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Mecânica Vibratória Vibração Excitada Harmonicamente 1 Prof. Esp. Pinheiro Filho Mossoró – 2020.1 ➢ Introdução – Um sistema sofre vibração forçada sempre que energia externa é fornecida ao sistema durante a vibração. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Equação do Movimento – Visto que essa equação é não – homogênea, sua solução geral x(t) é dada pela soma da solução homogênea, 𝑥ℎ(𝑡) com a solução particular 𝑥𝑝(𝑡). Vibração Excitada Harmonicamente ➢Equação do Movimento – A solução homogênea, 𝑥ℎ(𝑡), representa a solução da equação homogênea abaixo: – A solução homogênea, 𝑥ℎ(𝑡), representa uma vibração livre que desaparece com o tempo, logo a solução geral reduz-se a solução particular 𝑥𝑝(𝑡) , que representa a vibração em regime permanente. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Equação do Movimento Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Se uma força F(t) = 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 agir sobre uma massa m de um sistema não amortecido, temos: – A solução Homogênea desse equação é dada por: – E a solução particular: – Onde X é uma constante e denota a máxima amplitude de 𝑥𝑝(𝑡). Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Substituindo uma equação na outra e resolvendo para X, temos: – Onde 𝛿𝑠𝑡 = 𝐹0/𝑘 denota a deflexão da massa sob uma força 𝐹0 , chamada de deflexão estática, porque 𝐹0 é uma força estática constante. – Assim, a solução total da equação diferencial torna-se: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Usando as condições iniciais x(t=0) = 𝑥0 e ሶ𝑥(t=0) = ሶ𝑥0 , constatamos que: – A razão 𝑋/𝛿𝑠𝑡 é chamada de fator de amplificação. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Caso 1: Quando 0 < 𝑤/𝑤𝑛 < 1. Diz-se que a resposta harmônica do sistema 𝑥𝑝(𝑡) está em fase com a força externa. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Caso 2: Quando 𝑤/𝑤𝑛 > 1. Visto que 𝑥𝑝(𝑡) e F(𝑡) têm sinais opostos, diz-se que a resposta está defasada de 180° em relação à força externa. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Caso 3: Quando 𝑤/𝑤𝑛 = 1. A amplitude X torna-se infinita, caracterizando uma ressonância. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Resposta Geral Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Resposta Geral Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Fenômeno do Batimento • Se a frequência forçante for próxima, mas não exatamente igual à frequência natural do sistema, pode ocorrer um fenômeno chamado de batimento. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Fenômeno do Batimento • A amplitude variável é dada por: • O período de batimento e sua frequência são dados por: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema não amortecido à Força Harmônica – Fenômeno do Batimento Vibração Excitada Harmonicamente Ex.1: Um sistema massa-mola com m = 10 kg e k = 5000 N/m está sujeito a uma força harmônica de amplitude de 250 N e frequência w. Se for constatado que a amplitude máxima da massa é 100 mm, determine w. Vibração Excitada Harmonicamente Ex.2: Uma bomba alternativa com 150 lb de peso está montada no meio de uma placa de aço de 0,5 in de espessura , 20 in de largura e 100 in de comprimento, presa por braçadeiras ao longo de duas bordas, como mostra a figura. Durante a operação da bomba, a placa é sujeita a uma força harmônica, F(t) = 50 Cos (62,832t) lb. Determine a amplitude de vibração da placa. Vibração Excitada Harmonicamente Ex.3: Uma massa m está suspensa de uma mola de rigidez 4000 N/m e está sujeita a uma força harmônica de amplitude 100 N e frequência 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. Determine o valor de m. Vibração Excitada Harmonicamente Ex.4: Determine a resposta em regime permanente do sistema mostrado para movimento rotacional em relação a articulação O para os seguintes dados. 𝐾1 = 𝐾2 = 5000 𝑁 𝑚 , 𝑎 = 0,25 𝑚, 𝑏 = 0,5 𝑚, 𝑙 = 1 𝑚;𝑀 = 50 𝑘𝑔;𝑚 = 10 𝑘𝑔; 𝐹0 = 500 𝑁 𝑒 𝜔 = 1000 𝑟𝑝𝑚. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – Se uma força F(t) = 𝐹0𝐶𝑜𝑠 𝑤𝑡 agir sobre uma massa m de um sistema amortecido, temos: – Espera-se que a solução particular da equação também seja harmônica: – Substituindo uma equação na outra e utilizando relações trigonométricas, temos: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – Utilizando parâmetros já conhecidos, obtemos: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – As seguintes características do fator de amplificação podem ser observadas: 1 – Para um sistema não amortecido (𝜁 = 0), M→∞, quando r = 1; 2 – Qualquer quantidade de amortecimento (𝜁 > 0) reduz M para todos os valores de frequência forçante; 3 – Para qualquer valor especificado de r, um valor mais alto, um valor mais alto de amortecimento reduz o valor de M; 4 – No caso de uma força constante (r = 0), o valor de M = 1; 5 – A redução de M na presença de amortecimento é muito significativa na ressonância ou próximo da ressonância; 6 – A amplitude de vibração forçada torna-se menor com valores crescentes da frequência forçante (M→0, quando r→∞) Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – As seguintes características do fator de amplificação podem ser observadas: 7 – Para 0 < 𝜁 < 1/ 2, o valor máximo de M ocorre quando 8 – O valor máximo de X (quando 𝑟 = 1 − 2𝜁²) ou quando em ressonância é dado por, respectivamente: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – As seguintes características do ângulo de fase podem ser observadas: 1 – Para um sistema não amortecido (𝜁 = 0), o ângulo de fase é 0 para 0 < r < 1 e 180° para r > 1; 2 – Para 𝜁 > 0 e 0 < r < 1, o ângulo de fase é dado por e 0 < ɸ < 90°, o que implica que a resposta está atrasada em relação a excitação; 3 – Para 𝜁 > 0 e r > 1, o ângulo de fase é dado por e 90° < ɸ < 180°, o que implica que a resposta está adiantada em relação a excitação; 4 – Para 𝜁 > 0 e r = 1, o ângulo de fase é dado por e ɸ = 90°; 5 – Para 𝜁 > 0 e valores grande de r, o ângulo de fase se aproxima de 180°, o que implica que a resposta e a excitação estão fora de fase. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – Resposta Total • A solução geral x(t) = 𝑥ℎ 𝑡 + 𝑥𝑝(𝑡) , assim para um sistema Subamortecido temos: • Para as condições inicias, quando t = 0, concluímos: Vibração Excitada Harmonicamente Ex.5: Determine a resposta total de um sistema com um grau de liberdade com m = 10 kg, c = 20 N.s/m, k = 4000 N/m, 𝑥0= 0,01 m; ሶ𝑥0 = 0 sob as seguintes condições: • Uma força externa F(t) = 𝐹0Cos wt age sobre o sistema com 𝐹0 = 100 N e 𝑤 = 10 rad/s; Vibração Excitada Harmonicamente Ex.6: Um automóvel com motor de quatro cilindros deve ser apoiado sobre três suportes amortecedores, como indicado na figura. O conjunto do bloco do motor pesa 225 kg. Se a força desbalanceada gerada pelo motor for dada por F(t) = 900Sen (100πt) N, calcule os três suportes amortecedores ( cada um com rigidez K e constante de amortecimento c), de modo tal que a amplitude de vibração seja menor que 2,5 mm. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de umsistema amortecido a Movimento Harmônico de Base Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento Harmônico de Base – A reposta para o regime permanente da massa, será: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento Harmônico de Base Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido à Força Harmônica – As seguintes características da Transmissibilidade de deslocamento (Td) podem ser observadas: 1 – O valor Td é unitário em r = 0 e próximo à unidade para pequenos valores de r; 2 – Para o sistema não amortecido (𝜁 = 0), Td→∞ em ressonância; 3 – O valor Td é menor que a unidade pra valores de r > 2( para qualquer quantidade de amortecimento); 4 – O valor de Td = 1 para todos valores de 𝜁 em r = 2 ; 5 – Td atinge um máximo para 0 < 𝜁 < 1 à razão de frequência r = rm < 1, dada por: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento Harmônico de Base – Força Transmitida • Transmissibilidade da Força Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento Harmônico de Base – Movimento Relativo Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido a Movimento Harmônico de Base Vibração Excitada Harmonicamente Ex.7: A figura mostra um modelo simples de um veículo automotor que pode vibrar no sentido vertical quando percorre uma estrada irregular. O veículo tem 1200 kg de massa. O sistema de suspensão tem constante elástica de 400 kN/m e fator de amortecimento 𝜁=0,5. Se a velocidade do veículo for 20 km/h, determine a amplitude de deslocamento do veículo. O leito da estrada apresenta variação senoidal com uma amplitude de Y = 0,05 m e comprimento de onda de 6 m. Vibração Excitada Harmonicamente Ex.8: Uma máquina pesada, com 3000 N de peso, está apoiada sobre uma fundação resiliente. A deflexão estática da fundação devido o peso da máquina foi determinada como 7,5 cm. Observa-se que a maquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a base da fundação é sujeita a oscilação harmônica na frequencia natural do sistema com uma amplitude de 0,25 cm. Determine: a) A constante de amortecimento da fundação; b) A amplitude da força dinâmica na base; c) A amplitude do deslocamento da máquina em relação a base. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Vibração Excitada Harmonicamente ➢Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo 1 – A amplitude próxima à ressonância é notavelmente afetada por amortecimento; 2 – A velocidades muito altas (ω grande) MX/me é quase igual à unidade, e o efeito do amortecimento é desprezível; 3 – Para 0 < 𝜁 < 1 2 , o valor máximo de MX/me ocorre quando: 4 – Para 𝜁 > 1 2 , MX/me não atinge um máximo. Seu valor cresce de 0 em r = 0 a 1 em r →∞ Vibração Excitada Harmonicamente Ex.9: O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis é mostrado na figura, no qual a água escoa de A, passa pelas pás B e desce até a pista de descarga C. O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. A folga radial entre o rotor e o estator é 5 mm. A turbina funciona na faixa de velocidade de 600 a 6000 rpm. Podemos admitir que o eixo de aço suporta o rotor está fixado nos mancais. Determine o diâmetro do eixo de modo que o rotor fique sempre afastado do estator em todas as velocidades de operação da turbina. Suponha que o amortecimento seja desprezível. Considere E = 200 GPa. Vibração Excitada Harmonicamente ➢Vibração forçada com amortecimento coulomb Vibração Excitada Harmonicamente ➢Vibração forçada com amortecimento coulomb – Em um ciclo completo, a energia dissipada por amortecimento por atrito é dada por: – Assim a equação do regime permanente será: Vibração Excitada Harmonicamente ➢Vibração forçada com amortecimento coulomb – Caso a condição não seja atendida, temos: Vibração Excitada Harmonicamente Ex.10: Um sistema massa-mola com 10 kg de massa e uma mola de rigidez de 4000 N/m vibra sobre uma superfície horizontal. O coeficiente de atrito é 0,12. Quando sujeito a uma força harmônica de frequência 2 Hz, constata-se que a massa vibra a uma amplitude de 40 mm. Determine a amplitude da força harmônica aplicada à massa. Vibração Excitada Harmonicamente
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