Ejercicios del curso de Estructuras

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Part I
Grupo Estructuras
* Soledad Castro Paucar
* Ayrton Ponce Oblita
* Gloria Stefani Pichihua Luna
* Christopher Sánchez Ramos
* Smit Jonatan Villafranca Romero
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4.-Sean p, q � Z+ tal que p y q son primos distintos, pruebe que:
pq−1 + qp−1 ≡ 1mod(pq)
Solución:
Como p 6= q pues son primos distintos
⇒ (p,q)=1
Aplicando el Teorema de Fermat en cada uno de los dos casos
� pq−1 ≡ 1mod(q) ....(1)
� qp−1 ≡ 1mod(p) ....(2)
Por otro lado:
� pq−1 ≡ 0mod(p) ....(3)
� qp−1 ≡ 0mod(q) ....(4)
De (1) y (4) ; (3) y (2)aplicando la proposición I.1.1-2
se tienen las siguientes relaciones:
pq−1 + qp−1 ≡ 1mod(q) ......(5)
pq−1 + qp−1 ≡ 1mod(p) ......(6)
Por lo ya mencionado al inicio
[p, q] = pq
d Proposición I.1.5 e
Si a ≡ b mod(mi), ∀i = 1, 2, ..., n
Como mi� Z+; a, b�Z
⇒ a ≡ b mod([m1,m2, ...mn])
Aplicando la proposicion ( 5) y ( 6)
pq−1 + qp−1 ≡ 1mod([p, q])
qp−1 + pq−1 ≡ 1mod(pq)�
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13.-Halle la cifra de las unidades de (17)263 y la cifra de las decenas de (7)283
a) Calculando la cifra de unidades de (17)263
Basta con probar:
(17)363 ≡ r mod(10) talque : 0 ≤ r < 10
Sabemos:
(17)2 ≡ 9mod(10) ⇒ (17)2 ≡ −1mod(10)
(172)181 ≡ (−1)181mod(10) ⇒ (17)362 ≡ −1mod(10)
17 ∗ (17)362 ≡ 17 ∗ (−1)mod(10)
(17)363 ≡ (−17)mod(10) ......(1)
Por otro lado sabemos: 17 ≡ (7)mod(10)
⇒ (-1) ∗ 17 ≡ (-1) ∗ 7mod(10)
⇒ −17 ≡ −7mod(10) ......(2)
Por la transitiviad de "≡" en (1) y (2):
17363 ≡ −7mod(10)
⇒ 17363 ≡ 3mod(10)
Por tanto la cifra de las unidades seria 3 �
3
b) Calculando la cifra de decenas de (7)283
Basta con probar:
(7)283 ≡ p mod(100) talque 0 ≤ p < 100
Sabemos:
(7)2 ≡ 49mod(100)
(7)3 ≡ 43mod(100)
(7)4 ≡ 1mod(100)
(74)70 ≡ (1)70mod(100)
(7280) ≡ 1280mod(100)
Multiplicando ambos lados por 73 :
73 ∗(7)280 ≡ 73 1mod(100)
7283 ≡ (73)mod(100) ....(1)
De nuestras primeras relaciones podemos tener
(7)3 ≡ 43mod(100) ....(2) y por transitividad de "≡" en (1) y (2):
tendriamos:
⇒ 7283 ≡ (43)mod(100)
Por tanto la cifra de las decenas seria 43 �
4
4.-Sean p, q � Z+ y p � Z+ es primo entonces pruebe que:
(a+ b)p ≡ ap + bpmod(p)
Solucion:
Como a, b � Z⇒ a+ b � Z
Aplicando el Teorema de Fermat
� ap ≡ amod(p) ....(1)
� bp ≡ bmod(p) .....(2)
� (a+ b)p ≡ (a+ b)mod(p) .....(3)
De (1) y (2) aplicando la proposición I.1.1-2
se tiene la siguiente relacion:
ap + bp ≡ (a+ b)mod(p)
Aplicando la simetria de "≡" a este ultimo resultado tendriamos la siguiente
expresion:
a+ b ≡ ap + bpmod(p) ......(4)
Por transitividad de "≡" en (3) y ( 4 ) tendríamos:
(a+ b)p ≡ ap + bpmod(p) �
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