e numa parede vertical e lisa. 
Esboce na figura as forcas atuantes na tabua. 
150 	Copitulo 14 • Equilibrio Estatico dos Solidos 
• 
• Sobre a tabua atuam 3 forcas: o peso (P ), a reacao da parede (N -') e a 
reacao do chdo (R ). 
A forca peso e vertical dirisida para baixo e o ponto de aplicacao (CG) 
coincide corn o centro geometrico da tabua. A reacao da parede é normal 
as superficies em contato, pois nao ha atrito: 
Em relacdo ao ponto 0, os momentos de P e N sao nulos, pois suas dire-
cOes (retas suportes) passam por 0, logo o momento de R deve tambem ser 
nulo e, para isso, sua reta suporte deve tambem passar pelo ponto 0: 
Quando urn corpo esta em equ i I ibro sob a acao de tres forcas nao para-
lelas, pode-se concluir que essas forcas sao coplanares e suas retas suportes 
se cruzam num unico ponto. 
• 6 Na figura ao lado temos 
• uma escada apoiada con- 
• tra uma parede lisa, corn 
duas for-gas que agem so- 
• bre ela: o peso F e a forca F exercida pela parede. 
• Esquematize a forca exer- 
• cida pelo chao sobre a es-
cada, de modo que ela 
• permaneca em 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
0 
• 
S 
• 
• 
• 
• EXERCICIOS 
• 
• 	 Capitulo 14 • Equilibria Estatico dos &Midas 	151 
S 
B 
d) 40 N 	e) 50 N 
• • • • • • 
• 
S • 
• 
S 
• • 
• 
I 
• 
S 
S 
I 
• 
• • 
• 
S S 
to • 
• 
• 
• 
• 
• 
7 Uma tabua de peso desprezivel esta apoiada horizontalmente nos pontos 
A e B, distanciados de 1,0 m. Urn corpo de peso igual a 50 N foi colocado 
a 20 cm do ponto A. 
Determine as intensidades das forcas de reacao dos apoios em A e em B, 
sobre a tabua. 
A 
8 (UNIFOR-CE) Na figura ao lado, AB 
é uma barra rigida, homogenea e 
cilindrica em equilfbrio, apoiada em 
um ponto fixo 0. A esfera M, pendu-
rada na extremidade A da barra por 
urn fio de massa desprezivel, pesa 
20 N. A experiencia nos leva a con-
cluir que o peso da barra é de: 
a) 10 N 	b) 20 N 	c) 30 N 
9 (UFES) Urn poste de concreto, cilindrico e homogeneo, tern peso P . 0 va-
lor da forca vertical necessaria para sustenta-lo por uma de suas extremi-
dades, enquanto a outra se mantem apoiada no solo, é: 
a) < —P b) = —P c) = P 	d) = 2 	e) > P 
2 	2 
10 (FGV-SP) Urn carrinho de pedreiro, de peso total P = 800 N, é mantido em 
equilibrio na posicao mostrada na figura abaixo. A forca exercida pelo 
operador, em newtons é de: 
a) 800 
b) 533 
c) 480 
d) 320 
e) 160 
(Fuvest-SP) Dois homens estao carregando uma viga de madeira nas po-
sic -6es A e B indicadas na figura. Se a viga é homogenea e pesa 40 kgf, qual 
a carga suportada por cada urn?) 
a) A = 15 kgf; B = 25 kgf. 	4m 	
■ : '■ 1 m b) A= 25 kgf; B= 15 kgf. 
c) A = 8 kgf; B = 32 kgf. 
d) A = 32 kgf; B = 8 kgf. 
e) A = 20 kgf; B = 20 kgf. 
152 	Copltulo 14 • Equilibdo Estatico dos Solidos 
B 
INDIFERENTE 
• 
• Tipos de equilibrio 
• 
Suponha um corpo de forma ir-
e 	regular no qual se determinou a posi- 
• cao do CG. Observa-se que se esse 
corpo for suspenso por urn ponto lo- 
• calizado acima do CG ele fica em 
EQUILIBRIO ESTAVEL, isto e, mes-
mo que ele sofra urn pequeno afasta- 
• mento de sua posicao de equilibrio 
ele tende a voltar a essa posicao. • 
• Se o mesmo corpo for suspenso 
• por um ponto abaixo do CG ele pode 
ficar precariamente em EQUILIBRIO 
• INSTAVEL, pois qualquer afas- 
•
tamento ao tende a romper o equili-
brio. 
• • 
• Finalmente, se o corpo for sus-
penso por um ponto coincidente com 
• o CG ele fica ern EQUILIBRIO 
• FERENTE, isto e, afastando-se o cor-
po para outra posicao ele ai perma- 
• nece. 
Para corpos apoiados numa superficie tambem podemos definir ostees ti-
pos de equilibrio estatico, como ilustram as figuras adiante, onde se tem urn 
cone regular homogeneo apoiado numa superficie plana horizontal em tres si-
tuaciies distintas: 
EQUILIBRIO ESTAVEL 
Copftulo 14 • Equilibrio Estatico dos SOlidos 	153 
• 
• 
• 
• • • • 
S • 
410 
• • • 
411 • 
EQUIL(BRIO INSTAVEL 
I 
• 
• 
• 
• 
IP 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
MADEIRA 
CHUMBO 
0 CG nesse tipo de boneco se 
encontra bem embaixo, de tal modo 
que o momento da forca peso em re-
lacao ao ponto de apoio A gira o bo-
neco, trazendo-o de volta a posicao 
de equilibrio (equilibrio estavel). E 
quanto mais embaixo estiver o CG, 
mais estavel sera o equilibrio. 
 
EQUILiBRIO INDIFERENTE 
Portanto, uma maneira de se conseguir aumentar a estabilidade de urn cor-
po é projeta-lo de forma a: 
1) abaixar seu centro de gravidade; 
2) aumentar a area de sua base de apoio. 
Urn caso de equilibrio estavel to-
tal é o do boneco conhecido como 
Joao-bobo ou Joao-teimoso, mostra-
do na figura ao lado. 
EXERCICIOS 
12 Identifique os tipos de equilibrio: 
I 
	
II 
154 	Capaulo 14 • Equilibrio Estatico dos Solidos 
/////////////// 
FIGURA III 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
S 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
(Cesgranrio) Tres hastes homogeneas e identicas podem ser ligadas, con-
forme mostram as figuras I, II e III. Em cada caso, elas formam um siste-
ma rigido e piano, capaz de girar livremente, na vertical, em torno de um 
eixo horizontal que passa pelo ponto de unido das barras. Qual das op-
goes a seguir caracteriza corretamente o tipo de equilibrio observado em 
cada uma das situagOes ilustradas? (Em cada figura, a linha tracejada dd a 
direcao da vertical.) 
14 o 
120 
/////////////// /////////////// 
FIGURA I 
	
FIGURA H 
Figura I 	Figura II 	Figura III 
a) estavel 	instavel 	indiferente 
b) estavel 	indiferente 	instavel 
c) instavel 	indiferente 	estavel 
d) indiferente 	estavel 	instavel 
e) indiferente 	instavel 	estavel 
Capitulo14 • Equilibria Estatico dos Solidos 	155 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
, 	Equilibrio Estatico dos 
Liquidos 
Assim como os corpos solidos, tambem os corpos liquidos podem estar 
ou nao em equilibrio estatico. 
Os liquidos estao em equilibrio quando contidos em urn recipiente e nao 
ha movimento de partes do liquid° no interior do dito recipiente. 
Em nosso estudo consideraremos liquidos ideais, isto e, liquidos sem ne-
nhuma compressibilidade (na realidade eles sao muito pouco compressiveis) e 
homogeneos. 
Para compreender bem o equillbrio dos liquidos é indispensavel o conheci-
mento de duas novas grandezas: a pressao e a densidade. 
Densidade de urn corpo 
Por que urn pedaco de isopor flutua quando colocado na agua? 
Isopor 
agua 
Uma das respostas possiveis e que a densidade do isopor é menor que a 
densidade da agua. 
Isto significa que as particulas que constituem o isopor estao mais afasta-
das entre si que as particulas que constituem a agua. 0 isopor ocupa mais volu-
me para uma mesma quantidade de materia. 
Define-se densidade (d) de urn corpo de massa m que ocupa um volume 
V como sendo a razio entre m e V. 
d 
m 
V 
Por exemplo, a 4° C, a densidade da agua vale 1 g / cm 3. Isso quer dizer 
que, nessa temperatura, a massa de cada cm 3 de agua vale 1 g. 
156 	Capitol° 15 • Equilibrio Estado" dos liquidos 
n kg 
No S.I. a densidade deve ser dada em kg / 	sendo 1 g = 10a 
M3 
• • • • • • • • 
0 • • • 
• • 
• Presstio 
substancia d (g/cm3 ) 
alcool 0,8 (0° C) 
gasolina 0,7 (0° C) 
agua 1,0 (4° C) 
glicerina 1,3 (0° C) 
aluminio 2,7 (20° C) 
cobre 8,9 (20° C) 
chumbo 11,3 (20° C) 
mercurio 13,6 (0° C) 
gelo 0,9 (0° C) 
Se o corpo for macico, formado de uma unica substancia, a densidade do 
corpo coincide corn a densidade da substancia de que ele é feito (tambern cha-
mada de massa especifica). Por exemplo, uma bola macica de ferro tern a den-
sidade do proprio ferro, porem uma bola de ferro oca tern uma densidade me-
nor que a densidade do ferro. 
Citamos a seguir as densidades de algumas substancias comuns. 
• Semelhantemente a densidade, 
• a pressao é uma grandeza fisica rela- 
• cionada corn sua concentracao, so 
que ern uma determinada area e nao 
num determinado volume. 
Por que uma faca para cortar 
bem deve estar muito afiada? Que 
• significa "afiar" uma faca? 
S 
• 
S • 
• 
a • 
• 
• 
• 
• 
• 
Uma faca esta bem afiada quando a regiao de corte tern a menor area pos-
sivel, de tal forma que a forca aplicada (convenientemente) corn a mesma se 
concentre num "fio" muito fino. Afiar significa reduzir a area de corte a um fio. 
Define-se pressao (p) como a razao entre o modulo da forca F aplicada 
perpendicularmente a uma superficie e a area A dessa superficie. 
P= A 
Nota: 
Pressao a uma grandeza escalar. 
Copitulo 15 • Equilibrio Estatico dos liquidos 	157 
• 
• • • • • • • • • • 
• • • • • 
• 
• • • • 
I • • 
• • • • • • 
No SI a unidade de medida de pressao é denominada pascal (Pa), que sig-
nifica N / m2 . 
0 aparelho usado para medir 
pressao é denominado manometro, 
e na pratica e comum se utilizar ou-
tras unidades de pressao, tais como a 
atmosfera (atm), o milimetro de mer-
ciirio (mmHg), o quilograma-forca 
por centimetro (kgf/cm2). Ha ainda 
uma unidade inglesa conhecida por 
quem calibra pneus de automOveis 
simplesmente por "libra", mas que 
na realidade vem a ser Libra-forca 
por polegada (lib/pol e). 
Tambem sao comuns o use de alguns multiplos do pascal, ja que na pratica 
1 Pa corresponde a uma pressao muito pequena. Utilizam-se entao o quilopas-
cal (kPa) e o hectopascal (hPa), sendo: 
1 hPa = 100 Pa 
1 kPa = 1 000 Pa 
Presseie atmosferica 
A Terra é envolvida por uma ca-
mada de gases denominado ar at-
mosferico. Como o ar tem peso, ele 
exerce uma pressao sobre a superfi-
cie terrestre, assim como sobre todos 
os corpos expostos ao ar. 
Os aparelhos denominados barometros permitem medir a pressao atmos-
ferica e se verifica que ao nivel do mar ela vale cerca de 100.000 Pa. Este valor é 
denominado pressao atmosferica normal, que corresponde a unidade atmos-
fera (atm). Assim: 
1 atm = 105 Pa 
Todo e qualquer corpo exposto ao ar 
atmosferico esta entao sujeito a 100.000 N 
por metro quadrado de area. Como 1 m 2 = 
( 102 011)2 104 cm2, entao cada cm2 de nosso 
corpo esta sujeito a uma forca de 10 N, que 
corresponde ao peso aproximado de um 
corpo de 1 kg (1 000 g). So nao sentimos 
essa pressao porque nossa pressao interna 
equilibra a pressao externa da atmosfera. 
158 	Capitulo 15 • Equilibria Estatico dos Liquidos 
• 
S 
410 • • • • • • • 
• 
o • • • • • • • • • • • 
S • 
Voce pode comprovar o enorme valor da pressao atmosferica pegando 
uma lata vazia (isto é, cheia de ar) e retirando o ar de dentro dela. Para isso 
basta aquecer uma lata corn apenas um orificio num fogareiro (muito cuidado 
se voce realmente for fazer isso). 
Apos alguns minutos de aquecimento uma grande parte do ar escapa pelo 
orificio. 
Tampando cuidadosa e firmemente o orificio o ar nao pode mais retornar 
para dentro da lata. Derramando-se agua fria sobre a lata a pressao interna 
diminui bastante, permitindo que a pressao atmosferica mostre toda sua capa-
cidade, amassando toda a lata. 
Pressao exercida por coluna liquida 
Tal como os solidos ou os gases 
do ar atmosferico, tambem os 
dos tern peso e portanto exercem 
pressao. A experiencia mostra que a 
• pressao exercida por uma coluna 
•
liquida em equilibrio estatico au-
menta com a profundidade, como 
• esta ilustrada na figura ao lado: • 
411 	 Capitulo 15 • Equilibrio Estatico dos Liquidos 	159 • 
• • • • • • • • • 
• • • • • • • • • • 
I • • • • • • • 
• • • • • • 
Tal fato levou ao estabelecimento do teorema de Stevin, o qual garante que 
a diferenca de pressao entre dois pontos quaisquer de uma coluna liquida é 
diretamente proporcional a densidade (d)do liquido, a aceleracao da gravi-
dade local ( g ) e ao desnivel (h) entre os pontos considerados. 
 
 
P2 — pi=d.g.h 
 
teorema de STEVIN 
po(pressao atmosferica) 
Uma das aplicacoes do teorema de 
Stevin é a determinacao da pressao em um 
ponto qualquer de urn liquido em equilibrio. 
Desde que o liquido nao esteja em recipiente 
fechado, a pressao na sua superficie livre é 
igual a pressao atmosferica P O . Queremos 
determinar a pressao p na profundidade h. 
Aplicando o teorema de Stevin, temos: 
— Po = dgh = p = p o +dgh 
pressao total = pressao atmosferica + pressao da coluna liquida. 
Experiencia de Torricelli 
Torricelli realizou a seguinte experiencia para medir a pressao atmosferica: 
encheu de mercurio (Hg) urn tubo de vidro corn mais ou menos 1 m de compri-
mento; em seguida fechou a extremidade livre do tubo e o emborcou numa 
vasilha contendo merairio. Quando o dedo foi retirado, a coluna de meralrio 
caiu, ficando o seu nivel aproximadamente 76 cm acima do nivel do merciirio 
dentro da vasilha. 
Hg 
( a ) 	Hg 
160 	Capftulo 15 • Equilibria Estatico dos Liquidos 
0 espaco vazio sobre o mercurio, no tubo, constitui a chamada camara 
barometrica, onde a pressao é praticamente nula (vacuo). 
• A pressao em B, devida ao peso da coluna de mercurio AB, é igual a pres- 
•
sao atmosferica na superficie livre do mercurio na vasilha. Assim, a pressao 
atmosferica equivale ao peso da coluna AB de mercurio. 
111 	A pressao de 76 cm Hg (valor da pressao ao nivel do mar) é denominada 
• pressao atmosferica normal e equivale a outra unidade pratica de pressao cha-
mada atmosf era (atm): • • 	1 atm = 76 cm Hg 
• 0 aparelho idealizado por Torricelli constitui um barometro, isto é, é urn 
•
manometro capaz de medir a pressao atmosferica. 
• • EXEMPLOS 
•
/Um paralelepipedo tem dimensoes 5 cm x 10 cm x 30 cm e peso 30 N. 
Determinar a pressao que ele exerce sobre piano de apoio, em unidades 
do S.I. 
a) apoiado sobre a base maior 
410 
	
b) apoiado sobre a base menor 
1111 	 30 cm • 
•
10 cm 
imm..00 5 cm 
• 
• 
	
a) base maior A = 30 . 10 = 300 cm2 = 300. 10-4 m2 
A = 3 . 10-2 m2 1111 	
F = 	= 30 N • 	F 	30 
A 3 . 10-2 — 1 000 N/ m 2 = 1,0 . 103 Pa P 
•
 
• 
	
P = 1,0 . 103 Pa = 1,0 kPa S 
b) base menor A = 10 .5 = 50 cm 2 = 50. 10-4 m2 
•
A = 5 . 10-3 m2 
P _ F _ 30 
	= 6,0 . 103 N / m2 = 6,0 . 103 Pa 
A 	5 . 10-3 
• 
•
P = 6,0 . 103 Pa = 6,0 kPa 
Capftulo 15 ♦ Equilibdo Estatico dos Liquidos 	161 • 
ar 
t/(UFMG) Urn artigo recente, na revista Veja, informou quo todo 0 ouro 
extraido pelo homem, desde a Antigiiidade ate os dias de hoje, seria sufi-
ciente para encher uma caixa cithica de lado igual a 20 m. Como a densi-
dade do ouro vale cerca de 20 g/cm 3, pode-se concluir que a massa total 
de ouro extraido pelo homem, ate agora, e de, aproximadamente: 
a) 20 toneladas 
b) 400 toneladas 
c) 8 000 toneladas 
d) 160 000 toneladas 
e) 20 milhOes de toneladas 
0 volume de urn cubo é igual ao cubo de sua aresta. 
V = a3 = (20 m) 3 = 8.000 	= 8 . 103 rn3 
d = 20 g/cm3 = 20.103 kg/m' 
d= 
V 	
m d 	= 20 . 103 	 . 8 . 10' 63 = 160. 106 kg = 160 . 103 T 
m = 160.000 T (resp. D) 
✓(UFPI) A diferenca de pressao entre dois pontos situados a .2 m e 5 m de 
profundidade num liquido de densidade de 800 kg/m 3, sendo g =10 m/s2, 
é, em Pa, de: 
a) zero 	b) 8 000 	c) 16 000 	d) 24 000 	e) 40 000 
Aplicando o teorema de Stevin 
P2 - Pi = dgh 
Ap = dgh = 800 kg/m% 2 . 10 m/s2 . (5 - 2) M 
Ap = 800. 10. 3 kg . m/s2 = 24 000 N/m 2 
M2 
Ap = 24 000 Pa (resposta D) 
IA figura ilustra urn tipo de 
manometro que consiste em um 
tubo em forma de U, contendo 
mercurio, e que esta sendo utili-
zado para medir a pressao do 
gas dentro do botijao. 
Sabendo-se que a pressao atmos-
ferica local vale po = 76 cmHg, 
determine a pressao do gas. 
PA = pB (mesmo nivel no mesmo liquido) 
PA = PGAS 
Ps = PO + PCOLUNA PGAS = Po + PCOLUNA 
PGAS = 76 cm Hg +30 cm Hg 
PGAS = 106 cm Hg 
162 	Capitulo 15 ♦ Equilibrio Estatico dos Liquidos 
• 
• • 
• • • • • • • • 
I 
I • 
I • • • • 
• 
S • 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• E X E RC IC IOS 
O I (Unifor-CE) Uma pessoa de 600 N de peso se equilibra num so pe, cuja 
•
area de contato corn o solo é de 150 cm'. A pressao exercida no solo, ern 
N/cm2, é de: 
• a) 600 	b) 150 	c) 16 	d) 8 	e) 4 
• 	2 (UFPI) A densidade de uma substancia de 7,6 g/cm 3 . Em kg/m3, seu valor é: • 	a) 7,6 . 103 	b) 7,6 . 10' 	c) 76 	d) 0,76 	e) 0,076 
• (UFRGS) Uma caixa de 500 N tem faces retangulares e suas arestas me- 
•
dem 1 m, 2 m e 3 m. Qual a pressao (em Pa) que a caixa exerce quando 
apoiada corn sua face menor sobre uma superficie horizontal? 
4 Urn cubo macico, de aresta 10 cm, tem massa igual a 5,0 kg. Qual é, em 
• g/cm3, a densidade absoluta do material de que é feito esse cubo? 
• 5 Uma placa retangular de vidro, medindo 1 m de largura por 2,5 m de com- 
.
primento, esta imersa em liquido, numa regiao onde a pressao é de 10 N/ 
m2 em todos os pontos da face da placa. Qual e, em newtons, a intensidade 
41 	da forca que atua sobre essa face da placa? 
6 (PUCC-SP) Urn recipiente esta cheio de urn liquido de massa especifica 
1,2 kg/m3. Um ponto no liquido, a 12 cm de altura (relativa ao fundo do 
recipiente), tem uma pressao de 3,6 N/m 2. Considere a aceleracao da gra- 
• vidade 10 m/s2. A pressao em urn ponto a 4 cm de altura vale, em N/m 2 : 
•
a) 1,2 	b) 7,2 	c) 4,6 	d) 3,6 	e) 2,9 
7 A densidade absoluta da gasolina é 0,7 g/cm 3. A massa de urn tanque 
cheio de gasolina vale 50 kg. Se o tanque vazio tem massa de 8 kg, qual é 
o volume ocupado pela gasolina desse tanque? 
11110 	Um barometro de merctirio é 
•
conectado a um tambor de ar 
comprimido e as duas colunas 
• estabilizam-se com um desnivel 
de 45,0 cm. A pressao atmosfe- 
• rica nesse dia é de 75,0 cm de 
• merciirio. Qual é a pressao den- 
1111 	
tro do tambor (em cmHg)? 
9 (FGV-SP) A figura ao lado representa urn 
tubo em U, aberto, contendo agua, no qual • 
• 
	foi acrescentada, no ramo direito, uma certa 
quantidade de oleo de 0,8 g/ cm 3 de densi-
dade. Sendo de 1 g / cm 3 a densidade da 
agua e sabendo que a altura HA = 2,4 cm, a 
altura Ho, em centimetros, sera de: 
I 	a) 5,4 	b) 3,0 	c) 2,4 	d) 1,0 	e) 0,8 
• 	
Capitulo 15 • Equilibrio Estettico dos Liquidos 	163 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Principio de Pascal 
Quando urn motorista pisa no pedal do freio de automovel ele faz uma 
forca relativamente pequena em relacao a forca necessaria para travar as rodas. 
Alem disso as rodas freiam simultaneamente. Como podemos explicar esse 
fato? 
O sistema de freios de um carro é uma aplicacao do principio de Pascal, o 
qual afirma que os liquidos em equilibrio estatico transmitem integralmente 
para todos os pontos qualquer acrescimo de pressao em urn de seus pontos. 
O principio de Pascal apresenta muitas outras aplicacoes praticas, quase 
todas elas indicadas pelo nome "hidraulico". Assim temos o freio hidraulico, o 
macaco hidraulico, o elevador hidraulico, a prensa hidraulica, a direcao hi-
draulica, etc. 
Todos esses dispositivos sao multiplicadores de forca, isto e, como a pres-
sao decorre da aplicacao de forca em dada superficie, para acrescimos de pres-
saes iguais teremos forca major onde a area for major. 
Na figura abaixo ilustramos uma prensa hidraulica onde os acrescimos de 
pressao em cada embolo valem: 
Opt = — e Ap2 = F2— 
A, 	A2 
mas, de acordo corn Pascal: 
Opt = Ap2 	F1 = 	– F2 
A, A2 
F1 A1 
F2 A2 
EXEMPLO 
✓Ern urn elevador hidraulico, um automovel de 1 200 kg de massa esti 
apoiado num pistao cuja area é de 800 cm 2 . Qual é a forca que deve 
ser aplicada no pistalo de 20 cm 2 de area para erguer o automovel? 
(g = 10 m/s2 ). 
As press6es nos pistoes sao iguais: 
P 	F 
800 20 
Sendo P = 1 200 . 10 =12 000 N, temos: 
12000 F –= F = 3 000 N 
800 	20 
2 
I F2 
164 	Capftulo 15 • Equilibdo Estotico dos Liquidoslona de freio 
A, = 1,0cm 2 
fluido de freio 
horizontal 
d) 8 kg 	e) 2 kg 
• havera equillbrio se: 
a) PA = PB • 
• 
ID 
0 
• 
• Empuxo 
b) PA -= 3 PB 
C) PA = 9PB 
d) PA PB / 3 
e) PA = PB/ 9 
• 
EXERCICIOS • 
• 10 Numa prensa hidraulica os embolos apresentam areas iguais a 10 cm 2 e 50 cm2. Se uma forca de 20 N for aplicada no embolo menor, deslocando- 
• o de 30 cm, pergunta-se: 
a) Qual a intensidade da forca transmitida para o embolo maior? 
b) Qual o valor do deslocamento do embolo maior? 
11 Num freio hidraulico de 
automovel, o pistao em 
contato com o pedal tern 
area de 1,0 cm 2. Os pistoes 
que acionam as lonas do 
freio tern area de 10 cm 2 
 cada urn. Se o motorista pisa no freio corn uma forca de 20 N, que forca 
cada lona exerce na roda do automovel? 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 12 
 (Fuvest-SP) Considere o arranjo da fi-
gura, em que urn liquido esta confina- 
• do na regiao delimitada pelos embolos 
A e B, de areas a = 80 cm 2 e b = 20 cm2, 
• respectivamente. 0 sistema esta em 
10 	equilibrio. Despreze os pesos dos em- bolos e os atritos. Se m A = 4,0 kg, qual 
• o valor de mB ? 
• a) 4 kg 	b) 16 kg 	c) 1 kg 
• 13 (PUCC-SP) Duas seringas estao cheias de oleo, ligadas por urn tubo flexi- 
• vel de borracha. Sobre os embolos das seringas sao colocados dois corpos, 
de pesos PA e PB. Sabendo que a area de secao transversal da seringa onde 
• se ap6ia A é o triplo daquela em que se apoia B, podemos afirmar que 
• Quando um corpo e total ou parcialmente mergulhado em um liquido 
verifica-se que seu peso aparentemente diminui. Esse fato se deve as forcas de 
• pressao exercidas pelo liquido sobre os corpos nele mergulhados, cuja resul-
tante tem a mesma direcao do peso, porem sentido oposto. 
Capitol° 15 • Equilibrio Esti:dim dos Liquidos 	165 • 
Quando o corpo esta totalmente 
imerso, o volume do fluido deslocado 
e o volume do proprio corpo. 
• 
• 
• 
• 
• 
• S 
• 
• • 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
A essa forca deu-se o nome deEMPUXO, 
e a resultante entre o empuxo (E) e o peso 
(P) é que faz o corpo afundar ou flutuar no 
liquido. 
0 empuxo existe devido a diferenca de 
pressao entre dois pontos em profundidades 
diferentes de um liquid° (teorema de Stevin). 
Como as forcas devido a pressao sao maiores 
em uma profundidade maior, entao a resul-
tante dessas forcas é vertical, de baixo para 
cima, caracterizando o empuxo. 
Experiencias mostram que essa forca de empuxo esta presente nao so em 
corpos mergulhados nos liquidos como tambem nos gases. (Por exemplo, um 
bald() de festa junina sobe devido ao empuxo recebido do ar que o envolve.) 
Liquidos e gases sao genericamente chamados de fluidos, e generalizando 
os resultados experimentais chega-se ao principio de Arquimedes: 
Todo corpo imerso total ou parcialmente em urn fluido recebe deste uma 
forca chamada empuxo (E ), de direcao vertical, de baixo para cima e de inten-
sidade igual ao peso do fluido deslocado. 
Usando o principio de Arquimedes podemos obter a expressao matemati-
ca do modulo do empuxo (E). Basta escrever o peso do fluido deslocado em 
funcao da densidade do fluido (d F), do volume do fluido deslocado (VF) e da 
aceleracao da gravidade (g). 
Assim, teremos: 
Empuxo = Peso do fluido deslocado. 
E = PF 
E = mF . g 
V = 
Quando o corpo esta flutuando, o 
volume do fluido deslocado é 
igual a parcela do volume do 
corpo que se acha imersa. 
166 	Capitulo15 • Equilibrio Estotico dos Liquidos 
T11.F 
porem dF = — 
VF 
Assim: 
E = dF . 	. g 
mF = dF • VF 
• 
•
Devido ao empuxo, o peso de um corpo imerso num liquido torna-se menor. 
Peso aparente e o peso do corpo quando imerso num liquido. Esse peso é 
• a diferenca entre o seu peso real e o empuxo. 
• • 
Peso aparente 
• 
•
Pap 'real E 
• 
Arquimedes 
• 
•
Arquimedes foi urn maternatico grego que viveu na Siracusa entre 287 a.C. e 
212 a.C. Embora se dedicasse especialmente a Maternatica ele ficou famoso por 
seus engenhos de guerra e suas invencOes. De acordo corn a enciclopedia 
•
Mirador (pagina 798), o rei Hieron da Siracusa desejava oferecer aos deuses uma 
coroa de ouro e, para isso, contratou urn ourives, a quern forneceu uma porcao 
S de prata e uma de ouro em pó. Quando a coroa foi entregue ao rei, este observou 
que nao havia sido empregado na sua confeccao todo o 
ouro em pó que ele entregara ao ourives. Na impossibl- 
• lidade de provar o roubo, Hieron consultou 
410 Arquimedes. Sempre preocupado corn o problema que 
lhe fora apresentado, Arquimedes observou urn dia, 
quando tomava banho, que , a medida que seu corpo 
• mergulhava na banheira, a agua subia pelos bordos. 
lmediatamente percebeu o meio que poderia empregar 
• para solucionar o problema. Teria ficado tao entusias-
mado que safra pelas ruas, complemente nu, gritando 
•
heureka! heureka! (achei! achei!). Depois preparou 
dois blocos, urn de ouro e outro de prata, ambos corn o 
• mesmo peso da coroa. Mergulhou cada urn deles, separadamente em dois recipi- 
• entes cheios de agua, e mediu a quantidade de agua que transbordou em cada 
recipiente. 
• 
Verificou por esse processo que os volumes de agua deslocados pelos dois blo-
cos eram diferentes, concluindo por estabelecer corn certa precisao as massas de 
ouro e prata utilizadas na confeccao da coroa de 
411 
Hieron. 0 interessante e que nao foi esse episOdio, 
como muitos supOem, que deu origem estabeleci-
mento do famoso principio de Arquimedes. 
• 
• 
• 
• 	 Capitulo 15 • Equilibrio Estatico dos Liquidos 	167 • 
Volume total 
(V) 
Volume 
(Ve ) 
f r4-1) 
L_JI 
V 
P 
Volume 
imerso (V i ) 
• 
I • • 
• • • • • • • • 
• 
I 
I • • • • 
S • • • 
S 
• 
• • 
I 
I 
• • 
EXEMPLOS 
✓Uma pessoa introduz urn corpo num li-
quido, de modo que fique totalmente 
mergulhado. Se a seguir ele abandonar o 
corpo, este afundara, flutuara ou ficard 
em equilibrio no meio do liquido? 
Depende dos valores da densidade do corpo (d c) e da densidade do li-
quido (dL), pois sac) esses valores que influirao no peso (P) e no empuxo 
(E) respectivamente. 
a) se dc > dL = P > E = o corpo afundard 
b) se dc < dL = P < E = o corpo flutuard 
c) se d c = dL = P = E = o corpo permanecera em equilibrio 
of Se o corpo flutuar no li-
quido, qual devera ser a 
relacao entre o volume 
do corpo imerso no liqui-
do e o volume total do 
corpo? 
Sempre que um corpo esta flutuando livremente em urn liquido, seu 
peso esta sendo equilibrado pelo empuxo que ele recebe do liquido. (E = P) 
Entretanto, de acordo com o principio de Arquimedes o empuxo é igual ao 
volume de liquido deslocado (E = PLD) que neste caso corresponde apenas ao 
volume do corpo imerso no liquido (V deslocado = V imerso). 
Concluimos entdo que o peso do liquido correspondente ao volume imerso 
deve ser igual ao peso do corpo. 
PLD =P 
mLD 	me • 
dL . v i = . V 
d 
V dL 
Podemos interpretar este resultado verificando que o volume imerso em 
relacao ao volume total é uma frac -do igual aquela existente entre a densidade 
do corpo e a densidade do liquido. Assim, se a densidade do corpo for a meta-
de da densidade do liquido metade de seu volume ficara imerso; se a densida- 
168 	Capftulo 15 ♦ Equilibrio Estedico dos Liquidos 
• 
VF = Vc = 12 cm3 = 12 . 10-6 m3 
dF = 800 kg/m3 
1/Um corpo de volume 12 cm 3 6 totalmente imerso num liquid° de densi-
dade 800 kg/ m3 . Calcule o empuxo sobre o corpo, adotando g = 10 m/s 2 . 
• 
• de do corpo for 20% da densidade do liquid° 20% do corpo ficara imerso e o 
restante (80%) ficard emerso, isto é, fora do liquid°. 
•
por esse motivo que os "icebergs" mostram apenas uma pequena parte 
de seu volume total, pois a densidade do gelo (0,9 g/ cm 3) é muito proxima da 
• densidade da agua salgada (1,1g/ cm 3). Num "iceberg" cerca de 90% do volu- 
•
me nao aparece, ficando imerso na agua, o que ja provocou muitos acidentes 
maritimos, tal como o do "Titanic" • • • • • • • 
g = 10 m/s2 
Aplicando o principio de Arquimedes:• E = dF . VF . g 
• E = 800 . 12 . 10-6 . 10 
• E = 0,096 N = 9,6 . 10 -2 N 
• 
✓Urn bloco no ar pesa 80 N e na agua pesa 60 N, num local de Terra onde 
• g = 10 m/ s 2. Sendo dA = 10 . 103 kg/ m3 e desprezando o empuxo do ar, 
pergunta-se: 
a) qual a a massa do corpo? 
• b) qual é o valor do empuxo recebido pelo corpo? 
•
c) qual é o volume do corpo? 
d) qual é a densidade do corpo? 
111 
• a) P = m g = 80 = m . 10 = m = 8,0 kg 
• b) E = P - P ap = 80 - 60 	E = 20 N 
• c) E = dA . V . g 
• 20 = 1,0 . 103 . V . 10 = V = 2 . 10-3 m3 • d) d = m = 8,0 kg d = 4,0 . 103 kg/m3 
• V 2,0 . 10-3 
 m3 
•
Copitulo 15 • Equilibrio Estatico dos Liquidos 	169 • 
EXERCICIOS 
14 Urn cubo de madeira flutua ver-
ticalmente em oleo de densi- 
dade 0,8 g cm3. Sabe-se que —
1 
8 
de sua aresta vertical esta fora 
do oleo. Qual e a densidade da 
madeira? 
15 (Fuvest-SP) Uma esfera de aluminio ocupa urn volume de 300 cm 3 e pos-
sui massa de 200 g. 
a) Qual a densidade da esfera? 
b) colocada numa piscina cheia de agua, ela flutuara ou nao? Explique. 
16 (Vunesp) Urn dentista entregou a uma firma 50 gramas de titanio para 
confeccao de implantes. Embora a massa total das pecas acabadas fosse 
exatamente 50 gramas, surgiu a suspeita de que parte do metal tivesse 
sido trocada por urn material de menor valor. Sugira urn procedimento 
que possa comprovar a eventual fraude sem destruir ou desmanchar as 
pecas e mencione os principios ou leis fisicas envolvidos. 
1,(UFSC) Assinale as afirmativas corretas: a 
) 0 funcionamento dos macacos hidraulicos baseia-se no principio de 
Pascal. 
"b) Urn transatlantico mantem-se sobre as ondas devido ao principio de 
Arquimedes. 
c) Um cubo macico de ferro afunda na agua e flutua no mercurio porque 
a densidade do mercurio é maior que a da agua. 
d) Urn manometro é um instrumento para medir empuxo. 
e) Pelo principio de Arquimedes, o empuxo é igual ao volume do liquido 
deslocado. 
f) Pelo principio de Pascal, a pressao no interior de urn liquido transmite-
se integralmente em todas as direcoes. 
18 (PUCC-SP) Urn pedaco de parafina flutua na agua e afunda no alcool. 
Sendo dp a densidade da parafina, d al a densidade do alcool e d a a densi-
dade da agua, pode-se afirmar que: 
a) dp > dal > da 
b) d a > dal > dp 
c) dp < dai e dp > da 
d) dp > dal e dp < da 
e) da = dp = dal 
19 (UEL-PR) Urn corpo pesa 4 N fora da agua. Imerso totalmente em agua, o 
seu peso aparente é de 3 N. 0 empuxo exercido sobre o corpo pela agua, 
em newtons, é de: 
a) 12 	b) 7 	c) 4 	d) 3 	e) 1 
170 	Capitulo 15 ♦ Equilibrio Estatico dos Liquidos 
• 
• 
• • 
• 
S 
• • 
S • 
• 
S 
• 
• 
• • 
• • • • 
o 
• 
I • 
• 
e) c) 
d) 
a) 
b) 
0 
0 0 
0 
0 0 
0 
0 
• • • • • • • 
• • • • • • • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
20 (Fuvest-SP) Urn tijolo tem massa igual a 2 kg e volume igual a 1 000 cm 3 . 
a) Determine a densidade do tijolo. 
b) Calcule o peso aparente do tijolo quando totalmente imerso em agua. 
Dados: g = 10 m/ s2 e dag = 1,0 g/cm 3 . 
21 (Cesgranrio) Para mostrar que a densidade do alcool 
combustivel esta dentro das especificacoes, certa dis-
tribuidora coloca em suas bombas de abastecimento 
urn indicador que consiste em duas pequenas esferas, 
1 e 2, mantidas no interior de uma camara de vidro 
sempre repleta do alcool combustivel. Quando a den-
sidade esta dentro das especificacoes, o indicador, no 
equilibria se apresenta como na figura ao lado. Qual 
das opcOes abaixo ilustra uma situacao impossivel de 
acontecer corn o indicador no equilibrio? 
O 
22 (UFPA) Duas esferas metalicas, A e 
B, de mesmo volume e massas dife-
rentes, estao totalmente imersas na 
agua. Analisando a situacao ao lado, 
é possivel afirmar que o empuxo 
que a agua exerce nas esferas: 
a) é o mesmo nas duas esferas 
b) é maior na esfera A 
c) é maior na esfera B 
d) depende das massas das esferas 
e) depende da quantidade de agua no recipiente 
Capftulo 15 • Equilibdo Estatico dos liquidos 	171 
Major temperatura 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
S 
• 
• 
Temperatura 
Equilibrio termico 
A nocao mais comum de temperatura é a sensacao termica de quente ou 
frio que podemos ter atraves do tato, porem, cientificamente, a temperatura 
esta ligada ao fato de que as particulas que constituem urn corpo est5o ern 
constante agitacao. 
Temperatura e uma medida do estado de agitacao das particu las que cons-
tituem urn corpo. 
Menor temperatura 
Experimentalmente, verifica-se que colocando em contato dois ou mais 
corpos em temperaturas diferentes, apps certo intervalo de tempo eles atingem 
a mesma temperatura, e dizemos que entraram em equilibrio termico. 
Dois ou mais corpos estdo em equilibrio termico se suas temperaturas 
forem iguais. 
A 
	
B 
a temperatura de A 6 	coloca-se A e B em 
	
a temperatura de A 
major que a de B 
	
contato 
	
torna-se igual a de B. 
172 	Capaulo 16 • Temperature 
ponto do vapor 
ponto do gelo 
Tubo de vidro 
z Escala 
Mercurio (Hg ) 
Bulbo 
Anders Celsius 
(1701-1744) 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
S • 
S • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Da nocao de equilibrio termico, pode-se enunciar o principio conhecido 
como principio ntimero zero da Termodinamica ou principio fundamental da 
Termodinamica. 
Dois corpos em equilibrio termico com um terceiro estao em equilibrio 
termico entre si. 
Medida da temperatura 
Como a temperatura esti ligada as particulas de um corpo, ela é medida de 
forma indireta, atraves de certas grandezas (comprimento, volume, pressao) que 
variam corn ela. Tais grandezas sao denominadas grandezas termometricas. 
0 aparelho que mede a temperatura e chamado 
termometro e o mais utilizado na pratica é o termo-
metro de mercurio, no qual a grandeza termometrica 
é a altura (comprimento) da coluna de mercurio. 
Ele se compOe de urn tubo de vidro ligado a um 
reservatorio (bulbo) onde existe mercurio, que é urn 
metal na forma liquida. Quando o mercurio, em con-
tato corn urn corpo qualquer, aquece ou esfria, o nivel 
do mercurio sobe ou desce, indicando no ponto onde 
estaciona (ponto de equilibrio termico) urn numero 
(temperatura) na regua gravada no vidro (escala 
termometrica). 
A grandeza termometrica deve apresentar urn unico valor para cada tern-
peratura, de forma que se possa construir uma escala termometrica. 
A escala termometrica é baseada em dois pontos fixos, isto e, dois estados 
termicos em que a temperatura se mantern constante, como, por exemplo, a 
fusao do gelo e a ebulicao da agua sob pressao normal (ao nivel do mar), que 
sao os pontos fixos convencionais. 
fusao do gelo (sob pressao normal) = ponto do gelo 
ebulicao da agua (sob pressao normal) = ponto do vapor 
Na escala Celsius atribui-se o valor 0 para o ponto do 
gelo e 100 para o ponto do vapor, como indica a figura 
abaixo. 
Capitulo 16 • Temperatura 	173 
Simplificando: 
Oc 	OF — 32 
5 	9 (equacao de convers5o) 
• 
• 
I 
I 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
S 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
S 
• 
e 
O intervalo entre os dois pontos (0 e 100) e dividido em 100 partes iguais, 
constituindo cada parte uma unidade da escala, isto é, 1° C (urn grau Celsius). 
Outra escala usada, principalmente em 'Daises de lingua inglesa, é a 
Fahrenheit, que indica os valores 32 e 212 para os pontos do gelo e do vapor, 
respectivamente, e divide o intervalo entre esses dois pontos em 180 partes 
iguais (1° F — urn grau Fahrenheit). 
Converstio de escalas Tennometricas 
Suponha urn termometro graduado ao mesmo tempo nas escalas Celsius e 
Fahrenheit. A cada indicacao lida na escala Celsius, qual sera a correspondente 
na Fahrenheit? 
Para nao confundir temperatura corn tempo, usaremos a letra grega 0 
(teta) para representar temperatura. Assim: 
0c = temperatura na escala Celsius 
OF = temperatura na escala Fahrenheit 
212-32 
0 comprimento do intervalo entre os pontos fixos é o mesmo, independen-te, da escala. 
Portanto, a razdo entre os segmentos a e b indicados na figura acima nao 
depende da escala, e podemos escrever: 
a 	Oc — 0 	0, — 32 
b 100 — 0 212 — 32 
Oc _ Oc — 32 
100 180 
174 	Capftulo 16 ♦ Temperatura 
 
 
100-0 
 
 
 
ec -0 
 
 
 
110 	EXEMPLOS 
• ✓Sabendo-se que a temperatura normal (aproximada) do corpo humano 
•
é de 37° C, qual é a indicacao dessa temperatura na escala Fahrenheit? 
411 	ec = 37° C 
OF = x 
• 
Oc _ OF — 32 	37 x — 32 
5 	9 	5 	9 
• 5(x — 32) = 37 . 9 	5x — 160 = 333 
• • • 
• ✓Determine a temperatura em que a indicacao da escala Fahrenheit é o 
•
dobro da indicacao na escala Celsius. 
•
Oc = x 
OF = 2x • • 
5(2x — 32) = 9x = 10x — 160 = 9x 	x = 160 
OF = 160° F 
OF = 2 . 160 	OF = 320° F 
escala termometrica Reaumur indica os valores 0° R e 80° R nos pontos 
do gelo e do vapor, respectivamente. Obtenha a equacao de conversdo 
entre a escala Reaumur e a escala Celsius. 
Oc — 0 	OR - 0 
100 — 0 	80 
ec 	er, 
— A 100 80 
100 - 0 
OC OR 
5 	4 
Capffulo 16 • Temperature 	175 
5x = 493 = x — 493 al 99 	OF = 99° F 
5 
Oc OF — 32 	x 2x — 32 
5 	9 	5 	9 • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Celsius 	Reaumur 
100 
	
80 
80-0 
-0 	OR-0 
• 
I • 
• • 
• 
S 
• • 
I 
S 
• 
• 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
EXERCICIOS 
1 Transforme 10° C para a escala Fahrenheit. 
2 Quanto indica urn termometro graduado na escala Celsius se ele estiver 
ern equilibrio termico corn urn liquid° a 10° F? 
3 Uma escala X atribuiu os valores — 20° X e 30° X para os pontos do gelo e 
do vapor, respectivamente. Qual é, em ° X, a temperatura correspondente 
a 500° C? 
4 Qual é a temperatura em que as indicacoes das escalas Celsius e 
Fahrenheit coincidem? 
5 Um paciente de lingua inglesa relata ao telefone uma temperatura de 
104° F. Relembrando a Fisica elementar, o medico registra em suas anota-
cOes uma temperatura (em °C) de: 
a) 36 	b) 37,9 	c) 40 	d) 45 	e) 104 
6 (FATEC-SP) Tres corpos encostados entre si estao em equilibrio termico. 
Nessa situacao: 
a) os tres corpos apresentam-se no mesmo estado fisico. 
b) a temperatura dos tres corpos é a mesma. 
c) o calor contido em cada urn deles é o mesmo. 
d) o corpo de maior massa tem mais calor que os outros dois. 
e) n.d.a. 
7 (MACK-SP) Urn viajante, ao desembarcar de urn aviao no aeroporto de 
Londres, verificou que a temperatura indicada em urn termometro era 
14° F. A indicacao dessa temperatura em um termometro graduado na es-
cala Celsius é: 
a) —5° C 	b) —10° C 	c) —15° C 	d) —20° C 	e) —25°C 
8 (UF-BA) Dois termometros, Z e W, marcam, nos pontos de fusao do gelo e 
de ebulicdo da agua, os seguintes valores: 
Termornetro Fusao do gelo Ebulicao da agua 
Z 4,00 28,0 
W 2,00 66,0 
As duas escalas apresentam a mesma leitura a: 
a) — 10,0 	b) — 6,00 	c) 2,40 	d) 5,20 	e) 6,90 
9 (UE-CE) Uma estudante de enfermagem observa que a temperatura de 
certo paciente variou, num period°, de 5° C. A variacao correspondente 
na escala Fahrenheit sera de: 
a) 4° F 	b) 9° F 	c) 12° F 	d) 13° F 	e) 18° F 
176 	Copitulo 16 • Temperature 
• 
• 
• 
• 
• 
•
• 
Celsius 	Kelvin 
	
100°C 	 ponto do 	 373 K vapor 
	
100 partes )1 	 100 partes 
L. 	ponto do 	 
	
0°C 	Belo 	273 K 
- 273 °C zero absoluto 
 
OK 
 
 
• 
• 
• Escala Kelvin 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Como já vimos anteriormente, temperatura a uma medida da agitacao das 
particulas de um corpo. Podemos deduzir, entao, que a menor temperatura 
possivel ocorre quando as moleculas param de se agitar, ou seja, quando estao 
em repouso. Isto, na realidade, jamais ocorre, porem teoricamente esta tempe-
ratura é chamada zero absoluto. 
Atraves de estudos do comportamento termico da materia, pode-se che-
gar a conclusao de que, teoricamente, ela pode atingir a temperatura minima 
de —273,15 °C. 
A temperatura de —273,15 °C, o fisico ingles William Thomson — Lord 
Kelvin (1824-1907) — atribuiu o mimero zero (zero Kelvin ou zero absoluto) e, 
em seguida, dividiu a escala em partes iguais as da escala Celsius; portanto 
uma variacao de 1 °C corresponde a 1 Kelvin (1 K). 
A escala assim construida é denominada escala Kelvin, escala absoluta ou 
escala termodinamica. 
A relacao entre as escalas Kelvin e Celsius esta indicada no esquema a seguir. 
Observe que o intervalo entre os pontos fixos das duas escalas (Celsius e 
Kelvin) é dividido em 100 partes iguais e que usamos o simbolo T para a tem-
peratura Kelvin. 
A equacao de conversao entre as escalas Celsius e Kelvin é: 
T = Oc + 273 
Pintura retratando Lorde Kelvin (1824-1907) 
Capitulo 16 ♦ Temperature 	177 
I 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
e 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
EXEMPLOS 
Oc = 27 °C 
✓ Qual é o valor, na escala Celsius, da temperatura correspondente a 100 K? 
T = Oc + 273 	100 = Oc + 273 
T = 100 K 	100 — 273 = Oc = —173 °C 
✓ Urn gas, ao ser aquecido, teve sua temperatura aumentada de 27 °C para 
127 °C. Qual foi a correspondente variacao de temperatura, medida na 
escala Kelvin? 
Solucao: 
De 27 °C para 127 °C, a temperatura aumentou A0 c = 100 °C (A0c repre-
senta a variacao de temperatura medida na escala Celsius). Mas 27 °C 
correspondem a: 
T1 = Oc + 273 = T1 =27+273 = T 1 = 300 K 
e 127 °C correspondem a: 
T2 = 6c + 273 = T2 = 127 + 273 = T2 = 400 K 
De 300 K para 400 K, a temperatura aumentou AT = 100 K (AT representa 
a variacao de temperatura medida na escala Kelvin). 
EXERCICIOS 
10 Transforme 227 °C para Kelvin. 
11 0 oxigenio entra ern ebulicao a temperatura de 90 K. Quanto vale essa 
temperatura em °C? 
12 Escala absoluta é aquela que: 
a) se usa nos termometros clinicos. 
b) marca zero (0) no zero absoluto. 
c) marca zero (0) no ponto do gelo. 
d) é usada nos paises de lingua inglesa. 
13 0 gas hello torna-se liquido a temperatura de —269 °C. Expresse essa tern-
peratura em K. 
14 (Vunesp) Semen bovino para inseminacao artificial é conservado em ni-
trogenio liquido que, a pressao normal, tem temperatura de 78 K. Calcule 
essa temperatura em: 
a) graus Celsius (°C); 	b) graus Fahrenheit (°F). 
178 	Capffulo 16 • Temperatura 
✓ Expresse na escala Kelvin a temperatura de 27 °C. 
T = Oc + 273 
T = 27 + 273 	T = 300 K 
} 
T2 — T1 = AT 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
S 
a 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
a 
• 
• 
S 
• 
I 
ti Di laicise". Termica 
Como ja sabemos, se aumentarmos a temperatura de urn corpo, aumenta a 
agitacao das particulas desse corpo. Consequentemente, as particulas se afas-
tam umas das outras, provocando urn aumento das dimensoes (comprimento, 
area e volume) do corpo. 
A esse aumento das dimensoes do corpo cid-se o nome de dilatacao termica. 
aqueceu 
Se a temperatura diminuir e as dimensoes se reduzirem, dizemos que hou-
ve uma contracao termica. 
Embora o aumento de todas as dimensoes do corpo ocorra simultanea-
mente, costuma-se dividir o estudo da dilatacao termica em tees partes: 
a) dilatacao linear: aumento de comprimento; 
b) dilatacao superficial: aumento de area; 
e) dilatacac, volumetrica: aumento de volume, 
Os corpos solidos admitem os tees tipos de dilatacao, mas os liquidos e 
gases, por nao terem forma propria, so admitem a dilatacao volumetrica. 
Dilatacao linear 
Considere uma barra metalica de comprimento L 1 a temperatura 0 1 . Levan-
do-se a barra a temperatura 02 > 01, seu comprimento passa a ser L2 > L1. A 
variacao de temperatura A6 = 0 2 — 0 1 ocasiona uma dilatacao linear AL = L2 — L1. 
AL 
• ► 
A 
L 1 
L 2 • ► 
Capftulo 17 ♦ Dilatacao Termica 	179 
•	 
• • 
S 
• • 
• • 
• 
• 
• • 
• 
S • 
• 
S 
• 
• 
• • 
S 
• • 
I 
• 
• 
• 
• 
• • 
Verifica-se experimentalmente que a dilatacao linear (AL) é diretamente 
proporcional ao comprimento inicial (L 1 ) e a variacao de temperatura (AO). A 
constante de proporcionalidade é denominada coeficiente de dilatacao linear 
e a representamos pela letra a. 
Portanto:AL = a . L 1 . AO 
0 valor da constante a, determinado experimentalmente, depende apenas 
do material da barra. 
Um fio de aluminio, por exemplo, de 1,00 m de comprimento, quando aque-
cido de 50 °C, sofre uma dilatacdo de 1 x 10' m em seu comprimento. Corn esses 
dados, podemos determinar o coeficiente de dilatacao linear do aluminio: 
AL = a L AO = a= 
 AL 	a _ 1,1 x 10-3 pl 
	
L AO 	1,00 x 50 °C 
a — 
1,1 x 10-3 m 	a = 2,2 x 10' °C-1 = 22 x 104 °C-1 
50 °C 
Observe que, nesse resultado, obtivemos como unidade de medida de a o 
inverso do grau Celsius (°C -1 )..Assim, os coeficientes de dilatacao tern como 
unidade de medida o inverso de uma unidade de temperatura. 
Eis alguns valores de a: 
Ouro 	 15 x 10-6 °C-1 
Zinco 	 26 x 10-6 °C-1 
Aluminio 	 22 x 10-6 °C-1 
Ago 	 12 x 10-6 °C1 
Vidro 	 8 x 104 °C-1 
Vidro pirex 	 3 x 10-6 °C-1 
Nuta• 
Lembrando que AL = L 2 — L 1 , podemos tambem escrever: 
L 2 — L i = a . 	AO = L 2 = + a . L, . AO 
Colocando L 1 em evidencia, obtern-se: 
L 1 (1 + a . AO) 
EXEMPLOS 
✓ Uma viga de concreto (a = 12 . 10 -6 °C-1 ) tem 100 m de comprimento a 
20 °C. Que comprimento tera a viga a 30 °C? 
180 	Capaulo 17 • Dilatacao Termica 
AL (cm) 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
a = 12 . 10-6 
 L1 = 100 m 
= 20 °C 
°C-1 
AO = 10 °C 
02 = 30 °C 
L2 = ? 
AL = a . . AO = 12 . 10' . 100 . 10 
AL = 12 . 10' . 103 = 12 . 10' = 0,012 m 
L2—L1= AL = L2 — 100 = 0,012 
L2 = 100,012 m 
comprimento de uma haste metalica em funcao da temperatura é 
dado abaixo. 
20,1 
AL 
L 	'20,0 
AO 
500 
	
0 ( ° C) 
Qual é o coeficiente de dilatacao linear desse metal? 
AL = 20,1 - 20,0 = 0,1 cm 
AG = 500 - 0 = 500 °C 
L i = 20,0 cm 
a = ? 
AL = a. L 1 . AO 
0,1 = a . 20,0 . 500 
0,1 = a . 10.000 
1 
a - 	0 ' 	= 0,00001 
10.000 
a = 1 . 10' °C-1 
Capftulo 17 • Dilatactio Termica 	181 
0 
Determine o coeficiente de di-
latacao linear do metal de que 
é feita a barra. 
L (cm) 
• 
10,02 	 
10,00 
0 (°c) 40 
I 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• • 
S 
• 
• 
S • 
• 
S • • • 
• • 
• 
• 
• 
EXERCICIOS 
Qual sera a dilatacao linear sofrida por uma barra de ouro (a = 15 . 10-6 °C-1 ), 
inicialmente de comprimento 40 cm, quando a temperatura passa de 15 °C 
para 35 °C? 
2 Um sarrafo de madeira (a = 5 . 10 -5 °C-1) tem comprimento de 10 m a 
20 °C. Que comprimento tera a 70 °C? 
3 0 comprimento de uma barra metalica em funcao da temperatura é dado 
a seguir: 
4 (PUC-RS) Coloca-se agua quente num copo de vidro comum e noutro de 
vidro pirex. 0 vidro comum trinca corn maior facilidade que o vidro pirex 
porque: 
a) o calor especifico do pirex é menor que o do vidro comum. 
b) o calor especifico do pirex é maior que o do vidro comum. 
c) a variacdo de temperatura no vidro comum é major. 
d) o coeficiente de dilatacao do vidro comum é maior que o do vidro pirex. 
e) o coeficiente de dilatacao do vidro comum é menor que o do vidro pirex. 
5 (UFU-MG) Uma ponte de ago tem 1 000 m de comprimento. 0 coeficiente 
de dilatacao linear do ago e de 11 x 10 -6 °C-1 . A expansao da ponte, quando 
a temperatura sobe de 0 para 30 °C, é de: 
a) 33 cm 
	
d) 52 cm 
b) 37 cm 	 e) 99 cm 
c) 41 cm 
6 (Mack-SP) Uma barra metalica de coeficiente de dilatacao linear medio 
de 2 x 10-5 °C-1 a 20 °C é colocada no interior de um forno. AID& a barra ter 
atingido o equilibrio termico, verifica-se que seu comprimento é 1% 
major. A temperatura do forno é de: 
a) 520 °C 
b) 400 °C 
c) 350 °C 
d) 200 °C 
e) 100 °C 
182 	Capitulo 17 • Dilatacao Termica 
 
LAMINA 
DE METAL 
A, 
 
A2 
 
 
v, 	 V2 
Verifica-se ainda que: 	2. a e 	-L= 3. a 
13 = Y 	(para o mesmo material) 
1 	2 	3 
• • • 
• • 
Dilataciao superficial e volumetrica 
Verifica-se experimentalmente que a dilatacao superficial (AA) e a dilatacao 
volumetrica (AV) dos solidos sao inteiramente semelhantes a dilatacao linear. 
Assim, podemos escrever: 
• AA =13 . Ai . AO 
• 13 	Coeficiente de 
•
dilatacdo 
superficial 
• 
• 
AV = . V1 . AO • 
Coeficiente de 
• dilatacao 
•
volumetrica 
• 
• 
• 
Por exemplo, para o ouro tern-se: 
a = 15 . 10-6 °C-1 
R = 30. 10-6 °C-1 
 = 45 . 10-6 °C-1 
lUma placa de ferro apresenta, a 10 °C, uma area de 100 cm 2. Calcule a area 
da placa a 90 °C. Dado: aFe = 1,2 . 10' °C-1 . 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
aFe = 1,2 . 10-5 
01 = 10 °C 
= 100 cm2 
02 = 90 °C 
A 	
1 
{ 	
2 = ? 
logo: 
°C-1 	13Fe = 2 . aFe = 2,4 . 
—■ AO = 02 — 01= 80 °C 
AA =13. Al . AO 
AA = 2,4 . 10-5 . 100 . 80 
AA = 0,192 cm2; 
A2 = 	+ AA = 100 + 0,192 
10' 
• 
• 
• 
• 
• EXEMPLOS 
• 
• 
°C-1 
• A2 = 100,192 cm2 
• 
	
Capitulo 17 ♦ Dilatacao Tennica 	183 
• 
Yvi = 3 av1 = 9 . 10-6 °C-1 
V1 = 50 cm3 
0 1 = 20 °C 
A0 = 40 °C 
02 = 60 "C 
V2 = ? 
AV = . V1 . AO 
AV = 9 . 10-6 . 50 . 40 
AV = 1,8 . 104 . 10-6 
AV = 1,8 . 10' cm3 
AV = 0,18 cm3 
V2 = + AV = 50 + 0,018 
V2 = 50,018 cm3 
• • • • • 
• 
• • • 
S • • • • • 
I • • • • • 
I • 
I 
S • • • S • 
Um tubo de vidro pirex tem volume interno de 50 cm 3 a 20 °C. Determine 
o volume interno desse tubo a temperatura de 60 °C. 
Dado: CDC vidro = 3 . 10-6 °C-1 
EXERCICIOS 
7 Quais sao os coeficientes de dilatacao superficial e volumetrico do zinco, 
sabendo-se que az„ = 26 . 10' °C-1 ? 
8 Uma placa metalica tern area de 500 cm 2 a 30 °C. Qual sera a area da placa 
a 50 °C? 
Dado: oc = 2 . 10' °C -1 
9 Qual sera a dilatacao volumetrica sofrida por uma esfera metalica de alu-
mini° de volume igual a 150 cm 3 cuja temperatura aumenta de 100 °C? 
Dado: a = 22 . 10 -6 °C-1 
1 0 Aquecendo-se uma chapa metalica corn urn furo no meio: 
a) a chapa aumenta e o furo diminui. 
b) a chapa e o furo diminuem. 
c) a chapa diminui e o furo aumenta. 
d) a chapa e o furo aumentam. 
11 (UFU-MG) Urn orificio numa panela de ferro, a 0 °C, tem 5 cm 2 de area. Se 
o coeficiente de dilatacao linear do ferro é de 1,2 x 10' °C --1, a area desse 
orifIcio a 300 °C sera, ern cm 2 : 
a) 5,018 
	
d) 5,036 
b) 10,036 
	
e) 4,964 
c) 10,072 
2 (PUCC-SP) Uma esfera de ago tern urn volume de 100 cm 3 a 0 °C. Sabendo 
que o coeficiente de dilatac5o linear do ago é de 1,2 x 10' °C -1, o acrescimo 
de volume sofrido por essa esfera, quando aquecida a 500 °C, em cm 3, é de: 
a) 0,6 	b) 1,2 	c) 1,8 	d) 3,6 	e) 5,0 
184 	Capaulo 17 • Dilatacao Termica 
Tais juntas tern evidentemente a 
finalidade de permitir que a dilata-
cao termica ocorra sem danificar as 
estruturas da via ferrea ou das pon-
tes e dos viadutos. 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Aplicasoes praticas da dilatactio termica 
Alem da construcao de termometros, a dilatacao termica permite outras 
imimeras aplicacoes, entre as quais podemos citar a lamina bimetalica empre-
gada em dispositivos de seguranca contra incendio e em chaves automaticas 
(rele termostatico) que desligam um circuito eletrico quando ocorre uma eleva-
cao indesejavel da temperatura. 
aquecimento 
Lamina 
bimetalica 
Quando a temperatura se eleva, a lamina 
bimetdlica se encurva, devido as 
dilatacOes que ocorrem em suas faces, 
	 Alarme contra incendio 
constituidas por metals diferentes. 
Uma outra aplicacao é a rebitagem de chapas metalicas. As experiencias 
mostram que os orificios das chapas aumentam quando sofrem elevacao de 
temperatura. Os orificios, com diametro menor que o dos rebites, sao aqueci-
dos e sofrem dilatacao, permitindo assim os encaixes. Quando as chapas se 
esfriam, os orificios se contraem e se prendem firmemente aos rebites. 
Sao muito conhecidos tambem as "juntas de dilatacao", isto é , pequenos 
espacos vazios entre os trilhos de uma estrada de ferro ou entre pecas de con-
creto de pontes e viadutos. 
Já em calcadas ou pisos feitos de ci-
mento costuma-se colocar ripas de ma-
deira a intervalos regulares para evitar 
rachaduras provocadas pela dilatacao 
termica.ripas de madeira 
Capaulo 17 ♦ Dilatacao Termica 	185 
 
corrente 	0 
 
eletrica 
 
 
Lamina 
 
 
 
AV = y Vi . AO (AV = V2 — V1) 
e o volume final V2 é obtido por: 
V2 = 	(1 + . AO) 
onde y é o coeficiente de dilatacao volumetrica do liquido. 
Coeficientes de dilatacao volumetrica de alguns liquidos 
Mercurio 180. 10-6 °C-1 alcool 1100. 10-6 °C-1 
glicerina 490. 10-6 °C-1 benzeno 1200. 10' °C-1 
petroleo 1000. 10-6 °C-1 agua 200. 10-6 °C-1 
• • Dilataciso dos liquidos 
• 
Os liquidos, por nao terem forma propria, so admitem a dilatacao volume- 
trica, obedecendo a mesma expressao da dilatacao volumetrica dos solidos. 
Assim sendo, a dilatacao do liquido tambem é calculada por: 	 • • • • 
• 
• • 
• • 
41, 
• 
Note que os liquidos se dilatam muito mais que os solidos, tendo assim 	• 
• 
Entretanto, deve-se levar em conta que o frasco onde o liquido esta contido 
tambem se dilata, o que resulta em uma dilatacao aparente do liquido e em urn 	• 
coeficiente de dilatacao aparente (y ap ). 	• 
Observa-se que o coeficiente de dilatacao aparente é praticamente a dife- 
• renca entre o coeficiente de dilatacao real do liquido (y R) e o coeficiente de dila- 
tacao do frasco (yF). 	 • 
• 
• 
Por exemplo, se tivermos um frasco totalmente preenchido corn urn liqui- 
• 
do e aquecermos o conjunto, geralmente uma parte do liquido extravasa. 
Nestas condicOes o volume do liquido extravasado mede a dilatacao apa-
rente do liquido. 
AV aparente 
80°C 
186 	Capilulo 17 ♦ Dilatacao Termica 
coeficientes de dilatacao bem maiores. 
Yap = YR YF 
 
 
20°C 
 
• 
• • • • 
• 
• • 
• • 
liduido a 4 ° C 
• 
• Dilatactio animal° da agua • 
As substancias em geral, solidas ou liquidas, sofrem dilatacao corn o au-
mento de temperatura e, naturalmente, sofrem contracao corn sua diminuicao. 
•
Porem, existem excecoes a essa regra. Algumas substancias, em certas faixas de 
temperatura, diminuem o volume ao serem aquecidas. Dentre essas excecoes 
• destaca-se a agua, que, ao ser aquecida de 0 °C a 4 °C, sofre diminuicao em seu 
•
volume. 
Observe o grafico abaixo, que mostra a variacao de volume da agua corn a 
• temperatura. 
•
volume 
• 
• 
1111 
• 
• 0 	4 
E devido a esse fenomeno que as camadas mais profundas dos lagos e ma-
res podem estar a 4 °C e nao se congelar como ocorre corn suas superficies. 
• 
Se a agua nao apresentasse esta irregularidade na dilatacao, os rios e lagos 
• se congelariam totalmente, causando estragos as plantas e animais aquaticos. • 
• EXEMPLOS 
• ✓Urn recipiente de ferro contem, ate a borda, 100 cm 3 de alcool a tempera- 
• tura de 20 °C, e é aquecida ate 60 °C. Sendo o coeficiente de dilatacao 
linear do ferro de 1,2 . 10 -5 °C-1 e o coeficiente de dilatacao do alcool de 
• 1,1 . 10-3 °C-1, pergunta-se: 
•
a) qual foi a dilatacao do recipiente (frasco)? 
AVF = yFe • V1. AO = 3 . yFe . V1 . AO 
• AVF = 3,6 . 10-5 . 100. (60 — 20) 
• AVF = 3,6 . 10-3 . 40 
A 4 ° C o volume 
da agua é minim°. 
01 °C) 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
AVF = 0,144 cm3 • • 
• 
• 
Capffulo 17 • Dilatacao Termica 	187 
• 
b) qual foi a dilatacao real do liquido? 	 • 
AValcool = YA1 • V1 • AU 	 • 
AVR = 1,1 . 10' . 100 . 40 
	
• 
AVR = 4,4 cm3 	 • 
• 
c) qual foi o volume de alcool que deve ter derramado? 
O volume derramado quando o recipiente esta inicialmente cheio 
corresponde a dilatacao aparente. 	 • 
AVR = AVap + AVF 	 • 
AV 31, = AVR — AVF 
AVap = 4,4 — 0,144 
	
• • 
AVap = 4,256 cm3 
• • 
EXERCICIOS 	 • 
13 Se o coeficiente de dilatacao real do liquido for igual ao coeficiente de 	• 
dilatacao do frasco onde ele esta contido, qual sera o coeficiente de dilata- 	• 
cao aparente do liquido? 
• No caso anterior, se o frasco estiver totalmente preenchido de liquido 
quanto de liquido ira transbordar? 	 • 
14 (FEI-SP) 0 coeficiente de dilatacao aparente de um liquido é: 	 • 
a) menor que o real. 	 • 
b) menor que o coeficiente de dilatacao do recipiente. 
c) maior que o real. 	 • 
d) igual ao real. 
• e) nao tem relacao corn o real. 
16 (F. C. CHAGAS-SP) Urn frasco, cuja capacidade a zero grau Celsius é 
2 000 cm3, esta cheio ate a boca corn determinado liquido. 0 conjunto foi 	• 
aquecido de 0 °C a 100 °C, transbordando 14 cm 3. 0 coeficiente de dilata- 
• cao aparente desse liquido, em relacao ao material do frasco, e igual a: 
a) 7,0 . 10-6 °C-1 	c) 7,0 . 	°C-1 	e) 7,0 . 10' °C -1 	 • 
b) 7,0 . 10' °C-1 	d) 7,0 . 10' °C -1 	• 
188 	Capitulo 17 • Dilatacao TO- mica 	 • • 
• 
15 (PUC-RS) Quando urn frasco completamente cheio de liquido é aquecido, 
este transborda urn pouco. 0 volume do liquido transbordado mede: 	• 
a) a dilatacao absoluta do liquido. 	 • 
b) a dilatacao absoluta do frasco. 
c) a dilatacao aparente do frasco. 	 • 
4) a dilatacao aparente do liquido. 
• e) a dilatacao do frasco mais a do liquido. 
S 
• 17 (PUC-SP) Nos 'Daises de inverno rigoroso, verifica-se o congelamento ape- 
nas da superflcie dos lagos e rios. A agua nao se congela completamente 
• porque: 
a) o maxim° de densidade da agua se verifica perto de 4 °C e o gelo, ra- 
• zoavel isolante termico, a menos denso que a agua. 
b) o ar se esfria antes da agua, congelando-se primeiro a superficie dos 
liquidos em contato corn o referido ar e, dal, propagando-se o congela- 
• mento em profundidade. 
•
c) a agua em movimento dificilmente se congela. 
d) a agua se comporta como a maioria dos liquidos em relacao as varia- 
• goes de temperatura. 
e) n.d.a. 
•
18 (UF-GO) Das afirmacOes: 
I) A elevacao de temperatura acarreta um aumento na distancia media 
• entre os atomos de um solid°. Por isso, o solid° se dilata. 
II) Os ventos sao causados pela variacao da densidade do ar em cama-
das diferentemente aquecidas. 
• III) Quando aquecemos urn anel ou, de urn modo geral, uma placa que 
•
apresenta urn orificio, verifica-se que, corn a dilatacao da placa, o ori-
ficio tambem tern as suas dimensoes aumentadas, dilatando-se como 
• se o orificio fosse feito do mesmo material da placa. 
IV) Quando a temperatura da agua e aumentada entre 0 °C e 4 °C, o seu 
• volume permanece constante. Fazendo-se sua temperatura crescer 
•
acima de 4 °C, ela se dilata normalmente. Podemos afirmar que: 
a) somente I e II sac) corretas. 
• b) somente II e III sao corretas. 
• c) somente I, II e III sao corretas. 
d) somente II, III e IV sap corretas. 
• e) todas estao corretas. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 	 Capitulo 17 • Dilatacao Termica 	189 
• 
0A > OB 
equilibrio 
termico 
• 
• • 
• • 
• • • 
• • • 
• • 
• • • • • • • • • • • • • • 
• 
• 
• • • 
• 
• 
]J Calor 
Equilibrio Termico 
Considere dois corpos inicialmente em temperaturas diferentes, como 
mostra a figura a seguir. 
Admitindo que os corpos estao num recipiente termicamente isolado, ha-
vera passagem de uma parte da energia termica apenas do corpo mais quente 
para o mais frio, ate que os niveis de energia termica dos corpos se igualem. 
Quando os niveis de energia termica se tornam iguais, , diz-se que' os corpos 
estdo em equilibrio termico ou na mesma temperatura. A energia termica que 
se transfere de urn corpo para outro damos o nome de calor. 
Calor é energia termica em transit° devido a uma diferenca de temperatura. 
Sendo uma forma de energia, a quantidade de calor é medida, no Sistema 
Internacional (SI), na unidade joule (J), embora se utilize ainda largamente a 
unidade caloria (cal), que foi concebida quando ainda nao se entendia calor 
como energia. 
Propagasao do calor 
A lei geral a respeito da transmissao do calor afirma que: 
0 calor se propaga sempre no sentido da major temperatura para a menor 
tern peratu ra. 
190 	Capitol° 18 • Calor 
• 
• • 
I • 
• • • 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
registro 
aberto registro 
fechado 
	J 
A 
0 nivel da ague do recipiente A 
é maior que o do recipiente B. 
A 
Ao abrirmos torneira que interliga, havers 
passagem espontanea deague de A para B. 
Para fazer uma boa comparacao, da mesma forma que agua em vasos 
comunicantes passa sempre espontaneamente do nivel mais alto para o nivel 
mais baixo, tambem em corpos que estao em contato o calor passa sempre do 
corpo mais quente (isto é, que tem maior temperatura), para o corpo mais frio. 
Dependendo do corpo ser solido, liquido ou gasoso, e mesmo na ausencia 
de urn corpo, a propagacao do calor se faz basicamente de tees maneiras: por 
conducao, por conveccao e por irradiacao (tambem chamada simplesmente de 
radiacao). 
A conducao é um processo de propagacao de calor tipico de corpos solidos, 
em que as moleculas permanecem (em media) ern seus devidos lugares porem 
vao passando a agitacao de uma para outra. 
Existem materiais, dos quais os metais sao os melhores exemplos, que con-
duzem bem o calor, sendo chamados de bons condutores termicos. 
Outros materiais sao considerados maus condutores ou isolantes termi-
cos, tais como a la, o vidro, a borracha, o papel, o isopor e outros. 
Os fluidos (isto é, liquidos e gases) tambem sao pessimos condutores ter-
micos, e o isopor é urn otimo isolante justamente porque possui uma grande 
quantidade de ar armazenado em suas cavidades. 
A conveccao é um processo de propagacao do calor tipico dos corpos flui-
dos, em que as moleculas se movimentam corn facilidade. 
Capitol° 18 ♦ Calor 	191 
Corrente de conveccao 
numa geladeira 
0 
brisa marltima 
400, ar frio 
40" 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• • • 
• 
• 
Para melhor entendimento, considere, por exemplo, 
o aquecimento de uma quantidade de agua. 
A primeira porcao de agua que esquenta (por "con-
ducao") é a mais proxima da chama. Ao esquentar, essa 
pore -do sofre dilatacao termica e torna-se menos densa 
do que o restante da agua. Ent -do ela sobe, cedendo seu 
lugar para porcOes de agua mais frias (que estdo na par-
te superior do recipiente) que descem. Enquanto estiver 
aceso o bico de gas, porcoes mais quentes de agua conti-
nuarao subindo e porcOes mais frias de agua continua-
rao descendo. Desse modo, todas as porcoes de agua recebem calor rapida-
mente. E a conveccao de calor. As correntes de agua subindo e descendo cha-
mam-se correntes de conveccao. 
As correntes de conveccao gasosa ocorrem, por 
exemplo, no interior da geladeira. 0 ar mais frio (proxi-
mo ao congelador), mais denso, desce, enquanto o ar 
mais quente (dos alimentos), menos denso, sobe. 
Os ventos em geral e as brisas litoraneas em particu-
lar tambem sdo correntes de conveccao gasosas. No lito-
ral, durante o dia, como a terra aquece mais rapidamen-
te que a agua, as massas de ar sobre a terra sobem, dando lugar ao ar que vem 
do mar para a terra. Durante a noite, a terra esfria mais rapidamente que a 
agua, e um vento sopra da terra para o mar. 
A irradiacao é um processo de propagacao de calor que na- o precisa de 
materia para ocorrer. 0 calor que recebemos do Sol chega ate nos por esse 
processo, pois se sabe que entre o Sol e a Terra existe vacuo. 
192 	Capftulo 18 • Calor 
De forma geral, o calor que uma pessoa recebe quando esti pr6xima de urn 
corpo aquecido chega ate ela pelos tres processos: conducao, conveccao e ra-
diacao. Quanto maior for a temperatura do corpo aquecido, maior sera quanti-
dade de calor transmitida por radiacao 
• 
Quando nos aproximamos de uma fogueira, sentimos o calor por ela irra- 
• diado; este calor nao nos atinge por conducao (o ar é mau condutor de calor) 
• nem por conveccao (o ar quente sobe e nos nao estamos em cima da fogueira), 
mas por irradiacao. 
• 
• • • • • • 
• 
importante salientar que toda energia radiante, como ondas de radio, 
•
radiacoes infravermelhas, luz visivel, luz ultravioleta, raios X, etc., pode con-
verter-se em energia termica, por absorcdo. Entretanto, so as radiacoes 
• infravermelhas sdo chamadas de ondas de calor, isto e , radiacoes termicas. 
•
A energia radiante nao aquece o meio no qual ela se propaga. Ela so aquece 
urn meio quando absorvida por ele, deixando entao de ser energia radiante. 
Por exemplo, a temperatura do ar nas altas camadas atmosfericas é baixissima, 
•
pois apenas uma pequena fracao da energia recebida do Sol é absorvida. 
Considerando a absorcao e a emissdo de irradiacdo termica, é fato experi-
mental que todo corpo born absorvente é tambem born emissor. (Assim, os cor- 
• pos de cores escuras, que sao bons absorventes, tambem sdo bons emissores.) 
Uma garrafa termica é constituida de vidro de paredes duplas e espelha-
das, corn vacuo no espaco compreendido entre elas. Explique como a 
garrafa termica conserva a temperatura de urn liquid° no seu interior. 
A garrafa termica dificul-
ta as trocas de calor pelos 
tres modos: conducao, 
conveccao e irradiacao. 
liquido em temperatura 
diferente do meio externo 
0 vidro é mau condutor de calor; havendo quase vacuo entre as paredes 
duplas, evita-se propagacao do calor por conducao e por conveccao. As 
superficies espelhadas refletem a energia radiante, impedindo a troca de 
calor corn o exterior por irradiacao 
Capftulo 18 • Calor 	193 
• 
• • • • 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
tampa 
parede dupla de 
vidro espelhado 
(vacuo) 
• 
canaleta 
(guia de ondas) 
INTERIOR DO FORNO 
espalhador 
magnetron 
sistema de 
controle 
de tempo 
e modo 
••
••
••
••
• •
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
 
/ 0 vidro é urn corpo que deixa passar a radiacdo visivel (luz) mas nao 
deixa passar a radiacdo infravermelha (calor), sendo utilizado na cons-
trued° de estufas. Como se justifica essa utilizaedo? 
Qual é a diferenca entre o aquecimento de urn forno comum de fogdo 
lenha ou a gas corn os modernos fornos de microondas? 
Nos fornos comuns os alimentos sdo aquecidos principalmente atraves 
da conducao termica, propagando-se lentamente das camadas superfi-
ciais para as interiores desses alimentos. 
prato giratOrio 
Por que, para refrigerar urn barril de chope, coloca-se gelo sobre o mes-
mo e nunca embaixo? 
0 gelo refrigera o chope de cima, que se torna mais denso e desce. 0 
chope de baixo, menos frio e menos denso, sobe. 
194 	Capffulo 18 • calor 
A irradiacdo solar pene-
tra na estufa, aquecendo 
os objetos de seu interior. 
Em seguida, os objetos 
emitem radiacOes do 
infravermelho, mas estas 
sea° barradas pelo vidro. 
Dessa maneira, a estufa 
conserva uma tempera-
tura interior maior do 
que a externa. 
Nos fornos de microondas 
os alimentos recebem ra-
diacoes emitidas por uma 
valvula especial (chamada 
"magnetron"), absorvem 
essas radiaeOes e as trans-
formam em radiacoes infra-
vermelhas (radiaceies ter-
micas), as quais sdo por sua 
vez transmitidas para todas 
as partes dos alimentos de 
modo uniforme e rapid°. 
• 
• 
• EXERCICIOS 
1 Por que em regibes tropicais como o Brasil os aparelhos de ar condiciona- 
• do geralmente sao colocados na parte superior de uma sala? 
• 2 A roupa dos beduinos no deserto é de la. Por que? 
• 3 Por que as pessoas moradoras de ruas utilizam-se de jornais para se pro- 
• teger em dias de muito frio? 
• 4 (Fatec-SP) Calor e energia que se transfere de um corpo para outro em 
determinada condicao. Para essa transferencia de energia é necessario 
• que entre os corpos exista: 
•
a) vacuo. 
b) contato mecanico rigido. 
• c) ar ou um gas qualquer. 
•
d) uma diferenca de temperatura. 
e) um meio material. • 
(UF Vicosa) As afirmativas abaixo referem-se aos processos de transmis- 
• sao de calor: conducao, conveccao e radiacao. 
• I) A conducao se da apenas em meios materiais. 
II) A conveccao exige urn meio fluido. 
• III) Os tres processos exigem urn meio material. 
• E (sao) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s): 
•
a) I 	b) II 	c) III 	d) I e III 	e) I e II 
• 6 (Cesgranrio) Dois blocos de madeira estao, ha longo tempo, em contato 
direto corn um outro de marmore, constituindo urn sistema isolado. 
• Pode-se concluir que: 
• a) a temperatura de cada bloco e distinta dos demais. 
b) a temperatura dos blocosde madeira é maior que a do bloco de mar- 
• more. 
•
c) os tres blocos estao em equilibrio termico entre si. 
d) os blocos estao a mesma temperatura apenas se possuem a mesma 
• massa. 
•
e) os blocos estao a mesma temperatura apenas se possuem o mesmo 
volume. • 7 (STA.CASA-SP) Os iglus, embora feitos de gelo, possibilitam aos esqui- 
• mos neles residirem porque: 
• a) o calor especifico do gelo é maior do que o da agua. 
b) o calor especifico do gelo é extraordinariamente pequeno, comparado 
ao da agua. 
c) a capacidade termica do gelo é muito grande. 
d) o gelo nao e um born condutor de calor. 
e) a temperatura externa é igual a interna. 
Capitulo 1E1 ♦ Calor 	195 
• • • • • 
(UFGO) Por que a serragem é melhor isolante termico do que a madeira 
da qual foi retirada? 
(Mack-SP) Numa noite fria, preferimos usar cobertores de la para nos co-
brirmos. No entanto, antes de deitarmos, mesmo que existam varios co-
bertores sobre a cama, percebemos que ela esta fria, e somente nos aque-
cemos depois que estamos sob os cobertores algum tempo. Isso se explica 
porque: 
a) o cobertor de Id nao é urn bom absorvedor de frio, mas nosso corpo sim. 
b) o cobertor de la so produz calor quando esta em contato corn nosso 
corpo. 
c) o cobertor de la nao é urn aquecedor, mas apenas urn isolante termico. 
d) enquanto nao nos deitamos, existe muito frio na cama que sera absor-
vido pelo nosso corpo. 
e) a cama, por nao ser de la, produz muito frio e a producao de calor pelo 
cobertor nao é suficiente para seu aquecimento sem a presenca humana. 
0 A propaganda de uma fabrica de cobertores afirmava: 
"Neste inverno nao deixe o frio entrar, use cobertores Brasil". Que erro 
conceitual esta contido nessa frase? 	 • 
• 
Trocas de calor 	 • 
Se o corpo cede ou recebe calor, ele pode mudar de tempecatura ou de esta- 	• 
do fisico, o que caracteriza dois tipos distintos de calor, depe.Idendo do efeito 	• 
provocado: • 
a) calor sensivel: provoca variacao da temperatura; 	 • 
b) calor latente: provoca mudanca de estado. 	 • 
Para se medir as trocas de calor • ag itador entre dois ou mais corpos usa-se o 	ag 	 termometro 
calorimetro, que é uma especie de gar- 	 • 
rafa termica munida de urn agitador e 
• de urn termometro. 
Se varios corpos sao colocados em um calorimetro, em diferentes tempera- 
turas, havera troca de calor entre eles ate que suas temperaturas se igualem e a 	• 
soma dos calores cedidos deve ser igual a soma dos calores recebidos, pois o 
sistema é termicamente isolado. 
Qrecebido = Qcedido 
196 	Capffulo 18 • color 
• • • • • • • • • • 
isopor 
As paredes do calorimetro nao de- • 
vem deixar entrar nem sair calor e sao 	 metal • chamadas paredes adiabaticas. 0 
calorimetro é considerado um sistema 	calorimetro de isopor 	 • 
termicamente isolado. 
• 
• • • • • 
m m 
• 
• E usual convencionar que o calor recebido é positivo (Q rec > 0) e que o calor 
• cedido é negativo (Qced < 0). 
•
Usando essa convencao de sinais, podemos escrever: 
• Qrec 	Qced = 	 principio das trocas de calor 
• 
• Calculo da quantidade de calor sensivel 
• 
Verifica-se experimentalmente que a 
quantidade de calor sensivel Q é direta-
mente proporcional a massa m do corpo e a 
variacao de temperatura AO, que ele sofre. 
Portanto: 
Q = m . c . AO 4-- equacao fundamental da calorimetria 
• onde c é uma constante de proporcionalidade denominada calor especifico, 
•
que depende da substancia que constitui o corpo, de sua temperatura e do seu 
estado fisico. 
• Ao procfuto da massa pelo calor especifico cld-se o nome de capacidade 
• termica (C) do corpo. 
•
C = m . c 
• Assim: • 
 • 	 AO 
Q Q = C . AO ou C— 
• 
•
Uma caloria (1 cal) é a quantidade de calor necessaria para elevar de 1 °C a 
temperatura de 1 g de agua. • • Q = m c Q c — m . AO 
• 
•
em que: Q = 1 cal, m = 1 g e AO = 1°C. 
•
Assim, temos para a agua: 
• • • • • • • 
Considere urn corpo de massa m a uma temperatura inicial 0 1 . Suponha 
que apps receber uma quantidade de calor Q, sua temperatura passa a ser 0 2, 
sem que tenha ocorrido mudanca de estado. 
461 
• 
• • • 
1 cal 
c — 	 
1 g . 1 °C 
1 cal 
c— 	 
g . °C 
capituio 18 ♦ calor 	197 
A seguir citamos os valores dos calores especificos de algumas substancias; 
em cal/g °C. 
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
••
• •
• •
••
 
A) Solidos B) Liquidos C) Gases (sob press -ao 
Prata 	0,056 Alcool 	0,58 constante) 
Chumbo 	0,031 Eter 	0,56 Hidrogenio 	3,4 
Ferro 	0,11 Mercurio 	0,033 Oxigenio 	0,218 
Cobre 	0,094 Nitrogenio 	0,244 
Nola: 
liquida 	 c = 1,0 cal/g °C 
agua gelo 	 c = 0,5 cal/g °C 
vapor 	 c = 0,48 cal/g °C 
EXEMPLOS 
✓Qua' é a capacidade termica de urn corpo de massa m = 200 g e calor 
especifico c = 0,23 cal/g °C? 
C = m c = C = 200 x 0,23 
C = 46 cal/ °C 
✓Que quantidade de calor deve ser fornecida a 500 g de agua para que sua 
temperatura passe de 30 °C para 50 °C? 
Dado: Cava = 1 cal/g °C 
m = 500 g 
= 30 °C AO = 50 — 30 
02 = 50 °C AO = 20 °C 
Q = m c AO 
Q = 500 . 1 . 20 
Q= 10.000 cal = 10 kcal 
✓Um corpo de massa 300 g recebeu 6.000 cal e sua temperatura variou de 
100 °C, sem mudanca de estado. Determine: 
a) o calor especifico da substancia que constitui o corpo; 
m = 300 g 
Q = 6.000 cal 
AO = 100 °C 
Q = m . c AO = 6.000 = 300 . c . 100 
	
6.000 	1 c = 	 c = 0,2 cal/g °C 
	
30.000 	5 
198 	Capolulo 18 • Calor 
equilibrio termico 
agua esquentando 
tempo 
ferro esfriando 
(9(° C) 
90 
30 
0 
Capaulo 18 • Calor 	199 
b) a capacidade termica do corpo. 
C=m.c = 	C= 300 . 0,2 
C = 60 cal/°C 
= 60 
At( ° C) 
/A figura representa o aqueci- 40 	 
mento de um corpo de massa 30 
200 g ern contato corn urn 
aquecedor que the fornece urn 20 tempo de 
fluxo constante de calor de 10 aquecimento 
100 cal/min. Calcule o calor es- (min) 
pecifico do material do corpo. 0 10 20 30 
Se recebe 100 cal/min, entao 
ern 30 minutos: 
• Q = m c AO c= Q = 20
3
0 g . 3 
000c0 
 °C
al 0,5 cal/g °C 
m . AO 
• 
• c = 0,5 cal/g °C 
• Ern urn calorimetro de paredes isolantes sao colocados 100 g de agua 
• a 30 °C e 200 g de ferro a 90 °C. Sabendo que c agua = 1 cal/g °C e que 
cferro = 0,1 cal/g °C, calcular a temperatura de equilibrio termico do 
conjunto. 
 
Enquanto o ferro diminui de temperatura, ele cede calor a agua, que vai 
aumentando sua temperatura. A partir de urn certo instante o conjunto 
entra em equilibrio termico: a agua e o ferro atingem a mesma temperatura 
final X, quando entao cessa a transmissao de calor do ferro para a agua. 
Todo o calor que a agua recebeu foi cedido pelo ferro. 
• Q = 100 cal/min x 30 min = 3 000 cal 
• no grafico, obtem AO = 40 — 10 = 30 °C 
•
Portanto: 
• • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • 
• 
• 
• • 
• 
Aplicando-se o principio das trocas de calor: 
Qagua Qferro — 0 
MA • CA • (X — 30) + MFe cFe (x - 90) = 0 
100. 1 . (x - 30) + 200 . 0,1 . (x - 90) = 0 
dividindo todos os termos por 100: 
x - 30 + 0,2 . (x - 90) = 0 
x - 30 + 0,2 x - 18 = 0 
1,2 x = 48 
4 x- 8= 40 °C 
1,2 
a temperatura de equilIbrio termico sera 40 °C. 
EXERCICIOS 
11 Qual sera a variacao de temperatura sofrida por urn bloco de ferro de 
massa 500 g ap6s receber 24.000 cal? 
Dado: c Fe = 0,12 cal/g °C 
2 Em relacao ao exercicio anterior, se a temperatura inicial do bloco era 
20 °C, qual sera sua temperatura final? 
3 Uma barra de ouro de massa 100 g recebe 320 cal e sua temperatura passa 
de 100 °C para 110 °C. Determine o calor especifico do ouro. 
Que quantidade de calor deve ser fornecida para aquecer de 800 °C um 
bloco de cobre de massa m = 200 g? 
Dado: c cu = 0,09 cal/g °C 
(PUC-RS) Urn sistema e formado por uma garrafa termica e 100 g de 
agua. A temperatura inicial 6 de 20 °C e a capacidade ter-mica da garrafa é 
desprezivel. A massa de agua, a 40 °C que deve ser acrescida ao sistema 
para que a temperatura de equilibrio seja de 32 °C 6: 
a) 40 g 	b) 50 g 	c) 100 g 	d) 150 g 	e) 200 g 
16 (PUC-PR) Una corpo de massa 300 g 
é aquecido atravesde uma fonte 
cuja potencia é constante e igual a 
400 calorias por minuto. 0 grafico 
ilustra a variacao da temperatura 
num determinado intervalo de tem-
po. Pede-se o calor especifico da 
substancia que constitui o corpo. 
200 	Capffulo 18 • Calor 
• • • • • • • • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • • • • • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
O( ° C) 
40 
30- 
20- 
10- 	
t (min) 
5 10 15 20 
sOlido 
solidificacAo 
Iiquefacao ou 
condensacao, 
gasoso 
f vaporizacao evaporacao 
ebutioao 
op 
sublimacao 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
6 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Ccilculo da quantidade de calor latente 
Na natureza, os corpos podem apresentar-se nos estados solido, liquido e 
gasoso, dependendo da disposicao ou arranjo das particulas do corpo. 
Se uma substancia pura recebe ou cede calor e sua temperatura nao varia é 
porque esta ocorrendo uma mudanca de estado fisico do corpo. 
As principais mudancas de estado estdo indicadas no esquema a seguir. 
sublimacao 
A fusao e os dois tipos de vaporizacao (evaporacao e ebulicao) ocorrem 
quando o corpo recebe calor; a solidificacao e a liquefacao (ou condensacao) 
ocorrem quando o corpo cede calor. 
Se o corpo passar diretamente do estado solid° para o gasoso, e vice-versa, 
como ocorre corn a naftalina e o gelo seco (CO 2), dizemos que houve sublimacao. 
Verifica-se experimentalmente que a quantidade de calor latente Q é dire-
tamente proporcional a massa m da substancia que muda de estado. 
Portanto 
Q = m . L 
onde L e uma constante de proporcionalidade denominada calor latente, que 
depende da mudanca de estado que esta ocorrendo e da substancia. 
Ex: calores latentes da agua 
Lfusao = 80 cal/ g 
Lsolidifica cao 	80 cal/ g 
Lvaporizacao = 540 cal / g 
110 	Lcondensacao = 
• Assim: 
• — cada grama de gelo, para fundir (derreter) a 0 °C, necessita receber 
80 calorias; 
cada grama de agua liquida a 0 °C, para solidificar, necessita perder 
• 80 calorias; 
•
Capftulo 18 ♦ Calor 201 
• 
540 cal/ g 
202 	Capitulo 18 • Calor 
1 A 03 
-8°C 0 ° C 
I A01 
agua agua 
Qi 
(sensivel) 
Q2 
(latente) 
0 ° C 50°C 
gelo gelo 
Q3 
(sensivel) 
0 
cada grama de agua liquida a 100 °C, para vaporizar, necessita receber 	• 
540 calorias; 	 0 
cada grama de vapor de agua a 100 °C, para condensar, necessita perder 
540 calorias. 	 • 
0 
EXEMPLOS 
✓Que quantidade de calor deve ser recebida por 200 g de gelo a 0 °C para 	• 
que derreta totalmente? 411 
m. 200 g 
LF = 80 cal/g 	 0 
Q = m . LF 	Q = 200 . 80 = 16.000 41) 
Q = 16.000 cal = 16 kcal 	 0 
✓A temperatura de ebulicao do alcool é 78 °C. Qual é o calor latente de 	• 
	
vaporizacao do alcool se é necessario fornecer 1.010 cal para vaporizar 	• 
totalmente 5 g de alcool a 78 °C? • m = 5 g 
Q = 1.010 cal 	 0 
Lv = ? • 
0 alcool esta em sua temperatura de ebulicao, portanto: 
Q = m . Lv 	1.010 = 5 . Lv 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
e 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
1.010 
Lv = 	 Lv = 202 cal/g 
5 
✓Que quantidade de calor deve ser fornecida a 100 g de gelo, inicialmente 
a — 8 °C, para transforms-lo em agua a 50 °C? 
calor especffico do gelo: 0,55 cal/g °C 
Dados: , calor especifico da agua: 1,00 cal/g °C 
calor latente de fusao do gelo: 80 cal/g 
✓0 gelo deve ser aquecido ate 0 °C para derreter totalmente e a agua obti-
da deve ser aquecida ate 50 °C. 
Esquematicamente: 
4,01 °C) 
gelo 
•	 a 
ague 
fusao Q(cal) 
	► 
17 Deseja-se fundir totalmente urn bloco de gelo de massa 500 g a 0 °C. Qual 
a quantidade de calor que deve ser fornecida ao gelo? 
Dado: calor latente de fusao do gelo: LF = 80°cal / g 
18 Determine a temperatura atingida por urn bloco de gelo de massa 
m = 20 g, inicialmente a —10 °C, apps ter recebido uma quantidade de ca-
lor de Q = 2.700 cal. 
- calor especIfico do gelo: c g = 0,5 cal/ g °C 
Dados: calor especlfico da agua: c a = 1,0 cal / g °C 
calor latente de fusdo do gelo: LF = 80 cal/ g 
19 Urn bloco metallic° inicialmente solid°, de massa m =100g, recebe calor de 
uma fonte termica de' potencia constante e varia sua temperatura em fun-
cao da quantidade de calor recebida de acordo corn o grafico abaixo: 
Q(102cal) 
Capitol° 18 • Calor 	203 
Graficamente: 
Q1= m • cgek, • Aei (calor sensivel) 
Q2 = m • LF (calor latente) 
Q3 = M . Cagua • A03 (calor sensivel) 
Numericamente. 
Q1 = 100 . 0,55 . 8 	Q1 = 440 cal 
Q2 = 100 . 80 	Q2 = 8.000 cal 
Q3 = 100 . 1,00 . 50 	Q3 = 5.000 cal 
Q = Q 1 + Q2 +Q3 = 440 + 8.000 + 5.000 
• 
• • • • • • • • • • • • 
• Q = 13.440 cal 
• 
EXERCICIOS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
T(°C) 
 
vaporizacao B 
fusao 
I A 
 
 
700 1200 1700 2200 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• • 
• 
Q(cal) 
Determine: 
a) o calor especifico do metal no estado solido; 
b) a temperatura de fusao do metal; 
c) o calor latente de fusao do metal. 
20 Aquece-se 1 kg de gelo a 50 °C, transformando-o em vapor a 100 °C. De-
termine a quantidade de calor envolvida durante todo o processo. 
calor especifico do gelo: 0,5 cal/g °C 
Dados: calor especifico da agua: 1,0 cal/g °C 
calor latente de fusao do gelo: 80 cal/g 
calor latente de vaporizacao da agua: 540 cal/ g 
21 (CESESP-PE) 0 diagrama representa a variacao de temperatura de uma 
substancia pura em funcao da quantidade de calor que the e fornecida. 0 
calor de vaporizacao é conhecido e vale 4,0 cal/g. As informacoes obtidas 
a partir do diagrama permitem calcular o calor especifico da substancia 
antes da vaporizacao (trecho AB) e sua massa. Os valores encontrados 
para essas grandezas, em cal/g °C e em gramas, sao respectivamente: 
a) 0,33 e 200 
b) 0,66 e 500 
c) 0,03 e 250 
d) 0,84 e 300 
e) 0,05 e 400 
320 
260 
200 
140 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
204 Capitulo 18 • Calor 
	 • 
• 
Robert Boyle (1627-1691 
• 
• Termodina' mica 
• 
• 
• Modelo de um gas perfeito 
• Para facilitar o estudo de alguns fenomenos observados no comportamen- 
• to dos gases, foi criado urn modelo de gas perfeito. 
• As caracteristicas do modelo de gas perfeito sao chamadas de hipoteses da 
Teoria Cinetica dos Gases. Estas hipoteses sao as seguintes: 
• 1 2 As moleculas de um gas encontram-se separadas e em constante movi- 
• mento desordenado, em todas as direcOes e sentidos. 
22 Estando as moleculas de urn gas em constante movimento, ocorrem su- 
• cessivos choques entre elas e contra as paredes internas do recipiente 
•
que contem o gas. Dos choques continuos contra as paredes internas 
resulta a pressao do gas. 
• 32 As colisties das moleculas entre si e contra as paredes do recipiente que 
•
as contem sao perfeitamente elasticas e de duracao desprezivel; assim 
ha conservacao da energia cinetica das moleculas do gas; 
• 42 As moleculas tern dimensties despreziveis em comparacao corn o espa- 
•
co vazio entre elas. 
A partir do seculo XVII, o estudo do comportamento de urn gas sofreu 
avancos significativos gracas as colaboracoes de grandes cientistas, entre os 
quais se destacaram: Boyle (1627-1691), Charles (1746-1823), Gay-Lussac (1778-
1850) e Clapeyron (1799-1864). Urn resultado importante dessas colaboracOes é 
Gases reais a baixas temperaturas e rarefeitos, tern comportamento bem 
• prOximo do comportamento do gas perfeito (ideal). 
• As grandezas pressio, volume e temperatura sao chamadas variaveis 
•
de estado de urn gas. 
• Equactio de Clapeyron • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • • 
Joseph-Louis Gay-Lussac 
(1778 - 1850) 
Capitulo 19 4, Termodinamica 	205 
 
GAS 
TRANSFORMACAO 
GASOSA (p2 ,V2 ,T2 
 
NICK) 
 
FIM 
206 	Capitulo 19 • Termodinamica 
a relacao entre a pressao (p), a temperatura absoluta (T) e o volume (V) ocupa-
do por uma massa (m) de urn gas perfeito. Essa relacao é denominada equacao 
de Clapeyron e se escreve: 
p.V=n.R.T 
onde: 
a pressao (p) exercida pelo gas é consegTencia das colisOes de suas 
moleculas contra as paredes do recipiente que o content; 
o volume (V) ocupado pelo gas é o volume do recipiente que o con-
tent. 
a temperaturaabsoluta (T) é uma medida do estado de agitacao das mo-
leculas do gas e sua relacao corn a temperatura medida na escala Celsius 
(Oc)e T = Oc + 273 . 
o mimero de mols (n) é a relacao entre a massa (m) do gas e a molecula-
grama (M) do mesmo. 
n= — 
M 
R é a constante universal dos gases perfeitos cujo valor so depende 
das unidades de medida. Os valores mais usados sao: 
R = 0,082 atm • 	R = 2,0 
mol . K 
Nola: 
A molecula-grama M, tambem chamada mol, de urn gas é a massa de 
6,023 x 1 0 23 moleculas desse gas. 
0 nUmero A = 6,023 x 10 23 e o conhecido numero de Avogadro. 
Por exemplo, para o gas oxigenio (0 2), tern-se Moe = 32 g. Isso significa 
que em 32 g de oxigenio existent 6,023 x 10 23 moleculas de 02 . 
Transformasoes gasosas 
Seja uma determinada massa de gas perfeito no estado inicial (p i, V1, T1 ) 
que sofre uma mudanca para o estado final (p 2, V2, T2). 
GAS 
• 
• 
• • • • • • • • • • • • • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
cal 
 mol . K 
e R = 8,31 J 
mol . K 
pi • V1= p2 • V2 pV = constante T1 = T2 
= T2 P1 
Pi= P2 Ti 
P2 
isoterma 
T2 1 	 
	■ V 
V2 
T. isotermica 
Capaulo 19 • Termodinamka 	207 
• 
• 
• P2 
• 
• 
• 
• 
- V2 
T. isometrica 
Vi 	V2 
T. isobarica 
• 
• 
•
gPaos:demos escrever a equacao de Clapeyron para os estados inicial e final 
do • • inicial: p i . V1 = n R . Ti (I) 
• 
0 ntimero de mols n e o mesmo nos dois estados, pois estamos consideran- 
• do uma massa fixa de gas perfeito. 
• Dividindo as equagOes I e II, membro a membro, obtemos: 
• 
• 
• Essa tiltima equacao e conhecida como Lei Geral dos Gases Perfeitos para 
• as transformacOes de uma massa fixa de gas. 
• Ha transformacOes mais simples, onde uma dessas grandezas é fixa, modi-ficando-se apenas as outras duas. 
• Transformacdo isotermica é aquela na qual a temperatura do gas é manti- 
• da constante. 
• • 
Transformacao isobarica é aquela na qual a pressao do gas é mantida cons- 
• tante. • • • Transformacao isometrica ou isocorica é aquela na qual o volume do gas é 
• mantido constante. 
• 
• 
• Relacionando-se graficamente a pressao (p) em funcao do volume (V) 
obtem-se: 
• • P • • 	 • 
• final: p2 • V2 = n • R . T2 (II) 
pi • vi = yr 	Ti 
p2 • V2 	Yi • 0 • T2 pi • "vi = P2 • V2 T1 	T2 
 
= V2 
 T1 	T2 
 
V = constante 
T 
pi --= P2 
 
 
 
 
P1 = P2 
T1 T2 
 
P = constante 
T 
Vi = V2 
 
 
 
P2 = ? 
V2 = 32 t 
T2 = 47 + 273 = 320 K 
p2 = 1 atm 
EXEMPLOS 
/Certa massa de urn gas ocupa o volume de 15 £ a 27 °C e exerce a pressao 
de 2 atm. Calcule a pressao exercida quando a temperatura passar a 
47 °C e o volume a 32 £. 
p i = 2 atm 
V1 = 15 t 
T1 = 27 + 273 = 300 K 
p1V1 	p2V2 
Ti 	T2 
2.15 = p2 . 32 
300 	320 
Certa massa de urn gas submetido a pressao de 6 atm ocupa o volume de 
3 £. Redu' zindo-se isotermicamente a pressao para 4 atm, qual sera o vo-
lume ocupado? 
isoternnica 
pi = 6 atm 	 1,2 = 4 atm 
= 3 
	
V2 = ? 
T1 = T2 = cte = p1V1 = p 2V2 
6 . 3 = 4 . V2 	V2 = 4,5 e 
;Numa transformacao isobarica, o volume de certa massa de urn gas per-
feito altera-se de 2 £ para 8 e. Se a temperatura inicial do gas era de 
177 °C, qual a temperatura final, expressa em graus Celsius? 
J Vi = 2 t 	 V2 = 8 e Ti = 177 + 273 = 450 k 	T2 = ? 
pi = p2 = cte 	1\7 = V2 	2 	8 - = 	 T2 = 1 800 k 
T1 	T2 	450 T2 
02 = 1 800 — 273 = 1 527 °C 	02 = 1 527 °C 
208 	Capaulo 19 • Tennodinamica 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• ✓Num recipiente de volume constante e colocado urn gas a temperatura de 
• 400 K e pressao de 75 cmHg. Qual é a pressao a temperatura de 1200 K? 
• Ti = 400 K 	 T2 = 1 200 K 
•
p 1 = 75 cmHg 	 P2 = ? 
• Vi = V2 = cte 	= 	75 = 132 
•
T1 T2 	400 1 200 
• p2 = 75 x 3 = 225 cmHg 	p2 = 225 cmHg 
• 
• 
111 	EXERCICIOS 
• 1 Urn gas mantido a temperatura constante ocupa urn volume de 25 
• pressao de 640 mm de merctirio. Qual sera a sua pressao quando o volu-
me for 100 £? 
1111 2 Urn gas ocupa o volume de 20 litros a pressao de 1 atm. Qual é o volume 
• desse gas a pressao de 5 atm, a mesma temperatura? 
• 3 Urn reservatOrio de 200 litros de capacidade, praticamente indilatavel ter- 
• micamente, esti cheio de oxigenio comprimido sob pressao de 5 atm e a 
27 °C de temperatura. 0 reservatorio é equipado corn uma valvula de 40 	seguranca que deixa escapar gas, caso a pressao interna atinja 6 atm. A 
• que temperatura comecard a escapar gas? 
• 4 (UFES) Urn gas esti inicialmente a temperatura T o, pressao p a e volume 
•
Vo . E submetido a um processo que o leva a pressao 2 p a e a temperatura 
4 To . 0 volume final VF é igual a: 
• Vo a) Vo 	b) 2 Vo 	c) 	d) 4 Vo 	e) 8 Vo 
• 2 
• 5 (Cesgranrio) Uma certa quantidade de urn gas perfeito ocupa urn volume 
• de 10 dm3 quando a pressao de 4 atm e a temperatura de 37 °C. Calcule a 
que temperatura devemos levar o gas considerado, a fim de que ele ocupe 
• um volume de 12 dm 3 a pressao de 3 atm. 
411 	6 (Fatec-SP) Nas condicoes p i = 1,0 atm, T 1 = 300 K, certo cdrpo de gas per- 
• feito ocupa o volume V 1 = 12,0 Eleva-se a pressao a p 2 = 3,0 atm, a tern- 
•
peratura a T2 = 600 K. Qual o volume V2 do gas? 
• 7 (Fuvest) 0 pneu de urn cario estacionado tern pressao de 2 atmosferas 
quando a temperatura é 90 °C. Depois de o veiculo correr em alta veloci- 
• dade, a temperatura do pneu sobe a 37 °C e seu volume aumenta de 10%. 
•
Qual a nova pressao do pneu? 
• co lorful° 19 ♦ Termodlnamka 	209 
• 
(2) 
8 (UFPEL-RS) Tres amostras de ga-
ses ideais sao submetidos a tees 
transformacties diferentes (figura). 
Em (1), o gas é aquecido em urn re-
servatorio corn urn pistao 
sem atrito e de massa desprezivel. 
Ern (2), o gas é comprimido muito 
lentamente, de rnodo a se manter 
em equilibrio termico corn o exte-
rior. E, em (3), o gas é aquecido em 
um reservatorio indeformavel. 
As transformacoes realizadas em (1), (2) e (3) sao, respectivamente: 
a) isotermica, isobarica e isovolumetrica. 
b) isotermica, isovolumetrica e isobarica. 
isobarica, isotermica e isovolumetrica. 
d) isobarica, isovolumetrica e isotermica. 
e) isovolumetrica, isobarica e isotermica. 
Trabalho numa transformavio gasosa 
Considere urn cilindro de seccao A contendo n mols de um gas perfeito apri-
sionado por urn embolo movel, como mostra figura. 
Se esse gas sofrer uma expansao isobarica, o embolo sofrera um desloca-
mento d, sujeito a forca F (F = p . A) exercida pelo gas. 
Note que o sistema gasoso realiza urn trabalho contra o meio externo dado 
por: 
"C=F.d 	''C=p. A . d = ti=p(V̀-Vi)=p.AV 
AV 	 AV 
210 	Copitulo 19 • termodinarnica 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
T2 
Essa propriedade e muito importante par ser valida para transformacOes 
isobaricas e, tambern, para qualquer outro tipo de transformacao. 
NOTAS: 
I) Numa transformacao gasosa, o trabalho nao depende somente das situa-
goes final e inicial da transformacao, mas tambern dos estados interme-
diarios. 
• • • • 
• 
S • • • P 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Area -.111 ti 
Calculando a area hachurada 
no diagrama, temos: 
Area = pAV = 
Area 
V1 	AV 	V2 
• • 
• VA 
• • • • 
Representando a transformacao isobarica no diagrama de Clapeyron 
(p . V), obtemos a figura abaixo: 
• 
Embora a situacao inicial (A) seja a mesma nos tres casos, assim como a 
• final (B), verificamos que: 
• 
Ti < T2 < T3 
• 
• Capitulo 19 ♦ Termodinamica 	211 
• 
• Chamamos de transformacao ciclica, ou simplesmente ciclo, ao conjunto 
de transformacoes por que passa uma certa massa gasosa, no qual a situacao 	• 
final do gas é exatamente igual a situacao inicial. 
• 
• • • 
Trabalho numa transformaciio fechada (ciclo) 	• 
II) 0 trabalho numa transformacao gasosa pode ser positivo (t > 0), nega-
tivo CC < 0) ou nulo (T = 0), sendo a pressao p sempre positivo, tern-se: 
* se V2 > 	> 0o sistema (gas) em expansao realiza trabalho 
sobre o meio exterior (ambiente); 
* se V2 < V1 	< 0 	o meio exterior ou ambiente realiza trabalho 
sobre o sistema (gas), isto é, o gas recebe trabalho. 
* se V2 = V1 	= 0 ----■ nao ha realizacao nem recebimento de trabalho 
numa transformacao isometrica. 
• 
• 
• 
• 
• 
° 	estado inicial 
0 
estado intermediario 	 estado final 
T 
estado inicial = 
estado final 
Numa transformacao ciclica representada no diagrama p x V, o trabalho 
realizado e numericamente igual a area interna do ciclo. 
Ciclo realizado no sentido horario 
• > 0 
Ciclo realizado no sentido anti-horario 
P 
• < 0 
Uma importante aplicacao das 
transformacoes ciclicas encontra-se nas 
denominadas maquinas termicas, cuja 
funcao é converter calor em trabalho, ou 
seja, em energia mecanica. E o caso de 
um motor de automovel, em que os ga- 
	Vo 
ses produzidos na queima do combustive) fornecem a energia necessaria para 
o movimento. Tambem aqui se enquadram as locomotivas a vapor e inumeras 
ma quinas industriais. 
212 	Capaulo 19 • Termodintimica 
• 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
PA 
Teicio 
N 
 = area interna 
' V 
Suponha, por exemplo, que urn sistema receba 1000 joules de calor e que o 
sistema realize urn trabalho de 400 joules. 
AU= 600 J 
t= 400 J 
• 
Priateira Lei da Termodinamica • 
• Um gas ideal, escolhido como sistema, troca energia corn a vizinhanca d u-rante uma transformacao. A energia trocada pode estar sob a forma de calor, 
devido a existencia de uma diferenca de temperatura entre o gas e a vizinhan- 
ca. A energia pode tambem se transferir atraves do trabalho, quando altera- 
• cao no volume do gas. 
• A P Lei da Termodinamica nada mais é do que a Lei da Conservacao da 
111/ 	Energia aplicado a Termodinamica. Como a Termodinamica relaciona calor e trabalho, se urn sistema recebe energia, esta deve ser armazenada pelo sistema 
• ou fornecida ao ambiente sob forma de trabalho ou acontecer o armazena-
mento de parte dessa energia mais a realizacao de trabalho. 
• 
Entre a quantidade de energia recebida pelo gas, Q = 1000 J, e a quantida-
de cedida, = 400 J, ha uma diferenca de 600 J. Pela Lei da Conservacao de 
Energia, sabemos que a energia nao é criada e nem destruida. Entao, o que 
ocorreu corn essa quantidade de 600 J de energia? 
•
So pode ter ficado no sistema. Essa energia recebe o nome de energia 
interna, sendo simbolizada por U. No nosso exemplo, a energia interna do 
• sistema aumentou de 600 joules (AU = 600 joules). 
Podemos dessa forma, enunciar a Primeira Lei da Termodinamica. 
A variacao da energia AU de urn sistema e igual a diferenca entre a quan-
tidade de calor Q e o trabalho trocados pelo sistema corn a vizinhanca. 
Ou, em simbolos: 
AU = Q — 
411 	A energia interna de urn sistema e a soma dos diversos tipos de energia de 
• seus atomos e moleculas, ou seja, energia cinetica de translacao das moleculas, energia de rotacao e de vibracao das moleculas, energia potencial 
• entre as moleculas e outros. 
• Capftulo 19 • Termodinamica 	213 • 
• 
S • • • 
• • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Temperatura diminuiu (Au < o) 
Curva 
adiabatica 
T2 
	• V 
Quando o gas é perfeito, sua energia interna depende somente da tempera-
tura absoluta. 
(lei de Joule) 
Pelo enunciado acima a energia interna de urn gas perfeito varia somente 
em funcao da sua temperatura. Entao, numa transformacao isotermica (tempe-
ratura constante), a energia interna nao varia. 
Neste caso, AU = 0 	= 
	
(Transf. isotermica) 
DESODORANTE "SPRAY" 
Transformactio adiabatica 
Uma transformacao é adiabatica quan-
do o sistema nao troca calor corn o meio exte-
rior. Experimentalmente, pode-se realizar 
uma transformacao adiabatica isolando o 
sistema termicamente do meio exterior ou 
efetuando a transformacao rapidamente. 
Como a transmissao de calor e lenta, qual-
quer transformacao realizada corn rapidez 
pode ser considerada adiabatica. 
Se a transformacao é adiabatica, Q = 0. 
Entao, pela Prirneira Lei da Termodinamica, 
tern os: 
AU = Q — com Q = 0, resulta: 
AU = — 	(Transf. adiabatica) 
Numa transformacao adiabatica, todo o trabaiho real izado corresponde 
variacao da energia interna do sistema, uma vez que nao ha troca de energia : 
corn o meio exterior. 
Podemos agora entender o grafico de uma transformacao adiabatica. Para 
isto, considere duas isotermas (hiperboles equilateras) nas temperaturas T 1 e T, 
(T 1 < T2). P• 
Comprimindo urn gas adiabaticamente a 
partir do estado A, o volume diminui, en-
quanto que a temperatura e a pressao aumen-
tarn. 0 sistema se afasta da isoterma T 1 e se 
aproxima da T2, no ponto B e assim por dian-
te. A curva A --0 B traduz uma compressao 
adiabatica; essa curva a mais inclinada que 
uma isoterma e tem um tinico ponto com 
cada isoterma, pois a temperatura varia. 
214 	Capftulo 19 • Tennodinamica 
• • • • • • • • • 
• • • • 
• • 
S • • 
• • • 
• • • • • • 
• • • • 
• • • 
• 
• 
Segunda Lei da Termodininnica • 
•
Maquinas termicas sao dispositivos que convertem calor em trabalho e 
vice-versa: maquinas a vapor, motores a explosao, refrigeradores, etc. 
• A maquina a vapor é uma maquina termica que transforma o calor prove- 
• niente de uma fornalha em trabalho meanie° realizado por urn pistao. 
Em uma maquina a vapor circula agua, realizando ciclos continuos. Cada 
ciclo da agua comeca na caldeira (figura), onde a agua liquida a vaporizada, 
transformando-se em vapor sob alta pressao, o qual vai movimentar urn pistao. 
Apos sua utilizacao no pistao, o vapor é condensado e a agua, no estado li-
quido, retorna a caldeira para ser novamente vaporizada e recomecar urn novo 
ciclo. A agua nao é renovada. Dentro da maquina a vapor é sempre a mesma 
agua que realiza ciclos continuos de vaporizacao e condensacao. 
REALIZA 
• Ciclo 	 Paula calor 
• CALDEIRA •-■ 	 CONDENSADOR • 
•
Recebe calor 
s.LAMMAg • 2! 	FORNALHA 
•
Se todo o calor absorvido por uma maquina fosse integralmente transfor-
mado em trabalho, teriamos o caso ideal de rendirnento cem por cento. Mas a 
• experiencia mostra que isto nao é possivel, o que constitui a Segunda Lei da 
Termodinamica. 
• 
• 
•
Um ciclo ideal para as maquinas termicas, que consiste de duas transfor- 
macoes isotermicas alternadas corn duas adiabaticas, foi analisado por Carnot 
• e recebeu a denominacao de ciclo de Carnot. 
• Capitol° 19 • Termodinamica 	215 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Enunciado de Clausius 
• "0 calor so pode passar, espontaneamente, de urn corpo de major para 
• outro de menor temperatura." 
• Enunciado de Kelvin: 
• "E impossivel construir uma maquina termica que, operando em ciclo, 
•
extraia calor de uma fonte e o transforme integralmente em trabalho." 
Ciclo de Carnot 
• 
♦ p 	
isotermas 
adiabaticas 
A Qi 
T1 >T2 
Q2 
	 P V 
Nicolas Leonard Sadi Carnot 
(1796 - 1832) 
• • • • • • • • 
A partir do estado inicial A, o sis-
tema se expande isotermicamente ate 
o estado B, e deste ate C continua a 
expansao adiabatica, passando 
temperatura 12. Do estado C ao A, 
uma compressao isotermica ate D e, a 
partir dal, adiabaticamente ate o esta-
do A, fechando o ciclo. 
• • • 
• • 
• • • • • • • • • • 
• • 
• • • • 
• • 
• • • 
Durante a expansao isotermica A ---- ■ B, o sistema recebe calor Q 1; durante a 
compressao isotermica, o sistema cede calor Q2, realizando urn trabalho 
= Q1 — Q2 
0 rendimento (TO do ciclo é dado pela expressao: 
Q1 — Q2 Q2 
= n 
Carnot mostrou que o maximo rendimento (/) possivel entre duns 
temperaturas T 1 e T2, corn Tl > T2, depende exclusivamente dessas temperatu-
ras, independendo da natureza do sistema que percorre o ciclo, isto é: 
1 = T
1 — T2 
ou 	= 1 — 
T
2 
T1 	 Ti 
Se T2 = 0, isto é, zero absoluto, teoricamente teriamos rendimento 100%. 
Assim o rendimento de qualquer maquina termica é 
inferior a 100%. Na verdade os rendimentos das maquinas 
termicas usadas sao muito baixos. Por exemplo, nas locomoti-
vas a vapor o rendimento e cercade apenas 10%, nos motores 
a gasolina nunca ultrapassa 30% e nos motores Diesel, que 
estao entre as maquinas mais eficientes, o rendimento situa-se 
em torn de 40%. 
Entropia 
De acordo corn a Segunda Lei da Termodinamica, o calor flui espontanea-
mente do corpo mais quente para o mais frio. Podemos aproveitar esse fato 
para obter trabalho, porem apps atingir o equilibrio termico entre os corpos 
nao é mais possivel obter trabalho. 
A energia termica e considerada uma forma de energia de segunda classe e 
todas as formas de energia consideradas nobres (eletrica e mecanica por 
exemplo) tendem a se dissipar na forma de calor, o que ocasiona urn aumento 
da desorganizacao do Universo. Ha portanto a tendencia de se passar de uma 
forma organizada para uma forma mais desordenada. 
216 	Capffulo 19 • Termodinamica 
OU 
	
= 
• • • • • • • • • • • • • • 
Por exemplo, a agua quando sOlida (gelo) tern uma estrutura cristalina bas-
tante organizada. A tendencia natural do gelo é derreter, tornando-se agua li-
quida, cuja estrutura é mais desorganizada. Esta, por sua vez, tende a tornar-se 
vapor, que tern estrutura ainda mais desorganizada. 
A desorganizacao do sistema caracteriza sua ENTROPIA. Espontaneamen-
te ha sempre uma tendencia a aumentar a entropia do sistema, mesmo conser-
vando-se a energia. 
Portanto, podemos finalizar dizendo que embora a energia do universo 
seja constante, como os processos espontaneos sao irreversiveis, a energia esta 
cada vez mais degradada, isto e, ela é cada vez menos disponivel. 
solid° 
	 liquid° 	 vapor 
aumento da entropia 
✓Um gas ideal sofre uma transformacao isobarica sob pressao de 100 Pa. 
Calcule o trabalho realizado pelo gas, quando o volume passa de 10 m 3 
 para 30 m3 . 
p = 100 Pa 
AV = V2 — Vi = 30 - 10 = 20 m 3 
Sendo p constante, 
= p AV = 100 . 20 = 2 000 J 	= 2 000 J 
✓Quando fornecemos 3 . 10 5 J de calor a urn gas ideal, este realiza urn tra-
balho conforme indica o grafico ao lado, indo do estado i para o estado f. 
Determine a variacao de energia interna, em joules, para essa transfor- 
•
pIN 
\ m2 1 
105 
Capfrulo 19 • Termodinamica 	217 
• 
• 
•
EXEMPLOS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
maga°. 
Q = 3 . 105 J 
T 14 area = Base x altura = (3 - 1) x 10 5 
t= 2 . 105 J 
Aplicando a 1 1 Lei da Termodinamica: 
AU = Q - = 3 . 105 - 2 . 103 = 1 . 105 J 
AU = 1 . 105 J V(m3 ) 
b 
20 	40 
✓Urn gas ideal sofre uma trans- 	 p(Pa) 
formacao conforme o diagra- • 
ma. Calcule o trabalho recebi-
do pelo gas ao it de A para B. 
 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 
15 
 
A 
 
 
 
10 
0 
 
B 
 
 
20 	40 	V1m31 
 
Esse trabalho é recebido pelo gas, sendo portanto negativo. 
Numericamente, e em mo-
dulo, o trabalho é dado pela 
area hachurada ao lado, cuja 
figura geometrica é um 
trapezio. 
+ 	. area do trapezio = (B b) h 
1 	 (15 + 10) . 20 
Area — 	 — 250 
2 
T = — 250 J 
✓Uma dada massa de urn gas perfeito descreve o ciclo no sentido ABCDA. 
Calcule o calor trocado e o trabalho realizado no ciclo. 
♦ p( 1 0`'N /m 2 ) 
10 A 
8 D 
0 1 3 V(cm3) 
T = area interna do retangulo ABCDA 
T = (3 — 1) cm 3 x (10 — 8) . 105 N / m2 = 2 . 10-6 m3 . 2 . 105 N / m2 
T = 4 . 10-1 J 
Ao completar o ciclo, a temperatura final é igual a inici al. Portanto, AU = 0 
e Q = T. 
Q= 4 . 10 j 
218 	Capitulo 19 ♦ Termodinamica 
15 
10 
p (pa ) 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• V1m3 ) 
2 	 
1 	 
• 
• ✓A cada ciclo, uma maquina termica retira 1 000 cal da fonte quente e re- 
• jeita 650 cal para a fonte fria. Determine, admitindo 1 cal = 4 J. 
•
a) o trabalho realizado a cada ciclo; 
b) o rendimento. 
• a) Q i = 1 000 cal 
• Q2 = 650 cal 
= Q i - Q2 = 1 000 — 650 = 350 cal 411 	= 350 x 4 = 1 400 J 
• = 1 400 J 
• 
ti – 	 350 cal b) = 	– 0,35 
Q1 	1 000 cal 
• = 35% 
• 
✓Uma turbina a vapor opera entre as temperaturas de 927 °C e 27 °C. Qual 
411 	seria o rendimento maxim° de uma maquina teorica que operasse entre 
• essas temperaturas? 
T2 = (27 + 273) K = 300 K 
= (927 + 273) K = 1 200 K 
411 
• • • • 
0 =1– 
320
0 –1– —1 = —3 0,75 = 75% 
1 0 	4 4 
rl = 75% 
Nota: 0 rendimento real desta turbina nab chega a 40%. 
• EXERCICIOS 
• 9 Urn gas se expande, realizando urn trabalho de 100 J ao receber 200 cal. Sen- 
• do 1 cal = 4,18 J, determine a variacao de energia interna sofrida pelo gas. 
n 
•
sendo Ti > T2 
	
	= 1 — T 4 
Ti 
• 10 Urn gas sofre dilatacao iso- 
• barica, conforme o grafico, 
sob pressao de 10 N /m 2 . 
• Qual o trabalho realizado 
no processo, em joules? 
• • • • 
S 
100 200 
	
TM) 
Capffulo 19 • Tennodinamica 	219 
AR 
embolo orificio 
vedado 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
(PUC-MG) Num processo a pressao constante de 1,0 . 10 5 Pa, urn gas au-
menta o seu volume de 9 . 10 -6 m3 para 14 . 10-6 m3. 0 trabalho realizado 
pelo gas, em joules, é de: 
a) 0,5 	b) 0,7 	c) 0,9 	d) 1,4 	e) 2,1 
2 (UF Vicosa) Um gas ideal, corn volume inicial V, = 2,0 x 10-3 m3 e pressao 
p = 2,0 x 105 N / m2, expande-se isobaricamente ate urn volume final 
Vf = 5,0 x 10-3 m3. Para essa transformacao: 
a) esboce o grafico pressao x volume; 
b) calcule o trabalho realizado pelo gas. 
3 (Unesp) A Primeira Lei da Termodinamica diz respeito a: 
a) dilatacao termica. 
b) conservacao da massa. 
c) conservacao da'quantidade de movimento. 
conservacao da energia. 
e) irreversibilidade do tempo. 
14 (UFPB) Se urn sistema sofre uma transformacao na qual recebe 20 kcal de 
calor e realiza um trabalho de 10 kcal, qual a variacao de sua energia in-
terna em kcal? 
a) 10 	 c) 20 	 e) —30 
b) —10 	 d) 30 
5 (PUCC-SP) Uma bomba de en-
cher pneus de bicicleta é aciona-
da rapidamente, tendo a extre-
midade de saida do ar vedada. 
Consequentemente, o ar é corn-
primido, indo do estado 1 para o 
estado 2. 
Nessas condicoes, podemos 
afirmar que a transformacao ter-
modinamica verificada na pas-
sagem do estado 1 para o estado 
2 aproxima-se mais de: 
Estado 1 
ar comprimido 
 
 
 
	 orificio 
vedado 
 
Estado 2 
 
a) uma isometrica, porque o volume do ar se mantem; 
b) uma isotermica, porque a temperatura do ar nao se altera; 
c) uma isobarica, porque a pressao do ar nao se altera; 
(15- uma adiabatica, porque praticamente nao ha troca de calor do ar corn o 
/ meio exterior; 
e) uma isocorica, porque o volume da camara se mantem. 
16 (FEI-SP) Uma amostra de gas perfeito evolui entre dois estados, receben-
do uma quantidade de calor AQ. Se durante a transformacao a tempera-
tura do gas permaneceu constante, qual a variacao de sua energia interna 
e qual o trabalho por ele fornecido? 
220 	Capitulo 19 • Termodinamica 
• p(1 05 Pa) 
2,0 
1 ,0 
0 	1,0 	2,0 	3,0 	V( m3 ) 
• • 
9 • 
17 (Fatec-SP) Um sistema realiza 
o ciclo ABCDA representado. 
O trabalho realizado pelo sis-
tema no ciclo vale: 
• a) 2,0 x 10 5 J 
b) 4,0 x 105 J 
• c) 1 ,0x105 J 
• d) 6,0 x 10 5 J 
e) 3,0 x 10 5 J 11) • 
•
18 (PUC-MG) 0 rendimento de 
uma maquina termica é a razao 
• entre o trabalho realizado e o 
calor absorvido, por ciclo. Cal- 
• cule o rendimento i de uma 
411 	maquina termica que segue o ciclo descrito pelo diagrama 
• seguinte, sabendo que ela ab-
sorve 8,0 x 10 4 J de energia ter-
mica por ciclo. 
• p(1 05 Pa) 
 
 
 
• 
•	 
 
 
V(m 3 ) 
 
0,1 	0,2 
 
• • • • • • 
S 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• • • 
19 (Cefet-PR) Uma maquina a vapor recebe vapor saturado de uma caldeira 
a temperatura de 200 °C e descarrega o vapor expandido a temperatura 
de 100 °C (diretamente no ar atmosferico). Se a maquina operasse Segun-
do o Ciclo de Carnot, o rendimento maximo dessa maquina seria, em 
percentagem, igual a: 
a) 50 	b) 32 	c) 21 	d) 43 	e) 10 
20 Urn ciclo de Carnot utiliza duas fontes termicas em temperaturas, respec-
tivamente, 127 °C e 727 °C. 
a) Qual é o rendimentodo ciclo? 
b) 0 ciclo retira 500 cal da fonte quente. Quanto trabalho ele produz? 
21 Urn motor termico consome em cada ciclo 750 calorias de calor da fonte 
quente e rejeita 450 calorias para a fonte fria. 
Calcule: 
a) o rendimento do motor; 
b) quanto trabalho o motor realiza em cada ciclo. 
Capitulo 19 • Termodinamica 	221 
raios 
divergentes 
raios 	 raios 
paralelos 	 convergentes 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
Introducao a Optica 
Geometrica 
Optica geometrica 6 a parte da Fisica que estuda a LUZ e os FENOMENOS 
L UMINOSOS, sem se importar com a natureza da mesma. 
Raio de luz e feixe de luz 
Raio de luz e uma linha imaginaria que representa graficamente a direcao 
e o sentido da propagacao da luz. 
raio de luz 
Os raios de luz podem ser paralelos, convergentes ou divergentes, for-
mando o feixe de luz. 
Meios opticos 
Quanto a propagacao da luz, os meios materiais podem ser de tees tipos: 
a) opaco b) transhicido c) transparente 
rnadeira, tijolo papel vegetal, vidro fosco vidro, ar, ague 
Os meios opacos nao deixam passar a luz, os meios transhicidos deixam 
passar a luz em trajetorias irregulares (nao permitem visao nitida) e os meios 
transparentes deixam passar a luz em trajetorias regulares (permitem visao 
nitida). 
222 Copitulo 20 • Introducao a optic° Geometrica 
sombre e penumbra 
penumbra 
sombre 
propria 
anteparo 
corpo 
opaco 
cone de 
sombre 
sombra 
projetada 
fonte 
de luz 
• 
•
Fontes de luz 
• 
• a) primarias: sao os corpos que tern 
• luz prOpria, ou seja, sao os corpos 
•
luminosos; 
• b) secundarias: sao os corpos que 
apenas refletem a luz que recebem 
• de outros corpos, isto é, sao os cor-pos iluminados, tal como a Lua 
• (que apenas reflete a luz recebida 
•
do Sol), os plangtas e os demais 
corpos que podemos ver. • • 
• 
NOTA: Se as dimensOes da fonte de luz sao despreziveis em face da distan-
cia do corpo que ela ilumina, tem-se uma fonte de luz puntiforme ou 
pontual. Caso isso nao ocorra, a fonte c considerad.a exteusti. 
• 
Fontes de luz sao corpos que emitem luz. 
Podem ser: 
• Principio da propagastio retilinea da luz 
• 
• linha reta. 
• 
• • • 
•
imagem 
invertida 
• 
Sao evidencias de que a luz se propaga em linha reta a formacao de sombra 
e penumbra e a formacao da imagem invertida na camara escura de orificio. 
Nos meios homogeneos e transparentes, a Iuz se propaga ern 
camera escura 
objeto 
A Iuz nao contorna obstaculos porque se 
•
propaga em linha reta. 
A sombra projetada forma a figura do 
•
objeto que foi iluminado. 
• • • Capitulo 20 • Introducao a optica Geomatrica 	223 
• 
• 
• • 
• • 
cone de sombra 
da Terra 
Terra 
raios de 
sol7 
H 
S 
Eclipses 
Os eclipses (isto é, desaparecimentos) do Sol e da Lua, esquematizados a 
seguir sac, consequencias da formacdo de sombra e penumbra de um corpo 
celeste sobre outro. 
Eclipse do Sol 
Neste caso, a Lua projeta sobre a Terra uma regiao de sombra e uma de 
penumbra. 
4 3 	2 1 
Terra 
1 = sombra da Lua. 
2 = penumbra. 
3 = sombra da Lua projetada na Terra (eclipse total do Sol) 
4 = penumbra projetada (eclipse parcial do Sol) 
Sol 
Sombras 
0 feixe de luz a partir de uma fonte puntiforme é sempre divergente; po-
rem, se a fonte estiver muito afastada, os raios de luz tendem a se tornar para-
lelos entre si. E o caso do feixe de luz solar ao chegar a Terra, corn raios parale-
los, produzindo sombras de dimensoes proporcionais entre si para objetos em 
posicties identicas, como ilustra a figura: 
Observe que as alturas H e h sao diretamente proporcionais as sombras 
projetadas no solo S e s. Assim: 
H S 
 h 	s 
224 	Capffulo 20 • Introducao a Optica Geometrica 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I • 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
Sol 
Eclipse da Lua 
Neste caso, a Lua 
situa-se no cone de 
sombra da Terra. 
Terra 
sombra 
Lua 
I 
•
EXEMPLOS 
✓Num mesmo instante, a sombra projetada por uma pessoa é de 3 metros 
e a de urn edificio e de 80 metros. Sabendo que a altura da pessoa é de 
1,80 m, determinar a altura do edificio. 
H 	1,80 
 ' 	H = 48 m 
80 	3 
80m 
Por que a sombra de uma nuvem sobre o solo tem sempre a mesma for-
ma e o mesmo tamanho da pr6pria nuvem? 
Isso acontece porque os raios solares incidem na Terra paralelos entre si. 
importante perceber que isso ocorre independentemente da hora em 
que a sombra é formada. 
penumbra 
• eclipse lunar. Pergunta-se: 
•
Quando esse eclipse ocorre, 
a Lua pode estar em qual- 
• quer uma de suas fases? 
•
Nao. Apenas na fase de Lua 
Cheia. 
• • 
411 	EXERCICIOS 
• 1 0 que diferencia urn meio 6ptico transparente de um meio optic° 
• transhicido? 
2 Cite 3 exemplos de fontes de luz primarias e de 3 fontes de luz secundarias. 
3 Que fenomenos da natureza sao evidencias muito fortes de que a luz se 
•
propaga em linha reta? 
• 4 Urn observador nota que um edificio projeta no solo uma sombra de 15 m 
de comprimento no instante em que urn muro de 200 cm de altura projeta 
• no solo uma sombra de 40 cm. Qual e a altura do edificio? 
• 5 Qual dos objetos seguintes seria visivel numa sala perfeitamente 
• escurecida? 
a) urn espelho. 
• b) qualquer superficie clara. 
•
c) um fio aquecido ao rubro. 
d) uma lampada desligada. 
e) um gato preto. 
• CapItulo 20 • Introducao a optica Geometrica 	225 
S 
• • • • o. oo • 
•
3m 
S 
S • • 
✓ A figura representa urn 
orbits 
da Lua 
ponto 0 
cone da sombra 
da Terra 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
6 (FUEL-PR) Durante um eclipse solar, um observador: 
Terra 
a) no cone de sombra, ye urn eclipse parcial. 
b) na regiao da penumbra, ye um eclipse total. 
c) na regiao plenamente iluminada, ye a Lua eclipsada. 
d) na regiao da sombra propria da Terra, ye somente a Lua. 
e) na regiao plenamente iluminada, nao ve o eclipse solar. 
7 (F. Objetivo-SP) No esquema da figura representamos o Sol, a Terra e a Lua. 
Para urn observador na superficie da Terra voltada para a Lua (ponto 0): 
a) é noite, fase de Lua Nova e ocorre eclipse da Lua. 
b) e dia, fase de Lua Cheia e ocorre eclipse do Sol. 
c) é noite, fase de Lua Cheia e a Lua esta visivel. 
d) é dia, fase de Lua Nova e ocorre eclipse da Lua. 
e) e noite, fase de Lua Cheia e ocorre eclipse da Lua. 
226 	Capftulo 20 • Introducao a Optica Geometrica 
• • 
) Reflexao da Luz e 
• Espelhos Pianos • 
• Reflexao 
• Reflexao é o fenomeno optic° que ocorre quando a luz incide numa fron- 
• teira separadora de dois meios opticos e retorna ao meio de onde veio. 
•
A reflexao pode ser de dois tipos: 
•
a) reflexao perfeita: quando raios paralelos incidem em uma superficie e 
refletem-se, continuando paralelos entre si, como ocorre quando a luz 
• incide em superficies metalicas polidas; 
• • 
• 
• • • • 
411 
• 
• 
 
b) reflexao difusa: quando raios paralelos incidem em uma superficie e 
refletem-se em todas as direcoes, como ocorre quando a luz incide em 
superficies irregulares, como o papel, a parede, etc. 
• Leis da reflexao 
• 
Os raios de luz que chegam a uma superficie qualquer sao os raios 
• incidentes. 
• Os raios que voltam depois de incidir numa superficie qualquer sao os 
•
raios refletidos. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • Capaulo 21 • Reflexao da Luz e Espelhos Pianos 	227 
reta 
raio incidente 
	
normal 
	
raio refletido 
• 
imagem virtual 
Veja a figura abaixo: 
espelho 
prolongamento dos piano 
raios emergentes 
objeto real 
raios 
incidentes 
raios 
emergentes 
• 
• 
• • 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Considere a superficie refletora abaixo: 
No ponto onde o raio incidente sofre reflexao imagina-se uma reta perpen-
dicular a superficie, chamada reta normal. 
1 2 lei: 0 raio incidente, a reta normal e o raio refletido sao coplanares. 
r- lei: 0 angulo de incidencia e igual ao angulo reflexao (i = r). 
Espelhospianos 
Espelho piano é toda superficie plana que permite a reflexao perfeita 
da luz. 
Considere urn espelho piano E e urn ponto P que emite luz, como indica a 
figura abaixo: 
P 
/// 
Os prolongamentos de todos os raios refletidos no espelho, provenientes de 
P, passam por P'. 
Para urn observador que recebe os raios refletidos, parece que os raios vie-
ram de P', isto e, o observador ye P' atras do espelho. Dizemos que P' é um 
ponto imagem virtual e P é urn ponto objeto real, ambos em relacao ao espe-
lho E. 
228 	Capitulo 21 • Reflextio da Luz e Espelhos Pianos 
• 
• 
•
I m portante: 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• EXEMPLOS • • • 
P. • 
• 
• E/// • • • • 
Devido a simetria entre o objeto e a imagem em relacao a urn espelho pia-
no, podemos verificar que a imagem de urn objeto real conjugada pelo espelho 
apresenta as seguintes caracteristicas: 
a) é enantiomorfa, isto é, tern a mesma forma e dimensOes do objeto, po-
rem nao é superponivel a ele; 
b) e direta, 'Dols a imagem nao fica de cabeca para baixo; 
c) e virtual, porclue a imagem forma-se atras do espelho; 
d) é do mesmo tamanho do objeto. 
Ha simetria entre o ponto objeto (P) e o ponto imagem (P') em relacao ao 
espelho piano, isto é, as distancias do objeto e da imagem em relacao ao 
espelho sao iguais. 
✓Na figura tem-se urn espelho piano E, urn ponto luminoso P e um obser- 
vador. Desenhe urn raio de luz que parte de P e atinge o observador. 
✓ Desenhe a imagem da palavra FISICA conjugada por urn espelho piano. 
50 cm 	 50 cm 
espelho 
objeto 
real 
imagem 
virtual 
P
t 
-T-- 
\\\ E 	z, 	\\\ 
/ 
P' 
ponto onde P' 	deve incidir luz 
• 
• 
• 
• 
• 
FISICA I AD1219 
Capitulo 21 ♦ Reflexao da Luz e Espelhos Pianos 	229 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
/Urn ponto objeto real esta colocado a 10 cm de urn espelho piano. Qual é 
a distancia entre o objeto e sua imagem? 
P • 	 
P. • 
P , 
Resp.: 20 cm 
14 10cm 10cm ol 
Ii 20 cm oi 
Dois espelhos planos formam entre suas superficies refletoras um angu-
lo de 90°. Se um raio de luz incide num espelho corn angulo de inciden-
cia de 30°, qual sera o angulo de reflexao da luz refletida no segundo 
espelho? 
EXERCICIOS 
	
Resp.: 60° 
Nas figuras abaixo, desenhe um raio de luz que parta do ponto P, reflita 
no espelho piano e atinja o olho do observador 
• P 
	b) 	p• 
/7/ 	 /7/ 	 /7/ 	 /7/ 
2 Dado o raio incidente, desenhar o raio refletido para os seguintes 
esquemas: 
b) 
/7/ 	 \\\ 	 7/7 	 \\\ 
3 A distancia entre um objeto e sua imagem conjugada por urn espelho pia-
no é de 50 cm. Determine a distancia entre o espelho e o objeto. 
230 	Capftulo 21 • Reflex& da Luz e Espelhos Pianos 
a) 
a) 
do 
d d 
II 	 H 
campo do 
espelho em 
relacao a 0 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
4 Por que a palavra AMBULANCIA esta escrita como aparece na figur=a a se-
guir? 
5 Desenhe a imagem das palavras CASA e ROMA conjugadas por urn espe-
lho piano. 
6 Se uma pessoa tem 1,80 m de altura, qual sera a altura da imagem dessa 
pessoa conjugada por urn espelho piano? 
7 Determine o Angulo x da figura abaixo. 
40° 
\\\ 
8 Qual é a diferenca entre a reflexao da luz em uma parede e em urn espelho? 
Campo de um espelho piano 
Chama-se campo de um espelho piano, para urn observador bem determi-
nado, a regiao do espaco que pode ser contemplada por este atraves de reflexao 
da luz no espelho. 
Dada a posicao do observador 0, determina-se a posicao simetrica 0' em 
relacao a superficie refletora. A regiao do espaco visfvel por reflexao é determi-
nada ligando-se o ponto 0' ao contorno periferico do espelho: 
Capftulo 21 • Reflexfto da Luz e Espelhos Pianos 	231 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Associacito de espelhos pianos 
Dois espelhos pianos podem ser dispostos de tal forma que as superficies 
refletoras formem entre si um determinado angulo. 
0 nilmero de imagens formadas pela associacao dos espelhos depende do 
angulo entre eles e e dado pela expressao: 
N = 360° 1 
onde a é o angulo entre os dois espelhos e N é o numero de imagens formadas. 
EXEMPLOS 
VQuais dos objetos A, B, C, D e E podem ser vistos pelo observador ao 
olhar para o espelho piano? 
A 
111 
/// \\\ 
Para descobrir a resposta é necessario desenhar a secao plana do campo 
de espelho, como é feito na figura adiante. 
D 
Ci 
Portanto, o observador so 
podera ver os objetos B, C e D. 
1Qual é o rulmero de imagens formadas por uma associacao de 2 espelhos 
pianos que formam entre suas faces refletoras os angulos de: 
a) 90° 
N = 3 imagens 
232 	Capitulo 21 ♦ Reflexao da Luz e Espelhos Pianos 
D 
El 
	B 
N= 
360° 1 = 4 1 = 3 
90° 
• 
• b) 450 
• 360
5°
° 
•
N = 	1 = 8 — 1 = 7 	N = 7 imagens 450 
 
• 
• 
✓Se o ntimero de imagens formadas por uma associacao de espelhos pia-
nos for igual a 9 qual sera o Angulo entre os espelhos? 
N = 9 
a = ? • 360' 	360' 	 360° 
•
N = 	 1 	9 = 	 1 	9 + 1 = a 	 a 	 a 
• ° 
	
10 = 3600 	a = 
360 	
a = 36° 
• a 	 10 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• EXERCICIOS • 9 Determine quais pontos A, B, C ou D o observador 0 pode ver por refle- 
• 
• 
sD 
	 B. 
• sC • • 
xao no espelho. 
• A 
10 Dois espelhos pianos formam entre suas superficies refletoras urn angulo 
• de 10°. Qual o mimero de imagens formadas? 
• 11 Se voce olhar para uma associacao de dois 
• espelhos pianos e contar 23 imagens, qual 
sera o Angulo entre os espelhos? 
• 12 
Qual é o Angulo entre os espelhos da figura 
• ao lado? • 
• 	 Capaulo 21 ♦ Reflexao da Luz e Espelhos Pianos 	233 
• 
eixo optico principal 
convexo 
• 
• 
• • 
• 
• • • 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Espelhos Esfericos 
Definicao e elementos do espelho esferico 
Espelho esferico é toda superficie refletora cuja forma é uma calota 
esferica. 
Os espelhos esfericos podem ser concavos (se a superficie refletora for in-
terna) ou convexos (se a superficie refletora for externa). 
concavo 
Todos os espelhos esfericos apresentam os elementos do esquema a seguir: 
C - centro de curvatura do espelho 
R - raio de curvatura do espelho 
V - vertice do espelho 
a - angulo de abertura do espelho 
eixo optico principal - reta que passa pelo centro de curvatura e pelo vet.- 
tice do espelho. 
Observacao: Os espelhos esfericos so fornecem imagens razoavelmente 
nitidas se o Angulo de abertura do espelho for pequeno (a < 10°) e se os raios de 
luz incidirem paralelos ao eixo optico principal e proximos a ele. 
234 	Capitulo 22 • Espelhos Esfericos 
foco imagem real 
espelho concavo (convergente) 
espelho convexo (divergente) 
foco imagem 
virtual 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Focos de espelhos esfericos 
Se urn feixe de raios paralelos incide sobre um espelho esferico, paralela-
mente ao eixo optico principal, o feixe de luz refletido podera ser convergente 
(espelho concavo) ou divergente (espelho convexo), como mostram as fotogra-
fias a seguir e seus respectivos esquemas: 
Nota: 
As fotografias nao correspondem rigorosamente a espelhos esfericos. 
Capitulo 22 • Espelhos Esfericos 	235 
• 
• • • 
• 
• • • • 
• 
• • • 
• • • 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • • • 
• • 
• 
• • 
Medindo-se a distancia entre o foco e o vertice, verifica-se que ela 
corresponde a metade do raio de curvatura do espelho, ou seja: 
VF = 
VC 
2 
A distancia do foco ao vertice é chamada de distancia focal (f). Dessa forma. 
Censtrusim geometrica de imagens 
Para se construir geometricamente as imagens, e necessario usar sempre 
dois dos quatro raios notaveis a seguir: 
a) Todo raio que incide pelo centro de curvatura reflete-se sobre si mesmo. 
b) Todo raio que incide peto foco reflete-se paralelo ao eixo optico principal. 
236 	Capitol° 22 • Espelhos Esfericosc) Todo raio que incide paralelo ao eixo optic° principal reflete-se pelo foco. 
d) Todo raio que incide pelo vertice reflete-se simetricamente em relacao 
ao eixo optico principal. 
S • • 
• • • • • • • • • • • • 0 
EXEMPLOS 
✓Desenhe a imagem do objeto real colocado a frente do espelho convexo 
abaixo. 
Para qualquer posicao de um objeto real, o espelho convexo fornece ima-
S 	gem virtual, direta e menor que o objeto. 
✓Desenhe as imagens do objeto real colocado a frente do espelho concavo 
nos casos abaixo. 
a) objeto entre o foco e o vertice 
virtual 
Imagem direta 
maior que o objeto 
b) objeto entre o centro e o foco 
-MIP 1- 1 
objeto 
!rjaira) 
imagem 
Capitulo 22 • Espelhos Esfericos 	237 
S • • • • • • • 0 • • • • • • • 
Imagem 
real 
invertida 
maior que o objeto 
 
EXERCICIOS 
• • • 
Desenhe o raio de luz refletido nos casos abaixo. 	 • 
a) 
Ad 	
b) c) 
F 
\\ 	
• 
2 Colocar uma pequena lampada no foco F do espelho concavo. Tracar tres 
raios incidentes e os correspondentes refletidos. 	 • 
3 Desenhe a imagem conjugada pelo espelho em cada urn dos casos a 	• 
seguir. 
a) 	 • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • • 
• 
E 	 • 
x (cm) • 
50 	40 	30 	20 	10 
0 raio refletido vai atravessar o eixo principal no ponto de abscissa, em 	• 
cm, igual a: 
a) 10 	b) 20 	c) 30 	d) 40 	e) 50 
• 
1 
b) 
d) 
4 (UEL-PR) A figura abaixo representa urn raio de luz i que incide, paralela-
mente ao eixo principal, num espelho esferico concavo E de raio de cur-
vatura de 40 cm: 
)\\ 	
• • 
• 
• • • • 238 	Capitol° 22 • Espelhos Esfericos 
Convencao de sinais 
elemento real 	-+ abscissa positiva (>0) 
elemento virtual --I abscissa negativa (<0) 
imagem direta 	1 positivo I 1 > 0 
o 	to 
imagem invertida 	o negativo I o < 
Equagoes dos espelhos esfericos 
Num espelho esferico concavo ou convexo definem-se 
As equacoes que relacionam essas medidas sao: 
= P / 
	
equacao do aumento linear transversal 
equacao de conjugacao ou dos pontos conjugados 1 + 1 1 = 
P f 
Capitol° 22 • Espelhos Esfericos 	239 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
abscissas 
p: distancia do objeto ao espelho, 
p': distancia da imagem ao espelho 
f: distancia focal 
R: raio de curvatura 
f _ R 
2 
ordenadas 
o: altura do objeto 
is altura da imagem 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
EXEMPLOS 
✓ Que distancia focal tem urn espelho concavo de raio de curvatura 60 cm? 
R = 60 cm 
R 60 
f = == f = 30 cm 
2 	2 
✓ Um objeto real é colocado a 20 cm de urn espelho esferico concavo de 
distancia focal 10 cm. Qual é a distancia da imagem ao espelho? 
p = 20 cm 
f= 10 cm 
P' = ? 
1 + 1 	1 = 1 + 1_ 1 
P 	p' 	f 	20 	p' 	10 
1 	1 	1 	1 	2-1 — 1 	1 
= 	 — 	 — 	p' = 20 cm 
p' 	10 	20 	p' 	20 	20 
✓ Urn objeto real de 10 cm de altura esta a 30 cm do vertice de urn espelho 
concavo de distancia focal 20 cm. Determine: 
a) a posicao da imagem: 
o = 10 cm 
p = 30 cm 
f = 20 cm 
P' = ? 
1 + 1 	1 	1 + 1_ 1 
P 	p' 	f 	30 	p' 	20 
— = 
1 	1 	1 	1 = 3 — 2 _ 1 
p' =60 cm 
p' 	20 	30 	30 	60 	60 
b) a natureza da imagem: 
p' = 60 cm = p' > 0 = imagem real 
c) a altura da imagem: 
i13' 
— 	
i 	60 
	 — 2 = i = —20 cm 
o 	p 	10 	30 	10 
0 sinal negativo indica que a imagem é invertida. 
240 	Capffulo 22 • Espelhos Esfericos 
i 
S • • 
• 
Dado o esquema abaixo, determine a distancia focal do espelho e o seu tipo. 
objeto real 
• 4 cm 
• 0.- 
8 cm 
 
 
espelho 
imagem virtual, pois é direta 
1 = 1 + 1 	1 	1 	1 
f 	p 	f 	4 	8 
	
—1 = 2 – 1 = —1 	f = +8 cm 
8 	8 • 	f > 0 = espelho concavo 
• 
• Qual é o raio de curvatura de urn espelho esferico de distancia focal igual 
•
a 25 cm? 
•
De um objeto real colocado a 12 cm de urn espelho esferico concavo 
• se espelho? 
obtem-se uma imagem real a 4 cm do espelho. Qual a distancia focal des- 
• Urn objeto real de 20 cm de altura é colocado a 15 cm do vertice de urn 
espelho concavo de distancia focal 10 cm. Determine: 
• a) a posicao, da imagem (p'); 
b) a natureza da imagem; 
•
c) a altura da imagem (i). 
A que distancia de urn espelho esferico convexo de raio igual a 60 cm 
• deve ser colocado um objeto de 10 cm de altura para que a imagem 
•
conjugada tenha 5 cm de altura? 
•
Dado o esquema abaixo, determine o raio de curvatura do espelho e o seu 
tipo. 	 I 
• 14--■ objeto real ! 5 cm 
• o 
• 
• 20 cm 
• espelho 
• Copftulo 22 • Espelhos Esfericos 	241 
S 
• 
• p = 4 cm 
• p' 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
(UFPA) Urn objeto real se encontra no eixo e a 20 cm de urn espelho concavo 
de 10 cm de distancia focal. A imagem obtida é: 
a) real e menor que o objeto. 
b) real e maior que o objeto. 
c) real e do mesmo tamanho do objeto. 
d) virtual e maior que o objeto. 
e) virtual e do mesmo tamanho do objeto. 
(Mack-SP) Urn objeto real se encontra a 20 cm de urn espelho esferico conca-
vo, de 30 cm de raio de curvatura. A distancia entre o objeto e sua imagem 
fornecida pelo espelho é de: 
a) 60 cm. 
b) 40 cm. 
c) 30 cm. 
d) 20 cm. 
e) 10 cm. 
(UFPEL-RS) Um objeto luminoso de 4 cm de altura é colocado a 36 cm, so-
bre o eixo principal de urn espelho convexo de raio de curvatura igual a 
24 cm. Nessas condicoes, determine: 
a) a distancia da imagem ao espelho; 
b) o tamanho da imagem; 
c) a natureza da imagem. 
242 	Capitulo 22 • Espelhos Esfericos 
• 
• • 
• Refraseio da Luz • • 
• Velocidade da luz 
• 
•
0 meio transparente onde a luz se propaga corn a maior velocidade é o 
vacuo. A velocidade da luz no vacuo (c) é uma das constantes fisicas mais im- 
• portantes do Universo. Seu valor aproximado 6: 
• 
• 	c = 3 . 108 m/s (300.000 km/s) 	velocidade da luz no vacuo 
• 
• Cor da luz 
• Uma luz é denominada monocroma- 
• tica quando é constituida por ondas de 
uma unica frequencia, ou seja, de uma 
unica cor. Assim, podemos ter luz mono- 
• cromatica vermelha, azul, violeta, etc. 
•
Uma luz é denominada policromati-
ca quando é constituida por ondas de vá : 
• rias freqiiencias, ou seja, de varias cores. E 
• o caso da luz emitida pelas lampadas que 
iluminam nossas casas ou pelo Sol. 
• 
• Indice de refract-2o 
• Quando a luz se propaga no vacuo, a velocidade de propagacao é exata- 
• mente a mesma, qualquer que seja a cor, isto 6, qualquer que seja a sua 
freqiiencia. 
• Quando a luz se propaga num meio material, cada cor, isto e, cada freqiien- 
• cia, apresenta uma velocidade diferente, sendo entretando sempre menor que a 
velocidade da luz no vacuo. 
• Para uma dada cor de luz, cuja velocidade no vacuo é c (300.000 km/s) e 
• num meio material qualquer é v, define-se Indice de refracao (n) como a razdo 
•
entre c e v, ou seja: 
410 	n= c 
•
v 
• observe que n é adimensional, já que é a razao entre duas velocidades. 
• Capitulo 23 • Refracao da Luz 	243 • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
0 
• 
• 
0 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Quanto maior é o indice de refracao, menor é a velocidade da luz, isto é, a 
velocidade da luz é inversamente proporcional ao Indice de refracao. 
onde: 
v1 — velocidade da luz no meio 1 n2 
	
1 	 v2 — velocidade da luz no meio 2 
	
v2 	n1 	 — indice de refracao do meio 1 
n2 — indice de refracao do meio 2 
Se urn meio tem maior Indice de refracao que outro, dizemos que ele é mais 
refringente. 
Exemplo: a agua é mais refringente que o ar, pois n ag > na • 
A tabela a seguir fornece o indice de refracao de alguns meios opticos. 
Meio Optico indice de refracao 
gelo 1,31 
agua 1,33 
vidro 1,50 
diamante 2,42 
glicerina 1,47 
alcool efflico 1,36 
quartzo 1,54 
ar 1,0003 
vacuo 1,00 
Leis da refract-to 
Refracao é o fenomeno optic° que consiste na mudanca da velocidade da 
luz ao passar de urn meio transparente para outro. 
Considere os meios transparentes 1 e 2 separadospela superficie S. A esse 
conjunto dd-se o nome de dioptro. 
Admita que um raio de luz monocromatica incida nessa superficie. 
reta normal 
raio incidente`• 	 . 
0 
	,1-111 	
S 
0 
i: Angulo de incidencia 	 raio refratado 
r: Angulo de refracao 
244 	Capitulo 23 • Refracao da Luz 
2 3 lei ou Lei de Snell-Descartes 
Para urn dado dioptro e uma dada cor de luz, vale a relacao: 
sen i 	n 2 
sen r 	n 1 
ou n 1 . sen i = n 2 . sen r 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
l a lei: 0 raio incidente, a reta normal e o raio refratado sac) coplanares. 
Ao passar de um meio menos refringente para urn mais refringente, o raio 
de luz se aproxima da reta normal: 
Ao passar de urn meio mais refringente para um menos refringente, o raio 
de luz se afasta da reta normal: 
vidro 
ar 
r 
Se o angulo de incidencia for zero, isto e, se o raio de luz se propagar 
sobre a reta normal, havera refracao (mudanca de velocidade) sem haver des-
vio na trajetOria. 
ar 
L. i = 0 ° = r = 0° 
Capitulo 23 • Refracao da Luz 	245 
nag > nar 	r < 
nar < nvidro = r > 
agua 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
•
0
.
•
•
•
•
 
• • 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
 
ar 
 
sc 
 
 
 
 
 
 
agua 
 
 
 
moeda 
	
moeda 
VIOLETA 
--ANIL 
AZUL 
----VERDE 
AMARELO 
ALARANJADO 
VERMELHO 
LUZ 
BRANCA 
0 fato de uma colher ou lapis parcial-
mente mergulhados em agua parecerem 
quebrados ou o truque da moeda coin a 
xicara sac) fenomenos explicados pela re-
fracao da luz. 
Em 1, o observador nao con-
segue ver a moeda. 
Em 2, corn agua na xicara a 
trajetoria da luz sofre um desvio e 
o observador passa a ver a moeda 
sem mudar de posicao. 
Prisma e dispersao da luz 
A luz branca é policromatica, isto é, ela é formada pela superposicao de 
sete cores principais. 
Quando a luz branca incide numa das faces de um prisma optico, ocorre a 
dispersao da luz nas sete cores, como mostra a figura a seguir. 
Nola: 
Para guardar a sequencia de cores, escreva apenas as letras iniciais: 
VAAVAAV. 
A explicacdo para o fenomeno esta no fato de que o indice de refracdo nao 
depende apenas do meio transparente, mas tambem da radiacao monocromati-
ca considerada. 
246 	Capffulo 23 • Refracao do Luz 
• • • 
Um exemplo interessante da disper- 
• sao da luz branca é o arco-iris. • 
• 
S 
• 
• 
• 
EXEMPT. • 
• 
• • • • 
•
As = 1,4 . 10 11 m 
•
agua. 
• n= 	c = v = c 
• 
• V A g 	=- 
c 	3 x 108 m/s 
= 2,26 x 108 m/s 	vAg = 2,26.108 m/ s 
nAg 	1,33 
• 
ilustra a figura a seguir. Qual meio é mais refringente? 
• 
• • r>i = ny < 
•
x é mais refringente 
I r 	\ 
Capitulo 23 • Refracao da Luz 	247 
Qual deve ser a distancia aproximada entre a Terra e o 
demora cerca de 8 minutos para chegar a Terra? 
As = v . At 
v = c = 3. 108 m/s 
At = 8 min = 8 x 60 = 480 s 
As = 3 x 10 8 x 480 = 1,4 x 10 8 m 
Sol, se a luz do Sol 
Consultando a tabela da pagina 244, determine a velocidade da luz na 
Urn raio de luz monocromatica passa do meio X para o meio Y, conforme 
• 
• 
• 
• 
✓ Um raio de luz monocromati-
ca incide na superficie de se-
paracao entre o ar e o vidro, 
conforme indica a figura ao 
lado. Qual é o indice de refra-
cao do vidro? 
Dados nar = 1 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
S 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
S 
• 
• • 
i = 60° 
ar 
vidro 
30° 
sen 60° = 	 
2 
sen 30° = 
2 
sen i 	n2 	sen 60° 	nvidro 
sen r 	n1 	sen 30° 	nar 
nvidro = 
2 
/Determine o seno do angulo 
de refracdo (sen r) para caso 
ilustrado ao lado. 
Dados nar = 1 
sen 30° = 1 
2 
sen i 	n, 	sen 30° 	nar e 	 nar . sen r = nagua . sen 30° 
sen r sen r 	n, 1 	 agua 
1 . sen r = — 
2 4, 	
sen r = 2 
3 
	
3 
EXE RCICIOS 
1 A velocidade da luz num meio A é VA = 2 . 108 m/s. Quanto vale n A ? 
, 2 Qual é a velocidade da luz na agua, cujo indice de refracao e — . 
3 (MACK-SP) A velocidade de propagacao da luz em determinado liquid° 
é 80% daquela verificada no vacuo. 0 indice de refracao desse liquid° é: 
a) 1,50 b) 1,25 c) 1,00 d) 0,80 e) 0,20 
248 	Capftulo 23 • Refracao do Luz 
2 
	nvidro 
1 	1 
r = 
4 
n, agua 	3 
ar 
agua 
i = 30° 
• 
• Qual dos meios da figura abaixo é mais refringente, A ou B? 
• 
• 
r • 
• A 
• • • 
No exercicio anterior, em qual dos meios a velocidade da luz é maior? • 
Chama-se ano-luz a medida da distancia percorrida pela luz no vacuo 
• durante 1 ano. Determine essa distancia em quilometros. 
• Por que uma piscina cheia de agua parece mais rasa que quando vazia? 
• Determine o, Angulo de 
• refracao para o caso ilus- 
•
trado ao lado. 
• Dados n„ = 1 	ar 
•
n \Tic:1r° = VT 	 vidro 
•
sen 60° = 	 
2 
• 
Um raio de luz, propagando-se no ar, atinge uma superficie corn Angulo 
• de 45°. Se o meio para o qual a luz passa tem indice de refracao igual a 
111 	determine o angulo de refracao correspondente. 
0 disco de Newton é urn dispositivo como esta ilustrado na figura. Quan- 
do se poe o disco em rotacdo, ele se apresenta branco. Por que isso ocorre? 
INUMMUNIUMEMIIIMMISSAIEMMINIAMEMOMMIIIIMIRMNIMOINIMIN10444M.414N 
Capitulo 23 ♦ Refracao do Luz 	249 
• • • • • • • 411 • • • 111 
250 	Capitulo 23 • Refracao da Luz 
• 
• 
• 
• 
S 
• • 
• 
• 
• • 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
410 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Angulo limite e reflexive total 
Considere o dioptro constituido pelos meios 	e 0, sendo n2 > n1 . 
Variando o Angulo i, verifica-se que o Angulo de refracao r tambem varia, 
isto é, a medida que aumenta o valor de i, aumenta o valor de r. 
Quando i = 90°, ha em correspondencia urn valor de r que é o maior valor 
possivel para o :Angulo de refracao, denominado Angulo limite de refracao. (L). 
Invertendo-se o sentido de incidencia da luz, teremos: 
n2 > nl 
ar Fibra Optica 
ar 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Para urn angulo de incidencia maior que o angulo limite de incidencia 
corresponderia urn angulo de refracao maior que 90°, isto é, o raio volta para o 
meio ocorrendo o fenomeno chamado reflexao total. 
 
Reflexao total 
 
Aplicando a lei de Snell-Descartes voce pode determinar o valor do angulo 
limite do dioptro em funcao do indice de refracao dos meios constituintes do 
mesmo. 
Assim, para a luz sofrer reflexao total, duas condicoes sdo necessarias e 
suficientes: 
• a luz deve estar se propagando no meio mais refringente; 
• a luz deve incidir corn urn angulo maior que o angulo limite do dioptro. 
Urn exemplo de aplicacao da reflexao total é o das fibras opticas, usadas na 
tecnologia moderna. 
Se urn raio de luz penetra por uma extremidade de uma fibra Optica e 
emerge pela outra extremidade, apos sofrer diversas reflexeies totais. 
Capnulo 23 • Refracdo da Luz 	251 
n2 seni=n1 senr 
n2 sen L = n 1 sen 90" 
n2 sen L = n 1 . 1 
	
sen L = n 	= nmenor 
	
n2 	nmajor 
• • 
S 
• • 
• • • 
• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• • 
EXEMPLO 
✓ Um raio de luz monocromatica propaga-se num vidro de indice de refra-
cao igual a A/2 e incide no dioptro piano vidro-ar sob angulo de inciden-
cia igual a 60°. Descreva o fenomeno que ocorre. 
nmen„ 	n, = 1 = 
sen L 	, 	 L = 45° nmaior 	 
n d„ VT. 	2 
Corn o angulo de incidencia (60°) é maior que o angulo limite (45°), e a 
luz esta se propagando no meio mais refringente, conclui-se que ocorre-
rd reflexao total. 
 
vidro 
 
a r 
EXERCICIOS 
(PUC-SP) E dada a tabela: 
Material indice de refracao absoluto 
Gelo 1,309 
Quartzo 1,544 
Diamante 2,417 
Rutilo 2,903 
E possivel observar reflexao total corn luz incidindo do: 
a) gelo para o quartzo. 
b) gelo para o diamante. 
c) quartzo para o rutilo. 
d) rutilo para o quartzo. 
e) gelo para o rutilo. 
12 Tem-se dois meios: vidro, de indice de refracao 1,5, e agua, de indice de 
refracao 
3 —
4
. Determine o angulo limite desse parde meios. 
252 	Capitulo 23 ♦ Refracao da Luz 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
Lentes Esfericas e 
Agift" Aplicasoes 
Definicao e classificactio 
Lente esterica e todo meio transparente I imitado por duas Laces estericas 
ou por uma face esferica e outra plana. 
0 nome das lentes esta ligado a forma de suas faces e de seus bordos, como 
mostra a figura. 
lentes de bordos finos 
	
lentes de bordos grossos 
biconvexa 	piano- 	concavo 
	
biconcava 	piano- 	convexo 
convexa convexa 
	
concava concava 
Observe que nas lentes de bordos finos a espessura diminui do centro 
para as bordas, enquanto que nas lentes de bordos grossos a espessura aumen-
ta do centro para os bordos. 
Comportamento optico das lentes 
Geralmente, as lentes sao feitas de vidro ou acrilico e est -do imersas no ar, 
ou seja, o indice de refracao do material de que e feita a lente e maior que o 
indice de refracao do meio onde ela esti imersa. Nestas condiciies, as lentes de 
bordos finos sao convergentes e as lentes de bordos grossos sao divergentes. 
Assim, sendo n2 > 
 
n 2 > n 1 
 
convergente 
	
divergente 
Capftulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 	253 
 
 
eixo 6ptico principal 
 
 
 
 
divergente 
• 
• • 
• 
• • • • 
• 
• 
• • 
• • • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Em casos muito raros da lente ser feita de um material menos refringente 
que o meio externo o comportamento optic° é invertido. 
Assim, sendo n, < n 1 : 
n 2 < n 1 
	 0 
convergente 
Lentes esfericas delgadas 
Devemos ressaltar que nos limitaremos a estudar apenas as lentes esfericas 
delgadas, isto é, aquelas cuja espessura é desprezivel em relacao as demais di-
mensOes da lente e sao representadas como mostram os esquemas a seguir: 
Para simplificar a representacao, simbolizamos as lentes convergentes (de 
bordos finos ou grossos) atraves de urn segmento de reta corn setas nas extre-
midades, sugerindo bordos finos. 
convergente 
Semelhantemente, simbolizamos as lentes divergentes usando segmentos 
de reta cujos extremos sac) setas invertidas, sugerindo bordos grossos. 
divergente 
Ao representarmos as lentes por um segmento de reta estamos desprezan-
do sua espessura, ou seja, estamos considerando lentes finas, tambem chamadas 
de lentes delgadas. 
254 	Capitol° 24 • Lentes Esfericas e Aplicacaes 
► 	 
• divergente 
foco imagem virtual 
foco imagem real 
convergente 
• 
• • 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
S 
• 
• • 
• 
• 
• 
Feces das lentes 
Se urn feixe de raios incidir paralelamente ao eixo 6ptico principal de uma 
lente, o encontro dos raios ou de seus prolongamentos, ao emergirem da lente, 
sera chamado de foco imagem, o qual podera ser real ou virtual. 
Como a luz pode incidir em qualquer uma das duas faces da lente, ela ad-
mite dois focos simetricos em relacao ao centro optic() da lente: um é o foco 
objeto (F0) e o outro é o foco imagem (F,). 
F o 
A 
luz 
F i 
• 
F i 
• 
luz 
F o 
V 
centro 
optic° 
• 
centro 
Optico 
Capaulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 	255 
f 	f f 	f 
4 	11 4-Oo. I f 	f 
• 
F 	 F, 
• • 
b) Todo raio que incide paralelo ao eixo principal emerge, pelo foco imagem. 
T 
F o Fo 
Fo Fo 
• 
256 	Capftulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicackies 
Notas 
I - Denomina-se foco objeto (F o) ao ponto do eixo principal onde urn raio 
luminoso, ao incidir na lente, emerge paralelo ao eixo principal. 
eixo principal 
II - A distancia de F o (ou F 1) ao centro optic° da lente é denominado distan-
cia focal (f) da lente. 
III - Os pontos que estao a uma distancia do centro optico igual ao dobro da 
distancia focal (2f) sao chamados de pontos anti principais objeto (A0) e ima-
gem (Ai). 
• 
	110- I u z 
Ao 	Fo 
14-01-14-0- 
f 	f 
Constructs° geometric° de imagens 
Para se construir geometricamente as imagens, é conveniente usar dois dos 
quatro raios notaveis a seguir: 
a) Todo raio que incide pelo centro 6ptico nao sofre desvio. • 
Fo 	 F, 	 F, 	 F o 
c) Todo raio que incide pelo foco objeto emerge paralelo ao eixo principal. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
I 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
eixo principal 
 
 
	lo• l uz 
F 	A, 	 A, F o 	A o 
• • 
F, 	A, 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
d) Todo raio que incide pelo ponto anti-principal objeto emerge pelo ponto 
anti-principal imagem. 
F a A. 
A° F. 
• 
Qualquer ponto objeto para a lente pode ter sua imagem conjugada pela 
mesma usando apenas dois dos raios notaveis. Isso evidentemente acontece 
porque, embora existam infinitos raios de luz incidindo pelo ponto objeto, bas-
tam apenas dois para se determinar urn ponto, como se pode observar nos 
exemplos a seguir: 
P = ponto objeto real 
	
Q = ponto objeto real 
P' = ponto imagem real 
	
Q' = ponto imagem virtual 
Se o objeto for extenso e frontal a lente, tendo urn de seus pontos extremos 
sobre o eixo Optic°, basta determinar o ponto imagem correspondente ao outro 
extremo para se ter a imagem inteira, pois ela tambem devera ser frontal a lente 
corn urn dos pontos extremos sobre o eixo optic°. 
Construa a imagem formada pela lente divergente abaixo para um obje-
to real colocado perpendicularmente ao eixo principal. 
0 I 
• 
• 
Observacao: 
Para qualquer posicao de urn 
objeto real, a lente divergente 
conjuga uma imagem virtual, di-
reta e menor que o objeto. 
F, 
• 
F a 
Capftulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 	257 
A, 	F„ 
Imagem fimpropria 
e) objeto real alem do objeto: real 
Imagem { invertida 
menor que o objeto 
✓Construa as imagens formadas pela lente convergente nos casos abaixo: 
a) objeto real entre o foco e o centro optico: 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
S 
• 
• 
real 
Imagem invertida 	 • 
, maior que o objeto 
• 
• 
• 
virtual • 
direta 	 • maior que o objeto 
• 
(esse tipo de imagem ocorre nas lentes de aumento ou lupas) 
b) objeto real sobre o foco: 
c)objeto real entre o ponto antiprincipal e o foco: 
A i 
A. 
d) objeto real no ponto antiprincipal: 
A i 
258 	Capitulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 
• 
• 
I 
real 	 • 
Imagem invertida 
{ 
do mesmo tamanho 	
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
a) b) 	A 	c) A 
•	 
A. 
•	 
Ao 	I • • F i 	A i • • A. F. • • IF ; 	A • • F i 	A i 
• • 
F. A. 
h) 	 i) 
• 
• • 
A ; 	F i 
• • 
A i 	F i 
 
• 
F. A. 
 
EXERCICIOS 
1 Em cada caso, desenhe o raio de luz que emerge da lente. 
• • • • 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • • 
• • 
• 
2 Explique por que é possivel acender urn fOsforo usando a lente conver-
gente da figura. 
Cap?Win 24 • Lentes Esforicas a Aplicasaes 	259 
 
0 
 
	S 
 
 
A ° 	F a F i 	A i 
 
A 
• • 
• 
S • • 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • • • 
• • • 
• • 
3 Desenhe uma lente biconvexa e uma concavo-convexa. 0 que elas apre-
sentam em comum? 
4 Qual é a diferenca entre foco objeto e foco imagem? Esquematize. 
5 Em que posicao do eixo principal de uma lente convergente deve ser colo-
cado urn objeto real para que a imagem resulte maior e virtual? 
6 Desenhe a imagem do objeto real nos casos abaixo. 
a) 	 b) 	 • 
7 (PUCC-SP) A figura representa urn objeto real AB diante de uma lente 
delgada convergente L de focos F o (foco objeto) e F i (foco imagem): 
Qual dos raios de luz, representados partindo de A, passa por Fi depois 
de atravessar a lente? 
a) I 	b) II 	c) III 	d) IV 	e) V 
260 	Capitulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 
• 
• 
Equasoes das lentes esfericas 
• Numa lente convergente ou divergente, definem-se: A 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• • 
• 
• 
411 	esfericos. 
• 
• 
p / 
1 	1 	1 
— + — = —
p 	p1 	f 
As equacoes que relacionam essas medidas sao: 
Observacao: Note que as equagoes sao asmesmas definidas para espelhos 
eJ 
elemento real 	---1 abscissa positiva (>0) 
elemento virtual 
- 
abscissa negativa (<0) 
imagem direta 	—1 — positivo 	> 0) 
imagem invertida 
▪ 
—
o 
negativo I o < 
F 0 
V 
F i 
equacao de conjugacao ou dos pontos conjugados 
equacao do aumento linear transversal 
Convencao de sinais 
I 
p , 
ordenadas 
0: altura do objeto 
is altura da imagem 
abscissas 
p: distancia do objeto a lente 
p': distancia da imagem a lente 
f: distancia focal 
Copftulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 	261 
• 
EXEMPLOS 	 • 
✓Urn objeto real de 5 cm de altura esta colocado diante de uma lente con- • 
vergente de distancia focal igual a 8 cm. Calcule a posicao e a natureza da 
imagem, sabendo-se que a distancia do objeto a lente é de 12 cm. 	• 
o = 5 cm 
f = 8 cm 
p =12 cm 	 • 
= ? 
1
+ 1 = 1 	1 + 1 = 1 	 • 
P 	p' 	f 	12 	p' 	8 II 
1 	1 	1 	1 	3 – 2 	1 = • 
• 
• 
• 
• 
p' 	8 	12 	p' 	24 	24 
p' = 24 cm 	p' > 0 = imagem real 
✓Ern relacao ao exemplo anterior, determine a altura da imagem e diga se 
é direta ou invertida. 
i 	p' 	i 	24 	 410 	 = 	 = 	i = –10 cm 
o 	p 	5 	12 
	
\ 	 • 
imagem invertida • 
✓Urn objeto real de 6cm de altura é colocado a 30cm de uma lente conver- 	• 
gente de distancia focal igual a 15cm. Determine a posicao da imagem. 
41 
o= 6cm 
f = 30 cm 	 • 
p =15 cm 
• 
13 ' = ? 
41111 
1 	1 = 1 	1 + 1 = 1 • 
p 	p' 	f 	30 	p' 	15 • 
	
1 1 	1 	1 	2 – 1 	1 — = 	 = 	= 	p' = 30 cm (real) 	• 
p' 	15 	30 	p' 	30 	30 
• 
✓Ainda com relacao ao exemplo anterior, determine a altura da imagem. 	• 
i 	p' , i 	 • — = – 	= — = 30 	 i = –12 cm 
o 	p 	6 	15 	 • 
(invertida) • 
262 	Capftulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacoes 	 • 
• 
• 
• 
•
EXERCICIOS 
•
8 Uma lente convergente fornece uma imagem real a 60 cm para urn objeto 
real situado a 20 cm da lente. Determine a distancia focal da lente. 
• 9 Uma lente biconvexa de distancia focal igual a 4 cm fornece uma imagem 
• real a uma distancia de 6 cm de seu centro. Determine a posicao do objeto 
•
que origina essa imagem. 
• 
11 (UFMA) De um objeto real, uma lente esferica produz uma imagem real, 
• distante 30 cm da lente. Sabendo que o objeto encontra-se a 50 cm de sua 
•
imagem, a distancia focal da lente é de: 
a) 80 cm 	b) 24 cm 	c) 40 cm 	d) 12 cm 
• 
•
12 (UFRS) Parte de urn feixe de luz de raios paralelos que incide sobre uma 
lente convergente delgada e refratada e converge para um ponto localiza- 
• do a 30 cm da lente. Qual a distancia focal da lente? 
• a) 15 cm 	b) —15 cm 	c) 30 cm 	d) 60 cm 	e) —60 cm 
13 (UFES) Uma lupa é construida corn uma lente convergente de 3 cm de 
distancia focal. Para que um observador veja urn objeto ampliado de um 
• fator 3, a distancia entre a lupa e o objeto deve ser, em centimetros: 
• a) 1,5 	b) 2,0 	c) 3,0 	d) 6,0 	e) 25,0 
• 14 Urn objeto de 6 cm de altura esta colocado a 12 cm de uma lente conver- 
• gente de distancia focal igual a 4 cm. Determinar: 
•
a) a posicao da imagem; 
b) o tamanho da imagem; 
• c) o aumento linear transversal. 
• 
Vergencia 
• o inverso da distancia focal de uma lente chama-se vergencia ou conver- 
• gencia C da lente. 
• c. 1 
• 
• 
•
A unidade de vergencia chama-se dioptria (di). 
• 1 di = 
 1 = 1 m-1 
•
metro 
• Capffulo 24 ♦ Lentes Esfericas e Aplicacoes 	263 
• 
• 
• 10 No exercicio anterior, se a altura do objeto e de 20 cm, qual sera altura da 
imagem? 
A 
B y 
F i 	 F. 
 
5 cm 	5 cnn 
A 
 
Para a 
positiva: 
f = 20 cm = 0,20 m 
1 	 C= 	1 — = 	m 
f 	0,20 
lente A, que é convergente, o foco é real e assim a distancia focal é 
C = 5,0 di 
• 
• De acordo com a convencao de sinais estabelecida pode-se concluir: 
lente convergente: f e C positivos; 	 • 
lente divergente: f e C negativos. 	 • 
Obs; A dioptria em geral é conhecida como "grau" da lente. 
• 
411 
• 
✓Quais sao as vergencias das lentes A e B esquematizadas nas figuras? 	• 
S 
S 
• 
• 
• 
• 
Para a lente B, que é divergente, o foco é virtual e assim a distancia focal é 	• 
• 
• 
• 
• 
EXERCICIOS 	
• 
 • 
15 Calcular o mimero de dioptrias para as lentes a seguir, dadas suas distan- 
cias focais: 
	
• 
a)f= 2 m 	b)f= 0,5 m 	c)f= 0,2 m 	d)f=-10 cm 	• 
• 
Aplicapies dos lentes esfericas. Correstio dos 	111 
defeitos de visite 	 • 
As lentes sae, usadas frequentemente em todos os tipos de instrumentos 	• 
opticos: maquina fotografica, projetor, lupa, microscopio, telescopio, etc. 
Allem disso, muitas pessoas sao obrigadas a usar oculos ou lentes de conta- 	• 
to. Que tipos de lentes sac, usadas para a correcao dos defeitos de visao? 	• 
264 	Capitulo 24 • Lentos Esfericas Aplicacaes 	 • 
EXEMPLO 
negativa: 
f = -5,0 cm = -0,050 m 
C= 1 — = 1m 
f 	-0,050 
C = -20 di 
S 
Uma especie de lente biconvexa (cristalino) outros meios transparentes 
(c6rnea, humor aquoso e humor vitreo) convergem os raios de luz sobre uma 
membrana corn celulas fotossensiveis (retina), onde se formam as imagens. 
GLOBO OCULAR 
cristalino 
cornea 
humor aquoso 
iris 
retina 
ponto cego 
humor vitreo 
miopia 
1110 
Na realidade, depende do defeito. 0 globo ocular é, basicamente, do ponto 
• de vista optico, urn sistema convergente. 
• Urn oriffcio de abertura variavel (pupila) controla a intensidade de luz que penetra no olho. • 
Uma pessoa corn visa() normal ye coin nitidez os objetos que estao razoa-
velmente prOximos (em torno de 25 cm) e os que estao bem afastados, gracas 
capacidade que o cristalino possui de mudar de forma (sob a acao dos mils-
culos ciliares) e focalizar os raios exatamente sobre a retina. 
visdo de longe 
visa° de perto 
Uma pessoa que tem miopia possui um globo ocular muito longo e por 
mais que o cristalino se estreite os raios de luz que vem de objetos distantes nao 
convergem exatamente sobre a retina, formando a imagem antes da mesma. 
No entanto, e possivel ver bem os objetos proximos. 
A miopia é corrigida usando-se lentes divergentes. 
visa° mfope 
miope corn lente 
divergente 
Capftulo 24 • Lentes Estericas e Aplicacoes 	265 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
visa° normal 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
40 
• 
• 
• 
• 
Uma pessoa que tern hipermetropia possui urn globo ocular muito curto e 
por mais que o cristalino se alargue sua capacidade de refracao nao é suficiente 
para que os raios de luz que vem de objetos proximos convirjam sobre a retina, 
formando-se a imagem depois da mesma. Entretanto, o hipermetrope ye bem 
os objetos mais distantes. 
A hipermetropia é corrigida atraves de lentes convergentes. 
hipermetropia 
hipermetrope corn 
lente divergente 
Outro defeito comum é o astigmatismo, causado geralmente pela curvatu-
ra imperfeita da cornea. Devido a falta de simetria, os raios de luz que pene-
tram no olho podem ser refratados em maior grau num piano horizontal que 
num vertical, por exemplo, produzindo uma distorcao na imagem. Por outro 
lado, quando a pessoa envelhece, o cristalino perde boa parte de sua flexibili-
dade e os musculos ciliares tern cada vez mais dificuldade para mudar sua for-
ma, afetando principalmente a visao de perto: é a presbiopia. 
Outro defeito relacionado corn a idade é a catarata, causada pela opacida-
de progressiva do cristalino, que causa urn embacamento da visao. Ja a miopia 
e hipermetropia podem aparecer em qualquer idade e sao causados principal-
mente pela incapacidade da cornea e do cristalino de focalizarem as imagens 
exatamente sobre a retina. 
EXEMPLOS 
✓Certa pessoa so consegue ver nitidamente colocando os objetos numa 
distancia maxima de 50 cm e minima de 5,0 cm. Pergunta-se: 
a) Que representam as distancias citadas? Elas sao normais para qual-
quer pessoa? 
b) Voce sugeriria algum tipo de lente para melhorar a visao dessa pes-
soa? Qual e corn quantos "graus"? 
a) 5,0 cm é a distancia do ponto proximo e 50 cm a distancia do ponto 
remoto dessa pessoa. Tais medidasnao sao proprias de uma visao nor-
mal, em que o minimo esta em 25 cm e o maximo esta no infinito. 
b) Sim, lentes divergentes de distancia focal igual a distancia do ponto 
remoto da pessoa, que é miope. Assim, f = -50 cm = -050 m e C = 1 
1 	= 2,0 di. 
-0,50 
Portanto, ele deve usar lente de -2,0 "graus". 
266 	Capitulo 24 • Lentes Esfericas e Aplicacaes 
 
visao 
hipermetrope 
Quem ve normalmente todas as cores le os numeros 29, 45, nada e 26 nos 
• 
EXERCICIOS 
16 Qual o defeito de visao de uma pessoa: 
• a) cujo ponto remoto esti a 50 cm de seu olho? 
40 	b) cujo ponto proximo esta a 80 cm de seu olho? 
c) que ao chegar aos 60 anos precisa de oculos para ver de perto? 
• d) cujo globo ocular é mais longo que o normal? 
• e) cujo cristalino forma a imagem atras da retina quando observa objetos 
no infinito? 
• f) cuja cornea tern esfericidade imperfeita? 
• g) cujo cristalino tornou-se opaco? 
• 17 Por que o miope nao enxerga bem de longe? 
• 18 Que tipo de lente é o cristalino? 
• 
Complemento 
Na retina existem celulas fotossensiveis que permitem uma visa() perfeita em 
• preto e branco (devido aos bastonetes) ou em cores (devido aos cones). 
• Entretanto, algumas pessoas confundem as cores ou mesmo nab percebem 
•
nenhuma cor, devido a uma insuficiencia do numero de cones (daltonismo). 
No quadro a seguir, voce podera verificar se a sua visa() para as cores é ou 
• nao perfeita. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• circulos A, B, C e D, respectivamente. 
•
Quem é daltonico para o vermelho e o verde le 70 em A, 5 em C e nada em 
B ou D. 
• Quem nao consegue ler nenhum niimero em qualquer um dos circulos é 
•
daltonico para todas as cores. 
• 	 Capitulo 24 ♦ Lentes Esfericas e Aplicacoes 	267 
• 
corda 	I 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
)1 -;) Ondas 
0 que é uma onda? 
Numa corda esticada horizontalmente, produza em uma das extremidades 
urn movimento rapid° para cima e retorne a posicao inicial, mantendo a corda 
esticada. 
Ao provocar essa perturbacao, voce transfere a extremidade da corda uma 
certa quantidade de energia que se transmite de ponto para ponto da corda. 
Ao ser atingido pela perturbacao, um ponto da corda que estava em repou-
so passa a se movimentar, adquirindo energia cinetica e, tambern, energia po-
tencial, devido a deformacao sofrida pela corda. Apos a passagem da onda o 
ponto da corda volta a posicao de equilibrio. Portanto: 
A onda transporta energia sem transportar materia. 
Ao sacudir a corda, uma onda se 
	
As ondas circulares tern origem 
propaga de urn extremo ao outro. 	 no ponto onde a pedra caiu. 
268 	Capftulo 25 • Ondas 
campo eletrico 
campo magnetico 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
Natureza das ondas 
Uma onda mecanica é produzida por abalos mecanicos, que se propagam 
atraves das particulas que constituem o meio. 
Sao exemplos de ondas mecanicas: ondas em cordas, ondas na superficie 
da agua ondas sonoras, abalos sismicos (ondas de choque em terremotos), etc. 
Uma onda eletromagnetica é produzida por oscilacoes de cargas eletricas, 
transportando energia sem necessidade de um suporte material. Por esse moti-
vo as ondas eletromagneticas podem se propagar ate no vacuo. 
Sao exemplos de ondas eletromagneticas a luz, as ondas de radio e de tele-
visao, os raios-X, os raios y, etc. 
Dimensiso das ondas 
Ondas que se propagam numa imica direcao, como ondas em cordas, sao 
consideradas unidimensionais. 
Ondas que se propagam num plano, como as ondas em superficies liqui-
das, sao consideradas bidimensionais. 
Ondas que se propagam pelo espaco, em todas as direcoes, sao considera-
das tridimensionais, como é o caso do som e da luz. 
Cap?Fula 25 • Ondas 	269 
em repouso 
oscilando para cima 
onda • 
oscilando para baixo 
cornpress5o 
oscilando para frente 
Ondas longitudinais e transversals 
Sacudindo a corda para cima e 
para baixo (ou da direita para a es-
querda), as ondas avancam para a 
frente, numa direcao perpendicular 
ao movimento da mao. Nesse caso, 
dizemos que se produziu uma onda 
transversal. 
Ex: luz e todas as demais ondas 
eletromagneticas. 
Empurrando e puxando a mola, 
podemos produzir ondas de corn-
pressio (onde a mola fica mais corn-
prida) e rarefacao (onde as espirais 
da mola ficam mais afastadas). 
Observe que essas ondas de 
compressao e rarefacao viajam na 
mesma direcao que o movimento da 
mao. 
Nesse caso, dizemos que se pro-
duziu uma onda longitudinal. 
Ex: som. 
rarefacao 	 onda 
IP IP ••• • • • • • 
oscilando para tras 
Existem, ainda, as ondas mistas, cujo movimento de vibracao admite corn-
ponentes de propagacao e na direcao perpendicular a esta. Desse modo, po-
dem ser entendidas como uma composicao de duas ondas: uma longitudinal e 
outra transversal. As ondas produzidas em superficies de liquidos sao exem-
plos de ondas mistas. 
270 Caphla 25 • Ondas 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
MHS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Ondas periodicas 
Se perturbacOes sucessivas forem repetidas em intervalos de tempo iguais, 
estabeleceremos uma onda periOdica. Urn caso importante ocorre quando a 
fonte de ondas, ou seja, a responsavel pela producdo das perturbacOes, é um 
oscilador harmonic° simples, que faz corn que todos os pontos atingidos pela 
onda vibrem em movimento harmonico simples (M.H.S.), isto e, urn movi-
mento retilineo de vai e vem. 
Mantendo-se continuamente o movimento harmonic° simples na extremi-
dade da corda esticada, produz-se uma sequencia de ondas periodicas ("trem 
de ondas") que se propaga ao longo da corda corn velocidade constante V. 
Enquanto isso cada ponto da corda oscila corn uma amplitude (a) entre o ponto 
de equillbrio e o ponto de maxim° (crista da onda) e de minimo (vale da onda). 
ondas periodicas numa corda 
vale 	 vale 
Nessas condicoes, define-se comprimento de onda (A) como distancia en-
tre duas cristas ou dois vales consecutivos. A distancia entre uma crista e um 
vale consecutivos é igual a meio comprimento de onda (.1/2). 
Numa onda perindica o intervalo de tempo decorrido numa oscilacdo 
completa é den9minado periodo (T) da onda, sendo medido em segundo(s). 
0 rillmero de oscilacoes por unidade de tempo, que corresponde ao inver-
so do periodo, e denominado frequencia (f) da onda, sendo medida em hertz 
(Hz), que corresponde ao inverso do segundo. 
c= 1 
	
1 Hz = 1— = 
T 
Capitol° 25 • Ondas 	271 
A velocidade de propagacao v de uma onda periodica, considerada cons-
tante, pode ser calculada pela expressao conhecida do movimento uniforme: 
As v = — onde 
At 
Os = 2 
{At = T 
Assim: 
ou 	v=A.f 
0 osciloscOpio possibilita saber a 
frequencia de de uma onda. 
Todas as ondas eletromagneticas, independentemente da frequencia, pro-
pagam-se no vacuo corn a mesma velocidade: c = 3 . 10 8 m/s. 
Nos meios materiais, a velocidade de propagacao v de uma onda eletro-
magnetica é menor que a de propagacao no vacuo, e seu valor, como vimos no 
estudo da Optica, é dado por: 
v = — 
n 
em que n é o indice de refracao absoluto, cujo valor depende, alem do pro-
prio meio material considerado, da frequencia da onda eletromagnetica. 
As ondas mecanicas nao se propagam no vacuo. A velocidade de propaga-
cao de uma onda mecanica depende de suas prOprias caracteristicas e das do 
meio material. Por exemplo, uma onda na superficie de urn liquido possui ve-
locidade de propagacao que depende de sua frequencia e da profundidade do 
liquid°. As ondas sonoras possuem em geral maior velocidade nos solidos que 
nos liquidos, e nos liquidos maior que nos gases. 
272 	Capftulo 25 • Ondas 
A v = — 
T 
• • • • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
S 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
40 cm 
S 
• 
•
EXEMPLOS 
• 
• 
	✓Uma onda tern frequenciade 5 Hz e propaga-se corn velocidade de 
Dados: f = 5 Hz 
100 m/s. Qual é o seu comprimento de onda? 
v= 100 m/s 
• 	v = A . f 
100 = A . 5 = 	A = 20 m • 
• 	v'Uma onda tern freqiiencia de 10 Hz de comprimento de onda de 4 cm. 
Qual o seu period() e sua velocidade? 
Dados: f = 10 Hz • 
A = 4 cm • 
• 
• 
• 
O 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 	a) a = 2'0 = 1,0 cm 
2 • 
• 
• 
•
c)v=A.f 
160 cm/s = 80 cm . f 	f = 2,0 Hz 
• 
• 
• 
• 
	
Capftulo 25 • Ondas 273 
• 
V' A figura representa, num determinado instante, uma onda que se propa-
ga numa corda com velocidade de 160 cm/s. 
a = 1,0 cm 
b) A = 40 m 	A = 80 cm 
2 
	
, 1 	1 = — = — 
	
f 	2 
T = 0,5 s 
1 T= 	1 = — 	T = 0,1 s 
f 	10 
V=A.f= 4 x 10 = 	v=40 cm/s 
Determine para essa onda: 
a) a amplitude; 
b) o comprimento da onda; 
c) a frequencia e o periodo. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
0 
• 
0 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
EXERCICIOS 
1 0 ouvido humano percebe sons compreendidos numa faixa de frequen-
cias que vao de 20 Hz a 20.000 Hz. Qual a faixa de comprimentos de on-
das associados ao intervalo citado se a velocidade do som no ar for igual 
a 340 m/s? 
2 Na superficie de um liquido sao geradas dez ondas por segundo. Saben-
do que a distancia entre duas cristas consecutivas e de 2,5 cm, determinar 
a velocidade e o periodo das ondas. 
3 (UFPR) Uma onda tern velocidade de 150 m/s e comprimento igual a 
125 cm. Sua freqiiencia é de: 
a) 12,5 Hz 	b) 75 Hz 	c) 80 Hz 	d) 100 Hz 	e) 120 Hz 
4 (Santa Casa - SP) Qual dos seguintes tipos de onda nao é onda eletromag-
netica? 
a) Infravermelho. 
b) Radiacao gama. 
c) Ondas luminosas. 
d) Ondas sonoras. 
e) Ondas de radio. 
5 (Vunesp) Isaac Newton demonstrou, mesmo sem considerar o modelo 
ondulatorio, que a luz do Sol, que vemos branca, é o resultado da compo-
sicao adequada das diferentes cores. Considerando hoje o carater 
ondulatorio da luz, podemos assegurar que ondas de luz corresponden-
tes as diferentes cores terao sempre, no vacuo: 
a) o mesmo comprimento de onda. 
b) a mesma frequencia. 
c) o mesmo periodo. 
d) a mesma amplitude. 
e) a mesma velocidade. 
6 (PUC-RS) A lamina de uma campainha eletrica imprime a uma corda esti-
cava 60 vibracties por segundo. 
campainha 
Se a velocidade de propagacao das ondas na corda for de 12 m/s, entao a 
distancia X, entre duas cristas sucessivas, em metros, sera de: 
a) 0,6 	b) 0,5 	c) 0,4 	d) 0,3 	e) 0,2 
274 	Cara)lo 25 • Ondas 
pulso 
incidente 
pulso 
incidente 
reflexao sem inversao reflexao corn inversao 
extremidade fixa 	 extremidade Iivre 
pulso 
refletido 
pulso 
refletido 
V 
agua 
X ' f' 
som 
ref ratado 
v = X f 
som incidente 
ar 
SOM 
v' > v 
X' > X 
f' = f 
V' < V 
X,' < X, 
f' = f 
Iuz incidente 
ar 
LUZ 
Iuz 
ref ratada 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
Fenomenos ondulatorios 
Os principais fenomenos ondulatorios sao: 
I - Reflexao - consiste na onda incidir numa superficie e retornar ao meio 
por onde se propagava inicialmente. Neste caso a onda refletida mantem todas 
as caracteristicas da onda incidente, apenas invertendo a forma de vibrar quan-
do encontra uma regido mais rigida. 
v = f 
raio incidente 	 raio refletido 
meio 1 
meio 2 
II - Refracao - consiste na onda mudar de velocidade (e de comprimento 
de onda) ao passar de um meio de propagacao para outro. Importa destacar 
que a freqiiencia (e o periodo) mantem-se invariaveis. 
Capaulo 25 • Ondas 275 
v = f 
obstaculo 
J onda incidents onda 
i difratada 
onda 
difratada 
a = a l + a2 	46--- 
durante a superposicao 
 
 
a 2 
 
 
apos a superposicao 
• 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• • 
• • 
• • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
III — Difracao — consiste na onda contornar obstaculos corn dimensoes 
comparaveis corn o comprimento de onda da onda. 
onda 
incidente 
IV — Interferencia — consiste na superposicao de duas ondas de mesma 
freqiiencia que se encontram. 
antes da superposicao 
V — Polarizacao — consiste em uma onda transversal (que vibra em todas as 
direcoes do espaco, tal como a luz), passar a vibrar apenas em uma determina-
da direcao. 
P 
luz natural 
luz polarizada 
Na figura, o polaroide P transforma a luz natural em luz polarizada. 
276 	Capital° 25 ♦ Ondas 
• 
• 
•
EXEMPLOS 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• baixo: 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
,i-Uma onda propaga-se em uma corda A com velocidade de 6 m/s e corn-
primento de onda 0,2 m. Ao passar para outra corda B, sua velocidade é 
de 4 m/s. Determine o comprimento de onda na corda B. 
A frequencia nao varia ao passar de uma corda para outra. Assim: 
v 	v 	6 	4 	1. 0,2 	0,4 
fA = fs 	_a_ = _B_ 	 kB = 	= kA 	kB 	0,2 	XB 	 ,6 3 	3 
XB '-' 0,13 m 
/Desenhe a onda refletida no caso esquematizado a seguir: 
(fixo) 
Para nao cometer engano, chamemos a parte inferior do pulso de A e a 
superior de B. 
(fixo) 
Ao refletir na parte fixa, a onda inverte, isto e, A volta por cima e B por 
(fixo) 
✓iQue fenomeno ondulatorio so ocorre com ondas tranversais? 
Polarizacao 
Capftulo 25 • Ondas 	277 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
EXERCICIOS 
7 (UnB) 0 pulso assimetrico incidente de B para A 
4_ 
devera sofrer reflexao em A da forma: 
A 
III 
IV 
Arn3 
a) I, se a extremidade A for livre. 
b) II, se a extremidade A for livre. 
c) III, se a extremidade A for fixa. 
d) IV, se a extremidade A for fixa. 
8 Que ocorre corn a velocidade, a freqiiencia e o comprimento de onda 
quando uma onda sofre refracao? 
9 (UnB) Uma onda plana propagando-se pelo espaco atingiu urn obstaculo. 
A figura que melhor representa a onda apps o obstaculo é: 
10 (PUC-SP) Uma fonte emite onda sonora de frequencia 500 Hz, proximo a 
superficie de urn lago, e sofre refracao na agua. Determinar o seu compri-
mento de onda no ar e na agua, admitindo que as velocidades no ar e na 
agua sejam, respectivamente, 330 m/s e 1 500 m/s. 
a) 0,26 m e 2,00 m 	 d) 0,66 m e 3,00 m 
b) 0,40 m e 4,00 m 	 e) n.d.a. 
c) 0,33 m e 8,00 m 
278 Capfido 25 • Ondas 
onda incidente 
V 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
26 Natureza do som e da luz 
Ondas estacionorias 
Quando ocorre superposicao de duas ondas de mesma frequencia, mesma 
amplitude, mesma velocidade, mesma direcao e sentidos opostos, temos a for-
macao de ondas estacionarias. 
Essas ondas caracterizam-se por apresentarem pontos com interferencia 
construtiva (ventres ou pontos ventrais - V) e pontos corn interferencia 
destrutiva (nos ou pontos nodais - N) 
Nessas ondas todos os pontos estao em concordancia de fase, isto e, quan-
do urn ponto esta no maximo, todos os outros estdo no maximo; quando urn 
ponto passa por urn minimo, todos os outros tambem passam. 
X/2 
Note que a distancia entre 
dois nos ou entre dois ventres 
consecutivos equivale a meio 
comprimento de onda (X,/ 2). 
Os nos e os ventres mantem sempre a mesma posicao ao longo da corda. 
Estando sempre imoveis, os nos impedem que a energia mecanica passe atra-
yes deles. A energia, entao, fica estacionada entre os nos, fazendo corn que a 
onda resultante seja uma onda estacionaria. 
Quando uma corda presa nas extremidades é posta a vibrar ela se torna 
uma fonte sonora. Nos instrumentos musicais de cordas, como violOes e violi-
nos, as cordas em vibracao transferem energia para o ar atraves de ondas, cuja 
frequencia é a mesma da fonte. 
Ondas sonoras 
Quando urn corpo qualquer entra um vibracdo, ele empurra o ar a sua vol-
ta, produzindo ondas longitudinais de compressao e rarefacdo que se propa-
gam em todas as direcOes. 
Capitulo 26 • Natureza do Som e da Luz 	279 
• 
• • 
• • 
• • • 
• • 
• 
• • 
• 
• • • • • • 
• 
• • 
• 
• • • 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
As principais fontes sonoras sac.: 
a) cordas vibrantes; 
b) tubos sonoros; 
c) membranas e hastes.Para sensibilizar o ouvido humano a onda sonora deve ter frequencias 
compreendidas entre 20 Hz a 20.000 Hz, aproximadamente. 
Para valores acima de 20000 Hz, a onda nao é audivel e recebe o nome de 
ultra-som. Para valores abaixo de 20 Hz, a onda tambem nao e audIvel, sendo 
denominada de infra-som. 
0 golfinho, e o morcego emitem ultra-sons que, refletidos pelos obstaculos, 
servem para que eles se orientem. Apitos especiais que emitem ultra-sons costu-
mam ser utilizados para se chamar os c5es de guarda. 
ANIMAL 	SOM PERCEBIDO 
	
SOM EMITIDO 
Homem 	20 a 20 000 Hz 	85 a 1 100 Hz 
Cao 	 15 a 50 000 Hz 	425 a 1 080 Hz 
Golfinho 	150 a 150 000 Hz 	7 000 a 120 000 Hz 
Morcego 	1 000 a 120 000 Hz 	10 000 a 120 000 Hz 
Velocidade do som 
Se a onda sonora se propagar sempre num mesmo meio, sua velocidade 
permanecera constante, independente de sua frequencia (ou de seu compri-
mento de onda), isto é, a velocidade do som é uma caracteristica do meio ma-
terial onde ele se propaga, dependendo apenas das propriedades mecanicas 
desse meio. 
MEIO MATERIAL 	VELOCIDADE DO SOM 
Ar a 0°C 
	
331 m/s (1 194 km/h) 
Ar a 20°C 
	
344 m/s (1 238 km/h) 
Agua doce 
	 1 430 m/s (5 148 km/h) 
Agua salgada 
	 1500 m/s (5 400 km/h) 
Aluminio 
	 5 000 m/s (18 000 km/h) 
Ferro 
	 5 200 m/s (18 720 km/h) 
Quartzo 
	 5 400 m/s (19 440 km/h) 
Ago 
	 6 000 m/s (21 600 km/h) 
Perceba que em qualquer meio a velocidade do som é relativamente gran-
de em relacao aos valores comuns do cotidiano, mas muito menor que a veloci-
dade da luz no ar. Dai decorre o fato de a luz do relampago chegar a seus olhos 
muito antes de o som do trovao chegar a seus ouvidos. 
280 	Capaulo 26 • Natureza do Som e da Luz 
E a qualidade que permite a uma pessoa distinguir sons de mesma intensi-
dade (mesma amplitude) e mesma altura (mesma frequencia) emitidos por 
fontes sonoras diferentes. 
diapasao 
	
flauta 
• 
• Qualidades fisiologicas do som • 
• lntensidade 
• E a qualidade que permite a uma pessoa distinguir urn som forte de urn 
• A amplitude dos pontos de maxim() ou de minimo é que mostra se o som 
• é forte (amplitude grande) ou fraco (amplitude pequena). 
som fraco. 
• 
• 
• 
som forte 	 som fraco 
• 
• Obs: 0 nivel sonoro, que é urn quociente entre duas intensidade sonoras, é 
•
medido em decibel (dB). 
• 	0 dB 	limite inferior de audicao 
• 10 dB 	respiracao normal 
• 60 dB 	conversa normal 
• 120 dB 	discoteca barulhenta 
•
130 dB 	aviao a jato 
• Altura 
• E a qualidade fisiologica que permite a uma pessoa distinguir urn som 
• agudo (ou alto) de urn som grave (ou baixo). 
• som agudo 	 som grave 
• 7uuu774177 • • • Timbre • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
alta frequancia 	 baize frequancia 
Capaulo 26 • Natunno do Som e do Luz 	281 
• •
 • •
 • 
• •
 • •
 • •
 • •
 • •
 • •
 • 
• • 
• •
 • •
 • •
 • •
 • 
• •
 • •
 • 
Nota musical 
Cada nota musical tem sua frequencia caracteristica. 0 d6 central do piano, 
por exemplo, tern uma frequencia de 256 Hz. A nota mi, duas teclas depois, tern 
frequencia de 320 Hz. Mais duas teclas adiante esta o sol, corn uma frequencia 
de 384 Hz. Tocando as tres notas ao mesmo tempo, voce executa urn acorde. 
EXEMPLOS 
✓Ao vibrar uma corda fixa em suas extremidades, estabeleceu-se uma 
onda estacionaria de acordo com a figura. 
1,2 m 
E 
Sabendo-se que qualquer ponto da corda, corn excecao dos nos, efetua 20 
oscilacOes por segundo. Determine: 
a) a amplitude e o comprimento de onda da onda estacionaria; 
b) a velocidade das ondas que deram origem a onda estacionaria. 
,0 a) da figura: a = 6
2 
= 1,2 	= 0,8 m = 80 cm 
b) f = 20 oscilacoes/segundo = 20 Hz 
v = X, . f = 80 cm . 20 Hz = 160 cm/s 	v= 160 cm/s 
282 	Capitulo 26 • Notureza do Som e do Luz 
a = 3,0 cm 
som alto e fraco 
som baixo e forte 
• 
• • ✓Qual é a diferenca entre as caracteristicas fisicas das ondas correspon-dentes a urn som alto e fraco e a urn som baixo e forte? 
Urn som alto e fraco é um som 
• agudo de pequena intensidade, isto é, a onda é de grande fre- 
• quencia e pequena amplitude. • 
• Um som baixo e forte é urn som 
grave de grande intensidade, 
• isto é, a onda é de pequena 
•
freqiiencia e grande amplitude. 
• 
• ✓Considere a velocidade do som no ar igual 340 m/s. 0 intervalo de tern- 
• po minimo que a. voz de uma pessoa leva para bater num obstaculo e 
• retornar a seu ouvido e de 0,1 s. Corn estes dados, determinar a distancia 
entre a pessoa e o obstaculo. • • • • • 
x 
 
• Ao it e voltar o som percorre uma distancia AS = x + x = 2 x e gasta urn 
•
tempo At = 0,1 s sendo v = 340 m/s, tern-se: 
• v= AS At 	340= 2x 2 x = 340 . 0,1 	2x = 34 m 0,1 • 4 m 
•
x= 3 — 
2 	
x = 17 m 
• ,/Urn relampago foi visto e, 2 segundos depois, ouviu-se o trovao. A que 
• distancia do raio se encontrava a pessoa, se a temperatura do ar era de 
•
20° C? 
• AS = v . At = 344 m/s . 2 s = 688 m • • • 
AS = 688 m 
 
Capftulo 26 • Notureza do Som e do Luz 	283 
Da tabela da pagina 280 observa-se que 20° C a velocidade do som no ar 
• vale 344 m/s. 
• Como o tempo gasto pela luz do relampago para chegar ate a pessoa é 
desprezivel, basta calcular a distancia (AS) usando apenas a velocidade 
• do som. 
• • • 
1;1 
• • • • • • • 
a) Qual o comprimento de onda? 
b) Qual a velocidade de propagacao da onda? 
3 (PUC-MG) Na figura abaixo, o comprimento de onda vale, em metros: 
7,5 m 
EXERCICIOS 
0 sonar de um navio de pesca registrou duas reflexOes do ultra-som emi-
tido: a primeira, 1/4 de segundo alp& a emissaro, correspondia a um car-
dume que passava sob o barco. A segunda, 2 segundos apos a emissao do 
ultra-som, era do proprio fundo do mar no local. Sabendo-se que a veloci-
dade do som na agua do mar é de 1 500 m/s, pergunta-se a profundidade 
onde se encontrava o cardume e a profundidade do oceano no local. 
2 A figura mostra uma corda que vibra em regime estacionario corn fre-
qiiencia 20 Hz. 
4m 
a) 5,0 	b) 2,5 	c) 6,0 	d) 3,0 	e) 7,5 
4 (UFRS) Quais as caracteristicas das ondas sonoras que determinam a al-
tura e a intensidade do som? 
a) Freqiiencia e amplitude. 
b) Freqiiencia e comprimento de onda. 
c) Comprimento de onda e freqiiencia. 
d) Amplitude e comprimento de onda. 
e) Amplitude e freqiiencia. 
284 	CapItulo 26 ♦ Natureza do Som e da Luz 
• • • • • • • • • • • • • • • 
• • • • • • • • • 
• 5 (ITA-SP) 
410 	Considere os seguintes fenomenos: 
• I) luz ; II) som; 
• III) perturbacao propagando-se numa mola helicoidal esticada. 
• Podemos afirmar que: 
•
a) I, II e III necessitam de urn suporte material para propagar-se. 
b) I é transversal, II é longitudinal e III tanto pode ser transversal como 
• longitudinal. 
c) I é longitudinal, II é transversal e III é longitudinal. 
• d) I e III podem ser longitudinais. 
•
e) somente III é longitudinal. 
• 6 (UFU-MG) Urn estudante de Fisica se encontra a certa distancia de uma 
parede, de onde ouve o eco de suas palmas. Desejando calcular a que III 	distancia se encontra da parede ele ajusta o ritmo de suas palmas ate dei- 
• xar de ouvir o eco, pois este chega ao mesmo tempo que ele bate as maos. 
Se o ritmo e de trinta palmas por minuto e a velocidade do som é de apro- 
• ximadamente 330 m/s, sua distancia a parede é de: 
•
a) 360 m 	b) 300 m 	c) 330 m 	d) 165 m 	e) 100 m. 
5 	3 (OSEC-SP) Para receber o eco de urn som no ar, onde a velocidade de 
•
propagacao é de 340 m/s, e necessario que haja uma distancia de 17 m 
entre a fonte sonora e o anteparo onde o som e refletido. Na agua, onde a 
• velocidade da propagacao do som é de 1 600 m/s, essa distancia precisa 
ser de: 
• a) 34 m 	b) 60 m 	c) 80 m 	d) 160 m 	e) nda 
• 8 (UFRS) Do som ao mais agudo de uma escala musical, as ondas sonoras III 	sofrem urn aumento progressivo de: 
• a) amplitude 	 d) frequencia b) elongacao 	 e) comprimento de onda 
• c) velocidade 
• 4 Que grandeza fisica permite distinguir. 
• I) duas notas musicais 
•
II) um som forte de um som fraco 4, ). 
III) urn som alto (agudo)de urn som baixo (grave)? 
• IV) duas notas musicais identicas emitidas por urn violao e urn violino? -- 
• 10 Durante uma tempestade uma pessoa ve um relampago e ouve o som do 
•
trovao 5 s depois. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Calcule a dis-
tancia que separa a pessoa do local do raio. 
Capitulo 26 • Nature= do Some do Luz 	285 
• • • • • 
Ondas luminosas 
Isaac Newton considerava a luz constitui-
da por particulas materiais em movimento, 
corn trajetorias retilineas. 
A mesma epoca outro fisico famoso, de 
nome Huygens, considerava que a luz era uma 
onda. 
Onda ou particula? 
Ainda hoje os fisicos nao conseguiram uma 
teoria unificada para a natureza da luz. Em cer-
tos fenomenos a luz se comporta como onda e 
em outros como particula(os chamados futons) 
caracterizando a natureza dual (onda-particu-
la) da luz, que foi inicialmente sugerida pelo ff-
sico Louis de Broglie. 
Nos fenomenos em que a luz se mostra como onda, ela transporta energia, 
chamada energia radiante. Esta energia se propaga inclusive no vacuo, atraves 
de ondas eletromagneticas, corn velocidade constante aproximadamente igual 
a 300.000 km/s, como ja foi visto anteriormente. 
Luz visivel 
Entre as diversas ondas eletromagneticas, apenas uma pequena parcela, 
entre as frequencias de 4.10 14 Hz e 8 . 10 14 Hz, pode sensibilizar o olho humano, 
dando a sensacao de luz e cor. 
Se a freqiiencia da radiacao estiver abaixo desse intervalo, a radiacao sera 
infravermelha; se acima, ultravioleta. 
Podemos atribuir denominacoes diferentes as ondas eletromagneticas de 
acordo com a faixa de freqiiencia na qual ela se enquadra. Assim, as ondas de 
radio, raios X, infravermelho, luz... sac) exemplos de ondas eletromagneticas e 
que se diferenciam apenas pela frequencia. 0 conjunto das ondas eletromagne-
ticas de todas as frequencias é chamado de espectro eletromagnetico: 
10 2 	10 4 	10 6 	10 8 	10 10 	10 12 	10 14 	10 16 	10 18 	10 20 	10 22 
I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	I 	frequencia 
(Hz) 
ondas de radio 	 raios 
luz 
microondas 	1 	 1 	raios x 
ultravioleta 
infravermelho 
o espectro eletromagnetico 
286 	Capffulo 26 • Natureza do Som e da Luz 
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 
• 
• Difractio da luz • 
• Ja foi visto que difracao e o fenomeno que permite a uma onda contornar 
obstaculos com dimensoes proximas ou menores as de seu comprimento de 
• onda. 
• Assim, uma pessoa junto a um muro de alvenaria (opaco ao som e a luz) 
•
nao consegue se comunicar com alguem do outro lado se quiser usar apenas 
sinais de luz, porem pode facilmente conversar com o outro. 0 som pode "con- 
• tornar" o muro com grande facilidade, enquanto a luz nao. 
•
Por que essa grande diferenca de comportamento? Sera porque a luz é 
onda eletromagnetica e o som é onda mecanica? Ou porque a luz é onda trans- 
• versal e o som é longitudinal? 
• Na verdade nada disso justificaria tamanha diferenca na difracao da luz e 
do som, pois o que importa nesse caso é o "tamanho" do obstaculo em compa- 
• raga° corn o comprimento de onda. A luz apresenta comprimento de onda da 
•
ordem de angstrons (10 -10 m), enquanto o comprimento de onda do som audi-
vel varia de alguns centimetros a muitos metros, ou seja, a altura de urn muro é 
• comparavel apenas ao comprimento de onda do som. 
• 
• 
•
EXEMPLO 
• difracao ocorre mais acentuadamente corn som grave ou agudo? E 
quanto as ondas luminosas, corn luz vermelha ou violeta? 
• Para um dado obstaculo, quanto maior o comprimento de onda, mais 
•
acentuada sera a difracao. 
0 som grave possui maior comprimento de onda que o agudo. 
411 	A luz vermelha possui maior comprimento de onda que a violeta. 
•
Logo, a difracao e mais acentuada corn som grave. E, quanto as ondas 
luminosas, corn a luz vermelha. • 
• • • • 
• • • • 
• 
• Capitulo 26 • Natureza do Som e da Luz 	287 
• 
• •
 • 
• •
 • •
 • 
• •
 • •
 • •
 • 
• •
 •
••
 • 
• •
 • 
• •
 • 
IP 
• •
 • •
 • •
 
Corrente Eletrica 
Ha cerca de 2600 anos, o filosofo grego Tales de Mileto verificou e registrou 
pela primeira vez que o ambar (uma resina dura) apos atritado corn pele de 
gato, atrai fios de cabelo, palha, penas e outros objetos leves. 
Devido a origem da palavra ambar (elektron, em grego), os fenomenos ob-
servados primeiramente por Tales foram denominados fenomenos eletricos. 
Os fenomenos eletricos foram considerados misteriosos durante varios se-
culos e so vieram a ser explicados satisfatoriamente apos o conhecimento da 
estrutura da materia, isto é, do atomos e de suas particulas elementares 
(protons, neutrons e eletrons). 
Proton + 
Nude() 
Neutron 
Eletron — 
Carga eletrica 
Os fenomenos eletricos sdo explicados atribuindo-se ao protons e eletrons 
uma propriedade fisica chamada carga eletrica. 
Verifica-se que a carga eletrica dos protons e dos eletrons tern o mesmo 
valor, porem eles apresentam comportamentos eletricos opostos. Convencio-
nou-se entao chamar a carga do proton de positiva e a carga do eletron de ne-
gativa. 
O valor da carga eletrica de um proton ou de um eletron é o menor encon-
trado na natureza, sendo denominado carga eletrica elementar (e). 
Qualquer outra quantidade de carga eletrica é sempre um multiplo inteiro 
da carga eletrica elementar. 
Assim, sendo Q uma quantidade de carga qualquer e n um mimero inteiro, 
é possivel escrever: 
Q = n . e 
288 	CapItulo 27 • Corrente Eletrica 
Charles de Coulomb 
(1736-1806) 
••
••
••
••
• •
••
••
••
••
••
••
••
••
• 
0 valor de e foi obtido experimentalmente, 
em 1909, pelo fisico norte-americano Robert 
Andrews Millikan (1868-1953), ganhador do 
premio Nobel de Fisica de 1923. 
Robert Andrews Milliken 
(1868-1953) 
No Sistema Internacional de Unidades (SI), 
a unidade de carga eletrica é o coulomb (C), 
homenagem a urn dos pioneiros no estudo da 
eletricidade, o engenheiro frances Charles de 
Coulomb (1736-1806); e o valor numeric° dessa 
carga minima é: 
e = 1,6 . 1049 C 
Portanto: 
carga eletrica do proton = +e = +1,6 . 10 -19 C 
carga eletrica do eletron = —e = —1,6. 10 -19 C 
Isolantes e condutores 
Urn dos principios fundamentais da eletricidade é o da repulsao e atracao 
entre cargas eletricas, conforme elas sejam do mesmo tipo (do mesmo sinal) ou 
de tipos diferentes (de sinais opostos). Assim: 
 
repulsao eletrica 
atragao eletrica 
 
• Os protons do nude° repelem-se mutuamente do ponto de vista eletrico, porem conseguem ficar unidos gracas a existencia de urn outro tipo de forca, 
• muito mais intensa, a forca nuclear. 
• Nos fenomenos eletricos (assim como nos fen6menos quimicos) apenas os 
•
eletrons sao envolvidos. 
Quando um atomo deixa de ser neutro, tornando-se urn ion (positivo ou 
• negativo), ha mudanca apenas no numero de eletrons do atomo: se um atomo 
• Capilulo 27 • Corrente Eletrica 	289 • 
A corrente eletrica é estabele-
cida sempre que entre dois pon-
tos de urn material condutor exis-
ta uma diferenca de potencial ou 
tensao eletrica (popularmente 
conhecida como voltagem) cria-
do por urn gerador eletrico como 
a bateria ou a pilha eletrica, por 
exemplo. 
eletron livre e fio metalico ampliado • 
perde um ou mais eletrons, ele se torna um ion positivo (cation) porque assim 
o numero de protons passa a ser maior que o numero de eletrons; se um atom° 
ganha urn ou mais eletrons, ele se torna um ion negativo (anion) porque des-
sa forma o numero de eletrons passa a superar o flamer() de protons. 
Nos metais os eletrons da camada mais externa sao fracamente ligados ao 
nticleo e podem se mover corn grande facilidade de urn atom° para outro, forman-
do uma verdadeira nuvem de eletrons "livres" (e a chamada nuvem eletronica). 
A nuvem eletronica é que permite aos metais serem excelentes condutores 
de eletricidade (condutores eletronicos). 
A borracha, o plastico, a porcelana, o ar seco, o vidro e outros materiais sao 
considerados isolantes de eletricidade pelo fato de praticamente nao apresen-
tarem"eletrons livres". 
Na pratica, nao existem condutores ou isolantes eletricos perfeitos. 
Sao considerados bons condutores eletricos os corpos que permitem a mo-
vimentacao de cargas eletricas atraves deles, tais como os metais, o grafite e as 
soluceies eletroliticas. 
Sao considerados bons isolantes eletricos os corpos que nao permitem a 
movimentacao de cargas. 
Nota: 
A agua pura (destilada) a urn born isolante, porem a agua comum, potavel, 
que contem sais minerals dissolvidos, e condutora de eletricidade. A diferen-
ca é que neste caso quem se movimenta sao ions e nao eletrons livres. 
Corrente eletrica 
Como ja foi visto anteriormente, nos condutores eletricos existem cargas 
eletricas corn liberdade de movimento, constituindo os ions livres dos condu-
tores ionicos e os eletrons livres dos condutores eletronicos (metalicos). 
0 movimento desordenado das cargas eletricas pode, em determinadas 
condiceies, tornar-se razoavelmente ordenado. Quando se consegue urn movi-
mento de eletrons livres mais ou menos organizado obtem-se aquilo que cha-
mamos de corrente eletrica. 
Corrente eletrica é um movimento razoavelmente ordenado de cargas 
eletricas (ions ou eletrons livres). 
290 	Copitulo 27 • Corrente Eletrica 
• • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
desnivel 
corrente de 
liquido 
• 
• 
Podemos entao dizer que a corren- 
• to eletrica nasce de uma diferenca de 
• potencial. Assim como a diferenca de 
nivel entre duas massas de liquido é 
• capaz de criar uma corrente liquida, a 
presenca de urn desnivel eletrico é a 
• causa que poe ern movimento as parti- 
• culas eletricamente carregadas. 
•
0 polo positivo corresponde ao 
major nivel ou major potencial eletrico 
• e o polo negativo corresponde ao me- 
411 	
nor nivel ou menor potencial eletrico. 
• Sentido da corrente eletrica 
• Nos condutores eletroliticos tem-se ions positivos movimentando-se num 
• sentido e ions negativos no sentido oposto. Nos condutores metalicos tem-se 
•
apenas eletrons livres movimentando-se num mesmo sentido. Tanto num caso 
como no outro convenciona-se que o sentido da corrente eletrica é aquele em 
• que se movimentam as cargas positivas, ou seja, e o oposto ao do movimento 
•
das cargas negativas. 
• 0 sentido convencional da corrente eletrica e o oposto do movimento das 
•
carps negativas. 
• 
• 
• 
	
sentido da corrente eletrica 
• 
	
0 fato de os eletrons livres moverem-se no sentido contrario ao da corrente 
• eletrica nao altera em nada o estudo da eletricidade, pois do ponto de vista 
• macroscopic° nao ha qualquer diferenca entre o movimento de cargas positi-
vas no sentido convencional e o de negativas no sentido real. 
• 
Circuito Metric() 
• Para haver corrente eletrica e necessario urn caminho por onde os eletrons 
livres possam se mover ordenadamente quando submetidos a uma diferenca 
• de potencial. Tal caminho constitui o CIRCUITO ELETRICO, no qual é indis- 
• pensavel urn gerador eletrico (tipo pilha ou bateria), fios condutores (quase 
sempre feitos de cobre), interruptores e consumidores (como lampadas de 
• filamento, motores eletricos, aparelhos eletronicos, etc.). • • Cap%)lo 27 • Corrente Eletrico 	291 
lampada 
apagada 
lampada 
acesa 
Circuit° 
aberto 
Circuito 
fechado 
chave 
aberta 
pilha 	 pilha 
corrente 
eletrica 
L 
0--► 0—► 
seccao transversal 
• 
• 
"abrir" o • 
• 
• 
• 
chave 
	
fechada 	• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
gerador • 
• 
• 
• 
ser assim • 
• 
• 
circuito 	• 
fechado 	• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
Nao havendo pontos de interrupcao o circuito e considerado fechado e 
estara circulando corrente. Esta cessard se, por exemplo, uma chave 
circuito, causando uma interrupcao no caminho da corrente eletrica. 
A seguir estao desenhadas alguns simbolos utilizados para representar vd-
rias partes de urn circuito eletrico. 
ch 
fio de ligacao 
lampada 
	 fusivel 
Usando esses simbolos os circuitos anteriores podem 
esquematizados: 
ch 	circuito 
aberto 
IIG 
Intensidade de corrente eletrica 
Considere, uma seccao transversal de urn fio condutor, percorrido por uma 
corrente eletrica: 
chave 
sentido da corrente eletrica 4 	 
292 	Capftulo 27 • Compote Eletrica 
• 
• Se a corrente eletrica consiste num movimento de eletrons, entao, pela 
• seccao transversal considerada, em cada intervalo de tempo At, passa um de- 
• terminado numero n de eletrons. Mas, se cada eletron tem carga igual a e, pela 
seccao transversal passa uma carga Q = n . e no tempo At. 
Nestas condicOes, define-se intensidade de corrente eletrica (i) como o 
•
quociente entre a quantidade de carga (Q) que atravessa a seccao transversal 
no intervalo de tempo (At). 
I 
• eletromagnetico. 
•
Em termos da definicao de corrente eletrica, 1 A corresponde a passagem 
de 1 C de carga eletrica pela seccao transversal de um condutor num intervalo 
• de tempo de 1 s. 
• 1 A = 1 C/s 
• Tambern sao muito utilizados os submultiplos miliampere (mA) e 
•
microampere (gA). 
1 mA = 10-3 A 
• 1 = 10-6 A 
• 
• 
• 
• 
• Tambem nao esta explicito, mas A a intensidade de corrente assim defi- 
	
nida corresponde intensidade me- 	
corrente continua (CC) 
• dia da corrente, cujo valor coincide 
corn a intensidade em cada instante 
• apenas quando a corrente eletrica é 	
0 
0 	
t 
•
continua, isto e, invariavel no decor-
rer do tempo. 
• A corrente eletrica nos condutores 	
i 
corrente alternada (CA) 
•
residenciais, comerciais e industriais, 
	
nao é continua. Neste caso ela varia 	0 , 
	
sua intensidade e inverte seu sentido 	0 
•
com freqiiencia de 60 vezes por 
segundo. 
• 
•
i= 
At 	
ou 	n . e 
At 
•
A unidade de intensidade de corrente eletrica é a unidade fundamental de 
eletricidade no SI, sendo denominada ampere (A) e definida por urn fenomeno 
Embora nao esteja explicit° na formula, a quantidade de carga Q deve ser 
tomada em modulo. Se o condutor for ionico, a carga total sera a soma dos 
modulos das cargas devido aos cations (+) e aos anions (—) que passam por uma 
seccao do condutor. 
A corrente obtida a partir de pilhas e baterias é do tipo continua e sera o 
• unico tipo estudado neste curso. 
• Capitol° 27 • Corrente Elittrica 	293 
• 
• • 
• • • • • • • 
• • 
• • • • 
• • • • • • • • • 
• • • • • • • 
Figura 1 
EXEMPLOS 
✓Atraves da secao transversal de um fio de cobre passam 25. 10 19 eletrons 
num intervalo de tempo de 5,0 segundos. Sendo a carga eletrica elem en-
tar e = 1,6 . 10' 9 C, determine: 
a) a quantidade total de carga que atravessa a seccao em 5,0 s. 
Q = n . e 
Q = 25 . 10 19 . 1,6 . 10-19 C 
Q= 40 C 
b) a intensidade de corrente eletrica atraves desse condutor de cobre. 
Q . 40 C 
At 	5s 
i = 8,0 A 
✓Determine a quantidade de carga transportada em 3 s num condutor 
percorrido por uma corrente eletrica continua de 20 A. 
At = 3 s 
i = 20 A 
i= 	Q = i At = Q = 20 . 3 = 60 C = Q = 60 C 
At 
EXERCICIOS 
1 Urn fio metalico é percorrido por uma corrente eletrica de 5 A durante 
2 h. Qual é a quantidade de carga que passou pela seccao transversal do 
condutor nesse intervalo de tempo? 
2 Qual é o valor de 1 A em gA? 
Qual é o sentido da corrente eletrica nas figuras abaixo (de A para B ou de 
B para A)? 
Figura 2 
A 
294 capau1027 • corm*. Ewe, 
B 
S 
• 4 Pela seccao transversal de urn condutor passam 10 21 eletrons num inter- 
• valo de tempo de 32 s. Sendo e = 1,6 . 10 -19 C, determine a intensidade de 
corrente eletrica no condutor. • 
• 0 grafico ao lado representa a in- tensidade de corrente i em urn fio 
• condutor, em funcao do tempo 
•
transcorrido t. Calcule a carga eletri-
ca que passa por uma secao do con- 
• dutor nos dois primeiros segundos. 
• 
6 
I (A) 
 
4 
2 
-i- 1 I lo• 
0 1 2 3 t (s) 
• 
• (FGV-SP) Uma secao transversal de um condutor é atravessada por urn 
IIII 	fluxo continuo de carga de 6 C por minuto, o que equivale a uma corrente eletrica, em amperes, de: