Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia Estruturas de Concreto Armado IEstruturas de Concreto Armado I Prof. Marco Antônio marcoaman@unigranrio.edu.br Aula 05Aula 05 Dimensionamento de Lajes (armadas em 2 direções) Lajes Armadas em 2 direções Formulações utilizadas para o cálculo de lajes armadas em 2 direções: a) Formulação analítica (fechada): baseada na Teoria da Elasticidade, considerando a laje como elemento casca. - Método de Navier Tabelas - de Czerny (adotada) - Método de Lévy (simplificadoras) - de Marcus - Formulação via energia) - de Barès- Formulação via energia) - de Barès - Método de Ritz - entre outros... - Placa de Kirchhoff b) Formulação programada: em linguagem computacional utilizando a matriz de rigidez de elemento de casca. Todo o elemento de laje deve ser reticulado formando uma malha mais refinada possível. - Método dos Elementos Finitos (uso comercial/acadêmico) - Método das Diferenças Finitas (desuso) 2 - Método das Diferenças Finitas (desuso) - Método dos Elementos de Contorno (uso acadêmico) Obs: Para fins de aprendizado, será adota a tabela de Czerny para lajes com bordos engastados e/ou apoiados com carregamento uniformemente distribuído. Para lajes com bordos livres e carregamentos triangulares (empuxos de solo e/ou de água), consultar: Souza, V. C. M.; Cunha, A, J. P. Lajes em concreto armado e protendido - EDUFF (livro esgotado). Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Tabela de Czerny (laje armada em 2 direções e carga uniformemente distribuída: 3 Y 2 X Y m .q M ± =± l X 2 X X m .q M ± =± l Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Tabela de Czerny (laje armada em 2 direções e carga uniformemente distribuída: 4 Y 2 X Y m .q M ± =± l X 2 X X m .q M ± =± l Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro 1º Exercício: Considere o mesmo pano de lajes do 2º ex. da Aula 3, conforme abaixo. Dados: - vãos efetivos (lx e ly) - carregamentos distribuídos qd (combinados no ELU) - concreto classe C25 e d’=2cm - barras em aço CA-60 (6,3-12,5mm) Determine: a) Os momentos fletores b) Os momentos fletores compatibilizados c) As armaduras adotadas d) A prancha de armaduras adotadas 5Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro a) Momentos fletores: - Laje L1: 00,253,1m50,3 m35,5 X Y <== l l armada em 2 direções (tipo 6) 84,212,2260,0. 03,0 m 50,153,12,22mX =+−=→−=−+ 48,960,920,0. 05,0 03,0 m 50,155,1 50,153,1 60,940,9 60,9m X X =++=→ − −= − − − − Interpolação dos coeficientes: 84,212,2260,0. 05,0 03,0 m 50,155,1 50,153,1 2,226,21 2,22m X X =+−=→ − −= − − + + 66,530,5310,1. 05,0 03,0 m 50,155,1 50,153,1 0,531,54 0,53m Y Y =++=→ − −= − − + + 34,124,1210,0. 05,0 03,0 m 50,155,1 50,153,1 4,123,12 4,12m Y Y =+−=→ − −= − − − − ( ) m/kNm17,9 m50,3.m/kN10,7.q M 22 X X −=− ==− l 6 ( ) m/kNm98,3 84,21 m50,3.m/kN10,7 m .q M 2 X 2 X X +=+ == + + l m/kNm17,9 48,9m M X X −=− == − − ( ) m/kNm62,1 66,53 m50,3.m/kN10,7 m .q M 2 Y 2 X Y +=+ == + + l ( ) m/kNm05,7 34,12 m50,3.m/kN10,7 m .q M 2 Y 2 X Y −=− == − − l Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro a) Momentos fletores: - Laje L2: armada em 2 direções (tipo 3) 00,242,1 m50,4 m40,6 X Y <== l l 22,930,920,0. 02,0 m 40,142,130,9mX =+−=→−=−− Interpolação dos coeficientes: ( )m50,4.m/kN63,11.q 22l 72,200,2170,0. 05,0 02,0 m 40,145,1 40,142,1 0,213,20 0,21m X X =+−=→ − −= − − + + 22,930,920,0. 05,0 m 40,145,130,910,9 X X =+−=→ − = − − − 58,543,5470,0. 05,0 02,0 m 40,145,1 40,142,1 3,540,55 3,54m Y Y =++=→ − −= − − + + 7 ( ) m/kNm37,11 72,20 m50,4.m/kN63,11 m .q M 2 X 2 X X +=+ == + + l ( ) m/kNm54,25 22,9 m50,4.m/kN63,11 m .q M 2 X 2 X X −=− == − − l ( ) m/kNm31,4 58,54 m50,4.m/kN63,11 m .q M 2 Y 2 X Y +=+ == + + l Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro a) Momentos fletores: - Laje L4: 00,236,1m90,2 m95,3 X Y <== l l armada em 2 direções (tipo 7) 28,296,2960,1. 01,0 m 35,136,16,29mX =+−=→−=−+ 52,116,1140,0. 05,0 01,0 m 35,140,1 35,136,1 6,112,11 6,11m X X =+−=→ − −= − − − − Interpolação dos coeficientes: 28,296,2960,1. 05,0 01,0 m 35,140,1 35,136,1 6,290,28 6,29m X X =+−=→ − −= − − + + 94,486,4870,1. 05,0 01,0 m 35,140,1 35,136,1 6,483,50 6,48m Y Y =++=→ − −= − − + + ( ) m/kNm23,7 52,11 m90,2.m/kN90,9 m .q M 22 X X −=− ==− l 08,131,1310,0. 05,0 01,0 m 35,140,1 35,136,1 1,130,13 1,13m Y Y =+−=→ − −= − − − − 8 ( ) m/kNm84,2 28,29 m90,2.m/kN90,9 m .q M 2 X 2 X X +=+ == + + l m/kNm23,7 52,11m M X X −=− == − − ( ) m/kNm70,1 94,48 m90,2.m/kN90,9 m .q M 2 Y 2 X Y +=+ == + + l ( ) m/kNm36,6 08,13 m90,2.m/kN90,9 m .q M 2 Y 2 X Y −=− == − − l Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro a) Momentos fletores: - Laje L3: 00,207,2 m40,1 m90,2 X Y >== l l armada em 1 direção engastada-apoiada (tipo C) ( ) m/kNm32,1 m40,1.m/kN55,9.q M 22 X +=== l ( ) m/kNm34,2 0,8 m40,1.m/kN55,9 m .q M 2 X 2 X X −=− == − − l ( ) m/kNm32,1 2,14 m40,1.m/kN55,9 m .q M X X X +=+ == + + l ( ) m/kNm56,1 12 m40,1.m/kN55,9 m .q M 2 Y 2 X Y −=− == − − l b) Compatibilização dos momentos fletores negativos: Lajes L1 e L2: m/kNm43,2054,25.8,0 −=− Lajes L1 e L3: m/kNm34,717,9.8,0 −=− Lajes L1 e L4: m/kNm34,717,9.8,0 −=− 9 m/kNm43,2054,25.8,0 −=− m/kNm30,16 2 54,2505,7 −=−− m/kNm34,717,9.8,0 −=− m/kNm37,5 2 56,117,9 −=−− m/kNm34,717,9.8,0 −=− m/kNm20,8 2 23,717,9 −=−− Lajes L3 e L4: m/kNm09,570,5.8,0 −=− m/kNm35,4 2 36,634,2 −=−− Lajes L4 e L2: m/kNm43,2054,25.8,0 −=− m/kNm95,15 2 54,2536,6 −=−−Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro c) Armaduras adotadas: - Posição da LN: ( )[ ] ( ) 40050f8,0 20050f185,0 ck ckc −−=λ −−=α C20 a C50: 8,0 85,0c =λ =α C55 a C90: ′−= cm100s.n = espaçosbarras nn = Critério de espaçamento: - Armadura: λ α −− = cdc d2 f.b. M.2 dd x ( )x..5,0d.f M A dnec,s λ− = ρ= C20 a C50: x/d lim = 0,45 C55 a C90: x/d lim = 0,35 4,1/ff ckcd = 15,1/ff ykyd = dhd ′−= cm100s.nbarras = 10 barrasn cm100 s= barra,s .adot,s barras A A n = Adotar espaçamentos (s) comerciais, múltiplos de 2,5cm , para baixo. - Espaçamento: ( )x..5,0d.fA ydnec,s λ− = h.b.A minmin,s ρ= Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro c) Armaduras adotadas: O momento negativo atravessa duas lajes de espessuras diferentes, e de maneira conservativa, a gerar uma armadura de maior valor, adota-se a menor espessura entre as duas lajes (em azul). 11 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro c) Armaduras adotadas: 004185,0 4,1 10.25 .00,1.85,0 10.98,3.2 08,008,0 x 6 3 2 = −− = Exemplo: momento positivo em x na laje L1: !Ok45,0052,0 m004185,0x ⇒<== - Posição da LN: 004185,0 8,0 4,1 x == ( ) ²cm97,0 004185,0.8,0.5,008,0.10. 15,1 600 10.98,3 A 6 3 .nec,s = − = 2 min,s cm50,1100.10.100 15,0 A == !Ok45,0052,0 08,0 m004185,0 d x ⇒<== - Armaduras: necessária e mínima - Armadura adotada: Critério de espaçamento, para um exemplo genérico: 12 cm8,20 81,4 cm100 n cm100 s barras === ( )mm3,681,4 cm.312,0 cm.50,1 A A n 2 2 barra,s .adot,s barras φ=== cm20 Obs: adotar espaçamentos comerciais, múltiplos de 2,5cm , para baixo. (adotado) cm100s.nbarras = espaçosbarras nn = exemplo genérico: Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro c) Armaduras adotadas: 023883,0 4,1 10.25 .00,1.85,0 10.43,20.2 08,008,0 x 6 3 2 = −− = Exemplo: momento negativo entre as lajes L1 e L2: !Ok45,0299,0 m023883,0x ⇒<== - Posição da LN: 023883,0 8,0 4,1 x == ( ) ²cm56,5 023883,0.8,0.5,008,0.10. 15,1 600 10.43,20 A 6 3 .nec,s = − = 2 min,s cm50,1100.10.100 15,0 A == !Ok45,0299,0 08,0 m023883,0 d x ⇒<== - Armaduras: necessária e mínima - Armadura adotada: Critério de espaçamento, para um exemplo genérico: 13 cm07,22 53,4 cm100 n cm100 s barras === ( )mm5,1253,4 cm.227,1 cm.56,5 A A n 2 2 barra,s .adot,s barras φ=== cm20 Obs: adotar espaçamentos comerciais,múltiplos de 2,5cm , para baixo. (adotado) cm100s.nbarras = espaçosbarras nn = exemplo genérico: Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro a) Momentos fletores (kNm/m): 14 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro b) Momentos fletores compatibilizados (kNm/m): 15 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro d) Prancha de armaduras adotadas: 16 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Comparativo do DMF (kNm/m) - Lajes Desacopladas Método Analítico: Eixo X Método dos Elementos Finitos (SAP2000): Eixo X Método Analítico: Eixo Y Método dos Elementos Finitos (SAP2000): Eixo Y 17 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Comparativo do DMF (kNm/m) - Lajes Acopladas Método Analítico: Eixo X Método dos Elementos Finitos (SAP2000): Eixo X Método Analítico: Eixo Y Método dos Elementos Finitos (SAP2000): Eixo Y 18 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Compartilhar