AV 3 - Cálculo Avançado - Números Complexos e Equações Diferenciais

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Disciplina: Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais (EMC101) 
Uma propriedade que surge das funções complexas que não existia nas funções reais é a 
analiticidade da função. Toda a teoria de integração de funções complexas está 
fundamentada pelas funções analíticas. Pensando nisso, responda: 
 
a) Qual a definição de uma função analítica? 
b) Qual a diferença entre uma função analítica, uma função holomorfa e uma função 
inteira? 
Resposta Esperada: 
a) Uma função é analítica num ponto se existe uma bola aberta centrada nesse ponto tal 
que a função é derivável em todos os pontos dessa bola. Se a função é derivável em 
todos os pontos do seu domínio ela é analítica. 
 
b) Uma função holomorfa é equivalente a dizer que ela é analítica, dois nomes para a 
mesma definição. Já a diferença entre função analítica e inteira é seu domínio, toda 
função inteira é analítica. Para uma função ser inteira ela deve ser analítica, mas seu 
domínio deve ser todos os números complexos. 
 
2. Com relação às equações diferenciais, podemos classificá-las segundo algumas 
propriedades. Sobre esses itens, responda: 
 
a) O que significa a ORDEM de equação diferencial? 
b) Qual a diferença entre uma equação diferencial ordinária e uma equação 
diferencial parcial? 
c) O que significa dizer que uma equação diferencial é linear? 
d) Dê um exemplo de uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem. 
Resposta Esperada: 
a) Uma equação diferencial tem derivadas de várias ordens de uma função, a maior 
ordem dessas derivadas é chamada de ordem da equação diferencial, ou seja, é a maior 
derivada que aparece. 
 
b) Uma equação diferencial ordinária é uma equação com apenas uma variável e só 
aparece derivadas dessa variável. Uma equação diferencial parcial tem mais de uma 
variável e as derivadas que aparecem são derivadas parciais. 
 
c) Uma equação diferencial é dita linear quando a função e suas derivadas que aparecem 
na equação são do primeiro grau. 
 
d) Existem infinitos exemplos de equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, 
um deles é y'' + y' + y = 0. 
 
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