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ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia Estruturas de Concreto Armado IEstruturas de Concreto Armado I Prof. Marco Antônio marcoaman@unigranrio.edu.br Aula 0Aula 066 Flechas em Lajes Cálculo de flecha em laje a) Laje armada em 1 direção: Fórmula da flecha inicial, baseada na formulação de Resistência dos Materiais para o cálculo de flechas máximas em vigas com carregamento uniformemente distribuído: 3 4 X 3 4 X 4 X 0 h.E.384 .q..12 12 h.00,1 .E.384 .q. I.E.384 .q. f lll α=α=α= 3 4 X 0 h.E.32 .q. f lα= 12 .E.384 b) Laje armada em 2 direções: Fórmula da flecha inicial, baseada na formulação de elementos de placas com carregamento distribuído de acordo com a Teoria da 2 3 4 X 0 h.E .q. f lβ= elementos de placas com carregamento distribuído de acordo com a Teoria da Elasticidade e simplificado por Czerny, conforme suas tabelas contendo o coeficiente β em função de ly/lx: q = qd,ser = carregamento uniformemente distribuído, no ELS lx = menor vão E = módulo de elasticidade do concreto, comumente adotado como Ecs (para peça não fissurada no estádio I) h = altura da laje onde: Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Coeficiente β segundo Czerny, para o cálculo de flecha em laje de 2 direções: 33 4 X 0 h.E .q. f lβ= Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Observações Sobre o módulo de elasticidade E - As fórmulas demonstradas anteriormente, são utilizadas no cálculo de flechas em lajes no estádio I, ainda não fissuradas e em regime elástico. Na realidade uma peça em serviço já se encontra fissurada, no estádio II, e se torna necessário calcular o módulo de elasticidade equivalente, conforme item 17.3.2.1.1 da NBR6118/2014:NBR6118/2014: - Devido a complexidade do cálculo do módulo de elasticidade equivalente no estádio II, é permitido o cálculo no estádio I, considerando o módulo de elasticidade igual ao secante: 4 ver Aula 01 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Sobre a flecha diferida no tempo - Com o tempo, as lajes de concreto estão sujeitas ao efeito de fluência. Efeito esse surgido com o tempo, em peças de concreto com carregamento constante. Em seu item 17.3.2.1.2, a NBR6118/2014 fornece um roteiro de cálculo do fator amplificador da flecha imediata em vigas, ou seja, transforma flecha imediata Observações amplificador da flecha imediata em vigas, ou seja, transforma flecha imediata em diferida no tempo. Para o cálculo do fator amplificador de lajes, basta considerar a base b igual a 1m: ( ) 0ft f.1f α+= 5 0t f.3ff ≈= ∞∞→ = flecha final, considerando um tempo tendendo a infinito = flecha inicial, ainda em fase elástica - De maneira conservativa, para evitar o cálculo do fator amplificador, adota-se αf = 2. Assim tem-se a flecha final, diferida num tempo tendendo a infinito: ∞f 0f Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Deslocamentos limites no ELS (tabela 13.3 da NBR6118/2014) adotado no exercício 6 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Deslocamentos limites no ELS (tabela 13.3 da NBR6118/2014) continuação 7 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro 1º Exercício: Considere o mesmo pano de lajes do 2º ex. da Aula 3, conforme abaixo. Dados: - vãos efetivos (lx e ly) - carregamentos distribuídos qd,ser (combinados no ELS) - concreto classe C25 - tipo da brita: granito Determine: a) As flechas imediatas b) As flechas totais c) As flechas limites d) Compare os itens b) e c) 8Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Flechas em serviço: (calculadas no ELS) Laje L1 00,253,1 m50,3 m35,5 X Y <== l l (armada em 2 direções - tipo 6) 3 4 X 0 h.E .q. f lβ= - coeficiente: =β→= a) Flecha imediata (inicial): m001076,0 10,0.10.15,24 50,3.10.67,3.0472,0 39 43 == GPa15,24GPa28.8625,0E.E 8625,0 80 25 .2,08,0 80 f .2,08,0 MPa28000255600.0,1f5600.E 0,1 ck i ckEci E ==α= =+=+=α ==α= =α 0472,055,1XY =β→=ll - módulos de elasticidade (ver Aula 1): (secante) (tangente inicial) (adotado de forma conservativa) (granito e gnaisse) 9 Ok, atende GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==α= cm32,0cm1076,0.3f.3f 0 ==≈∞ cm40,1 250 cm350 250 f Xlim === l ( )limt ff < (máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total: c) Flecha limite: (secante) Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Laje L2 00,242,1 m50,4 m40,6 X Y <== l l (armada em 2 direções - tipo 3) 3 4 X 0 h.E .q. f lβ= - coeficiente: =β→= a) Flecha imediata (inicial): m003945,0 11,0.10.15,24 50,4.10.21,6.0498,0 39 43 == Flechas em serviço: (calculadas no ELS) GPa15,24GPa28.8625,0E.E 8625,0 80 25 .2,08,0 80 f .2,08,0 MPa28000255600.0,1f5600.E 0,1 ck i ckEci E ==α= =+=+=α ==α= =α 0498,045,1XY =β→=ll - módulos de elasticidade (ver Aula 1): (secante) (tangente inicial) (adotado de forma conservativa) (granito e gnaisse) 10 Ok, atende GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==α= cm18,1cm394,0.3f.3f 0 ==≈∞ cm80,1 250 cm450 250 f Xlim === l ( )limt ff < (máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total: c) Flecha limite: (secante) Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Laje L3 00,207,2 m40,1 m90,2 X Y >== l l (armada em 1 direção - tipo C) 3 4 X 0 h.E.32 .q. f lα= - coeficiente: a) Flecha imediata (inicial): m000105,0 08,0.10.15,24.32 40,1.10.17,5.2 39 43 == Flechas em serviço: (calculadas no ELS) GPa15,24GPa28.8625,0E.E 8625,0 80 25 .2,08,0 80 f .2,08,0 MPa28000255600.0,1f5600.E 0,1 ck i ckEci E ==α= =+=+=α ==α= =α 2=α - módulos de elasticidade (ver Aula 1): (secante) (tangente inicial) apoiado - engastado: (granito e gnaisse) 11 Ok, atende GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==α= cm031,0cm0105,0.3f.3f 0 ==≈∞ cm56,0 250 cm140 250 f Xlim === l ( )limt ff < (máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total: c) Flecha limite: (secante) Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro Laje L4 00,236,1 m90,2 m95,3 X Y <== l l (armada em 2 direções - tipo 7) 3 4 X 0 h.E .q. f lβ= - coeficiente: =β→= a) Flecha imediata (inicial): m000845,0 09,0.10.15,24 90,2.10.67,5.0371,0 39 43 == Flechas em serviço: (calculadas no ELS) GPa15,24GPa28.8625,0E.E 8625,0 80 25 .2,08,0 80 f .2,08,0 MPa28000255600.0,1f5600.E 0,1 ck i ckEci E ==α= =+=+=α ==α= =α 0371,040,1XY =β→=ll - módulos de elasticidade (ver Aula 1): (secante) (tangente inicial) (adotado de forma conservativa) (granito e gnaisse) 12 Ok, atende GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==α= cm25,0cm0845,0.3f.3f 0 ==≈∞ cm16,1 250 cm290 250 f Xlim === l ( )limt ff < (máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total: c) Flecha limite: (secante) Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro 32,0f ≈∞ 18,1f ≈ Comparativo das Flechas Totais (cm) - Lajes Desacopladas Método Analítico Método dos Elementos Finitos (SAP2000) 18,1f ≈∞ 25,0f ≈∞ 03,0 f ≈∞ 13 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro 32,0f ≈∞ 18,1f ≈ Comparativo das Flechas Totais (cm) - Lajes Acopladas Método Analítico Método dos Elementos Finitos (SAP2000) 18,1f ≈∞ 25,0f ≈∞ 03,0 f ≈∞ 14 Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
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