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LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 1) Uma proposição composta ou proposição molecular, constitui-se por uma ou mais premissas ligadas por operadores lógicos e deve ser representada por letras latinas maiúsculas. A propriedade de uma proposição composta é ser válida ou inválida, esse resultado pode ser obtido através do cálculo proposicional dessa proposição. Com base na definição apresentada, construa, calcule e interprete o resultado da proposição composta abaixo: 𝐓: [𝑝 ∨ (𝑞 ↔ 𝑟)] ∧ [(𝑝 → 𝑟) ⊕ 𝑞] Marque o resultado: ( ) Tautologia ( ) Contradição ( X ) Contingência P: Q: 𝑝 𝑞 𝑟 �̅� �̅� �̅� 𝑞 ↔ 𝑟 𝑞 ↔ 𝑟̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (�̅� → �̅�) 𝑝 ∨ (𝑞 ↔ 𝑟)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (�̅� → �̅�) ⊕ 𝑞 P ∧ Q V V V F F F V F V V F F V V F F F V F V V V F F V F V F V F V F V V V V V F F F V V F V V V V V F V V V F F F V F V V V F V F V F V V F V F F F F F V V V F F V F V F F F F F V V V V F V F V F 2) A negação da sentença "se você estudou lógica, então você acertará esta questão" é: a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. ~𝑞 → ~p b) você não estudou lógica e acertará esta questão. ~𝑝 ∧ 𝑞 c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. 𝑝 → ~𝑞 d) você estudou lógica e não acertará esta questão. 𝒑 ∧ ~𝒒 e) Nenhuma das alternativas se você estudou lógica, então você acertará esta questão 𝑝: Você estudou lógica 𝑞: Você acertará esta questão ~𝑝: Você não estudou lógica ~𝑞: Você não acertar(á) esta questão 𝑷: (𝒑 → 𝒒) Negando a proposição P, ficaria ~P, então teríamos como reposta: ~(𝒑 → 𝒒) Como ~(𝑝 → 𝑞) não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicamos a equivalência da condicional: ~(𝑝 → 𝑞) ⇔ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) Como ~(~𝑝 ∨ 𝑞) não é uma resposta que aparece nas alternativas, aplicamos a lei DE MORGAN disjunção: ~(~𝑝 ∨ 𝑞) ⇔ 𝒑 ∧ ~𝒒 3) A afirmação "A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro" tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. 𝑞 → 𝑝 ⇔ ~𝑞 ∨ 𝑝 b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. 𝑝 → 𝑞 ⇔ ~𝑝 ∨ 𝑞 c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. ~𝑝 → 𝑞 ⇔ 𝒑 ∨ 𝒒 d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. ~(𝑝 → 𝑞) ⇔ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) e) Não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. ~(𝑞 → p) ⇔ ~(~𝑞 ∨ 𝑝) A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro 𝑝: A menina tem olhos azuis 𝑞: O menino é loiro ~𝑝: A menina não tem olhos azuis ~𝑞: O menino não é loiro 𝑷: (𝒑 ∨ 𝒒) LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 4) (FGV – TJ/PI – 2015) Considere a sentença: “Se gosto de capivara, então gosto de javali”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é a) Se não gosto de capivara, então não gosto de javali. ~𝑝 → ~𝑞 b) Gosto de capivara e gosto de javali. 𝑝 ∧ 𝑞 c) Não gosto de capivara ou gosto de javali. ~𝒑 ∨ 𝒒 d) Gosto de capivara ou não gosto de javali. 𝑝 ∨ ~𝑞 e) Gosto de capivara e não gosto de javali. 𝑝 ∧ ~𝑞 Se gosto de capivara, então gosto de javali 𝑝: Gosto de capivara 𝑞: Gosto de javali ~𝑝: Não gosto de capivara ~𝑞: Não gosto de javali 𝑷: (𝒑 → 𝒒) Como 𝑝 → 𝑞 não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicamos a equivalência da condicional: 𝑝 → 𝑞 ⇔ ~𝒑 ∨ 𝒒 5) Considerando V(𝑝) Verdadeiro, V(𝑞) Falso, marque a alternativa que apresenta o resultado correto do cálculo das proposições apresentadas abaixo. i. 𝑝 → ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) ii. 𝑞 ∧ ( (𝑝 → 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⊕ �̅�) iii. ((𝑝 ↔ (𝑞 ∨ 𝑝)) ∧ �̅�) iv. ((𝑝 ∨ 𝑞) ⊕ �̅�) a) V F F F b) V F F V c) V V F F d) F F F V O item iii. Não será necessário resolver, pois de acordo com as alternativas, o valor lógico é F. Começaremos então pelo item iv., pois ao encontrar o valor lógico, eliminaremos 50% das alternativas. Como sabemos que s valores lógicos de p e q são respectivamente V e F, faremos a tabela-verdade apenas da linha que contém estes valores. ((𝑝 ∨ 𝑞) ⊕ �̅�) 𝑝 𝑞 ~𝑝 (𝑝 ∨ 𝑞) (𝒑 ∨ 𝒒) ⊕ �̅� V F F V V Como o valor lógico encontrado foi V, então descartamos as alternativas a) e c), dessa forma quando analisamos o item ii., o valor lógico para as alternativas b) e d) é F. Portanto faremos apenas a tabela-verdade o item i. 𝑝 → ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) 𝑝 𝑞 ~𝑝 (𝑝 ⊕ 𝑞) ~(𝑝 ⊕ 𝑞) ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) 𝑝 → ( (𝑝 ⊕ 𝑞)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ↔ �̅�) V F F V F V V Como o valor lógico encontrado foi V, então descartamos a alternativa d) chegando a alternativa b) como gabarito. LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 6) Considere as proposições a seguir: i. ¬(A ∧ B) ⟷ (A → ¬B) ii. ¬(A → ¬B) → ((A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B)) iii. ((A → B) → A) → A iv. ((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)) → (B ∨ C) São tautologias as proposições apresentadas em: a) I e IV, apenas. b) II e III, apenas. c) I, II e III, apenas. d) II, III e IV, apenas. e) I, II, III e IV. A B C ~A ~B ~C (A ∧ B) ~(A ∧ B) (A → ~B) ~(𝐀 ∧ 𝐁) ⟷ (𝐀 → ~𝐁) V V V F F F V F F V V V F F F V V F F V V F V F V F F V V V V F F F V V F V V V F V V V F F F V V V F V F V F V F V V V F F V V V F F V V V F F F V V V F V V V Como o valor lógico de todas as linhas foi V, descartamos as alternativas b) e d). Escolhemos o item iii., pois é uma sentença menor. A B C ~A ~B ~C (A → B) ((A → B) → A) ((𝐀 → 𝐁) → 𝐀) → 𝐀 V V V F F F V V V V V F F F V V V V V F V F V F F V V V F F F V V F V V F V V V F F V F V F V F V F V V F V F F V V V F V F V F F F V V V V F V Como o valor lógico de todas as linhas foi V, descartamos a alternativa a) e verificamos que as alternativas que restaram mostram que o item ii. tem o valor lógico V. Resta apenas resolver o item iv. ((A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)) → (B ∨ C) A B C ~A ~B ~C (A ∨ B) (~A ∨ B) (B ∨ C) ((A ∨ B) ∧ (~A ∨ B)) ((𝐀 ∨ 𝐁) ∧ (~𝐀 ∨ 𝐁)) → (𝐁 ∨ 𝐂) V V V F F F V V V V V V V F F F V V V V V V V F V F V F V F V F V V F F F V V V F F F V F V V V F F V V V V V F V F V F V V V V V V F F V V V F F V V F V F F F V V V F V F F V LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA 7) Dado um argumento escrito na linguagem natural, se identificarmos as suas premissas simples e os operadores lógicos que ligam uma premissa a outra, é possível construir a notação simbólica desse argumento. Com base na definição apresentada, construa a fórmula proposicional dos argumentos abaixo: a) “A arma está no quarto é condição necessária para o meu cliente ser culpado. Ou a arma não estava no quarto ou João viu a arma”, além disso uma condição necessária para a arma está no quarto é João não a vê, entretanto não é verdade que a arma estava no quarto e o crime não aconteceu no banheiro” a: A arma está no quarto b: O cliente é culpado c: João viu a arma d: O crime ocorreu no banheiro ((𝒃 → 𝒂) ∧ (~𝒂 ⨁ 𝒄)) ∧ ((𝒄 → 𝒂) ∧ ~(𝒂 ∧ ~𝒅)) b) “Carlos compra um carro só se mandar instalar um aparelho para CDs. Carlos compra novos Cds se instalar um aparelho para CDs, porém é fato que Carlos ficar sem dinheiro para gasolina segue de Carlos compra novos CDs. Portanto é falso que Carlos ter dinheiro para colocar gasolina é condição necessária e suficiente para comprar um carro.” a: Carlos comprou um carro b: Carlos mandou instalar um aparelho de CDs c: Carlos comprou novos CDs d: Carlos não ficou sem dinheiro para gasolina (𝒂 → 𝒃) ∧ (𝒄 → 𝒃) ..... terminar de montar 8) Julgue as questões em Certo e Errado. a) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam então o país fica protegido de ataquesespeculativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição suficiente para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem”. Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam então o país fica protegido de ataques especulativos 𝑝: As reservas internacionais em moeda forte aumentam 𝑞: O país ficar protegido de ataques especulativos 𝒑 → 𝒒 𝑝 é condição suficiente para 𝑞 O país ficar protegido de ataques especulativos é condição suficiente para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem 𝑞 é condição necessária para 𝑞 𝒒 → 𝒑 b) A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Se Carlos é juiz então não é competente”. Carlos é juiz e é muito competente 𝑝: Carlos é juiz 𝑞: Carlos é muito competente ~𝑝: Carlos não é juiz ~𝑞: Carlos não é muito competente 𝑷: (𝒑 ∧ 𝒒) Se Carlos é juiz então não é competente 𝑸: (𝒑 → ~𝒒) Como o enunciado diz que P tem como negação Q, demonstramos da seguinte forma: ~𝑷 ⇔ 𝑸 ? (𝒑 ∧ 𝒒) ⇔ (𝒑 → ~𝒒) ? (𝒑 ∧ 𝒒) ⇎ (~𝒑 ∨ ~𝒒) Chegamos a conclusão que P não é equivalente a Q Certo Errado LISTA 3 – Revisão | LÓGICA E PROGRAMAÇÃO PROPOSIÇÕES/CONECTORES/TABELA-VERDADE/EQUIVALÊNCIA c) A proposição “A Constituição brasileira é moderna e precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna e nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa. A Constituição brasileira é moderna e precisa ser refeita 𝑷: (𝒑 ∧ 𝒒) 𝑝: A Constituição brasileira é moderna 𝑞: A Constituição brasileira precisa ser refeita A Constituição brasileira não é moderna e nem precisa ser refeita 𝑸: (~𝒑 ∧ ~𝒒) ~𝑝: A Constituição brasileira não é moderna ~𝑞: A Constituição brasileira não precisa ser refeita 𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 (𝒑 ∧ 𝒒) (~𝒑 ∧ ~𝒒) V V F F V F V F F V F F F V V F F F F F V V F V d) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Os bancos não ganham muito dinheiro se as operações de crédito no país não aumentam” é também V. Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito dinheiro 𝑷: (𝒑 → 𝒒) 𝑝: As operações de crédito no país aumentam 𝑞: Os bancos ganham muito dinheiro Os bancos não ganham muito dinheiro se as operações de crédito no país não aumentam 𝑸: (~𝒒 → ~𝑝) ~𝑝: As operações de crédito no país não aumentam ~𝑞: Os bancos não ganham muito dinheiro 𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 (𝒑 → 𝒒) (~𝒒 → ~𝑝) V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V e) Se a proposição (A ∨ B) → C é verdadeira, então a proposição (~C → (~A ∧ ~B)) é também verdadeira. A B C ~A ~B ~C (A ∨ B) (A ∨ B) → C (~A ∧ ~B) (~C → (~A ∧ ~B)) V V V F F F V V F V V V F F F V V F F F V F V F V F V V F V V F F F V V V F F F F V V V F F V V F V F V F V F V V F F F F F V V V F F V V V F F F V V V F V V V Certo Certo Certo
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