V-MOMENTO DE INERCIA

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(
E. CIVIL- 01
) UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA 
PROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA 
MECÂNICA - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
05. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS SEÇÕES – PARTE II. Momento axial de inércia; momento polar de inércia; raio de giração; teorema dos eixos paralelos; produto de inércia; momentos principais; círculo de Mohr.
 (
Ix = 
∫
y
2
dA
Momento de 2ª ordem ou momento de inércia em relação ao eixo y.
) (
Momento de 2ª ordem ou momento de inércia em relação ao eixo x.
)
Momento axial de inércia:
 (
Iy = 
∫
x
2
dA
)
 (
(a – x)
dy
x 
a 
)Determinação do Momento de Inércia por integração:
 (
y
dx
x 
)
 (
dA = ydx 
Iy = ∫ x
2
 dA 
) (
dA = (a - x)dy 
Ix = ∫ y
2
 dA 
)
 (
y
dx
x 
)
 (
dIy = x
2
 dA 
 Iy = ∫ x
2
 dA 
 
dIx = y
3
 dx/3 
 Ix = 
y
3
 dx
3
∫
 
)Utilizando a mesma faixa elementar:
 (
r
y
x
dA
)Momento polar de inércia: 
 (
Io = 
∫
r
2
dA 
 Jo = Ix + Iy
)
 
 (
ko
2
 = kx
2
 + ky
2
) (
kx = 
 
Ix/A
 
ky = 
 
Iy/A
 
;
;
 
Jo/A
 
ko = 
)
Raio de Giração: 
 (
d
y’
y
dA
Eixo
baricêntrico
)	
 (
I = I + d
2
A
Jo = Jo + d
2
A
;
k
2
 = k
2
 + d
2
ko
2
 = ko
2
 + d
2
;
)Teorema dos eixos paralelos:
	
Entre eixos paralelos, o Momento de Inércia baricêntrico, apresenta o menor valor.
 (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
)
 (
E. CIVIL - 02
)Momento de Inércia de figuras compostas: é a soma (ou subtração, para áreas vazadas) dos
 valores dos momentos de inércia, em relação ao mesmo eixo, de suas partes integrantes:
	1. Calcula-se o Momento de Inércia de cada figura componente (tabela pou integração).
	2. Transfere-se o Momento de Inércia para um eixo comum (usando o teorema dos eixos paralelos).
	3. Calcula-se o Momento de Inércia da figura composta (somando ou subtraindo).
 (
y
x
)
 (
dA
)Produto de Inércia: 	Pxy =∫xydA 
Eixo de simetria: Pxy = 0 ; 
Eixos paralelos: Pxy = Px’y’ + x y A
 (
x’
x
y
y'
x
y/2
) (
dPx’y’ = 0
dPxy = x y/2 ydx
Pxy = 
∫
 dPxy = 
∫
 x y
2
/2 dx
)Utilizando uma faixa elementar: 
 (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
)
 (
Iu = 
∫ 
v
2
 dA ; 
Iu = Ix Cos
2
 - 2 Pxy Sen
 Cos
 + Iy Sen
2
Iu = + Cos2
Iv = 
∫ 
u
2
 dA ;
Iv = Ix Sen
2
 + 2 Pxy Sen
 Cos
 + Iy Cos
2
Iv = - Cos2
Puv = 
∫ 
uv dA ; 
Puv = Ix Sen
Cos
 + Pxy (Cos
2
 - Sen
2
) – Iy Sen
Cos
Puv = 
Sen2
 
Ix + Iy
 2
- Pxy
 Sen2
Ix - Iy
 2
Ix + Iy
 2
+ Pxy
 Sen2
Ix - Iy
 2
Ix - Iy
 2
+ Pxy
 Cos2
)Rotação de Eixos:
 (
u
x
v
y
v
u
x
y
)
 (
dI
d
= 0
)
Momentos principais: 
 (
Eixos principais: tg 2
 = 
-2Pxy
Ix - Iy
)
 (
Momentos principais: I
max,min
 =
Ix + Iy
 2
+
+ Pxy
2
Ix - Iy
 2
2
)
	 Em relação aos eixos principais: Puv = 0
 (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
)
 (
E. CIVIL - 03
)Círculo de Mohr: 
 (
B
A
Iy
2
Ix
Pxy
Puv
-Puv
-Pxy
(Ix ; Pxy)
(I
y
 ; 
- 
Pxy)
) (
C = I
med
 
=
Ix + Iy
2
) (
R
= 
+ Pxy
2
Ix - Iy
 2
2
)Momentos principais: 
 (
tg 2
 = 
 Pxy
Ix – Iy
 2
) (
I
max,min
 = 
I
med
 
R
+
) (
A = I
max
 
 ; 
B = I
min
 
) (
C 
) 
 (
Iv
Iu
2
2
Puv
-Puv
(Ix ; Pxy)
(I
y
 ; 
- 
Pxy)
)Determinação de Iu, Iv e Puv: 
 (
 = 2 
 +2 
 
)
 (
Iu = I
med
 + Rcos
 
Iv = I
med
 - Rcos 
 
Puv = Rsen 
 
)
	
MOMENTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS COMUNS
 RETÂNGULO TRIÂNGULO 
 (
y
x'
x
y'
b
h
C
) (
Ix’ =
bh
3
36
Iy’ =
hb
3
36
Ix =
bh
3
 12
Iy=
hb
3
 12
) (
Ix’ =
bh
3
12
Iy’ =
hb
3
12
Ix =
bh
3
 3
Iy=
hb
3
 3
y
x'
x
y'
C
b
h
)
 
 ;
	
 ; 
 (
Ix’ = Ix = 
r
4
 4
Jo =
r
4
 2
C
x = x’
y
r
) CÍRCULO SEMICÍRCULO
 (
C
x
y
r
Ix = Iy = 
r
4
 8
Jo =
r
4
 4
C
)
 (
Jo =
ab(a
2
 + b
2
)
 4
Ix = 
ab
3
 4
Iy = 
ba
3
 4
x
y
a
b
C
) (
C
x
y
r
Ix = Iy = 
r
4
16
Jo =
r
4
 8
) QUARTO DE CÍRCULO ELIPSE
 (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
)
 EXERCÍCIOS
 (
E. CIVIL - 04
) 
 (
y
1
 = k
1
x
2
y
2
 = k
2
x
1/2
a
b
)1. Determinar por integração direta, o Momento de Inércia da área entre as curvas ilustradas:
 (
c)
) (
b)
)2. Considere as figuras a seguir. Qual delas apresenta o maior e o menor momento de inércia em relação ao eixo y? Justifique
 (
a)
) (
a
a
a
x
y
)
 (
a
a
a
x
y
) (
a
a
a
x
y
)
Questões de 3 a 5. Determinar o momento de inércia das áreas, em relação aos eixos x e y.
 (
y = 
 x
3
3 cm
r
4 cm
6 cm
x
y
)
3.
 (
r
y = 
4
 
x
y
x
4
 cm
6 cm
)
4.
 (
100mm
15mm
300mm
15mm
15mm
200mm
15mm
x
y
)
5.
Questões 6 e 7 Determine os Momentos de Inércia em relação aos eixos baricêntricos.
 (
4
3
6
x (cm)
y (cm)
y = 
 x
3
r
)
6.
 (
18
2
2
2
5
x(cm)
y (cm)
5
)
7.
Questões 8 e 9. Determinar o momento polar de
inércia, em relação a origem.
 (
y
)
 (
r
1
 = 
6 cm
r
2
 = 
4 cm
)8.
 (
r
2
r
1
) (
x
)
 (
r
y (cm)
x (cm)
9 cm
x
 = 
y
2
)9.
 (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
)
 (
5,2
r
2
x (cm)
y (cm)
a
b
y = 
 
x
3
)10. Determine o valor de b, sabendo que o Momento de Inércia em relação ao eixo a, é Ia = 120 cm4. 
Questões 11 e 12. Determinar os produtos de inércia das áreas, em relação aos eixos x e y.
 (
3
y = x
3
 / 6
y (m)
x (cm)
)
11. 
 (
y
x
4 m
y = x
3
/8
2 m
r
2 m
)
12.
 (
2
)
13. Determinar o Produto de inércia da área da questão 11, em relação aos eixos baricêntricos.
14. Seja um perfil em ”L”, conforme ilustrado.
a) Determine, utilizando o Circulo de Mohr, os valores dos
 Momentos de Inércia Máximo e Mínimo, e a localização dos eixos principais.
 (
y
x
(cm}
5
30
5
2
0
(cm)
)b) Determine o valor dos Momentos de Inércia e do Produto de Inércia, para uma rotação de 30°, no sentido horário.
 (
E. CIVIL - 05
) (
x
y
C
20°
) (
Mom
entos 
de 
1ª 
ordem: 
Mx = 82 cm
3
 
;
 My = 57 cm
3
Área: A = 31,5 cm
2
Mom
entos 
de 
2ª
ordem:
 
Ix = 297,8 cm
4
 
;
Iy = 129,5 cm
4
Produto de Inércia: 
Pxy = 183,3 cm
4
)15. Considere a figura a seguir, com as seguintes propriedades da área: 
 
cm4
 
Determine, utilizando o Círculo de Mohr:
a) os valores dos momentos de inércia 
principais, em relação aos eixos baricêntricos.
b) os valores dos momentos de inércia e 
produto de inércia para a rotação indicada.
RESPOSTAS:
1. Ix = 3ab3 / 35 ; Iy = 3a3 b / 35
2. Maior: b; Menor: a
3. Ix = 1244,31 cm4 ; Iy = 3343,11 cm4 ;
4. Ix = 794,46 cm4 ; Iy = 1797,91 cm4 ; 
5. Ix = 651,28 X 106 m4 ; Iy =194,81 X 106 m4
6. Ix = 151,87c m4 ; Iy = 231,7 cm4 
7. Ix = 5788 cm4 ; Iy = 588 cm4 
8. Io = 1,6 X 103 cm4 
9. Io = 995,77 cm4 
10. b = 1,24 cm
11. Pxy = 11,39 cm4
12. Pxy = 176,27 cm4 
13. Pxy = 2,156 cm4
14. a) Imáx = 75017,69 cm4 ; Imin = 24565,63 cm4 ; 
 = 13,44o 
 b) Iu= 48418,67 cm4; Iv= 51164,65 cm4; 
 Puv= 25188,64 cm4
15. Imáx = 101,26cm4 ; Imin =9,9cm4 ; = -25,07o 
Iu = 100,55 cm4 ; Iv = 10,61 cm4 ; Puv = 8,03 cm4
 (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
) (
SERGIO TRANZILO FRANÇA
)