Análise espectral do preço e retorno financeiro de commodities

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Análise Espectral do preço e retorno financeiro de commodities
Discente: Wauber Bezerra de Magalhães Mauricio Júnior - UFABC
Orientador: André Fonseca - CMCC - UFABC
Projeto Referente ao Programa
Pesquisando Desde o Primeiro Dia (PDPD) - UFABC
1 de Janeiro de 2002
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Conteúdo
1 Introdução 4
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Hipótese da eficiência dos mercados 4
2.1 Condições para verificação do mercado eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Forma informacional de eficiência de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Mercado eficiente em termos fracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Mercado eficiente em termos semi-fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Mercado eficiente em termos fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Séries Temporais 7
3.1 Algumas definiçoes estat́ısticas importantes para séries temporais . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1 Processo estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 Diagrama de disperção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3 Média Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4 Variância Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.5 Covariância Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.6 Coeficiênte de Correlaçao Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Principais fenômenos t́ıpicos de algumas séries temporais: . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Análise de séries temporais 10
4.1 Análise de tendências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Formas de tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.2 Métodos para determinação da tendência e sua natureza . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.3 Modelo random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Análise sazonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.1 Formas de sazonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2.2 Métodos para determinação da sazonalidade e sua natureza . . . . . . . . . . . 12
4.3 Modelos de Box-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3.1 Modelo (AR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3.2 Modelo (MA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.3 Modelos auto-regressivos de médias móveis (ARMA) . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.4 Modelos auto-regressivos integrados de médias móveis (ARIMA) . . . . . . . . 13
4.3.5 Modelos sazonais (SARIMA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 Retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4.1 Fatos estilizados sobre retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Análise de componentes ćıclicos em commodities 15
5.1 Análise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.1 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.2 Densidade espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.3 Análise de Ondeletas(Wavelets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 Estat́ıstica 18
6.1 Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Disribuições de variáveis aleatórias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2.1 Distribuição de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2.2 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.2.3 Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.2.4 Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3 Distribuições de variáveis aleatórias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3.1 Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3.2 Distribuição Normal ou Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2
6.3.3 Distribuição t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3.4 Distribuição Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.4 Testes estat́ısticos de hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4.1 Teste z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.4.2 Teste t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.4.3 Teste q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.4.4 Teste BDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7 Metodologia 28
7.1 Séries de preços das commodities sem tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.2 Séries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Análise Espectral das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4 Séries de preços das commodities sem tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.5 Séries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.6 Análise Espectral das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.6.1 Espectro de Fourier das séries de preços das commodities . . . . . . . . . . . . 48
7.6.2 Espectro de Fourier das séries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . 57
7.6.3 Densidade Espectral das séries de preços das commodities . . . . . . . . . . . . 66
7.6.4 Densidade Espectral das séries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . 70
8 Resultados 75
9 Conclusão 75
10 Lista de figuras 76
3
1 Introdução
A hipótese da eficiência dos mercados é um dos assuntos mais importantes dentro da teoria de
finanças é também um dos tópicos mais polêmicos. De acordo com esta hipótese proposta for Fama
(1970), o mercado seria considerado eficiente se refletisse rapidamente qualquer informação dispońıvel
nos preços dos ativos, impossibilitando ganhos anormais e assim considerando que complexas técnicas
de análise gráficas consistem em esforços inúteis na busca de lucros extraordinários. A partir dai varios
trabalhos tem sido realizados apresentando evidências contra e a favor desta hipótese, mas a hipótese
da eficiência dos mercados proposta por Fama(1970) ainda continua sendo a mais aceita pela teoria
financeira.
A análise espectral é fundamental em áreas onde o intersse consiste básicamente na busca de
periodicidade dos dados, sua aplicação no mercado financeiro surgiu antes mesmo que o trabalho do
Fama, em 1963 , por Granger e Morgenstern, eles analisaram as diferentes frequências dos preços de
ativos da bolsa de Nova York. A partir dáı, esta análise tem sido utilizada para a caracterização dos
ativos e também para a verificação ou não da hipótese de eficiência dos mercados em sua forma fraca,
que tem como implicação segundo diversos autores o fato dos preços de ativos serem descritos por um
”passeio aleatório”.
Neste projeto é utilizado a análise espectral por meio da transformada de fourier e da função de
densidade espectral, aplicadas em preços e retornos de commodities, com o propósito de compreender
vários fenômenos observados no mercado financeiro.
1.1 Objetivo
O objetivo geral desse projeto consiste no estudo dos preços de retornos do mercadofinanceiro,
através da análise espectral, tendo como método a transformada de fourier e a função de densidade
espectral, buscando padrões de comportamento e a verificação das hipóteses da eficiência dos mercados
2 Hipótese da eficiência dos mercados
A hipótese da eficiência dos mercados tem sua origem em estudos realizados em 1900, quando a
idéia do comportamento aleatório dos preços passou a ser desenvolvida, mas esta proposta de mercado
eficiente ganhou mais consistência em meados dos anos 60 quando foi formalizada matematicamente
e traduzida em modelos econômicos. A partir dáı, os economistas desenvolveram a idéia de que não
havia nenhum padrão nos preços históricos, ou seja, estes não eram úteis para prever mudanças futuras.
De acordo com o conceito de mercado eficiente proposto por Fama(1970) os preços dos ati-
vos refletem imediatamente e completamente as informações dispońıveis de maneira a impossibilitar
o investidor de qualquer ganho anormal, ou seja retornos superiores aos ajustados ao risco do ativo,
segundo ele o mercado eficiente pode ser definido como:
”...um mercado onde haja um grande número de agentes racionais maximizadores de lucros compe-
tindo ativamente e tentando prever o valor futuro de mercado dos t́ıtulos individuais e onde informações
importantes estejam dispońıveis para todos os participantes a um custo próximo de zero.
Em um mercado eficiente, a competição entre muitos participantes inteligentes conduz a uma
situação onde, em qualquer momento no tempo, os preços reais dos ativos individuais já refletem os
efeitos das informações, tanto com base em eventos que já tenham ocorrido no passado ou em eventos
que o mercado espera que ocorram no futuro. Em outras palavras em um mercado eficiente o preço
de um ativo será uma boa estimativa do seu valor intŕınseco em qualquer momento.
Na visão de Van Horne(1995) o mercado eficiente existe quando os preços dos ativos refletem
o consenso geral sobre todas as informações dispońıveis sobre a economia, os mercados financeiros e a
4
própria empresa envolvida, ajustando-as rapidamente aos preços. Segundo Silva(1999), a base teórica
para um mercado financeiro eficiente reside em três argumentos:
O primeiro considera que todos os investidores são racionais e, portanto, avaliam os t́ıtulos racio-
nalmente.
O segundo que, no caso de investidores não racionais, as negociações com t́ıtulos sejam aleatórias
e, por esse motivo, são negociações que eliminam umas às outras, sem alterar o preço dos t́ıtulos.
O terceiro argumenta é que ainda no caso de investidores não-racionais, verifica-se a ação de
arbitradores racionais que eliminam a influência desses investidores no peço dos t́ıtulos.
É importante salientar que a existência do mercado eficiente não depende exclusivamente da
racionalidade do investidor a casos em que os investidores não são inteiramente racionais e o mercado
ainda sim é dito como eficiente.
2.1 Condições para verificação do mercado eficiente
Para Fama(1970) as condições para a verificação da hipótese do mercado eficiente seriam :
• Inexistência de custos de transação e negociação de t́ıtulos;
• Disponibilização para os participantes do mercado de todas informações com isenção de custos;
• Existência de expectativa homogênea com relação aos retornos futuros de cada titulo.
Perobelli e Ness Jr (2000) acreditam que, como as definições sobre o mercado são demasiada-
mente gerais para que possam ser testadas empiricamente, é necessário que um processo de formação
de preços seja inicialmente definido, ponto no qual reside o maior obstáculo aos testes de eficiência.
Dessa maneira, o conceito é normalmente testado conjuntamente com algum modelo de equiĺıbrio pré-
estabelecido.
Elton e Gruber (1995) classificaram a eficiência dos mercados em duas categorias a informacio-
nal, onde percept́ıvel a rapidez com que a informação é incorporada ao preço de mercado de uma ação,
e a racionalidade de mercado, em que a capacidade dos preços refletem com precisão as expectativas
dos investidores quanto ao valor presente dos fluxos de caixas futuros.
2.2 Forma informacional de eficiência de mercado
Fama(1970) propôs três formas informacionais de eficiência de mercado, a fraca, semi- forte e a
forte.
2.2.1 Mercado eficiente em termos fracos
Um mercado é dito eficiente em termos fracos quando todas informações são provenientes de peço
e retornos passados, e um dos teste feitos para avaliar a eficiência fraca é utilizado a autocorrelação
serial onde é avaliado o grau de interdependência das taxas de rentabilidade de um dia com as dos
dias anteriores, se obtivermos uma correlação serial de zero significa que não existe correlação nas
mudanças de preços em peŕıodos, eles não seriam correlacionáveis entre si de modo que os investido-
res não poderiam obter retornos extraordinários a partir de informações passadas. Podemos pensar
também que como as informações referentes aos preços são de fácil acesso, se fosse posśıvel obter
retornos extraordinários utilizando padrões de retornos passados, os agentes de mercado arbitrariam
tal oportunidade a ponto de extingui-lá.
5
2.2.2 Mercado eficiente em termos semi-fortes
No mercado de eficiência semi-forte os preços refletem todas informações publicamente dispońıveis.
esta forma de mercado eficiente abrangem a eficiência em termos fracos pois leva em consideração as
informações passadas, mas também considera as informações publicadas que requerem interpretação
qualificada.
Uma das preocupações com essa forma de eficiência é que quando fatos públicos de relevância para
o mercado são publicados é esperado que uma reação dos investidores no intuito que as cotações se
ajustem. Para que o mercado seja perfeito, os ajustes teriam que ocorrer de forma instantânea e não
tendenciosa, tais ajustes podem ser tanto positivo, caso as informações fossem boas ou negativo caso
as informações fossem ruins.
2.2.3 Mercado eficiente em termos fortes
Já no mercado eficiente forte os preços dos ativos refletem todas as informações dispońıveis, de
modo que não possibilitem nenhum retorno extraordinário, os preços se ajustariam ao surgimento
de novas informações inclusive para os detentores prioritários de informações como os insider traders
(investidores com informações privilegiadas).
No mercado de ações existe uma sensação que os gestores de investimento deveriam obrigatoria-
mente obter retornos maiores que o do mercado.
De acordo com Ross, Westerfield e Jaffe(1999) se o mercado for de fato eficiente na forma
forte, não haverá evidências de retornos anormais por partes de alguns investidores. Analisaram o de-
sempenho de fundos mútuos por considerar que além de serem gerenciados por profissionais altamente
qualificados poderiam fazer uso de informações privilegiadas, e conclúıram que não houve evidências
de retornos acima do ı́ndice de mercado utilizado.
Figura 1: Informação no mercado eficiente
6
3 Séries Temporais
Uma série temporal pode ser definida como um conjunto de observações de uma variável dispostas
sequencialmente no tempo, esta pode ser deterministica ou estocástica, uma funçao y = f(tempo)
representa uma série deterministica, mas se a função for y = f(tempo, β) sendo β um termo aleatório
esta série é denominada estocástica.
A primeira vista o comportamento da série temporal pode parecer aleatório, mas se empregado
métodos propóstos pele teoria de analise de séies temporais é possivel perceber comportamentos an-
tes dificilmente percept́ıveis como tendência, ciclos, volatilidade e sazonalidade, esse comportamentos
quando extráıdos das séries temporais revelam informações valiosas sobre o seu comportamento.
3.1 Algumas definiçoes estat́ısticas importantes para séries temporais
3.1.1 Processo estocástico
Seja T um conjunto arbritário.Um processo estocástico é uma famı́lia Z = {Z(t), t ∈ T}, tal
que, para cada t ∈ T,Z(t) é uma variável aleatória. Nestas condições, um processo estocástico é
uma famı́lia de variáveis aleatórias (v.a), que supomos definidas num mesmo espaço de probabilidades
(Ω, A, P ). O conjunto T é normalmente tomado como o conjunto dos inteiros Z = {0,±1,±2, ...} ou
o conjunto dos reais R. Também, para cada t ∈ T,Z(t)será uma v.a. real.
Como, para t ∈ T,Z(t) é uma (v.a.) definida sobre Ω, na realidade Z(t) é uma função de dois
argumentos, Z(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω. A Figura 2 ilustra esta interpretação de um processo estocástico.
Vemos, na figura, que para cada t ∈ T , temos uma v.a Z(t, ω), com uma distribuição de
probabilidades; é posśıvel que a função densidade de probabilidade(fdp) no instante t1 seja diferente
da fdp no instante t2, para dois instantes t1 e t2 quaisquer, mas a situação usual é aquela em que a
fdp de Z(t, ω) é a mesma, para todo t ∈ T .
7
Figura 2: Um processo estocástico interpretado como uma famı́lia de variáveis aleatórias
Por outro lado, para cada ω ∈ Ω fixado, obteremos uma função de t, ou seja, uma realização
ou trajetória do processo, ou ainda, uma série temporal.
Vamos designar as realizações de Z(t, ω) por Z(1) (t) , Z(2) (t), etc. O conjunto de todas estas
trajetórias é chamado o ”ensemble”. Observemos que cada realização Z(j) (t) é uma função do tempo
t não aleatória e, para cada t fixo, Z(j) (t) é um número real. Uma maneira de encarar a distribuição
de probabilidades de Z(t, ω), para um t fixado, é considerar a proporção de trajetória que passam
por uma ”janela”de amplitude ∆. Tal proporção será fz(z) ·∆, se fz(z) for a fdp de Z(t, ω). Veja a
Figura(3).
Figura 3: Um processo estocástico interpretado como uma famı́lia de trajetórias
O conjunto dos valores {Z(t), t ∈ T} é chamado espaço dos estados, �, do processo estocástico,
e os valores de Z(t) são chamados estados.
Se o conjunto T for finito ou enumerável, como T = {1, 2, ..., N}ou T = Z, o processo diz-se
como parâmetro discreto. Se T for um intervalo de reais obtemos um processo com parâmetro cont́ınuo.
O espaço dos estados, ξ, também pode ser discreto ou cont́ınuo. No primeiro caso, Z(t) pode represen-
tar uma contagem, como, por exemplo, o número de chamadas telefônicas que chegaram a uma central
durante um peŕıodo de duas horas. No segundo caso, Z(t) representa uma medida que varia continu-
amente, como temperatura, preço de um ativo financeiro, altura de ondas, etc.(Morettin e Toloi/2006)
8
3.1.2 Diagrama de disperção
O diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano X Y são usados para repre-
sentar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em cada elemento do con-
junto de dados. O diagrama de dispersão é usado principalmente para visualizar a relação/associação
entre duas variáveis.
3.1.3 Média Amostral
Seja X uma variável aleatória com média µ(E(X) = µ). Supondo uma amostra de X,assumindo
valores (x1, x2, ..., xn), definimos a média amostral com a seguinte estat́ıstica:
χ =
Σni=1x1
n onde E(χ) = µ
3.1.4 Variância Amostral
Seja X um variável aleatória, com média µ e variância σ2, E(x) = µ e V AR(X) = σ2.Supondo uma
amostra de X assumindo valores(x1, x2, ..., xn), a distribuição, ou dispersão, dos valores da amostra
em torno da média amostral pode ser medida pela variância amostral, que podemos definir usando a
estat́ıstica a seguir:
σ2 =
Σni=1(x1−χ)2
n−1 .
3.1.5 Covariância Amostral
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com médias µx e µy, respectivamente. Então a covariância
entre as duas variáveis é definida como:
Cov(X,Y ) = E[(X − µx)(Y − µy)].
3.1.6 Coeficiênte de Correlaçao Amostral
O Coeficiênte de Correlação é um indicador para obtermos o grau de relacionamento entre duas
variáveis quaisquer. Dadas X e Y, duas variáveis com n elementos, e sejam χ e γ suas médias ou es-
peranças amostrais, respectivamente, define-se como coeficiente de correlação amostral pela seguinte
fórmula:
ρx, y =
Σni=1(xi−χ)(yi−γ)√
Σnj=1(xj−χ)2Σnj=1(yj−γ)2
3.2 Principais fenômenos t́ıpicos de algumas séries temporais:
• Tendência: É o efeito de uma mudança de logo prazo na média de uma série. essa mudança
podem ter duas naturezas, a determińıstica ou a estocástica. A tendência determińıstica é a
que a variação no ńıvel médio de uma dada variável se dá, de forma previśıvel. Já a tendência
estocástica se difere da dertermińıstica pois, a mudança provocada pela tendência em relação ao
seu ńıvel médio será um montante aleatório e impreviśıvel.
• Sazonalidade: São efeitos ligados a variações periódicas (semanal, mensal, anual, etc).
• Ciclos: São movimentos de queda e elevação em torno do nivel médio da tendência com isso
refletem o comportamento a longo prazo da variável em questão, esses movimentos em torno da
tendência podem ser estritamente periódicos ou aproximadamente periódicos.
• Volatilidade ou Variações irregulares: Movimentos oscilatórios não relacionados a sazonalidade
que podem ocorrer ao longo de um ano mensalmente, semanalmente ou em intervalos menores
de tempo.
9
4 Análise de séries temporais
De acordo com BOX e JENKINS (1976), o estudo e a elaboração de modelos de análise de séries
temporais geralmente estão ligados a três objetivos distintos, porém não necessariamente mutuamente
exclusivos, quais sejam:
• Estudo dos padrões comportamentais das séries, dados os seus componentes não-observáveis;
• A previsão do comportamento futuro das séries, com o uso de modelos univariados e multivari-
ados;
• A implementação de métodos para o controle do comportamento futuro das séries e demais
variáveis correlacionadas.
No mercado financeiro os modelos de análise de séries temporais são largamente empregados
na análise de preços de ações ou commodities, isto se dá pela decomposição das séries de preços e
a analise de seus componentes como a tendência, sazonalide, ciclos e volatilidade, a analise destes
componetes é de grande valia para a minimização dos riscos, com isso tornando a tomada de descisão
mais assertiva neste mercado.
4.1 Análise de tendências
Primeiramente temos que verificar a estacionaridade da série. Quando temos conjunto composto
por vetores aleatórios M-dimensionais ...yt−1, yt, yt+ 1... é chamado de processo estocástico vetorial.
Se essa série tiver média e variância finitas serão consideradas estacionárias em covariância. Se a série
não seja estacionária temos que utilizar de outros métodos de análise com isso afim de evitar problemas
econométricos, um dos métodos é o teste de ráızes unitárias poderemos verificar a não estacionaridade
da série devido à presença de tendências.
4.1.1 Formas de tendência
• Tendência determińıstica: A variação no ńıvel médio de uma dada variável se dará, de forma
previśıvel, como uma função do tempo, ela pode ser do tipo polinomial do 2◦ grau ou mais
complexas.
• Tendência estocástica: Esta se difere da dertemińısticas pelo fato de implicar uma variação
percentual média na série em dado peŕıodo de tempo, ao contrário da determińıstica, que em cada
peŕıodo a mudança provocada pela tendência em relação ao seu ńıvel médio será um montante
aleatório e impreviśıvel, em vez de constante, dado por determinada taxa. Com isso a tendência
oscilará de forma aleatória à medida que o tempo evolua e os choques exógenos entrem no
sistema. Existem diversos modelos de séries temporais que incorporam tendências estocásticas
e que particularmente são importantes na análise de variáveis do mercado financeiro, como o
retorno de ações e os preços de commodities. Dentro dessa classe de modelos, destaca-se o
modelo de passeio aleatório o random walk.
4.1.2 Métodos para determinação da tendência e sua natureza
• Visualmente: Os dadossão colocados em um gráfico de dispersão e as posśıveis tendências são
avaliadas visualmente.
• Analise da função de autocorrelação: Com essa função podemos calcular os coeficientes de
autocorrelação, este mensura a correlação dos preços nos diferentes momentos de tempos. Esses
coeficientes também servem para apontar modelos probabiĺısticos que possa ter gerado a série
temporal.
10
• Teste de Dickey-Fuller Expandido ou teste ADF: Identifica se a tendência é estocástica ou de-
termińıstica.
• Teste de Ráızes Unitárias de Phillips-Perron: Este verifica a estacionariedade das séries e posśıvel
necessidade de diferenciação destas.
4.1.3 Modelo random walk
No mercado financeiro existem vários modelos de séries temporais que incorporam as têndencias
estocáticas, destes modelos um dos mais utilizados é o modelos de passeio aleatório ou random walk,
este é definido por:
Yt = Yt−1 + �t ou ∆Yt = �t
Onde:
�t é um erro tipo rúıdo branco, tendo média 0 e variância σ
2;
∆Yt é um operador de diferenças finitas de primeira ordem.
O modelo random walk pode ser interpretado como um caso especifico do processo auto re-
gressivo de ordem 1 o [AR (1)], que será abordado posteriormente.
De acordo com ENDERS (1995), modelo random walk implica no fato de que, supondo uma
amostra de valores da série Yt e se deseje prever os valores futuros para esta, a melhor previsão de
Yt + s que se pode fazer será dada por:
Et (Yt+s) = Yt
Sendo assim, o valor constante de Yt será o melhor estimador não-viesado para todos os valores
futuros de Yt+s (s > 0). Com isso, pode-se notar que um choque �t terá um efeito permanente em Yt e
o multiplicador de impactos de �t em Yt (dado por
∂Yt
∂�t
) será o mesmo multiplicador de �t em Yt+s. Essa
permanência dos efeitos implica que a sequência Yt possui tendência estocástica, dada pela expressão∑
�i, que impõe mudanças aleatórias no ńıvel médio da série com o passar do tempo.
4.2 Análise sazonal
O componente sazonal pode ser analisado com o objetivo de desazonalisação da série ou seja
subtrair o componente sazonal para que o comportamento de outros componentes da série sejam ob-
sevados com maior precisão, ou eleborar um modelo de previsão que incorpore-a afim de ganhar uma
maior eficácia preditiva. É importante salientar que o componete sozonal é imprescind́ıvel para a
determinação do melhor método a ser utilazado em sua modelagem, porque assim como o componente
de tendência a sazonalidade pode ser de natureza determińıstica ou estocástica, com isso a utilização
de métodos imprópios na análise deste componente pode resultar em conclusões erronias.
4.2.1 Formas de sazonalidade
• Sazonalidade determińıstica: Esta apresenta um comportamento de natureza relativamente
estável e previśıvel ao longo dos anos, nesta a sazonalidade tem intensidade regular como em
datas espećıficas que se repetem de ano em ano.
• Sazonalidade estocástica: Normalmente ocorrem em séries financeiras que são influenciadas por
diversos fatores que não obrigatóriamente irão se repetir de forma previśıvel ano a ano.
11
4.2.2 Métodos para determinação da sazonalidade e sua natureza
• Visualmente: Se da pela sobreposição gráfica da série atual com as séries passadas onde a
ocorrência de repetições em determinadas partes da série podem evidênciar um comportamento
sazonal.
• Análise da função de autocorrelação
• Modelos de Regressão Linear com Variáveis Independentes Binárias (Variáveis Dummy)
• Modelos de Análise Espectral
• Modelos de Box e Jenkins Sazonais (SARIMA)
4.3 Modelos de Box-Jenkins
Os modelos de Box-Jenkins, ou ARIMA (Auto Regressive Integrated Moving Averages) em por-
tuguês Auto-regressivos Integrados de Médias Móveis, são utilizados com o intuito de captar o com-
portamento da correlação seriada ou autocorrelação entre os valores da série temporal, e apartir disso
se a estrutura de correlação for modelada de maneira eficiente é posśıvel obter boas previsões futuras.
O modelo ARIMA é proveniente de três componentes, o (AR) auto- regressivo, (I) filtro e o (MA)
médias móveis.
George E. P. Box e Gwilym M. Jenkins publicaram em 1970 o livro Time Series Analysis, fo-
recasting and control apresentando uma métodologia para a análise de séries temporais, e em 1976 foi
lançada a versão revisada desse livro e que normalmente é a mais mencionada, o grande mérito desse
trabalho foi reunir as técnicas existentes numa métodologia para construir modelos que descrevessem
com precisão e de forma parcimoniosa o processo gerador da série temporal, proporcionando previsões
acuradas de valores futuros.
4.3.1 Modelo (AR)
O modelo auto-regressivo de ordem 1 ou AR(1) é o mais simples desta classe de modelos, é apre-
sentado algébrica pela equação abaixo:
Z̃ = φ1Z̃t−1 + �t
Sendo φi o parâmetro que descreve como o Z̃t se relaciona como valor Z̃t−1 para i = 1, 2, .., p.
No modelo estacionário é necessário seguir a condição de estacionaridade em que |φ1 < 1 onde
as autocovariâncias (γk)sejam independentes. No modelo AR(1), as autocovariâncias são:
γk = φ
k
1γ0
Onde a equação da autocorrelação ρk é:
ρk =
γk
γ0
= φk1k = 1, 2, ..
A função de autocorrelação decai exponencialmente quando φ1 é positivo; quando φ1 é nega-
tivo, a função de autocorrelação também decai só que com os sinais positivo e negativo alternados.
12
4.3.2 Modelo (MA)
Em um modelo de médias móveis MA do inglês moving average, a série Zt resulta da combinação
dos rúıdos brancos � do peŕıodo atual com aqueles ocorridos em peŕıodos anteriores. Um modelo de
médias móveis de ordem q ou MA(q) é representado por:
Z̃t = �t + φ1�t−1 + φ2�t−2 + ...+ φq�t−q
4.3.3 Modelos auto-regressivos de médias móveis (ARMA)
Existem casos onde devido ao grande número de parâmetros em modelos puramente AR ou pu-
ramente MA é mais viável misturar os componentes de um modelo AR como os componentes de um
modelo MA, gerando, assim, um modelo ARMA. Este modelo ARMA(p,q) exigirá um número menor
de termos e pode ser expresso conforme a equação:
Z̃t = φ1Z̃t−1 + ...+ φpZ̃t−p + �t − φ1�t−1 − ...− φq�q−t
Sendo o modelo ARMA mais simples:
Z̃t = φ1Z̃t−1 + �t − φ1�t−1
E a função de autocorrelação do modelo é dada por:
ρ1 =
(1−φ1θ1)(φ1θ1)
1+θ21+2φ1θ1
ρk = φ1ρk−1 para K < 1
4.3.4 Modelos auto-regressivos integrados de médias móveis (ARIMA)
Sendo constatado o comportamento não estácionário de uma série temporal se faz necessário
transforma-lá em estacionária um dos procedimentos utilizados para esta transformação consiste em
tomar diferenças sucessivas da série original até obter uma série estacionária.
A primeira diferença de Zt é definida por:
∆Zt = Zt − Zt−1
A segunda diferença tem por definição:
D2Zt = D [DZt] = D [Zt − Zt−1] = Zt − 2Zt−1 − Zt−2
O número (d) de diferenças necessárias para tornar a série estacionária é denominado ordem
de integração. A inclusão deste termo de ordem de integração permite que sejam utilizados os modelos
ARIMA (p,d,q) dados pela equação:
wt = φ1wt−1 + ...+ φpwt−p + �t − φ1�t−1 − ...− φq�t−q
Onde:
wt = ∆
dZt
13
4.3.5 Modelos sazonais (SARIMA)
O modelo ARIMA se utiliza da autocorrelação entre os valores da série em instantes sucessivos,
quando os dados são observados em peŕıodos de tempo inferiores a um ano, a série também pode
apresentar autocorrelação para uma estação de sazonalidade (s). Um tipo de modelo que contemplam
as séries que apresentam autocorrelação sazonal é conhecido como SARIMA, este contêm uma parte
não sazonal, com parâmetros (p, d, q), e uma sazonal, com parâmetros (P,D,Q) s. Sendo o modelo
mais geral dado pela equação:
(1− φ1L− ...− φpLp)
(
1− Φ1Ls − ...− ΦPLPs
)
(1− L)d (1− Ls)D Zt =
(1− θ1L− ...− θqLq)
(
1−Θ1Ls − ...−ΘQLQs
)
�t
Onde:
• (1− φ1L− ...− φpLp) é a parte auto-regressiva não-sazonal de ordem (p);
•
(
1− Φ1Ls − ...− ΦPLPs)
é a parte auto-regressiva sazonal de ordem (P) e estação sazonal s;
• (1− L)d é parte de integração não-sazonal de ordem (d);
• (1− Ls)D é parte de integração sazonal de ordem (D) e estação sazonal (s);
• (1− θ1L− ...− θqLq) é a parte não-sazonal de médias móveis de ordem (q);
•
(
1−Θ1Ls − ...−ΘQLQs
)
é a parte sazonal de médias móveis de ordem (Q) e estação sazonal
(s).
4.4 Retornos
Um dos objetivos das finanças é a avaliação de riscos de uma carteira de ativos financeiros. O
risco é frequentemente medido em termos de variações de preços e ativos.
Denotemos por Pt o preço de um ativo no instante t, normalmente um dia de negócio. Su-
ponha, primeiramente, que não haja dividendos pagos no peŕıodo. A variação de preços entre os
instantes t − 1 e t é dada por ∆Pt = Pt − Pt−1 e a variação relativa de preços ou retornos ĺıquidos
simples deste ativo, entre os mesmos instantes, é definido por:
Rt =
Pt−Pt−1
Pt−1
= tPt−1
Note que Rt = Pt/Pt−1 − 1. Chamamos 1 + Rt = Pt/Pt−1 de retorno bruto simples. Usual-
mente expressamos Rt em percentagem, relativamente ao peŕıodo (um dia, um mês, um ano etc); é
tambem chamado de taxa de retorno.(Morettin e Toloi/2006)
4.4.1 Fatos estilizados sobre retornos
Série econômicas e financeiras apresentam algumas caracteŕısticas que são comuns a outras séries
temporais, com:
14
(a) tendência;
(b) sazonalidade;
(c) pontos de influentes (at́ıpicos);
(d) heteroscedasticidade condicional;
(e) não-linearidade;
Dessas, a última talvez seja a mais complicada de definir. De um modo bastante geral, pode-
mos dizer que uma série econômica ou financeira é não-linear quando responde de maneira diferente a
choques grandes ou pequenos. Por exemplo, uma queda de um ı́dice da bolsa de valores de São Paulo
pode causar maior volatilidade no mercado do que uma alta.
Os retornos financeiros apresentam, por outro lado, outras caracteŕısiticas peculiares, que mui-
tas séries não apresentam. Retornos raramente apresentam tendências ou sazonalidades, com exceção
eventualmente de retornos intra-diários. Séries de preços, de taxa de câmbio e séries de taxas de juros
podem apresentar tendências que variam no tempo.
Os principais fatos estilizados relativos a retornos financeiros podem ser resumidos como segue:
1. retornos são em geral não-auto-correlacionados;
2. os quadrados dos retornos são auto-correlacionados, apresentando uma correlação de defasagem
uma pequena e depois uma queda lenta das demais;
3. séries de retornos apresentam agrupamentos de volatilidade ao longo do tempo;
4. a distribuição (incondicional) dos retornos apresenta caudas mais pesadas do que uma distri-
buição normal; além disso, a distribuição, embora aproximadamente simétrica, é em geral lep-
tocúrtica;
5. algumas séries de retornos são não-lineares, no sentido explificado acima.(Morettin e Toloi/2006)
5 Análise de componentes ćıclicos em commodities
A análise de componentes ćıclicos ou periódicos em commodites, neste trabalho se deu, através
da utilização da série de fourier e da função de densidade espectral como método de análise espectral
.
5.1 Análise Espectral
A Análise no domı́nio da frequência ou análise espectral se utiliza de um método de decomposição
da série temporal estacionária em componetes associados a frequência ou peŕıodos. Esta representa
uma forma de análise de séries temporais que fornece informações complementares àquelas propiciadas
pela análise no domı́nio do tempo, tais normalmentes estão ligadas ao estudo da ocorrência de ciclos
nas séries. Na análise espectral uma série temporal é representada como uma soma ponderada de
funções periódicas do tipo seno e coseno, ela também determina a importância dos ciclos de diferentes
15
frequências, e através disso é explicado a variância da série temporal e com isso o comportamento da
série.
Em 1963 Granger e Morgenstern publicaram um artigo em que contrariavam a hipótese de
Random Walk (idéia que defende não haver diferença entre uma distribuiçao de retornos que esteja
condicionada a uma determinada estrutura de informação e a distribuiçao incondicional de retornos),
o trabalho analisou preços de ativos da bolsa de nova iorque utilizando-se de análise espectral, se o
modelo de comportamento aleatório fosse o correto a série de preços séra uma sequência de valores
desconexos. Após a analise, o modelo Random Walk se mostrou adequando mais os autores fizeram
uma resalva no que se refere ao comportamento de longo prazo dos preços dos ativos, pois segundo
eles não eram consistentes com o modelo.
Os autores utilizaram a série de fourier como método de analise espectral afim de decompor
gráficos de ativos em seu espectro discreto de frequências. como é mostrado na figura(4) que exibe
o espectro de 120 frequências do comportamento da taxa dos Commercial Papers de Nova iorque de
1876 até 1914, esta imagem foi extráıda do artigo original.
Figura 4: Espectro de potência da taxa de Commercial Paper em nova iorque
Os autores observaram picos de potência nas bandas de peŕıodo igual a 40 meses e 12 meses, e
por conta do decaimento do gráfico as frequências maiores exercem maior influência no comportamento
do ativo. Se o espectro não tivesse decaimento fosse uma linha horizontal paralelo ao eixo x ele seria
proveniente de uma sequência aleatória de termos.
Em espectros com decaimentos as harmônicas com maior periodo possuem maior importância,
logo os ciclos de longo prazos influênciam com maior preponderância o comportamento do ativo,
Granger e Morgesntern não se surpreenderam com este resultado, visto que o rúıdo gerado por dados
mais recentes costuma interferir na identificaçao da tendência de longo prazo.
O resultado demonstra que as harmônicas de longo prazo que são as de baixa frequência são as
mais relevantes porque são nestas bandas de frequências que os autores encontram maior dificuldade
para lidar pois qualquer tendência para a média elevará a amplitude da frequência baixa e afetará
as harmonicas vizinhas, por isso foi necessário os autores usarem a subtração da média móvel para
eliminar a tendência da média. (Bianchi/2006)
16
5.1.1 Série de Fourier
A série de fourier, criada por Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)em seu tratado Thèorie
Analytique de la Chaleur publicado em 1822, neste trabalho fourier faz um estudo sistêmico de séries
infinitas para resolver a equação da propagaçao de calor na f́ısica, utilizando de uma técnica de senos
e cossenos, a série de fourier. Com ela quaisquer função por mais complexa que seja pode ser decom-
posta em senos e cossenos,a série tambem é muito utilizada nas áreas envolvidas com a,matemática,
engenharia, computação, música, sinais digitais, mercado financeiro, etc.
Segundo Tolstov (1962) uma função f(t) é periódica se existe uma constante T > 0 tal que
f(x+ T ) = f(x) para todo o x pertencente ao domı́nio de f(t), dentre as funções periódicas temos a
série trigonométrica de fourier:
a0
2
+
∞∑
n=1
[
ancos
(nπx
T
)
+ bnsen
(nπx
T
)]
Observamos que todas as infinitas parcelas são periódicas de periodo T . No conjunto de valores
de x para os quais a série converge onde é definida uma função periódica f de peŕıodo T .onde os
coeficiêntes a0, an e bn são chamados coeficientes de fourier e são expressos na forma:
a0 =
1
T
∫ T
−T f(x)dx
an =
1
T
∫ T
−T f(x) cos
nπ
T xdx
bn =
1
T
∫ T
−T f(x) sin
nπ
T xdx
5.1.2 Densidade espectral
No processo de decomposição espectral de uma série temporal univariada surge uma função de
densidade espectral ou auto espectro em um intervalo de frequência (0, π), messurando a importância
relativa de cada intervalo em termos da sua contribuição para a variância total da série temporal. Esta
função chama-se espectro de variância, pois analisa a variância de uma série temporal em termos da
suafreqüência.
A função da densidade de potência é composta por uma transformada de Fourier da autoco-
variância de uma série estacionária (Xt, t = 1, ..., n), aproximada por:
f ($) = 12π
∑∞
t=−∞ γ (t) cos$t
Sendo γ (t) a função de autocovariância.
Se um componente de frequência é relevante, o espectro exibirá um pico relativo nesse ponto.
Dessa forma, a função de densidade espectral facilita a análise e simplifica a identificação de compor-
tamentos variáveis ao longo do tempo. Adicionalmente, possui propriedades amostrais mais simples
do que os modelos no domı́nio temporal (RAUSSER; CARGILL, 1970).
17
5.1.3 Análise de Ondeletas(Wavelets)
A transformada de ondaleta ou wavelet (TW ) é capaz de fornecer a informação de tempo e de
frequência simultaneamente, consequentemente dando a representação de frequência-tempo da série.
Nesse ponto vale lembrar o prinćıpio da incerteza de Heisenberg. Nós não podemos exatamente saber
qual frequência existe em um dado instante de tempo, mas apenas podemos saber quais bandas de
freqüência existem em determinados intervalos de tempo. A frequência e a informação do tempo de
uma série em certo ponto no plano frequência-tempo não podem ser conhecidos. Em outras palavras:
”nós não podemos saber qual o componente espectral existe em qualquer dado instante de tempo”
Este é um problema para se resolver, e esta é a principal razão pela qual pesquisadores tem mudado
das transformadas de Fourier para a TW. A análise de ondaletas tem sido utilizada em vários ramos
da ciência, em economia sua principal aplicação encontra-se na econometria no tratamento de séries
temporais utilizadas para realizar previsão.(Morettin/1999)
TWC(τ, s) = 1√
|s|
∫∞
−∞ f(t)ψ
(
t−τ
s )dt
s, t ∈ i, s 6= 0
As ondaletas são localizadas no tempo ou espaço, contrariamente do que ocorre com as funções
trigonométricas. Esse comportamento torna-as ideais para analisar sinais não estacionários, contendo
transitoriedades e estruturas tipo fractais. Bases de Fourier são localizadas em frequência, mas não
no tempo, pequenas mudanças em algumas das observações podem provocar mudanças em todas as
componentes de uma expansão de Fourier, o que não acontece com uma expansão em série de onda-
letas (Morettin/1999). A análise de Ondeletas não será empregada neste trabalho.
6 Estat́ıstica
6.1 Variável Aleatória
Uma variável aleatória (unidimensional) uma função que a cada acontecimento do espaço de
resultados faz corresponder um valor real.
Podemos classificar as variáveis aleatórias em discretas e cont́ınuas:
• Uma variável aleatória diz-se discreta se só assume um número finito ou infinito numerável de
valores distintos.
• Uma variável aleatória diz-se cont́ınuase assumir um número infinito não numerável de valores
distintos.
6.2 Disribuições de variáveis aleatórias discretas
6.2.1 Distribuição de Bernoulli
Uma distribuição pode ser dita de Bernoulli se a variável aleatória X só puder assumir os valores
0 (fracasso) e 1 (sucesso) com P (X = 0) = q e P (X = 1) = p com p + q = 1, nesta distribuição
a esperança e a variância são dadas nesta ordem por E (X) = p e σ2 = V ar (X) = p.q. Podemos
escrever o modelo de distribuição de Bernoulli como:
P (X = x) = px.q1−x
18
Onde:
q = 1− p
Exemplo:
Uma urna contém 20 bolas pretas e 30 azuis. Uma bola é retirada da urna e a variável aleatória X
denota o número de bolas azuis obtidas. Calcule a média E (X), a V ar (X) e o desvio-padrão de X.
Temos que:
X = 0, q = 20/50 = 2/5, eX=1,p=30/50=3/5, portanto P (X = x) = (2/5)x . (3/5)1−x
logo
E (X) = p = 2/5, V ar (X) = p.q = (2/5) . (3/5) = 6/25
6.2.2 Distribuição Binomial
É utilizada em experimentos que satisfaçam as seguintes condições:
1. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes, (n).
2. As provas repetidas devem ser independentes, o resultado de uma não afeta o resultado da outra.
3. Existe apenas dois resultados posśıveis: sucesso ou insucesso.
4. A probabilidade do sucesso em uma tentativa é p e a do insucesso é q = 1− p
A probabilidade de se obter sucesso k vezes durante (n) tentativas é determinado por:
f (X) = P (X = k) = n!k!(n−k)!p
kqn−k
Exemplo:
Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Qual a probabilidade de obter 3 coroas
nessa prova?
n = 5 k = 3 p = 1/2 q = 1− p = 1− 1/2 = 1/2
P (X = 3) = 5!3!(5−3)! .
(
1
2
)3
.
(
1
2
)5−3
= 516
6.2.3 Distribuição de Poisson
É uma distribuição que se aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos especificados. A
variável aleatória é o número de ocorrência do evento no intervalo. Estes intervalos podem ser de
tempo, distância e outras unidades similares. As condições para um variável aleatória X admitir a
distribuição de poisson são:
1. X = 0, 1, 2, ...(não tem limites);
2. A esperança E (X) = µ = λ;
3. A variância V ar (X) = σ2 = λ;
19
4. Sua função de probabilidade é P (X = k) = �
−λλk
k! , k = 0, 1, 2, ...; é a probabilidade de k ocorrências
em um intervalo.
Propriedades do experimento de Poisson:
• A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dois intervalos
• A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independente da ocorrência ou não
ocorrência em qualquer intervalo.
Exemplo:
Um determinado departamento na ufabc recebe em média 3 chamadas telefônicas por dia, qual a
probabilidade deste receber 4 chamadas num dia?
λ = 3 chamadas telefônicas por dia em média.
P (X = 4) = �
−λλk
k! =
�334
4! = 0, 1680 ou 16, 80%
6.2.4 Distribuição Geométrica
Esta distribuição pode ser entendida como a realização de sucessivas provas de Bernoulli até que
ocorra um sucesso. Sendo assim se for necessário a realização de (x) provas para que o sucesso ocorra, o
resultado da x-ésima prova é um sucesso, o k-ésimo sucesso pretendido e todas as tentativas anteriores
resultaram em insucessos.
Sendo x a variável aleatória que indica o número de tentativas até o sucesso, essa variável tem uma
distribuição Geométrica e a sua função de probabilidade é dada por:
P (X = x) = p. (1− p)x−1
Parâmetros caracteŕısticos
E (X) = 1p e V ar (X) =
(1−p)
p2
Exemplo:
Uma mulher com problemas para engravidar, recorreu a uma técnica de inseminação artificial com
o objetivo de conseguir o primeiro filho. A eficiência da técnica de inseminação é de 0,20. Qual a
probabilidade da mulher conseguir engravidar na terceira tentativa?
P (X = k) = p (1− p)k−1 = (0, 2) (0, 8)3 = 0, 128 ou 12, 8%
6.3 Distribuições de variáveis aleatórias continuas
6.3.1 Distribuição Uniforme
Este modelo de distribuição é o mais simples entre as variáveis aleatórias continuas, pode ser
definida em intervalos de [α e β]como:
f (x;α, β) =
{ 1
β−α , se α < x < β,
0, outro caso,
A distribuição uniforme tem sua função de densidade de probabilidade constante dentro de um
intervalo de valores da variável aleatória X.
20
Nesta distribuição a média e a variância são dadas por:
E (X) = α+β2 V ar (X) =
(β−α)2
12
Exemplo:
Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (50, 200). Calcular a média e o
desvio padrão.
Média (µX):
µX =
a+b
2 =
50+200
2 = 125
Desvio-padrão (σ):
σ2X =
(b−a)2
12 =
(200−50)2
12 = 1875
σ =
√
1875 = 43, 30
6.3.2 Distribuição Normal ou Gaussiana
A distribuição normal ou gaussiana é a mais empregada na estat́ıstica, pois abrange um grande
número de fenômenos , Ela também oferece base para inferência estat́ıstica clássica devido a sua afini-
dade com o teorema do limite central, esta possui um gráfico simétrico em forma de sino e suas medidas
de tendencia central como a média, moda e mediana são todas simétricas A distribuição Gaussiana
é caracterizada por dois parâmetros, a média µ e o desvio-padrão σ. A notação para variável x go-
vernada por uma distribuição Gaussiana é x ≈ N(µ, σ). Afunção de densidade da probabilidade da
distribuição normal é:
f (x) = 12πσe
−(0.5)[(X−µ)/σ]2
Podemos trabalhar com padronização de dados, assim dispensando a fórmula acima e utilizando
apenas uma tabela. Segue abaixo a fórmula de padronização da variável, onde a variável aleatória
normal X é convertida em uma variável normal padronizada Z
Z = X−µσ
Onde σ é o desvio padrão e µ a média aritmética.
Na distribuição normal padronizada, a variável Z possui média 0 e desvio padrão 1;
Exemplo:
Um banco de investimentos aplica um teste sobre econof́ısica a um grupo de 50 funcionários.
Obteve-se uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 6. Qual a proporção de funcionários
com notas superiores a 60 ?
Transformando a nota 60 em desvios reduzidos tem-se:
z = 60−506 = 1, 67
Utilizando uma tabela com distribuições normais padronizadas, Probabilidade da nota ser superior
a 60 é 0, 5− 0, 4525 = 0, 0475 ou 4, 75%
21
6.3.3 Distribuição t de Student
Segundo o teorema do limite central, a distribuição amostral de uma estat́ıstica seguirá uma
distribuição normal, enquanto o tamanho da amostra for suficientemente grande. Portanto, quando
conhecemos o desvio padrão da população, podemos calcular um z escore ou seja um indicador de
quantos desvios padrões um elemento está da média, utilizando esta equação: z = (X−µ)σ , e usarmos
a distribuição normal para avaliar probabilidades com a média amostral.
Como em alguns casos as amostras são pequenas e não conhecemos o desvio padrão da população,
utiliza-se a distribuição da estat́ıstica t também conhecida como t escore ou distribuição t de Student.
Esta é de grande valia para a inferência de parâmetros da população e para a estat́ıstica de pequenas
amostras.
Um fator que difere as distribuições t de Student é o seu grau de liberdade, sendo esses graus re-
ferente aos números de observações independentes num conjunto de dados. O número de observações
independentes é igual ao tamanho da amostra menos um. Sendo assim a distribuição da estat́ıstica t
das amostras de tamanho 8 serão descritas por uma distribuição t de Student tendo 81 ou 7 graus de
liberdade.
A distribuição t de Student tem como propriedades a sua média igual a 0, A variância igual a
υ/ (υ − 2)onde υ é o grau de liberdade e υ ≥ 2, e sua variância é sempre maior que 1, embora ela
esteja próxima de 1 quando existirem muitos graus de liberdade. Na existência de infinitos graus de
liberdade, a distribuição t de Student é a mesma que a distribuição normal padrão.
A utilização da distribuição t de Student só é posśıvel em uma distribuição amostral de uma
estat́ıstica normal ou aproximadamente normal, onde o conceito de normalidade é estabelecido pelo
teorema do limite central.
Quando uma amostra de tamanho n for extráıda de uma população tendo uma distribuição nor-
mal ou aproximadamente normal, a média amostral pode ser transformada numa t-escore, usando a
equação abaixo:
t = x̄−µs√
n
Em que x̄ é a média amostral, µ é a média da população, s é o desvio padrão da amostra, n é o
tamanho da amostra e os graus de liberdade são iguais a (n 1)
A t escore produzida nesta transformação pode ser associada com uma única probabilidade cumu-
lativa. Esta probabilidade cumulativa representa a probabilidade de se encontrar uma média amostral
menor ou igual a x̄, dada uma amostra aleatória de tamanho n.
Exemplo:
Em uma amostra de uma população normalmente distribúıda foram extráıdos 15 elementos com
média X̄ = 5, 40 e desvio-padrão σ = 0, 80. contruir um intervalo de 90% de confiança para a média
dessa população.
Grau de liberdade =15− 1 = 14
c=90%
tc= 1,761
22
Erro=1, 761. 0.8√
15
= 0, 36
5, 4− 0, 36 < µ < 5, 4 + 0, 36 = 5, 04 < µ < 5, 76
Logo, com 90% de confiança a média populacional está entre 5,04 e 5,76.
6.3.4 Distribuição Qui-Quadrado
Suponha realizamos um experimento estat́ıstico, onde selecionamos uma amostra aleatória de ta-
manho n de uma população normal, tendo um desvio padrão igual a σ. Encontramos que o desvio
padrão da nossa amostra é igual a s. Com estes dados, definimos uma estat́ıstica, chamada qui-
quadrado, usando a seguinte equação:
χ2 = (n−1).s
2
σ2
Se repetirmos este experimento um número infinito de vezes, poderemos obter uma distribuição amos-
tral para a estat́ıstica qui-quadrado. Esta distribuição tem como função de densidade de probabilidade:
Y = Y0.
(
χ2
)( ν2−1) .e−χ22
Onde:
Y0= constante que depende do número de graus de liberdade.
χ2= estat́ıstica qui-quadrado.
(ν = n− 1)= é o número de graus de liberdade.
e= é uma constante igual a base do sistema de logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)
Y0= é definido, de forma que a área sob a curva qui-quadrado seja igual a um.
A distribuição qui-quadrado tem como propriedades:
• Média da distribuição igual ao número de graus de liberdade: µ = ν.
• Variância igual a duas vezes o número de graus de liberdade: σ2 = 2.ν.
• Quanto maior a quantidade de graus de liberdade mais a curva qui-quadrado se aproxima de
uma distribuição normal.
• Quando (ν ≥ 2) ,o valor máximo de Y ocorre quando χ2 = ν − 2.
Exemplo:
Uma empresa desenvolveu uma nova bateria de telefone celular que tem uma autonomia de 60
minutos com uma única carga. O desvio padrão é 4 minutos. Suponha que a empresa queira realizar
um teste de controle de qualidade. Eles selecionam aleatoriamente 7 baterias. O desvio padrão das
baterias selecionadas é 6 minutos. Qual seria a estat́ıstica qui-quadrado representada neste teste?
23
Desvio padrão da amostra s = 6 minutos
Desvio padrão da população σ = 4 minutos
Número de observações n= 7
Portanto:
χ2 = (n−1).s
2
σ2
= (7−1).6
2
42
= 13, 5
6.4 Testes estat́ısticos de hipóteses
O teste estat́ıstico de hipótese é uma regra decisória que nos possibilita rejeitar ou não uma
hipóteses estat́ıstica baseado nos resultados de uma amostra. Estas hipóteses são geralmente sobre
parâmetros populacionais e a realização do teste se baseia na distribuição amostral dos seus respectivos
estimadores. Segue abaixo algumas definições relevantes para compreenção dos testes estat́ısticos de
hipótese.
• Parâmetro: é uma função de valores populacionais, geralmente tendo um valor desconhecido
associdado à população. Por exemplo na distribuição normal os parâmetros são a média µ =
E (X) e a variância σ2 = V (X).
• Estimador de um parâmetro θ: é qualquer função das observações da amostra aleatória
X1;X2; :::;Xn. Onde este representa uma dada fórmula de cálculo que fornecerá valores que
serão diferentes, de acordo com a amostra selecionada.
• Estimativa: é o valor númerico assumido pelo estimador, quando os valores de X1;X2; :::;Xn
são considerados.
• Hipótese estat́ıstica: é uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional que
será verificada por meio de um teste paramétrico, ou uma afirmação referente à natureza da
população, que será verificada por um teste de aderência.
• Hipótese nulidade H0: É a hipótese estat́ıstica a ser testada. Esta é formulada com o propósito
de ser rejeitada, e os testes são constrúıdos sob a pressuposição de H0 ser verdadeira.
O teste de hipótese consiste em verificar se a amostra observada difere significativamente do resul-
tado esperado sob H0.
• Hipótese alternativa: É uma hipótese que contraria H0, formulada com base no conhecimento
prévio do problema. Para o caso das duas médias, µA e µB, podeŕıamos ter:
Ha1 : µA 6= µB
ou
Ha2 : µA > µB
ou
Ha3 : µA < µB
24
• Região crit́ıca: pode ser definida como a faixa de valores que nos levam à rejeição da hipótese
H0. Isto é, caso o valor observado da estat́ıstica do teste (Z; t; 2;F ) pertença à região cŕıtica,
rejeita-se H0, caso contrário não rejeitamos H0. Quaisquer decisão tomada nesta região implica
na possibilidade de cometer basicamentedois tipos de erros. O erro tipo 1 que se caracteriza
pelo fato de rejeitarmos H0 quando está é verdadeira. Podemos designar por α a probabilidade
de cometer o erro tipo 1 ńıvel de significância. Temos também a existência do erro tipo 2 que
tem como caracteŕıstica o fato de aceitarmos H0 quando está é falsa, designaremos por β a
probabilidade de cometer o erro tipo 2.
• Poder de um teste: É uma informação utilizada para o dimensionamento de tamanhos de
amostras tendo-se em vista o controle dos dois tipos de erros. Sendo este poder a probabilidade
de rejeitar H0 quando esta é falsa, definido como:
Poder = 1− β
6.4.1 Teste z
Teste de hipótese de uma média populacional
Sendo X normalmente distribúıda com variância conhecida.
Seja uma variável aleatória X normalmente distribúıda com média E (X) = µ e variância V (X) =
(σ)2.
Podemos demonstrar que X̄, a média amostral é normalmente distribúıda com média µ e a variância
σ2
n .
Sendo:
X̄ ≈ N
(
µ, σ
2
n
)
Utilizando variável normal padronizada ou reduzida, obtemos:
Z = X̄−µσX̄
mas,
σX̄ =
√
V
(
X̄
)
=
√
σ2
n =
σ√
n
então,
Z = X̄−µσ√
n
Teste de hipótese de duas médias populacionais
Sabendo que XA e XB são normalmente distribúıdas com variância conhecidas.
Sendo X̄A e X̄B médias obtidas em duas amostras com tamanhos nA e nB, retiradas de duas
populações normais PA e PB, respectivamente, com variâncias σ
2
A e σ
2
B conhecidas e médias µA e µB
desconhecidas;
Considerando-se as variáveis aleatórias X̄A e X̄B independentes, temos:
(
X̄A − X̄B
) (
µA − µB,
σ2A
nA
+
σ2B
nB
)
25
Consideando o nivel de significância α nosso problema é:
H0 : µA = µB
contra
Ha1 : µA 6= µB
ou
Ha2 : µA > µB
ou
Ha3 : µA < µB
Utilizaremos a estat́ıstica:
Z =
(X̄A−X̄B)−(µA−µB)√
V (X̄A−X̄B)
Sob o H0 segue que
(
X̄A − X̄B
)
≈ N
(
0,
σ2A
nA
+
σ2B
nB
)
, e assim teremos:
Z =
(X̄A−X̄B)√
σ2
A
nA
+
σ2
B
nB
Exemplo:
Estudantes de uma universidade realizaram um teste de Q.I. que apontou uma média de média 115,
com um desvio-padrão de 20. Para saber se uma nova equipe de funcionários é t́ıpica desta universi-
dade, uma empresa retirou uma amostra aleatória de 50 funcionários desta nova equipe, encontrando-se
média de 118. Com uma significância de 5%, teste a hipótese de que os funcionários da empresa apre-
sentam a mesma caracteŕıstica dos estudantes da universidade, com relação ao Q.I.
H0 : µ = 115
H1 :6= 115
α = 0, 05
Z = X̄−µ0
σ/
√
n
= 118−115
20/
√
50
= 1, 06
Como o valor da estat́ıstica calculada está na região de aceitação, logo H0 é aceito como verdadeiro.
26
6.4.2 Teste t
Quando o desvio-padrão populacional não for conhesido e a amostra for pequena, a distribuição
amostral a ser utilizada é a t de student, e a estat́ıstica do teste será:
t = X̄−µ
σ/
√
n
Onde:
X̄= média amostral
µ= média populacional
σ= desvio-padrão amostral
n= tamanho da amostra
Exemplo:
Em um fundo de investimento os profissionais da área de Econof́ısica levam em média 50 minuto
para a realização de um determinado procedimento. Um novo procedimento está sendo implemen-
tado. Deste novo procedimento, retirou-se uma amostra de 12 pessoas, com um tempo médio de 42
minutos e um desvio-padrão de 11,9 minutos. Teste a hipótese de que a média populacional no novo
procedimento é menor do que 50.
H0 = µ = 50
H1 = µ < 50
α = 0, 05
t = X̄−µ0
σ/
√
n
= 42−50
11,9/
√
12
= −2, 53
tα = t0,05 = −1, 796
Como o valor da estat́ıstica calculada está na região de rejeição, logo H0 é rejeitado como verda-
deiro.
6.4.3 Teste q
O teste qui-quadrado verifica a hipótese de aderência e independência, sendo o teste de aderência
entendido como se os dados coletados experimentalmente se ajustam de modo adequado as premissas
de um derterminado grau de certeza, já o teste de independência mostra se duas variáveis estão vin-
culadas entre si por relação de dependência, para determinado grau de certeza.
6.4.4 Teste BDS
A necessidade de caracterizar dependência não linear em séries temporais estimulou o desenvolvi-
mento do Teste BDS que levou o nome dos pesquisadores que o criaram: William Brock, Davis Dechert
e José Alexandre Sheinkman. O BDS é utilizado em diversas áreas, sendo o teste mais conhecido para
detectar estruturas não lineares presentes em séries temporais.
27
O Teste BDS utiliza o conceito da correlação espacial dos termos da série dentro de um espaço de
dimensão m. Baseia-se numa integral de correlação definida pela expressão:
Cm,t (�) =
∑
t<s I� (x
m
t , x
m
s ) .
[
2
Tm(Tm−1)
]
Onde:
T é o tamanho da amostra;
Tm = T −m+ 1, representa o numero de vetores xmt ;
Xmt = (Xt, Xt+1, ...Xt+m−1);
I� (x
m
t , x
m
s ) =
{
1 se ‖xmt − xms ‖ < �
0 outro caso
� = distância arbitrária;
t e s são instantes de tempo com s = t+ 1.
7 Metodologia
7.1 Séries de preços das commodities sem tendência
A exemplo de diversos trabalhos em análise espectral aplicada ao mercado financeiro, as tendências
das séries de preços diarias, quinzenais e mensais das commodities, ouro, prata e platina, foram ex-
tráıdas tendo com objetivo garatir uma análise espectral mais assertiva tendo em vista que a presença
de tendência na série pode implicar em picos indesejáveis na análise.
Figura 5: Série de preço diário do ouro
28
Figura 6: Série de preço quinzenal do ouro
Figura 7: Série de preço mensal do ouro
29
Figura 8: Série de preço diário da prata
Figura 9: Série de preço quinzenal da prata
30
Figura 10: Série de preço mensal da prata
Figura 11: Série de preço diário da platina
31
Figura 12: Série de preço quinzenal da platina
Figura 13: Série de preço mensal da platina
32
7.2 Séries de retornos das commodities
As séries de preços das commodities sem tendência foram transformadas em séries de retorno,
considerando esta uma prática bem incorporada em análises deste gênero.
Figura 14: Série de retorno diário do ouro
Figura 15: Série de retorno quinzenal do ouro
33
Figura 16: Série de retorno mensal do ouro
Figura 17: Série de retorno diário da prata
34
Figura 18: Série de retorno quinzenal da prata
Figura 19: Série de retorno mensal da prata
35
Figura 20: Série de retorno diário da platina
Figura 21: Série de retorno quinzenal da platina
36
Figura 22: Série de retorno mensal da platina
37
7.3 Análise Espectral das commodities
As commodities ouro, prata e platina, distribúıdas em peŕıodos de tempo diário, quinzenal e men-
sal, foram submetidas a procedimentos com o objetivo de realizar a análise espectral das mesmas. Os
procedimentos foram realizados nesta ordem; a retirada das tendências, a tranformação de série de
preços em séries de retornos, a aplicação da transformada de fourier nas séries de preço,e retornos, e
por fim, a aplicação da função de densidade espectral nas séries de preços e retornos.
7.4 Séries de preços das commodities sem tendência
A exemplo de diversos trabalhos em análise espectral aplicada ao mercado financeiro, as tendências
das séries de preços diarias, quinzenais e mensais das commodities, ouro, prata e platina, foram ex-
tráıdas tendo com objetivo garatir uma análise espectral mais assertiva tendo em vista que a presença
de tendência na série pode implicar em picos indesejáveis na análise.
Figura 23: Série de preço diário do ouro
38
Figura 24: Série de preço quinzenal do ouro
Figura 25: Série de preço mensal do ouro
39
Figura 26: Série de preço diário da prata
Figura 27: Série de preço quinzenal da prata
40
Figura 28: Série de preço mensal da prata
Figura 29: Série de preço diário da platina
41
Figura 30: Série de preço quinzenal da platina
Figura 31: Série de preço mensal da platina
42
7.5 Séries de retornos das commodities
As séries de preços das commodities sem tendência foram transformadas em séries de retorno,
considerando esta umaprática bem incorporada em análises deste gênero.
Figura 32: Série de retorno diário do ouro
Figura 33: Série de retorno quinzenal do ouro
43
Figura 34: Série de retorno mensal do ouro
Figura 35: Série de retorno diário da prata
44
Figura 36: Série de retorno quinzenal da prata
Figura 37: Série de retorno mensal da prata
45
Figura 38: Série de retorno diário da platina
Figura 39: Série de retorno quinzenal da platina
46
Figura 40: Série de retorno mensal da platina
47
7.6 Análise Espectral das commodities
7.6.1 Espectro de Fourier das séries de preços das commodities
Foi obtido o espectro de Fourier das séries de preços das commodities, ouro, prata e platina sendo
essa em periodos de tempo, diário, quinzenal e mensal. Esta teve como propósito a busca por picos
de frequências dominantes nas séries.
Neste trabalho será adotado o parâmetro de não analisar picos de frequências menor que 0, 01,
pois estes picos podem estar associados aos rúıdos da série, e podem comprometer a análise espectral.
Figura 41: Espectro do preço diário do ouro
Na Figura 23 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços diários do ouro, não
é posśıvel observar picos de frequências dominantes que possam ser relevantes para esta análise.
48
Figura 42: Espectro do preço quinzenal do ouro
Na Figura 24 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços quinzenais do ouro,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 01. A cada 100 quinze-
nas, um componente do preço se repete.
49
Figura 43: Espectro do preço mensal do ouro
Na Figura 25 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços mensais do ouro,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 01. A cada 100 meses,
um componente do preço se repete.
50
Figura 44: Espectro do preço diário da prata
Na Figura 26 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços diários da prata, não
é posśıvel observar picos de frequências dominantes que possam ser relevantes para esta análise.
51
Figura 45: Espectro do preço quinzenal da prata
Na Figura 27 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços quinzenais da prata,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 005, mas como esta
frequência está abaixo do parâmetro estipulado neste trabalho para evitar a análise de picos causados
possivelmente por rúıdos, o pico análisado foi o primeiro pico significativo com frequênia maior ou
igual a 0, 01, tendo este uma frequência aproximada de 0, 02. A cada 50 quinzenas, um componente
do preço se repete.
52
Figura 46: Espectro de preço mensal da prata
Na Figura 28 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços mensais da prata,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 01. A cada 100 meses,
um componente do preço se repete.
53
Figura 47: Espectro do preço diário da platina
Na Figura 29 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços diários da platina,
não é posśıvel observar picos de frequências dominantes que possam ser relevantes para esta análise.
54
Figura 48: Espectro do preço quinzenal da platina
Na Figura 30 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços quinzenais da platina,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 02. A cada 50 quinzenas,
um componente do preço se repete.
55
Figura 49: Espectro do preço mensal da platina
Na Figura 31 que representa a frequência em ciclos para toda série de preços mensais da platina,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 04. A cada 25 meses,
um componente do preço se repete.
56
7.6.2 Espectro de Fourier das séries de retornos das commodities
Foi obtido o espectro de Fourier dos retornos das commodities, ouro, prata e platina sendo essa
em peŕıodos de tempo, diário, quinzenal e mensal. Esta teve como propósito a busca por picos de
frequências dominantes nas séries.
Neste trabalho será adotado o parâmetro de não analisar picos de frequências menor que 0, 01,
pois estes picos podem estar associados aos rúıdos da série, e podem comprometer a análise espectral.
Figura 50: Espectro do retorno diário do ouro
Na Figura 32 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos diários do ouro,
não é posśıvel observar picos de frequências dominantes que possam ser relevantes para esta análise.
57
Figura 51: Espectro do retorno quinzenal do ouro
Na Figura 33 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos quinzenais do
ouro, observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 26. A cada 3, 84
quinzenas, um componente do retorno se repete.
58
Figura 52: Espectro do retorno mensal do ouro
Na Figura 34 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos mensais do ouro,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 49. A cada 2, 04 meses,
um componente do retorno se repete.
59
Figura 53: Espectro do retorno diário da prata
Na Figura 35 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos diários da prata,
não é posśıvel observar picos de frequências dominantes que possam ser relevantes para esta análise.
60
Figura 54: Espectro de retorno quinzenal da prata
Na Figura 36 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos quinzenais da
prata, observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 19. A cada 5, 2
quinzenas um componente do retorno se repete.
61
Figura 55: Espectro do retorno mensal da prata
Na Figura 37 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos mensais da prata,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 38. A cada 2, 63 meses,
um componente do retorno se repete.
62
Figura 56: Espectro do retorno diário da platina
Na Figura 38 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos diários da platina,
não é posśıvel observar picos de frequências dominantes que possam ser relevantes para esta análise.
63
Figura 57: Espectro do retorno quinzenal da platina
Na Figura 39 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos quinzenais da
platina, observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 06.A cada 16, 6
quinzenas, um componente do retorno se repete.
64
Figura 58: Espectro do retorno mensal da platina
Na Figura 40 que representa a frequência em ciclos para toda série de retornos mensais da platina,
observa-se a presença de um pico de maior frequência em aproximadamente 0, 12. A cada 8, 3 meses,
um componente do retorno se repete.
65
7.6.3 Densidade Espectral das séries de preços das commodities
Figura 59: Densidade espectral do preço diário do ouro
Figura 60: Densidade espectral do preço quinzenal do ouro
66
Figura 61: Densidade espectral do preço mensal do ouro
Figura 62: Densidade espectral do preço diário da prata
67
Figura 63: Densidade espectral do preço quinzenal da prata
Figura 64: Densidade espectral do preço mensal da prata
68
Figura 65: Densidade espectral do preço diário da platina
Figura 66: Densidade espectral do preço quinzenal da platina
69
Figura 67: Densidade espectral do preço mensal da platina
7.6.4 Densidade Espectral das séries de retornos das commodities
Figura 68: Densidade espectral do retorno diário do ouro
70
Figura 69: Densidade espectral do retorno quinzenal do ouro
Figura 70: Densidade espectral do retorno mensal do ouro
71
Figura 71: Densidade espectral do retorno diário da prata
Figura 72: Densidade espectral do retorno quinzenal da prata
72
Figura 73: Densidade espectral do retorno mensal da prata
Figura 74: Densidade espectraldo retorno diário da platina
73
Figura 75: Densidade espectral do retorno quinzenal da platina
Figura 76: Densidade espectral do retorno mensal da platina
74
8 Resultados
Na análise do espectro de Fourier das séries de preços e retornos notou-se que nas séries diárias
de todas as commodities não foi possivel observar um pico relevante para a análise, isto se deve as ca-
racteristicas próprias das séries e ao peŕıodo de tempo que as compõe, fato este do peŕıodo de tempo,
que pode ser facilmente entendido ser for visualizado as séries quinzenais e mensais. Nestas séries
devido a um maior agrupamento de tempo que o diário elas apresentão uma visualização mais ńıtida e
ampliada das séries temporais e do seus espectros, sendo a visualização de picos na quinzenal melhor
que na diária, e na mensal melhor que na quinzenal.
Outro fato comum nas série de preços e retornos de todas as commodities, é que os valores em
que se situaram as frequências que compõe as séries, que foi entre 0 e 0, 5, e tambem que as frequências
neste periodo não apresentaram picos significativos isolados, os picos apresentados foram sempre acom-
panhado de outros, muitas vezes com menor intensidade mas ainda próximos. A Ocorrência de fatos
comuns ás séries de preços e retornos, se devem as caracteŕısticas próprias das série que as compõe,
como por exemplo o mercado em que são comercializadas e o gênero destas commodities, mas se deve
também pela diferênciação percentual das séries de retornos em relação as séries de preços.
Algumas séries de preços e retornos quinzenais e mensais apresentaram proporcionalidade en-
tre o seu periodo de tempo e sua frequência dominante, o pico significativo da série de preço da
platina quinzenal foi de 0, 02 o da mensal ficou em 0,04, na série de retorno da platina os pico foram
de 0,06 para a quinzenal e 0,12 para a mensal. O pico siginificativo na série de retorno da prata
foi de 0, 19 quinzenal e 0, 38 mensal, outras commodities também ficaram próximas destas propor-
cionalidade, como a série de retorno do ouro que teve seu pico em 0, 26 quinzenal e 0, 49 mensal.
Devido a mensuração dos picos significativos das séries terem sido feitas visualmente tal mensuração
incorpora um certo grau de incerteza que pode ter influenciado minimamente os valores observados
das frequências dominantes. Incorporando esta incerteza na observação das frequências dominantes.
apesar disso pode-se considerar um relação matemática de proporcionalidade entre o peŕıodo de tempo
que compõe a série e o valor de sua frequência dominante.
Observando o Espectro de Fourier das commodities foi constatado um comportamento de
crescimento dos espectros de preço do ouro, prata e platina no sentido da frequência 0 fato este não
observado nos retornos. O melhor e o pior picos significativos observados foram, para a série de preço
o de 0, 04 da platina mensal o melhor, e 0,01 o pior, este observado no ouro quinzenal, mensal e na
prata mensal. Já o melhor para as séries de retornos foi de 0, 49 do ouro mensal, e o pior foi de 0,06
da platina quinzenal.
Analisando o espectro de Fourier foi posśıvel afirmar o tempo em que um componente cicĺıco
da série se repetira, esta afirmação parte do principio que a frequência dominante da série é igual ao
ciclo dividio pelo tempo, logo, temos o tempo em que uma componete cicĺıca se repetirar sendo este,
igual um ciclo sobre a frequência dominante.
Os resultados observados na densidade espectral se mostraram condizentes com os apontados
no espectro de fourier, assim corroborando nas evidências de padrões de comportamentos peŕıodicos
nas séries de preço e retornos de commodities
9 Conclusão
De acordo com os resultados obtidos na análise espectral e tendo em vista a metodologia aplicada
nesta análise, foi observado um padrão de comportamento periódico nas séries de preços e retornos
das commodities, o que leva a não aceitação da hipótese de eficiência dos mercados, considerando que
esta hipótese incorpara modelos como o random walk que consideram as séries de preços e retornos
passados como desconexos. A não aceitação da hipótese de eficiência dos mercados em termos fracos,
75
demonstra que por meio da análise de informações passadas existe a possibilidade de obtenção de
lucros acima da média do mercado.
10 Lista de figuras
Das figuras contidas no projeto as únicas que não foram elaboradas pelo autor são:
Figura 2 e 3
Fonte: Morettin/Toloi (2006)
Figura 4
Fonte: Granger/Morgenstern (1963)
76
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