Construção de Gráficos de Função de Duas Variáveis(1)

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Construção de Gráficos de Função de Duas 
Variáveis 
Unidade 2 
Disciplina (s) Cálculo Aplicado – Várias Variáveis 
Data da última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conceito de função de várias variáveis e curvas de nível. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Utilize o material de apoio (E-book unidade 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Computador 1 
Geogebra 3D 1 
III. Introdução 
 
O gráfico e as curvas de níveis são duas formas de visualizar o comportamento de uma função. Se f é uma função de 
duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R3 tais que z = f (x, y) 
com (x, y) ∈ D. 
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f (x, y) = k, em que k é uma constante 
(na imagem de f). 
As curvas de nível são largamente usadas na agricultura e na construção de mapas topográficos, pois são uma 
maneira muito eficiente de representar graficamente as irregularidades ou o relevo de um terreno. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Reconhecer funções de várias variáveis como ferramenta matemática para estudo de problemas aplicados. 
 Determinar e esboçar domínio e imagem de funções de várias variáveis. 
 Descrever e esboçar curvas de nível de uma função de duas variáveis. 
 Esboçar gráficos de funções de duas variáveis. 
 V. Experimento 
 
Escolha uma das funções abaixo e desenvolva todos os experimentos com a mesma função - atividade individual. 
 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 +
𝑦2
4
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 + 4𝑥2 + 16𝑦2 
 𝑥2 + 𝑦2 = 3𝑧 
X 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 
 2𝑥2 + 4𝑦2 = 4𝑧 
 𝑧 = 1 − 𝑥2 
 
 
 
1. Determine: 
 
1.1 O domínio da função e esboce essa região no espaço indicado a seguir. 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 4 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4} 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Interseção com os eixos coordenados: 𝑂𝑥 (𝑦 = 0 e 𝑧 = 0), 𝑂𝑦 (𝑥 = 0 e 𝑧 = 0) e 𝑂𝑧 (𝑥 = 0 e 𝑦 = 0). 
 
 
 
: 𝑂𝑥 (𝑦 = 0 e 𝑧 = 0) 
 
 
𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦² 
 
 
0² = (√4 − 𝑥2 − 0²) ² 
 
0 = −𝑥2 + 4 
 
𝑥 = 2 , 𝑥 = −2 
𝑂𝑦 (𝑥 = 0 e 𝑧 = 0) 
 
 
𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦² 
 
 
0² = (√4 − 02 − 𝑦²) ² 
 
0 = −𝑦2 + 4 
 
𝑦 = 2, 𝑦 = −2 
 
𝑂𝑧 (𝑥 = 0 e 𝑦 = 0) 
 
𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦² 
 
 
𝑧 = √4 − 02 − 0² 
 
𝑧² = √4² 
 
𝑧 = 2 
 
 
 
1.3 Interseção com planos coordenados: 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0), 𝑥𝑂𝑧 (𝑦 = 0) e 𝑦𝑂𝑧 (𝑥 = 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0), 
 
 
 
0² = (√4 − 𝑥2 − 𝑦²) ² 
 
0 = 4 − 𝑥2 − 𝑦² 
 
𝑥2 + 𝑦² = 4 
 
 
 𝑥𝑂𝑧 (𝑦 = 0); 
 
𝑧 = √4 − 𝑥2 − 0² 
 
 
𝑧 = √−𝑥2 + 4 
 
𝑦𝑂𝑧 (𝑥 = 0). 
 
𝑧 = √4 − 02 − 𝑦² 
 
 
𝑧 = √−𝑦2 + 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Represente as curvas determinadas acima nos planos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Curvas de nível (𝑧 = 𝑘). Para isso, atribua 3 valores convenientes para 𝑘. Trace as curvas encontradas. 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾 =
1
2
 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐶
1
2
 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 𝑦2 =
15
4
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾 = 1, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐶1 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 𝑦2 = 3 
 
 
 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾 = 2, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐶2 é 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 𝑦2 = 0 
 
1.6 Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Esboce o gráfico da superfície no Geogebra 3D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
STEWART, James. Cálculo. 6. ed. v. 1. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2009. 
HOWARD A., Anton; Irl Bivens, Stephen Davis. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 ed. v.1. Porto Alegre, RS: Bookman, 
2007. 
ARGOLLO, Roberto Max; FERREIRA, Clemiro; SAKAI, Tereza; Teoria dos Erros; 1. ed. Salvador, BA; UFBA, 1998.