lista 3 lógica e programação (exercícios resolvidos)

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LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO 
PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 
 
1) Uma proposição composta ou proposição molecular, constitui-se por uma ou mais premissas ligadas por operadores 
lógicos e deve ser representada por letras latinas maiúsculas. A propriedade de uma proposição composta é ser 
válida ou inválida, esse resultado pode ser obtido através do cálculo proposicional dessa proposição. Com base na 
definição apresentada, construa, calcule e interprete o resultado da proposição composta abaixo: 
 
𝐓: [𝑝 ∨ (𝑞 ↔ 𝑟)] ∧ [(𝑝 → 𝑟) ⊕ 𝑞] Marque o resultado: 
( ) Tautologia 
( ) Contradição 
( X ) Contingência 
 
 P: Q: 
𝑝 𝑞 𝑟 �̅� �̅� �̅� 𝑞 ↔ 𝑟 𝑞 ↔ 𝑟̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (�̅� → �̅�) 𝑝 ∨ (𝑞 ↔ 𝑟)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (�̅� → �̅�) ⊕ 𝑞 P ∧ Q 
V V V F F F V F V V F F 
V V F F F V F V V V F F 
V F V F V F V F V V V V 
V F F F V V F V V V V V 
F V V V F F F V F V V V 
F V F V F V V F V F F F 
F F V V V F F V F V F F 
F F F V V V V F V F V F 
 
2) A negação da sentença "se você estudou lógica, então você acertará esta questão" é: 
a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. ~𝑞 → ~p 
b) você não estudou lógica e acertará esta questão. ~𝑝 ∧ 𝑞 
c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. 𝑝 → ~𝑞 
d) você estudou lógica e não acertará esta questão. 𝒑 ∧ ~𝒒 
e) Nenhuma das alternativas 
 
se você estudou lógica, então você acertará esta questão 
 
𝑝: Você estudou lógica 
𝑞: Você acertará esta questão 
~𝑝: Você não estudou lógica 
~𝑞: Você não acertar(á) esta questão 
 
𝑷: (𝒑 → 𝒒) 
 
Negando a proposição P, ficaria ~P, então teríamos como reposta: ~(𝒑 → 𝒒) 
 
Como ~(𝑝 → 𝑞) não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicamos a 
equivalência da condicional: 
~(𝑝 → 𝑞) ⇔ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) 
 
Como ~(~𝑝 ∨ 𝑞) não é uma resposta que aparece nas alternativas, aplicamos a lei DE MORGAN disjunção: 
 
~(~𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ 𝒑 ∧ ~𝒒 
 
3) A afirmação "A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro" tem como sentença logicamente equivalente: 
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. 𝑞 → 𝑝 ⇔ ~𝑞 ∨ 𝑝 
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. 𝑝 → 𝑞 ⇔ ~𝑝 ∨ 𝑞 
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. ~𝑝 → 𝑞 ⇔ 𝒑 ∨ 𝒒 
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. ~(𝑝 → 𝑞) ⇔ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) 
e) Não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. ~(𝑞 → p) ⇔ ~(~𝑞 ∨ 𝑝) 
 
A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro 
 
𝑝: A menina tem olhos azuis 
𝑞: O menino é loiro 
~𝑝: A menina não tem olhos azuis 
~𝑞: O menino não é loiro 
 
𝑷: (𝒑 ∨ 𝒒) 
 
LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO 
PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 
 
4) (FGV – TJ/PI – 2015) Considere a sentença: “Se gosto de capivara, então gosto de javali”. Uma sentença logicamente 
equivalente à sentença dada é 
a) Se não gosto de capivara, então não gosto de javali. ~𝑝 → ~𝑞 
b) Gosto de capivara e gosto de javali. 𝑝 ∧ 𝑞 
c) Não gosto de capivara ou gosto de javali. ~𝒑 ∨ 𝒒 
d) Gosto de capivara ou não gosto de javali. 𝑝 ∨ ~𝑞 
e) Gosto de capivara e não gosto de javali. 𝑝 ∧ ~𝑞 
 
Se gosto de capivara, então gosto de javali 
 
𝑝: Gosto de capivara 
𝑞: Gosto de javali 
~𝑝: Não gosto de capivara 
~𝑞: Não gosto de javali 
 
𝑷: (𝒑 → 𝒒) 
 
Como 𝑝 → 𝑞 não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicamos a 
equivalência da condicional: 
𝑝 → 𝑞 ⇔ ~𝒑 ∨ 𝒒 
 
5) Considerando V(𝑝) Verdadeiro, V(𝑞) Falso, marque a alternativa que apresenta o resultado correto do cálculo das 
proposições apresentadas abaixo. 
i. 𝑝 → ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) 
ii. 𝑞 ∧ ( (𝑝 → 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⊕ �̅�) 
iii. ((𝑝 ↔ (𝑞 ∨ 𝑝)) ∧ �̅�) 
iv. ((𝑝 ∨ 𝑞) ⊕ �̅�) 
a) V F F F 
b) V F F V 
c) V V F F 
d) F F F V 
 
O item iii. Não será necessário resolver, pois de acordo com as alternativas, o valor lógico é F. 
 
Começaremos então pelo item iv., pois ao encontrar o valor 
lógico, eliminaremos 50% das alternativas. 
Como sabemos que s valores lógicos de p e q são 
respectivamente V e F, faremos a tabela-verdade apenas da 
linha que contém estes valores. 
((𝑝 ∨ 𝑞) ⊕ �̅�) 
 
𝑝 𝑞 ~𝑝 (𝑝 ∨ 𝑞) (𝒑 ∨ 𝒒) ⊕ �̅� 
V F F V V 
Como o valor lógico encontrado foi V, então descartamos as alternativas a) e c), dessa forma quando analisamos o 
item ii., o valor lógico para as alternativas b) e d) é F. Portanto faremos apenas a tabela-verdade o item i. 
 
𝑝 → ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) 
 
𝑝 𝑞 ~𝑝 (𝑝 ⊕ 𝑞) ~(𝑝 ⊕ 𝑞) ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) 𝑝 → ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) 
V F F V F V V 
 
Como o valor lógico encontrado foi V, então descartamos a alternativa d) chegando a alternativa b) como gabarito. 
 
 
LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO 
PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 
 
6) Considere as proposições a seguir: 
 
i. ¬(A ∧ B) ⟷ (A → ¬B) 
ii. ¬(A → ¬B) → ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) 
iii. ((A → B) → A) → A 
iv. ((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)) → (B ∨ C) 
 
São tautologias as proposições apresentadas em: 
a) I e IV, apenas. 
b) II e III, apenas. 
c) I, II e III, apenas. 
d) II, III e IV, apenas. 
e) I, II, III e IV. 
 
A B C ~A ~B ~C (A ∧ B) ~(A ∧ B) (A → ~B) ~(𝐀 ∧ 𝐁) ⟷ (𝐀 → ~𝐁) 
V V V F F F V F F V 
V V F F F V V F F V 
V F V F V F F V V V 
V F F F V V F V V V 
F V V V F F F V V V 
F V F V F V F V V V 
F F V V V F F V V V 
F F F V V V F V V V 
 
Como o valor lógico de todas as linhas foi V, descartamos as alternativas b) e d). 
Escolhemos o item iii., pois é uma sentença menor. 
 
A B C ~A ~B ~C (A → B) ((A → B) → A) ((𝐀 → 𝐁) → 𝐀) → 𝐀 
V V V F F F V V V 
V V F F F V V V V 
V F V F V F F V V 
V F F F V V F V V 
F V V V F F V F V 
F V F V F V V F V 
F F V V V F V F V 
F F F V V V V F V 
 
Como o valor lógico de todas as linhas foi V, descartamos a alternativa a) e verificamos que as 
alternativas que restaram mostram que o item ii. tem o valor lógico V. 
Resta apenas resolver o item iv. 
 
((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)) → (B ∨ C) 
 
A B C ~A ~B ~C (A ∨ B) (~A ∨ B) (B ∨ C) ((A ∨ B) ∧ (~A ∨ B)) ((𝐀 ∨ 𝐁) ∧ (~𝐀 ∨ 𝐁)) → (𝐁 ∨ 𝐂) 
V V V F F F V V V V V 
V V F F F V V V V V V 
V F V F V F V F V F V 
V F F F V V V F F F V 
F V V V F F V V V V V 
F V F V F V V V V V V 
F F V V V F F V V F V 
F F F V V V F V F F V 
 
 
 
LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO 
PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 
 
7) Dado um argumento escrito na linguagem natural, se identificarmos as suas premissas simples e os operadores 
lógicos que ligam uma premissa a outra, é possível construir a notação simbólica desse argumento. Com base na 
definição apresentada, construa a fórmula proposicional dos argumentos abaixo: 
 
a) “A arma está no quarto é condição necessária para o meu cliente ser culpado. Ou a arma não estava no quarto ou 
João viu a arma”, além disso uma condição necessária para a arma está no quarto é João não a vê, entretanto não 
é verdade que a arma estava no quarto e o crime não aconteceu no banheiro” 
 
a: A arma está no quarto 
b: O cliente é culpado 
c: João viu a arma 
d: O crime ocorreu no banheiro 
((𝒃 → 𝒂) ∧ (~𝒂 ⨁ 𝒄)) ∧ ((𝒄 → 𝒂) ∧ ~(𝒂 ∧ ~𝒅)) 
 
b) “Carlos compra um carro só se mandar instalar um aparelho para CDs. Carlos compra novos Cds se instalar um 
aparelho para CDs, porém é fato que Carlos ficar sem dinheiro para gasolina segue de Carlos compra novos CDs. 
Portanto é falso que Carlos ter dinheiro para colocar gasolina é condição necessária e suficiente para comprar 
um carro.” 
 
a: Carlos comprou um carro 
b: Carlos mandou instalar um aparelho de CDs 
c: Carlos comprou novos CDs 
d: Carlos não ficou sem dinheiro para gasolina 
(𝒂 → 𝒃) ∧ (𝒄 → 𝒃) ..... terminar de montar 
 
8) Julgue as questões em Certo e Errado. 
 
a) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam então o país fica protegido de ataquesespeculativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é 
condição suficiente para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem”. 
 
Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam então o país fica protegido de ataques especulativos 
 
𝑝: As reservas internacionais em moeda forte aumentam 
𝑞: O país ficar protegido de ataques especulativos 
 
𝒑 → 𝒒 𝑝 é condição suficiente para 𝑞 
 
O país ficar protegido de ataques especulativos é condição suficiente para que as reservas internacionais em 
moeda forte aumentem 
 
𝑞 é condição necessária para 𝑞 𝒒 → 𝒑 
 
b) A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Se Carlos é juiz então não 
é competente”. 
 
Carlos é juiz e é muito competente 
 
𝑝: Carlos é juiz 
𝑞: Carlos é muito competente 
~𝑝: Carlos não é juiz 
~𝑞: Carlos não é muito competente 
 
𝑷: (𝒑 ∧ 𝒒) 
 
Se Carlos é juiz então não é competente 𝑸: (𝒑 → ~𝒒) 
 
Como o enunciado diz que P tem como negação Q, demonstramos da seguinte forma: 
 
~𝑷 ⇔ 𝑸 ? 
(𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ (𝒑 → ~𝒒) ? 
(𝒑 ∧ 𝒒) ⇎ (~𝒑 ∨ ~𝒒) Chegamos a conclusão que P não é equivalente a Q 
 
Certo 
Errado 
 
LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO 
PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 
 
c) A proposição “A Constituição brasileira é moderna e precisa ser refeita” será V quando a proposição “A 
Constituição brasileira não é moderna e nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa. 
 
A Constituição brasileira é moderna e precisa ser refeita 
𝑷: (𝒑 ∧ 𝒒) 𝑝: A Constituição brasileira é moderna 
𝑞: A Constituição brasileira precisa ser refeita 
 
A Constituição brasileira não é moderna e nem precisa ser refeita 
𝑸: (~𝒑 ∧ ~𝒒) ~𝑝: A Constituição brasileira não é moderna 
~𝑞: A Constituição brasileira não precisa ser refeita 
 
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 (𝒑 ∧ 𝒒) (~𝒑 ∧ ~𝒒) 
V V F F V F 
V F F V F F 
F V V F F F 
F F V V F V 
 
d) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito 
dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Os bancos não ganham muito dinheiro 
se as operações de crédito no país não aumentam” é também V. 
 
Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito dinheiro 
𝑷: (𝒑 → 𝒒) 𝑝: As operações de crédito no país aumentam 
𝑞: Os bancos ganham muito dinheiro 
 
Os bancos não ganham muito dinheiro se as operações de crédito no país não aumentam 
𝑸: (~𝒒 → ~𝑝) ~𝑝: As operações de crédito no país não aumentam 
~𝑞: Os bancos não ganham muito dinheiro 
 
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 (𝒑 → 𝒒) (~𝒒 → ~𝑝) 
V V F F V V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F F V V V V 
 
e) Se a proposição (A ∨ B) → C é verdadeira, então a proposição (~C → (~A ∧ ~B)) é também verdadeira. 
 
A B C ~A ~B ~C (A ∨ B) (A ∨ B) → C (~A ∧ ~B) (~C → (~A ∧ ~B)) 
V V V F F F V V F V 
V V F F F V V F F F 
V F V F V F V V F V 
V F F F V V V F F F 
F V V V F F V V F V 
F V F V F V V F F F 
F F V V V F F V V V 
F F F V V V F V V V 
 
Certo 
Certo 
Certo