Introdução de Análise combinatória

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A N Á L I S E 
C O M B I N A T Ó R I A
Introdução
1 ) PR INCÍP IO
FUNDAMENTAL
DA CONTAGEM
Princípio Multiplicativo 
Princípio Aditivo 
Fatorial
Princípio
Multiplicativo
Princípio 
Aditivo
1) SEMPRE QUE PUDERMOS
FAZER A “E” B, É O PRINCÍPIO
MULTIPLICATIVO.
2) QUANDO TEM VARIÁS
POSSIBILIDADES , MAS
POSSO
USAR ELAS EM CONJUNTO EX:
CALÇA E Blusa.
1) SEMPRE QUE PUDERMOS
FAZER A “OU” B, É O PRINCÍPIO
ADITIVO.
2) UM EXEMPLO DESSA
MANEIRA
DE RESOLUÇÃO É QUANDO SÓ
POSSO USAR UM “OU” OUTRO.
EX: DISPONDO DE 3 SAPATOS E
4 TÊNIS, DE QUANTAS
MANEIRAS POSSO ME VESTIR?
EX: TENHO 2 BLUSAR E 3 CALÇAS,
DE QUANTAS MANEIRAS POSSO
ME VESTIR 
# DICA 
- Eu sempre faço as questões de análise
combinatória pelo método de traços.
 _____.____.____.____=
- Analisar todas as opções com CALMA! 
Primeiro Exemplo
Quantos são os números de três algarismos
distintos ?
- Primeira coisa para se analisar, a quantidade de traços que eu
vou precisar colocar
- Segunda coisa para se analisar, já que o primeiro algarismo tem
uma restrição, devemos começar por ele.
- E assim seguimos para o 2,3, e 4 traços
Resolução do Primeiro Exemplo
- Já que temos quatro algarismos, teremos 4 traços.
 ___.___.___.___=____
- Como o primeiro algarismo não pode ser zero ( pois se incluirmos o zero na
primeira opção termos um número de três algarismos), o primeiro só pode
ser 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ( 9 opções).
 9 .___.___.___=____
- Como na segunda opção o zero agora pode ser incluso, teríamos 10
possibilidades, mas como uma já foi utilizada, e queremos algarimos
DISTINTOS, só temos 9 possibilidades.
 9 . 9 . . =____
- No terceiro traço, resta apenas 8 possibilidades, já que entre os 10
algarismos já utilizamos dois.
 9 . 9 . 8 . =____
- No quarto traço, resta apenas 7 possibilidades, já que entre os 10
algarismos já utilizamos três.
 9 . 9 . 8 . 7 = 4.536.
Como podemos usar fazer associação com o diagrama da árvore, o princípio
é multiplicativo.
Segundo Exemplo
Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos
resultados existem para o 1°,2° e 3° lugar ?
Uma outra maneira de resolver
- Cada resultado é um tripla ordenada (a, b e c) onde a representa o atleta
que chegou em primeiro lugar, b o atleta que chegou em segundo lugar, e c
o que chegou em terceiro.
- Agora pensa no seu conjunto, a pode ser igual a b ? b pode ser igual a c ?
Não pois não tem como alguém estar em primeiro e segundo lugar.
Logo, o número de soluções é 4 . 3 . 2 = 24
VALENDO...
Questão 1 - Suponha que um usuário queria dificultar o acesso ao
seu celular criando um código a partir dos nove pontos que
aparece na tela inicial do seu aparelho. Para isso preciso montar
uma sequência de 3 traços com exatamente 3 pontos Alinhados
em cada um, que não tenham dois pontos em comum, além
disso, ao representar o código na tela inicial o usuário não pode
tirar o dedo da tela do primeiro ao último ponto.
O número de códigos possíveis que esse usuário pode criar é:
a) 16.
b) 24.
c) 32.
d) 48.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
O primeiro traço tem que conter exatamente 3
pontos, ele pode sair de qualquer bolinha, e de
várias formas: diagonal, horizontal e vertical.
Supondo que ele saiu do 3, ele pode fazer
3-5-7 / 3-6-9 / 3-2-1... então temos 3 opções.
Só que se começar do 1, 7 ou 9 também
teremos essas 3 opções, ("as quinas")
Se começar do 2 ou 8 como o traço tem que
conter 3 bolinhas, só poderia ser 2-5-8 ou 8-5-2
Não, pode começar do 5, pois não tem como o
traço ter 3 bolinhas.
 Se o primeiro traço for 2-5-8 ou 852, não teria como o segundo traço ter
três bolinhas, ou seja, não podemos começar do 2 ou do 8.
(Calma, ta acabando) Sendo assim só podemos começar das quinas e cada
quina pode ter 3 jeitos (oi? sim vertical, horizontal e diagonal)
Então se são 4 quinas e cada uma tem três formas, para o primeiro traço
temos 12 formas de começar.
Agora, vamos para o segundo traço, se eu escolhi 3-2-1, depois para fazer o
segundo traço eu posso ir para o 1-4-7 ou 1-5-9, ou seja, ele tem duas
possibilidades de caminhos, para fazer o segundo traço
Se ele começar no 9-6-3, ele tbm tem dois caminhos para o segundo traço,
 3-2-1 ou 3-5-6.
 Resumindo... Depois das 12 possibilidades para o primeiro traço para cada
uma dessas 12 possibilidades teremos duas opções para o segundo e
fazendo a mesma analogia, teremos mais duas opções para o terceiro traço
Exemplo: primeiro traço 3-2-1, segundo 1-4-7, ai poderiamos ter no terceiro
7-8-9 ou 7-5-3.
OU seja, fazendo os traços. 
 12 . 2 . 2 = 48.