definição de teorema do bem composto

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CAPÍTULO 6. TÓPICOS EM TEORIA DO CONSUMIDOR 81
6.3.1 O Teorema do Bem Composto
A idéia do teorema do bem composto é bastante simples e remonta a Hicks (1936).
Se um grupo de preços se move conjuntamente, o grupo de bens a que esses preços
se referem pode ser tratado como um único bem composto.
Suponha que os preços possam ser particionados em dois grupos p ≡ (p1,p2) tais
que o grupo p2 sempre se mova de forma conjunta, ou seja, p2 = θp
0
2, onde θ é um
escalar, e p02 é um ’valor inicial’ para o vetor de preços.
Note que a função despesa é
E (p1,p2, u) = E
(
p1, θp
0
2, u
)
.
Como, p02 é fixo, pode ser considerado um parâmetro de E (·) (não mais um argu-
mento) de tal forma que podemos definir uma nova função despesa
Ê (p1, θ, u) ≡ E
(
p1, θp
0
2, u
)
.
Podemos mostrar que Ê (·) é uma função despesa com todas as propriedades usuais:
crescente, côncava e homogênea de grau 1 em (p1, θ) , crescente e ilimitada em u.
Além disso,
∂θÊ (p1, θ, u) =
∑
pi∈p2
∂iE
(
p1, θp
0
2, u
)
p0i =
∑
pi∈p2
χi
(
p1, θp
0
2, u
)
p0i
que é o nosso equivalente ao lema de Shephard.
Um dos principais usos práticos desse resultado ocorre em escolhas intertempo-
rais ou escolha envolvendo risco, se pudermos supor que as pessoas não antevêem
mudanças de preços relativos.
Em geral, não temos tanta sorte de contar com esse tipo de movimento de preços,
então vamos considerar restrições nas preferências: separabilidade propriamente dita.