Apostila O empreendedor e os cálculos financeiros 1º Semestre 2020

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Adenide Rodrigues Pereira O empreendedor e os cálculos financeiros 1º Semestre 2020
I – IDENTIFICAÇÃO
Instituição: Centro Universitário Doctum
Unidade: Teófilo Otoni – MG
Curso: Administração / Ciências Contábeis
Disciplina: O empreendedor e os cálculos financeiros
Professora: Adenide Rodrigues Pereira
Carga horária semestral: 60 h/a
Carga horária em aulas expositivas: 50
Carga horária em atividades práticas supervisionadas: 10
Carga horária semanal: 03 h/a
I. EMENTA
Capitalização Simples, Composta. Descontos. Séries de Pagamentos/Recebimentos (anuidades)
Postecipadas, Antecipadas, de mesmo valor e diversas. Taxas de Juros. Sistemas de Amortização. Operações
do Sistema Financeiro Nacional. Análise de Investimento. Uso da HP 12C e do Excel para cálculos
financeiros.
II. OBJETIVOS
Compreender o valor dinheiro no tempo.
Estabelecer preços de vendas e abatimentos sucessivos.
Simular operações de câmbio.
Compreender os conceitos envolvidos nos cálculos de juros em regime de capitalização simples e composta.
Entender os sistemas de capitalização, amortização e suas relações.
Utilizar adequadamente calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas.
IV. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
UNIDADE 1 - CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
1.1 Juros e Taxas
1.2 Divisor Fixo
1.3 Cálculos do Capital, da Taxa e do Tempo
1.4 Diagrama Fluxo de Caixa
1.5 Montante e Capital
1.6 Taxas Proporcionais
UNIDADE 2 - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
2.1 Conceituação
2.2 Taxas Equivalentes
2.3 Taxa Efetiva e Taxa Nominal
2.4 Capitalização Contínua
2.5 Cálculo do Montante de uma Aplicação
2.6 Cálculo da Aplicação Inicial
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2.7 Cálculo da Prestação
2.8 Cálculo do Capital em função da Prestação
2.9 Cálculo do Montante de uma soma de Entradas Periódicas Constantes
2.10 Cálculo da Aplicação Periódica Constante
UNIDADE 3 - DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO
3.1 Cálculos de Desconto Simples e Composto
3.2 Conceituação e Cálculos dos Valores Atual e Nominal
3.3 Desconto Simples e Composto Comercial ou Por Fora
3.4 Desconto Simples e Composto Racional ou Por Dentro
3.5 Considerações sobre Taxa de Juros e Taxa de Desconto
UNIDADE 4 - SÉRIES DE PAGAMENTOS/RECEBIMENTOS
4.1 Séries Antecipadas
4.2 Séries Postecipadas
4.3 Séries Variáveis
UNIDADE 6 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
6.1 Sistemas de Prestações Constantes ou Método Francês de Amortização (Tabela Price)
6.2 Sistemas de Amortizações Constantes ou Método Hamburguês (SAC)
6.3 Sistemas de Amortizações Crescentes ( SACRE ) Utilizado nas operações de financiamentos da CEF
UNIDADE 7 - MATEMÁTICA FINANCEIRA E O USO DA HP 12C E EXCEL
7.1 Principais funções da calculadora HP 12c
7.2 Principais funções do Microsoft Excel
V. METODOLOGIA
O trabalho será desenvolvido de forma interativa entre o professor e os acadêmicos, exigindo uma atuação
ativa destes em todos os momentos; serão utilizados como procedimentos de ensino–aprendizagem: aulas
expositivas, aulas práticas, debates, pesquisas, dinâmicas de grupo, seminários, palestras, grupos de estudo,
visitas técnicas, exercícios de aplicação; leitura de textos e artigos, etc., propiciando-se assim a vivência de
diferentes abordagens de ensino durante o período.
VI. RECURSOS DIDÁTICO-PEDAGÓGICOS
Como recursos didáticos serão utilizados textos impressos, vídeo cassete, transparências, data show, TV e
Vídeo e outros materiais que oportunamente venham a facilitar a ilustração dos conteúdos estudados.
VIII. BIBLIOGRAFIA
Bibliografia Básica:
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PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 6ª. Ed. São Paulo: Saraiva 2003.
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. 7ª. Ed. São Paulo: Atlas. 2000
FARO, Clóvis. Matemática Financeira. 1982.
Bibliografia Complementar:
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira: e suas aplicações. 8ª. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5ª. ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 2000.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª. Ed. São Paulo: Saraiva. 2003.
VERAS, Lília Ladeira. Matemática Financeira. 4ª. Ed. São Paulo: Atlas. 2001.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 3ª. Ed. São Paulo: Atlas 2002.
IX. INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO:
A avaliação do processo de ensino aprendizagem será realizada em 2 etapas, sendo:
I - trabalhos, avaliações e provas, que constituem os procedimentos pedagógicos adotados pela IES, no valor
total de 40 (trinta) pontos, correspondentes à 1ª (primeira) etapa de notas, sendo que, uma prova será
obrigatória e individual, no valor de 10 (dez) pontos;
II - trabalhos, avaliações e provas, que constituem os procedimentos pedagógicos adotados pela IES, no
valor total de 60 (sessenta) pontos, correspondentes à 2ª (segunda) etapa de notas; sendo que, uma prova
será obrigatória e individual, no valor de 20 (vinte) pontos;
As avaliações da aprendizagem deverão medir conteúdos e competências propostos e elaborados pelos
docentes na preparação de suas atividades de ensino-aprendizagem, disponibilizados no Ambiente Virtual
de Aprendizagem, não apenas o que será trabalhado na sala de aula.
Dos Critérios de Aprovação na disciplina
A frequência às atividades escolares é obrigatória em no mínimo 75% (setenta e cinco por cento), na
modalidade presencial da carga horária prevista, assim como das horas destinadas para Atividade Prática
Supervisionada – APS
O aluno que não obtiver 70 (setenta) pontos do total dos 100 pontos distribuídos se submeterá ao Exame
Especial conforme norma regimental da IES.
COMPROMISSO PEDAGÓGICO COMPARTILHADO
1. SALA DE AULA
• Limite máximo para entrada em sala de aula
Será de 20 minutos o limite máximo para entrada em sala de aula. O aluno que chegar após será
considerado faltoso.
• Ausências esporádicas e espontâneas
Não será permitida a circulação de alunos durante a aula, nem entradas e saídas que prejudicam o
desenrolar das aulas.
• Conversas paralelas: Evitar conversas paralelas durante as aulas.
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• Notebook / Celular
Não é permitido navegar na internet durante as aulas. O uso é permitido desde que utilizado para o assunto
da aula do dia, em datas determinadas pelo professor.
2. PROCESSO AVALIATIVO
PROVAS E TRABALHOS
- As provas serão realizadas em data agendada no ADX.
- As provas finais serão realizadas em data estabelecida pela Coordenação do curso e Secretaria da IES.
- A segunda chamada das provas só será aplicada, em calendário específico, mediante requerimento à
Secretaria e/ou apresentação do protocolo do mesmo. A falta às aulas no dia em que for aplicado exercício
avaliativo acarretará perda dos pontos relativos ao mesmo, exceto nos casos de Regime Especial de
Estudos.
• Folha de Controle
O aluno deverá entregar as provas realizadas mediante assinatura de protocolo para controle da professora.
• Correções
As respostas das avaliações deverão ser a caneta, caso contrário, não haverá revisão de correção de
questões por parte da professora.
• Prazo para correção, entrega e registro
Após a realização das provas, a professora terá o prazo para correção, registro das notas no ADX e entrega
das provas aos alunos, de acordo com o calendário da instituição.
• Datas de entrega de Trabalho
Os trabalhos deverão ser entregues na data agendada.
A entrega do exercício feito pelo discente após a data agendada acarretará perda da metade dos pontos e
só será aceita antes da correção e/ou devolução do mesmo pela professora. Os casos omissos serão
acordados entre a professora e o (a) discente.
• Plágios e Cópias literais
Será atribuída nota Zero aos trabalhos do discente onde forem comprovados plágios e cópias.
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CAPÍTULO I
JUROS SIMPLES E MONTANTE
1.1. Juros e Taxas
Tendo em vista que o emprestador se abstémde usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de
poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro.
Então, Juro é a remuneração dada pelo uso do capital empregado, ou pela aplicação do capital em
atividades produtivas, durante um certo período e à uma determinada taxa.
Esse intervalo de tempo usado na aplicação do capital a uma referida taxa é denominado período financeiro
ou período de capitalização.
A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período a que se refere. Essa taxa é fixada no
mercado de capitais pela variação entre as forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos.
É a razão entre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, num determinado período de tempo.
Os juros são classificados em simples e compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado. Juros
simples são aqueles calculados somente sobre o capital inicial.
O regime de capitalização simples consiste em somar os juros ao capital uma única vez, no final do prazo
contratado.
Os juros simples, pela facilidade de cálculo, são utilizados comumente em negócios entre pessoas físicas.
São utilizados também em operações comerciais como argumento de venda, pois, por esse regime, por
meio de artifícios de cálculo, as taxas de lucro poderão parecer maiores e as taxas de juros menores.
Unidade de medida
Os juros são fixados através de uma taxa percentual, que sempre se refere à uma unidade de tempo: ano,
semestre, trimestre, mês, dia, etc..
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1.2. Divisor Fixo
O juro é determinado através de um coeficiente referido a um dado intervalo de tempo. Tal coeficiente
corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquela taxa. Por exemplo,
se empregamos um capital à taxa de 12% ao ano, ao final de um ano obteremos 12% do capital.
1.3. Cálculos do Capital, da Taxa e do Tempo
Quando o regime é de juros simples, a remuneração pelo capital inicial aplicado (também chamado de
principal ou ainda, valor presente) é diretamente proporcional ao seu valor (capital) e ao tempo de
aplicação. O fator de proporcionalidade é a taxa de juros, sendo que varia linearmente ao longo do tempo
(1% ao dia é igual a 30% ao mês, que é igual a 360% ao ano, etc.).
 C – capital inicial ou principal ou valor presente (PV = PresentValue)
 j -- juro ou valor monetário da remuneração
 t – tempo de aplicação, ou seja, o número de períodos em que esteve aplicado o capital ou valor
presente (como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo comercial para os cálculos, ou seja,
30 dias no mês e 360 dias no ano).
 i -- taxa unitária de juros (forma decimal)
Logo, J = C.i.t
Exemplo:
Um capital de R$100,00 foi emprestado por 2 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor dos
juros recebidos?
J=C.i.t
1º mês = R$100,00 x 0,03 = R$3,00 (R$100,00 de capital renderá R$3,00 de juros)
2º mês = R$100,00 x 0,03 = R$3,00 (R$100,00 de capital renderá R$3,00 de juros) Total de juros nos dois
meses = R$3,00 + R$3,00 = R$ 6,00 Observe que os juros são sempre iguais; pois incidirá sempre sobre o
capital inicial.
J=C.i.t
J= R$100,00 x 0,03 x 2 = R$ 6,00
Observe que dados três valores da fórmula de juros simples ( j = C.i.t.), podemos obter o quarto valor, por
simples transformação algébrica:
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1.4. Diagrama Fluxo de Caixa
Os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Esse
fluxo é mais conhecido na prática como fluxo de caixa e é geralmente representado por um diagrama
convencional de setor.
Essa representação é muito útil para situações em que é necessário visualizar o que está ocorrendo, quando
temos entradas e saídas de capital no tempo.
Convenções empregadas:
- Reta horizontal - escala de tempo com progressão da esquerda para a direita;
- períodos de tempo - representados em intervalos contíguos, de modo que cada número representa
períodos acumulados;
- flechas - a) para baixo: saída ou aplicação de dinheiro (ou valor negativo); b) para cima -entrada ou
recebimento de dinheiro (ou valor positivo).
O diagrama anterior também pode ser representado também do seguinte modo:
j
i.t.
j
c.t.
j
c.i.
c =
j = c.i.t. i =
t =
400
0
1 2 3 5 6
1.000
500
300
4
400
 (+)
 (-)
Entradas
Saídas
500 (300) 400 400
0 1 2 3 4 5 6 (períodos)
(1.000)
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O diagrama de fluxo de caixa depende do ponto de vista. Por exemplo, admitamos que uma pessoa
empreste R$ 1.000,00 à taxa de juro simples de 12% ao ano, pelo prazo de um ano.
Para a pessoa que empresta o dinheiro o diagrama fica assim:
Já para a pessoa que toma o dinheiro emprestado, tem-se o diagrama:
1.5. Montante e Capital
Quando um investidor aplica um capital por certo tempo a determinada taxa, no final desse período de
tempo ele tem à sua disposição não só o valor inicial (valor presente ou capital) aplicado, mas também os
juros que lhe são devidos. Esse total, soma de capital e juros, é chamado montante.
O montante pode, então, ser considerado como o valor final do capital aplicado, sendo também chamado
de valor futuro (future value).
M=C+J
M=montante
C=capital
J=juro
Se:
J=C.i.t
Então: M=C+C.i.t
1.120
0
1 (anos)
1.000
1.000
1
0 (anos)
1.120
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Ou simplificando... M=C(1+i.t)
Exemplo:
Um capital de R$ 150.000,00 esteve aplicado durante um ano e rendeu R$ 49.500,00 de juros.
a) Qual o montante final?
b) A que taxa esteve aplicado?
Solução:
a) M=C(1+i.t)
M=150.000,00+49.500,00 = R$ 199.500,00
b) i= j/c
i= 49.500,00 = 0,33 ou 33% ao ano
150.000,00
1.6. Taxas Proporcionais.
Na fórmula de juros simples o prazo deve ser expresso na mesma unidade de taxa. O procedimento inverso
também pode ser adotado, ou seja, pode-se expressar a taxa na mesma unidade do prazo.
Duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as
durações dos períodos de tempo a que se referem.
Exemplo:
Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.?
Resolução:
Seja i a taxa procurada, C o capital aplicado e 1 ano o prazo:
I1.t1=i2.t2
0,01.1= i2.12
0,01=12i2
i2=12/0,01=12000
i2= 12% a.a
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1.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
JUROS SIMPLES:
1) Transforme em taxa percentual:
a) 0,009 g) 0,3
b) 21,365 h)1,2
c) 8 i)0,5
d) 2,11 j)2
e) 0,18 k)3,33
f) 0,05 l)0,005
2) Transforme em taxa unitária:
a) 6,5% g) 1%
b) 50% h) 44%
c) 13% h) 12,5%
d) 0,2% i) 100%
e) 215,5% j) 230%
f) 25% k) 5%
3) Dada a taxa 34,5% ao trimestre, determine as taxas proporcionais para:
a) Um ano
b) Um semestre
c) Um bimestre
d) Um mês
e) 17 dias
f) 2 meses e 7 dias
4) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,5% a.m. b) 2,5% a.b. c) 3,5% a.t. d) 4,5% a.q. e) 6,5% a.s.
5) Em juros simples, qual a taxa quadrimestral equivalente a 4,4% a.b.?
6) Um capital de R$ 740,00 aplicado por um ano e meio, rendeu R$ 2.264,40 de juros simples. Encontre a
taxa mensal correspondente a essa aplicação. R.: 17% a.m.
7) Tomou-se emprestada a quantia de R$ 3.250,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o
valor dos juros a serem pagos?R.: R$ 4.875,00
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8) Quantos dias, um capital de R$ 7.500,00 , aplicado a 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 14.812,50 de
juros simples? R.: 395 dias
9) Calcule os juros auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de 7 meses. R.:
817,60
10) Robson pediu a uma financeira um empréstimo de R$ 3.580,00 por 25 dias. A financeira concordou em
emprestar, desde que ele devolvesse R$4.922,50. Qual foi a taxa de juros cobrada? R.: 1,5% a.d.
11) Uma loja vende uma TV LED de 41 polegadas por R$ 7.250,00 a vista, ou em 5 parcelas mensais iguais de
R$ 1.885,00. Qual a taxa de juros mensal essa loja está cobrando? R.: 6% a.m.
12) Apliquei 1/3 do meu capital a 18% ao mês e o restante a 22,5% ao mês. Decorridos 2 anos e 5 meses
obtive R$ 8.586,90 de juros simples pelas duas aplicações. De quanto era o meu capital inicial? R.: R$
1.410,00
13) Num período de 13 meses, apliquei R$ 6.200,00 e obtive R$ 4.836,00 de juros simples. Determine a taxa
diária de juros desta aplicação. R$ 0,2% a.d.
14) Que importância deve ser aplicada durante 7 meses, à taxa de 3,5% ao mês, para se obter R$ 2.120,72
de juros? R$ 8.656,00
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15) Qual o valor do capital que, aplicado durante dois anos e cinco meses, à taxa de 1,85% ao mês, rendeu
R$ 81.869,90 de juros? R.: R$ 152.600,00
16) Calcule o juro e o montante correspondente ao capital de R$ 8.000,00 ,em regime de juro simples,
durante 1 ano e 3 meses, à taxa de 36% ao ano. R.: J = R$ 3.600,00 M= R$ 11.600,00
17) Você fez um empréstimo de R$5.000,00 a uma taxa de juro simples de 12% ao ano a ser pago em dois
anos. Qual o montante a ser pago?R.: R$6.200,00
18) Qual o valor presente de uma aplicação em juros simples, no prazo de cinco anos, taxa de juro de 14%
ao ano e valor de resgate, único, igual a R$100.000,00? R.: R$58.823,53
19) Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa de 1,8% ao mês no regime de capitalização
simples. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o
montante a ser pago no final deste período. R.: R$166.200,00
20) Um investidor faz empréstimo de R$140.000,00 à taxa de 1,95% ao mês no regime de capitalização
simples. Sabendo que a amortização será feita cinco meses após a contratação do empréstimo, qual o valor
a ser pago no final deste período? R.: R$153.650,00
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21) Se aplicarmos a quantia de R$50.000,00 pelo prazo de quatro meses, teremos como remuneração desse
capital a quantia de R$4.350,00. Qual é a taxa de juro simples ao mês dessa operação? R.: 2,18% ao mês
22) Um agente de mercado aplicou R$45.000,00 em determinado papel. Considerando que a taxa de juro
foi de 1,45% ao mês, pelo prazo de 51 dias, calcule, no regime de capitalização simples, o valor de resgate
desta operação. Admita que um mês possua 30 dias corridos.R.: R$46.109,25
23) Um agente financeiro aplicou R$85.000,00 em um período de 173 dias. Foi totalizada uma quantia de
R$15.500,00 de juro. Qual é a taxa de juro mensal desta aplicação, considerando o regime de capitalização
simples? Admita que um mês tenha 30 dias corridos. R.: 3,30% a.m.
24) Uma empresa toma empréstimo de R$80.000,00 à taxa de 14,5% ao ano no regime de capitalização
simples. Sabendo que a amortização será feita quatro meses após a contratação do empréstimo, calcule o
montante a ser pago no final deste período. R.: R$83.866,67
25) Qual a taxa de juros mensal necessária para um capital quadruplicar em um ano?R.:25% a.m.
26) Durante quanto tempo (meses e dias) deve ficar aplicado um capital a 8% ao mês para que os juros se
igualem ao capital?R.: 12 meses e 15 dias
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JUROS COMPOSTOS
2.1. Conceituação
Diz-se que um capital está colocado a Juros Compostos ou em Regime de Capitalização Composta, quando
ao término de cada período determinado, os juros produzidos são adicionados aos juros no período
seguinte e, assim, sucessivamente. Nos problemas de Juros Compostos encontramos os seguintes
elementos:
 O Capital representado por C ou P.
 A Taxa relativa a determinado período, denominada de taxa unitária (resultado da divisão da taxa
nominal por 100) e que representamos por i.
Observação Importante:
A taxa unitária deve guardar perfeita coerência com os períodos de capitalização. Assim, se o problema
disser que a capitalização dos juros é feita anualmente à taxa anual por exemplo de 12% a.a., a taxa unitária
será igual a 12/100; se a capitalização fosse semestral, representaríamos a taxa unitária por 6/100 ( 6%
por semestre ); se trimestral por 3/100 ( 3% por trimestre ) e assim por diante.
 O Tempo (referido em anos, semestres, trimestres, etc.) é representado por n.
Observação Importante:
O tempo também está diretamente ligado aos períodos de capitalização. Assim se a capitalização dos juros
é feita anualmente e o tempo é dado em somente anos, o valor de n será igual ao número de anos dado no
problema.
Se a capitalização é semestral e o tempo é dado em anos ou em anos e meses, o valor de tempo n será igual
a tantos semestres quantos os contidos no tempo dado.
Exemplo para este caso: 5 anos = 10 semestres logo, o valor de n = 10.
2.2. Taxas Equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital C, durante o mesmo intervalo de tempo,
produzem o mesmo montante.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = C(1 + i a )
Consideremos agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im .
O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = C(1 + im)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.
Portanto, C(1 + i a ) = C(1 + im)12
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhecida.
Exemplo:
Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m. ?
Ora, lembrando que 1% = 1/100 = 0,01 , vem:
1 + ia = (1 + 0,01)12 ou 1 + ia = 1,0112 = 1,1268
Portanto, ia = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68%
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Observe portanto, que no regime de juros compostos, a taxa de juros de 1% a.m. equivale à taxa anual de
12,68% a.a. e não 12% a.a., como nos juros simples.
Podemos generalizar a conclusão vista no parágrafo anterior, conforme mostrado a seguir.
Seja:
ia = taxa de juros anual
is = taxa de juros semestral
im = taxa de juros mensal
id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo
capital, produzem montantes iguais.
Não é necessário memorizar todas as fórmulas.
Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre,
poderíamos, por exemplo escrever:
1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres]
Perceberam?
Exercícios resolvidos e propostos
1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + is)2
Como 5% = 0.05, vem: 1 + ia = 1,052 \ ia = 0,1025 = 10,25%
2 - Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?
Solução:
Teremos: 1 + ia = (1 + im)12
Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:
1 + 0,20 = (1 + im)12
1,20 = (1 + im)12
Dividindo ambos os expoentes por 12, fica:
1,201/12 = 1 + im
Usando uma calculadora científica – ou HP 12C – obteremos o valor deim = 0,0153 = 1,53% a.m.
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3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? Resp: 6,17% a.a.
4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre? Resp: 2% a.m.
5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal? Resp: 34,78%
6 – Qual a taxa anual equivalente a 3% ao mês? Resp: 42,58%
7 – Qual a taxa mensal equivalente a 15% ao ano? Resp: 1,17%
8 - Em juros compostos, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,5% a.m.
b) 2,5% a.b.
c) 3,5% a.t.
d) 4,5% a.q.
e) 6,5% a.s.
2.3.Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Taxa efetiva de juros é aquela em que a unidade de tempo coincide com a unidade do período de
capitalização. Como exemplo pode-se pensar 140 % ao ano com capitalização anual, esta é uma taxa
efetiva, pois há coincidência entre as unidades de tempo da taxa e o período de capitalização. Outro
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Adenide Rodrigues Pereira O empreendedor e os cálculos financeiros 1º Semestre 2020
exemplo de taxa efetiva é 10% ao mês com capitalização mensal, que da mesma maneira é uma taxa
efetiva.
A taxa efetiva é que tem de ser utilizada na maioria dos cálculos em matemática financeira e engenharia
econômica, por isto tem de estar muito claro seu significado e a equivalência entre ela e outras maneiras de
se apresentar taxas de juros.
A taxa nominal, ao contrário da efetiva, a unidade de tempo da taxa é diferente do tempo do período de
capitalização. Como exemplo, pode-se pensar nos seguintes casos, 120% ao ano com
capitalização mensal ou 15% ao mês com capitalização anual. É preciso tomar cuidado com o uso deste tipo
de taxa em cálculos, freqüentemente ela é imprópria para o uso, e então é necessário convertê-la para uma
efetiva correspondente. Existe confusão quanto a esta taxa, e muitas vezes são usadas para mascarar
realmente qual a taxa de juros que esta envolvida no empreendimento.
2.4. Cálculo do Montante de uma Aplicação
Juros compostos são aqueles calculados sobre o montante ou valor futuro relativo ao período anterior, a
partir do segundo período financeiro. Portanto, concluímos que o montante no regime de juros compostos
é igual ao de juros simples no 1o período e maior do que no regime de juros simples, a partir do segundo
período. Dizemos então, que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros, mas
estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos.
A diferença entre os dois regimes pode ser facilmente verificada através do exemplo seguinte, pois o juro
simples é linear e o juro composto é exponencial.
Um capital de R$1.000,00 aplicados a 20% ao ano nos regimes de juros simples e compostos, por um
período de 4 anos, que juros renderão?
PV = R$ 1.000,00
n = 4 a .
i = 20% = 0,2 a .a .
a) Juros simples
J = Pv.i.n
J = 1.000 x 0,2 x 4
J = 800,00
b) Cálculo dos Juros compostos
Sabe-se que o montante é igual à soma do capital inicial (PV) aos juros que a aplicação rende, no prazo
considerado e à taxa de juros estipulada. Calculemos os juros do exemplo de juros compostos dado no
quadro do item 2.4.
Juro por período Montante Juro por período Montante
1 1.000 x 0,2=200 1.200,00 1.000 x 0,2=200 1.200,00
2 1.000 x 0,2=200 1.400,00 1.200 x 0,2=240 1.440,00
3 1.000 x 0,2=200 1.600,00 1.440 x 0,2=288 1.728,00
4 1.000 x 0,2=200 1.800,00 1.728 x 0,2=346 2.073,60
Juros simples Juros Compostos
n
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No primeiro ano:
J1 = PV1 - PV0
J1 = 1.200 – 1.000 = 200,00
No segundo ano:
J2 = PV2 - PV0
J2= 1.440 – 1.000 = 440,00
No terceiro ano:
J3= PV3 - PV0
J3= 1.728 – 1.000 = 728,00
No quarto ano:
J4= PV4 - PV0
J4= 2.073,60 – 1.000 = 1.073,60
Então,
J = PV[(1+i)n - 1]
J = 1.000[(1,2)4 - 1]
J = 1.000[2,0736 - 1]
J = 1.000[1,0736]
J = 1.073,60
A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i n a n c e i r a - U F R R J - 2 0 1 0
c) Cálculo do valor futuro ou montante: Recalculando o montante obtido no exemplo anterior:
FV1 = PV0 (1+i) = 1.000(1,2) = 1.200,00
FV2 = FV1 (1+i) = 1.200(1,2) = 1.440,00
FV3 = FV2 (1+i) = 1.440(1,2) = 1.728,00
FV4 = FV3 (1+i) = 1.728(1,2) = 2.073,60
Constata-se que o cálculo do montante pode ser feito facilmente passo a passo, desde que se utilize em
cada período o montante do período anterior.
Se,
FV1 = PV0(1+i)
FV2 = PV1(1+i) onde PV1 = FV1 então,
FV2 = PV0(1+i).(1+i) = PV0 (1+i)2
FV3 = PV0 (1+i)2.(1+i) = PV0 (1+i)3
: : : : : : :
FVn = PV0 (1+i)n
Portanto,
FVn = PV0 (1+i)n
M = C(1+i)n
1.5. Cálculo da Aplicação Inicial (Valor Presente)
Se FVn = PV (1+i)n
então, PV= FVn(1+i)-n
FÓRMULA GERAL DOS JUROS COMPOSTOS: J = C( 1 + i ) n -1
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2.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Juros compostos
1) A que taxa de juros, um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 23 meses, pelo triplo do seu
valor? Resp: 4,89% a.m.
2) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 75% do seu valor, se aplicado a 6,25% ao mês?
Resp: 9,2343 meses ou 9 meses e 7 dias
3) Determinar o montante, no final de 9 meses, resultante da aplicação de um capital de R$
99.580,00 à taxa de 4,875% ao mês. Resp: R$ 152.833,96
4) Uma pessoa empresta R$ 168.600,00 hoje para receber R$ 1.069.123,07 no final de dois anos. Calcular as
taxas mensal e anual desse empréstimo. Resp: 151,81% a.a. 8%a.m.
5) Sabendo-se que a taxa quadrimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 13,5%,
determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$42.000,00 será resgatado por R$ 69.700,00. Resp: 4
quadrimestres
6) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 63,42% ao ano, para ter R$ 2.000.000,00 no final de 15 meses? Resp:
R$ 1.082.719,79
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7) Uma indústria de calçados mantém um empréstimo de R$ 980.000,00 que será liquidado, de uma só vez,
no final de três anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 32% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse
empréstimo deverá ser quitado. Resp: R$ 5.184.055,74
8) Em que prazo uma aplicação de R$ 125.480,00 à taxa de 3,75% ao mês, gera um resgate de R$
202.497,60? Resp: 13 meses ou 1 ano e 1 mês
9) A aplicação de certo capital, à taxa de 82,425% ao ano, gerou um montante de R$ 948.500,00 no final de
1 ano e 5 meses. Calcular o valor dos juros. Resp: R$ 543.941,06
10) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 13.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse
mesmo valor, pelo mesmo prazo a juros simples de 5% ao mês?
11) No fim de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 3,8% ao mês, triplica o seu valor:
a) no regime de capitalização composta; 29,4531 meses ou 2 anos, 5 meses 13 dias
b) no regime de capitalização simples. 52,63 meses
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12) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580.000,00, à taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 213
dias? Resp: R$ 1.052.153,92
13) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 19,5% ao trimestre durante 185 dias, produziu um
montante de R$ 8.000,00? Resp: R$ 5.527,92
14) A aplicação de R$ 485.650,00 proporcionou um resgate de R$ 741.176,64 no final de 6 meses.
Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. Resp: 7,30% a.m 132,91% a.a.
15) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo o investidor poderá receber o dobro da sua
aplicação? Resp: 315 dias
16) Em quantos meses um capital quintuplica na capitalização composta à taxa de 7,5% ao mês?Resp.: 23
meses
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DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO
Todo título de crédito tem uma data de vencimento, porém o devedor pode resgatá-lo antecipadamente,
obtendo com isso um abatimento denominado desconto. Portanto, desconto é a denominação dada a um
abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes do seu vencimento.
Os títulos de créditos mais utilizados em situações financeiras são:
 nota promissória
 duplicata
 letra de câmbio
Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:
 que o devedor efetue o pagamento antes da data predeterminada;
 que o credor necessite do dinheiro antes da data predeterminada.
Em ambos os casos há um benefício que, obtido em comum acordo, recebe o nome de desconto.
Essas operações são chamadas operações de desconto e o ato de efetuá-las chama-se descontar um título.
Observa-se ainda:
 data do vencimento -- fixado no título, para o pagamento (ou recebimento) da aplicação; valor nominal ou futuro – valor indicado no título, a ser pago no dia do vencimento;
 valor atual ou presente – valor líquido pago (ou recebido) antes do vencimento;
 prazo – número de períodos compreendidos entre aquele em que se negocia o título e o do seu
vencimento.
Desconto é a quantia a ser abatida do valor futuro ou nominal, isto é, a diferença entre o valor futuro e o
valor presente.
4.1. Cálculos de Desconto Simples e Composto
Tipos de desconto simples:
- Desconto bancário, comercial ou por fora – calculado sobre o valor nominal
- Desconto Racional ou por dentro – calculado sobre o valor atual.
4.1.1. Desconto simples
4.1.1. Desconto racional (não é um desconto usado quando se está trabalhando com capitalização simples).
Chamamos de desconto racional ou por dentro ao valor obtido pela diferença entre o valor nominal e o
valor atual de um compromisso, que seja saldado n períodos antes do seu vencimento. Cálculo do desconto
racional:
FV = valor futuro ( ou montante)
PV = valor presente ou atual (ou valor descontado racional)
n = número de períodos antes do vencimento
i = taxa de desconto
dr = valor do desconto racional
4.2 Desconto Simples
4.2.1 Comercial ou Por Fora
Desconto comercial (também chamado de desconto bancário, é o mais usado em capitalização simples).
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Chamamos de desconto comercial ou “por fora” ao valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o
valor nominal ou valor futuro do compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento, a uma
taxa i, fixada.
Obs: No cálculo de desconto simples, sempre que o mesmo não for explicitado, deve-se considerar
desconto comercial.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
Vc = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
VC = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = N.d.n
N= Dc
d.n
Substituindo, vem:
VC = N(1 – d.n)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser
concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5%
a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00
Desconto bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas
administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações
financeiras.
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através
desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o
proprietário do título.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto
comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas
administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa
de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
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Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente
favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento
da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo),
destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à
disciplina do direito cambiário.
Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a
um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas
faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de R$50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado
banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a.,
cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o
valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.
O desconto comercial simples só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor
do desconto poderá ultrapassar o valor nominal do título (resultado incoerente, sem nexo).
4.3.2 Desconto por dentro ou Racional
Nas operações de desconto por dentro, os cálculos são feitos sobre o Valor Atual ou Valor Líquido.
Isto quer dizer que nas operações desse tipo o Valor Nominal registrado no título engloba o Valor Atual e os
Juros correspondentes a este valor.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
Vr = valor atual racional (valor líquido, após o desconto).
Dr = desconto racional.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
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FÓRMULAS:
Exemplo:
Qual é o desconto por dentro de R$19.200,00 a 6% a.a., em 1 ano, 1 mês e 10 dias ?
D = ?
VN = 19.200,00
i = 6% a.a.
T = 1 a, 1m, 10 d. = 360 + 30 = 10 = 400 dias
Dr=
N.d.n
1+d.n
D = 19.200,00 . 6 . 400 D = 46.080.000,00
36000 + ( 6 . 400 ) 38.400
D = 1.200,00
 O Desconto Racional Simples são os juros simples da aplicação do valor atual durante os n
períodos de aplicação.
 O Desconto Comercial Simples são os juros simples da aplicação do valor nominal durante os n
períodos de aplicação.
 Considerando-se a mesma taxa de desconto, temos que em uma antecipação o desconto
comercial simples é maior que o desconto racional simples (DC > DR).
 Considerando-se a mesma taxa de desconto, temos que em uma antecipação o valor descontado
comercial simples é menor que o valor descontado racional simples (VC < V).
N= Vr(1+d.n) N= Vr + Dr
N Vr = N - Dr
1+d.n
N Dr= N - Vr
Vr
N N.d.n
Vr 1+d.n
Dr=
Vr=
n
d= -1
n= -1
d
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4.4. Desconto Composto
Desconto, no regime de capitalização composta é como no simples, corresponde à quantia a ser abatida do
valor nominal antes do vencimento. O valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
Utilizamos o desconto composto nas operações de longo prazo onde, o desconto simples pode ter
resultados sem nexo. O desconto composto pode também ser comercial (praticamente não é usado no
Brasil) e racional (que é o desconto usado entre nós).
4.4.1. Desconto racional
Chamamos de desconto racional ou por dentro ao valor obtido pela diferença entre o valor nominal e o
valor atual de um compromisso, que seja saldado n períodos antes do seu vencimento.
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal
Valor descontado: é a diferençaentre o valor nominal e o desconto.
Neste caso, o valor nominal N é igual ao montante do valor atual racional composto Vrc para um número de
períodos n igual ao da antecipação. Ou seja, se aplicássemos o valor atual racional composto durante os n
períodos de antecipação, a juros compostos, o montante seria igual ao valor nominal.
A taxa de juros utilizada para o cálculo é chamada de taxa de desconto racional composto.
Sendo assim:
M = C (1 + i)n
N = Vrc(1 + i)n
Para calcularmos o desconto racional composto devemos fazer:
Drc= N – Vrc ou
3.4.1 Desconto comercial composto
O desconto comercial composto é pouco utilizado nas operações práticas.
Trata-se de várias aplicações sucessivas do desconto comercial simples até se chegar à época da
antecipação do pagamento do título.
Sendo assim, temos:
DCC : Desconto comercial composto
N : Valor nominal do título
VCC: Valor atual comercial composto (ou descontado)
d : Taxa de desconto comercial
A fórmula para calcular o valor atual para o desconto comercial composto é a seguinte:
Vcc = N (1 –d)n
E o desconto comercial composto será dado por:
Dcc = N – Vcc ou Dcc = N [1 – (1 – d)n]
O Valor nominal pode ser encontrado pela fórmula:
 N
(1 + i)n
Vrc =
1
(1+i)n
N[1- ]Drc =
 VCC
(1-d)n
N =
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4.5. Considerações sobre Taxa de Juros e Taxa de Desconto.
Vimos anteriormente como calcular a taxa de juros data a taxa de desconto e vice-versa.
Vejamos como podemos estabelecer a relação entre ambas:
Suponhamos que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e
seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e i). Sendo N o valor
nominal do título e D o desconto, o fluxo de caixa da operação de desconto, do ponto de vista do banco, é
dado da seguinte forma:
Fórmula:
Por meio desta relação, pode-se achar o valor de i dado o valor de d e vice-versa.
Exemplo:
Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de 3 meses,
qual a taxa mensal de juros simples da operação?
Temos: d = 4% e n = 3
Portanto:
4.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4.6.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
1) Determine o desconto comercial de uma promissória de R$ 9.000,00 à taxa de 2% a.m., resgatada dois
meses antes do vencimento. R$ 360,00
2) Uma promissória de R$ 20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma
taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.
a) Qual o desconto comercial? R.: R$ 1.080,00
N
0 n
N-D
d
1 - d.n
i =
d
1 - d.n
i =
0,04
1 - (0,04).3
i = = 0,0455 = 4,55%
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b) Qual o valor atual comercial do título? R$ 18.920,00
c) Qual a taxa efetiva de juros no período? 5,71%
d) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? 1,90% a.m.
3) Ao pagar um título de R$ 4.900,00 com antecipação de 110 dias, recebo um desconto de R$ 725,00. Qual
é a taxa anual de desconto? 48,42% a.a.
4) O valor atual de um título de R$ 9.650,00 é R$ 8.320,00. Sabendo-se que a taxa bancária de desconto é
de 2,9% ao mês, qual o tempo de antecipação? 4,75 meses
5) Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 12.000,00 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que
ela recebeu um valor líquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação.
1,56% a.m.
6) Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada num banco, proporcionando um valor descontado (valor
líquido) de R$ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o
prazo de vencimento deste título. 2 meses e 25 dias
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7) Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é
de 3% a.m., pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
R: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00
8) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a .a.,
mais IOF de 1,5% a.a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade,
o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor
nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de
juros da operação. R: 6,06% a.m.
4.6.2 DESCONTO RACIONAL SIMPLES
1) Marta descontou um Título no valor de $ 15.000,00, 1 mês e 15 dias antes do vencimento, considerando
que a taxa cobrada foi de 4,5% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 948,48
2) Desconta-se racionalmente uma Nota Promissória 9 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5,8%
a.m. Sabendo que o valor descontado foi $ 5.250,00, qual era o valor nominal dessa Nota Promissória? R: N
= $ 7.990,50
3) Uma Nota Promissória com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes do vencimento, a
uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = R$ 2.678,57
4) Paulo, ao resgatar um Título com valor nominal de $ 50.000,00 sob o critério de desconto racional
simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a operação foi efetuada com base em
uma taxa de 23% a.a., calcule o período de antecipação. R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias
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5) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 dias, se for
descontada sob o critério de desconto racional simples, a uma taxa de 3% a.m.? R: Vr = R$ 54.716,98
6) Por um Título com valor nominal de $ 1.200,00, com vencimento para 16 de outubro, Manuel obteve o
valor de $ 1.110,00, em 1º de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional simples
utilizada pelo banco?R: d = 5,29% a.m.
7) Uma Nota Promissória foi descontada 1 ano antes do vencimento, a uma taxa de 20% ao ano. Usando o
desconto racional simples e sabendo-se que valor atual foi de $ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal?
R: N = R$ 36.000,00
8) Uma dívida de $ 10.000,00 será saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual será o valor do desconto
racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.? R: Dr = R$ 2.424,24
9) Quanto devo pagar por um Título com valor nominal de $ 10.000,00, com vencimento para daqui a 60
dias, se desejo ter uma taxa de retorno de 24% ao ano? (desconto racional simples) R: Vr = R$ 9.615,38
10) Antecipando 3 meses um Título com valor nominal de $ 600,00, obtenho um desconto de $ 41,86. Qual
é a taxa de desconto racional simples mensal dessa operação? R: d = 2,5 % a.m.
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4.6.3 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
1) Determine o valor atual comercial de um título de R$ 12.500,00, saldado 9 meses antes do vencimento, à
taxa de desconto composto de 2,7% ao mês. Resp: Vcc= R$ 9.770,69
2) Qual é o desconto comercial composto que um título de R$ 9.850,00 sofre ao ser descontado, 8 meses
antes do seu vencimento, à taxa de 3,75% ao mês?
Resp: Dcc= R$ 2.594,92
3) Ao descontar uma Nota Promissória no valor de R$ 15.000,00 no vencimento, a financeira informou que
sua taxa era de 45% ao ano. Se o desconto fosse efetuado 5 meses antes do vencimento, qual seria o valor
líquido (valor do resgate) recebido pelo possuidor do título?
Resp: Vcc = R$ 12.788,32
4) Calcular o valor atual comercial de um título de R$ 20.000,00, descontado um ano antes do vencimento à
taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre.
Resp: Vcc = R$16.290,13
5) Qual o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por R$ 12.390,15, à
taxa de desconto comercial composto de 5% ao trimestre?
Resp: N = R$ 15.211,97
6) Calcular a taxa de desconto bancário composto de um título de R$ 25.000,00, descontado 4 meses antes
do vencimento, recebendo líquido o valor de R$ 19.360,15.Resp: d=6,6% a.m.
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7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador de um título recebeu R$ 36.954,00 como
valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046,00, qual foi a taxa de
juro mensal adotada?Resp: d=1,96% a.m.
8) Em um título no valor de R$ 11.000,00 o desconto comercial sofrido foi de R$ 1.005,60. Se a taxa de juros
de mercado for de 2,5% ao mês, qual será o prazo de antecipação? Resp: 3,79 meses
4.6.3 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
1) Um título no valor de R$ 29.500,00 foi saldado 2 meses antes do seu vencimento. O possuidor do título
obteve uma taxa de desconto composto de 1,8% ao mês. Qual foi o desconto racional e qual a quantia
recebida? Resp: Drc= R$ 1.032,50 Vrc=R$ 28.467,50
2) Um título de valor nominal de R$ 48.860,00 foi resgatado 8 meses antes do seu vencimento, tendo sido
contratada a taxa de 2,45% ao mês. Qual foi o desconto racional concedido? Resp: Drc= R$ 8.602,93 ou
pela HP: R$ 8.601,48
3) Pedro receberia R$ 60.000,00 como parte de sua herança. Contudo, necessitando do dinheiro 5 meses
antes da data do recebimento, propõe a um amigo a venda dos seus direitos por R$ 56.954,02. Que taxa de
juros anual Pedro pagou? Resp: d=13,32% a.a.
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4) Numa antecipação de 7 meses, o desconto racional composto foi de R$4.718,94. Qual é o valor nominal
do título, uma vez que a taxa de juro anual é de 42%? Resp: N=25.466,49
5) Ao descontar uma nota promissória no valor de R$ 16.960,00 no vencimento, a financeira informou que
sua taxa era de 44% ao ano, em regime de juro composto. Se o desconto fosse efetuado 5 meses antes do
vencimento, qual seria o valor líquido recebido pelo possuidor do título? Resp: Vrc= R$ 14.566,69
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CAPÍTULO 5
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Segundo o Dicionário Aurélio, amortizar significa "extinguir a dívida aos poucos ou em prestações", ou,
"abater dívidas, efetuando o pagamento correspondente".
A própria raiz do termo amortização, vem de a+morte+izar, ou seja, fazer "morrer" determinada obrigação,
ou dívida. Sempre que pagamos determinada dívida, estamos, portanto, saldando-a, quitando-a, ou
amortizando-a.
Na literatura especializada, há diversos métodos de quitação de dívidas, ou seja, de sistemas de
amortização. Uns mais simples, outros um pouco mais complexos, mas nota-se que o objetivo de todos é o
pagamento do principal, isto é, de um determinado valor contraído em empréstimo ou financiamento.
A amortização é um processo financeiro, pelo qual uma dívida, ou obrigação, é paga progressivamente, por
meio de parcelas de modo que o débito seja liquidado até o término do prazo estipulado. Essas parcelas, ou
prestações, são a soma das duas partes: a amortização ou a devolução do principal emprestado, e os juros
correspondentes aos saldos do empréstimo, ainda não amortizados.
Planos de Pagamentos:
O reembolso de um empréstimo ou financiamento consiste no pagamento de prestações em datas
determinadas. Estas prestações são compostas de duas partes: Amortização e Juros.
AMORTIZAÇÃO: é a parte da prestação que está abatendo o valor inicial do empréstimo sem o cômputo do
juro, ou seja, é a devolução do principal.
JUROS: é a parte da prestação que remunera o “dono do dinheiro” pelo empréstimo, ou seja, é o que se
cobra pelo “aluguel” do dinheiro.
PRESTAÇÃO (R) = AMORTIZAÇÃO (A) + JUROS (J)
5.1. Sistemas de Prestações Constantes ou Método Francês de Amortização ( Tabela Price );
No sistema PRICE as prestações são constantes, e calculadas segundo uma série uniforme de pagamentos. O
valor amortizado é crescente ao longo do tempo, ao contrário dos juros, que decrescem proporcionalmente
ao saldo devedor. Normalmente este sistema é utilizado para financiamentos de carros, eletrodomésticos,
empréstimos bancários de curto prazo, etc...
Supondo-se o empréstimo PV, feito à taxa i para ser pago em n prestações, pelo sistema PRICE. As
prestações são calculadas como se fossem os termos PMT de uma renda imediata cujo valor presente é PV.
PMT = PV
1-(1+i)-n
i
Como o sistema PRICE prevê pagamento da dívida de forma parcelada, é conveniente para o devedor e para
o credor que se elabore um demonstrativo que exponha o estado da dívida em cada período do prazo
estipulado, como o modelo abaixo:
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N (período) Pagamento (PMT) Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - SDo=PV
1 PMT J1 A1 SD1
2 PMT J2 A2 SD2
. PMT . . .
. PMT . . .
n PMT Jn An SDn=0
Exemplo: Qual será a prestação de um empréstimo de R$ 200.000,00, que será pago pela Tabela Price, com
uma taxa de juros de 10% a.m. a ser liquidada em 4 meses?
Solução:
Na HP 12C:
200000 (CHS) (PV)
10 (i)
4 (n)
(PMT)
O resultado será: PMT: 63.094,16
Tabela do sistema Price
5.1.1 TABELA PRICE SEM CARÊNCIA:
Exemplo: Uma empresa pede ao Banco Alfa um empréstimo de R$1.000,00 que deve ser pago em 4
parcelas mensais e iguais no valor de R$371,74. A taxa de juros contratada é de 18% a.m., vencendo a
primeira um mês após o recebimento. Monte a planilha de reembolso.
PV 200.000
1-(1+I)-n 1-(1,1)-4
i 0,1
PMT = PMT = = 63.094,16
Mês PMT Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 200.000,00
1 63.094,16 20.000,00 43.094,16 156.905,84
2 63.094,16 15.690,58 47.403,58 109.502,26
3 63.094,16 10.950,23 52.143,93 57.358,33
4 63.094,16 5.735,83 57.358,33 -
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5.1.2 TABELA PRICE COM PAGAMENTO DE JUROS NA CARÊNCIA:
Exemplo: Uma empresa pede ao Banco Alfa um empréstimo de R$50.000,00. A taxa de juros contratada é
de 15% a.a. e o prazo para devolução é de 6 anos, em 4 parcelas iguais, vencendo a primeira após três anos
do recebimento. Os juros devem ser pagos durante o período de carência. Monte a planilha de reembolso
deste empréstimo.
5.2. Sistemas de Amortizações Constantes ou Método Hamburguês ( SAC );
No sistema SAC, verificamos um comportamento constante no valor das amortizações, e decrescente no
valor das prestações, assim como nos juros. O sistema SAC é relativamente prático, e não necessita do uso
de calculadoras financeiras para sua implementação: basta dividirmos o saldo devedor inicial pelo número
de prestações para, a partir daí, montarmos a planilha. O SAC é amplamente utilizado para financiamentos
bancários de longo prazo de imóveis, especialmente os da Caixa Federal.
Fórmulas:
Utilizando o exemplo acima:
Valor do financiamento: R$ 200.000,00
Período: 4 meses
Taxa de juros efetiva: 10% a.m.
Período Saldo
Devedor
Amortização Juros Prestação
0 1.000,00
1 808,26 191,74 180,00 371,74
2 582,01 226,25 145,49 371,74
3 315,03 266,98 104,76 371,74
4 - 315,03 56,71 371,74
TOTAIS 1.000,00 486,96 1.486,96
Período Saldo
Devedor
Amortização Juros Prestação
0 50.000,00 0 0 0
1 50.000,00 0 7.500,00 7.500,00
2 50.000,00 0 7.500,00 7.500,00
3 39.986,73 10.013,27 7.500,00 17.513,27
4 28.471,47 11.515,26 5.998,01 17.513,27
5 15.228,92 13.242,55 4.270,72 17.513,27
6 0 15.228,92 2.284,34 17.513,27
TOTAIS 50.000,00 35.053,07 85.053,08
PV
n
AMORT + J
SD =
J = SD.i.n
PV - AMORTAMORT =
PMT =
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Cálculo de amortização: 200.000,00 = 50.000,00
4
Tabela do Sistema SAC
5.2.1 SAC SEM CARÊNCIA
Exemplo: Uma empresa pede ao Banco Alfa um empréstimo de R$100.000,00 pelo SAC. A taxa de juros
contratada é de 20% a.a. e o prazo para devolução é de 4 anos, em 4 parcelas,vencendo-se a primeira um
ano após o vencimento. Monte a planilha de reembolso deste empréstimo.
5.2.2 SAC COM PAGAMENTO DE JUROS NA CARÊNCIA
Exemplo: Uma empresa pede ao Banco Alfa um empréstimo de R$50.000,00 pelo SAC. A taxa de juros
contratada é de 15% a.a. e o prazo para devolução é de 6 anos, em 4 parcelas, vencendo-se a primeira após
três anos do recebimento. Monte a planilha de reembolso.
5.4. Sistema de Amortização Misto
Mês Amortização Juros Prestação Saldo devedor
0 50.000,00 - - 200.000,00
1 50.000,00 20.000,00 70.000,00 150.000,00
2 50.000,00 15.000,00 65.000,00 100.000,00
3 50.000,00 10.000,00 60.000,00 50.000,00
4 50.000,00 5.000,00 55.000,00 -
Períodos Saldo
Devedor
Amortizações Juros Prestações
0 100.000,00 0 0 0
1 75.000,00 25.000,00 20.000,00 45.000,00
2 50.000,00 25.000,00 15.000,00 40.000,00
3 25.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00
4 - 25.000,00 5.000,00 30.000,00
TOTAIS 100.000,00 50.000,00 150.000,00
Períodos SaldoDevedor Amortizações Juros Prestações
0 50.000,00 0 0 0
1 50.000,00 - 7.500,00 7.500,00
2 50.000,00 - 7.500,00 7.500,00
3 37.500,00 12.500,00 7.500,00 20.000,00
4 25.000,00 12.500,00 5.625,00 18.125,00
5 12.500,00 12.500,00 3.750,00 16.250,00
6 - 12.500,00 1.875,00 14.375,00
TOTAIS 50.000,00 33.750,00 87.750,00
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No sistema de amortização misto as prestações são as médias aritméticas das prestações do sistema de
amortização constante com o sistema francês. Os juros é a multiplicação do saldo devedor com a taxa de
desconto e a amortização é a subtração das prestações com os juros.
Exemplo
5.5. Sistema de Amortização Americano
No SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO o devedor obriga-se a devolver o principal em uma só parcela,
no final do prazo concedido. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos
juntamente com o capital.
Neste Sistema, todo o prazo do empréstimo é considerado como carência e a amortização, portanto, é feita
no último pagamento.
A forma de pagamento dos juros define as duas modalidades do Sistema Americano.
5.5.1 Sistema Americano com pagamento de juros na carência
Exemplo: Uma empresa pede ao Banco Alfa um empréstimo de R$40.000,00. A taxa de juros contratada é
de 7% a.m. e o prazo para devolução é de 6 meses, em uma parcela única no final do prazo. Os juros devem
ser pagos durante o prazo de carência. Veja a planilha de reembolso deste empréstimo.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 40.000,00 0,00 0,00 0,00
1 40.000,00 0,00 2.800,00 2.800,00
2 40.000,00 0,00 2.800,00 2.800,00
3 40.000,00 0,00 2.800,00 2.800,00
4 40.000,00 0,00 2.800,00 2.800,00
5 40.000,00 0,00 2.800,00 2.800,00
6 0,00 40.000,00 2.800,00 42.800,00
TOTAIS 40.000,00 16.800,00 56.800,00
 A B C = ( A + B ) : 2
Sistema Francês SAC SAM
0 0 0 0
1 38.628,91 45.000,00 41.814,46
2 38.628,91 40.000,00 39.314,46
3 38.628,91 35.000,00 36.814,46
4 38.628,91 30.000,00 34.314,46
TOTAIS 154.515,64 150.000,00 152.257,84
Períodos
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5.5.2 Sistema americano sem pagamento de juros na carência
Uma empresa pede ao Banco Alfa um empréstimo de R$40.000,00. A taxa de juros contratada é de 7% a.m.
e o prazo para devolução é de 6 meses, em uma parcela única no final do prazo incluindo o principal e os
juros de todo o período. Monte a planilha de reembolso.
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 40.000,00 0,00 0,00 0,00
1 42.800,00 0,00 2.800,00 0,00
2 45.796,00 0,00 2.996,00 0,00
3 49.001,72 0,00 3.205,72 0,00
4 52.431,84 0,00 3.420,12 0,00
5 56.102.07 0,00 3.670,23 0,00
6 0,00 40.000,00 3.927,14 60.029,21
TOTAIS 40.000,00 20.029,21 60.029,21
5.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Amortizações.
1) Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago em 4 amortizações constantes anuais, sem carência. A
taxa de juros contratada é de 8 % ao ano. Construir a planilha de financiamento.
2) O Banco L & S emprestou R$ 240.000,00 pagos no ato, à taxa de 9% ao ano. O prazo total para a
amortização do financiamento é de 3 anos e meio, incluindo-se 1 ano de carência. O pagamento de juros e
das amortizações constantes deve ser semestral. Construir a planilha.
3) Uma empresa recebe um financiamento de R$ 300.000,00 para ser pago em 6 prestações anuais, com 2
anos de carência, pelo Sistema Francês. Construir a planilha, considerando-se a taxa de juros de 20% ao ano.
4) Usar o exemplo 3 , com juros capitalizados e incorporados ao principal, para seremamortizados nas
prestações.
5) Calcular as prestações mensais necessárias para quitar um empréstimo de R$ 20.000,00 dentro de 5
meses, à taxa de 2% a.m. Montar a planilha do financiamento nos sistemas Price e SAC.