Buscar

Aula 4 - Vibração Excitada Harmonicamente(1)

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 49 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 49 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 49 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Mecânica Vibratória
Vibração Excitada Harmonicamente
1
Prof. Esp. Pinheiro Filho
Mossoró – 2020.1
➢ Introdução 
– Um sistema sofre vibração forçada sempre que energia externa é 
fornecida ao sistema durante a vibração. 
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Equação do Movimento
– Visto que essa equação é não – homogênea, sua solução geral
x(t) é dada pela soma da solução homogênea, 𝑥ℎ(𝑡) com a
solução particular 𝑥𝑝(𝑡).
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Equação do Movimento
– A solução homogênea, 𝑥ℎ(𝑡), representa a solução da equação
homogênea abaixo:
– A solução homogênea, 𝑥ℎ(𝑡), representa uma vibração livre que
desaparece com o tempo, logo a solução geral reduz-se a solução
particular 𝑥𝑝(𝑡) , que representa a vibração em regime
permanente.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Equação do Movimento
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Se uma força F(t) = 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 agir sobre uma massa m de um sistema
não amortecido, temos:
– A solução Homogênea desse equação é dada por:
– E a solução particular:
– Onde X é uma constante e denota a máxima amplitude de 𝑥𝑝(𝑡).
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Substituindo uma equação na outra e resolvendo para X, temos:
– Onde 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹0/𝑘 denota a deflexão da massa sob uma força 𝐹0 ,
chamada de deflexão estática, porque 𝐹0 é uma força estática
constante.
– Assim, a solução total da equação diferencial torna-se:
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Usando as condições iniciais x(t=0) = 𝑥0 e ሶ𝑥(t=0) = ሶ𝑥0 , constatamos
que:
– A razão 𝑋/𝛿𝑠𝑡 é chamada de fator de amplificação.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Caso 1: Quando 0 < 𝑤/𝑤𝑛 < 1. Diz-se que a resposta harmônica do
sistema 𝑥𝑝(𝑡) está em fase com a força externa.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Caso 2: Quando 𝑤/𝑤𝑛 > 1. Visto que 𝑥𝑝(𝑡) e F(𝑡) têm sinais opostos,
diz-se que a resposta está defasada de 180° em relação à força externa.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Caso 3: Quando 𝑤/𝑤𝑛 = 1. A amplitude X torna-se infinita,
caracterizando uma ressonância.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Resposta Geral
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Resposta Geral
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Fenômeno do Batimento
• Se a frequência forçante for próxima, mas não exatamente igual à
frequência natural do sistema, pode ocorrer um fenômeno chamado de
batimento.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Fenômeno do Batimento
• A amplitude variável é dada por:
• O período de batimento e sua frequência são dados por:
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema não amortecido à Força 
Harmônica
– Fenômeno do Batimento
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.1: Um sistema massa-mola com m = 10 kg e k = 5000 N/m está sujeito a uma
força harmônica de amplitude de 250 N e frequência w. Se for constatado que a
amplitude máxima da massa é 100 mm, determine w.
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.2: Uma bomba alternativa com 150 lb de peso está montada no meio de uma placa
de aço de 0,5 in de espessura , 20 in de largura e 100 in de comprimento, presa por
braçadeiras ao longo de duas bordas, como mostra a figura. Durante a operação da
bomba, a placa é sujeita a uma força harmônica, F(t) = 50 Cos (62,832t) lb.
Determine a amplitude de vibração da placa.
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.3: Uma massa m está suspensa de uma mola de rigidez 4000 N/m e está sujeita a
uma força harmônica de amplitude 100 N e frequência 5 Hz. Observa-se que a
amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. Determine o valor de m.
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.4: Determine a resposta em regime permanente do sistema mostrado para
movimento rotacional em relação a articulação O para os seguintes dados. 𝐾1 = 𝐾2 =
5000
𝑁
𝑚
, 𝑎 = 0,25 𝑚, 𝑏 = 0,5 𝑚, 𝑙 = 1 𝑚;𝑀 = 50 𝑘𝑔;𝑚 = 10 𝑘𝑔; 𝐹0 =
500 𝑁 𝑒 𝜔 = 1000 𝑟𝑝𝑚.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– Se uma força F(t) = 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 agir sobre uma massa m de um sistema
amortecido, temos:
– Espera-se que a solução particular da equação também seja harmônica:
– Substituindo uma equação na outra e utilizando relações
trigonométricas, temos:
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– Utilizando parâmetros já conhecidos, obtemos:
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– As seguintes características do fator de amplificação podem ser
observadas:
1 – Para um sistema não amortecido (𝜁 = 0), M→∞, quando r = 1;
2 – Qualquer quantidade de amortecimento (𝜁 > 0) reduz M para todos os
valores de frequência forçante;
3 – Para qualquer valor especificado de r, um valor mais alto, um valor mais alto
de amortecimento reduz o valor de M;
4 – No caso de uma força constante (r = 0), o valor de M = 1;
5 – A redução de M na presença de amortecimento é muito significativa na
ressonância ou próximo da ressonância;
6 – A amplitude de vibração forçada torna-se menor com valores crescentes da
frequência forçante (M→0, quando r→∞)
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– As seguintes características do fator de amplificação podem ser
observadas:
7 – Para 0 < 𝜁 < 1/ 2, o valor máximo de M ocorre quando
8 – O valor máximo de X (quando 𝑟 = 1 − 2𝜁²) ou quando em ressonância é
dado por, respectivamente:
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– As seguintes características do ângulo de fase podem ser
observadas:
1 – Para um sistema não amortecido (𝜁 = 0), o ângulo de fase é 0 para 0 < r < 1 e
180° para r > 1;
2 – Para 𝜁 > 0 e 0 < r < 1, o ângulo de fase é dado por e 0 < ɸ < 90°, o que
implica que a resposta está atrasada em relação a excitação;
3 – Para 𝜁 > 0 e r > 1, o ângulo de fase é dado por e 90° < ɸ < 180°, o que
implica que a resposta está adiantada em relação a excitação;
4 – Para 𝜁 > 0 e r = 1, o ângulo de fase é dado por e ɸ = 90°;
5 – Para 𝜁 > 0 e valores grande de r, o ângulo de fase se aproxima de 180°, o que
implica que a resposta e a excitação estão fora de fase.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– Resposta Total
• A solução geral x(t) = 𝑥ℎ 𝑡 + 𝑥𝑝(𝑡) , assim para um sistema
Subamortecido temos:
• Para as condições inicias, quando t = 0, concluímos:
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.5: Determine a resposta total de um sistema com um grau de
liberdade com m = 10 kg, c = 20 N.s/m, k = 4000 N/m, 𝑥0= 0,01 m; ሶ𝑥0
= 0 sob as seguintes condições:
• Uma força externa F(t) = 𝐹0Cos wt age sobre o sistema com 𝐹0 =
100 N e 𝑤 = 10 rad/s;
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.6: Um automóvel com motor de quatro cilindros deve ser apoiado
sobre três suportes amortecedores, como indicado na figura. O
conjunto do bloco do motor pesa 225 kg. Se a força desbalanceada
gerada pelo motor for dada por F(t) = 900Sen (100πt) N, calcule os
três suportes amortecedores ( cada um com rigidez K e constante de
amortecimento c), de modo tal que a amplitude de vibração seja menor
que 2,5 mm.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de umsistema amortecido a Movimento 
Harmônico de Base
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento 
Harmônico de Base
– A reposta para o regime permanente da massa, será: 
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento 
Harmônico de Base
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica
– As seguintes características da Transmissibilidade de
deslocamento (Td) podem ser observadas:
1 – O valor Td é unitário em r = 0 e próximo à unidade para pequenos valores de
r;
2 – Para o sistema não amortecido (𝜁 = 0), Td→∞ em ressonância;
3 – O valor Td é menor que a unidade pra valores de r > 2( para qualquer
quantidade de amortecimento);
4 – O valor de Td = 1 para todos valores de 𝜁 em r = 2 ;
5 – Td atinge um máximo para 0 < 𝜁 < 1 à razão de frequência r = rm < 1,
dada por:
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento 
Harmônico de Base
– Força Transmitida
• Transmissibilidade da Força
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento 
Harmônico de Base
– Movimento Relativo 
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento 
Harmônico de Base
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.7: A figura mostra um modelo simples de um veículo automotor que pode vibrar
no sentido vertical quando percorre uma estrada irregular. O veículo tem 1200 kg de
massa. O sistema de suspensão tem constante elástica de 400 kN/m e fator de
amortecimento 𝜁=0,5. Se a velocidade do veículo for 20 km/h, determine a amplitude
de deslocamento do veículo. O leito da estrada apresenta variação senoidal com uma
amplitude de Y = 0,05 m e comprimento de onda de 6 m.
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.8: Uma máquina pesada, com 3000 N de peso, está apoiada sobre uma fundação
resiliente. A deflexão estática da fundação devido o peso da máquina foi determinada
como 7,5 cm. Observa-se que a maquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a
base da fundação é sujeita a oscilação harmônica na frequencia natural do sistema
com uma amplitude de 0,25 cm. Determine:
a) A constante de amortecimento da fundação;
b) A amplitude da força dinâmica na base;
c) A amplitude do deslocamento da máquina em relação a base.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento 
rotativo
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento 
rotativo
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento 
rotativo
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento 
rotativo
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento 
rotativo
1 – A amplitude próxima à ressonância é notavelmente afetada por 
amortecimento;
2 – A velocidades muito altas (ω grande) MX/me é quase igual à 
unidade, e o efeito do amortecimento é desprezível;
3 – Para 0 < 𝜁 < 1
2
, o valor máximo de MX/me ocorre quando: 
4 – Para 𝜁 > 
1
2
, MX/me não atinge um máximo. Seu valor cresce de 0 
em r = 0 a 1 em r →∞
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.9: O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis é mostrado na
figura, no qual a água escoa de A, passa pelas pás B e desce até a pista de descarga C.
O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. A folga
radial entre o rotor e o estator é 5 mm. A turbina funciona na faixa de velocidade de
600 a 6000 rpm. Podemos admitir que o eixo de aço suporta o rotor está fixado nos
mancais. Determine o diâmetro do eixo de modo que o rotor fique sempre afastado do
estator em todas as velocidades de operação da turbina. Suponha que o
amortecimento seja desprezível. Considere E = 200 GPa.
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Vibração forçada com amortecimento coulomb
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Vibração forçada com amortecimento coulomb
– Em um ciclo completo, a energia dissipada por amortecimento por 
atrito é dada por: 
– Assim a equação do regime permanente será: 
Vibração Excitada Harmonicamente
➢Vibração forçada com amortecimento coulomb
– Caso a condição não seja atendida, temos: 
Vibração Excitada Harmonicamente
Ex.10: Um sistema massa-mola com 10 kg de massa e uma mola de rigidez de 4000
N/m vibra sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito é 0,12. Quando
sujeito a uma força harmônica de frequência 2 Hz, constata-se que a massa vibra a
uma amplitude de 40 mm. Determine a amplitude da força harmônica aplicada à
massa.
Vibração Excitada Harmonicamente

Outros materiais