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AP1_2019 01_Int_Prob_Est_Gabarito_Exercıcios_Revisao

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 - Introdução à Probabilidade e Estat́ıstica Exerćıcios de revisão Coord. Edson Cataldo
1a Questão) Do total de esportistas de um grupo, 100 praticam vôlei, 150 praticam futebol, 20
praticam os dois esportes e 110 esportistas não praticam nenhum desses dois esportes. Qual o número
total de esportistas do grupo?
Resolução: Consideremos os conjuntos V e F , sendo V o conjunto dos que praticam vôlei e F o
conjunto dos que praticam futebol. Temos, n(V ) = 100, n(F ) = 150 e n(V ∩ F ) = 20. Assim, pelo
Prinćıpio da Inclusão-Exclusão,
n(V ∪ F ) = n(V ) + n(F )− n(V ∩ F ) = 100 + 150− 20 = 230 .
.
Portanto, no grupo há 110 + 230 = 340 esportistas.
2a Questão) Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO?
Resolução: Trata-se de um caso de permutação com repetição. Logo, o número de anagramas da
palavra BOTAFOGO é igual a
8!
3!
= 8× 7× 6× 5× 4 = 6720 .
3a Questão) Uma corrida é disputada por 6 velocistas.
(a) Quantos são os posśıveis resultados para os 6 primeiros lugares, sabendo que cada posição é
ocupada apenas por um atleta no resultado final?
(b) Quantos são os posśıveis resultados para os 3 primeiros lugares, sabendo que cada posição é
ocupada apenas por um atleta no resultado final?
Resolução:
(a)Temos P (6) = 6! = 720 posśıveis resultados.
(b) Nesse caso, a ordem é importante. Portanto, temos A(6, 3) = 6× 5× 4 = 120 posśıveis resultados.
4a Questão) Em um grupo de professores, existem 8 mulheres, das quais uma se chama Katia e 7
homens, dos quais um se chama Hamilton . Formam-se comissões constitúıdas de 9 professores, sendo
5 mulheres e 4 homens. Determine o número de comissões das quais:
(a) Katia participa
(b) Katia participa sem Hamilton
(c) Katia e Hamilton participam simultaneamente
1
Resolução:
(a) Como Katia participa, restam 4 mulheres e 4 homens para a comissão. Assim, há C(7, 4)×C(7, 4) =
1.225 comissões.
(b) Como Katia participa, restam 4 mulheres. Como Hamilton não participa, só contamos com 6
homens. Assim, C(7, 4)× C(6, 4) = 525 comissões.
(c) Como Katia e Hamilton participam simultaneamente, temos C(7, 4)× C(6, 3) = 700 comissões.
5a Questão) Determine o valor de m sabendo que a soma dos coeficientes no desenvolvimento de
(4x+ 3y)m é igual a 343.
Resolução: A soma dos coeficientes é obtida fazendo x = 1 e y = 1. Assim, (4 + 3)m = 343 ⇔ 7m =
343. Portanto, m = 3.
6a Questão) Determine a expansão de (x− 1)5.
Resolução: Temos,
(x− 1)5 = C(5, 0)x5(−1)0+C(5, 1)x4(−1)1+C(5, 2)x3(−1)2+C(5, 3)x2(−1)3+C(5, 4)x1(−1)4+
C(5, 5)x0(−1)5 .
Assim,
(x− 1)5 = x5 − 5x4 + 10x3 − 10x2 + 5x− 1 .
2

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