ATIVIDADE 4 CALCULO NUMERICO

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
06/06/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
 Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
Considerando g(x)= x3 e h(x)= 2x2+20x – 30 temos que f(x) = g(x) – h(x). Pelo método gráfico, vamos analisar as 
raízes e gráficos de h(x) e g(x). 
 
Analisando a função de g(x)= x3 temos que g(x)= 0 se e somente se x3= 0, portanto se , isto implica que a única raiz 
dele é o zero. Além disso o seu gráfico é dado por: 
 
 
A função h(x)= 2x2+20x – 30 representa uma função de segundo grau, cuja a concavidade é voltada para cima, pois 
a=2. Analisando as suas raízes temos: 
h(x)= 0 se e somente se 2x2+20x – 30=0, dividindo ambos os termos por 2, temos que é equivalente a x2 + 10x – 
15 = 0, portanto temos: 
∆ = 102 − 4.1. (−15) = 160 
(−10 ± √160) ∕ 2 
Portando as raízes serão aproximadamente 1,324 e -11,324. O esboço do gráfico será dado por uma parábola, com 
concavidade para cima e cortando o eixo do y em -30. Portanto teremos: 
 
 
 
 
 
 
Desenhando ambos os gráficos em um plano cartesiano, temos: 
 
 
 
 
 
 
Não sabemos exatamente quem são as raízes, mais sabemos que elas estão entre -10 e +10. 
Analisando a função neste intervalo temos: 
 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 
G(x) -1000 -729 -512 -343 -216 -125 -64 -27 -8 -1 
H(x) -30 -48 -62 -72 -78 -80 -78 -72 -62 -48 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
G(x) 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 
H(x) -30 -8 18 48 82 120 162 208 258 312 370 
 
 
 
 
 
 
 
Analisando a tabela, temos que a função h(x) começa sendo a maior, entre -5 e -4, a função g(x) passa a ser maior, 
entre 1 e 2 h(x) passa a ser maior e entre 4 e 5 a função g(x) passa a ser maior. Como as raízes é onde ambas as 
funções são iguais, temos três raízes de f(x) estão nos intervalos (-5,-4)(1,2) e (4,5), portanto uma negativa e duas 
positivas. 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30 𝑥3 2𝑥2 + 20𝑥 − 30 
 
Representando as funções g(x) e h(x) no Geogebra e em seguida marcando os pontos de intersecção entre as duas 
funções encontramos os pontos D, E e F que correspondem exatamente ao que encontramos em 1. Temos os pontos 
de intersecção (e portanto as raízes de f(x)) nos intervalos (-5,-4)(1,2) e (4,5), logo uma negativa e duas positivas. 
 
 
 
Isso também pode ser verificado, representando a função f(x) no Geogebra e marcando as suas raízes A, B, e C: 
 
 
 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10 temos que as raízes serão dadas por 𝑥2 − 10 = 0, portanto 𝑥2 − 10 como 
(-3)2 = 9 e (-4)2 =16 e também 32= 9 e 42= 16. Podemos afirmar que uma raiz está no intervalo [-4, -3] e outra 
entre [4,3]. Vamos considerar o intervalo [a,b]= [3,4]. 
 
I a b xi erro F(a) F(xi) F(a).f(xi) 
0 3,000000 4,000000 3,5000000 0,500000 1,000000 2,250000 -2,250000 
1 3,000000 3,500000 3,2500000 0,250000 1,000000 0,562500 -0,562500 
2 3,000000 3,250000 3,1250000 0,125000 1,000000 -0,234375 0,234375 
3 3,125000 3,250000 3,1875000 0,062500 -0,234375 0,160156 -0,037537 
4 3,125000 3,187500 3,1562500 0,031250 0,234375 -0,038086 0,008926 
 
 
𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,1562500 -0,038086 0,031250 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
Calculando o valor de (𝑥29), com o uso da função SE do excel, obtemos: 
 
 
 
𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,1622777 0 0 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
 
Calculando conforme solicitado √10 temos o valor de 3,16227766017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 
𝜀 (Tolerância) 
Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 
10−1 2 -2,354305393352 -0,000169474846 
10−4 3 -2,354242758736 -0,000000001390 
10−9 4 -2,354242758223 0,000000000514 
 
Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 temos que 𝑓′(𝑥) = 2 − cos(𝑥), para encontrar as raízes, será 
utilizado 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛) 𝑓(𝑥𝑛)⁄ . 
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes, considerando 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
representando graficamente essas funções teremos uma reta crescente que cortao eixo do x em -2 em g(x) 
e a função seno em h(x), que geometricamente será dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para encontrar o intervalo onde g(x) e h(x) se encontram podemos analisar que g(x) está sempre entre -1 e 
1, como g(x)é uma reta que passa no ponto (-2,0), teríamos que as funções se cruzam em [-3,-2] e [-2,-1], 
como no intervalo [-3,-0] a função h(x) é negativa , e em [-2,-1] em g(x) é positiva descartamos a hipótese 
da raiz estar neste intervalo. Portanto a raiz está no intervalo [-3,-2]. 
Como g(x) e h(x) são continuas, temos que f(x) é continua neste intervalor, além disso temos: 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 
𝑓′(𝑥) = 2 − cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [−3, −2] 
𝑓(−3)𝑓′(−3) = 0,26 (𝑥0 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑜 − 2) 
𝑓(−2)𝑓′(−2) = −0,83 (𝑥0 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑜 − 2) 
 
 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
Aplicando o método gráfico para isolar as raízes. 
 
Considerandog(x)= x3 e h(x)= cos(x), representando as funções geometricamente temos: 
 
 
 
Pelo gráfico sabemos que elas se cruzam na parte em que ambas coordenadas são positivas, além disso a função 
g(x)passa pelos pontos (0,0) e (1,1) e cresce para os valores maiores do que 1, e a função h(x) está sempre entre 
-1 e 1 no eixo y, podemos perceber que elas se cruzam no intervalo [0,1]. 
 
Procedendo com as verificações das hipóteses do método de interação linear, sabemos que a função f(x) de fato é 
continua em [0,1](pois g(x) e h(x) são) e possuem um zero neste intervalo. 
 
 
 
 
Encontrando a função interação temos: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos(𝑥) = 0, devemos isolar o valor de x. 
 
𝑥3 − cos(𝑥) = 0 
𝑥3 = cos(𝑥) 
Temos duas possibilidades 
𝑥 = √cos(𝑥)
3
 ou 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥3) 
Consequentemente 𝑓(𝑥) = √cos(𝑥)
3
 ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos (𝑥3) 
 
Considerando 𝑓(𝑥) = √cos(𝑥)
3
 temos |
𝜕
𝜕𝑥
(√cos (𝑥)
3
| = |
sin 𝑥
3𝑐𝑜𝑠
2
3
(𝑥)
| que será sempre menor do que 1. 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos (𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 
𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 
𝑥5 0,8667538751 0,8650399272 0,005068762479 
𝑥15 0,8654740586 0,8654740244 0,0000001009455659 
𝑥18 0,8654740321 0,8654740334 0,0000000039266832415 
𝑥32 0,8654740331 0,8654740331 0 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
Esboçando a função f(x) no programa Geogebra obtemos o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987