Fisica Moderna

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FISICA MODERNA 
F0087 – 30 ANO 
Manual do Curso de Licenciatura em Ensino de 
Física 
 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino `a Distância 
 
Direitos de autor (copyright) 
Este manual é propriedade da Universidade Católica de Moçambique, Centro de Ensino à Distância 
(CED) e contém reservados todos os direitos. É proibida a duplicação ou reprodução deste manual, no 
seu todo ou em partes, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (electrónicos, mecânico, 
gravação, fotocópia ou outros), sem permissão expressa de entidade editora (Universidade Católica de 
Moçambique-Centro de Ensino `a Distância). O não cumprimento desta advertência é possível a 
processos judiciais. 
 
Elaborado por: 
Basílio José Augusto José 
 Licenciado em Ensino de Física pela Universidade Pedagógica; 
 Até 2010, Docente do Curso de Física na Universidade Católica de Moçambique, 
CED; 
 Docente do Curso de Física na Universidade Pedagógica- Delegação da Beira. 
 Docente de Física na Escola Secundária do Estoril- Beira 
 
Revisionado, em 2011, por: 
Paulino Bartolomeu Sandramo 
 Licenciado em Ensino de Física pela Universidade Pedagógica; 
 Docente do Curso de Física na Universidade Católica de Moçambique, CED; 
 Docente de Física na Universidade Zambeze, Instituição Pública; 
Universidade Católica de Moçambique 
Centro de Ensino a Distância, CED 
Rua Correia de Brito No 613- Ponta-Gêa 
Moçambique- Beira 
Telefone Fixo: 23326405 
Celular: 825018440 
 
Fax: 23326406 
E-mail: ced@ucm.ac.mz 
Website: www.ucm.ac.mz 
 
Agradecimentos 
A Universidade Católica de Moçambique - Centro de Ensino à Distância, e o autor do presente manual, 
agradecem a colaboração dos seguintes indivíduos e instituições na elaboração deste manual. 
Pela contribuição e revisão no conteúdo 
temático 
 Egina Paulo Titosse Bande 
Coordenadora de Física no Centro de Ensino a 
Distância da Universidade Católica de Moçambique, 
 
dr. Paulino Bartolomeu Sandramo 
Colaborador de Física no Centro de Ensino a Distância 
da Universidade Católica de Moçambique, 
 
Pela maquetização e desenho instrucional Egina Paulo Titosse Bande 
Coordenadora de Física no Centro de Ensino a 
Distância da Universidade Católica de Moçambique, 
Pela revisão linguistica Egina Paulo Titosse Bande 
Coordenadora de Física no Centro de Ensino a 
Distância da Universidade Católica de Moçambique, 
 Paulino Bartolomeu Sandramo 
Colaborador de Física no Centro de Ensino a Distância 
da Universidade Católica de Moçambique. 
 
Índice 
Acerca do Módulo 1 
Como está estruturado o módulo ................................................................................... 1 
Visão Geral 3 
Bem Vindo ao Modulo de Física Moderna .................................................................... 3 
Objectivos do Módulo ................................................................................................... 3 
Course outcomes ........................................................................................................... 3 
Timeframe .................................................................................................................... 4 
Habilidades de estudo.................................................................................................... 4 
Study skills ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Icones ........................................................................................................................... 6 
Need help? .................................................................................................................... 7 
Assignments .................................................................................................................. 8 
Assessments .................................................................................................................. 8 
Getting around this [DOCUMENT TYPE] 11 
Margin icons ............................................................................................................... 11 
Unidade 1 13 
Introdução histórica. Objecto de estudo da Física Quântica ......................................... 13 
Introdução.......................................................................................................... 13 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 16 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 2 17 
Propriedades quânticas da radiação ............................................................................. 17 
Introdução.......................................................................................................... 17 
Exercícios ................................................................................................................... 22 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 3 23 
A teoria de Planck ....................................................................................................... 23 
Introdução.......................................................................................................... 23 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 31 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 4 33 
Radiação- X, a radiação branca e característica e os seus aspectos ............................... 33 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
 8 Índice 
4.4. Produção de Raios X ................................................................................ 37 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 39 
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Unidade 5 41 
Difracção dos raios- X pelos cristais ............................................................................ 41 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
Sumário ...................................................................................................................... 48 
Exercícios ................................................................................................................... 48 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 6 49 
Aplicação dos raios- X ................................................................................................ 49 
Introdução.......................................................................................................... 49 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 58 
Unidade 7 59 
A radiação térmica ...................................................................................................... 59 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
7.2. Propriedades gerais da radiação térmica ............................................. 64 
Sumário ........................................................................Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 66 
Unidade 8 67 
A luz e a teoria quântica (O corpo negro) .................................................................... 67 
Introdução.......................................................................................................... 67 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 76 
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Unidade 9 80 
Difracção .................................................................................................................... 80 
Introdução.......................................................................................................... 80 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 84 
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Unidade 10 86 
Princípio da Incerteza .................................................................................................. 86 
Introdução.......................................................................................................... 86 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 90 
Unidade 11 92 
A estrutura atómica. O átomo antigo e o átomo moderno............................................. 92 
Introdução.......................................................................................................... 92 
 Interpretar a matéria ao nível microscópico e macroscópico; .............. 92 
 Explicar, com diagramas, os módelos atómicos; .................................. 92 
 Diferenciar e exemplificar, isótopos de isóbaros; ................................ 92 
 Resolver exercícios. ............................................................................. 92 
11.1. Introdução ........................................................................................ 92 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................... 99 
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Unidade 12 100 
Fundamentos da teoria quântica ................................................................................ 100 
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Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 104 
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Unidade 13 106 
Valores médios e valores esperados........................................................................... 106 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 112 
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Unidade 14 113 
Equação de valores próprios ...................................................................................... 113 
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Sumário .................................................................................................................... 118 
Exercícios ................................................................................................................. 118 
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Unidade 15 119 
Átomo de um electrão ............................................................................................... 119 
Introdução........................................................................................................ 119 
 10 Índice 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 127 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 16 129 
Soluções das Equações do Movimento Orbital .......................................................... 129 
Introdução........................................................................................................ 129 
Sumário .................................................................................................................... 134 
Exercícios ................................................................................................................. 135 
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Unidade 17 136 
Soluções da Equação Radial ...................................................................................... 136 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 141 
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Unidade 18 142 
Funções próprias. Degenerescência. Densidade de probabilidade .............................. 142 
Introdução........................................................................................................ 155 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 158 
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Unidade 19 159 
Física Atómica e Nuclear .......................................................................................... 159 
Introdução........................................................................................................ 159 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 163 
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Unidade 20 164 
ENERGIA DE LIGAÇÃO ........................................................................................ 164 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
Sumário ........................................................................Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 167 
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Unidade 21 168 
Modelo da Gota Líquida............................................................................................ 168 
Introdução........................................................................................................ 168 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 174 
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Unidade 22 175 
Modelo do Gás de Nucleões ...................................................................................... 175 
Introdução............................................................ Error! Bookmark not defined. 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 181 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 23 182 
Fórmula de massa semi- empírica.............................................................................. 182 
Introdução........................................................................................................ 182 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 184 
Assessment ................................................................... Error! Bookmark not defined. 
Unidade 24 185 
Cisão Nuclear............................................................................................................ 185 
Introdução........................................................................................................ 185 
Sumário ........................................................................ Error! Bookmark not defined. 
Exercícios ................................................................................................................. 188 
Bibliografia. .............................................................................................................. 193 
 
 Física Moderna 
 
 1 
 
 
Acerca do Módulo 
Este modulo é para uso do Curso de Licenciatura em Ensino de Física 3o 
Ano, e foi produzido pelo Centro de Ensino a Distância da Universidade 
Católica de Moçambique. 
E o presente módulo está estruturado da seguinte forma: 
Como está estruturado o módulo 
The course overview 
The course overview gives you a general introduction to the course. 
Information contained in the course overview will help you determine: 
 If the course is suitable for you. 
 What you will already need to know. 
 What you can expect from the course. 
 How much time you will need to invest to complete the course. 
The overview also provides guidance on: 
 Study skills. 
 Where to get help. 
 Course assignments and assessments. 
 Activity icons. 
 Units. 
We strongly recommend that you read the overview carefully before 
starting your study. 
O Conteúdo do Módulo 
Cada unidade do módulo contém: 
 Parte introdutória da unidade. 
 
 
 Fisica Moderna 
2 
 
 Objectivos da unidade 
 Novas terminologias. 
 Actividades em forma de exercícios, por unidade. 
 O sumário da unidade. 
 Alguns exercícios resolvidos em algumas unidades. 
Resources 
Páginas introdutórias 
Um índice completo. 
Uma visão geral detalhada do curso / módulo, resumindo os aspectos-
chave que você precisa conhecer para completar o estudo. 
Recomendamos vivamente que leia esta secção com atenção antes de 
começar o seu estudo. 
Conteúdo do curso / módulo 
O curso está estruturado em unidades. Cada unidade ncluirá uma introdução, 
objectivos da unidade, conteúdo da unidade incluindo actividades de 
aprendizagem, um summary da unidade e uma ou mais actividades para auto-
avaliação. 
Outros recursos 
Para quem esteja interessado em aprender mais, apresentamos uma lista de 
recursos adicionais para você explorer. Estes recursos podem incluir livros, artigos 
ou sites na internet. 
Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação 
Tarefas de avaliação para este módulo encontram-seno final de cada unidade. 
Sempre que necessário, dão-se folhas individuais para desenvolver as tarefas, 
assim como instruções para as completar. Estes elementos encontram-se no final do 
modulo. 
Comentários e sugestões 
Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e fazer comentários sobre a 
estrutura e o conteúdo do curso / módulo. Os seus comentários serão úteis para nos 
ajudar a avaliar e melhorar este curso / modulo. 
 Física Moderna 
 
 3 
 
Visão Geral 
Bem Vindo ao Modulo de Física 
Moderna 
O curso de Física Moderna é basicamente constituido por duas grandes 
áreas da física, nomeadamente, a física atómica e a física nuclear. 
Os temas são abordados de uma forma que visa essencialmente integrar 
tanto quanto possível as descrições Newtonianas, relativista e quântica da 
natureza. 
Objectivos do Módulo 
The objectives of this course are: 
 
Objectives 
1. proporcionar uma introdução equilibrada dos assuntos assim como a 
sua discussão com detalhe suficiente que permita obter bases sólidas 
sobre os fenómenos mais importantes da física clássica e moderna; 
2. facultar conhecimentos sólidos que abrem possibildades para a 
investigação em diversas áreas de física; 
3. apresentar a física de maneira lógica e coerente; 
4. desenvolver no discente a compreensão de conceitos básicos da 
mecânica quântica, de modelos e estrutura da matéria, do problema 
da radioactividade e energia nuclear, de questöes da teoria de física e 
da física das partículas elementares. 
 
Course outcomes 
Upon completion of Manual do Curso de Licenciatura em Ensino de 
Física / you will be able to: 
 
 
 Fisica Moderna 
4 
 
Outcomes 
i) proporcionar uma introdução equilibrada dos assuntos assim 
como a sua discussão com detalhe suficiente que permita obter 
bases sólidas sobre os fenómenos mais importantes da física 
clássica e moderna; 
ii) facultar conhecimentos sólidos que abrem possibildades para a 
investigação em diversas áreas de física; 
iii) apresentar a física de maneira lógica e coerente; 
iv) desenvolver no discente a compreensão de conceitos básicos da 
mecânica quântica, de modelos e estrutura da matéria, do 
problema da radioactividade e energia nuclear, de questöes da 
teoria de física e da física das partículas elementares. 
 
 
Timeframe 
 
Quanto Tempo? 
Habilidades de estudo 
Caro estudante, procure olhar para você em três dimensões 
nomeadamente: O lado social, Profissional e estudantil, dai ser importante 
planificar muito bem o seu tempo. 
Procure reservar no mínimo 2 (duas) horas de estudo por dia e use ao 
máximo o tempo disponível nos finais de semana. Lembre-se que é 
necessário elaborar um plano de estudo individual, que inclui, a data, o 
dia, a hora, o que estudar, como estudar e com quem estudar (sozinho, 
com colegas, outros). 
Evite o estudo baseado em memorização, pois é cansativo e não produz 
bons resultados, use métodos mais activos, procure desenvolver suas 
competências mediante a resolução de problemas específicos, estudos de 
caso, reflexão, etc. 
Os manuais contêm muita informação, algumas chaves, outras 
complementares, dai ser importante saber filtrar e apresentar a 
informação mais relevante. Use estas informações para a resolução dasFísica Moderna 
 
 5 
 
 
exercícios, problemas e desenvolvimento de actividades. A tomada de 
notas desempenha um papel muito importante. 
Um aspecto importante a ter em conta é a elaboração de um plano de 
desenvolvimento pessoal (PDP), onde você reflecte sobre os seus pontos 
fracos e fortes e perspectivas o seu desenvolvimento. 
Lembre-se que o teu sucesso depende da sua entrega, você é o 
responsável pela sua própria aprendizagem e cabe a ti planificar, 
organizar, gerir, controlar e avaliar o seu próprio progresso. 
 
 
 
 Fisica Moderna 
6 
 
Habilidades de Estudos 
 
Icones 
Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das 
folhas. Estes icones servem para identificar diferentes partes do processo de 
aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma nova 
actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um com 
uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretámos esse 
significado para representar as várias actividades ao longo deste curso / módulo. 
Caro estudante, procure olhar para você em três dimensões nomeadamente: O 
lado social, Profissional e estudantil, dai ser importante planificar muito bem o 
seu tempo. 
Procure reservar no mínimo 2 (duas) horas de estudo por dia e use ao máximo o 
tempo disponível nos finais de semana. Lembre-se que é necessário elaborar um 
plano de estudo individual, que inclui, a data, o dia, a hora, o que estudar, como 
estudar e com quem estudar (sozinho, com colegas, outros). 
Evite o estudo baseado em memorização, pois é cansativo e não produz bons 
resultados, use métodos mais activos, procure desenvolver suas competências 
mediante a resolução de problemas específicos, estudos de caso, reflexão, etc. 
Os manuais contêm muita informação, algumas chaves, outras complementares, 
dai ser importante saber filtrar e apresentar a informação mais relevante. Use 
estas informações para a resolução das exercícios, problemas e 
desenvolvimento de actividades. A tomada de notas desempenha um papel 
muito importante. 
Um aspecto importante a ter em conta é a elaboração de um plano de 
desenvolvimento pessoal (PDP), onde você reflecte sobre os seus pontos fracos 
e fortes e perspectivas o seu desenvolvimento. 
Lembre-se que o teu sucesso depende da sua entrega, você é o responsável 
pela sua própria aprendizagem e cabe a ti planificar, organizar, gerir, controlar e 
avaliar o seu próprio progresso. 
 
 Física Moderna 
 
 7 
 
Precisa de Ajuda? 
 
Help 
Caro estudante, temos a certeza de que por uma ou por outra situação, o 
material impresso, lhe pode suscitar alguma dúvida (falta de clareza, 
alguns erros de natureza frásica, prováveis erros ortográficos, falta de 
clareza conteudística, etc.). Nestes casos, contacte o tutor, via telefone, 
escreva uma carta participando a situação e se estiver próximo do tutor, 
contacte-o pessoalmente. 
Os tutores têm por obrigação, monitorar a sua aprendizagem, dai o 
estudante ter a oportunidade de interagir objectivamente com o tutor, 
usando para o efeito os mecanismos apresentados acima. 
Todos os tutores têm por obrigação facilitar a interacção, em caso de 
problemas específicos ele deve ser o primeiro a ser contactado, numa 
fase posterior contacte o coordenador do curso e se o problema for da 
natureza geral, contacte a direcção do CED, pelo número 825018440. 
Os contactos só se podem efectuar, nos dias úteis e nas horas normais de 
expediente. As sessões presenciais são um momento em que você caro 
estudante, tem a oportunidade de interagir com todo o staff do CED, neste 
período pode apresentar dúvidas, tratar questões administrativas, entre 
outras. 
O estudo em grupo, com os colegas é uma forma a ter em conta, busque 
apoio com os colegas, discutam juntos, apoiem-me mutuamente, reflictam 
sobre estratégias de superação, mas produza de forma independente o 
seu próprio saber e desenvolva suas competências. 
Juntos na Educação à Distância, vencendo a distância.. 
 
 
 Fisica Moderna 
8 
Assignments 
 
Assignments 
Você será avaliado durante o estudo independente (80% do curso) e o 
período presencial (20%). A avaliação do estudante é regulamentada com 
base no chamado regulamento de avaliação. 
Os trabalhos de campo por ti desenvolvidos , durante o estudo individual, 
concorrem para os 25% do cálculo da média de frequência da cadeira. 
Os testes são realizados durante as sessões presenciais e concorrem 
para os 75% do cálculo da média de frequência da cadeira. 
Os exames são realizados no final da cadeira e durante as sessões 
presenciais, eles representam 60%, o que adicionado aos 40% da média 
de frequência, determinam a nota final com a qual o estudante conclui a 
cadeira. A nota de 10 (dez) valores é a nota mínima de conclusão da 
cadeira. Nesta disciplina o estudante deverá realizar: 2 (dois) trabalhos; 1 
(um) teste e 1 (exame). Não estão previstas quaisquer avaliação oral. 
Algumas actividades práticas, relatórios e reflexões serão utilizadas como 
ferramentas de avaliação formativa. Durante a realização das avaliações, 
os estudantes devem ter em consideração: a apresentação; a coerência 
textual; o grau de cientificidade; a forma de conclusão dos assuntos, as 
recomendações, a indicação das referências utilizadas, o respeito pelos 
direitos do autor, entre outros. 
Os objectivos e critérios de avaliação estão indicados no manual. 
Consulte-os. Alguns feedback imediatos estão apresentados no manual. 
Assessments 
 
Assessments 
O estudante deve realizar todas as tarefas (exercícios, actividades e auto-
avaliação), contudo nem todas deverão ser entregues, mas é importante 
que sejam realizadas. As tarefas devem ser entregues antes do período 
presencial. 
Para cada tarefa serão estabelecidos prazos de entrega, e o não 
cumprimento dos prazos de entrega , implica a não classificação do 
 Física Moderna 
 
 9 
 
 
estudante. 
Os trabalhos devem ser entregues ao CED e os mesmos devem ser 
dirigidos ao tutor/docentes. Podem ser utilizadas diferentes fontes e 
materiais de pesquisa, contudo os mesmos devem ser devidamente 
referenciados, respeitando os direitos do autor. 
O plagio deve ser evitado, a transcrição fiel de mais de 8 (oito) palavras 
de um autor, sem o citar é considerado plágio. A honestidade, humildade 
científica e o respeito pelos direitos autoriais devem marcar a realização 
dos trabalhos. 
 
 
 Física Moderna 
 
 11 
 
 
F0087 – 30 ANo 
Icons Na Margens 
Legrnda de alguns ícones nas margens, que encontrará ao longo do texto. 
 
 
 
 
Activity Assessment Assignment Case study 
 
Discussion Group activity Help Note it! 
 
Outcomes Reading Reflection Study skills 
 
 
Summary Terminology Time Tip 
 
 
 
Computer-
Based Learning Audio Video Feedback 
 
 
 
Objectives Basic Competence 
Answers to 
Assessments 
 Física Moderna 
 
 13 
 
Unidade 1 
Introdução histórica. Objecto de 
estudo da Física Quântica 
Introdução 
O que hoje se denomina física moderna constitui essencialmente a física 
desenvolvida no início do século XX. Mais precisamente, nas três 
primeiras décadas do século passado. Do ponto de vista teórico todo o 
conhecimento produzido nesse período pode ser resumido em duas 
grandes linhas: a teoria da relatividade, proposta por Einstein, e a teoria 
quântica, iniciada com Max Planck. 
Ao completar esta unidade o estudante deve ser capaz de: 
 
Outcomes 
 Conhecer os conceitos históricos da Física quantica; 
 Interpretar as datas cientifica e cronologicamento e, 
 Resolver exercícios. 
 
 
 
1.1. Conceitos 
Apesar de sua fundamental importância no contexto geral da física, A 
teoria da relatividade continua essencialmente restrita aos estudos 
teóricos, ou aos trabalhos experimentais extremamente sofisticados. Na 
área de física aplicada, os efeitos relativísticos, quando possíveis, 
apresentam intensidadestão reduzidas que praticamente inviabilizam a 
detecção. Portanto, os conceitos da teoria da relatividade ficam um tanto 
deslocados num contexto em que se pretende enfocar as aplicações 
tecnológicas da física moderna. 
 
 
 Fisica Moderna 
14 
 
Na última década do século XIX dois temas de pesquisa despertavam 
grande interesse. Um era a tentativa de conciliar a mecânica Newtoniana 
e a termodinâmica, e o outro tratava-se das descargas eléctricas nos 
gases rarefeitos. Trabalhando no primeiro tema, Planck chegou à famosa 
fórmula de energia E=hν, na qual surge a constante h, hoje conhecida 
como constante de Planck. 
Os estudos com os gases rarefeitos permitiram, entre outras coisas, a 
descoberta dos raios X (Wilhelm Roentgen, 1895), da radioactividade 
(Henri Becquerel e Madame Curie, 1896-1998) e do electrão (J.J. 
Thomson, 1897). Essas três descobertas, ao lado do trabalho de Planck, 
desencadearam o processo que originou a física moderna. 
Já em 1905 Einstein usa as ideias de Planck para explicar o efeito 
fotoeléctrico. Entre 1908 e 1911 Ernst Rutherford realiza os famosos 
experimentos que lhe permitiram sugerir que o átomo é constituído de um 
minúsculo núcleo, de carga positiva, rodeado por electrões, os quais 
ocupam um espaço várias ordens de grandeza superior ao ocupado pelo 
núcleo. Em seguida, por volta de 1913, Niels Bohr propõe o modelo 
atómico que leva o seu nome, e que foi capaz de explicar as séries 
espectroscópicas do hidrogénio. 
O problema, percebido imediatamente, é que o modelo de Bohr é 
satisfatório apenas para o caso do átomo de hidrogénio. Uma alternativa 
razoável só veio à baila por volta de 1926, quando Erwin Schrödinger 
desenvolveu a equação que leva seu nome. A proposta de Schrödinger 
surge como consequência de alguns resultados experimentais (efeito 
fotoeléctrico e efeito Compton) que levaram Louis de Broglie a propor, em 
1924, a dualidade partícula-onda, isto é, dependendo das circunstâncias, 
um electrão, ou outra partícula, pode se comportar como partícula ou 
como onda. 
A evolução da Física no decurso do século XX ficou marcada por duas 
revoluções. A segunda, a Relatividade Restrita, iniciada por Einstein em 
1905, alterou profundamente os conceitos de espaço e principalmente de 
tempo. Mas a primeira, que teve a sua origem no início do século com o 
trabalho de Planck sobre a teoria do corpo negro, produziu modificações 
ainda mais profundas ao nível de todos os conceitos fundamentais da 
Física. Trata-se da teoria que inicialmente se denominou «Mecânica 
Quântica» e actualmente se denomina Física Quântica. 
 Física Moderna 
 
 15 
 
 
 
Figura 1.1: Representação de um átomo. 
O termo “quantum”, do latim “quanto” refere-se às unidades discretas que 
a teoria atribui a certas quantidades físicas, tais como a energia de um 
átomo em repouso. A descoberta de que ondas podem ser medidas em 
pequenos pacotes de energia chamados quanta, com propriedades de 
partículas, levou ao nascimento da Mecânica Quântica. As suas bases 
foram estabelecidas durante a primeira metade do século XX por Max 
Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin 
Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, 
entre outros. 
 
Figura 1.2: Imagem computorizada de um curral de electrões. 
É interessante notar que toda a física é quântica e a física não quântica é 
uma aproximação, muitas vezes excelente, da primeira. A razão porque a 
aproximação não quântica é boa explica-se atendendo ao valor da 
constante de Planck, h. Assim temos h ≅ 6.626×10-34 (Joule × segundo), 
o que é um valor extraordinariamente pequeno. Se o valor de h fosse zero 
as leis da física clássica seriam exactas e não apenas uma excelente 
aproximação. 
A descoberta dos raios X e o modelo de Bohr foram de fundamental 
importância para o estabelecimento da tabela periódica como hoje a 
conhecemos. 
 
 
 Fisica Moderna 
16 
 
Além disso, os raios-X apresentam hoje inúmeras aplicações tecnológicas. 
Duas outras aplicações tecnológicas resultantes da física moderna 
merecem destaque: o laser e os semicondutores. 
Assim, de todos os fenómenos aqui apresentados, o primeiro a ser 
descoberto foi o raio X, em 1895, mas seu entendimento só foi possível 
depois do modelo de Bohr, em 1913. Já a radioactividade, que foi 
descoberta logo depois dos raios X, pode ser razoavelmente bem 
compreendida sem o auxílio do modelo de Bohr, embora um completo 
entendimento da física nuclear só seja possível com a mecânica quântica, 
que veio depois do modelo de Bohr. 
Exercícios 
 
Assignment 
1. Sob o ponto de vista teórico, explique como surge a necessidade 
da existência de uma ciência chamada Física Moderna. 
2. No contexto da Física Moderna, como explica o conceito quanta 
de energia? 
3. Quais foram as bases científicas para o estabelecimento da 
Tabela Periódica? 
 
Unidade 2 Física Moderna 
 
17 
Unidade 2 
Propriedades quânticas da 
radiação 
Introdução 
Ao completar esta unidade, o estudante deve ser capaz de: 
 
Outcomes 
 Identificar as ondas electromagnéticas e as suas características; 
 Conhecer o espectro electromagnético; 
 Descrever as equações electromagnéticas; 
 Interpretar o efeito fotoeléctrico; 
 Enunciar as leis da emissão fotoeléctrica e, 
 Resolver exercícios. 
 
2.1. Ondas Electromagnéticas 
 
As equações clássicas de Maxwell, que governam o campo 
electromagnético, aplicadas a uma região do espaço onde não existem 
cargas livres nem correntes eléctricas, admitem uma solução ondulatória, 
com o campo eléctrico E e o campo magnético B variando 
harmonicamente, um perpendicular ao outro e ambos, perpendiculares à 
direcção de propagação, definida pelo vector c, que representa a 
velocidade da onda. 
 
 Figura 2.1: Propagação de ondas electromagnéticas 
 
 
 Fisica Moderna 
18 
 
O módulo da velocidade de propagação das ondas electromagnéticas no 
vácuo é tomado, por definição, como sendo exactamente: 
smc /458.792.299 
Se a direcção de propagação da onda é a direcção do eixo x, os módulos 
dos campos eléctrico e magnético podem ser escritos: 
  
  ctxkBB
ctxkEE


cos
cos
0
0
 (2.1)
 

2
k é o número de onda e  , o comprimento de onda. 
As equações clássicas de Maxwell descrevem, portanto, a radiação 
electromagnética como uma onda transversal. 
A figura representa uma onda plano-polarizada, isto é, todos os vectores 
E em todos os pontos do espaço pelos quais passa a onda são paralelos 
e estão no mesmo plano. O mesmo vale para os vectores B , que estão 
num plano perpendicular. 
Como os planos de vibração dos campos eléctrico e magnético são 
sempre perpendiculares, para caracterizar uma onda electromagnética 
qualquer é usual especificar a direcção do plano do campo eléctrico e a 
direcção de propagação da onda. 
Assim, define-se o plano de polarização de uma onda electromagnética 
como o plano ao longo do qual oscila o campo eléctrico. 
A luz proveniente de uma lâmpada incandescente, por exemplo, é não 
polarizada já que consiste de um grande número de ondas, cada uma 
vibrando segundo uma direcção aleatória. 
 
Espectro electromagnético 
 
 
Unidade 2 Física Moderna 
 
19 
Figura 2.2: Espectro electromagnético 
2.2. Efeito Fotoeléctrico 
A descoberta do Efeito Fotoeléctrico 
Como toda descoberta, esta também se deu por acaso quando Heinrich 
Hertz, em 1887, investigava a natureza electromagnética da luz. 
Estudando a produção de descargas eléctricas entre duas superfícies de 
metal em potenciais diferentes, ele observou que uma faísca proveniente 
de uma superfície gerava uma faísca secundária na outra. Como esta era 
difícil de ser visualizada, Hertz construiu uma protecção sobre o sistema 
para evitar a dispersão da luz. No entanto, isto causou uma diminuição da 
faísca secundária. Na sequência dos seus experimentos ele constatou 
que o fenómeno não era de natureza electrostática,pois não havia 
diferença se a protecção era feita de material condutor ou isolante. Após 
uma série de experimentos, Hertz, confirmou o seu palpite de que a luz 
poderia gerar faíscas. Também chegou à conclusão que o fenómeno 
deveria ser devido apenas à luz ultravioleta. 
Em 1888, estimulado pelo trabalho de Hertz, Wilhelm Hallwachs mostrou 
que corpos metálicos irradiados com luz ultravioleta adquiriam carga 
positiva. Para explicar o fenómeno, Lenard e Wolf publicaram um artigo na 
Annalen der Physik, sugerindo que a luz ultravioleta faria com que 
partículas do metal deixassem a superfície do mesmo. 
Dois anos após a descoberta de Hertz, Thomson postulou que o efeito 
fotoeléctrico consistia na emissão de electrões. Para prová-lo, demonstrou 
experimentalmente que o valor de e/m das partículas emitidas no efeito 
fotoeléctrico era o mesmo que para os electrões associados aos raios 
catódicos. Também concluiu que esta carga é da mesma ordem que a 
carga adquirida pelo átomo de hidrogénio na electrólise de soluções. O 
valor de e encontrado por ele (6,8 x 10-10 esu) encontra-se muito perto do 
aceito actualmente ( 4,77 x 10-10 esu ou 1,60x10-19 C). Uma ilustração do 
arranjo experimental é apresentada na figura abaixo. 
 
 
 Fisica Moderna 
20 
 
 
O feixe de luz arranca electrões da placa metálica. Estes electrões 
formam uma corrente, que pode ser detectada por um amperímetro. A 
corrente diminui se colocarmos uma bateria com o terminal negativo 
ligado na placa colectora. Em 1903, Lenard provou que a energia dos 
electrões emitidos não apresentava a menor dependência da intensidade 
da luz. Em 1904, Schweidler mostrou que a energia do electrão era 
proporcional à frequência da luz. 
2.3. Leis da Emissão Fotoeléctrica 
Na altura em que o efeito fotoeléctrico foi descoberto admitia-se que as 
radiações luminosas eram de natureza ondulatória, isto é, que a sua 
propagação se fazia por meio de ondas caracterizadas por um valor de 
frequência f. 
Procurou-se então descobrir se existiria alguma relação entre a emissão 
de electrões por uma superfície metálica e a frequência da luz 
monocromática incidente, isto é, a radiação incidente com apenas um 
único valor de frequência. 
Os resultados experimentais obtidos com a célula fotoeléctrica no final do 
século XIX e início do século XX, permitiram tirar conclusões muito 
importantes que constituem as leis da emissão fotoeléctrica: 
1ª lei - Para uma metal puro, a emissão fotoeléctrica inicia-se e termina 
instantaneamente e só se produz se a frequência da radiação 
monocromática incidente for superior a um dado valor, f0 , designado por 
frequência do limiar fotoeléctrico ou frequência limiar. 
Unidade 2 Física Moderna 
 
21 
2ª lei - O valor da frequência do limiar fotoeléctrico, f0 , varia com o 
material que constitui a superfície iluminada e é uma característica deste. 
3ª lei - O número de electrões emitidos por unidade de tempo e, portanto, 
o valor máximo, constante, da corrente fotoeléctrica, corrente de 
saturação, I1 e I2 , é proporcional à intensidade do feixe monocromático 
que incide no cátodo. 
 
Figura 2.4: Demonstração dos valores máximos de corrente 
I1 e I2 - valores máximos das correntes correspondentes às intensidades 
luminosas Ie1 e Ie2 , tal que Ie1 > Ie2 . 
4ª lei - A energia cinética máxima dos electrões emitidos pelo metal do 
cátodo é independente da intensidade do feixe luminoso monocromático, 
incidente no cátodo e cresce com a frequência. 
 
 
 
 Fisica Moderna 
22 
 
 
Exercícios 
 
Assignment 
1. As equações clássicas de Maxwell descrevem, portanto, a 
radiação electromagnética como uma onda transversal. 
a) Qual é a diferença entre uma onda transversal e uma onda 
longitudinal, em termos da sua propagação? 
b) Representa estas ondas em figuras. 
2. Em que consiste a polarização das ondas? 
3. Diferencie, através de figuras, o espectro electromagnético do 
espectro da radiação visível. 
4. Que significam as leis da emissão fotoeléctrica? 
 
 
 
 
Unidade 3 Física Moderna 
 
23 
 
Unidade 3 
A teoria de Planck 
Introdução 
 
Ao completar esta unidade, o estudante deve ser capaz de: 
 
Outcomes 
 Interpretar teórica e graficamente a lei de Stefan-Boltzmann; 
 Interpretar a Teoria dos fotões de Einstein; 
 Conhecer e Interpretar a Equação fotoeléctrica de Einstein 
 Resolver exercícios. 
 
3.1. Introdução 
Os resultados apresentados anteriormente contradiziam a teoria clássica 
do electromagnetismo, e desafiaram a inteligência humana durante 18 
anos. Em 1905, Einstein usou uma proposta apresentada por Planck em 
1900, e conseguiu explicar o efeito fotoeléctrico. O trabalho de Planck 
referia-se à radiação de corpo negro, e sua proposta deu início ao que 
hoje se conhece como teoria quântica. 
Um facto importante dessa história ocorreu por volta de 1800, quando o 
astrónomo inglês Sir William Herschel estava a observar a decomposição 
da luz branca ao atravessar um prisma. 
 
Figura 3.1: Prisma óptico 
 
 
 Fisica Moderna 
24 
Herschel conseguiu medir a temperatura correspondente a cada cor do 
espectro, e descobriu que o efeito térmico aumentava à medida que o 
termómetro se aproximava do vermelho. Mais importante ainda, ele 
observou que o efeito continuava a aumentar mesmo depois do vermelho, 
na parte escura do espectro, a região do infravermelho, e que todos os 
corpos irradiam no infravermelho. 
Esses estudos continuaram e desembocaram naquilo que na segunda 
metade do século XIX passou a ser conhecida como radiação de corpo 
negro. Essencialmente, é o seguinte: qualquer corpo em determinada 
temperatura, irradia energia, que depende dessa temperatura. 
E como Herschel já havia descoberto, cada temperatura está associada a 
uma frequência, isto é, a uma determinada cor. Veja a figura abaixo, que 
representa a distribuição espectral da radiação de um corpo negro a uma 
temperatura da ordem de 9.000 K. 
 
Figura 3.2: distribuição espectral da radiação de um corpo negro a uma temperatura da 
ordem de 9.000 K. 
A parte colorida corresponde ao espectro visível. No final do século XIX, 
várias tentativas foram feitas para explicar essa curva. Todas essas 
tentativas baseavam-se nas teorias clássicas da termodinâmica. Stefan e 
Boltzmann mostraram que a emissão de energia cresce com a 
temperatura. Isto é, 
I ~ T4 (3.1) 
Actualmente este resultado é conhecido como lei de Stefan-Boltzmann. 
Wien mostrou que o máximo da curva espectral desloca-se com a 
temperatura, conforme ilustra a figura abaixo. 
4AeTI 
Unidade 3 Física Moderna 
 
 
Figura 3.3: Dependência do comprimento de onda com a temperatura 
Quando a temperatura cresce, o máximo desloca-se no sentido de 
números de onda maiores, isto é, no sentido de menores comprimentos 
de onda. 
Rayleigh e Jeans partiram da ideia de que a energia irradiada vem da 
oscilação do campo electromagnético, e mostraram que 
I~Tλ-4 (3.2) 
A lei de Rayleigh-Jeans, ajustava a curva na faixa dos altos comprimentos 
de onda, mas divergia na faixa de baixos comprimentos. Ela passou a ser 
conhecida como a catástrofe do ultravioleta. A figura abaixo ilustra esta 
situação. 
 
Figura 3.4: Demonstração da lei de Rayleigh-Jeans 
4
2

ckTI 
 
 
 Fisica Moderna 
26 
Em 1900, Max Planck fez uma proposta que ele considerou 
desesperadora, mas que revelou-se revolucionária. Ele mostrou que a lei 
de Rayleigh-Jeans não ajustava a curva espectral em toda a faixa de 
comprimentos de onda, porque Rayleigh e Jeans admitiam que os 
osciladores irradiavam qualquer quantidade de energia. Ele utilizou a 
estatística de Boltzmann para obter uma equação teórica que concordava 
com os resultados experimentais para todos os comprimentos de onda 
 (3.3) 
Planck impôs uma restrição, isto é, os osciladores só podiam emitir 
energiaem determinadas quantidades. Mais precisamente, em 
quantidades inteiras de hf, onde h passou a ser chamada de constante de 
Planck, e f é a frequência da radiação emitida. Esta suposição é hoje 
conhecida como quantização da energia. Em notação moderna: 
nhfEn  (3.4) 
onde n é um número inteiro, f é a frequência, e h é chamada de constante 
de Planck: 34106261.6  xh 
A partir dessa ideia, ele obteve uma expressão que ajustou 
completamente a curva espectral da radiação de corpo negro. 
3.2. Teoria dos fotões de Einstein 
A teoria ondulatória da luz interpretava, com êxito, todos os fenómenos 
luminosos conhecidos até então mas mostrou-se incapaz de interpretar o 
efeito fotoeléctrico que é consequência da acção das radiações luminosas 
sobre a matéria. 
Com efeito, de acordo com a teoria ondulatória, a emissão fotoeléctrica 
deveria ocorrer para luz incidente de qualquer frequência, desde que o 
feixe luminoso fosse suficientemente intenso. Tornava-se, portanto, 
inexplicável a existência de um valor limite para a frequência da radiação 
incidente. 
Por outro lado, se o feixe de luz incidente fosse muito pouco intenso, isto 
é, se a potência radiante incidente na superfície do cátodo tivesse valor 
muito baixo, a energia que então caberia a cada um dos electrões seria 
muito inferior à energia necessária para a extracção de um electrão da 
superfície de um metal. 
1
12
5
2

 kThce
hcI 

Unidade 3 Física Moderna 
 
27 
Também não se poderia admitir que se tratasse de uma acumulação, no 
tempo, de energia incidente, pois a emissão fotoeléctrica é instantânea. O 
facto de a energia cinética máxima dos fotoelectrões ser independente da 
intensidade do feixe de luz monocromática incidente na superfície do 
cátodo, era igualmente inexplicável na teoria ondulatória, visto que, se 
houvesse uma distribuição uniforme de energia luminosa por toda a 
superfície do cátodo, a energia recebida por cada um dos seus electrões 
deveria ser directamente proporcional à intensidade do feixe luminoso 
monocromático incidente. 
3.3. Equação fotoeléctrica de Einstein 
Einstein, em 1905, demonstrou que se podiam resolver as dificuldades 
atrás apontadas se se aplicasse, às radiações luminosas, a hipótese dos 
quanta que o físico Max Planck recentemente apresentara. 
Max Planck, em 1900, apresentou a hipótese de que a emissão de 
energia radiante pela matéria não se faz de um modo contínuo mas por 
quantidades discretas, proporcionais à frequência da respectiva radiação. 
A cada uma dessas quantidades chamou quantum de energia. 
Assim, Einstein, em vez de considerar a luz incidente como uma onda de 
frequência f, considerou-a como uma corrente de corpúsculos, 
recuperando uma ideia de Newton, os fotões, cada um dos quais de 
energia E proporcional à frequência f da onda considerada, e cuja 
constante de proporcionalidade, h, era a mesma que Planck deduzira a 
partir da sua hipótese: E = hf 
em que h se designa por constante de Planck: h = 6,625 x 10-24 J s 
Einstein considerou ainda que a intensidade da onda luminosa incidente é 
proporcional ao número de fotões que ela transporta. 
Quando há emissão fotoeléctrica é por que um fotão de energia hf colide 
com um electrão da superfície de um metal, sendo completamente 
absorvido e, ao desaparecer, é transferida para o electrão toda a sua 
energia. Uma parte desta, E0, igual á energia de extracção do metal, é 
consumida para arrancar o electrão do átomo e para o afastar da 
superfície do metal; a restante energia, hf - E0, aparece como energia 
cinética do electrão emitido e representa a energia cinética máxima com 
que um fotoelectrão, supondo-o inicialmente em repouso, pode abandonar 
a superfície do metal. 
 
 
 Fisica Moderna 
28 
 
Assim, segundo Einstein, podemos escrever: hf - E0 = ½ m v2máx (3.5) 
Esta equação, designada por equação fotoeléctrica de Einstein, foi 
confirmada experimentalmente, em 1916, por Milikan, que a comprovou 
determinando os valores da energia cinética máxima dos fotoelectrões 
emitidos por vários elementos fotossensíveis, para diferentes frequências 
de luz monocromática, medindo os valores dos potenciais de paragem, 
V0, correspondentes a essas frequências. 
Gráfico das medidas feitas por Milikan e que traduz a variação do 
potencial de paragem, V0, com a frequência f da radiação incidente num 
cátodo de césio e num cátodo de cobre. 
E = | e V0 | 
Milikan confirmou, assim, uma das previsões teóricas de Einstein: a 
energia cinética máxima dos fotoelectrões é função linear da frequência 
da radiação monocromática incidente. 
 
Figura 3.5: energia cinética máxima dos fotoelectrões é função linear da frequência da 
radiação monocromática incidente. 
O valor da constante de Planck, h, determinado a partir do declive das 
rectas da figura anterior, por Milikan, foi de 6,56 x 10-34 J s, em perfeito 
acordo com o valor deduzido por Planck ao estabelecer a sua teoria 
quântica (6,55 x 10-34 J s). O valor actualmente aceite para h é de 6,625 x 
10-34 J s. 
3.4. Interpretação das Leis da Emissão Fotoeléctrica Pela Teoria 
dos Fotões 
A partir da teoria dos fotões torna-se fácil a interpretação das leis da 
emissão fotoeléctrica. A existência de um valor limite, f0, da frequência da 
radiação monocromática incidente, característica de cada metal puro, 
deduz-se da equação 
Unidade 3 Física Moderna 
 
29 
hf - E0 = ½ m v2máx (3.6) 
supondo que cada fotão útil do feixe luminoso incidente possui apenas a 
energia suficiente, E0, para expulsar um electrão do metal. Então 
hf0 = E0 ou f0 = E0 / h (3.7) 
Se a frequência da radiação incidente tiver um valor f < f0, os fotões 
individuais, qualquer que seja o seu número, que colidem com a 
superfície metálica por unidade de tempo, não terão energia suficiente 
para expulsar electrões. 
Como a expulsão de um fotoelectrão corresponde à absorção de um fotão 
de energia hf > E0 ou hf = E0 , o número de electrões captados por 
unidade de tempo, pelo ânodo de uma célula fotoeléctrica, é proporcional 
ao número total de fotões que colidem com o cátodo, no mesmo intervalo 
de tempo e, por consequência, a corrente fotoeléctrica é proporcional à 
intensidade do feixe luminoso monocromático incidente. Da conjugação 
das expressões 
hf - E0 = ½ m v2máx e hf0 = E0 
temos que 
½ m v2máx = h ( f - f0 ) (3.8) 
Conclui-se então que a energia cinética máxima dos fotoelectrões só 
depende da frequência da radiação incidente e aumenta quando essa 
frequência também aumenta. 
3.5. Fotões e electrões 
Nos últimos anos do século XIX foi identificada a carga eléctrica 
elementar, designada por electrão. A corrente eléctrica é assim 
constituída por vários electrões que se deslocam ao longo do fio condutor 
e quando um corpo está carregado electricamente, a sua carga é sempre 
um múltiplo inteiro da carga elementar do electrão. Dito por outras 
palavras: Não é possível partir o electrão em pedaços cabendo a cada um 
uma fracção da sua carga eléctrica. 
 
 
 Fisica Moderna 
30 
 
 
Figura 3.6: Ferro em brasa 
Todos os que já viram um ferro muito quente, aquilo que vulgarmente se 
designa por um ferro em brasa, puderam constatar que emite luz. Primeiro 
emite uma luz avermelhada, depois, se continuar a aquecer, a luz torna-se 
mais alaranjada, aquecendo ainda mais, a luz emitida é mais branca, 
chegando mesmo a ficar azulada. Esta relação entre a temperatura de um 
corpo e a cor da radiação emitida é uma propriedade de todos os corpos. 
O corpo humano emite radiação no domínio do infravermelho, ao qual os 
nossos olhos não são sensíveis, mas que pode ser detectada com 
sensores apropriados. 
Recorde-se que a luz que os nossos olhos vêem é uma pequena porção 
de uma infinidade de outras luzes que não vemos. A cada cor que vemos 
corresponde uma certa frequência ω e um certo comprimento de onda λ. 
Estas duas grandezas não são independentes, antes pelo contrário, o seu 
produto é umaconstante universal, a velocidade de propagação da luz no 
vácuo, c, ou seja: 
ωλ = 2πc (3.9) 
No espectro visível, o vermelho é a cor a que corresponde a menor 
frequência e o violeta a que corresponde a maior frequência. Continuando 
a caminhar no sentido de luz com frequências cada vez maior passamos 
ao domínio dos raios X e posteriormente dos raios gama, usados na 
terapia de certas formas de cancro. No lado do vermelho e agora com 
frequências cada vez menores temos o infravermelho, usado, por 
exemplo, nos comandos das televisões, e as ondas de rádio. Nestas 
últimas, nas chamadas ondas longas, utilizadas em comunicações 
marítimas, o comprimento de onda é da ordem dos km. Por contraste, à 
cor amarela corresponde um comprimento de onda de cerca de 5×10-7 m 
e a radiação gama tem comprimentos de onda inferiores a 10-12 m. 
Unidade 3 Física Moderna 
 
31 
 
Figura 3.7. Espectro da radiação electromagnética 
 
 
Exercícios 
 
Assignment 
1. Quais das seguintes substâncias, Ta(4,2), W (4,5), Ba (2,5), Li 
(2,3) (função trabalho, em eV), podem ser usadas para 
confeccionar uma foto célula para ser usada com luz visível? Os 
valores aproximados dos comprimentos de onda (em nm) no 
visível são apresentados na tabela abaixo 
Violeta Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho 
425 475 525 575 625 675 
Solução: Apenas Ba e Li 
2. Determine a energia cinética máxima dos fotoelectrões se a 
função trabalho do material é de 2,3 eV e a frequência da 
radiação é de 3,0x1015 Hz. 
Resposta: 10,12 eV 
3. A função trabalho do tungsténio é 4,5 eV. Calcule a velocidade do 
mais rápido fotoelectrão emitido para fotões incidentes de 5,8 eV. 
Resposta: 6,76.105 m/s 
4. Na tabela abaixo são apresentados os resultados obtidos por 
Millikan para o efeito fotoeléctrico no lítio. 
Comprimento de 
onda λ (nm) 
433,9 404,7 365,0 312,5 253,5 
 
 
 Fisica Moderna 
32 
 
Potencial de corte, 
V (volt) 
0,55 0,73 1,09 1,67 2,57 
 Use a equação de Einstein (eV=hf-λ) para estimar: (a) o valor da 
constante de Planck, h; (b) a função trabalho do lítio. 
 Resposta: A solução correcta seria plotar V versus f e através de 
uma regressão linear determinar o coeficiente angular da recta e 
o ponto onde a recta intercepta o eixo dos V's. No entanto, uma 
solução aproximada, e bem mais simples para se estimar a 
constante de Planck, pode ser feita supondo que o material tem 
uma função trabalho constante. A escreva a eq. de Einstein para 
cada par de V e f (mostre que se λ é dado em angstron, então 
f=(3x1018)/ λ Hz). 
 Mostre que o valor médio de h é 4,07x10-15 eV/s 
 O valor médio da função trabalho será 2,26 Ev 
5. Uma luz de comprimento de onda igual a 200nm incide sobre uma 
superfície de alumínio, no entanto são necessários 4,2eV para 
remover um electrão. Calcular 
a) a energia cinética dos fotoelectrões emitidos; (Rsp. 2eV) 
b) o potencial de corte; (Rsp. 2V) 
 
6. Qual é a ideia principal que se pode reter em relação ao efeito 
compton? 
(O efeito compton, é o resultado de uma das experiências essenciais 
que foi realizada nas regiões dos raios X e dos raios gama do 
espectro electromagnético. O efeito compton, que envolve o 
espalhamento da radiação por átomos, pode ser compreendido em 
termos de colisões, entre fotões e electrões.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 4 Física Moderna 
 
33 
Unidade 4 
Radiação- X, a radiação branca e 
característica e os seus aspectos 
 
Ao completar esta unidade, o estudante deve ser capaz de: 
 
Outcomes 
 . Conhecer e explicar as propriedades dos raios X; 
 Identificar e interpretar as aplicações técnicas e medicas destes 
raios e, 
 Resolver exercícios. 
 
4.1. Introdução 
Assim como muitas das grandes descobertas do ser humano, a tecnologia 
dos raios X foi inventada completamente por acidente. Em 1895, um físico 
alemão chamado Wilhelm Roentgen fez essa descoberta enquanto fazia 
uma experiência com feixes de elétrons em um tubo de descarga de gás. 
Roentgen percebeu que uma tela fluorescente no seu laboratório 
começava a brilhar quando o feixe de electrões era ligado. Somente essa 
reação não era tão surpreendente: material fluorescente normalmente 
brilha ao reagir com radiação electromagnética; mas o tubo de Roentgen 
estava rodeado com papelão grosso e preto. Roentgen supôs que isso 
bloquearia a maior parte da radiação. 
Roentgen colocou vários objectos entre o tubo e a tela e ela ainda 
brilhava. Finalmente, ele colocou sua mão na frente do tubo e viu a 
silhueta de seus ossos projectada na tela fluorescente. Assim ele acabava 
de descobrir os raios X e uma de suas aplicações mais importantes. 
A extraordinária descoberta de Roentgen possibilitou um dos maiores 
avanços na história humana. A tecnologia dos raios X permite que os 
médicos vejam através dos tecidos humanos e examinem, com extrema 
facilidade, ossos quebrados, cavidades e objetos que foram engolidos. 
Procedimentos com raios X modificados podem ser usados para examinar 
tecidos mais moles, como os pulmões, os vasos sangüíneos ou os 
intestinos. 
 
 
 Fisica Moderna 
34 
 
Figura 4.1: Imagem de raios x 
4.2. O que são raios X 
Raios X são basicamente o mesmo que os raios de luz visíveis. Ambos 
são formas de ondas de energia electromagnética carregadas por 
partículas chamadas fotões. A diferença entre raios X e raios de luz visível 
é a energia dos fotões individualmente. Isto também é chamado de 
comprimento de onda dos raios. 
Os nossos olhos são sensíveis ao comprimento de onda da luz visível, 
mas não ao comprimento de onda mais curto, das ondas de maior energia 
dos raios X ou ao comprimento de onda mais longo de menor energia das 
ondas de rádio. 
Os fótons da luz visível e os dos raios X são produzidos pelo movimento 
dos electrões nos átomos. Os eletrões ocupam diferentes níveis de 
energia diferentes ou orbitais, ao redor do núcleo do átomo. Quando um 
elétron passa para orbital menor precisa liberar energia, e ela é liberada 
na forma de um fotão. A energia do fotão depende do quanto o electrão 
decaiu entre os orbitais. 
Quando um fóton colide com outro átomo, esse átomo pode absorver a 
energia do fotão promovendo o electrão para um nível de energia mais 
alto. Para isto acontecer, a energia do fotão tem que combinar com a 
diferença de energia entre as duas posições do elétron. Senão, o fotão 
não pode deslocar electrão entre os orbitais. 
 
 
 
 
 
 
1. Uma colisão com uma partícula em movimento excita o 
átomo; 
2. Isso faz com que o electrão passe para um nível mais 
alto; 
3. O electrão retorna ao seu nível de energia inicial , 
liberando energia a energia excedente na forma de um 
fotão de luz 
Unidade 4 Física Moderna 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.2: Absorção do fotão pelos atomos 
Os átomos que compõem os tecidos do nosso corpo absorvem bem fotão 
de luz visível. A energia dos fotões deve combinar com as diferenças de 
energia entre as posições dos electrão. Ondas de rádio não têm energia 
suficiente para mover elétrons entre orbitais em átomos maiores, então 
conseguem passar pela maioria dos materiais. Fotos de raios X também 
passam através de vários objetos, mas por outra razão: eles têm muita 
energia. 
Eles podem, entretanto, arrancar um elétron de um átomo. Uma parte da 
energia do fotão dos raios X trabalha para separar o elétron do átomo e o 
restante é usado para fazê-lo se movimentar fora do átomo. Um átomo 
maior tem mais chances de absorver um fotão de raios X desta maneira, 
porque em átomos maiores as diferenças de energia entre os orbitais são 
maiores e essa energia se ajusta melhor com a energia do fotão. Átomos 
menores, em que os orbitais dos elétrons estão separados por níveis de 
energia relativamente baixos, têm menos chances de absorver fótons de 
raios X. 
Os tecidos macios do seu corpo são feitos de átomos menores e por isso 
absorvem muito bem os fotões dos raios X. Os átomos de cálcio que 
fazem nossos ossos são muito maiores,então são melhores para 
absorver fótons de raios X. 
4.3. A máquina de raios X 
A máquina de raios X é um par de eletrodos , um cátodo e um ânodo, 
que ficam dentro de um tubo de vidro a vácuo. O cátodo é um 
filamento aquecido, como o que vê numa lâmpada fluorescente. A 
máquina passa corrente pelo filamento, aquecendo-o. O calor expulsa os 
elétrons da superfície do filamento. O ânodo positivamente carregado é 
 
 
 Fisica Moderna 
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um disco achatado feito de tungstênio, que atrai os elétrons através do 
tubo. 
 
A diferença de voltagem entre o cátodo e o ânodo é extremamente alta; 
então, os electrões movimentam-se pelo tubo com bastante força. 
Quando um electrão, em alta velocidade, choca-se com um átomo de 
tungstênio, um elétron que está em uma camada mais interna do átomo é 
liberado. Com isso, um elétron que está em um orbital com energia 
imediatamente mais alto (mais externo) migra para aquele nível de 
energia mais baixo (mais interno), liberando sua energia extra na forma de 
um fóton. Assim um fóton de raios X é a energia liberada num choque de 
electrões. 
 
Electrões livres também podem gerar fotões sem atingir um átomo. O 
núcleo de um átomo pode atrair um elétron e com uma velocidade que 
apenas altere seu curso. Como um cometa girando ao redor do Sol, o 
electrão diminui a velocidade e muda de direcção à medida que passa 
pelo átomo. Essa ação de "freio" faz o elétron emitir excesso de energia 
na forma de um fóton de raios X. 
Unidade 4 Física Moderna 
 
37 
 
As colisões de alto impacto envolvidas na produção dos raios X geram 
muito calor. Um motor gira o ânodo para que ele não derreta (o feixe de 
electrões não está sempre focalizado na mesma área). Uma camada de 
óleo frio ao redor da ampola também absorve calor. 
Todo o mecanismo é protegido por uma blindagem grossa de chumbo. Ela 
evita que os raios X escapem em todas as direções. Uma pequena 
abertura na blindagem permite que alguns dos fótons de raios X escapem 
em um pequeno feixe. Esse feixe passa por uma série de filtros até 
chegar ao paciente. 
Uma câmera no outro lado do paciente grava o padrão de raios X que 
passam através de seu corpo. A câmera de raios X usa a mesma 
tecnologia de filmes que uma câmera comum, mas a reação química é 
acionada por luz de raios X em vez de luz visível. Veja Como funciona o 
filme fotográfico para saber mais sobre esse processo. 
Geralmente, os médicos deixam a imagem no filme como um negativo. 
Isso quer dizer que as áreas que são expostas a mais luz ficam mais 
escuras e as áreas expostas a menos luz aparecem mais claras. Materiais 
duros, como ossos, aparecem em branco e materiais mais macios 
aparecem em preto ou cinza. Os médicos podem visualizar materiais 
diferentes variando a intensidade do feixe de raios X. 
4.4. Produção de Raios X 
Raios X podem ser produzidos quando elétrons são acelerados em 
direção a um alvo metálico. O choque do feixe elétrons (que saem do 
catodo com energia da ordem de 30 Kev) com o anodo (alvo) produz dois 
tipos de raios X. Um deles constitui o espectro contínuo, e resulta da 
desaceleração do elétron durante a penetração no anodo. O outro tipo é o 
 
 
 Fisica Moderna 
38 
raio X característico do material do ânodo. Assim, cada espectro de 
raios X é a superposição de um espectro contínuo e de uma série de 
linhas espectrais características do ânodo. 
O espectro contínuo é uma curva de contagens por segundo, versus 
comprimento de onda do raio X. Um fotão de radiação, com freqüência f, 
transporta uma energia hf=hc/λ, onde λ é o comprimento de onda da 
radiação. Portanto, o raio X emitido deverá ter energia máxima igual à 
energia do electrão incidente. Assim, o espectro contínuo é limitado por 
este valor. Na Fig. RX1, tem-se vários espectros contínuos em função do 
potencial acelerador. Essas curvas foram obtidas com um alvo de 
tungstênio. É fácil compreender, a partir das relações 
 
 
 
 
 

hchfE 
 (4.1)
 
Figura 4.6: Espectros contínuos em função do potencial acelerador 
que o comprimento de onda (ou a frequência) inferior (ou superior) deve 
diminuir (ou aumentar) com o potencial acelerador. Mostre que o 
comprimento de onda mínimo é dado por 
4
min 1024,1 x Å, onde V é o potencial acelerador. 
Substituindo-se o alvo de tungsténio )74( Z por um de molibdénio 
 42Z e mantendo-se as outras condições experimentais constantes, 
obtém-se o resultado ilustrado na Fig. RX2 (extraída de Tipler, Cap. 3). 
 
 
Figura 4.7: Intensidade em função do 
comprimento de onda 
Observe que as principais 
diferenças entre as figuras RX1 e RX2 são os picos existentes na Fig. 
RX2, em torno de 0.6 Å e 0.7 Å. Tendo em conta que a única diferença 
Unidade 4 Física Moderna 
 
entre uma medida e outra foi a substituição do alvo, é razoável admitir que 
os picos são devidos ao anodo de molibdénio. Estes picos constituem o 
espectro de raios X característico do molibdênio. Veremos no capítulo 
sobre o modelo de Bohr a razão pela qual o espectro obtido com o 
tungsténio não apresenta os picos característicos. 
Agora, baseados no modelo de Bohr podemos entender como são 
gerados os raios característicos, e por quê o espectro obtido com o 
tungstênio apresenta apenas espectro contínuo. 
 
Figura 4.8: Geração de raios característicos 
Quando o elétron proveniente do catodo incide no anodo, ele pode 
expulsar um electrão orbital. A órbita de onde o electrão será expulso, 
depende da energia do electrão incidente e dos níveis de energia do 
átomo do anodo. A lacuna deixada por este elétron será preenchida por 
um elétron mais externo. 
 
Exercícios 
 
Assignment 
1. Qual é a diferença entre Raios-X e a radiação visível? 
2. Explique como ocorre a produção de Raios-X, e diga também 
quais são as características dos seus espectros. 
3. Num tubo de raios x, os raios catódicos incidem sobre o alvo 
metálico do ânodo com uma energia de 7.104ev. Calcule: 
a) O comprimento de onda mínimo dos raios x obtidos pelo tubo. 
b) A diferença de potencial mínima a que o tubo deve operar. 
4. Uma determinada radiação emite um feixe de comprimento de 
onda 488nm. 
a) Qual é a energia de um fotão, correspondente a essa radiação? 
b) Se essa radiação emite uma energia de 0,1J por segundo, a 
 
 
 Fisica Moderna 
40 
 
quantos fotões irá corresponder? 
c) Imagine que este feixe venha a incidir na superfície de Césio, de 
limite vermelho 5,2.1014Hz. Com que energia cinética máxima 
serão emitidos os fotoelectrões desta superfície? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 5 Física Moderna 
 
41 
Unidade 5 
Difracção dos raios- X pelos 
cristais 
 
Ao completar esta unidade, o estudante deve ser capaz de: 
 
Outcomes 
 Interpretar a difrecção dos raios x, em cristais; 
 Enunciar e explicar as propriedades de raios x; 
 Esquematizar os níveis de energia para a interpretação da 
formação de raios X característicos de um elemento; 
 Resolver exercícios. 
 
5.1. Introdução 
 
A confirmação experimental da natureza ondulatória dos raios X chegou 
em 1912, quando o físico alemão Max Von Laue (1879-1960) teve a ideia 
de tentar a difracção dos raios X pelos cristais. 
Quando um feixe de raios X, muito estreito, atravessa uma lâmina delgada 
de um cristal e atinge uma placa fotográfica, P, observa-se, na zona 
central da placa, um ponto enegrecido que indica o local onde o feixe 
directo de raios X incidiu, e também outros pontos, menos enegrecidos, 
que indicam que o feixe de raios X sofreu difracção através do cristal. 
 
Figura 5.1. Esquema da montagem destinada à difracção de um feixe de raios X, muito 
delgado, por um cristal 
 
 
 Fisica Moderna 
42 
 
A disposição desses pontos é sempre bastante simétrica em relação à 
mancha central, e o conjunto designa-se por figura de Laue. 
 
Figura 5.2. Figura de Laue 
Estas experiências demonstraram que os comprimentos deonda dos 
raios X, no vazio, são da ordem das distâncias entre as entidades 
corpusculares nos cristais. Ainda hoje se usa a técnica de Laue para fazer 
o estudo da estrutura dos cristais. 
Um cristal constitui uma rede de difracção, 3 D, para os raios X. 
Assim, quando uma onda electromagnética plana, que forma um feixe 
paralelo de raios X, incide sobre um cristal, penetra nele profundamente. 
Cada entidade corpuscular (ião, átomo ou molécula) atingida pela onda 
incidente, funciona como uma fonte de raios X e produz uma onda 
difractada esférica (onda secundária). 
O feixe difractado resulta da sobreposição do conjunto destas ondas 
secundárias, e a sua direcção é a sua direcção em que todas elas estão 
em concordância de fase. 
 
Em 1913, os físicos inglês William Bragg e Lawrence Bragg (pai e filho) 
estabeleceram as condições necessárias à realização dessa concordância 
de fase. 
Mostraram que as ondas secundárias difractadas pelas diferentes 
entidades de um mesmo plano recticular estão em fase se a direcção do 
feixe incidente sobre esse plano e a direcção do feixe difractado formam 
ângulos iguais com esse plano. A difracção dos raios X num plano 
reticular é análoga á reflexão da luz visível num espelho. 
Unidade 5 Física Moderna 
 
 
Figura 5.3: A difracção dos raios X num plano reticular 
Os feixes difractados (reflectidos) pelos sucessivos planos recticulares da 
rede cristalina que se encontram, entre si, a distância d, estão, por sua 
vez, em fase se o ângulo satisfaz a relação seguinte, conhecida como 
equação de Bragg 
 (5.1) 
em que n é um número inteiro. 
Os raios X são, pois, difractados em certas direcções privilegiadas cuja 
inclinação, em relação à direcção de incidência, é função da distância 
entre os planos reticulares e do comprimento de onda do feixe de raios X 
considerado, no meio em que se propaga. 
5.2. Propriedades dos raios X 
O feixe de raios X pode ser considerado como um “chuveiro” de fótons 
distribuídos de modo aleatório. Os raios X possuem propriedades que os 
tornam extremamente úteis: 
 Enegrecem filme fotográfico; 
 Provocam luminescência em determinados sais metálicos; 
 São radiação electromagnética, portanto não são defletidos por 
campos elétricos ou magnéticos pois não tem carga; 
 Tornam-se “duros” (mais penetrantes) após passarem por 
materiais absorvedores; 
 Produzem radiação secundária (espalhada) ao atravessar um 
corpo; 
 
 
 Fisica Moderna 
44 
 Propagam-se em linha reta e em todas as direcções; 
 Atravessam um corpo tanto melhor, quanto maior for a tensão 
(voltagem) do tubo (kV); 
 No vácuo, propagam-se com a velocidade da luz; 
 Obedecem a lei do inverso do quadrado da distância ( 2
1
r
), ou 
seja, reduz sua intensidade dessa forma; 
- Podem provocar mudanças biológicas, que podem ser benignas 
ou malignas, ao interagir com sistemas biológicos. 
As máquinas de raios X foram projectadas de modo que um grande 
número de electroes seja produzido e acelerado para atingir um 
anteparo sólido (alvo) com alta energia cinética. Este fenômeno ocorre 
num tubo de raios X que é um conversor de energia. Recebe energia 
eléctrica que converte em raios X e calor. O calor é um subproduto 
indesejável no processo. O tubo de raios X é projectado para maximizar 
a produção de raios X e dissipar o calor tão rápido quanto possível. 
5.3. Espectros de raios X 
Por intermédio da equação de Bragg, a determinação experimental do 
ângulo de difracção permite calcular, conhecendo o comprimento de 
onda, o valor da distância entre dois planos reticulares sucessivos. Se se 
tiver conhecimento do valor de d, a equação de Bragg dará o valor de e 
isso permitirá fazer o estudo dos espectros de raios X. 
Para analisar um feixe de raios X que contenha radiações de diferentes 
frequências recorre-se a um cristal como rede de difracção, provocando a 
reflexão desse feixe nos planos reticulares paralelos à face do cristal 
exposta aos raios X. 
Verifica-se assim que, de um modo geral, o feixe origina um espectro de 
riscas sobreposto a um espectro contínuo. 
 
Figura 5.4: Espectro de riscas dos raios X emitidos por um tubo cujo anticátodo é de 
tungsténio. 
As riscas de um espectro de raios X apresentam-se distribuídas, ao longo 
do espectro contínuo, em séries que se designam pelos nomes de riscas 
K, riscas L, riscas M,..., e, em cada série, as riscas são designadas pelas 
Unidade 5 Física Moderna 
 
mesmas letras com índices Em cada espectro, as riscas K são 
as que correspondem a raios X de maior frequência, ou seja, a raios X 
mais energéticos, mais duros. 
Os elementos de baixo número atómico só originam a série de riscas K e, 
à medida que se utilizam anticátodos de elementos de número atómico 
crescente, vai-se tornando possível o aparecimento sucessivo das séries 
de riscas L, M, N,... 
Para cada elemento, as respectivas séries de riscas não aparecem para o 
mesmo valor da tensão eléctrica estabelecida nos terminais do tubo de 
raios X. A série K é, de todas as séries, a que exige tensão mais elevada 
para ser emitida. 
Interpreta-se o aparecimento dessas riscas admitindo que, quando os 
electrões emitidos pelo cátodo de um tubo de raios X chocam com o 
anticátodo, penetram nos átomos do elemento que o constitui, e alguns 
desses electrões, devido às elevadas velocidades que possuem, 
arrancam electrões dos níveis mais interiores. 
A extracção de um electrão do nível K só é possível quando a energia, E, 
do electrão bombardeante (E = q.V) for suficiente para fazer subir aquele 
electrão para um nível mais elevado, geralmente ocupado parcialmente, 
ou para o afastar completamente do átomo. Após excitação, a lacuna do 
nível K pode preencher-se mediante a transição de um electrão de um 
estado de energia superior, de qualquer outro nível, com emissão de um 
fotão X, cuja energia é igual à diferença de energias do sistema atómico, 
antes e depois da transição do electrão, pelo que a sua frequência é dada 
por . Do grande número de átomos excitados, obtém-se a 
emissão de toda a série K. 
 
 
 Fisica Moderna 
46 
 
Figura 5.5: Esquema de níveis de energia 
Esquema de níveis de energia para a interpretação da formação de raios 
X característicos de um elemento: transição de electrões para estados de 
níveis inferiores que tenham ficado vagos por deles terem sido 
desalojados electrões. 
 
São possíveis todas as riscas de qualquer das séries quando o electrão 
bombardeante possuir a energia necessária para arrancar ao átomo um 
electrão do nível K. 
Se o electrão bombardeante só possuir energia suficiente para arrancar 
um electrão do nível L, surgem apenas as séries L, M, N,..., 
correspondentes às transições energéticas de electrões de níveis 
superiores para os níveis inferiores deixados vagos. 
Esta interpretação da emissão de raios X explica porque existe, para cada 
elemento, um valor mínimo da diferença de potencial, tensão eléctrica, 
necessária para a emissão de cada um dos espectros K, L, M, N,... Esse 
valor é determinado pela energia mínima necessária para arrancar um 
electrão do nível K, L, M, N,..., respectivamente. 
 
5.4. Lei de Moseley 
Moseley concluiu que as frequências correspondentes a uma mesma risca 
de uma determinada série, nos espectros dos vários elementos, estão 
relacionadas com os respectivos números atómicos, Z, sendo essa 
relação: 
 (5.2) 
Unidade 5 Física Moderna 
 
onde é uma constante de proporcionalidade e é outra constante de 
proporcionalidade que tem o mesmo valor para todas as riscas de uma 
dada série. 
 
Figura 5.6: Relação entre as frequências das riscas espectrais 
Relação entre as frequências das riscas espectrais das séries K e L 
dos raios X característicos dos vários elementos, e o número atómico, Z, 
desses elementos. 
A lei de Moseley permite afirmar que: 
A raiz quadrada da frequência das riscas espectrais dos raios X, no 
espectro de um elemento qualquer, é uma função linear simples do 
número atómico