Aula_05_ECA1
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Aula_05_ECA1

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ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia
Estruturas de Concreto Armado IEstruturas de Concreto Armado I
Prof. Marco Antônio
marcoaman@unigranrio.edu.br
Aula 05Aula 05
Dimensionamento de Lajes
(armadas em 2 direções)
Lajes Armadas em 2 direções
Formulações utilizadas para o cálculo de lajes armadas em 2 direções:
a) Formulação analítica (fechada): baseada na Teoria da Elasticidade, considerando
a laje como elemento casca.
- Método de Navier Tabelas - de Czerny (adotada)
- Método de Lévy (simplificadoras) - de Marcus
- Formulação via energia) - de Barès- Formulação via energia) - de Barès
- Método de Ritz - entre outros...
- Placa de Kirchhoff
b) Formulação programada: em linguagem computacional utilizando a matriz de
rigidez de elemento de casca. Todo o elemento de laje deve ser reticulado
formando uma malha mais refinada possível.
- Método dos Elementos Finitos (uso comercial/acadêmico)
- Método das Diferenças Finitas (desuso)
2
- Método das Diferenças Finitas (desuso)
- Método dos Elementos de Contorno (uso acadêmico)
Obs: Para fins de aprendizado, será adota a tabela de Czerny para lajes com bordos
engastados e/ou apoiados com carregamento uniformemente distribuído. Para lajes
com bordos livres e carregamentos triangulares (empuxos de solo e/ou de água),
consultar: Souza, V. C. M.; Cunha, A, J. P. Lajes em concreto armado e protendido -
EDUFF (livro esgotado).
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Tabela de Czerny (laje armada em 2 direções e carga uniformemente distribuída:
3
Y
2
X
Y m
.q
M
±
=±
l
X
2
X
X m
.q
M
±
=±
l
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Tabela de Czerny (laje armada em 2 direções e carga uniformemente distribuída:
4
Y
2
X
Y m
.q
M
±
=±
l
X
2
X
X m
.q
M
±
=±
l
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
1º Exercício: Considere o mesmo pano de lajes do 2º ex. da Aula 3, conforme abaixo.
Dados:
- vãos efetivos (lx e ly)
- carregamentos distribuídos qd
(combinados no ELU)
- concreto classe C25 e d\u2019=2cm
- barras em aço CA-60 (6,3-12,5mm)
Determine:
a) Os momentos fletores
b) Os momentos fletores compatibilizados
c) As armaduras adotadas
d) A prancha de armaduras adotadas
5Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
a) Momentos fletores:
- Laje L1: 00,253,1m50,3
m35,5
X
Y <==
l
l armada em 2 direções
(tipo 6)
84,212,2260,0.
03,0
m
50,153,12,22mX =+\u2212=\u2192\u2212=\u2212+
48,960,920,0.
05,0
03,0
m
50,155,1
50,153,1
60,940,9
60,9m
X
X =++=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
Interpolação dos coeficientes:
84,212,2260,0.
05,0
03,0
m
50,155,1
50,153,1
2,226,21
2,22m
X
X =+\u2212=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
+
+
66,530,5310,1.
05,0
03,0
m
50,155,1
50,153,1
0,531,54
0,53m
Y
Y =++=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
+
+
34,124,1210,0.
05,0
03,0
m
50,155,1
50,153,1
4,123,12
4,12m
Y
Y =+\u2212=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
( )
m/kNm17,9
m50,3.m/kN10,7.q
M
22
X
X \u2212=\u2212
==\u2212
l
6
( )
m/kNm98,3
84,21
m50,3.m/kN10,7
m
.q
M
2
X
2
X
X +=+
==
+
+
l
m/kNm17,9
48,9m
M
X
X \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
( )
m/kNm62,1
66,53
m50,3.m/kN10,7
m
.q
M
2
Y
2
X
Y +=+
==
+
+
l
( )
m/kNm05,7
34,12
m50,3.m/kN10,7
m
.q
M
2
Y
2
X
Y \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
l
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
a) Momentos fletores:
- Laje L2: armada em 2 direções
(tipo 3)
00,242,1
m50,4
m40,6
X
Y <==
l
l
22,930,920,0.
02,0
m
40,142,130,9mX =+\u2212=\u2192\u2212=\u2212\u2212
Interpolação dos coeficientes:
( )m50,4.m/kN63,11.q 22l
72,200,2170,0.
05,0
02,0
m
40,145,1
40,142,1
0,213,20
0,21m
X
X =+\u2212=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
+
+
22,930,920,0.
05,0
m
40,145,130,910,9 X
X =+\u2212=\u2192
\u2212
=
\u2212 \u2212
\u2212
58,543,5470,0.
05,0
02,0
m
40,145,1
40,142,1
3,540,55
3,54m
Y
Y =++=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
+
+
7
( )
m/kNm37,11
72,20
m50,4.m/kN63,11
m
.q
M
2
X
2
X
X +=+
==
+
+
l
( )
m/kNm54,25
22,9
m50,4.m/kN63,11
m
.q
M
2
X
2
X
X \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
l
( )
m/kNm31,4
58,54
m50,4.m/kN63,11
m
.q
M
2
Y
2
X
Y +=+
==
+
+
l
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
a) Momentos fletores:
- Laje L4: 00,236,1m90,2
m95,3
X
Y <==
l
l armada em 2 direções
(tipo 7)
28,296,2960,1.
01,0
m
35,136,16,29mX =+\u2212=\u2192\u2212=\u2212+
52,116,1140,0.
05,0
01,0
m
35,140,1
35,136,1
6,112,11
6,11m
X
X =+\u2212=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
Interpolação dos coeficientes:
28,296,2960,1.
05,0
01,0
m
35,140,1
35,136,1
6,290,28
6,29m
X
X =+\u2212=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
+
+
94,486,4870,1.
05,0
01,0
m
35,140,1
35,136,1
6,483,50
6,48m
Y
Y =++=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
+
+
( )
m/kNm23,7
52,11
m90,2.m/kN90,9
m
.q
M
22
X
X \u2212=\u2212
==\u2212
l
08,131,1310,0.
05,0
01,0
m
35,140,1
35,136,1
1,130,13
1,13m
Y
Y =+\u2212=\u2192
\u2212
\u2212=
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
8
( )
m/kNm84,2
28,29
m90,2.m/kN90,9
m
.q
M
2
X
2
X
X +=+
==
+
+
l
m/kNm23,7
52,11m
M
X
X \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
( )
m/kNm70,1
94,48
m90,2.m/kN90,9
m
.q
M
2
Y
2
X
Y +=+
==
+
+
l
( )
m/kNm36,6
08,13
m90,2.m/kN90,9
m
.q
M
2
Y
2
X
Y \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
l
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
a) Momentos fletores:
- Laje L3: 00,207,2
m40,1
m90,2
X
Y >==
l
l armada em 1 direção
engastada-apoiada (tipo C)
( )
m/kNm32,1
m40,1.m/kN55,9.q
M
22
X +=== l
( )
m/kNm34,2
0,8
m40,1.m/kN55,9
m
.q
M
2
X
2
X
X \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
l
( )
m/kNm32,1
2,14
m40,1.m/kN55,9
m
.q
M
X
X
X +=+
==
+
+
l
( )
m/kNm56,1
12
m40,1.m/kN55,9
m
.q
M
2
Y
2
X
Y \u2212=\u2212
==
\u2212
\u2212
l
b) Compatibilização dos momentos fletores negativos:
Lajes L1 e L2:
m/kNm43,2054,25.8,0 \u2212=\u2212
Lajes L1 e L3:
m/kNm34,717,9.8,0 \u2212=\u2212
Lajes L1 e L4:
m/kNm34,717,9.8,0 \u2212=\u2212
9
m/kNm43,2054,25.8,0 \u2212=\u2212
m/kNm30,16
2
54,2505,7 \u2212=\u2212\u2212
m/kNm34,717,9.8,0 \u2212=\u2212
m/kNm37,5
2
56,117,9 \u2212=\u2212\u2212
m/kNm34,717,9.8,0 \u2212=\u2212
m/kNm20,8
2
23,717,9 \u2212=\u2212\u2212
Lajes L3 e L4:
m/kNm09,570,5.8,0 \u2212=\u2212
m/kNm35,4
2
36,634,2 \u2212=\u2212\u2212
Lajes L4 e L2:
m/kNm43,2054,25.8,0 \u2212=\u2212
m/kNm95,15
2
54,2536,6 \u2212=\u2212\u2212Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
c) Armaduras adotadas:
- Posição da LN:
( )[ ]
( ) 40050f8,0
20050f185,0
ck
ckc
\u2212\u2212=\u3bb
\u2212\u2212=\u3b1
C20 a C50:
8,0
85,0c
=\u3bb
=\u3b1
C55 a C90:
\u2032\u2212= cm100s.n =
espaçosbarras nn =
Critério de espaçamento:
- Armadura:
\u3bb
\u3b1
\u2212\u2212
= cdc
d2
f.b.
M.2
dd
x
( )x..5,0d.f
M
A dnec,s \u3bb\u2212
=
\u3c1=
C20 a C50: x/d lim = 0,45
C55 a C90: x/d lim = 0,35
4,1/ff ckcd =
15,1/ff ykyd =
dhd \u2032\u2212= cm100s.nbarras =
10
barrasn
cm100
s=
barra,s
.adot,s
barras A
A
n =
Adotar espaçamentos 
(s) comerciais, 
múltiplos de 2,5cm , 
para baixo. 
- Espaçamento:
( )x..5,0d.fA ydnec,s \u3bb\u2212
=
h.b.A minmin,s \u3c1=
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
c) Armaduras adotadas:
O momento negativo atravessa duas lajes de espessuras diferentes, e de maneira
conservativa, a gerar uma armadura de maior valor, adota-se a menor espessura entre as
duas lajes (em azul).
11
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
c) Armaduras adotadas:
004185,0
4,1
10.25
.00,1.85,0
10.98,3.2
08,008,0
x
6
3
2
=
\u2212\u2212
=
Exemplo: momento positivo em x na laje L1:
!Ok45,0052,0
m004185,0x
\u21d2<==
- Posição da LN:
004185,0
8,0
4,1
x ==
( )
²cm97,0
004185,0.8,0.5,008,0.10.
15,1
600
10.98,3
A
6
3
.nec,s =
\u2212
=
2
min,s cm50,1100.10.100
15,0
A ==
!Ok45,0052,0
08,0
m004185,0
d
x
\u21d2<==
- Armaduras: necessária e mínima
- Armadura adotada: Critério de espaçamento, para um
exemplo genérico:
12
cm8,20
81,4
cm100
n
cm100
s
barras
===
( )mm3,681,4
cm.312,0
cm.50,1
A
A
n
2
2
barra,s
.adot,s
barras \u3c6===
cm20
Obs: adotar espaçamentos comerciais,
múltiplos de 2,5cm , para baixo.
(adotado)
cm100s.nbarras =
espaçosbarras nn =
exemplo genérico:
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
c) Armaduras adotadas:
023883,0
4,1
10.25
.00,1.85,0
10.43,20.2
08,008,0
x
6
3
2
=
\u2212\u2212
=
Exemplo: momento negativo entre as lajes L1 e L2:
!Ok45,0299,0
m023883,0x
\u21d2<==
- Posição da LN:
023883,0
8,0
4,1
x ==
( )
²cm56,5
023883,0.8,0.5,008,0.10.
15,1
600
10.43,20
A
6
3
.nec,s =
\u2212
=
2
min,s cm50,1100.10.100
15,0
A ==
!Ok45,0299,0
08,0
m023883,0
d
x
\u21d2<==
- Armaduras: necessária e mínima
- Armadura adotada: Critério de espaçamento, para um
exemplo genérico:
13
cm07,22
53,4
cm100
n
cm100
s
barras
===
( )mm5,1253,4
cm.227,1
cm.56,5
A
A
n
2
2
barra,s
.adot,s
barras \u3c6===
cm20
Obs: adotar espaçamentos comerciais,