Análise de Séries Temporais

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ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS
TÉCNICAS DESCRITIVAS
Anderson Castro Soares de Oliveira
Departamento de Estatística/ICET/UFMT
Análise Exploratória de Séries
Temporais
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• A análise exploratória de séries temporais envolve:
• caracterização da série por meio de identificação de pa-
drões não aleatórios na série temporal,
• verificação da correlação entre as observações e
• verificação da estabilidade da variância.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
• A representação gráfica de uma série temporal é feita atra-
vés do gráfico de linha, sendo:
• eixo horizontal - indicador de tempo
• eixo vertical - variável a ser representada.
• A construção de gráfico permite identificar características
dos dados
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Ano
P
ol
eg
ad
as
1880 1900 1920 1940 1960 1980
10
20
30
40
Figura 1: Precipitação anual, em polegadas, da cidade de Los
Angeles, Califórnia (EUA), nos anos de 1878 a 1992.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Ano
Te
m
pe
ra
tu
ra
1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976
10
20
30
40
50
60
70
Figura 2: Temperaturas médias mensais (grau Fahrenheit) de
Dubuque, Iowa (EUA), de janeiro de 1964 a dezembro de 1975.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Figura 3: Produção de pescado no Brasil, nos anos de 1950 a 2010.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Representação Gráfica de Serie Temporal
Figura 4: Geração mensal de eletricidade dos Estados Unidos (em
milhões de quilowatts-hora) no periodo entre 01/1973 - 12/2005
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Componentes de Séries Temporais
• Em uma série temporal pode-se avaliar a existência:
• Três possíveis componentes determinísticas: a tendência,
sazonalidade e ciclo
• Uma componente aleatória
• A componente aleatória refere-se aos valores da série que
flutuam em torno de uma média constante.
• A existência das componentes determinísticas fazem com
que não se perceba a componente aleatória.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• A tendência é caracterizada como aquele movimento re-
gular e continuo de longo prazo, refletindo um movimento
ascendente ou descendente em longo período de tempo.
Figura 5: Exemplo de série temporal com tendência crescente
(A) e decrescente (B).
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• A sazonalidade pode ser entendida como variações perió-
dicas ou cíclicas que se repetem em intervalos relativa-
mente constantes de tempo.
Figura 6: Exemplo de série temporal com sazonalidade (A) e
com sazonalidade e tendência (B)
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
• O Ciclo é caracterizado pela existência de variações ascen-
dentes e descendentes, porém, em intervalos não regula-
res de tempo. São as flutuações de longo prazo em torno
da curva de tendência.
Figura 7: Exemplo de série temporal com Ciclo
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Estacionaridade
• Uma das suposições mais frequentes que se faz a respeito
de uma série temporal é de que ela é estacionária
• De um modo geral uma série será estacionária se não hou-
ver mudanças sistemáticas na média e na variância
• Na pratica a maioria das séries tem um comportamento não
estacionário
• O comportamento não estacionário é provocado pela pre-
sença de componentes determinísticas
• Uma alternativa é remover as componentes determinísticas
deixando apenas a parte estacionária da série
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Diferença
• O operador de retardo B é uma função matemática apli-
cada para um valor de uma série é obtido a mesma série
retardada de um período. Isto é:
BYt = Yt−1
B2Yt = Yt−2
BnYt = Yt−n
• O operador diferença é dada por
∆ = Yt − Yt−1 = (1− B)Yt
.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Diferença
• Para eliminar as componentes determinísticas pode-se to-
mar diferenças sucessivas da série original, até obter uma
série estacionária.
• A primeira diferença de uma série é definida por:
∆Yt = Yt − Yt−1
• A segunda diferença é dada por:
∆2Yt = ∆(∆Yt ) = ∆(Yt − Yt−1) =
= ∆Yt −∆Yt−1 = (Yt − Yt−1)− (Yt−1 − Yt−2)
= Yt − 2Yt−1Yt−2
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Diferença
• A n-ésima diferença é dada por:
∆nYt = ∆(∆n−1Yt ) = (1− B)nYt
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Autocorrelação
• Lag ou defasagem temporal é um período de tempo entre
as duas observações de uma série temporal.
• A autocorrelação refere-se à correlação de uma série de
tempo com o seu próprio passado e os valores futuros
• A autocorrelação (fac) mede o grau de correlação de uma
variável, em um dado instante, consigo mesma, em um ins-
tante de tempo posterior.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocovariância
• Seja {Xt , t ∈ Z} um processo estacionário real discreto de
média zero, sua função de autocovariância (facv) é definida
por
γτ = E [XtXt+τ ]
• A facv γτ deve satisfazer as seguintes propriedades:
i) γ0 > 0;
ii) γ−τ = γτ ;
iii) |γτ | ≤ γo;
iv) γτ é não negativa definida, tal que
n∑
j=1
n∑
k=1
ajakγτj−τk ≥ 0,
para quaisquer números reais a1, . . . ,an, e τ1, . . . , τn de Z .
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A função de autocorrelação (fac) do processo é definida por
ρτ =
γτ
γ0
, τ ∈ Z
• A fac possui as mesmas propriedades da função de auto-
covariância γτ , exceto que agora temos ρ0 = 1.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A função de autocorrelação amostral rk é definida como:
rk =
ck
c0
=
N−k∑
t=1
(Yt − Ȳ )(Yt+k − Ȳ )
N∑
t=1
(Yt − Ȳ )2
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A função de autocorrelação é apresentada num gráfico k
versus ck , com linhas verticais que expressam a magnitude
da autocorrelação.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Para construir o gráfico de autocorrelação determina-se o
numero máximo de lag K pela expressão
K = 10log(N)
em que N representa o tamanho da serie
• A fac pode ser utilizar para verificar se uma série é aleatória
ou não.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Em uma série aleatória, os valores defasados das séries
são não correlacionadas e é esperado que rk ∼= 0.
• Para verificar se uma autocorrelação rk é significativamente
diferente de zero é construido um intervalo de confiança
rk ±
2√
n
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
Figura 8: Representação da função de autocorrelação amostral
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• A FAC também é importante para se verificar estacionari-
dade da série
• A inspeção do gráfico da função de autocorrelação permite
indentificar alguns padrões
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Séries aleatórias: Se uma série é completamente aleatória,
os valores de rk são estatisticamente iguais a zero.
Figura 9: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série aleatória
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Séries com alternâncias: Se uma série temporal alterna,
com sucessivas observações em diferentes lados da mé-
dia geral, então o gráfico da função da autocorrelação tam-
bém tende a alternar, entre valores positivos e negativos de
autocorrelação.
Figura 10: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série com alternâncias
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Série com sazonalidade: Se a série apresenta sazonali-
dade, então o gráfico da função da autocorrelação também
exibirá uma oscilação na mesma freqüência.
Figura 11: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série com sazonalidade
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
• Séries com tendência: Se a série contém uma tendência,
então os valores de de rk não caem parazero exceto para
valores de "lag"(intervalo de tempo) muito altos.
Figura 12: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma
série com tendência
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação
Figura 13: Exemplo de uma função de autocorrelação de uma série
com tendência e sazonalidade
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação Parcial
• A autocorrelação parcial mede a autocorrelação entre Yt e
Yt+k sem considerar as a autocorrelação das observações
Yt+1 a Yt+k−1.
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação Parcial
• A função de autocorrelaçao parcial (facp) do processo é
definida por:
φkk =
|P∗k |
|Pk |
em que
• Pk é a matriz de autocorrelação dada por
1 ρ1 ρ2 · · · ρk−1
ρ1 1 ρ1 · · · ρk−2
ρ2 ρ1 1 · · · ρk−3
...
...
...
. . .
...
ρk−1 ρk−2 ρk−3 · · · 1

• P∗k é a matriz Pk com a última coluna substituída pelo vetor
de autocorrelação {ρ1, ρ2, ..., ρk}
ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE SÉRIES TEMPORAIS
Função de Autocorrelação Parcial
• A função de autocorrelação parcial é apresentada num grá-
fico k versus φkk , com linhas verticais que expressam a
magnitude da autocorrelação parcial.
• Para avaliar se a autocorrelação parcial φkk é significati-
vamente diferente de zero, verifica-se se os valores estão
foram de um intervalo intervalo de confiança
φkk ±
2√
n
.
Modelos de Decomposição
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
• Considerando as observações {Yt , t ∈ T} de uma série
temporal. Um modelo de decomposição consiste em es-
crever Yt como uma soma de três componentes
Yt = Tt + St + at ,
em que
• Tt é a componente de tendência
• St é a componente de cíclica ou sazonal
• at é a componente aleatória
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
• Uma ST também pode ser representada por um modelo
multiplicativo
Yt = TtStat
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
• Suposição: at é um ruído branco, isto é, E [atas] = 0 para
t 6= s.
• Em geral: supõe-se apenas que at é um processo estacio-
nário com média zero e variância σ2.
• O principal interesse é obter uma série estacionária (livre
de tendência e sazonalidade).
• Estimar a tendência Tt e a sazonalidade St .
• Subtrair da série original as estimativas T̂t e Ŝt :
Yt = Tt + St + at série não estacionária
at = Yt − T̂t − Ŝt série estacionária
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tendência
• A Tendência em uma série de tempo é uma mudança lenta,
gradual, de alguma propriedade da série em todo o inter-
valo de observação. Algumas séries apresentam tendência
forte e outras fraca.
• Supondo um modelo em que apenas a componente de ten-
dência esteja presente, temos:
Yt = Tt + at
em que
• Tt é a componente de tendência
• at é a componente aleatória
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Teste de Tendência: Cox-Stuart
• Considere um conjunto de observações Y1,Y2, ...,YN .
Considere:
c = N2 se N par
c = N+12 se N ímpar
• Agrupe as observações em pares
(Y1,Y1+c), (Y2,Y2+c), · · · , (YN ,YN+c).
• Hipóteses:{
H0 : P(Yi < Yi+c) = P(Yi > Yi+c), ∀i Não existe tendência
H1 : P(Yi < Yi+c) 6= P(Yi > Yi+c), ∀i Existe tendência
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Teste de Tendência: Cox-Stuart
• A cada par de observações é associado o sinal
+ se Yi < Yi+c
0 se Yi = Yi+c
− se Yi > Yi+c
• Seja T o numero total de pares com sinal + e n o numero
de pares onde Yi 6= Yi+c .
• Supondo H0 verdadeira T ∼ Binomial(n, 12) assim, rejeita-
se H0
• (para n < 30) se T ≥ n − t , em que t encontrado numa
tabela binomial.
• (para n ≥ 30) se T ≥ 12 + zα2
√
n
4
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Teste de Tendência: Cox-Stuart (Exemplo)
• Considere parte da série temporal de produção de pescado
no Brasil. Temos N = 20, assim c = 10.
Tabela 1: Produção anual de pescado no Brasil no período de
1993 a 2012 e sinal dos pares do teste de Cox-Stuart.
t Yt t Yt Pares Yi Yi + c Sinal
1 676,441 11 985,4 1 676,4 985,4 +
2 701,251 12 1015,9 2 701,3 1015,9 +
3 652,91 13 1008,0 3 652,9 1008 +
4 693,172 14 1050,8 4 693,2 1050,8 +
5 732,261 15 1072,2 5 732,3 1072,2 +
6 710,704 16 1157,6 6 710,7 1157,6 +
7 744,598 17 1241,6 7 744,6 1241,6 +
8 839,296 18 1265,5 8 839,3 1265,5 +
9 935,946 19 1433,3 9 935,9 1433,3 +
10 1003,26 20 1551,2 10 1003,3 1551,2 +
T 10
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Teste de Tendência: Cox-Stuart (Exemplo)
• Assim, considerando os pares (tabela 1) temos T = 10,
n = 10, t0,975,10,0,5 = 8. Desta forma, rejeita-se H0. Pois,
T = 10 > 2 = 10− 8 = n − t0,975,10,0,5.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade
• Da mesma forma que a tendência, a sazonalidade
(ou periodicidade) constitui uma outra forma de não-
estacionaridade e deve ser estimada e retirada da série.
• Considera-se como sazonais os fenômenos que ocorrem
com regularidade no tempo.
• Relações:
• Entre observações para meses sucessivos em um ano par-
ticular
• entre as observações do mesmo mês em anos sucessivos.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade
• As séries sazonais são caracterizadas por apresentarem
correlação alta em "lag sazonais", isto é, lags que são múl-
tiplos do período.
• A sazonalidade por ser:
• Deterministica: pode ser predita perfeitamente a partir de
meses anteriores
• Estocástica: a componente sazonal varia com o tempo.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade
• Sendo Ŝt a estimativa de St , a série sazonalmente ajustada
é dada por:
• Modelo Aditivo
Y SAt = Yt − Ŝt
• Modelo Multiplicativo
Y SAt =
Yt
Ŝt
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Periodograma
• O periodograma é uma descrição dos valores observados
numa realização de uma série através da sobreposição de
ondas sinusoidais com várias freqüências.
• Aplicação prática: servir de instrumento na identificação de
componentes sazonais.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Periodograma
• Seja Yt uma série temporal de tamanho n im periodograma
pode ser obtido a partir da expressão:
Ij(ωj) =
1
2πn
( n∑
t=1
(yt − y)cos(ωj t)
)2
+
(
n∑
t=1
(yt − y)sen(ωj t)
)2
em que:
• ωj = 2πjn é a freqüência analisada com j = 1,2, ...,
n
2
• Ij (ωj ) é a intensidade da freqüência ωj
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Periodograma
• A periodicidade é dada por 2πωj
• No gráfico do periodograma, o periodo é representada no
eixo das abscissas e a intensidade da frequência Ip(fi) no
das ordenadas.
• Na maioria das vezes, o pico de maior intensidade é o com-
ponente periódico.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Teste de Fisher
• O teste de Fisher é utilizado para confirmar a existência de
sazonalidade em uma série temporal.
• As hipóteses a serem testadas são:{
H0 : Não existe sazonalidade
H1 : Existe sazonalidade
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Teste de Fisher (Procedimento)
• Obtém-se o periodograma, utilizando um pacote estatístico.
• Calcula-se a estatística g
g =
max(Ip)
N/2∑
p=1
Ip
• Calcula-se a estatística do Teste de Fisher zα, dada por:
zα = 1−
(α
n
) 1
n−1
em que n = N2 e α é o nível de significância do teste
• Se g > zα rejeita-se H0, ou seja, a série apresenta periodi-
cidade p.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Teste de Fisher (Procedimento)
• Pode-se testar o segundo maior periodo de Ip.
• Usa-se a estatística
g =
I′′p
N/2∑
p=1
Ip −max(Ip)
sendo I′′p o segundo maior valor do periodograma.
• Nesse caso utiliza-se n = N−12 no calculo de zα.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Teste de Fisher (Exemplo)
Tabela 2: Produção mensal de álcool nível 80 no período de janeiro
de 1991 a dezembro de 1995
Mês Ano
1991 1992 1993 1994 1995
jan 46,19 38,55 36,61 20,10 34,25
fev 31,19 17,63 19,12 12,76 22,49
mar 19,06 7,02 2,66 6,92 11,04
abr 2,38 3,36 3,72 4,93 2,17
mai 101,98 55,46 109,98 123,25 69,47
jun 209,45 200,23 201,54 221,63 205,64
jul 257,16 257,90 249,53 257,34 239,72
ago 269,92 262,06 255,99 268,40 268,87
set 268,54 208,06 221,44 260,94 266,50
out 241,34 230,37 216,55 220,45 216,90
nov 142,30 174,90 129,34 120,15 154,13
dez 62,21 80,60 43,40 53,17 76,75
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Teste de Fisher (Exemplo)
• Na figura 14 é apresentado o periodograma da série, em
que verifica-se a existência de um períodobem definido.
Figura 14: Periodograma para produção mensal de álcool nível
80 no período de janeiro de 1991 a dezembro de 1995
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Sazonalidade: Teste de Fisher (Exemplo)
• A maior periodicidade ocorre com p = 12 e apresenta in-
tensidade da freqüência igual a 573816,7 e soma das in-
tensidades é dada por 607113,1, assim:
g =
573816,7
607113,1
= 0,9451
• O tamanho da série é N = 60, assim n = 30, logo conside-
rando α = 0,05 então zα será dado por:
zα = 1−
(
0,05
30
) 1
30−1
= 0,1979
• Desta forma como g > zα rejeita-se H0, ou seja, a série
apresenta periodicidade de 12 meses.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tranformação de Séries Temporais
• Se a variância da séria aumenta ao longo do tempo, a serie
pode apresentar heteroscedasticidade!
• É conveniente fazer uma transformação a fim de tornar sua
variância constante.
• Verificar a necessidade de transformação: gráfico da média
versus amplitude.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tranformação de Séries Temporais
• Gráfico da média versus amplitude
• calcular a média e amplitude considerando intervalos regu-
lares da série.
• Se a série for sazonal, considere o intervalo como o tama-
nho do periodo, nas demais séries pode-se utilizar interva-
los de 8 a 12 observações.
• A idéia básica desse gráfico é colocar em um eixo uma me-
dida de posição e, no outro, uma da variação.
• Se a amplitude for independente da média, não há necessi-
dade de transformação.
• Se for diretamente proporcional, a transformação sugerida
é a logarítmica natural.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tranformação de Séries Temporais
• Se houver uma tendência na série e o tamanho do efeito
sazonal aumenta com o tempo, então os efeitos são multi-
plicativos.
• Nesse caso é aconselhável utilizar a transformação logarít-
mica.
• Outra possibilidade são as transformações da família Box-
Cox dada por:
yt =
{
xλt −1
λ λ 6= 0
ln(xt ) λ = 0
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tranformação de Séries Temporais (Exemplo)
• Considere a geração mensal de eletricidade dos Estados
Unidos (em milhões de quilowatts-hora) de todos os tipos:
carvão, gás natural, nuclear, petróleo, e de vento, no peri-
odo entre 01/1973 - 12/2005.
Figura 15: Série temporal da geração mensal de eletricidade.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tranformação de Séries Temporais (Exemplo)
• Na figura 16 tem-se o gráfico da média versus amplitude:
padrão linear entre a média e a amplitude.
Figura 16: gráfico da média versus amplitude da série temporal
da geração mensal de eletricidade.
MODELOS DE DECOMPOSIÇÃO
Tranformação de Séries Temporais (Exemplo)
• Utilizando a transformação de box-cox com λ = −0.25 tem
uma série com a variância estabilizada (Figura 17)
Figura 17: Gráfico da média versus amplitude da série temporal
transformada (λ = −0.25) da geração mensal de eletricidade.
Removendo Tendência
REMOVENDO TENDÊNCIA
• Se a tendência for removida pode-se obter uma série esta-
cionária.
• Abordagens
• Método de regressão
• Médias Móveis
• Diferença
REMOVENDO TENDÊNCIA
Método de regressão
• Podem ser utilizados vários tipos de modelos: polinomiais,
exponencial, logística, etc.
• O objetivo é estimar a tendência como uma função do
tempo:
Tt = f (t)
• Se for utilizado um modelo polinomial:
Tt = β0 + β1t + ...+ βmtm
REMOVENDO TENDÊNCIA
Método de regressão (Exemplo)
• Considere parte da série temporal de produção de pescado
no Brasil.
• Polinômio de primeiro grau (regressão linear) pode ser
ajustada:
Tt = β0 + β1t
• Ajustando uma regressão linear temos:
T̂t = 527,3 + 42,5t
• A série estacionária é obtida a partir da diferença entre os
valores observados e estimados
at = Yt − T̂t
REMOVENDO TENDÊNCIA
Método de regressão (Exemplo)
Tabela 3: Valores observados, previsto e erro de previsão da série
de produção anual de pescado no Brasil no período de 1993 a 2012
t Yt T̂t at t Yt T̂t at
1 676,4 569,8 106,6 11 985,4 994,8 -9,4
2 701,3 612,3 89 12 1015,9 1037,3 -21,4
3 652,9 654,8 -1,9 13 1008 1079,8 -71,8
4 693,2 697,3 -4,1 14 1050,8 1122,3 -71,5
5 732,3 739,8 -7,5 15 1072,2 1164,8 -92,6
6 710,7 782,3 -71,6 16 1157,6 1207,3 -49,7
7 744,6 824,8 -80,2 17 1241,6 1249,8 -8,2
8 839,3 867,3 -28 18 1265,5 1292,3 -26,8
9 935,9 909,8 26,1 19 1433,3 1334,8 98,5
10 1003,3 952,3 51 20 1551,2 1377,3 173,9
REMOVENDO TENDÊNCIA
Removendo Tendência: Método de regressão (Exemplo)
Figura 18: Produção anual de pescado no Brasil no período de 1993
a 2012, série com e sem tendência (regressão linear))
REMOVENDO TENDÊNCIA
Médias Móveis
• As médias móveis é um tipo de suavização que permite
estimar a tendência.
• A sua idéia básica é obter um subconjunto de tamanho fixo
das primeiras observações da série:
• A primeira média móvel será dada pela média desse sub-
conjunto.
• Em seguida é descolado o subconjunto para frente e calcu-
lado novamente sua média.
• Este processo é repetido até que todas as observações da
série sejam utilizados.
REMOVENDO TENDÊNCIA
Médias Móveis
• A forma mais simples de obter uma média móvel é por meio
da expressão:
Y ∗t =
1
2n + 1
n∑
j=−n
Zt+j
em que 2n + 1 representa o tamanho do subconjunto.
• Se n = 1, temos um subconjunto de 3 observações da
série.
• Se n = 2 temos um subconjunto de 5 observações da série.
REMOVENDO TENDÊNCIA
Médias Móveis
• Uma limitação do método de médias móveis é que não é
possível fazer estimativas para o observações nos instan-
tes t = 1, ...,n e t = N − n + 1.
• A partir da diferença entre os valores observados e as mé-
dias móveis é obtida a série sem tendência que deverá ser
uma série estacionária:
at = Yt − Y ∗t
REMOVENDO TENDÊNCIA
Médias Móveis (Exemplo)
Tabela 4: Valores observados, médias móveis (n = 1) e erro de
previsão da série de produção anual de pescado no Brasil no período
de 1993 a 2012
t Yt Y∗t at t Yt Y
∗
t at
1 676,4 − − 11 985,4 1001,5 -16,1
2 701,3 676,9 24,4 12 1015,9 1003,1 12,8
3 652,9 682,5 -29,6 13 1008 1024,9 -16,9
4 693,2 692,8 0,4 14 1050,8 1043,7 7,1
5 732,3 712,1 20,2 15 1072,2 1093,5 -21,3
6 710,7 729,2 -18,5 16 1157,6 1157,1 0,5
7 744,6 764,9 -20,3 17 1241,6 1221,6 20,0
8 839,3 839,9 -0,6 18 1265,5 1313,5 -48,0
9 935,9 926,2 9,7 19 1433,3 1416,7 16,6
10 1003,3 974,9 28,4 20 1551,2 − −
REMOVENDO TENDÊNCIA
Médias Móveis (Exemplo)
Figura 19: Produção anual de pescado no Brasil no período de 1993
a 2012, série com e sem tendência (médias móveis n = 1).
REMOVENDO TENDÊNCIA
Diferença
• Um outro procedimento para eliminar a tendência é por
meio de diferenças.
• Este método consiste em tomar diferenças sucessivas da
série original, até obter uma série estacionária.
• Em geral toma-se uma ou duas diferenças para eliminar a
tendência.
REMOVENDO TENDÊNCIA
Diferença (Exemplo)
Tabela 5: Valores observados e a primeira diferença da série de
produção anual de pescado no Brasil no período de 1993 a 2012
t Yt Yt − Yt−1 t Yt Yt − Yt−1
1993 676,4 - 2003 985,4 -17,9
1994 701,3 24,9 2004 1015,9 30,5
1995 652,9 -48,4 2005 1008 -7,9
1996 693,2 40,3 2006 1050,8 42,8
1997 732,3 39,1 2007 1072,2 21,4
1998 710,7 -21,6 2008 1157,6 85,4
1999 744,6 33,9 2009 1241,6 84
2000 839,3 94,7 2010 1265,5 23,9
2001 935,9 96,6 2011 1433,3 167,8
2002 1003,3 67,4 2012 1551,2 117,9
REMOVENDO TENDÊNCIA
Diferença (Exemplo)
Figura 20: Produção anual de pescado no Brasil no período de 1993
a 2012, série com e sem tendência
Removendo Sazonalidade
REMOVENDO SAZONALIDADE
Método de regressão
• A análise de regressão podem ser utilizada para estimar os
parâmetros do modelo para sazonalidade.
• É utilizada um modelo de regressão não linear dado por:
St = µ+
k∑
i=1
[
αicos
(
2πit
p
)
+ βjsen
(
2πit
p
)]
em que pode k ser escolhido entre os valores 1 < k < p
Método de regressão (Exemplo)
• Considerando a série produção mensal de álcool, tem-se
as seguintes estimativas considerando k = 3:
Tabela 6: Estimativas do modelo de regressão para Sazonalidade.
Parâmetro Estimativa valor-p
µ 130,26 < 0, 0001
α1 -49,79 < 0, 0001
β1 -129,03 < 0, 0001
α2 3,54 0,2072
β2 15,67 < 0, 0001
α3 -20,31< 0, 0001
β3 -5,60 0,0488
• Retirando α2, o modelo para sazonalidade é dado por:
Ŝt = 130,26− 49,79cos
(
2πt
12
)
− 129,03sen
(
2πt
12
)
− 15,67sen
(
2πt
6
)
− 20,31cos
(
2πt
4
)
− 5,60sen
(
2πt
4
)
REMOVENDO SAZONALIDADE
Removendo Sazonalidade: Método de regressão (Exemplo)
Figura 21: Periodograma para o erro do modelo modelo de
regressão para Sazonalidade para produção mensal de álcool.
REMOVENDO SAZONALIDADE
Método de regressão (Exemplo)
Figura 22: Produção mensal de álcool, série com e sem
sazonalidade.
REMOVENDO SAZONALIDADE
Método de Diferenças
• Para eliminar a sazonalidade pode-se utilizar o operador de
diferença.
• Este método consiste em tomar diferenças sucessivas da
série original, até obter uma série estacionária. Estas dife-
renças que ser multiplas do periodo p encontrado no perio-
dograma:
at = Yt − Yt−p
• O único problema dessa técnica é a perda de muitas infor-
mações se o período for grande.
REMOVENDO SAZONALIDADE
Método de Diferenças (Exemplo)
Figura 23: Produção mensal de álcool nível 80 no período de janeiro
de 1991 a dezembro de 1995, série com e sem sazonalidade
	
	Análise Exploratória de Séries Temporais
	Modelos de Decomposição
	Removendo Tendência
	Removendo Sazonalidade