Aula_06_ECA1
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ECT ECT -- Escola de Ciências e TecnologiaEscola de Ciências e Tecnologia
Estruturas de Concreto Armado IEstruturas de Concreto Armado I
Prof. Marco Antônio
marcoaman@unigranrio.edu.br
Aula 0Aula 066
Flechas em Lajes
Cálculo de flecha em laje
a) Laje armada em 1 direção: Fórmula da flecha inicial, baseada na formulação de
Resistência dos Materiais para o cálculo de flechas máximas em vigas com
carregamento uniformemente distribuído:
3
4
X
3
4
X
4
X
0 h.E.384
.q..12
12
h.00,1
.E.384
.q.
I.E.384
.q.
f
lll \u3b1=\u3b1=\u3b1=
3
4
X
0 h.E.32
.q.
f
l\u3b1=
12
.E.384
b) Laje armada em 2 direções: Fórmula da flecha inicial, baseada na formulação de
elementos de placas com carregamento distribuído de acordo com a Teoria da
2
3
4
X
0 h.E
.q.
f
l\u3b2=
elementos de placas com carregamento distribuído de acordo com a Teoria da
Elasticidade e simplificado por Czerny, conforme suas tabelas contendo o
coeficiente \u3b2 em função de ly/lx:
q = qd,ser = carregamento uniformemente distribuído, no ELS
lx = menor vão
E = módulo de elasticidade do concreto, comumente 
adotado como Ecs (para peça não fissurada no estádio I)
h = altura da laje
onde:
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Coeficiente \u3b2 segundo Czerny, para o cálculo de flecha em laje de 2 direções:
33
4
X
0 h.E
.q.
f
l\u3b2=
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Observações
Sobre o módulo de elasticidade E
- As fórmulas demonstradas anteriormente, são utilizadas no cálculo de flechas em
lajes no estádio I, ainda não fissuradas e em regime elástico. Na realidade uma
peça em serviço já se encontra fissurada, no estádio II, e se torna necessário
calcular o módulo de elasticidade equivalente, conforme item 17.3.2.1.1 da
NBR6118/2014:NBR6118/2014:
- Devido a complexidade do cálculo do módulo de elasticidade equivalente no
estádio II, é permitido o cálculo no estádio I, considerando o módulo de
elasticidade igual ao secante:
4
ver
Aula 01 
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Sobre a flecha diferida no tempo
- Com o tempo, as lajes de concreto estão sujeitas ao efeito de fluência. Efeito esse
surgido com o tempo, em peças de concreto com carregamento constante. Em
seu item 17.3.2.1.2, a NBR6118/2014 fornece um roteiro de cálculo do fator
amplificador da flecha imediata em vigas, ou seja, transforma flecha imediata
Observações
amplificador da flecha imediata em vigas, ou seja, transforma flecha imediata
em diferida no tempo. Para o cálculo do fator amplificador de lajes, basta
considerar a base b igual a 1m:
( ) 0ft f.1f \u3b1+=
5
0t f.3ff \u2248= \u221e\u221e\u2192 = flecha final, considerando um tempo tendendo a infinito
= flecha inicial, ainda em fase elástica
- De maneira conservativa, para evitar o cálculo do fator amplificador, adota-se
\u3b1f = 2. Assim tem-se a flecha final, diferida num tempo tendendo a infinito:
\u221ef
0f Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Deslocamentos limites no ELS (tabela 13.3 da NBR6118/2014)
adotado no
exercício
6
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Deslocamentos limites no ELS (tabela 13.3 da NBR6118/2014)
continuação
7
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1º Exercício: Considere o mesmo pano de lajes do 2º ex. da Aula 3, conforme abaixo.
Dados:
- vãos efetivos (lx e ly)
- carregamentos distribuídos qd,ser
(combinados no ELS)
- concreto classe C25
- tipo da brita: granito
Determine:
a) As flechas imediatas
b) As flechas totais
c) As flechas limites
d) Compare os itens b) e c)
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Flechas em serviço:
(calculadas no ELS)
Laje L1
00,253,1
m50,3
m35,5
X
Y <==
l
l
(armada em 2 direções - tipo 6)
3
4
X
0 h.E
.q.
f
l\u3b2=
- coeficiente:
=\u3b2\u2192=
a) Flecha imediata (inicial):
m001076,0
10,0.10.15,24
50,3.10.67,3.0472,0
39
43
==
GPa15,24GPa28.8625,0E.E
8625,0
80
25
.2,08,0
80
f
.2,08,0
MPa28000255600.0,1f5600.E
0,1
ck
i
ckEci
E
==\u3b1=
=+=+=\u3b1
==\u3b1=
=\u3b1
0472,055,1XY =\u3b2\u2192=ll
- módulos de elasticidade (ver Aula 1):
(secante)
(tangente
inicial)
(adotado de forma conservativa)
(granito e gnaisse)
9
Ok, atende
GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==\u3b1=
cm32,0cm1076,0.3f.3f 0 ==\u2248\u221e
cm40,1
250
cm350
250
f Xlim ===
l ( )limt ff <
(máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total:
c) Flecha limite:
(secante)
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Laje L2
00,242,1
m50,4
m40,6
X
Y <==
l
l
(armada em 2 direções - tipo 3)
3
4
X
0 h.E
.q.
f
l\u3b2=
- coeficiente:
=\u3b2\u2192=
a) Flecha imediata (inicial):
m003945,0
11,0.10.15,24
50,4.10.21,6.0498,0
39
43
==
Flechas em serviço:
(calculadas no ELS)
GPa15,24GPa28.8625,0E.E
8625,0
80
25
.2,08,0
80
f
.2,08,0
MPa28000255600.0,1f5600.E
0,1
ck
i
ckEci
E
==\u3b1=
=+=+=\u3b1
==\u3b1=
=\u3b1
0498,045,1XY =\u3b2\u2192=ll
- módulos de elasticidade (ver Aula 1):
(secante)
(tangente
inicial)
(adotado de forma conservativa)
(granito e gnaisse)
10
Ok, atende
GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==\u3b1=
cm18,1cm394,0.3f.3f 0 ==\u2248\u221e
cm80,1
250
cm450
250
f Xlim ===
l ( )limt ff <
(máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total:
c) Flecha limite:
(secante)
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Laje L3
00,207,2
m40,1
m90,2
X
Y >==
l
l
(armada em 1 direção - tipo C)
3
4
X
0 h.E.32
.q.
f
l\u3b1=
- coeficiente:
a) Flecha imediata (inicial):
m000105,0
08,0.10.15,24.32
40,1.10.17,5.2
39
43
==
Flechas em serviço:
(calculadas no ELS)
GPa15,24GPa28.8625,0E.E
8625,0
80
25
.2,08,0
80
f
.2,08,0
MPa28000255600.0,1f5600.E
0,1
ck
i
ckEci
E
==\u3b1=
=+=+=\u3b1
==\u3b1=
=\u3b1
2=\u3b1
- módulos de elasticidade (ver Aula 1):
(secante)
(tangente
inicial)
apoiado - engastado:
(granito e gnaisse)
11
Ok, atende
GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==\u3b1=
cm031,0cm0105,0.3f.3f 0 ==\u2248\u221e
cm56,0
250
cm140
250
f Xlim ===
l ( )limt ff <
(máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total:
c) Flecha limite:
(secante)
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
Laje L4
00,236,1
m90,2
m95,3
X
Y <==
l
l
(armada em 2 direções - tipo 7)
3
4
X
0 h.E
.q.
f
l\u3b2=
- coeficiente:
=\u3b2\u2192=
a) Flecha imediata (inicial):
m000845,0
09,0.10.15,24
90,2.10.67,5.0371,0
39
43
==
Flechas em serviço:
(calculadas no ELS)
GPa15,24GPa28.8625,0E.E
8625,0
80
25
.2,08,0
80
f
.2,08,0
MPa28000255600.0,1f5600.E
0,1
ck
i
ckEci
E
==\u3b1=
=+=+=\u3b1
==\u3b1=
=\u3b1
0371,040,1XY =\u3b2\u2192=ll
- módulos de elasticidade (ver Aula 1):
(secante)
(tangente
inicial)
(adotado de forma conservativa)
(granito e gnaisse)
12
Ok, atende
GPa15,24GPa28.8625,0E.E ciics ==\u3b1=
cm25,0cm0845,0.3f.3f 0 ==\u2248\u221e
cm16,1
250
cm290
250
f Xlim ===
l ( )limt ff <
(máxima diferida no tempo tendendo a infinito)b) Flecha total:
c) Flecha limite:
(secante)
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
32,0f \u2248\u221e
18,1f \u2248
Comparativo das Flechas Totais (cm) - Lajes Desacopladas
Método Analítico Método dos Elementos Finitos (SAP2000)
18,1f \u2248\u221e
25,0f \u2248\u221e
03,0
f \u2248\u221e
13
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro
32,0f \u2248\u221e
18,1f \u2248
Comparativo das Flechas Totais (cm) - Lajes Acopladas
Método Analítico Método dos Elementos Finitos (SAP2000)
18,1f \u2248\u221e
25,0f \u2248\u221e
03,0
f \u2248\u221e
14
Prof. Marco Antônio Amancio Ribeiro