Lei de Bragg

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Lei de Bragg
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Em física do estado sólido, a Lei de Bragg está relacionada ao espalhamento de
ondas que incidem em um cristal e fornece uma explicação para os efeitos difrativos
observados nesta interação. Estes padrões são explicados relacionando os vetores de
onda do feixe incidente e espalhado em uma rede cristalina para o caso de seu
espalhamento elástico com os átomos do material.
No caso de ondas de raios X, ao atingirem um átomo, o campo elétrico da radiação
provoca uma força na nuvem eletrônica acelerando as cargas livres do material
(elétrons). O movimento dessas cargas re-irradia ondas que têm aproximadamente a
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_do_estado_s%C3%B3lido
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espalhamento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cristal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_de_onda
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_cristalina
https://pt.wikipedia.org/wiki/Colis%C3%A3o_el%C3%A1stica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Raios_X
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/Nuvem_eletr%C3%B4nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga
https://pt.wikipedia.org/wiki/El%C3%A9trons
mesma frequência, uma vez que o espalhamento não é totalmente elástico, podendo
haver interações de criação e aniquilação de fônons, porém em uma escala de energia
muito menor. Nesse modelo, as frequências da radiação incidente e espalhada são
consideradas idênticas. As ondas emergentes interferem entre si construtiva e
destrutivamente, gerando padrões de difração no espaço que podem ser medidos em
um filme ou detector. O padrão de difração resultante é a base da análise difrativa,
chamada difração de Bragg.
História
Condição de Bragg
Densidade eletrônica
Análise de Fourier
Rede recíproca
Amplitude de Espalhamento
Índice
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Colis%C3%A3o_el%C3%A1stica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aniquilamento
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B4non
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Interfer%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o
Referências
A difração de Bragg (também chamada de formulação de Bragg da difração de
raios X) foi proposta originalmente por William Lawrence Bragg e William Henry
Bragg em 1913, em resposta à descoberta de que sólidos cristalinos produziam
padrões intrigantes de reflexão de raios x (ao contrário, por exemplo, de um líquido).
Eles descobriram que esses cristais, para alguns comprimentos de onda e ângulos de
incidência específicos, produziam intensos picos de radiação refletida (conhecidos
como picos de Bragg). O conceito de difração de Bragg se aplica igualmente a
processos de difração de nêutrons e de elétrons[1]. Tanto os nêutrons quanto os raios
X possuem comprimento de onda compatível com as distâncias interatômicas - da
ordem de 150 pm - e, portanto, constituem uma excelente ferramenta para se
explorar dimensões com essa ordem de grandeza.
História
https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Lawrence_Bragg
https://pt.wikipedia.org/wiki/William_Henry_Bragg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Reflex%C3%A3o_(f%C3%ADsica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido
https://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento_de_onda
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo_de_incid%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o_de_n%C3%AAutrons
https://pt.wikipedia.org/wiki/Difra%C3%A7%C3%A3o_de_el%C3%A9trons
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%AAutron
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pic%C3%B4metro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ordem_de_grandeza
W.L. Bragg explicou esse resultado empírico
modelando o cristal como um conjunto de
planos discretos, paralelos e separados por
uma distância constante d, propondo que a
radiação incidente produziria um pico de
Bragg se as reflexões especulares de vários
planos interferissem construtivamente, ou
seja, se a diferença de fase entre as frentes de
onda refletidas por planos consecutivos fosse
de radianos.
A lei de Bragg foi derivada pelo físico Sir
William Lawrence Bragg.[2] em 1912 e
apresentada pela primeira vez em 11 de
novembro desse mesmo ano à Sociedade Filosófica de Cambridge. Embora simples, a
lei de Bragg confirmou a existência de partículas reais na escala atômica, e forneceu
uma nova e poderosa ferramenta para o estudo de cristais utilizando difração de
Representação esquemática da
estrutura cristalina do cloreto de
sódio.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Empirismo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometria)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Reflex%C3%A3o_especular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fase_(f%C3%ADsica)#Diferen%C3%A7a_de_fase
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frente_de_onda
https://pt.wikipedia.org/wiki/Radiano
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Sociedade_Filos%C3%B3fica_de_Cambridge&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Part%C3%ADculas
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cristais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sodium-chloride-3D-ionic.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cloreto_de_s%C3%B3dio
raios X e nêutrons. William Lawrence Bragg e seu pai, Sir William Henry Bragg,
foram laureados com o Prêmio Nobel de física em 1915 por seu trabalho em
determinar estruturas cristalinas, a começar pelo cloreto de sódio, o sulfeto de zinco
e o diamante. Eles são a única equipe formada por pai e filho a ganhar o prêmio
conjuntamente. W.L. Bragg tinha 25 anos de idade, o que faz dele o mais jovem
laureado pela Academia Real das Ciências da Suécia.
A periodicidade do cristal faz com que haja planos de átomos separados por uma
distância fixa nas diferentes direções do espaço. A difração de Bragg ocorre quando a
radiação eletromagnética ou ondas de matéria de comprimento de onda comparável
à distância entre dois planos de átomos é refletida especularmente por planos
consecutivos.
Nota-se que partículas em movimento, incluindo elétrons, prótons e nêutrons têm
um comprimento de onda associado de de Broglie dado por:
Condição de Bragg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%AAmio_Nobel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cloreto_de_s%C3%B3dio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sulfeto_de_zinco
https://pt.wikipedia.org/wiki/Diamante
https://pt.wikipedia.org/wiki/Academia_Real_das_Ci%C3%AAncias_da_Su%C3%A9cia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Radia%C3%A7%C3%A3o_eletromagn%C3%A9tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_de_mat%C3%A9ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%B3ton
https://pt.wikipedia.org/wiki/De_Broglie
 .
Nessa expressão, é o momento linear da partícula.
Modelo de Bragg em duas dimensões: A diferença
de caminho óptico entre os dois raios é ,
onde é a distância entre os planos considerados e 
, o ângulo de incidência.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:BraggPlaneDiffraction.svg
A próxima equação é conhecida como Lei de Bragg. Para que haja uma diferença de
fase entre dois raios igual a radianos, é necessária a condição
onde é um número natural, é o comprimento de onda da radiação incidente, é a
distância entre planos atômicos e é o ângulo de incidência em relação ao plano
considerado. Dessa maneira, existe uma dependência entre o ângulo de incidência e a
intensidade da onda refletida. Como cada plano reflete de a do total da
radiação incidente, há de a planos contribuindo para a reflexão total. Se os
raios refletidos estão fora de fase, a soma das muitas contribuições (reflexões por
planos diferentes) tenderá a zero, de maneira que podem ser observados picos
localizados nos ângulos em que a condição de Bragg é satisfeita[3].
Densidade eletrônica
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Intensidade_(f%C3%ADsica)
Para melhor compreender o comportamento da onda espalhada, pode ser tomado
como modelo um cristal perfeito, formadopor uma célula primitiva que se repete no
espaço. A descrição matemática do cristal é invariante sob uma translação espacial:
 .
Nessa expressão os são números inteiros e os vetores são os vetores associados
aos eixos do cristal, cujas magnitudes são as distâncias entre sítios (pontuais) da
rede nas direções . Todas as propriedades locais do cristal, como densidade de
momento magnético, concentração de carga ou densidade eletrônica, serão
invariantes sob uma translação da forma para qualquer combinação de [4]
 .
Análise de Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Invariante_por_transla%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Eixo_de_simetria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_magn%C3%A9tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica
Essa periodicidade permite que se faça uma expansão da densidade eletrônica 
em série de Fourier. Considerando primeiro apenas uma componente dimensional,
vem:
 .
Nessa expressão e são constantes reais e . É imediato que
 .
Um ponto é um ponto no chamado espaço recíproco do cristal. Os coeficientes
da expansão serão tais que apenas os termos que condizem com a periodicidade do
cristal no espaço real (das posições) poderão ser diferentes de zero.
É conveniente escrever a soma como uma exponencial complexa através da relação
de Euler:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_peri%C3%B3dica
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Espa%C3%A7o_rec%C3%ADproco&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Posi%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler
Com essa notação, a expansão pode ser escrita como
 .
Nessa expressão o somatório percorre todos os valores inteiros de p. O termo 
agora é, em geral, um número complexo e, portanto, é necessário impor uma
condição que faça com que seja uma função real como originalmente. A
condição
faz com que
 ,
https://pt.wikipedia.org/wiki/Somat%C3%B3rio
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_real
que é uma função real.
Estender o argumento para três dimensões é algo direto:
 .
O somatório triplo foi omitido para preservar a clareza da expressão, mas é
importante lembrar que a soma é realizada sobre todos as combinações possíveis de 
 (definido na próxima subseção). Assim, é necessário encontrar um
conjunto de vetores que satisfaçam a relação de invariância por translação .
Tendo a expressão para a expansão de Fourier para densidade eletrônica, é possível
obter os coeficientes da expansão em uma dimensão por meio de
 .
Substituindo a expressão expandida para na integral acima, vem:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
 .
O caso faz com que o valor da integral seja
 ,
pois é um inteiro e . No caso , , de maneira que o
valor da integral é e . De maneira semelhante, pode ser
invertido o caso tridimensional, obtendo
 .
Nesse caso a integração é realizada sobre uma célula primitiva e é o volume da
mesma.
Podemos construir, a partir dos vetores da base , a base da rede recíproca[5]
ou de forma condensada, utilizando o tensor ou símbolo de Levi-Civita,
Por análise vetorial simples temos
Rede recíproca
https://pt.wikipedia.org/wiki/Base_(%C3%A1lgebra_linear)
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Rede_rec%C3%ADproca&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tensor
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo_de_Levi-Civita
onde é o delta de Kronecker.
Definimos como sendo um vetor da forma 
 
 ,
onde os são números inteiros e os são a base da rede recíproca. Estamos agora
em condições de descrever a periodicidade de combinando a definição de e a
expansão em coeficientes de Fourier de :
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Kronecker
O termo à direita pode ser escrito como 
e como todos os são inteiros e a exponencial de vezes um número inteiro é
um, obtemos o resultado desejado, isto é, a invariância da densidade eletrônica, pois
 .
Definimos a amplitude de espalhamento como sendo uma função que depende da
densidade eletrônica e dos vetores de ondas incidente e refletido e , a princípio
ondas planas monocromáticas: 
 
Amplitude de Espalhamento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Onda_plana
https://pt.wikipedia.org/wiki/Luz_monocrom%C3%A1tica
 . 
 
As integrais são realizadas sobre o volume do cristal inteiro. Embora tenhamos
considerado um modelo onde o cristal é perfeito e infinito, uma amostra
macroscópica é aproximadamente infinita se comparadas as suas dimensões com as
distâncias interatômicas de uma rede cristalina, da ordem de metros[6]. O
vetor de onda incidente tem a mesma energia que o vetor difratado, conforme a
condição de espalhamento elástico considerando a rede cristalina como muito
massiva e imóvel. A condição de conservação de energia é 
 
 
 . 
 
Definimos o vetor de espalhamento como sendo 
 
 , 
 
de maneira que a expressão anterior se torna 
 
. 
 
Introduzimos agora a expansão em série de Fourier para nessa expressão para
obter 
 
 
 . 
 
Quando o vetor de espalhamento é igual a algum vetor da rede recíproca, isto é, 
 
 , 
 
a exponencial é nula e 
 
. 
 
Quando o vetor de espalhamento difere significantemente de qualquer vetor da rede
recíproca, o grande número de oscilações da exponencial devido à variação de 
dentro da integral faz com que rapidamente tenda a zero. 
Podemos reescrever a relação entre os vetores de onda e os vetores da base recíproca
utilizando a definição do vetor de espalhamento 
 
 . 
 
Pela conservação da energia, obtivemos que as magnitudes dos vetores devem ser
iguais. Portanto, tomando o produto escalar dos dois lados: 
 
 
 
Portanto, 
 
. 
 
ou ainda 
 
 . 
 
Pelas definições de rede recíproca, é possível mostrar que, se é um vetor da rede
recíproca, então também é. Isso faz com que seja possível escrever a condição
acima como 
 
 . 
 
As últimas duas equações são formulações equivalentes da condição de difração
de Bragg. O espaçamento entre planos cristalinos paralelos entre si, normais à
direção 
 
 , 
 
onde h, k, l são inteiros, é dado por 
 
 . 
 
Combinando a definição de , 
 
 
 
onde é o comprimento de onda incidente, com a definição de produto escalar e do
módulo de , temos: 
 
 , 
 
sendo o ângulo entre os vetores e . 
 
Conforme observamos acima, o vetor é normal ao plano . Logo, o vetor 
também é normal ao plano e o ângulo entre esse vetor e um vetor no plano
considerado é . O menor ângulo formado entre o vetor de onda incidente e o
plano é, por análise geométrica, igual a 
 
 
 
 
 
ou rearranjando os fatores: 
 
 . 
 
Podemos reescrever a condição
de Bragg utilizando o ângulo
entre o vetor incidente e o plano,
ao invés de considerar o ângulo
entre o vetor incidente e o vetor 
, utilizando a relação 
 
 
 
Modelo de Bragg em duas dimensões:
Relação entre os ângulos de incidência e de
espalhamento tomando como referência o
plano cristalino e a vetor para obtenção
da formulação usual da lei de Bragg. Pela
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Vectors_in_bragg%27s_law.jpg
Assim, recuperamos o resultado
obtido pela análise geométrica
simples, escrito à maneira usual
da formulação da lei de Bragg: 
 
 . 
 
Aqui, é o ângulo entre o vetor de onda e o plano cristalino descrito pelos inteiros h,
k e l. Existe uma diferença entre essa equação e a primeira equação apresentada aqui
como condição de difração, a saber, a multiplicação do lado direito da equação
por um número inteiro. Isso se dá pelo fato dos índices de Miller poderem conter um
fator comum n, que é eliminado no processode obtenção dos mesmos. Fisicamente,
isso significa que a expressão 
 
condição de reflexão especular, é possível
deduzir que o ângulo entre os vetores de
onda incidente e refletido é de 
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_Miller
 
 
dá a condição de difração de Bragg para um plano de índices de Miller .
 
1. Cowley, John M (1975). Diffraction Physics (em inglês). Amsterdam: North-
Holland. 410 páginas. ISBN 0-444-10791-6
2. Existem algumas fontes, como a Enciclopédia Acadêmica Americana, que
atribuem a descoberta a ambos, pai e filho, mas o site oficial do Prêmio Nobel e
as biografias escritas sobre ele ("Light Is a Messenger: The Life and Science of
William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 e "Great Solid State
Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López)
são contundentes ao explicitar que William Lawrence Bragg derivou sozinho a lei
3. Kittel, Charles (1996). Introduction to Solid State Physics (em inglês) 7 ed. [S.l.]:
John Wiley & Sons. p. 51. ISBN 0-471-11181-3
Referências
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-444-10791-6
https://pt.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Number
https://pt.wikipedia.org/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-471-11181-3
4. Uma dedução do modo como é aqui apresentado é utilizada em Kittel, C.
(1996)Introduction to Solid State Physics, 7ª ed., pp.30-37
5. O fator é comum em física do estado sólido pois facilita a análise de Fourier.
Em cristalografia, é comum a omissão do mesmo.
6. Kittel, C. (1996)Introduction to Solid State Physics, 7ª ed., pp.17
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