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Circuitos de Primeira Ordem
Professor: Kennedy Reurison Lopes
Email: kenreurison@dca.ufrn.br
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Teoria de Circuitos
Prof. Kennedy Lopes Circuitos de Primeira Ordem
mailto:kenreurison@dca.ufrn.br
Circuitos de Primeira Ordem
Circuitos de Primeira Ordem
São circuitos em que suas equações estão caracterizadas por
equações diferenciais de primeira ordem.
C dvdt +
v
R = 0
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Descarregamento de capacitor
Considere que o capacitor estava inicialmente carregado
(v(0) = V0) quando de repente (t = 0), a chave se fecha.
Determine então para o capacitor:
a) A tensão no instante t = 0+.
b) A tensão no instante t →∞.
c) A corrente no instante t = 0−.
d) A corrente no instante t = 0+.
e) A tensão em função do tempo.
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Descarregamento de capacitor
a) A tensão no instante t = 0+.
Como o capacitor impede
variações bruscas de tensão, a tensão em t = 0+ será a
mesma que em t = 0−: V0.
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Descarregamento de capacitor
a) A tensão no instante t = 0+. Como o capacitor impede
variações bruscas de tensão, a tensão em t = 0+ será a
mesma que em t = 0−: V0.
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Descarregamento de capacitor
b) A tensão no instante t →∞.
Neste momento o capacitor irá
descarregar completamente no resistor, logo v(t →∞) = 0.
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Descarregamento de capacitor
b) A tensão no instante t →∞. Neste momento o capacitor irá
descarregar completamente no resistor, logo v(t →∞) = 0.
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Descarregamento de capacitor
c) A corrente no instante t = 0−.
No instante anterior ao
fechamento da chave, não existirá uma corrente. Portanto:
i0 = 0.
d) A corrente no instante t = 0+.
e) A tensão em função do tempo.
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Descarregamento de capacitor
c) A corrente no instante t = 0−. No instante anterior ao
fechamento da chave, não existirá uma corrente. Portanto:
i0 = 0.
d) A corrente no instante t = 0+.
e) A tensão em função do tempo.
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+.
Neste momento, a corrente
poderá ter saltos para compensar a manutenção da tensão no
capacitor. Portanto, a corrente será:i(0+) = V0R .
e) A tensão em função do tempo.
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+. Neste momento, a corrente
poderá ter saltos para compensar a manutenção da tensão no
capacitor. Portanto, a corrente será:i(0+) = V0R .
e) A tensão em função do tempo.
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+.
Neste momento, a corrente
poderá ter saltos para compensar a manutenção da tensão no
capacitor. Portanto, a corrente será:i(0+) = V0R .
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+. Neste momento, a corrente
poderá ter saltos para compensar a manutenção da tensão no
capacitor. Portanto, a corrente será:i(0+) = V0R .
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Descarregamento de capacitor
e) A tensão em função do tempo.
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Descarregamento de capacitor
Fazendo análise nodal no topo do cicuito.
iC + iR = 0
C dvdt +
v
R = 0
dv
dt = −
v
RC
dv
v = −
1
RC
v = V0e−t/RC
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Constante de Tempo(τ)
Constante de Tempo(τ)
A constante de tempo de um circuito é o tempo necessário para que
a resposta alcance um fator de e−1 ou aproximadamente 36.8% de
seu valor inicial
Para o carregamento, é o tempo necessário para que o circuito al-
cance uma resposta alcance um fator de e ou 63.2% do seu valor
final.
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Constante de Tempo(τ)
Para um circuito RC: τC = RC
Para um circuito RL: τL = L/R
Sendo R medido em torno do dispositivo armazenador de energia
(L e C).
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Exemplo 01
Para o circuito abaixo, determine a corrente que passa no resistor
de 6kΩ.
Resposta:i=0.67e−100t(mA)
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Exemplo 01
Para o circuito abaixo, determine a corrente que passa no resistor
de 6kΩ.
Resposta:i=0.67e−100t(mA)
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Carregamento de um capacitor
Considere que um capacitor está inicialmente descarregado,
quando uma fonte cont́ınua começa a atuar nele conforme o
circuito abaixo.
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Carregamento de um capacitor
Considere que um capacitor está inicialmente descarregado,
quando uma fonte cont́ınua começa a atuar nele conforme o
circuito abaixo.
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Carregamento de um capacitor
Considere que um capacitor está inicialmente descarregado,
quando uma fonte cont́ınua começa a atuar nele conforme o
circuito abaixo.
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Carregamento de um capacitor
Observando que a tensão da fonte será igual a tensão dois dois
componentes passivos (t > 0).
vR + vC = V0
Ri + vC = V0
R
(
C dvcdt
)
+ vc = V0
dvc
dt +
1
RC vc =
1
RC V0
Considerando que vc(0+) = vc(0−) = 0.
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Carregamento de um capacitor
Solução de vc
(dvc
dt +
1
RC vc =
1
RC V0
)
A solução pode ser separada em uma parte homogênea e outra
particular.
vc(t) = vch(t) + vcp(t) = V0 + Ae−
t
RC
Para a solução homogênea:
vch(t) = Ae−
t
RC
dvch
dt +
1
RC vch = 0
− ARC e
− tRC + ARC e
− tRC = 0
Para a solução particular:
vcp(t) = V0
Para a solução geral:
v(t) = V0 + Ae−
t
RC
A encontrado pelas condições ini-
ciais.
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Exemplo 02
Um capacitor de 4µF com uma voltagem inicial de v(0−) = 2V
está conectado a uma bateria de 12V através de um resistor de
5kΩ. Encontre a voltagem e a corrente para o capacitor em t > 0.
Resposta:v(t)=12−10e−50t(V)ei(t)=2e−50t(mA)
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Exemplo 02
Um capacitor de 4µF com uma voltagem inicial de v(0−) = 2V
está conectado a uma bateria de 12V através de um resistor de
5kΩ. Encontre a voltagem e a corrente para o capacitor em t > 0.
Resposta:v(t)=12−10e−50t(V)ei(t)=2e−50t(mA)
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Exemplo 02
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Descarregamento do Indutor
No circuito RL abaixo, assuma que em t = 0 a corrente no indutor
é I0. Para t > 0, i deverá satisfazer Ri + L didt = 0. Neste caso,
uma solução para a corrente em qualquer instante pode ser
definido como i = Aest .
Sendo assim:
A(R + Ls)est = 0
R + Ls = 0
s = −RL
i(t) = Ae−
R
L t
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Exemplo 03
De acordo com a configuração das chaves e do circuito abaixo,
determine a corrente e tensão no indutor nos instantes t = 0+,
t = 0−,t →∞.
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Exemplo 03
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Carregamento do Indutor
Se uma fonte cont́ınua for conectada instantaneamente a um ramo
de um circuito RL, qual será o comportamento da corrente no
indutor?
Utilizando análise de malha.
Ri + L didt = V0
A solução pode ser separada em
uma homogênea e outra particu-
lar:
iL(t) = iLH(t) + iLP(t)
i(t) = Ae−
t
L/R + V0R
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Carregamento do Indutor
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Exemplo 04
Encontre a expressão da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=2+3e−15t
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Exemplo 04
Encontre aexpressão da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=2+3e−15t
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Exemplo 05
Encontre a expressão da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=6e−4t
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Exemplo 05
Encontre a expressão da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=6e−4t
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Exemplo 06
Encontre a expressão da corrente indicada na figura (t > 0).
Considere que o indutor possui uma corrente inicial de 12A.
Resposta:12e−2tA
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Exemplo 06
Encontre a expressão da corrente indicada na figura (t > 0).
Considere que o indutor possui uma corrente inicial de 12A.
Resposta:12e−2tA
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Influência da constante de tempo (τ)
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Quadro Resumo - RC
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Quadro Resumo - RL
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Exemplo 07
O capacitor do circuito mostrado tem carga inicial de
Q0 = 800µC . Se a chave for fechada no instante t = 0, qual será
a carga e a corrente para t > 0 ?
Resposta:i=−10e−25000t;q=4∗10−4(1+e−25000t)
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Exemplo 07
O capacitor do circuito mostrado tem carga inicial de
Q0 = 800µC . Se a chave for fechada no instante t = 0, qual será
a carga e a corrente para t > 0 ?
Resposta:i=−10e−25000t;q=4∗10−4(1+e−25000t)
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Exemplo 08
No circuito RC mostrado, a chave é fechada para a posição 1 no
instante t = 0 e movida para a posição 2 depois da passagem de
uma constante de tempo. Determine a corrente nos instantes (a)
0 < t < τ e (b) t > τ .
Resposta:i=0.5e−200t;i=−0.516e−200(t−τ)
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Exemplo 08
No circuito RC mostrado, a chave é fechada para a posição 1 no
instante t = 0 e movida para a posição 2 depois da passagem de
uma constante de tempo. Determine a corrente nos instantes (a)
0 < t < τ e (b) t > τ .
Resposta:i=0.5e−200t;i=−0.516e−200(t−τ)
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Exemplo 09
No circuito RL mostrado, determine a corrente iL nos instantes:
a) −1 ms
b) 0+ ms
c) 0.3 ms
d) ∞
Resposta:2A;2A;2.78A;3A
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Exemplo 09
No circuito RL mostrado, determine a corrente iL nos instantes:
a) −1 ms
b) 0+ ms
c) 0.3 ms
d) ∞
Resposta:2A;2A;2.78A;3A
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Exemplo 10
No circuito RL mostrado, a chave é fechada para a posição 1 no
instante t = 0 e movida para a posição 2 depois de 1ms.
Determine o tempo no qual a voltagem do resistor inverte a
polaridade.
Resposta:t=1.261ms
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Exemplo 10
No circuito RL mostrado, a chave é fechada para a posição 1 no
instante t = 0 e movida para a posição 2 depois de 1ms.
Determine o tempo no qual a voltagem do resistor inverte a
polaridade.
Resposta:t=1.261ms
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Exemplo 10
Para 0 < t < 1 ms:
50 = 500i1 + vl
vl = L
di1
dt = 0.2
di1
dt
500i1 +
(
0.2di1dt
)
= 50
di1
dt +
500
0.2 i1 =
50
0.2
di1
dt + 2500i1 = 250
Com i1(0) = 0.
Solução homogênea e particular
2500K1 = 250⇒ K1 = 0.1
i1(t) = 0.1 + K2e−2500t
i1(0) = 0.1 + K2e−2500∗0 = 0
Portanto, K2 = −0.1 e
i1(t) = 0.1(1− e−2500t)
Sabendo disso, podemos calcular
a corrente no instante de 1ms:
i1(1ms) = 0.1(1− e−2500∗10
−3)
i1(1ms) = 91.7m A
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Exemplo 10
Para t > 1ms:
−50 = 500i2 + vl
vl = L
di2
dt = 0.2
di2
dt
500i2 +
(
0.2di2dt
)
= −50
di2
dt +
500
0.2 i2 = −
50
0.2
di2
dt + 2500i2 = −250
Com i2(0) = i1(1ms) = 91.7m.
Solução homogênea e particular
2500K1 = −250⇒ K1 = −0.1
i2(t) = −0.1 + K2e−2500t
i2(0) = −0.1 + K2e−2500∗0
91.7m = −0.1 + K2e−2500∗0
Portanto, K2 = 91.8m+100m =
191.8m e
i2(t) = −0.1 + 0.1918e−2500t
Ou então:
i(t) = −0.1+0.1918e−2500(t−1m)
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Exemplo 10
O tempo necessário para a tensão do resistor inverta a polaridade é
o mesmo tempo necessário para que a corrente alcance o valor 0
(zero). Ou seja,
−0.1 + 0.1918e−2500(t−1m) = 0
Isolando t:
t ' 1.261mA
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