Coordenadas Espaciais

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Fundamentos da 
Linguagem Visual
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Denis Mandarino
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Sandra Regina Fonseca Moreira
Coordenadas Espaciais
• Introdução;
• O Espaço Mongeano;
• Localização dos Pontos no Espaço;
• Projeção na Épura;
• Exercícios Propostos;
• Respostas dos Exercícios Propostos.
• Organizar o pensamento, de forma progressiva, a fi m de que o aluno seja capaz de inter-
pretar e representar objetos volumétricos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Coordenadas Espaciais
UNIDADE Coordenadas Espaciais
Introdução 
Nesta unidade, estudaremos os fundamentos da linguagem Mongeana. Gaspar 
Monge foi um matemático francês que criou a Geometria Descritiva, a qual é 
utilizada por todos os programas que trabalham com modelos tridimensionais.
Designers de produtos utilizarão a Mongeana cotidianamente; designers gráfi-
cos, por sua vez, a utilizarão quando desenvolverem suvenires, calendários, jogos, 
embalagens e outras peças que dependam do suporte espacial para a efetivação 
do seu trabalho gráfico. 
Nosso objetivo inicial pretende trabalhar o cérebro e organizar o pensamen-
to, para que você consiga interpretar e expressar ideias espaciais. Estudaremos, 
aqui, somente pontos, e você verá, no decorrer da unidade, que as retas e os 
planos são consequências naturais.
Você encontrará informações e demonstrações na videoaula da unidade.
 O Espaço Mongeano 
Monge dividiu o espaço projetivo em quatro partes, por meio de dois planos de 
projeção: o vertical e o horizontal. Segundo postulado de Euclides, que afirma que 
uma reta divide um plano em dois semiplanos, teremos quatro semiplanos, a saber: 
Semiplano Vertical Superior (SPVS); Semiplano Vertical Inferior (SPVI); Semiplano 
Horizontal Anterior (SPHA); e Semiplano Horizontal Posterior (SPHP). Essa divi-
são originou quatro setores espaciais chamados de Diedros ou Quadrantes. A Linha 
de Terra, que no início foi chamada de Linha de Monge, é a linha de interseção 
entre os planos vertical e horizontal, pertencendo a ambos (Fig. 1).
Figura 1– Espaço projetivo idealizado por Gaspar Monge
Fonte: Mandarino (2019)
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Monge adotou que os observadores estariam situados no infinito, o que faz com 
que as projeções sejam cilíndricas ortogonais. Em outras palavras, não importa a 
posição em que um elemento esteja, ele será projetado perpendicularmente. Um 
plano, por exemplo, que esteja paralelo ao plano de projeção, será projetado em 
tamanho real (Verdadeira Grandeza ou VG). Se ele não estiver paralelo, será pro-
jetado em tamanho menor, podendo, inclusive, ser projetado como uma linha reta.
Depois dessa apresentação, podemos concluir que um ponto poderá estar em 
dez diferentes locais do espaço projetivo, sendo eles: 1º diedro; 2º diedro; 3º diedro; 
4º diedro; SPHA; SPHP; SPVS; SPVI; LT; e Infinito.
Localização dos Pontos no Espaço 
Para localizar os pontos no espaço, segue-se o tri-eixo cartesiano. A partir de 
uma origem (0), os pontos seguem direções positivas e negativas (Fig. 2). Em dese-
nho, o sinal de menos (-) representa que houve uma mudança de direção. 
Figura 2 – Tri-eixo cartesiano (X, Y, Z)
Fonte: Mandarino (2019)
Um ponto precisa de três coordenadas para ser localizado no espaço. São elas:
1. Eixo X, que é a própria LT;
2. Eixo Y, que determina quanto o ponto se afasta do plano vertical;
3. Eixo Z, que determina quanto o ponto se afasta do plano horizontal. É 
também chamado de eixo das alturas.
Para localizarmos um ponto A, precisaremos das coordenadas A = (3, 4, 7), por 
exemplo, que pode ser lido das seguintes formas:
• A = (LT, afastamento, cota); 
• A = (X, Y, Z);
• A= (A0, A1, A2), entre outras. 
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UNIDADE Coordenadas Espaciais
É importante salientar que A0 representa a localização do ponto na LT; A1 
representa a projeção do ponto no plano horizontal; A2 representa a projeção do 
ponto no plano vertical (altura).
Vamos fazer um exercício de aplicação. Analise atentamente a figura 3 e iden-
tifique as coordenadas do ponto A = (3, 4, 7). Cada quadrado da malha, em pers-
pectiva isométrica, representa uma unidade.
O ponto A será o vértice de uma pirâmide de base retangular, que estará apoia-
da no plano horizontal (Fig. 4). Os demais vértices serão dados pelas coordenadas:
• B = (-1, 1, 0);
• C = (7, 1, 0);
• D = (7, 7, 0);
• E = (-1, 7, 0).
Figura 3 – Coordenadas do ponto A
Fonte: Mandarino (2019)
Figura 4 – Pirâmide de base retangular determinada 
por seus vértices
Fonte: Mandarino (2019)
Depois de desenharmos a pirâmide a partir dos seus vértices, é possível notar 
que as arestas são determinadas pelo segmento de reta traçado entre dois pontos. 
Do mesmo modo, conjuntos de três e quatro planos determinam as faces (superfí-
cies) da pirâmide.
Quantos vértices, quantas arestas e quantas faces compõem essa pirâmide de base retangu-
lar? A resposta será dada no decorrer desta unidade.Ex
pl
or
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Projeção na Épura 
Depois de representar essa pirâmide no espaço, os seus elementos devem ser 
projetados ortogonalmente nos planos de projeção. Finalmente, o plano horizontal 
será rotacionado até que os planos de projeção coincidam (Fig. 5).
Figura 5 – Rotação dos planos de projeção até que coincidam
Fonte: Mandarino (2019)
O resultado dessa projeção é chamado de Épura, e originou as vistas ortogonais 
do desenho técnico que compõem a interface dos programas que trabalham com 
modelos volumétricos. O desenho acima da LT é a vista frontal, e o desenho abaixo 
da LT é a vista superior (Fig. 6).
Figura 6 – Projeções na Épura
Fonte: Mandarino (2019)
No Brasil, como norma da ABNT, os projetos são feitos no primeiro diedro. No 
sistema ANSI, os desenhos são feitos no terceiro diedro.
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UNIDADE Coordenadas Espaciais
Exercícios Propostos 
Vamos projetar os pontos em outras posições. 
Projete, no espaço, as seguintes coordenadas e determine a localização dos pontos:
A = (6, 6, 2) localiza-se ______________________________________;
B = (3, 0, 5) localiza-se ______________________________________;
C = (4, 0, 0) localiza-se ______________________________________;
D = (-1, -3, 4) localiza-se ______________________________________;
E = (-1,-4, 0) localiza-se ______________________________________;
F = (2, -5, -5) localiza-se ______________________________________;
G = (-2, 0, -5) localiza-se ______________________________________;
H = (0, 6, -4) localiza-se ______________________________________.
Figura 7 – Tetraedro para a localização dos pontos no espaço projetivo
Fonte: Mandarino (2019)
Depois de localizar os pontos no espaço, projete os pontos de A até L na Épura. 
Foram adicionados pontos em relação ao exercício anterior, são eles:
I = (8, 2, 3) localiza-se ___________________________________________;
J = (12, -4, -7) localiza-se ______________________________________;
K = (15,-3, 0) localiza-se ______________________________________;
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L = (16, 6, 7) localiza-se ______________________________________.
Figura 8 – Épura para a projeção dos pontos propostos
Fonte: Mandarino (2019)
A videoaula desta unidade resolve inteiramente os exercícios propostos e mostra 
como manusear o par de esquadros nesta resolução. A resolução dos exercícios 
está na sequência, caso prefira estudar de posse do material teórico impresso. Os 
exercícios de avaliação desta unidade versarão sobre tudo o que foi estudado.
Respostas dos Exercícios Propostos
O mais recomendado é que você resolva o exercício juntamente com a videoaula. 
A seguir, estão os gabaritos dos exercícios propostos. 
1. A pirâmide, de base retangular, tem: 5 vértices, 8 arestas e 5 faces. 
2. A localização dos pontos no espaço projetivo é a seguinte:
A = (6, 6, 2) localiza-se no primeiro diedro;
B = (3, 0, 5) localiza-se no semiplano vertical superior (SPVS);
C = (4, 0, 0) localiza-se na linha de terra (LT);
D = (-1, -3, 4) localiza-se no segundo diedro;
E = (-1,-4, 0) localiza-se no semiplano horizontal posterior (SPHP);
F = (2, -5, -5) localiza-se noterceiro diedro;
G = (-2, 0, -5) localiza-se no semiplano vertical inferior (SPVI);
H = (0, 6, -4) localiza-se no quarto diedro;
I = (8, 2, 3) localiza-se no primeiro diedro;
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J = (12, -4, -7) localiza-se no terceiro diedro;
K = (15,-3, 0) localiza-se no semiplano horizontal posterior;
L = (16, 6, 7) localiza-se no primeiro diedro.
Figura 9 – Gabarito da localização dos pontos em perspectiva isométrica
Fonte: Mandarino (2019)
3. Projeção dos pontos na Épura:
Figura 10 – Gabarito da projeção dos pontos na Épura
Fonte: Mandarino (2019)
Caso você tenha gostado ou queira se aprofundar, vou sugerir alguns links no 
material complementar.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Geometria Descritiva: retas e planos em mongeana
MANDARINO. D. Geometria Descritiva: retas e planos em mongeana. São Paulo: 
YouTube, 2019. 
 Vídeos
Geometria Descritiva: retas e planos em mongeana
https://youtu.be/A5FFoS4X_Oc
Geometria Descritiva: rebatimento
https://youtu.be/NyaM9h4-HPs
Geometria Descritiva: pertinência
https://youtu.be/Gz1WC9tvQ9E
Geometria Descritiva: interseção de planos
https://youtu.be/sLNog9p8dmA
Geometria Descritiva: seção
https://youtu.be/71Loc1LRWFk
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Referências
JUNIOR, A. R. P. Noções de Geometria Descritiva. v. 2. São Paulo: Nobel, 2014.
MANDARINO, D.; ROCHA, A. J. F.; LEIDERMAN, R. Geometria Descritiva e 
Fundamentos de Projetiva. São Paulo: Ed. Plêiade, 2011. 
MACHADO, A. Geometria Descritiva. São Paulo: Editora Atual, 1985.
________. Perspectiva. São Paulo: Ed. McGraw-Hill, 1979.
MONTENEGRO, G. A. Geometria Descritiva. São Paulo: Blucher, 2016.
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