Processos Estocásticos

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Processos Estocásticos – Roteiro de estudos
01 - Um exemplo usual de processo de contagem que aparece em muitas aplicações é o Processo de Poisson, que pode ser definido da seguinte forma: um processo de Poisson de parâmetro λ é um processo de contagem { ξ (t) } t ≥ 0 que satisfaz as seguintes condições:
(i)  ξ (0) = 0;
(ii) { ξ(t) } t ≥ 0 tem incrementos independentes e estacionários;
(iii)Para cada t, ξ(t) ∼ Poisson (λt).
A partir deste cenário, avalie as seguintes asserções:
 
I. Os incrementos de um processo de Poisson são v.a. independentes e exponencialmente distribuídas.
PORQUE
II.Uma generalização natural para esse processo consiste em considerar um processo de contagem para o qual as durações dos intervalos de tempo entre ocorrências de eventos são variáveis aleatórias i.i.d com distribuição arbitrária. 
Sobre essas asserções, assinale a opção correta. 
Escolha uma:
b.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.  
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. 
 
--> Um Processo de Contagem é um processo estocástico {ξ(t)}t≥0 tal que, para cada t, ξ(t) representa o número de chegadas (ocorrências) de eventos no intervalo de tempo [0, t]. Um exemplo usual de processo de contagem que aparece em muitas aplicações é o Processo de Poisson, que pode ser definido assim: um processo de Poisson de parâmetro λ é um processo de contagem {ξ(t)}t≥0 que satisfaz as seguintes condições: • ξ(0) = 0; • {ξ(t)}t≥0 tem incrementos independentes e estacionários; • Para cada t, ξ(t) ∼ Poisson (λt). É fácil ver que os incrementos de um processo de Poisson são v.a. independentes e exponencialmente distribuídas. Uma generalização natural para esse processo consiste em considerar um processo de contagem para o qual as durações dos intervalos de tempo entre ocorrências de eventos são variáveis aleatórias i.i.d com distribuição arbitrária. Um tal processo de contagem é dito ser um processo de renovação (ordinário).
 
Questão 2
Texto da questão
Um processo estocástico é pois um conjunto de variáveis aleatórias indexadas a uma variável temporal pertencente a um dado subconjunto real. Além disso, se a variável temporal for contínua (pertencente a um conjunto compacto), o processo estocástico é contínuo; se for discreta (pertencente a um conjunto numerável), o processo estocástico é discreto. No gráfico a seguir, apresentamos uma exemplificação deste processo. 
Para cada valor ζ i ∈ S, o conjunto de valores { X ( ζ i , t ) : t ∈ I } chama-se realização do processo ou função amostra do processo. A partir desta conceitualização e dos seus conhecimentos sobre processos estocásticos discretos e contínuos, avalie o segundo gráfico a seguir:
 
A partir da análise cuidadosa do segundo gráfico é correto afirmar que 
Escolha uma:
c. temos no gráfico três realizações do processo para ξ = 0, 0.4 e 1.5 e para t < 3.  
 Questão 3
Texto da questão
A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para um grande número de fenômenos observáveis. Por exemplo, o número de partículas emitidas durante o intervalo de tempo [0, t] por uma fonte radioativa, sujeita às hipóteses, é uma variável aleatória, com distribuição de Poisson, com parâmetro (), ou seja: (t) =  () , ,. A partir deste cenário e dos seus conhecimentos sobre a distribuição de Poisson, analise as afirmações a seguir:
 
I.A distribuição de Poisson surge como uma consequência de algumas hipóteses feitas, o que significa que sempre que tais hipóteses forem válidas (ao menos aproximadamente), a distribuição de Poisson pode ser empregada com um modelo adequado;
II. A distribuição de Poisson pode ser empregada como um recurso para modelar processos determinísticos.
III. Se  possuir uma distribuição de Poisson com parâmetro dependente de t, tal coleção (infinita) de variáveis aleatórias é também conhecida como Processo de Poisson.
Assinale a alternativa que apresenta apenas as afirmações corretas.
Escolha uma:
c. I e III. 
Questão 4
Texto da questão
Um processo estocástico pode ser classificado de diferentes maneiras, por exemplo, pelo seu espaço de estados, seu conjunto de índices ou a dependência entre as variáveis aleatórias. Uma maneira comum de classificação é a cardinalidade do espaço de tempo e do espaço de estados . Quando interpretado como tempo, se o conjunto de índices de um processo estocástico tiver um _____________ ou _____________ de elementos, então o processo estocástico é considerado de tempo discreto. Se o conjunto de índices for algum _______________________, então o tempo será contínuo. Os dois tipos de processos estocásticos são designados como processos estocásticos de tempo discreto e tempo contínuo. Os processos estocásticos de tempo discreto são considerados mais fáceis de estudar porque os processos de tempo contínuo exigem técnicas e conhecimentos matemáticos mais avançados, particularmente devido ao fato de o conjunto de índices ser _____________.
As expressões que completam corretamente as lacunas são?
Escolha uma:
d.
número finito ou contável; intervalo da linha irreal; incontável.
Questão 5
Texto da questão
Avalie a tabela e as asserções a seguir sobre o Processo de Markov:
I.Um processo Markoviano é dito uma Cadeia de Markov quando o estado é discreto, ou seja, quando as variáveis aleatórias X(t) estão definidas em um espaço de estados discreto E.
PORQUE
II.Uma Cadeia de Markov em Tempo Discreto é um Processo de Markov no qual dizemos que o espaço de estados se refere a um determinado conjunto finito ou contável e cujo índice temporal do conjunto pode ser designado por T = 0, 1, 2, ..., ou seja, as transições ocorrem em períodos de tempo.
Assinale a alternativa correta.
Escolha uma:
b. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.