GEOMETRIA ANALÍTICA - AFA

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QUESTÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
ENUNCIADOS 
 
 
1) (AFA 1989) A circunferência com centro  1,2 e tangente à reta x y 3 0,   tem 
equação: 
a) 2 2x y 4x 2y 3 0     b) 2 2x y 2x 4y 3 0     
c) 2 2x y 2x 4y 7 0     d) 2 2x y 4x 2y 7 0     
 
2) (AFA 1989) A equação reduzida 
2 2x y
1,
9 4 k
 

 onde k é um número real e k 4,  
representa uma: 
a) parábola, se 0 k 4.  b) hipérbole, se k 4.  
c) circunferência, se k 4. d) elipse, se k 0. 
 
3) (AFA 1990) A equação da elipse de centro  C 2,1 , de excentricidade 
3
5
 e de eixo 
maior horizontal com comprimento 20 é: 
a) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  b) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  
c) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  d) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  
 
4) (AFA 1994) A equação da elipse que, num sistema de eixos ortogonais, tem focos 
 1F 3,0 e  2F 3,0 e passa pelo ponto 
5
P ,2 3 ,
2
 
 
 
 é: 
a) 
2 2x y
1
36 25
  b) 
2 2x y
1
16 25
  
c) 
2 2x y
1
25 36
  d) 
2 2x y
1
25 16
  
 
5) (AFA 1994) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere 1P a 
circunferência de equação 
2 22x 2y 11x 6y 8 0.     Então, a equação da 
circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de 1P , é dada 
por: 
a) 2 2
3 11 4
x x y y
2 4 9
    b) 2 2
11 121
x x y 3y 0
2 16
     
c) 2 2
11 3 9
x x y y
4 2 4
    d) 2 2
1
2x 2y 11x 6y 0
8
     
 
 
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6) (AFA 1996) Determine os pontos A na reta  r 2x y 0  e B na reta 
 s x y 2 0   tal que  P 2,1 seja ponto médio de AB. 
a)  A 0,0 e  B 4,2 b)  A 0,0 e  B 2, 4  
c)  A 2,4 e  B 2,0 d)  A 1,2 e  B 4,2 
 
7) (AFA 1996) Uma reta, que passa pelo primeiro quadrante, intercepta os eixos 
cartesianos nos pontos  A k,0 e  B 0,k , determinando o triângulo OAB com 8 
unidades de área. Então, a equação geral dessa reta pode ser escrita por: 
a) x y 4 0   b) x y 4 0   
c) x y 4 0   d) x y 2 2 0   
 
8) (AFA 1996) Dada a circunferência 
2 2x y 8x 4y 5 0     e os pontos  D 1,2 e 
 E 8,5 , pode-se afirmar que DE 
a) é um diâmetro da circunferência. 
b) não intercepta a circunferência. 
c) intercepta a circunferência em um único ponto. 
d) é uma corda da circunferência, mas não contém o centro. 
 
9) (AFA 1996) Se  A 10,0 e  B 5, y são pontos de uma elipse cujos focos são 
 1F 8,0 e  2F 8,0 , então o perímetro do triângulo 1 2BF F mede: 
a) 24 b) 26 c) 36 d) 38 
 
10) (AFA 1997) Qual das equações abaixo representa a circunferência inscrita no 
triângulo de vértices  A 3,5 ,  B 9,5 e  C 3,11 ? 
a)    2 2x y 9 3 2 x 11 3 2 y 54 36 2 0        
b)    2 2x y 9 3 2 x 11 3 2 y 54 36 2 0        
c)    2 2x y 18 6 2 x 22 6 2 y 184 84 2 0        
d)    2 2x y 18 6 2 x 22 6 2 y 184 84 2 0        
 
11) (AFA 1997) O valor numérico do raio da circunferência que intersecta a parábola 
2x 2x 4y 1 0    no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é: 
a) 1 b) 
3
2
 c) 
5
2
 d) 2 
 
12) (AFA 1997) A área da circunferência que circunscreve o triângulo determinado 
pelas retas  1r y 2x 1,   2r 2y x 12 0   e  3r y 1 é: 
a) 9 b) 18 c) 25 d) 36 
 
13) (AFA 1998) A reta (s), simétrica de  r x y 1 0   em relação à reta 
 t 2x y 4 0,   
a) passa pela origem. 
 
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b) forma um ângulo de 60 com (r). 
c) tem 
1
5
 como coeficiente angular. 
d) é paralela à reta de equação 7y x 7 0.   
 
14) (AFA 1998) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente 
com os pontos  A 3,5 e  B 3,5 , determina triângulos com perímetro 2p 16 cm 
uma 
a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência. 
 
15) (AFA 1998) A área da intersecção das regiões do plano cartesiano limitada por 
 
22x y 4 25   e 
x
y 4 1
3
 
  
 
 é 
a) 
9
2

 b) 
17
2

 c) 
25
2

 d) 
31
2

 
 
16) (AFA 1999) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é 
 
a) 
2 2(x 4) (y 3)
1
9 16
 
  . b) 
2 2(x 5) (y 1)
1
9 16
 
  . 
c) 
2 2(x 1) (y 5)
1
16 9
 
  . d) 
2 2(x 1) (y 5)
1
9 16
 
  . 
 
17) (AFA 1999) A distância entre o ponto de interseção das retas r : 2x 3y 4 0   e 
x t 2
s : , t
y 2t 1
 

 
 e a reta 
1 1
q : y x
2 8
  é 
a) 4 5 . b) 
3 7
20
. c) 
3 5
10
. d) 
5 7
4
. 
 
 
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18) (AFA 2000) O parâmetro da parábola, que passa pelo ponto  P 6,2 e cujo vértice 
 V 3,0 é o seu ponto de tangência com o eixo das abscissas, é 
a) 
9
5
 b) 
9
4
 c) 3 d) 
9
2
 
 
19) (AFA 2000) A excentricidade da elipse que tem centro na origem, focos em um dos 
eixos coordenados e que passa pelos pontos  A 3,2 e  B 1,4 é 
a) 
2
3
 b) 
3
3
 c) 
2
2
 d) 
3
2
 
 
20) (AFA 2000) Os pontos  P a,b e  Q 1, 1 são interseção das circunferências  e 
, com centros  C 2, y  e  C b,a 1 ,  respectivamente. Sendo C C  
perpendicular a PQ que, por sua vez, é paralelo ao eixo das ordenadas, a equação geral 
de  é 
a) 
2 2x y 8x 4y 2 0     b) 2 2x y 4x 4y 10 0     
c) 
2 2x y 10x 2y 6 0     d) 2 2x y 10x 4y 4 0     
 
21) (AFA 2000) A área do polígono que tem como vértices os extremos dos eixos maior 
e menor da elipse 2 24x y 24x 6y 41 0,     é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
22) (AFA 2001) As diagonais de um losango estão contidas nas retas 
     r 3m 1 x m 2 y 0    e    t x m 1 y m 2 0     . É correto afirmar que os 
possíveis valores de m 
a) têm soma igual a 2 . b) têm produto igual a 3 . 
c) pertencem ao intervalo  3,3 . d) têm sinais opostos. 
 
23) (AFA 2001) A equação reduzida da hipérbole, cujos focos são os extremos do eixo 
menor da elipse de equação 
2 216x 25y 625,  e cuja excentricidade é igual ao inverso 
da excentricidade da elipse dada, é 
a) 
2 216y 9x 144  b) 2 29y 16x 144  
c) 
2 29x 16y 144  d) 2 216x 9y 144  
 
24) (AFA 2001) Na figura abaixo 1F e 2F são focos da elipse 
2 2x y
1.
25 9
  O ponto C, 
de coordenadas
3
0, ,
2
 
 
 
 pertence ao segmento MN. Os segmentos AC, CB e MN são, 
respectivamente, paralelos aos segmentos 1F P, 2PF e 1 2F F . A área da figura 
sombreada, em unidades de área, é 
 
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a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 
 
25) (AFA 2002) A equação  
2
y 3 4 x 1    representa: 
a) elipse de eixo maior igual a 2. 
b) parábola de vértice  V 1,3 e parâmetro 
1
p .
2
 
c) hipérbole de eixo real vertical e centro  C 1,3 . 
d) semicircunferência de centro  C 1,3 e raio r 2. 
 
26) (AFA 2002) Dada a equação 
2 2ax by c,  onde a, b e c são reais NÃO nulos, é 
correto afirmar que, necessariamente, sua representação gráfica é uma 
a) circunferência, se a b. 
b) hipérbole, se a b  e c b. 
c) elipse de centro na origem, se a b e c 1. 
d) circunferência, se a b e c 0. 
 
27) (AFA 2003) A circunferência de equação 
2 2x y 8x 8y 16 0     e centro C é 
tangente ao eixo das abscissas no ponto A e é tangente ao eixo das ordenadas no ponto 
B. A área do triângulo ABC vale: 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 
 
28) (AFA 2003) Dadas as retas de equações r y ax b   e 1 1 1r y a x b .   Determine 
a relação entre a, 1a , b e 1b que está correta. 
a) Se 1a a e 1b b tem-se 1r r .b) Se 1a a e 1b b tem-se 1r r . 
c) Se 1a a pode-se ter 1r r . 
d) Se 1a a e 1b b tem-se 1r r . 
 
 
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29) (AFA 2004) Os pontos  A 0,0 e  B 3,0 são vértices consecutivos de um 
paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta 
y 2x  e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então, a 
diagonal AC mede 
 
a) 38 b) 37 c) 34 d) 26 
 
30) (AFA 2004) Com relação ao conjunto de pontos  P x, y equidistantes da reta y 3 
e da origem do sistema cartesiano ortogonal, é INCORRETO afirmar que é uma curva 
a) representada por 
2x 6y 9 0.   
b) cujas coordenadas do vértice têm soma igual a 1,5. 
c) que representa uma função par. 
d) cujo parâmetro é igual a 3. 
 
31) (AFA 2005) Considere duas circunferências de mesmo raio, sendo 
2 2x y 4x 8y 4 0     a equação da primeira e  2C 4,2 , o centro da segunda. Se a 
reta s contém uma corda comum a ambas as circunferências, é FALSO que s 
a) é perpendicular à bissetriz dos quadrantes pares. 
b) tem declividade positiva. 
c) admite equação na forma segmentária. 
d) tem coeficiente linear nulo. 
 
32) (AFA 2005) Analise as proposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou 
(F) falsas. 
  Considere a circunferência  e a hipérbole 2 22y x 8  tendo mesmo centro. Se 
 passa pelos focos da hipérbole, uma de suas equações é 2 2x y 12.  
 
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  Numa hipérbole equilátera, uma das assíntotas tem coeficiente angular igual a 
2
.
2
 
  A excentricidade da elipse 2 2x 4y 4  é igual a 
3
.
2
 
Tem-se a sequência 
a) V, F, V b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, F 
 
33) (AFA 2006) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que 
 
x 2v 3
r ,
y 3v 2
 

 
  s mx y m 0   e  t x 0, analise as proposições abaixo, 
classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s). 
  m | r s   
  m | s t   
  Se m 0, as retas r, s e t determinam um triângulo retângulo. 
  As retas r e s poderão ser retas suportes de lados opostos de um paralelogramo se 
m 1,5.  
A sequência correta é 
a) F – V – F – F b) V – V – V – F 
c) V – F – F – V d) F – V – V – V 
 
34) (AFA 2006) Considere o sistema cartesiano ortogonal e as opções abaixo. Marque a 
FALSA. 
a) A medida de um dos eixos da elipse de equação 
2 2x 4y 1  é a quarta parte do 
outro. 
b) As retas da equação y mx representam as assíntotas da curva 
2 2x y
1
16 25
  se, e 
somente se, 
5
m .
4
 
c) As circunferências 
2 2x y 2x 0   e 2 2x y 4x 0   são tangentes exteriormente. 
d) A equação 
2x y 0  representa uma parábola cuja reta diretriz não tem coeficiente 
angular definido. 
 
35) (AFA 2007) No plano cartesiano, a figura abaixo representa duas circunferências 
concêntricas 1 e 2 , cujo centro é o ponto C. Sabe-se que 1 é contorno de um 
círculo representado pela equação    
22
x 1 y 2 4    e que AB, que mede 8 cm, é 
corda da circunferência maior 2 , paralela ao eixo das ordenadas. Considerando 
também que AB é tangente a 1, classifique em (V) verdadeira e (F) falsa, cada 
proposição a seguir. 
 
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  1 é tangente ao eixo das abscissas. 
  A soma das coordenadas de A e B é um número maior que 5. 
  A região sombreada é representada por 
   
22
x 3
.
x 1 y 2 20


   
 
  A reta  
x 1 t
t t
y
2
 




 é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e C. 
A sequência correta é 
a) V – F – V – V b) V – V – F – F 
c) V – F – F – V d) F – V – V – F 
 
36) (AFA 2007) Classifique em VERDADEIRO ou FALSO cada item a seguir. 
(2) A parábola cuja equação é 
2x 4y 0  tem diretriz representada pela reta y 1 0  e 
foco coincidente com o baricentro do triângulo ABC, onde A é a origem do sistema 
cartesiano,  B 2,3 e  C 2,0 . 
(3) O conjunto de pontos representados pela equação 
2 2x y x y 0    é uma 
hipérbole equilátera que NÃO tem centro na origem do sistema cartesiano. 
(8) Na elipse 
2 216x 64y 1  a medida do eixo vertical é 50% da medida do eixo 
horizontal. 
(16) Existem apenas 4 números inteiros entre os valores de k, para os quais o vértice da 
parábola 
2y 4x 1  é ponto exterior à circunferência 2 2x y 2x 4y k 0.     
A soma dos itens VERDADEIROS é um número no intervalo 
a)  22,30 b)  10,16 c)  16,22 d)  2,10 
 
37) (AFA 2008) A circunferência   2 2x y 2x 2y k 0      passa pelo ponto 
 A 0,1 . Sabendo-se que o ponto P de   mais próximo da origem coincide com o 
baricentro do triângulo MNQ, onde  M 0,k ,  N 2k,0 e  0 0Q x , y é correto afirmar 
que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo 
 
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a) 
3
1,
2
 
  
 b) 
5
2,
2
 
  
 c) 
5
,3
2
 
  
 d) 
3
,2
2
 
  
 
 
38) (AFA 2008) Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaixo 
sobre o ponto  P x, y no plano cartesiano. 
  Se o ponto P pertence simultaneamente à bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos 
quadrantes pares, então o ponto simétrico de P em relação à reta  *y k k  tem a 
soma das coordenadas igual a 2k. 
  Sendo  x, y , então existem apenas dois pontos  P x, y que atendem à 
condições 
2
x 0
.
y 3y x


 
 
  Os pontos  P x, y tais que a sua distância ao eixo das abscissas é igual à metade 
da distância de P ao ponto  Q 0,6 formam uma hipérbole de excentricidade igual a 2. 
Sobre as afirmativas, tem-se 
a) apenas duas falsas. b) todas falsas. 
c) apenas uma falsa. d) todas verdadeiras. 
 
39) (AFA 2008) Considere as curvas, dadas pelas equações 
(I) 
2 216x 4y 128x 24y 228 0     
(II) y 7 x  
(III) 2y 6y x 5 0    
Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou FALSA. 
(01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas retas e de (III) por 
uma parábola. 
(02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III). 
(04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que 1. 
(08) A excentricidade de (I) é igual cos .
6

 
A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo 
a)  8,11 b)  4,7 c)  12,15 d)  1,3 
 
40) (AFA 2009) Sobre as retas    r 1 k x 10y 3k 0    e  
 
x 2 t
s
y 1 1 k t
 

   
 onde 
k, t , pode-se afirmar que 
a) poderão ser paralelas coincidentes para algum valor de k. 
b) se forem paralelas, não terão equação na forma reduzida. 
c) sempre poderão ser representadas na forma segmentária. 
d) nunca serão perpendiculares entre si. 
 
41) (AFA 2009) Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências: 
  2 21 x y 2x 4y 1 0      
 
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  2 22 4x 4y 12x 8y 15 0      
     
22
3 x 7 y 3 8     
O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual à média 
aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, 
possui volume, em 3m , igual a 
a) 
21
2
 b) 
49
4
 c) 
49
2
 d) 
21
4
 
 
42) (AFA 2009) Suponha um terreno retangular com medidas de 18 m de largura por 
30 m de comprimento, como na figura abaixo. 
 
Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim elíptico que tenha os dois eixos 
(paralelos aos lados do retângulo) com o maior comprimento possível. Ele escolhe dois 
pontos fixos P e Q, onde fixará a corda que vai auxiliar no traçado. 
Nesse jardim, o jardineiropretende deixar para o plantio de rosas uma região limitada 
por uma hipérbole que possui: 
• eixo real com extremidades em P e Q; e 
• excentricidade 
5
e .
4
 
Considerando o ponto A coincidente com a origem do plano cartesiano e a elipse 
tangente aos eixos coordenados, no primeiro quadrante, julgue as afirmativas abaixo. 
(01) O centro da elipse estará a uma distância de 3 34 m do ponto A. 
(02) Para fazer o traçado da elipse o jardineiro precisará de menos de 24 m de corda. 
(04) O número que representa a medida do eixo real da hipérbole, em metros, é múltiplo 
de 5. 
(08) Um dos focos dessa hipérbole estará sobre um dos eixos coordenados. 
A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo 
a)  7,11 b)  5,7 c)  1,5 d)  11,15 
 
43) (AFA 2010) Considere as circunferências dadas pela equação 
2 2
2
1
x y
b
  ( b 0 ). 
A circunferência que circunscreve um quadrado de área igual a 1250 é tal que b 
pertence ao intervalo 
a) 
1
0,
30
 
 
 
 b) 
1 1
,
30 28
 
 
 
 c) 
1 1
,
28 26
 
 
 
 d) 
1 1
,
26 24
 
 
 
 
 
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44) (AFA 2010) Considere a reta r simétrica da reta  s 2x y 2 0   em relação a reta 
 t x 3y 2 0   . Com base nisso, marque a alternativa verdadeira. 
a) Se 
10
y 0
3
   então r t  . 
b) P(x, y) r  tal que x 0 e y 0 . 
c) Na reta r , se 
8
x
7
 então 
2
y
7
  . 
d) P(x, y) r  tal que x 0 e 
10
y
3
  . 
 
45) (AFA 2011) Um quadrado de 29 cm de área tem vértices consecutivos sobre a 
bissetriz dos quadrantes pares do plano cartesiano. Se os demais vértices estão sobre a 
reta r , que não possui pontos do 3 quadrante, é INCORRETO afirmar que a reta r 
a) pode ser escrita na forma segmentária. 
b) possui o ponto  P 2,2 2 . 
c) tem coeficiente linear igual a 3 2 . 
d) é perpendicular à reta de equação 2x 2y 0  . 
 
46) (AFA 2012) Considere no plano cartesiano as retas 
x 2t
r : 1
y 3t
2



 

 e 
 
k
s : k 1 x y 0
2
    , onde k . Sobre as retas r e s é correto afirmar que 
NUNCA serão 
a) concorrentes perpendiculares. b) concorrentes oblíquas. 
c) paralelas distintas. d) paralelas coincidentes. 
 
47) (AFA 2012) No plano cartesiano, a circunferência  de equação 
2 2x y 6x 10y k 0     , com k , determina no eixo das ordenadas uma corda de 
comprimento 8 . Dessa forma, é correto afirmar que 
a)  é tangente ao eixo Ox . b) o raio de  é igual a k . 
c)  P k, 1  . d)  é secante à reta x k . 
 
48) (AFA 2013) 9) Sejam a e b dois números reais positivos. As retas r e s se 
interceptam no ponto  a,b . Se 
a
,0 r
2
 
 
 
 e 
b
0, s
2
 
 
 
, então uma equação para a reta 
t , que passa por  0,0 e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s como 
coeficiente angular, é 
a)  2 23abx 2a b y 0   b)  2 23bx b a b y 0   
c)  2 23ax a a b y 0   d)  2 23abx 2 a b y 0   
 
 
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49) (AFA 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse 
de equação 2 2x 9y 8x 54y 88 0     é correto afirmar que 
a) tem raio igual a 1. 
b) tangencia o eixo das abscissas. 
c) é secante ao eixo das ordenadas. 
d) intercepta a reta de equação 4x y 0  . 
 
50) (AFA 2014) A circunferência  é tangente à reta 
3
r : y x
4
 e também é tangente ao 
eixo das abscissas no ponto de abscissa 6 . Dentre as equações abaixo, a que representa 
uma parábola que contém a origem do plano cartesiano e o centro de  é 
a)   212 y x x 0   b) 23y 12y 2x 0   
c) 22y 3x 0  d) 212y x 0  
 
51) (AFA 2015) Considerando a circunferência de equação 2 2: x y 2x 4y 4 0      , 
é correto afirmar que 
a)  é concêntrica com    
22
: x 1 y 2 1     . 
b) o ponto  O 0,0 é exterior a  . 
c) a reta r : x y 3 0   é tangente a  . 
d)  é simétrica da circunferência    
22
: x 1 y 2 9     , em relação ao ponto 
 O 0,0 . 
 
52) (AFA 2015) Considere no plano cartesiano um triângulo equilátero ABC em que: 
 os vértices B , de abscissa positiva, e C , de abscissa negativa, estão sobre o eixo OX ; 
 possui baricentro no ponto 
3
G 0,
3
 
 
 
 
Considere também, nesse mesmo plano cartesiano, a circunferência 1 inscrita e a 
circunferência 2 circunscrita ao triângulo ABC . 
Analise as proposições abaixo e escreva (V) para verdadeira e (F) para falsa. 
  A reta r , suporte do lado AB , passa pelo ponto  1,b , em que b é o dobro do 
oposto do coeficiente angular de r . 
  O círculo delimitado por 2 contém o ponto 
1
, 3
2
 
 
 
. 
  O ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares de abscissa 
3
3
 pertence a 1 . 
A sequência correta é 
a) V – F – V b) F – F – V c) V – F – F d) F – V – F 
 
53) (AFA 2016) Considere os pontos  A 4, 2 ,  B 2,0 e todos os pontos  P x, y , 
sendo x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo 
 
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triângulo retângulo. É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos  P x, y são 
tais que 
a) são equidistantes de  C 2, 1 . 
b) o maior valor de x é 3 2 . 
c) o menor valor de y é 3 . 
d) x pode ser nulo. 
 
54) (AFA 2016) Analise as proposições abaixo e escreva V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I) ( ) A distância entre o vértice e o foco da parábola 2y 4x 4 0   é igual a 1 
unidade de comprimento. 
II) ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são perpendiculares entre si. 
III) ( ) A equação 2 22x y 4x 4y 4 0     representa uma elipse que tem um dos 
focos no ponto  P 1,4 . 
A sequência correta é 
a) F – F – V b) V – F – V c) F – V – F d) V – V – F 
 
56) (AFA 2017) Seja 2 2:3x 3y 6x 12y k 0,      uma circunferência que no plano 
cartesiano tem interseção vazia com os eixos coordenados. Considerando k , é 
correto afirmar que 
a) 
k k
P ,
3 3
 
 
 
 é interior a . 
b) existem apenas dois valores inteiros para k. 
c) a reta r : x k intersecta . 
d) se c é o comprimento de , então c 2  unidades de comprimento. 
 
57) (AFA 2018) Considere no plano cartesiano as retas r e s dadas pelas equações: 
r :3x 3py p 0   e s : px 9y 3 0,   onde p . Baseado nessas informações, 
marque a alternativa incorreta. 
a) r e s são retas concorrentes se p 3. 
b) Existe um valor de p para o qual r é equação do eixo das ordenadas e s é 
perpendicular a r. 
c) r e s são paralelas distintas para dois valores reais de p. 
d) r e s são retas coincidentes para algum valor de p. 
 
58) (AFA 2018) Considere no plano cartesiano a circunferência  tangente à bissetriz 
dos quadrantes ímpares no ponto  A 1,1 . Sabendo que a reta t : x y 4 0   tangencia 
 no ponto B, marque a opção correta. 
a) A soma das coordenadas de B é igual a 3. 
b)  P 1,2 é exterior a . 
c) O ponto de  mais próximo da origem é  Q 0,2 2 . 
d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a . 
 
 
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59) (AFA 2018) No plano cartesiano, os pontos  P x, y satisfazem a equação 
   
22
y 2x 1
1
25 9

  da curva . Se 1F e 2F são os focos de , tais que a abascissa 
de 1F é menor que a abscissa de 2F , é incorreto afirmar que: 
a) a soma das distância de P a 1F e de P a 2F é igual a 10. 
b) 1F coincide com o centro da curva 
2 2x y 6x 4y 0.    
c) 2F é exterior a 
2 2x y 25.  
d) o ponto de abscissa máxima de  pertence à reta y x 8.  
 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
1) b (Geometria analítica– circunferência) 
2) b (Geometria analítica – cônicas) 
3) a (Geometria analítica – elipse) 
4) d (Geometria analítica – cônicas) 
5) b (Geometria analítica – circunferência) 
6) a (Geometria analítica – ponto e reta) 
7) b (Geometria analítica – reta) 
8) d (Geometria analítica – circunferência) 
9) c (Geometria analítica – elipse) 
10) d (Geometria analítica – circunferência) 
11) b (Geometria analítica – circunferência e parábola) 
12) c (Geometria analítica – reta) 
13) d (Geometria analítica – reta) 
14) a (Geometria analítica – cônicas) 
15) c (Geometria analítica – circunferência e reta) 
16) d (Geometria analítica – elipse) 
17) c (Geometria analítica – reta) 
18) b (Geometria analítica – parábola) 
19) b (Geometria analítica – elipse) 
20) d (Geometria analítica – circunferência) 
21) d (Geometria analítica – elipse) 
22) d (Geometria analítica – reta) 
23) a (Geometria analítica – elipse e hipérbole) 
24) b (Geometria analítica – elipse) 
25) d (Geometria analítica – circunferência) 
26) b (Geometria analítica – cônicas) 
27) b (Geometria analítica – circunferência) 
28) a (Geometria analítica – reta) 
29) d (Geometria analítica – circunferência e reta) 
30) a (Geometria analítica – parábola) 
31) c (Geometria analítica – circunferência e reta) 
32) a (Geometria analítica – cônicas) 
33) d (Geometria analítica – reta) 
34) a (Geometria analítica – cônicas) 
35) a (Geometria analítica – circunferência) 
36) b (Geometria analítica – cônicas) 
37) d (Geometria analítica – circunferência e reta) 
38) c (Geometria analítica – cônicas) 
39) a (Geometria analítica – cônicas) 
40) d (Geometria analítica – reta) 
41) b (Geometria analítica – circunferência) 
42) a (Geometria analítica – cônicas) 
43) d (Geometria analítica – circunferência) 
44) c (Geometria analítica – reta) 
45) b (Geometria analítica – reta) 
46) d (Geometria analítica – reta) 
47) a (Geometria analítica – circunferência) 
 
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48) d (Geometria analítica – reta) 
49) b (Geometria analítica – elipse) 
50) b (Geometria analítica – circunferência) 
51) d (Geometria analítica – circunferência) 
52) a (Geometria analítica – circunferência e reta) 
53) b (Geometria analítica – circunferência) 
54) d (Geometria analítica – cônicas) 
55) c (Geometria analítica – reta e Geometria Espacial) 
56) b (Geometria analítica – circunferência) 
57) d (Geometria analítica – retas) 
58) c (Geometria analítica – circunferência) 
59) b (Geometria analítica – cônicas) 
 
 
 
 
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RESOLUÇÕES 
 
 
1) (AFA 1989) A circunferência com centro  1,2 e tangente à reta x y 3 0,   tem 
equação: 
a) 2 2x y 4x 2y 3 0     b) 2 2x y 2x 4y 3 0     
c) 2 2x y 2x 4y 7 0     d) 2 2x y 4x 2y 7 0     
 
RESOLUÇÃO: b 
Se a circunferência é tangente à reta t : x y 3 0,   então a ditância do centro  O 1,2 
da circunferência à essa reta é igual ao raio R da circunferência. Assim termos: 
 
 22
1 2 3 2
R d O, t 2.
21 1
 
   
 
 
A equação da circunferência é 
     
222 2 2 2 2x 1 y 2 2 x 2x 1 y 4y 4 2 x y 2x 4y 3 0                 
 
 
2) (AFA 1989) A equação reduzida 
2 2x y
1,
9 4 k
 

 onde k é um número real e k 4,  
representa uma: 
a) parábola, se 0 k 4.  b) hipérbole, se k 4.  
c) circunferência, se k 4. d) elipse, se k 0. 
 
RESOLUÇÃO: b 
A equação representa uma circunferência, se 4 k 9 k 5.    
A equação representa uma hipérbole, se 4 k 0 k 4.     
A equação representa uma elipse, se 4 k 0 k 4     e k 5. 
A equação nunca representa uma parábola. 
 
 
3) (AFA 1990) A equação da elipse de centro  C 2,1 , de excentricidade 
3
5
 e de eixo 
maior horizontal com comprimento 20 é: 
a) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  b) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  
c) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  d) 
   
22
y 1x 2
1
100 64

  
 
RESOLUÇÃO: a 
Inicialmente, observe que você pode identificar a alternativa correta apenas usando a 
informação do centro da elipse, porque a menos do centro todas as outras características 
das equações apresentadas são iguais. 
Mesmo assim, vamos ver como identificar todas as características da equação. 
 
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A elipse de centro  0 0x , y , de eixo maior horizontal com comprimento 2a e eixo 
menor vertical de comprimento 2b, com b a, é 
   
2 2
0 0
2 2
x x y y
1.
a b
 
  
Se a elipse tem excentricidade 
c
e c ea,
a
   então 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c b a c a a e a 1 e .         
No caso do problema, temos: 
2a 20 a 10   
2 23 9e b 10 1 64
5 25
 
     
 
 
   0 0x , y 2,1  
Assim, a equação da elipse é 
        
2 2 22
y 1 y 1x 2 x 2
1 1.
100 64 100 64
   
     
 
 
4) (AFA 1994) A equação da elipse que, num sistema de eixos ortogonais, tem focos 
 1F 3,0 e  2F 3,0 e passa pelo ponto 
5
P ,2 3 ,
2
 
 
 
 é: 
a) 
2 2x y
1
36 25
  b) 
2 2x y
1
16 25
  
c) 
2 2x y
1
25 36
  d) 
2 2x y
1
25 16
  
 
RESOLUÇÃO: d 
 
O centro da elipse é o ponto médio entre  1F 3,0 e  2F 3,0 , ou seja,  O 0,0 . 
 
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O eixo focal da elipse é horizontal, então sua equação é da forma 
2 2
2 2
x y
1,
a b
  onde a e 
b são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. 
Como os focos são  1F 3,0 e  2F 3,0 , então a distância focal é 2c 6 c 3.   
Sabemos que a soma das distâncias de um ponto da elipse aos focos é igual ao seu eixo 
maior 2a, então 
   
2 2
2 2
1 2
5 5
2a PF PF 3 0 2 3 3 0 2 3
2 2
121 1 169 49 13 7
12 12 10
4 4 4 4 2 2
   
              
   
        
 
a 5  
Na elipse, vale a relação 2 2 2a b c .  Assim, temos: 2 2 25 b 3 b 4    
Logo, a equação da elipse é dada por 
2 2 2 2
2 2
x y x y
1 1.
25 165 4
     
 
 
5) (AFA 1994) Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere 1P a 
circunferência de equação 2 22x 2y 11x 6y 8 0.     Então, a equação da 
circunferência que é tangente ao eixo das abscissas e com o mesmo centro de 1P , é dada 
por: 
a) 2 2
3 11 4
x x y y
2 4 9
    b) 2 2
11 121
x x y 3y 0
2 16
     
c) 2 2
11 3 9
x x y y
4 2 4
    d) 2 2
1
2x 2y 11x 6y 0
8
     
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos escrever a equação da circunferência na forma reduzida, a fim de identificar o 
seu centro. 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
11
2x 2y 11x 6y 8 0 x x y 3y 4 0
2
11 11 3 3 11 3
x 2 x y 2 y 4
4 4 2 2 4 2
11 3 221
x y
4 2 16
           
       
                  
       
   
       
   
 
Logo, a circunferência 1P tem centro 1
11 3
O ,
4 2
 
  
 
 e raio 
221
.
4
 
 
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Uma nova circunferência de mesmo centro que 1P e tangente ao eixo das abscissas deve 
ter raio igual a 
1O
3 3
y .
2 2
   Assim, sua equação será 
2 2 2
2 2
2 2
11 3 3 11 121 9 9
x y x x y 3y
4 2 2 2 16 4 4
11 121
x x y 3y 0
2 16
     
                
     
     
 
 
 
6) (AFA 1996) Determine os pontos A na reta  r 2x y 0  e B na reta 
 s x y 2 0   tal que  P 2,1 seja ponto médio de AB. 
a)  A 0,0 e  B 4,2 b)  A 0,0 e  B 2, 4  
c)  A 2,4 e  B 2,0 d)  A 1,2 e  B 4,2 
 
RESOLUÇÃO: a 
r : 2x y 0 y 2x     
Se A r, então podemos escrever A na forma  A a, 2a . 
s : x y 2 0 y x2      
Se B s, então podemos escrever B na forma  B b,b 2 . 
Como  P 2,1 é ponto médio de AB, então 
a b
2 a b 4
2

    e 
   2a b 2
1 2a b 4.
2
  
     
a b 4
a 0 b 4
2a b 4
 
   
  
 
Portanto, os pontos são  A 0,0 e  B 4,2 . 
 
 
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7) (AFA 1996) Uma reta, que passa pelo primeiro quadrante, intercepta os eixos 
cartesianos nos pontos  A k,0 e  B 0,k , determinando o triângulo OAB com 8 
unidades de área. Então, a equação geral dessa reta pode ser escrita por: 
a) x y 4 0   b) x y 4 0   
c) x y 4 0   d) x y 2 2 0   
 
RESOLUÇÃO: b 
 
Como a reta passa no primeiro quadrante, então k 0. 
A área do triângulo OAB é 2OAB
k k
S 8 k 16 k 4.
2

      
Usando a forma segmentária da equação da reta, temos: 
x y
1 x y 4 0.
4 4
      
 
 
8) (AFA 1996) Dada a circunferência 
2 2x y 8x 4y 5 0     e os pontos  D 1,2 e 
 E 8,5 , pode-se afirmar que DE 
a) é um diâmetro da circunferência. 
b) não intercepta a circunferência. 
c) intercepta a circunferência em um único ponto. 
d) é uma corda da circunferência, mas não contém o centro. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Inicialmente, vamos escrever a equação da circunferência na forma reduzida. 
   
2 2 2 2 2 2 2 2
22 2
x y 8x 4y 5 0 x 2 4 x 4 y 2 2 y 2 5 4 2
x 4 y 2 5
                 
    
 
Logo, a circunferência tem centro  O 4,2 e raio R 5. 
 
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   2 2 51 4 2 2 5     
   2 2 28 4 5 2 5    
Os pontos  D 1,2 e  E 8,5 satisfazem a equação da circunferência, o que implica 
que DE é uma corda da circunferência. 
O ponto médio de DE é  
1 8 2 5 7 7
M , , 4,2 ,
2 2 2 2
     
     
   
 o que implica que DE 
não é um diâmetro e, portanto, não contém o centro. 
 
 
9) (AFA 1996) Se  A 10,0 e  B 5, y são pontos de uma elipse cujos focos são 
 1F 8,0 e  2F 8,0 , então o perímetro do triângulo 1 2BF F mede: 
a) 24 b) 26 c) 36 d) 38 
 
RESOLUÇÃO: c 
Pela definição de elipse, devemos ter 1 2 1 2AF AF BF BF 2a,    onde 2a é o eixo 
maior da elipse. 
    
2 2 2
1AF 10 8 0 0 18 18       
   2 2 2
2AF 10 8 0 0 2 2      
Assim, 1 2 1 2BF BF AF AF 18 2 20.      
Como 1 2F F 16, então o perímetro do triângulo 1 2BF F é 
1 2 1 22p F F BF BF 16 20 36.      
 
 
10) (AFA 1997) Qual das equações abaixo representa a circunferência inscrita no 
triângulo de vértices  A 3,5 ,  B 9,5 e  C 3,11 ? 
a)    2 2x y 9 3 2 x 11 3 2 y 54 36 2 0        
b)    2 2x y 9 3 2 x 11 3 2 y 54 36 2 0        
c)    2 2x y 18 6 2 x 22 6 2 y 184 84 2 0        
d)    2 2x y 18 6 2 x 22 6 2 y 184 84 2 0        
 
RESOLUÇÃO: d 
 
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Dispondo os três vértices no plano cartesiano ortogonal, observa-se que o triângulo 
ABC é um triângulo retângulo de catetos AB AC 6  e hipotenusa BC 6 2. 
Sejam I o incentro (centro do círculo inscrito) e r o raio do círculo inscrito ao triângulo 
ABC. 
Sabemos que em um triângulo retângulo o raio do círculo inscrito é igual ao 
semiperímetro menos a hipotenusa, então 
6 6 6 2
r p BC 6 2 6 3 2.
2
 
      
As coordenadas do incentro são: 
 
I Ax x r 3 6 3 2 9 3 2       
 
I Ay y r 5 6 3 2 11 3 2       
Portanto, a equação da circunferência inscrita em ABC é 
   
       
   
2 2 2
I I
22 2
2 2
2 2
x x y y r
x 9 3 2 y 11 3 2 6 3 2
x 18x 6 2x 99 54 2 y 22y 6 2y 139 66 2 54 36 2
x y 18 6 2 x 22 6 2 y 184 84 2 0
    
       
           
        
 
 
 
11) (AFA 1997) O valor numérico do raio da circunferência que intersecta a parábola 
2x 2x 4y 1 0    no eixo das abscissas, e tem seu centro no foco da mesma é: 
a) 1 b) 
3
2
 c) 
5
2
 d) 2 
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos escrever a equação da parábola em sua forma reduzida. 
 
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 22 2
1
x 2x 4y 1 0 x 2x 1 4y 2 x 1 4 y
2
 
             
 
 
A equação acima corresponde a uma parábola com eixo de simetria vertical, 
concavidade voltada para cima, vértice da parábola é 
1
V 1,
2
 
  
 
 e o parâmetro é 
4
p 2.
2
  
Como 
p
VF 1
2
  e o foco está cima do vértice, então as coordenadas do foco são 
1
F 1, .
2
 
  
 
 
Como o centro da circunferência coincide com o foco da parábola, então ele é o ponto 
1
1, .
2
 
 
 
 
Assim, a equação reduzida da circunferência é  
2
2 21x 1 y r .
2
 
    
 
 
A interseção da circunferência com a parábola ocorre em um ponto da forma  a,0 , 
então 
parábola:    
2 21
a 1 4 0 a 1 2
2
 
      
 
 
circunferência:  
2
2 2 21 1 9 3a 1 0 r r 2 r
2 4 4 2
 
          
 
 
 
 
12) (AFA 1997) A área da circunferência que circunscreve o triângulo determinado 
pelas retas  1r y 2x 1,   2r 2y x 12 0   e  3r y 1 é: 
a) 9 b) 18 c) 25 d) 36 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
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O coeficiente angular de  2
x
r 2y x 12 0 y 6
2
       é 2
1
m ,
2
  e o coeficiente 
angular de  1r y 2x 1  é 1m 2. Como 1 2m m 1,   as retas  1r e  2r são 
perpendiculares, o que implica que o triângulo ABC da figura é retângulo em A. 
Se o triângulo ABC é retângulo em A, a sua hipotenusa BC é diâmetro da 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
Vamos identificar as coordenadas dos vértices B e C para calcular a medida da 
hipotenusa BC. 
   1 3B r r :   2x 1 1 x 0 B 0,1      
   2 3C r r :   
x
6 1 x 10 C 10,1
2
       
BC 10  
Logo, o raio R da circunferência circunscrita é 
BC 10
R 5
2 2
   e sua área é 
2 2S R 5 25      unidades de área. 
 
 
13) (AFA 1998) A reta (s), simétrica de  r x y 1 0   em relação à reta 
 t 2x y 4 0,   
a) passa pela origem. 
b) forma um ângulo de 60 com (r). 
c) tem 
1
5
 como coeficiente angular. 
d) é paralela à reta de equação 7y x 7 0.   
 
RESOLUÇÃO: d 
 
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Vamos inicialmente identificar as coordenadas do ponto A, interseção de 
 r x y 1 0   e  t 2x y 4 0.   
 r x y 1 0 y x 1      
 t 2x y 4 0 y 2x 4       
5 2 5 2
x 1 2x 4 x y A ,
3 3 3 3
 
              
 
 
O ponto B, interseção de (r) com Oy tem coordendas  B 0,1 . Vamos refletir o ponto 
B em relação à reta (t) para obter o ponto B’. O coeficiente angular de (t) é tm 2,  
então o coeficiente angular da reta (b) suporte de BB’, que é perpencicular a (t), é 
b
1
m .
2
 Portanto, a reta (b) é dada por 
y 1 1 x
y 1.
x 0 2 2

   

 
O ponto M, interseção das retas (b) e (t), é dado por 
x
2x 4 1 x 2 y 0,
2
         
então  M 2,0 .  Como o ponto  M 2,0  é médio de BB´, com  B 0,1 , então 
 B' 4, 1 .   
Os pontos 
5 2
A ,
3 3
 
   
 
 e  B' 4, 1   pertencem à reta (s), então a equação de (s) é 
dada por 
 
 
2
1
y 1 1 x 33
y
5x 4 7 7 7
4
3
 
          
   
   
 
 
 
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Logo, (s) é paralela à reta 
x
7y x 7 0 y 1
7
      (pois têm o mesmo coeficiente 
angular). 
 
 
14) (AFA 1998) O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que,juntamente 
com os pontos  A 3,5 e  B 3,5 , determina triângulos com perímetro 2p 16 cm 
uma 
a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja C um ponto tal que o perímetro do triângulo ABC é igual a 16 cm, então 
AB CA CB 16 6 CA CB 16 CA CB 10          
Logo, o lugar geométrico dos pontos C é uma elipse de focos em A e B e eixo maior 
2a 10. 
 
 
15) (AFA 1998) A área da intersecção das regiões do plano cartesiano limitada por 
 
22x y 4 25   e 
x
y 4 1
3
 
  
 
 é 
a) 
9
2

 b) 
17
2

 c) 
25
2

 d) 
31
2

 
 
RESOLUÇÃO: c 
A equação  
22x y 4 25   representa um círculo de centro em  O 0,4 e raio 5. 
A equação 
x
y 4 1
3
 
  
 
 representa a região abaixo de uma reta oblíqua crescente. 
 
 
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Como a reta 
x
y 4 1
3
 
  
 
 passa pelo ponto  O 0,4 , ela contém um diâmetro do 
círculo e a interseção das regiões será um semicírculo de raio 5. Portanto, a área da 
interseção é 
25 25
S
2 2
 
  unidades de área. 
 
 
16) (AFA 1999) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é 
 
a) 
2 2(x 4) (y 3)
1
9 16
 
  . b) 
2 2(x 5) (y 1)
1
9 16
 
  . 
c) 
2 2(x 1) (y 5)
1
16 9
 
  . d) 
2 2(x 1) (y 5)
1
9 16
 
  . 
 
RESOLUÇÃO: d 
 
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As extremidades do eixo maior da elipse são  A 1,9 e  A' 1,1 , então 
2a 9 1 8 a 4.     
O centro O da elipse é o ponto médio de AA', ou seja,  O 1,5 . 
Uma das extremidades do eixo menor é  B 2,5 (tem mesma ordenada que O), então 
 b 2 1 3.    
Logo, a equação reduzida da elipse é dada por: 
        
2 2 22
2 2
y 5 y 5x 1 x 1
1 1.
9 163 4
   
     
Note que, como o eixo maior da elipse é vertical, o denominador 2a 16 aparece na 
fração de numerador  
2
y 5 . 
 
 
17) (AFA 1999) A distância entre o ponto de interseção das retas r : 2x 3y 4 0   e 
x t 2
s : , t
y 2t 1
 

 
 e a reta 
1 1
q : y x
2 8
  é 
a) 4 5 . b) 
3 7
20
. c) 
3 5
10
. d) 
5 7
4
. 
 
RESOLUÇÃO: c 
O ponto P de interseção das retas r : 2x 3y 4 0   e 
x t 2
s : , t
y 2t 1
 

 
 é dado por: 
   
3
2x 3y 4 0 2 t 2 3 2t 1 4 0 4t 3 t
4
                 
3 11
x t 2 2
4 4
       
 
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3 3 1
y 2t 1 2 1 1
4 2 2
 
           
 
 
Logo, as coordenadas de P são 
11 1
P , .
4 2
 
  
 
 
A distância d do ponto 
11 1
P ,
4 2
 
  
 
 à reta 
1 1
q : y x 4x 8y 1 0
2 8
      é dada por: 
 22
11 1
4 8 1
11 4 1 6 6 6 5 3 54 2
d .
20 1080 4 5 4 54 8
   
        
      
     
 
 
 
 
18) (AFA 2000) O parâmetro da parábola, que passa pelo ponto  P 6,2 e cujo vértice 
 V 3,0 é o seu ponto de tangência com o eixo das abscissas, é 
a) 
9
5
 b) 
9
4
 c) 3 d) 
9
2
 
 
RESOLUÇÃO: b 
O vértice  V 3,0 é o seu ponto de tangência da parábola com o eixo das abscissas e o 
ponto  P 6,2 tem ordenada positiva, então a parábola tem eixo de simetria vertical 
concavidade voltada para cima e sua equação é dada por    
2
x 3 2p y 0 ,   onde p é 
o parâmetro. 
O ponto  P 6,2 pertence ao gráfico, então    2
9
6 3 2p 2 0 p .
4
      
 
 
19) (AFA 2000) A excentricidade da elipse que tem centro na origem, focos em um dos 
eixos coordenados e que passa pelos pontos  A 3,2 e  B 1,4 é 
a) 
2
3
 b) 
3
3
 c) 
2
2
 d) 
3
2
 
 
RESOLUÇÃO: b 
A equação de uma elipse com centro na origem e foco sobre um dos eixos coordenados 
é 
2 2
2 2
x y
1.
p q
  
Como a elipse passa pelos pontos  A 3,2 e  B 1,4 , então 
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 1 4
1 1
p q p q
     
2
2 2 2 2 2
9 4 1 16 35 35
4 4 1 1 3 p
3p q p q p
   
              
   
 
 
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2
2 2 2 2 2
9 4 1 16 140 35
9 1 9 1 8 q
2p q p q q
   
               
   
 
Como 2 2
35 35
q p ,
2 3
   então 
35
q a ,
2
  
35
p b
3
  e os focos da elipse estão 
sobre o eixo Oy. 
Vamos agora calcular a semi-distância focal c: 2 2 2 2
35 35 35
b c a c
2 3 6
      
A excentricidade da elipse é 
35
c 2 1 36
.
a 6 335 3
2
      
 
 
20) (AFA 2000) Os pontos  P a,b e  Q 1, 1 são interseção das circunferências  e 
, com centros  C 2, y  e  C b,a 1 ,  respectivamente. Sendo C C  
perpendicular a PQ que, por sua vez, é paralelo ao eixo das ordenadas, a equação geral 
de  é 
a) 2 2x y 8x 4y 2 0     b) 2 2x y 4x 4y 10 0     
c) 2 2x y 10x 2y 6 0     d) 2 2x y 10x 4y 4 0     
 
RESOLUÇÃO: d 
 
Se PQ é paralelo ao eixo das ordenadas (Oy), então a 1,  P 1,b e  C b,2 . 
Se C C  é perpendicular a PQ que, por sua vez, é paralelo ao eixo das ordenadas, 
então C C  é horizontal, o que implica y a 1 2   e  C 2,2 .  
 
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A ordenada do ponto M médio de PQ é igual às ordenadas de C e C , então 
M
b 1
y 2 b 5,
2

     P 1,5 e  C 5,2 . 
O raio da circunferência  é    
2 2
R C Q 1 5 1 2 16 9 5.

         
Portanto, a equação geral de  é 
   
22 2 2 2x 5 y 2 5 x y 10x 4y 4 0.          
 
 
21) (AFA 2000) A área do polígono que tem como vértices os extremos dos eixos maior 
e menor da elipse 2 24x y 24x 6y 41 0,     é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
RESOLUÇÃO: d 
   
   
   
2 2
2 2 2 2 2 2
22
22
2 2
4x y 24x 6y 41 0
4 x 2 3 x 3 y 2 3 y 3 41 4 3 3
y 3x 3
4 x 3 y 3 4 1
1 2
     
               

       
 
Analisando a equação reduzida da elipse, concluímos que a 2 e b 1. 
 
O polígono que tem como vértices os extremos dos eixos maior e menor da elipse é um 
losango de diagonais 2a 4 e 2b 2, e sua área é 
2a 2b 4 2
S 4
2 2
 
   unidades de 
área. 
 
 
 
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22) (AFA 2001) As diagonais de um losango estão contidas nas retas 
     r 3m 1 x m 2 y 0    e    t x m 1 y m 2 0     . É correto afirmar que os 
possíveis valores de m 
a) têm soma igual a 2 . b) têm produto igual a 3 . 
c) pertencem ao intervalo  3,3 . d) têm sinais opostos. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Se  r e  t são horizontais ou verticais, não ocorre perpendicularidade. 
     
1 3m
r 3m 1 x m 2 y 0 y x
m 2

     

 
   
1 m 2
t x m 1 y m 2 0 y x
m 1 m 1
 
       
 
 
Como  r e  t são suportes das diagonais de um losango, então r t e o produto de 
seus coeficientes angulares é 1 . 
2 21 3m 1 1 1 3m m m 2 m 2m 3 0 m 3 m 1
m 2 m 1
 
                 
 
 
Logo, a única alternativa correta é (d). 
 
 
23) (AFA 2001) A equação reduzida da hipérbole, cujos focos são os extremos do eixo 
menor da elipse de equação 2 216x 25y 625,  e cuja excentricidade é igual ao inverso 
da excentricidade da elipse dada, é 
a) 2 216y 9x 144  b) 2 29y 16x 144  
c) 
2 29x 16y 144  d) 2 216x 9y 144  
 
RESOLUÇÃO: a 
Vamos escrever a equação da elipse na sua forma reduzida. 
2 2
2 2
2 2
x y
16x 25y 625 1
525
4
    
 
 
 
 
A elipse tem centro  0,0 , semieixo maior horizontal 
25
a
4
 e semieixo menor vertical 
b 5. 
A semidistância focal c da elipse é 
2
2 2 2 2 225 625 225 15b c a c 5 25 c .
4 16 16 4
 
         
 
 
 
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A excentricidade da elipse é 
15
c 34
25a 5
4
    e os extremos do eixo menor da elipse são 
 0, 5 e  0,5 . Portanto, os focos a hipérbole são  F' 0, 5 e  F 0,5 , e sua 
excentricidade é 
1 5
' .
3
  

 
A hipérbole de focos  F' 0, 5 e  F 0,5 , e excentricidade 
5
' ,
3
  tem centro  0,0 , 
eixo real vertical e semidistância focal c ' 5, então 
c ' 5 5
' a ' 3
a ' a ' 3
      (semieixo real) 
2 2 2 2 2 2a ' b ' c ' b ' 5 3 16 b' 4        (semieixo imaginário) 
Logo, a equação da hipérbole é 
2 2
2 2
2 2
y x
1 16y 9x 144.
3 4
     
 
 
24) (AFA 2001) Na figura abaixo 1F e 2F são focos da elipse 
2 2x y
1.
25 9
  O ponto C, 
de coordenadas
3
0, ,
2
 
 
 
 pertence ao segmento MN. Os segmentos AC, CB e MN são, 
respectivamente, paralelos aos segmentos 1F P, 2PF e 1 2F F . A área da figura 
sombreada, em unidades de área, é 
 
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a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 
 
RESOLUÇÃO: b 
A elipse de equação reduzida 
2 2x y
1
25 9
  tem semieixo maior 2a 25 a 5,   
semieixo menor 2b 9 b 3   e semidistância focal 
2 2 2c a b 25 9 16 c 4.       
Seja O a origem do sistema de eixos, então 1 2OF OF 4  e OP 3 
Como 
3 OP
OC
2 2
  e 1 2MN F F , então MN é base média o triângulo 1 2PF F e a área 
do triângulo MNP é 
1
4
 da área de 1 2PF F . 
Como 1AC PF e 2BC PF , o triângulo ABC é semelhante ao triângulo MNP e, como 
os dois tem uma altura homóloga igual a 
3
,
2
 então os triângulo ABC e MNP são 
congruentes. 
Portanto, a área sombreada S é igual à área do triângulo 1 2PF F menos duas vezes a área 
do triângulo MNP, ou seja, metade da área de 1 2PF F . Assim, temos: 
1 2F F OP1 1 8 3S 6
2 2 2 2
 
     unidades de área. 
 
 
25) (AFA 2002) A equação  
2
y 3 4 x 1    representa: 
a) elipse de eixo maior igual a 2. 
b) parábola de vértice  V 1,3 e parâmetro 
1
p .
2
 
c) hipérbole de eixo real vertical e centro  C 1,3 . 
d) semicircunferência de centro  C 1,3 e raio r 2. 
 
 
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RESOLUÇÃO: d 
   2 2y 3 4 x 1 y 3 4 x 1         
   
2 2
y 3 4 x 1 y 3 0        
   
22 2x 1 y 3 2 y 3       
Essa é a equação reduzida de uma semicircunferência (pois y 3) de centro  C 1,3 e 
raio r 2. 
 
 
26) (AFA 2002) Dada a equação 2 2ax by c,  onde a, b e c são reais NÃO nulos, é 
correto afirmar que, necessariamente, sua representação gráfica é uma 
a) circunferência, se a b. 
b) hipérbole, se a b  e c b. 
c) elipse de centro na origem, se a b e c 1. 
d) circunferência, se a b e c 0. 
 
RESOLUÇÃO: b 
a) INCORRETO 
Se a b, mas c tem sinal contrário ao de a e b, a equação representa um conjunto vazio. 
Veja, como contraexemplo, 
2 2x y 1.   
b) CORRETO 
  2 2 2 2b x by b y x 1,       que é uma hipérbole. 
c) INCORRETO 
Se a e b têm sinais contrários, a curva será uma hipérbole e não uma elipse. Veja, como 
contraexemplo, 
2 2x y 1,  onde 1 a b 1    e c 1, e que é uma hipérbole. 
d) INCORRETO 
Se a b 0  e c 0, a equação representa um conjunto vazio. Veja, como 
contraexemplo, 
2 2 2 2x y 1 x y 1,       onde a b 1   e c 1, e que não é 
satisfeita para nenhum valor real de x e y. 
 
 
27) (AFA 2003) A circunferência de equação 
2 2x y 8x 8y 16 0     e centro C é 
tangente ao eixo das abscissas no ponto A e é tangente ao eixo das ordenadas no ponto 
B. A área do triângulo ABC vale: 
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 
 
RESOLUÇÃO: b 
Vamos escrever a equação da circunferência na sua forma reduzida. 
2 2 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 16 0 x 2 4 x 4 y 2 4 y 4 16 4 4                   
   
22 2x 4 y 4 4     
Assim, a circunferência tem centro  C 4, 4 e raio 4, o que implica  A 4,0 e 
 B 0, 4 . 
 
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Portanto, a área do triângulo retângulo ABC é 
CA CB 4 4
S 8
2 2
 
   unidades de área. 
 
 
28) (AFA 2003) Dadas as retas de equações r y ax b   e 1 1 1r y a x b .   Determine 
a relação entre a, 1a , b e 1b que está correta. 
a) Se 1a a e 1b b tem-se 1r r . 
b) Se 1a a e 1b b tem-se 1r r . 
c) Se 1a a pode-se ter 1r r . 
d) Se 1a a e 1b b tem-se 1r r . 
 
RESOLUÇÃO: a 
Se 1a a as retas possuem o mesmo coeficiente angular e serão paralelas distintas se 
1b b ou paralelas coincidentes se 1b b . 
Se 1a a as retas são concorrentes, logo distintas. 
a) CORRETA. Nesse caso, r e 1r são paralelas distintas. 
b) INCORRETA. Nesse caso, r e 1r são paralelas coincidentes. 
c) INCORRETA. Nesse caso, r e 1r são concorrentes e, portanto, distintas. 
d) INCORRETA. Nesse caso, r e 1r são concorrentes e, portanto, não são paralelas. 
 
 
29) (AFA 2004) Os pontos  A 0,0 e  B 3,0 são vértices consecutivos de um 
paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta 
 
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y 2x  e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio 5. Então, a 
diagonal AC mede 
 
a) 38 b) 37 c) 34 d) 26 
 
RESOLUÇÃO: d 
Como o lado AD é perpendicular à reta y 2x,  , então a reta suporte do lado AD tem 
equação 
1
y x
2
 . 
Assim, o ponto D é da forma  2k,k e dista 5 da origem. 
   2 2 22k 0 k 0 5 5k 5 k 1          . 
O ponto D está no primeiro quadrante, então k 1 e  D 2,1 . 
Como o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, então CD é paralelo a Ox e 
CD AB 3.  Assim, a ordenada de C é igual a de D e a sua abscissa 3 unidades maior 
que a de D, o que implica  C 5,1 . 
Portanto, a diagonal AC é dada por    
2 2
AC 5 0 1 0 26.     
 
 
30) (AFA 2004) Com relação ao conjunto de pontos  P x, y equidistantes da reta y 3 
e da origem do sistema cartesiano ortogonal, é INCORRETO afirmar que é uma curva 
a) representada por 
2x 6y 9 0.   
b) cujas coordenadas do vértice têm soma igual a 1,5. 
c) que representa uma função par. 
d) cujo parâmetro é igual a 3. 
 
RESOLUÇÃO: a 
A distância de  P x, y à reta y 3 é y 3 e à origem é 2 2x y . Assim, temos: 
 
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2 2 2 2 2 2x y y 3 x y y 6y 9 x 6y 9 0            
a) INCORRETO 
A equação correta é 2x 6y 9 0.   
b) CORRETO 
Vamos escrever a equação reduzida da parábola. 
2 2 3x 6x 9 0 x 6 x
2
 
       
 
 
Portanto, seu vértice é 
3
0, ,
2
 
 
 
 cuja soma das coordenadas é 1,5. 
c) CORRETO 
   
 
 
22 2
2 x 9 x 9 x 9x 6y 9 0 f x y f x f x
6 6 6
      
           
Logo,  f x y é uma função par. 
d) CORRETO 
Na equação reduzida 2
3
x 6 x ,
2
 
   
 
 temos 2p 6 p 3   é o parâmetro. 
 
 
31) (AFA 2005) Considere duas circunferências de mesmo raio, sendo 
2 2x y 4x 8y 4 0     a equação da primeira e  2C 4,2 , o centro da segunda. Se a 
reta s contém uma corda comum a ambas as circunferências, é FALSO que s 
a) é perpendicular à bissetriz dos quadrantes pares. 
b) tem declividade positiva. 
c) admite equação na forma segmentária. 
d) tem coeficiente linear nulo. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Vamos escrever a equação da primeira circunferência na forma reduzida. 
2 2 2 2 2 2 2 2x y 4x 8y 4 0 x 2 2 x 2 y 2 4 y 4 4 2 4                   
   
22 2x 2 y 4 4     
Logo, a primeira circunferência tem centro  1C 2,4 e raio r 4. 
 
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A reta s, que contém uma corda comum às duas circunferências, passa pelos pontos de 
interseção das duas circunferências, o que implica que ela passa por dois pontos que são 
equidistantes de  1C 2,4 e  2C 4,2 . Portanto, s é a mediatriz do segmento 1 2C C . 
O coeficiente angular da reta suporte de 1 2C C é 
4 2
m 1,
2 4

  

 então o coeficiente 
angular de s é tal que s sm m 1 m 1.     
Como s é mediatriz de 1 2C C , então s para pelo ponto médio desses dois pontos, que é 
 
2 4 4 2
M , 3,3 .
2 2
  
  
 
 
Se a reta s tem coeficiente angular sm 1 e passa pelo ponto  3,3 , então sua equação 
é y x. 
a) VERDADEIRO 
A reta s é a bissetriz dos quadrantes ímpares e, portanto, perpendicular à bissetriz dos 
quadrantes pares. 
b) VERDADEIRO 
Seu coeficiente angular é sm 1 0.  
c) FALSO 
A reta s não admite equação na forma segmentária, pois passa pela origem. 
d) VERDADEIRO 
Sua equação é y x, que tem coeficiente linear nulo. 
 
 
32) (AFA 2005) Analise as proposições abaixo, classificando-as em (V) verdadeiras ou 
(F) falsas. 
  Considere a circunferência  e a hipérbole 2 22y x 8  tendo mesmo centro. Se 
 passa pelos focos da hipérbole, uma de suas equações é 2 2x y 12.  
 
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  Numa hipérbole equilátera, uma das assíntotas tem coeficiente angular igual a 
2
.
2
 
  A excentricidade da elipse 2 2x 4y 4  é igual a 
3
.
2
 
Tem-se a sequência 
a) V, F, V b) F, F, V c) F, V, F d) V, V, F 
 
RESOLUÇÃO: a 
 V 
Vamos escrever a equação da hipérbole na sua forma reduzida. 
 
2 2
2 2
2 2
y x
2y x 8 1
2 2 2
     
Analisando a equação acima, conclui-se que a hipérbole tem centro  0,0 , eixo real 
vertical, a 2 e b 2 2. Além disso, sua semidistância focal é dada por 
 
22 2 2 2c a b 2 2 2 12 c 2 3,       e as coordenadas dos focos são  0, 2 3 
e  0,2 3 . 
 
Como o centro da circunferência é  0,0 (o mesmo da hipérbole), então os focos são 
extremos de um diâmetro, o que implica que o raio da circunferência é 2 3 e sua 
equação é      
222 2 2x 0 y 0 2 3 x y 12.       
 F 
A hipérbole equilátera tem a b e c a 2. Uma hipérbole equilátera de eixos real e 
imaginário paralelos aos eixos cartesianos tem assíntotas de coeficiente angular 
 
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b
tg 1.
a
     Entretanto, como isso não foi dito, a hipérbole equilátera pode ter 
assíntotas com qualquer coeficiente angular. 
 V 
Vamos escrever a equação da elipse na sua forma reduzida. 
2 2
2 2
2 2
x y
x 4y 4 1
2 1
     
Analisando a equação acima, conclui-se que a elipse tem a 2 e b 1. A sua 
semidistância focal será dada por 2 2 2 2 2c a b 2 1 3 c 3.       Portanto, a 
excentricidade da elipse é 
c 3
.
a 2
   
 
 
33) (AFA 2006) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que 
 
x 2v 3
r ,
y 3v 2
 

 
  s mx y m 0   e  t x 0, analise as proposições abaixo, 
classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s). 
  m | r s   
  m | s t   
  Se m 0, as retas r, s e t determinam um triângulo retângulo. 
  As retas r e s poderão ser retas suportes de lados opostos de um paralelogramo se 
m 1,5.  
A sequência correta é 
a) F – V – F – F b) V – V – V – F 
c) V – F – F – V d) F – V – V – V 
 
RESOLUÇÃO: d 
 
x 2v 3 x 3 y 2 3 13
r v y x
y 3v 2 2 3 2 2
   
     
 
 
 s mx y m 0 y mx m       
 t x 0 
 F Para que as retas r e s sejam iguais, elas devem ter o mesmo coeficiente angular e 
o mesmo coeficiente linear, então devemos ter 
3 3
m m
2 2
     e 
13 13
m m .
2 2
     Logo, não há como r e s serem iguais. 
 
 V  m 0 s y 0 s t     
 V Se m 0, as retas s e t estão sobre os eixos cartesianos ortogonais e a reta r é 
uma reta oblíqua, então elas determinam um triângulo retângulo. 
 
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 V Se 
3
m ,
2
  as retas r e s são paralelas distintas, então podem ser lados opostos 
de um paralelogramo. 
 
 
34) (AFA 2006) Considere o sistema cartesiano ortogonal e as opções abaixo. Marque a 
FALSA. 
a) A medida de um dos eixos da elipse de equação 2 2x 4y 1  é a quarta parte do 
outro. 
b) As retas da equação y mx representam as assíntotas da curva 
2 2x y
1
16 25
  se, e 
somente se, 
5
m .
4
 
c) As circunferências 
2 2x y 2x 0   e 2 2x y 4x 0   são tangentes exteriormente. 
d) A equação 2x y 0  representa uma parábola cuja reta diretriz não tem coeficiente 
angular definido. 
 
RESOLUÇÃO: a 
a) FALSA 
Vamos escrever a equação da elipse na sua forma reduzida. 
2 2
2 2
2 2
x y
x 4y 1 1
1 1
2
    
 
 
 
 
Analisando a equação acima, concluímos que a 1 e 
1
b .
2
 Dessa forma, o eixo menor 
é metade do eixo maior. 
b) VERDADEIRA 
A equação 
2 2 2 2
2 2
x y x y
1 1
16 25 4 5
     representa uma hipérbole de eixo real 
horizontal, de centro  0,0 , a 4 e b 5. As assíntotas são 
b 5
y x x,
a 4
    então 
5
m .
4
 
c) VERDADEIRA 
Vamos escrever a equação reduzida das duas circunferências. 
 22 2 2 2 2 2 2 2x y 2x 0 x 2 1 x 1 y 1 x 1 y 1              
 22 2 2 2 2 2 2 2x y 4x 0 x 2 2 x 2 y 2 x 2 y 2              
A primeira circunferência tem centro  1,0 e raio 1, e a segunda, centro  2,0 e raio 
2. A distância entre os centros é 3, que é igual à soma dos raios, então as circunferências 
são tangentes exteriormente. 
d) VERDADEIRA 
Vamos escrever a equação reduzida da parábola. 
 
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2 2x y 0 y x    
A equação acima representa uma parábola de diretriz vertical e que, portanto, não tem 
coeficiente angular definido. 
 
 
35) (AFA 2007) No plano cartesiano, a figura abaixo representa duas circunferências 
concêntricas 1 e 2 , cujo centro é o ponto C. Sabe-se que 1 é contorno de um 
círculo representado pela equação    
22
x 1 y 2 4    e que AB, que mede 8 cm, é 
corda da circunferência maior 2 , paralela ao eixo das ordenadas. Considerando 
também que AB é tangente a 1, classifique em (V) verdadeira e (F) falsa, cada 
proposição a seguir. 
 
  1 é tangente ao eixo das abscissas. 
  A soma das coordenadas de A e B é um número maior que 5. 
  A região sombreada é representada por 
   
22
x 3
.
x 1 y 2 20


   
 
  A reta  
x 1 t
t t
y
2
 




 é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e C. 
A sequência correta é 
a) V – F – V – V b) V – V – F – F 
c) V – F – F – V d) F – V – V – F 
 
RESOLUÇÃO: a 
A equação da circunferência 1 é    
22 2x 1 y 2 2 ,    o que implica que 1 tem 
centro  C 1, 2 e raio 2. 
Como 1 e 2 são concêntricas, o ponto de tangência de AB e 1 é  M 3, 2 , o ponto 
médio de AB, e CM AB. 
A corda AB é paralela ao eixo das ordenadas, então as coordenadas das suas 
extremidades são  A 3,2 e  B 3, 6 . 
 
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Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo CMA, temos: 
2 2 2 2 2CA CM MA 2 4 20 CA 2 5.       
Logo, a circunferência 2 tem raio 2 5 e sua equação é      
222
x 1 y 2 2 5 .    
 
Vamos agora analisar as afirmativas. 
 V Como a distância do centro de 1 ao eixo das abscissas é 2, que é igual ao seu 
raio, então ela é tangente ao eixo das abscissas. 
 F A soma das coordenadas de A e B é  3 2 3 6 2 5.      
V A reta suporte da reta AB é a reta x 3 e a equação de 2 é 
   
22
x 1 y 2 20.    A região sombreada está à direita de AB e no interior de 2 , 
então é representada por x 3 e    
22
x 1 y 2 20.    
 V O vetor  CA 2,4 e o vetor diretor da reta (t) é t
1
d 1, .
2
 
  
 
 Seu produto 
escalar é  t
1
CA d 2 1 4 0,
2
 
       
 
 o que implica que a reta (t) é perpendicular à 
reta que passa pelos pontos A e C. 
 
 
36) (AFA 2007) Classifique em VERDADEIRO ou FALSO cada item a seguir. 
(2) A parábola cuja equação é 
2x 4y 0  tem diretriz representada pela reta y 1 0  e 
foco coincidente com o baricentro do triângulo ABC, onde A é a origem do sistema 
cartesiano,  B 2,3 e  C 2,0 . 
(3) O conjunto de pontos representados pela equação 
2 2x y x y 0    é uma 
hipérbole equilátera que NÃO tem centro na origem do sistema cartesiano. 
(8) Na elipse 
2 216x 64y 1  a medida do eixo vertical é 50% da medida do eixo 
horizontal. 
 
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(16) Existem apenas 4 números inteiros entre os valores de k, para os quais o vértice da 
parábola 2y 4x 1  é ponto exterior à circunferência 2 2x y 2x 4y k 0.     
A soma dos itens VERDADEIROS é um número no intervalo 
a)  22,30 b)  10,16 c)  16,22 d)  2,10 
 
RESOLUÇÃO: b 
(2) VERDADEIRO 
 
A equação reduzida da parábola é 
2 2x 4y 0 x 4y    
O coeficiente 4 é o dobro do parâmetro p da parábola, então 2p 4 p 2.   
A parábola tem eixo de simetria vertical e vértice  0,0 , então seu foco é  
p
0, 0,1
2
 
 
 
 
e, como a distância do vértice à diretriz também é metade do parâmetro, a sua diretriz, 
que é horizontal, tem equação y 1 y 1 0.     
O baricentro do triangulo ABC é dado por 
 
 
2 2 2 0 3 0
G , 0,1 ,
3 3
      
  
 
 que 
coincide com o foco da parábola. 
(3) FALSO 
Vamos escrever a equação da hipérbole na forma reduzida. 
2 2
2 2 2 21 1 1 1x y x y 0 x 2 x y 2 y 0
2 2 2 2
      
                    
      
 
2 2
1 1 1 1
x y 0 x y y x 1 y x
2 2 2 2
   
                 
   
 
Logo, o conjunto de pontos representados pela equação são duas retas concorrentes. 
(8) VERDADEIRO 
Vamos escrever a equação da elipse na forma reduzida. 
 
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2 2
2 2
2 2
x y 1 1
16x 64y 1 1 a b
4 81 1
4 8
        
   
   
   
 
Assim, o eixo horizontal tem medida 
1
2a
2
 e o eixo vertical 
1
2b ,
4
 o que implica 
que a medida do eixo vertical é 50% da medida do eixo horizontal. 
(16) FALSO 
Vamos escrever a equação da parábola na forma reduzida. 
2 2 1y 4x 1 y 4 x
4
 
     
 
 
Analisando a equação acima se conclui que o vértice da parábola é 
1
V ,0 .
4
 
  
 
 
Vamos agora escrever a equação da circunferência na forma reduzida. 
2 2 2 2 2 2 2 2x y 2x 4y k 0 x 2 1 x 1 y 2 2 y 2 1 2 k                  
   
22
x 1 y 2 5 k      
Para que a equação represente uma circunferência, devemos ter 5 k 0 k 5.    
O centro da circunferência é  O 1, 2 . 
O quadrado da distância do vértice da parábola ao centro da circunferência é 
 
2
22 1 25 89VO 1 2 0 4 .
4 16 16
  
          
  
 
Para que o vértice V seja exterior à circunferência 2VO deve ser maior que o quadrado 
do raio da circunferência, ou seja, 
89 89 9
5 k k 5 .
16 16 16
       
Portanto, devemos ter 
9
k 5
16
   e se k é inteiro, então  k 0,1,2,3,4 , o que implica 
que há 5 valores inteiros de k. 
A soma dos itens verdadeiros é 2 8 10.  
 
 
37) (AFA 2008) A circunferência   2 2x y 2x 2y k 0      passa pelo ponto 
 A 0,1 . Sabendo-se que o ponto P de   mais próximo da origem coincide com o 
baricentro do triângulo MNQ, onde  M 0,k ,  N 2k,0 e  0 0Q x , y é correto afirmar 
que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo 
a) 
3
1,
2
 
  
 b) 
5
2,
2
 
  
 c) 
5
,3
2
 
  
 d) 
3
,2
2
 
  
 
 
RESOLUÇÃO: d 
A circunferência   passa pelo ponto  A 0,1 , então temos: 
2 20 1 2 0 2 1 k 0 k 1         
Vamos escrever a equação de   na forma reduzida. 
2 2 2 2 2 2 2 2x y 2x 2y 1 0 x 2 1 x 1 y 2 1 y 1 1 1 1                  
 
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   
22
x 1 y 1 1     
Analisando a equação acima, conclui-se que   é uma circunferência de centro  1,1 e 
raio 1. 
 
O ponto P de   mais próximo da origem está sobre a origem e sobre a reta y x, 
então temos: 
2 2 2 2x x 2x 2x 1 0 2x 4x 1 0 x y 1
2
             
Como P é o ponto de   mais próximo da origem, suas coordenadas são 
2 2
P 1 ,1 .
2 2
 
  
 
 
Sabendo que P é o baricentro do triângulo MNQ, então a área do triângulo MNP é 
1
3
 da 
área do triângulo MNQ. Assim, temos: 
MNP
1 1 1
1 2 1 2 1 3 2
S 0 2 1 2 2 1 2 1 0,5575
2 2 2 2 2 2
2
1 0 1
2
          

 
MNQ MNP
3
S 3 S 3 0,5575 1,68 ,2
2
 
        
 
Note que obtivemos a área do triângulo MNQ sem a necessidade de calcular as 
coordenadas do ponto Q. 
 
 
 
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38) (AFA 2008) Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada afirmativa abaixo 
sobre o ponto  P x, y no plano cartesiano. 
  Se o ponto P pertence simultaneamente à bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos 
quadrantes pares, então o ponto simétrico de P em relação à reta  *y k k  tem a 
soma das coordenadas igual a 2k. 
  Sendo  x, y , então existem apenas dois pontos  P x, y que atendem à 
condições 
2
x 0
.
y 3y x


 
 
  Os pontos  P x, y tais que a sua distância ao eixo das abscissas é igual à metade 
da distância de P ao ponto  Q 0,6 formam uma hipérbole de excentricidade igual a 2. 
Sobre as afirmativas, tem-se 
a) apenas duas falsas. b) todas falsas. 
c) apenas uma falsa. d) todas verdadeiras. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 V Se P pertence simultaneamente às bissetrizes dos quadrantes ímpares e dos 
quadrantes pares, então P é o ponto  0,0 . A reta  *y k k  é uma reta horizontal 
que não passa pela origem, então o simétrico de  P 0,0 em relação a essa reta é 
 P' 0,2k , cuja soma das coordenadas é 2k. 
 F 
 2y 3y x 0 y y 3 0 0 y 3         
y y 1 y 2     
2y 1 x 1 3 1 x 2        
2y 2 x 2 3 2 x 2        
Como x , os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações são 
        2,1 ; 2,2 ; 1,1 ; 1,2 ,    ou seja, 4 pontos. 
Essa equação abaixo representa o “interior” de uma parábola de vértice 
9 3
V , ,
4 2
 
 
 
 
eixo de simetria horizontal e concavidade voltada para a direita e a equação x 0 
representa o semiplano à esquerda do eixo das ordenadas, conforme representado na 
figura a seguir. 
2 2 2
2 2 3 3 3 3 9y 3y x y 2 y x y x
2 2 2 2 4
     
                 
     
 
 
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 V 
O lugar geométrico dos pontos, cuja razão entre as distâncias a um ponto e uma reta 
fixos é uma constante maior do que 1, é uma hipérbole de foco no ponto, tendo a reta 
como diretriz e de excentricidade igual à razão constante. 
O lugar geométrico dos pontos P cuja razão entre a distância ao ponto  Q 0,6 e a 
distância ao eixo das abscissas (reta y 0) é 2,é uma hipérbole de foco  Q 0,6 , 
diretriz y 0 e excentricidade 2. 
Poderíamos chegar à mesma conclusão algebricamente. A distância de  P x, y ao eixo 
das abscissasé y e a sua distância ao ponto  Q 0,6 é  
22PQ x y 6 ,   então 
 
22 2 2 2 2 21y x y 6 4y x y 12y 36 3y 12y x 36
2
             
   22 2 2 2 23 y 2 2 y 2 x 36 2 3 y 2 x 40            
 
2 2y 2 x
1
40 40
3

   
2 2 2 2 240 40 160a b 40 c a b 40
3 3 3
          
2
2
c c 160 3
4 2
a 40 3a
      
Logo, a equação representa uma hipérbole de excentricidade 2. 
 
 
39) (AFA 2008) Considere as curvas, dadas pelas equações 
(I) 
2 216x 4y 128x 24y 228 0     
(II) y 7 x  
(III) 
2y 6y x 5 0    
 
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Analise cada afirmação a seguir, classificando-a em VERDADEIRA ou FALSA. 
(01) O gráfico de (I) é representado por uma elipse, de (II) por duas retas e de (III) por 
uma parábola. 
(02) O centro de (I) é um ponto de (II) e coincide com o vértice de (III). 
(04) A soma das coordenadas do foco de (III) é um número menor que 1. 
(08) A excentricidade de (I) é igual cos .
6

 
A soma dos itens verdadeiros é um número do intervalo 
a)  8,11 b)  4,7 c)  12,15 d)  1,3 
 
RESOLUÇÃO: 
(I) 2 216x 4y 128x 24y 228 0     
   2 2 2 2 2 216 x 2 4 y 4 4 y 2 3 y 3 228 16 4 4 3                
   
   
22
22
2 2
y 3x 4
16 x 4 4 y 3 64 1
2 4

        
Essa equação representa uma elipse de eixo focal vertical, centro  4,3 , semieixo 
maior a 4 e semieixo menor b 2. 
A semidistância focal é dada por 2 2 2 2 2c a b 4 2 12 c 2 3       e a 
excentricidade da elipse é 
c 2 3 3
cos .
a 4 2 6

     
(II) 
7 x, se x 0
y 7 x
7 x, se x 0
 
   
 
 
 
O gráfico de (II) são duas semirretas. 
(III)  
22 2 2 2y 6y x 5 0 y 2 3 y 3 x 5 3 y 3 x 4                
Essa equação representa uma parábola de vértice  4,3 , eixo de simetria horizontal e 
concavidade voltada para a direita. O parâmetro é dado por 
1
2p 1 p .
2
   Como a 
distância do vértice ao foco é metade do parâmetro, então 
1 15
F 4 ,3 ,3 .
4 4
   
       
   
 
Vamos agora analisar as afirmativas. 
 
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(01) FALSA, pois o gráfico de (II) não é representado por duas retas, mas sim por duas 
semirretas. 
(02) VERDADEIRA 
O centro de (I) e o vértice de (III) são o ponto  4,3 , e esse ponto está no gráfico de 
(II), pois 7 4 7 4 3.     
(04) FALSA, pois a soma das coordenadas do foco de (III) é 
15 3
3 1.
4 4
      
(08) VERDADEIRA 
A soma das afirmativas verdadeiras é  2 8 10 8,11 .   
 
40) (AFA 2009) Sobre as retas    r 1 k x 10y 3k 0    e  
 
x 2 t
s
y 1 1 k t
 

   
 onde 
k, t , pode-se afirmar que 
a) poderão ser paralelas coincidentes para algum valor de k. 
b) se forem paralelas, não terão equação na forma reduzida. 
c) sempre poderão ser representadas na forma segmentária. 
d) nunca serão perpendiculares entre si. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Vamos escrever a equação de (s) na forma geral. 
 
 
       
x 2 t
s y 1 1 k 2 x k 1 x y 1 2k 0
y 1 1 k t
 
            
   
 
a) INCORRETA 
Se k 1, a equação de r é 
3
y
10
  e a equação de s é y 1,  que são retas paralelas 
distintas. 
Se k 1 k 1 0,    temos 
1 k 10
1 10 ,
k 1 1

    
 
 ou seja, a razão entre os coeficientes 
de x e a razão entre os coeficientes de y são diferentes, o que implica que r e s não são 
paralelas. 
b) INCORRETA 
As retas r e s são paralelas apenas para k 1. Nesse caso, suas equações reduzidas são 
 
3
r y
10
  e  s y 1.  
c) INCORRETA 
Se k 1, as retas r e s são paralelas ao eixo x e, consequentemente, não podem ser 
representadas na forma segmentária. 
d) CORRETA 
Se k 1, as retas r e s são paralelas. 
Se k 1, temos r
k 1
m
10

 e sm k 1.  Supondo que r e s seja perpendiculares, então 
o produto de seus coeficientes angulares deve ser 1. Assim, 
   2
r s
k 1
m m k 1 1 k 1 10,
10

          o que é um absurdo. Logo, r e s nunca 
serão perpendiculares. 
 
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41) (AFA 2009) Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências: 
  2 21 x y 2x 4y 1 0      
  2 22 4x 4y 12x 8y 15 0      
     
22
3 x 7 y 3 8     
O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual à média 
aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, 
possui volume, em 3m , igual a 
a) 
21
2
 b) 
49
4
 c) 
49
2
 d) 
21
4
 
 
RESOLUÇÃO: b 
     
     
2 2 2 2
1
222
x y 2x 4y 1 0 x 2x 1 y 4y 4 1 1 4
x 1 y 2 6
              
    
 
Assim, 1 tem centro  A 1,2 e raio 1r 6. 
 
   
2 2 2 2
2
2
222 2
15
4x 4y 12x 8y 15 0 x 3x y 2y
4
3 9 15 9 3
x 2 x y 2y 1 1 x y 1 7
2 4 4 4 2
           
 
               
 
 
Assim, 2 tem centro 
3
B ,1
2
 
 
 
 e raio 2r 7. 
     
22
3 x 7 y 3 8     
Assim, 3 tem centro  C 7, 3 e raio 3r 8. 
A área da base do tetraedro é ABC
1 1 1
1 1 9 21
S 1 3 2 7 14 1 3 3 7 .
2 2 2 4
2 1 3
         

 
A altura do tetraedro é 
2 2 2
1 2 3r r r 6 7 8h 7.
3 3
   
   
O volume do tetraedro é 3ABC
1 1 21 49
V S h 7 m .
3 3 4 4
      
 
 
42) (AFA 2009) Suponha um terreno retangular com medidas de 18 m de largura por 
30 m de comprimento, como na figura abaixo. 
 
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Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim elíptico que tenha os dois eixos 
(paralelos aos lados do retângulo) com o maior comprimento possível. Ele escolhe dois 
pontos fixos P e Q, onde fixará a corda que vai auxiliar no traçado. 
Nesse jardim, o jardineiro pretende deixar para o plantio de rosas uma região limitada 
por uma hipérbole que possui: 
• eixo real com extremidades em P e Q; e 
• excentricidade 
5
e .
4
 
Considerando o ponto A coincidente com a origem do plano cartesiano e a elipse 
tangente aos eixos coordenados, no primeiro quadrante, julgue as afirmativas abaixo. 
(01) O centro da elipse estará a uma distância de 3 34 m do ponto A. 
(02) Para fazer o traçado da elipse o jardineiro precisará de menos de 24 m de corda. 
(04) O número que representa a medida do eixo real da hipérbole, em metros, é múltiplo 
de 5. 
(08) Um dos focos dessa hipérbole estará sobre um dos eixos coordenados. 
A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo 
a)  7,11 b)  5,7 c)  1,5 d)  11,15 
 
RESOLUÇÃO: a 
 
 
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A situação descrita no enunciado está representada na figura acima, onde MM' || AB e 
NN' || AD. Os pontos P e Q nos quais é fixada a corda para auxiliar o traçado da elipse 
são os focos da elipse. Os pontos F e F’ são os focos da hipérbole de vértices P e Q. 
Na elipse, o centro é  O 15,9 , o eixo maior é MM' 2a 30 a 15    e o eixo menor 
é NN' 2b 18 b 9.    
Além disso, ainda na elipse, temos: 2 2 2 2 2 2 2a b c 15 9 c c 144 c 12.         
Assim, a distância focal da elipse é PQ 2c 24.  
(01) VERDADEIRO 
   2 2OA 15 0 9 0 3 34.     
(02) FALSA 
O comprimento de corda necessário é igual ao eixo maior 2a 30 m, pois sendo um 
ponto R qualquer da elipse PR RQ 2a 30.   
(04) FALSA 
O eixo real da hipérbole é PQ 24 m que não é múltiplo de 5. 
(08) VERDADEIRA 
Sejam a’, b’ e c’, o semieixo real, o semieixo imaginário e a semidistância focal da 
hipérbole, então 
PQ 2a ' 24 a ' 12    
c ' 5 c ' 5
e c ' 15
a