Empuxos de Terra

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Empuxos de Terra
Empuxos de Terra
• Empuxo de Terra é a ação produzida pelo maciço de solo sobre as obras 
com ele em contato. 
• A sua determinação é fundamental na análise de projetos como muros de 
arrimo, cortinas de estacas-prancha, construções de subsolos, encontro de 
pontes, etc.
• Para dimensionar uma estrutura é necessário conhecer a magnitude e 
direção dos empuxos.
K0 – Coeficiente de empuxo em repouso
Supondo o muro imóvel, tem se o solo
submetido a uma tensão vertical (σv) e uma
tensão horizontal (σh). A razão entre σh/ σv é o
coeficiente de empuxo em repouso.
v
hK


0
σvσh
φ
σv
σh
K0 – Coeficiente de empuxo em repouso
'sin10 K
 OCRfK ,'0 
Em solos normalmente adensados
Em solos argilosos pré-adensado
    OCRK  'sin10
α=0,5
α=sin φ’
Não utilizado para valores altos de OCR 
Ka – Coeficiente de empuxo ativo
Se o muro deslocar-se na direção oposta ao
maciço, tem se um alívio de tensões horizontais
no solo. Neste caso desenvolve-se o Empuxo
ativo (Ea).
O máximo coeficiente de empuxo ativo 
é mobilizado para pequenas 
deformações.
σvσh
φ
σv
σh
Kp – Coeficiente de empuxo passivo
Se o muro deslocar-se na direção ao maciço,
tem se elevação da tensão horizontal. Neste
caso desenvolve-se o Empuxo passivo (Ep)
Para a mobilização do empuxo passivo 
são necessárias grandes deformações.
σv σh
φ
σv
σh
q
p
Teoria de Rankine
• A teoria de Rankine permite o cálculo das tensões horizontais em um maciço de solo, 
para as condições ativa e passiva, devendo ser aplicados somente à tensões efetivas.
• Plastificação total do solo;
• Não leva em consideração atrito entre solo e muro;
• É aplicada à condições drenada e não-drenada.
• τ=c’+σ’∙tan φ’
• Estratificação de camadas
• Superfície de ruptura retilínea
• α=90º ou α≠90º β=0 ou β≠0 δ=0
Zona ativa 
de Rankine
2
'
º45'

 p
Plano de 
deslizamento
Zona passiva 
de Rankine
2
'
º45'

 p
Caso ativo Caso passivo
Zona estávelZona estável
qhchhah ,,,,
''   










2
'
º45tan
'sin1
'sin1 2 


aK
Empuxo ativo
aqh
ach
ah
Kq
Kc
KH



,
,
,
'2'
'


 
σ’haγ σ’hac’ σ’haq
+ +-
q
Coef. Empuxo ativo Empuxo ativo










2
'
º45tan
'sin1
'sin1 2 


pK
Empuxo passivo
σ’hpγ σ’hpc’ σ’hpq
+ ++
q
Coef. Empuxo passivo Empuxo passivo
a
p
K
K
1
 pqh
pch
ph
Kq
Kc
KH



,
,
,
'2'
'


 
qhchhph ,,,,
''   
Considerando-se a parcela de coesão
• Para solos coesivos, no caso ativo, haverá uma profundidade z em que as 
tensões irão se anular. Pode-se escrever:
a
aa
ach
ah
chhh
K
c
z
KcKH
Kc
KH














'2
'2
'2'
'
'''
,
,
,,,
O solo coesivo fica sujeito a tensões de tração na sua
porção superior no estado ativo.
Ocorre, porém, que o solo normalmente não resiste a
tensões de tração. Assim, abrem-se fendas na superfície
até esta profundidade. Sendo assim, não se pode contar
com estas tensões que diminuiriam o valor do empuxo
ativo resultante. Além disso, estas fendas podem estar
preenchidas com água proveniente de chuvas, o que pode
aumentar ainda mais o valor do empuxo.
A altura tomada no cálculo dos 
empuxos e das resultante de 
empuxo (E) é =H-z
qhchhah ,,,,
  
Caso não drenado:
γ = γsat
C=Su
φ=0
Ka=1
Analisa-se o problema para a pior condição, drenada ou não 
drenada, quando pertinente.
Diagramas de empuxo e resultantes
Para as pressões por peso de solo
e pressão hidrostática, tem-se um
diagrama de tensões triangular,
logo a resultante é aplicada a 1/3
de altura a partir da base do
triângulo.
σhγ
H
H/3
Ea
Para as pressões por sobrecarga e
coesão o diagrama é retangular. A
resultante é aplicada na metade da
altura do retângulo.
σhq
H
H/2
Ea
Resultantes

qaca
a
E
a
E
a
E
aa KHqKHcKHE
,',
,
'2'
2
1 2 


Empuxo ativo

qpcp
p
E
p
E
p
E
pp KHqKHcKHE
,',
,
'2'
2
1 2 


Empuxo passivo
Empuxo hidrostático
• Deve-se separar o empuxo devido à água do devido ao solo.
• Quando são construídos drenos não se leva em consideração o 
empuxo da água.
2
2
1
www HE  
N.A.











'coscoscos
'coscoscos
cos
22
22


aRK
Empuxo ativo, caso β>0

qaca
a
E
aR
E
aR
E
aRa KHqKHcKHE
,',
,
'2'
2
1 2 


σ’haγ
σ’hac’,q
β>0 Neste caso a resultante a força Ea é 
paralela a inclinação do terreno. As 
componentes de Ea na direção 
horizontal e vertical são:


sin
cos
,
,


aya
axa
EE
EE











'coscoscos
'coscoscos
cos
22
22


pRK
Empuxo passivo, caso β>0

qpcp
p
E
pR
E
pR
E
pRp KHqKHcKHE
,',
,
'2'
2
1 2 


Neste caso a resultante a força Ep é 
paralela a inclinação do terreno. As 
componentes de Ep na direção 
horizontal e vertical são:


sin
cos
,
,


pyp
pxp
EE
EEσ’haγ
σ’hac’,q
β>0
H
β>0
H0
H
β
Фa
H/3
η
+ξ
-ξ
Paξ Ppξ
 
0
coscos
cos
HH 





Empuxo ativo, caso β>0, η>0
Pa
 
 
 
 



222
2
222
2
sin'sincoscos
cos'sin2'sin1cos
sin'sincoscos
cos'sin2'sin1cos






p
pR
a
aR
K
K








2
'sin
sin
sin
2
'sin
sin
sin
1
1
















p
a
















'sin
sin
sin
2
1
22
'
º90
'sin
sin
sin
2
1
22
'
º45
1
1




p
a
2
0
2
0
'
2
1
'
2
1
HKP
HKP
pRp
aRa






Coeficientes de empuxo
























p
p
p
a
a
a






cos'sin1
sin'sin
tan
cos'sin1
sin'sin
tan
1
1
Forças de empuxo inclinadas ξ com 
a normal à face do muro
Ângulo entre a força de empuxo e a 
normal à face do muro




sincos
coscos


aay
aax
PP
PP
Teoria de Coulomb
• Admite-se que no instante da mobilização total da resistência do solo
formam-se superfícies de deslizamento ou de ruptura no interior do
maciço.
• Estas superfícies delimitariam então uma parcela do maciço que se
movimentaria em relação ao restante do solo, no sentido do
deslocamento da estrutura. Se esta parcela do solo for considerada
como um corpo rígido, o empuxo pode então ser determinado do
equilíbrio das forças atuantes sobre este corpo rígido.
• O método de Coulomb admite que tais superfícies de ruptura são
planas e o empuxo é aquele que age sobre a mais crítica das
superfícies de ruptura planas.
• Baseada no equilíbrio de forças adjacentes ao tardoz.
• Leva em conta o atrito solo-muro.
Empuxo ativo - Solos não-coesivos
'
3
2
2
'



'
4
3
 
β – inclinação da superfície
δ – ângulo de atrito solo-muro
α – inclinação da face do muro
φ – ângulo de atrito
Ea – empuxo ativo
Divergem as opiniões quanto ao valor 
a ser atribuído a δ, como visto acima, 
sabendo-se no entanto que ele não 
pode exceder ϕ; admite-se:
Müller Breslau
Terzaghi
 
 
   
   













sinsin
'sin'sin
1sinsin
sin
2
2
aK
aa KHE 
2
2
1
 O ponto de aplicação do empuxo 
está localizado a uma altura igual a 
“H/3“ da base da estrutura.
Empuxo passivo - Solos não-coesivos
Ep – empuxo passivo
A curvatura da superfície de ruptura
tem aqui maior importância que no
caso ativo e é tanto mais acentuada
quanto maior for δ em relação à ϕ, o
que torna admissível a aplicação da
teoria de Coulomb para o cálculo do
empuxo passivo, somente aos solos
não coesivos quando δ ≤ ϕ/3.
 
 
   
   













sinsin
'sin'sin
1sinsin
sin
2
2
pK
pp KHE 
2
2
1
 O ponto de aplicação do empuxo 
está localizado a uma altura iguala 
“H/3“ da base da estrutura.
As equações, para α = 90º e β = δ = 0º, transformam-se nas conhecidas
expressões de Rankine:














2
'
º45tan'
2
1
2
'
º45tan'
2
1
22
22




HE
HE
p
a