Cálculo Diferencial e Integral II

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2019
2a Edição
CálCulo DiferenCial
e integral ii
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
H811c
 Horbach, Jaqueline Luiza
 Cálculo diferencial e integral II. / Jaqueline Luiza Horbach; Leonardo 
Garcia dos Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2019.
 209 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0295-2
 1. Cálculo diferencial. – Brasil. 2. Cálculo integral. – Brasil. I. Santos, 
Leonardo Garcia dos. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.
CDD 517.1
III
apresentação
Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Cálculo Diferencial 
e Integral II. Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, vimos que 
a necessidade de calcular as taxas de variação de uma função (de forma 
instantânea) levou os “criadores” do cálculo a se interessarem pelo estudo 
dos coeficientes angulares de retas tangentes a uma função dada, ou seja, 
a derivada da função, a esse estudo foi atribuído o nome de “Cálculo 
Diferencial”. Mas é óbvio que as derivadas só contam a metade da história 
do Cálculo Diferencial e Integral.
Além de calcular como as funções estão variando, os “criadores” do 
cálculo diferencial precisavam determinar (ou descrever) como as variações 
instantâneas de uma função poderiam “acumular” ao longo do tempo para desta 
forma modelar a função descritiva, ou seja, conhecendo como uma grandeza 
física “variou”, era possível descrever o comportamento da grandeza em si. 
Por exemplo, conhecendo-se a velocidade de um dado objeto que se 
move, é possível determinar a sua posição em um dado intervalo de tempo. 
Para determinar a posição do objeto é realizado uma análise da área abaixo 
da curva dada pela velocidade, esta pesquisa culminou no segundo principal 
objeto de estudo do cálculo: O cálculo integral!
A partir deste momento, como houve a obtenção de um método para 
determinar coeficientes angulares e um método para calcular áreas sob curvas 
(duas operações geométricas que parecem não se assemelhar), o desafio foi 
criar uma relação entre eles, mais tarde essa relação ficou conhecida como 
“Teorema Fundamental do Cálculo”, tornando o Cálculo Diferencial e 
Integral uma das ferramentas mais poderosas da matemática.
Este livro fala mais especificadamente do Cálculo Integral e está 
dividido em três unidades. Na primeira unidade iremos definir integral de 
uma função usando limite, veremos que a principal motivação de integral é o 
cálculo de área. Na Unidade 2 usaremos o conceito de integral para calcular 
área lateral de um sólido de revolução e o seu volume. Já na sequência, 
Unidade 3, iremos definir funções de várias variáveis reais e da mesma 
forma que no Cálculo Diferencial e Integral I definir o limite e continuidade 
de funções de várias variáveis. 
Sabemos, acadêmico, que para ter sucesso esta disciplina exige 
organização, determinação e um horário de estudos pré-definido. Em sua 
caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença! Como todo texto matemático, 
por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita 
concentração e dedicação. Aproveitando esta motivação vamos iniciar a leitura 
deste livro. A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico.
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Esperamos, que ao final deste estudo, você consiga notar a evolução do 
seu entendimento na área do Cálculo Diferencial e Integral e consiga aplicar 
estes conhecimentos nas mais diversas áreas. Desta forma, esta disciplina 
pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui 
trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes.
Bons estudos!
Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Me. Leonardo Garcia Santos
V
VI
VII
UNIDADE 1 – INTEGRAL DE RIEMANN ..........................................................................................1
TÓPICO 1 – CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN ..................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 CÁLCULO DE ÁREA .............................................................................................................................3
3 SOMAS DE RIEMANN ....................................................................................................................... 11
4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL .................................................................................................... 14
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 15
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 16
TÓPICO 2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ........................................................... 19
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 19
2 INTEGRAIS INDEFINIDAS ............................................................................................................. 21
3 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ............................................................................... 25
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 30
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 31
TÓPICO 3 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO ..................................................................................... 33
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 33
2 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO ....................................................................................................... 33
3 INTEGRAÇÃO POR PARTES ............................................................................................................38
4 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................... 43
4.1 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √a2 – x2............................... 44
4.2 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √a2 + x2............................... 45
4.3 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √x2 – a2 ............................... 46
5 INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA ............................................................................................ 48
6 INTEGRAÇÃO USANDO FRAÇÕES PARCIAIS ......................................................................... 54
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 63
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 69
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 70
UNIDADE 2 – INTEGRAIS, ÁREA E VOLUME ............................................................................... 73
TÓPICO 1 – APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS ......................................................... 75
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 75
2 CÁLCULO DE ÁREA ........................................................................................................................... 75
3 VOLUMES ............................................................................................................................................. 86
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 92
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 94
TÓPICO 2 – INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .......................................................................................... 97
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 97
2 INTERVALOS INFINITOS ................................................................................................................. 97
3 INTEGRANDOS DESCONTÍNUOS ............................................................................................100
sumário
VIII
4 COMPARAÇÃO ENTRE INTEGRAIS ..........................................................................................103
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................105
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................107
TÓPICO 3 – INTEGRAL DE COMPRIMENTO DE ARCO ..........................................................111
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................111
2 DEMONSTRAÇÃO ALGÉBRICA E DEFINIÇÃO ......................................................................111
3 COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS PARAMÉTRICAS ...........................................116
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................119
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................120
TÓPICO 4 – OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL .................................................................121
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................121
2 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA ...........................................................................121
2.1 CONCEITO DE TRABALHO .......................................................................................................122
2.2 DEFINIÇÃO DE TRABALHO .....................................................................................................122
3 PRESSÃO E FORÇA HIDROSTÁTICA .........................................................................................126
3.1 DEFINIÇÃO DE PRESSÃO ..........................................................................................................126
3.2 DEFINIÇÃO DE FORÇA HIDROSTÁTICA ..............................................................................126
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................130
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................134
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................135
UNIDADE 3 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS .....................................................................137
TÓPICO 1 – FUNÇÕES COM MAIS DE UMA VARIÁVEL .........................................................139
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................139
2 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS REAIS ....................................................................................139
3 CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VÁRIAVEIS REAIS .....................................147
4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ...............................................................................153
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................157
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................158
TÓPICO 2 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ............161
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................161
2 LIMITE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ......................................................................161
3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..................................................172
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................176
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................178
TÓPICO 3 – DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................................................181
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................181
2 DERIVADAS PARCIAIS ...................................................................................................................181
3 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .....................................................................186
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................191
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................192
IX
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES .................................................................................................................195
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................1952 INVESTIMENTOS EM PRODUÇÃO ...........................................................................................195
3 ELASTICIDADES ...............................................................................................................................198
4 DIFERENCIAL ....................................................................................................................................199
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................202
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................207
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................208
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................209
X
1
UNIDADE 1
INTEGRAL DE RIEMANN
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você será capaz de:
• definir integral usando o cálculo de área;
• definir integral em um intervalo;
• calcular integrais usando várias técnicas;
• relacionar derivada com integral.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
TÓPICO 2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
TÓPICO 3 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
1 INTRODUÇÃO
Neste material, abordaremos o conceito de integração, que é uma parte 
do Cálculo Diferencial e Integral que possui uma vasta quantidade de aplicações 
práticas, principalmente no campo da Física e das Ciências Naturais. Abordaremos 
este conceito ainda nesta unidade, como uma extensão do conceito de derivação, 
porém, numa concepção de “operação inversa” do processo.
Para tal, introduziremos um conceito bastante elementar, que é o conceito 
de área. A partir dele, desenvolveremos o conceito de integração e mostraremos 
na sequência que a integração e a derivação realmente são processos “íntimos”, 
ligados por tratativas matemáticas bastante fortes e coerentes.
Caro acadêmico, você deve estar se perguntando: O que uma taxa de 
variação tem a ver com área? Bom, ressalto que este será nosso objeto de estudos 
para as linhas que seguem. 
2 CÁLCULO DE ÁREA
Iniciaremos, como já citado, com o processo do entendimento de integração 
pela motivação geométrica do cálculo de área. Este objeto de análise ainda será 
ponto fundamental da própria definição de integral. Desta forma, vamos pensar 
como calculamos áreas.
 
Por exemplo, para a área do retângulo, imaginaremos o gráfico da função 
constante, entre dois pontos a e b.
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
4
GRÁFICO 1 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CONSTANTE ENTRE a E b
FONTE: Os autores
GRÁFICO 2 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y = x
FONTE: Os autores
a b
f (x) = C
x
y
C
y
y = x
x
b0
A função que temos no gráfico é dada pela expressão y = c . É fácil perceber 
que a medida da base deste retângulo é dada por (b – a) e a altura do retângulo é 
dado pela medida c . Assim, a área do retângulo pode ser expressa por:
A b a c� � �( )
Imaginando um outro tipo de figura que possamos calcular a área, nos 
vem à mente o gráfico da função identidade y = x, apresentado a seguir:
.
Notamos que este gráfico nos dá a ideia de um triângulo, sendo que sua 
área é dada pela região abaixo da linha do gráfico, limitada pelo eixo das abscissas 
(X) de zero até b. Como a função é a identidade, esse triângulo é isósceles de lado 
congruente b e sua área pode ser descrita por:
A b=
2
2
.
TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
5
FONTE: Os autores
Para o caso citado, também poderíamos imaginar uma variação no ângulo de 
referência, criando retas do tipo y=ax.
ATENCAO
É fato que os exemplos até aqui analisados são figuras “retas”, do tipo 
retângulo e triângulo, e daqui em diante podemos começar a combinar figuras 
deste tipo para conseguir outras, porém, com as mesmas características do cálculo 
de áreas, sendo que o cálculo da área destas figuras se dará pela composição de 
triângulos e retângulos. Isso quer dizer que é possível, até o momento, com o uso 
da geometria plana clássica, calcular a área entre a linha do gráfico de uma função 
qualquer e o eixo x, desde que este gráfico seja composto apenas por segmentos 
de reta. Entretanto, quais outras figuras nós sabemos calcular área? Se tomarmos 
a função y = x2, obteremos o seguinte gráfico:
GRÁFICO 3 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y=x2 ENTRE ZERO E b
y
y = x2b2
b
x
Pelo que parece, utilizando apenas a geometria básica fica difícil calcular 
a área indicada, pois esta ferramenta pode se reduzir a retângulos e triângulos 
combinados (com a exceção do círculo). Outro ponto que refuta a utilização da 
geometria para o caso é o fato de não conseguirmos decompor a área indicada 
em “quadrados de área unitária”, para que a quantidade desses quadrados 
represente a área em valor.
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
6
GRÁFICO 4 – PARTICIPAÇÃO DA REGIÃO
FONTE: Os autores
x
b
b2
y
Um engenheiro, por exemplo, poderia nos dar a alternativa de imaginar 
que tenhamos uma chapa de um material com densidade constante, retangular, 
com base b e altura b², ou seja, com preenchimento total da parte vazada do 
gráfico y = x2. Em seguida, mediríamos a massa desta chapa, em kg, para que 
posteriormente, utilizando uma ferramenta de corte de precisão, talharmos a 
chapa com o formato da função y = x2 (minunciosamente). Medindo a massa da 
chapa “cortada” e utilizando a área e a massa da chapa completa, poderíamos 
chegar na área da chapa “cortada” usando regra de três. No entanto, obviamente, 
seria um processo pouco prático e demorado, atitude que os matemáticos 
procuram evitar.
 
Sendo assim, devemos buscar uma alternativa mais precisa e formal para a 
resolução deste problema, fato que iniciaremos a buscar através de aproximações. 
Imaginemos, neste caso, a quantidade de retângulos de área (qualquer) que 
cabem na parte interna da região considerada, digamos, M1. Como esta forma 
ainda deixará regiões sem serem preenchidas, consideraremos a quantidade de 
quadrados de área (qualquer) que extrapolam a região considerada, digamos M1. 
Para o caso da Gráfico 4, temos M1 = 5 e M1 = 5 o que nos traz:
TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
7
A desigualdade acima nos fornece uma aproximação para a área a ser 
calculada, porém é uma aproximação um tanto quanto imprecisa para nossas 
necessidades. E assim, podemos diminuir a área dos retângulos utilizados como 
referência pela metade, obtendo quantidades de m2 retângulos pela região interna 
e M2 retângulos que extrapolam a área. Realizando este procedimento de redução 
da área dos retângulos de referência, chegaremos a um momento que os valores 
mn e Mn terão os mesmos valores de área e assim teremos uma aproximação boa 
para tal área, ou seja:
m m m m Área M M Mn n n1 2 1 1 2 1� � ��� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � .
Esta desigualdade nos mostra que, quando a quantidade de retângulos 
internos e que extrapolam a área, tendem a ser iguais, esta quantidade pode ser 
considerada a área real que estamos procurando. Outro ponto a ser considerado é 
o fato de que este é um processo infinito, em que esta quantidade de retângulos a 
priori nunca passará a ser exatamente a área considerada, até mesmo pelo fato de que 
estamos tentando calcular a área abaixo de um gráfico curvo, suave e diferenciável.
 
Entretanto, nós temos ferramentas de cálculo suficientes e já vistas para 
lidar com processos infinitos.Neste caso específico, estamos lidando com o 
conceito de limites, desta forma, quando imaginamos que cada vez mais estamos 
reduzindo os “erros” do processo, mitigando-os ao máximo, podemos afirmar 
que em um dado momento, para um erro aceitável, teremos a área desejada.
 
Retomando o conceito de limites, veremos que se o limite, quando n tende 
ao infinito, dos valores mn e Mn forem iguais, então este valor é a área exata a ser 
considerada. De modo informal, neste momento podemos dizer que este “valor 
exato” para esta área é a integral da função considerada, no intervalo considerado. 
Vamos fazer isso agora?
 
Analisando novamente a função f(x) = x2 no intervalo de 0 a b. Chamaremos 
de k a quantidade de subdivisões no intervalo [0,b], ou seja, dividiremos o intervalo 
em k pedaços. Logo, teremos:
� �
�
�� �x
b
k
b
kk
0
.
em que ∆x(k) é o tamanho da subdivisão considerada sobre o eixo x, ou seja, se k = 
1 teremos um intervalo de tamanho b, se k = 2, teremos um intervalo de tamanho 
b/2 e assim por diante.
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
8
GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DO RACIOCÍNIO PARA O DESENVOLVIMENTO
FONTE: Os autores
Assim, teremos que:
x0 0=
x x x b
k
b
kk1 0
0� � � � � �� �
x x x x b
k
b
k
b
kk2 0 1
0
2
� � � � � � � �( )
E assim por diante, até:
x x x x x k b
k
bk k k� � � ���� � � �
�
��0 1 1 ( )
Para cada k ϵ Z e > 1, iremos calcular uma aproximação para a área 
considerada, sendo por baixo ou por cima da curva, a critério. Por exemplo, se 
tomarmos o ponto inicial como sendo x0, teremos a aproximação por baixo da 
curva. Lembrando que a função é dada por f(x) = x2 e tendo os pontos x0, ..., xk, 
teremos: mk = f(x0) · ∆x(k) + f(x1) · ∆x(k) + ··· + f(xk–2) · ∆x(k) + f(xk–1), em que mk é uma 
aproximação da área, por baixo, conforme a figura a seguir:
K sobintervalos
y
x
x1x0 xK-1 b=xK
TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
9
Calculando mk, temos:
m x f x f x f x f xk k k k� � � � � ��� � �� �� �( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1
m b
k
b
k
b
k
k
k
bk � � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � ���
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2 12
2 2 2
.
Organizando a expressão e como b2/k2 aparece em todos os termos, 
podemos escrever:
m b
k
b
k
kk � � � � � ���� �� ��� ��
2
2
2 2 2 20 1 2 1
m b
k
kk � � � � ���� �� ��� ��
3
3
2 2 2 20 1 2 1 .
Devemos perceber agora que a soma que se encontra dentro dos colchetes 
é uma soma de quadrados que pode variar de acordo com a quantidade de 
subdivisões k escolhida. Neste momento, devemos introduzir uma expressão 
para números inteiros:
1 2 3
1 2 1
6
2 2 2 2� � � ���� �
� �� � � �� �k k k k .
Escolha alguns valores de k para comprovar que esta relação é válida. Em 
seguida, pesquise em livros de análise matemática ou estruturas algébricas o conceito de 
indução matemática. Este conceito auxiliará você a comprovar o porquê desta relação 
funcionar para soma de quadrados. Note que isso não será feito neste material, por fugir do 
escopo do Cálculo Integral.
IMPORTANT
E
Adaptando a expressão descrita anteriormente para k – 1, teremos:
m b
k
k k k
k �
�� � � � ��
�
�
�
�
�
3
3
1 2 1
6
( ) ( )
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
10
Ao realizar as divisões, criando a área “por cima” (a cargo do leitor), 
chegaremos a um valor:
M bk =
3
3
.
sendo que determinamos duas somas que convergem para o mesmo valor, 
podendo gerar a seguinte definição:
● Definição 1: Definimos a área sob o gráfico f(x) = x2, entre 0 e b, com b > 0, sendo:
A b=
3
3
.
Calculando:
m b
k
k k
k �
� ��
�
�
�
�
�
3
2
22 3 1
6
)
m b
k
k kk � � ��� ��
3
2
2
6
2 3 1
Colocando k2 em evidência, teremos:
m b
k kk
� � ��
��
�
��
3
26
2
3 1
.
Por fim, seguindo a ideia considerada, faremos k crescer, de modo que 
os subintervalos fiquem cada vez menores para aproximar a área considerada, 
teremos, então:
lim .
k k
m b
k k
b b
��
� � ��
��
�
��
� � �� � �
3
2
3 3
6
2
3 1
6
2 0 0
3
Dizemos que o procedimento realizado resultou em uma sequência:
m m m b Áreak1 2
3
3
� � ��� � � .
TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
11
3 SOMAS DE RIEMANN
Para formalizar o conceito “à exaustão”, realizado anteriormente, 
iremos imaginar uma função genérica y = f(x), no intervalo [a,b], sendo que 
estamos interessados em calcular a área desta região abaixo da curva e dentro 
do intervalo considerado.
GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DE y = f(x), ENTRE [A,B] 
FONTE: Os autores
y
x
a b
y = f(x)
Em suma, lidamos aqui com dois “ingredientes” importantes: o cálculo 
da área de um retângulo e o conceito de limites. Sabemos que o procedimento 
realizado foi calcular uma soma infinita de áreas de retângulos contida na área 
desejada e, em seguida, o cálculo da área que contém a mesma. “Espremendo” 
estas duas aproximações, chegamos à área desejada. Este procedimento será 
formalizado no próximo tópico.
A ideia é realizar o mesmo procedimento, escolhendo um valor k ≥ 1, que 
representará a quantidade de subintervalos entre a e b, em que:
� �
�x b a
kk( )
.
O próximo passo é escolher um ponto de referência dentro de cada 
subintervalo gerado, sendo que este pode ser escolhido como sendo o ponto 
inicial, final, ponto de mínimo, máximo etc., não importa qual seja o ponto 
escolhido, sempre teremos uma soma bem definida a considerar. Para este caso, 
escolheremos o ponto xi ϵ [xi–1,xi], em que cada xi é dado por:*
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
12
FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO DO PROCEDIMENTO UTILIZADO NO RACIOCÍNIO
FONTE: Os autores
Representaremos a soma de todos os retângulos que podemos gerar por 
Sk, que é dependente da escolha do xi, ou seja, para cada escolha de xi teremos 
uma respectiva soma Sk correspondente:
S f x x f x x f x xk k k k k
* *
( )
*
( )
*
( )( ) ( ) ( ) .� �� � �� � ��� � ��1 2
y
x
a
Δx
x0 xK
b
y = f(x)
*
*
*
x a i b a
k
com a i ki � � �
�
� �, .
Logo, teremos:
x a0 =
x a x k1 � � � ( )
.
.
.
.x a k xk k� � � � ��1 1( ) ( )
x bk = .
Desta forma, para cada subintervalo [xi–1,xi] tomaremos o ponto xi e 
verificaremos o valor da função neste ponto, ou seja, f(xi), realizando, assim, o 
cálculo da área do pequeno retângulo de base ∆x(k) e altura f(xi).
*
*
* *
TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN
13
*
*
*
*

S f x xk i
i
k
k
* *
( )( ) .� ��
�
�
1
E, similarmente, podemos escrever a simbologia da integração que será 
vista no próximo tópico, que é:
S f x dx
a
b
� � ( ) .
Essa simbologia será lida como “a integral de a até b da função f(x) com 
relação a x”.
Por fim, este tópico procurou motivar geometricamente o conceito de 
integral, tão importante para a continuidade dos estudos acerca do cálculo 
diferencial e integral. Por meio dele já sabemos, relembrando os cálculos 
desenvolvidos neste Tópico 1, resolver três tipos de integrais. São elas:
Esta soma terá um nome. Ela será chamada de Soma de Riemann. O uso 
do artigo indefinido “uma” (em: uma respectiva soma Sk) se deve ao fato de que a 
escolha de xi pode ser feita de várias formas. Isso quer dizer, também, que para cada 
k escolhido podemos ter uma soma distinta. Logo, teremos a sequência de somas:
S S S Sk1 2 3
* * * *, , , , ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A pergunta que temos que nos fazer agora é: Será que esta sequência de 
números converge para algum valor quando k tende ao infinito? Podemos chamar 
este valor de S? A resposta é sim. Esse valor S é a integral da função considerada 
independe da escolha realizada para a definiçãodos retângulos. Isto quer dizer 
que quando todas as Somas de Riemann convergem para o mesmo valor, ou seja, 
quando k tende ao infinito, estamos diante da definição de integral. 
● Definição 2: Seja f:[a,b] → . Seja k ≥ 1um número inteiro e Sk a Soma de 
Riemann associada a f em [a,b], a partir de uma escolha de xi. Dizemos que 
f é integrável em [a,b] se para qualquer escolha dos pontos as sequências Sk 
tendem a S quando k tende ao infinito.
As Somas de Riemann são definidas, algebricamente, pela expressão:
*
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
14
a c dx c b a
a
b
) ( )� � ��
b x dx b
b
) ��
2
0
2
c x dx b
b
) .2
3
0
3
��
No próximo tópico, voltaremos a discutir como iremos proceder para a resolução 
de integrais. Entretanto, mostraremos algumas propriedades importantes para as operações 
que virão, sendo que elas estão pautadas no “bom comportamento” do conceito de áreas, 
em que, por exemplo, ela pode ser calculada por decomposição, multiplicação etc.
ESTUDOS FU
TUROS
4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL
As propriedades aqui descritas são embasadas pelas somas de Riemann, 
em que são conservadas as propriedades de área e de somatório.
Propriedade 1: seja a integral de uma soma ou subtração de funções, temos:
[ ( ) ( )] [ ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
b
a
b
� � �� � �
Propriedade 2: esta propriedade, refere-se à linearidade da integração. 
Dado c ϵ , temos que:
c f x dx c f x dx
a
b
a
b
� � �� �( ) ( ) .
Propriedade 3: se f(x) ≤ 0, temos que:
f x dx f x dx
a
b
a
b
( ) ( ) .� �� �

 a
b
15
Neste tópico, você aprendeu que:
● A motivação para o conceito de integral é o cálculo de área.
● A expressão:
S f x x f x x f x xk k k k k
* *
( )
*
( )
*
( )( ) ( ) ( ) .� �� � �� � ��� � ��1 2
 é uma Soma de Riemann, sendo que se ela converge para um valor comum S 
(qualquer), dizemos que este valor é a integral da função f (x) considerada.
● A integral de uma função entre dois pontos a e b é simbolizada por:
a
b
f x dx� � � .
● É possível integrar três funções elementares, são elas:
 
a cdx c b a
a
b
)� �� � � �� �
 
2
0
) .
2
b bb x dx =∫
 
3
2
0
) .
3
b bc x dx =∫
RESUMO DO TÓPICO 1
◦
◦
◦
16
1 Construa a soma superior Mk para a função f(x)= x² do exemplo desenvolvido 
no tópico, mostrando que esta soma também converge para b3/3.
2 Calcule, através de uma soma de Riemann adequada, que:
4
3
0
.
4
b bx dx =∫
3 Calcule:
 
1
1
) 5 a dx =∫
 
4
0
) b x dx =∫
 
3
0
) ² c x dx =∫
4 Podemos definir o valor médio de uma função em um intervalo [a,b], no qual 
a função é diferenciável através da integral
( )1 .
b
m
a
V f x dx
b a
=
− ∫
Se o custo de produção de x unidades de um certo produto é dado pela 
função f (x) = x3 + x2 – x + 20.
Qual é o valor médio do custo de produção, para um intervalo do 15 a 
30 unidades do produto:
a) ( ) R$ 11 680,00.
b) ( ) R$ 12 300,58.
c) ( ) R$ 13 178,72.
d) ( ) R$ 21 420,50.
e) ( ) R$ 27 200,85.
AUTOATIVIDADE
17
5 Sabemos que para definir a integral, usamos somas parciais de Riemann. 
Calcule a integral
1
0
2 3x dx+∫
usando a soma de Riemann com uma partição k = 5 e usando a definição de 
integral. Qual a diferença numérica entre essas duas formas de calcular a 
integral apresentada anteriormente?
18
19
TÓPICO 2
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Prezado acadêmico, este tópico é destinado a mostrar os dispositivos de 
cálculo conceituais que devemos utilizar para a resolução de integrais de funções. 
Obviamente, deveremos partir de um ponto-base para que daí em diante possamos 
fazer adaptações necessárias para o desenvolvimento de técnicas e processos de 
cálculo mais rebuscados.
 
Para o caso das integrais, partiremos do pressuposto de que o Cálculo 
Integral pode ser relacionado a “uma operação inversa” do Cálculo Diferencial. 
Isso não lhe parece estranho? Vimos em Cálculo Diferencial e Integral I que a 
derivada é associada à taxa de variação de uma função em um certo intervalo, e 
no tópico anterior a este, motivamos você a compreender que a integral provém 
do cálculo de uma área. Você deve estar se perguntando: O que uma “taxa de 
variação” e uma “área” têm em comum (ou incomum) para serem chamadas, em 
Cálculo, de “operações inversas”?
 
Em resposta a isso, vamos relembrar um conceito físico importante 
aprendido em estudos anteriores. Dada uma função que descreve a posição de 
um móvel ao longo do tempo, s(t), definimos a velocidade instantânea deste 
móvel v(t) como sendo a derivada da função da posição, ou seja:
( ) ( )´ .v t s t=
Depois dessa lembrança, partiremos de uma situação prática. Imagine que 
você necessita ir da cidade A até a cidade B, sendo que elas distam uma da outra 
100 km. Como você já é acostumado a realizar esse percurso, normalmente você 
executa a viagem em 1h. Obviamente, a velocidade média descrita é dada por:
100 100 .
1 média
km kmv
h h
= =
Entretanto, para descrever esta velocidade “média” é fato conhecer que, 
ora o automóvel que você dirige se encontra a mais de 100 km/h, ora em uma 
velocidade abaixo desta (vide teorema do valor médio). O Gráfico 4 na sequência 
descreve a velocidade em relação ao tempo no percurso:
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
20
GRÁFICO 8 – GRÁFICO v x t DO PERCURSO ENTRE AS CIDADES a E b.
FONTE: Os autores
É notório pelo gráfico que o percurso possui uma série de “variações de 
velocidade”, pois existem trechos entre as cidades A e B que não permitem altas 
velocidades, a estrada não é tão boa etc. Contudo, existem trechos em bom estado 
e composto por retas em que é possível ligar o piloto automático do veículo e 
manter uma velocidade fixa acima de 100 km/h.
Observe que no intervalo entre 20 e 30 min, a velocidade se manteve 
constante em 120 km/h (digamos que é dentro da lei). Para este trecho, relembrando 
que distância = velocidade · tempo, podemos associar a distância percorrida pelo 
móvel, com a área do retângulo perfeito abaixo do gráfico v x t entre 20 e 30 min. 
Dessa maneira, é possível mesmo que de modo infinitesimal, calcular áreas de 
retângulos em intervalos de tempo muito pequenos ao longo de todo o percurso 
e determinar uma distância percorrida.
Ora, se podemos calcular a área de uma infinidade de retângulos abaixo 
do gráfico v x t, podemos afirmar que:
Distância Total entre A e B = Soma de todos os retângulos abaixo de v x t.
A afirmação é justamente uma analogia entre o conceito de integral e o 
caso prático que envolve distância, velocidade e tempo, em que a distância é a 
integral da função velocidade ao longo de um intervalo de tempo. Então:
( ) ( ) .
b
a
distância s t v t dt= = ∫
120
100
10 20 30 40 50 60
t(min)
Δt
V(km/h)
distância = V x t
TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
21
mas,
( ) ( )´ .v t s t=
Note que está comprovado através do exemplo físico, que ao integrar 
a função velocidade, obtemos a função distância, e na sequência, ao derivar a 
função distância, obtemos a velocidade, ou seja, a integração é um procedimento 
de cálculo que pode ser “considerado o inverso” ao da derivação.
Veremos, na próxima seção, que para calcular uma integral basta partir 
do pressuposto de que já conhecemos a derivada da função que queremos obter.
2 INTEGRAIS INDEFINIDAS 
No Tópico 1 trabalhamos com integrais definidas, ou seja, integrais 
que tinham um intervalo de integração. Essas integrais devolvem um número, 
similar ao que foi feito na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I quando 
definimos derivada; calculávamos a derivada da função num ponto e obtínhamos 
como derivadaum número real; depois estendemos o conceito de derivada e 
conseguíamos derivar uma função e encontrar outra função. Faremos o mesmo 
aqui, em integral: calcular a integral de uma função e encontrar uma outra função. 
Esse tipo de integral é chamada de integral indefinida. 
Você já deve ter visto ou ouvido falar que a integral é a inversa da derivada. 
Isso está errado, porque elas não são uma inversa à outra, porém elas têm uma 
relação muito próxima disso. Para entendermos melhor, vamos definir o que é 
uma primitiva de uma função. 
Definição 1: dada uma função F(x) definida num intervalo I, dizemos que 
F(x) é uma primitiva de f (x) nesse intervalo se: 
( ) ( ).F x f x′ =
para todo x ϵ I.
A primitiva também é chamada, por alguns autores, de antiderivada.
ATENCAO
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
22
Exemplo: Determine a primitiva da função f (x) = 1. 
Resolução: Relembrando da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, 
sabemos que se derivarmos a função F(x) = x temos que: ( ) 1 ( )dF x x f x
dx
= = =′ , portanto 
encontamos a primitiva da função f. Mas será que ela é única?
Considere a função F1(x) = x + 2 é fácil de verificar que ela também é uma 
primitiva de f, pois ( ) ( 2) ( ).dF x x f x
dx
= + =′
Acrescentando uma constante na primitiva F(x) = x, a nova função continua 
sendo primitiva, já que a derivada de uma constante é 0. Então podemos concluir 
que: F(x) = x + c, para toda constante c ϵ  é uma primitiva de f(x) = 1.
Proposição 1 : seja F(x) uma primitiva da função f(x), então para toda 
constante c ϵ  temos que G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x).
Demonstração: Vamos verificar que G(x) é primitiva de f (x), observe que 
G'(x) = (F(x) + c) = F'(x) = f(x), pois F'(x) = f(x), já que F é uma primitiva de f.
O fato de a integral não ser a inversa da derivada se deve à proposição escrita 
anteriormente, pois para uma função podem ter várias primitivas, ou seja, a integral de uma 
função não é única.
ATENCAO
Relembrando algumas derivadas estudadas na disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral I, podemos determinar algumas primitivas de funções já 
estudadas. Na Tabela a seguir apresentamos apenas três funções e suas primitivas. 
Esperamos que você, acadêmico, se sinta instigado a aumentar essa tabela com 
outras funções que já estudamos. 
TABELA 1 – PRIMITIVA DAS FUNÇÕES DADAS
FONTE: Os autores
Função Primitiva
f (x) = 0 F (x) = c
f (x) = xn
f (x) = ex F (x) = ex + c
 
1
( )
1
nxF x c
n
+
= +
+
d
dx
TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
23
Definição 2: dada f (x) uma função F (x) e uma primitiva de f (x), a integral 
indefinida de f (x) é:
( ) ( ) .f x dx F x c= +∫
e para toda constante c ϵ  .
Observe que ela é chamada de integral indefinida, pois o limite de 
integração não é definido. As propriedades de soma e multiplicação por escalar, 
que você estudou no Tópico 1, continuam válidas para integrais indefinidas.
Exemplo: Calcule a integral indefinida de f (x) = 3x2 + √x.
Resolução: Queremos calcular: 
2 23 3 .x x dx x dx x dx∫ + = ∫ + ∫
Para calcular essas integrais, primeiro precisamos determinar as primitivas 
das funções f (x) = x2 e g(x) = √x. Note que a primitiva de f (x) é F' (x) = , F' (x) =
Portanto, concluímos que:
pois G' (x) =Já a primitiva da função g (x) é G (x) =
x3
3
( )
3 2
23 .
3 3
d x x x f x
dx
 
= = = 
 
3
22
3
x
d
dx
d
dx
( )
3 1
2 22 2 3 .
3 3 2
d x x x g x
dx
 
= ⋅ = = 
 
( )3332 32 223 3 .
3 3 3
xxx x dx x x c∫ + = ⋅ + = + +
Exemplo: Calcule a integral indefinida da função f (x) = sen (x). 
Resolução: A primitiva da função f (x) é a função F (x) = – cos(x) pois F' (x) 
= (–cos(x) = f (x). Portanto, concluímos que:
( ) ( )sen cos .x dx x c∫ = − +
Note que podemos, através deste mesmo conceito de primitivas, adequar 
uma lista-base para o cálculo de algumas integrais de modo imediato, por 
exemplo, se dissermos que a função f (x) = u, temos a seguinte tabela:
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
24
TABELA 2 – TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS
FONTE: Os autores
du u c= +∫
v
1)
1
, 1
1
n
n uu du c n
n
+
= + ≠ −
+∫
n du u c
u
= +∫ 
, 0, 1
ln
u
u aa du c a a
 a
= + > ≠∫
u ue du e c= +∫
sen cos u du u c= − +∫
cos sen u du u c= +∫
2sec u du tg u c= +∫
2cossec cotg u du u c= − +∫
sec . tg sec u u du u c= +∫
cossec . cotg cossec u u du u c= − +∫
sec ln sec u du u tg u c= + +∫
cossec ln cossec cotg u du u u c= − +∫
 ln sec tg u du u c= +∫
cotg ln sen u du u c= +∫
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
Exemplo: 
4 1 5
4
4 1 5
x xx dx c c
+
= + = +
+∫
TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
25
Exemplo: 
4 4
3 32 2 2
4 2
x xx dx x dx c c= = + = +∫ ∫
Exemplo: 
2 1 1
2
2
1 1
2 1 1
x xdx x dx c c c
x x
− + −
−= = + = + = − +
− + −∫ ∫
Exemplo: 
31
2 2
1
2
1
3
31
2 2
2 
1 3
x xx dx x dx c c x c
+
= = + = + = +
+∫ ∫
Exemplo: ( ) 122 26 4 3 6 4 3x x dx x dx dx x dx− + = − +∫ ∫ ∫ ∫
Na próxima seção estudaremos técnicas de integração que ampliaram o 
número de funções que poderemos integrar.
3 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Calcular integrais através das somas de Riemann é uma tarefa um tanto 
quanto penosa. Já vimos que o processo para calcular uma integral indefinida 
parte do pressuposto de que a integral de uma função é a função resultado, cuja 
derivada é a função original. Após compreender esse fato, precisamos retornar 
para o conceito inicial de motivação para o cálculo de integrais, que é o problema 
da área, neste caso, a integral definida entre dois pontos. Para tal, introduziremos 
o conceito do Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema 1(Fundamental do Cálculo): considere uma função f contínua no 
intervalo [a,b], então: ∫ f (x)dx = F(b) – F(a), com F uma função tal que F'(x) = f (x).
Demonstração: a demonstração deste resultado depende de um caso 
preliminar que devemos tomar como válido. Trata-se de uma outra forma de 
representar primitivas ou antiderivadas:
( ) ( ) .
x
a
A x f t dt= ∫
Com A'(x) = f (x), para todo x em [a,b].
( ) ( ) ( ) , 0 0 .
b
a
E assim temos que A e A b f t dt= = ∫
a
b
= 2x3 – 4x + 2√x3 + c
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
26
 Por hipótese, temos que A'(x) = f (x), logo temos também que F' (x) = f (x). 
Como sabemos que A e F são primitivas da mesma função, temos que elas diferem 
apenas por uma constante C, logo: A(x) = F(x) + C. Para x = a, temos que 0 = A(a) = 
F(a) + C ⇒ C = – F(a). Assim, A(x) = F(x), e então, para x = b: A(b) = ∫ f(t) dt = F(b) – F(a).b
a
1) Utilizaremos a notação F (x)| para denotar F(b) – F(a), assim escreveremos:
( ) ( ) ( ) ( ) |
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫
2) Qualquer primitiva de f servirá para o cálculo de ∫ f(x) dx.
ATENCAO
Exemplo: Calcular ∫ x5 dx.
Resolução: Uma primitiva para a função a ser integrada pode ser escrita 
como:
( )
6
.
6
xF x C= +
Logo:
( )2 62 6 65
1 1
12 64 1 63 .
6 6 6 6 6 6
xx
− −
 −
 = = − = − =
 
 
∫
Exemplo: Este exemplo tratará de um conceito importante, que é o “saldo 
de área”. Quando temos um caso em que o intervalo de integração ora possui 
gráfico acima do eixo X, ora abaixo do eixo X, então devemos saber que o resultado 
encontrado na resolução da integral, como um todo, é a diferença entre a parte que 
estava acima e abaixo do eixo X. Por exemplo, para calcular a seguinte integral:
1
3 2
2
2 2 4 .x x x dx
−
+ −∫
Resolução: Note que analisando o gráfico da referida função, no intervalo 
de -2 até 1, temos:
-1
2
TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTALDO CÁLCULO
27
GRÁFICO 9 - GRÁFICO DA FUNÇÃO 2X3 + 2X2 – 4X
FONTE: Os autores
-1
-1-2-3 0
R1
1
1
2
3
4
5
2
R2
O caso de R2 “descontará” a quantidade de área de R1, caso calculemos a 
integral como um todo. Veja:
( )411 4 3 2 4 3 33 2 2 2
2
22 2 4 1 2 1 2 ( 1) 92 2 4 2 1 2 ( 1) .
4 3 2 2 3 2 3 2
x x xx x x dx
−
 − ⋅ ⋅ −
+ − = + − = + − ⋅ − + − ⋅ − =       
∫
Para calcular a área real, devemos dividir o cálculo em dois. A primeira 
integral R1, contemplando o intervalo de -2 até 0, e a segunda integral R2, 
contemplando o intervalo de 0 até 1 (vide Gráfico 5).
Calculando R1:
0 4 3 2 4 3 4 3
3 2 0 2 2
2
2
2 2 4 0 2 0 ( 2) 2 ( 1) 162 2 4 | 2 0 2 ( 1)
4 3 2 2 3 2 3 3
x x xx x x dx −
−
   ⋅ − ⋅ −
+ − = + − + − ⋅ − + − ⋅ − =   
   
∫
Calculando R2:
Neste caso, como a parte do gráfico está abaixo do eixo X, devemos 
inverter o sinal da integral definida:
1 4 3 2 4 3 4 3
3 2 1 2 2
0
0
2 2 4 1 2 1 (0) 2 (0) 52 2 4 | 2 1 2 (0) .
4 3 2 2 3 2 3 6
x x xx x x dx
   ⋅ ⋅
− + − = − − + − − + ⋅ − − + ⋅ =   
   
∫
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
28
E assim, a área da região completa é dada por:
16 5 371 2 .
3 6 6
R R R= + = + =
Exemplo: Calcule o saldo de área e a área real, dada pela integral:
( )
2
0
 .sen x dx
π
∫
Resolução: A primitiva da função f (x) = sen(x) é F(x) = –cos (x). Logo:
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2
0
0
 cos cos 2 cos 0 1 1 0.sen x dx x
π
π
π= − = − − − = − + =∫
Perceba que o cálculo do saldo de área foi igual a zero. Analise o gráfico 
da função f (x) = sen (x): 
GRÁFICO 10 – GRÁFICO DA FUNÇÃO 2X3 + 2X2 – 4x
FONTE: Os autores
-1
0.5
1
0
g
R1
R2
2ππ
-0.5
TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
29
O valor resulta em zero, pois as áreas acima e abaixo do gráfico são iguais. 
Desta forma, devemos, caso objetivemos calcular a área real, realizar o seguinte 
procedimento:
2
0
( ) ( )A sen x dx sen x dx
π π
π
= −∫ ∫
2
0cos( ) | ( cos( ) | )A x x
π π
π= − − −
[ cos( ) ( cos(0))] [ cos(2 ) ( cos( ))]A π π π= − − − − − − −
[1 1] [ 1 1] 4 . .A u a= + − − − =
Nesse exemplo, podemos perceber a diferença entre a área real e o saldo 
de área, fique atendo ao comportamento do gráfico das funções observando se 
eles estão acima ou abaixo do eixo x.
30
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
● Para calcular uma integral, basta partir do pressuposto de que já conhecemos a 
derivada da função que queremos obter.
● Dada f (x) uma função e F (x) uma primitiva de f (x), a integral indefinida de f (x) 
é ∫ f (x) dx = F (x) + c, para toda constante c ϵ  .
● Utilizaremos a notação F (x)| para denotar F(b) – F(a), assim escreveremos:
( ) ( ) ( ) ( ) | .
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫
● O “saldo de área” resulta do fato de que quando temos um caso em que o 
intervalo de integração ora possui gráfico acima do eixo X, ora abaixo do eixo 
X. O resultado encontrado na resolução da integral como um todo é a diferença 
entre a parte que estava acima e abaixo do eixo X.
a
b
31
1 Calcule as integrais indefinidas:
a) nx dx∫
b) xe dx∫
c) ( )cos x dx∫
d) 4x dx∫
e) 
1 dx
x
∫
f) ( )2sec x dx∫
g) ( ) ( ) cosec x cotg x dx∫ ⋅
2 Calcule as integrais definidas:
a) ( ) 3 2
 0
9 x dx−∫
b) ( ) 3 2
 1
2 x dx+∫
c) ( ) 1 3 4 3 1 4 x x dx− +∫
d) ( ) 3 2
 1
3 5 2 x x dx− +∫
e) 
 ln3
 0
5 xe dx∫
f) 
 2 2 3
 0
2 1 x x dx+∫
3 Ache a área da região limitada pela curva y = –x2 + 4x e pelo eixo x no 
intervalo 1 ≤ x ≤ 3.
4 Encontre a área da região limitada pela curva y = x3 – 2x2 – 5x + 6, pelo eixo 
x e pelas retas x = –1 e x = 2.
5 Calcule a área da região limitada pela curva y = √x, pelo eixo x e pelas retas 
x = – 1 e x = 2.
AUTOATIVIDADE
32
6 Encontre a área da região limitada pela curva y = 1 – x2 e pelo eixo x no 
intervalo 0 ≤ x ≤ 2.
7 (ENADE, 2008) Considere g: → uma função com derivada contínua e 
f a função definida f (x) = ∫ para todo x ϵ . Nessas condições, avalie 
as afirmações que se seguem. 
I- A função f é integrável em todo intervalo [a,b], a, b ϵ , a < b. 
II- A função f é derivável e sua derivada é a função g. 
III- A função diferença f – g é uma função constante. 
É CORRETO o que se afirma em: 
a) ( ) I, apenas. 
b) ( ) II, apenas. 
c) ( ) I e III, apenas. 
d) ( ) I e III, apenas. 
e) ( ) I, II e III.
8 Como no caso de derivadas, a integral tem várias propriedades, com relação 
a essas propriedades analise as afirmações a seguir: 
I- Se f e g forem continuas no intervalo [a,b], então:
( ) ( ) ( ) ( ) .
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
II- Se f é continua num intervalo [2,5], então:
( ) ( ) ( )
5
2
5 2 .f x dx f f= −′∫
III- Se f e g são continuas no intervalo [a,b], então:
( ) ( ) ( ) ( )4 4 .
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
Então as afirmações verdadeiras são: 
a) ( ) I e II.
b) ( ) II e III.
c) ( ) I e III.
d) ( ) I, II e III.
 


dg
dt
(t)dtdgdt
x
0
33
TÓPICO 3
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Análogo ao que foi feito quando estudamos o conceito de derivada, aqui 
apresentaremos técnicas para calcular as integrais indefinidas, que também 
servem para calcular integrais definidas. Nos tópicos anteriores, estudamos como 
calcular a integral definida através da Soma de Riemann, bem como calcular 
integral usando a primitiva (antiderivada) de uma função. 
Calcular a integral usando a Soma de Riemann é demorado, já usando 
a primitiva da função é mais rápido, porém não conhecemos as primitivas 
de todas as funções e o que fazer com essas funções, como integra-las? Neste 
tópico apresentaremos os métodos mais comuns para o cálculo de integrais. 
Dependendo da função que você quer obter a integral, determinado método será 
mais adequado que outro. Acadêmico, com a prática você determinará com mais 
facilidade qual método usar. 
É importante que você entenda todos os métodos e os pratique, pois eles 
serão de fundamental importância para muitas outras disciplinas do seu curso. 
2 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Para entendermos melhor o método da substituição, precisamos de um 
conceito de derivação chamado de diferencial. Se consideramos uma função y = f 
(x) derivável então sua derivada em relação a x é:
( ).dy f x
dx
′=
Neste caso, o diferencial dx é uma variável independente e o diferencial 
dy depende de dx e é dado por:
( ) .dy f x dx= ′
34
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Essa relação entre o diferencial dx e o diferencial dy será muito importante 
para aplicarmos o método da substituição. Além disso usaremos a Regra da Cadeia:
( )( )( ) ( )( ) ( )d f g x f g x g xdx = ⋅′ ′
Caro acadêmico! É de suma importância que todas as regras de derivação que 
você estudou na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I estejam claras para você. Caso 
não lembre de algumas, sugerimos que você tenha uma tabela com todas as regras anotadas.
DICAS
Para entendermos o método da substituição, vamos começar com um 
exemplo, e então faremos a dedução formal. 
Exemplo: Calcule a integral: 
2 33 5 .x x dx∫ +
Resolução: Já comentamos anteriormente que no método da substituição 
usaremos a Regra da Cadeia. Para isso, precisaremos de uma composição de 
funções, e no caso da nossa integral temos que:
( )( )3 5 .x f g x+ =
com f (x) = √x e g (x) = x3 + 5. 
Agora defina: y = g (x) = x3 + 5, então temos que:
23 .dy x
dx
=
Reescrevendo na forma diferencial obtemos:
23 .dy x dx= ⋅
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
35
Voltando a nossa integral, e usando a identidade anterior, podemosreescrever a integral da seguinte forma:
3 2
2 3 5 33 5 .x x dxx x dx
dyy
+ ⋅
∫ + = ⋅∫
Note que considerando y = x3 + 5, a função que está na composição 
conseguimos substituir a variável x pela variável y, portanto:
2 33 5 .x x dx ydy∫ + = ∫
Essa nova integral é simples de resolver:
3
22 .
3
ydy y c∫ = +
Substituindo y por x3 + 5 concluímos que:
( )
3
2 3 3 223 5 5 .
3
x x dx x c∫ + = + +
Verifique se a integral feita no exemplo anterior está correta, calculando 
a derivada da função 33 22( ) ( 5) .
3
f x x c= + +
AUTOATIVIDADE
Teorema 1: considere y = g (x) uma função derivável e f uma função 
contínua, então: 
( )( ) ( ) ( ) .f g x g x dx f y dy′∫ = ∫
Demonstração: como f é uma função contínua, então ela é integrável, e 
sua primitiva é:
( ) ( ) .f y dy F y c∫ = +
36
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Ou, ainda, f(y) = F'(y), substituindo essa igualdade temos que:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .f g x g x dx F g x g x dx∫ ′ ′=′ ∫
Usando a Regra da Cadeia sabemos que:
( )( )( ) ( )( ) ( ).d F g x F g x g xdx = ⋅′ ′
Assim:
( ( ) '( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( ) ( ) .df g x g x dx F g x dx F g x c F y c f y dy
dx
= = + = + =∫ ∫ ∫
Portanto, o Teorema está provado.
Observe, acadêmico, que a regra da substituição não vale para todas as integrais. 
É imprescindível que a função que queremos integrar seja escrita da seguinte forma: f (g (x))g'(x) 
a menos de uma constante.
ATENCAO
Exemplo: Calcule a integral ( )3
3 .
1 2
dx
x
∫
+
Resolução: Primeiro vamos reescrever a função ( )3
3
1 2x+ da seguinte 
maneira: f(g(x))g'(x). 
Considere a função g(x) = 1 + 2x. Note que a sua derivada é g'(x) e seja 
( ) 3
1f x
x
= , então:
( )
( )( ) ( )3
3 3 .
21 2
f g x g x
x
= ⋅
+
′
Observe que apareceu a constante 32 na frente do termo que queríamos, 
mas isso não é um problema, pois já estudamos que a constante pode sair da 
integral, então:
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
37
3
3 3 3( ( )) '( ) ( ( )) '( ) .
(1 2 ) 2 2
dx f g x g x dx f g x g x dx
x
= ⋅ = ⋅
+∫ ∫ ∫
Pela Regra da Substituição, concluímos que: 
( )
( ) ( )3
3 3 1
21 2
dx f y dy
x
∫ = ∫
+
em que y = g(x) = 1 + 2x.
Vamos calcular a integral:
( )
4
3
3 4
1 1 .
4 4
yf y dy dy y dy
y y
−
−∫ = ∫ = ∫ = = −
−
Substituindo em (1) concluímos:
( ) ( )3 44
3 3 1 3 .
2 41 2 8 1 2
dx
yx x
 
∫ = − = − 
+ + 
Da mesma maneira que calculamos as indefinidas, podemos calcular 
as integrais definidas. Devemos calcular a integral definida como se ela fosse 
indefinida e então avaliar a função resultante nos extremos do intervalo (nos 
limites de integração).
Exemplo: Calcule a integral:
2
1
0
.xxe dx−∫
Resolução: Considere y = g(x) = –x2, temos que , e considere f 
(x) = ex, então:
( )( ) ( )2 1 .2
xxe f g x g x− = ′−
Pela Regra da Substituição:
2 21 1 1 .
2 2 2
x y y xxe dx e dy e e− −∫ = − ∫ = − = −
38
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Agora só falta avaliar nos limites de integração: 
2 2 2 21 1 1 0
00
1 1 1 1 1| .
2 2 2 2 2
x xxe dx e e e
e
− − − − = − = − − − = − + 
 ∫
3 INTEGRAÇÃO POR PARTES
Um outro método é a integração por partes, muito usada para integrações 
de funções que podem ser escritas como o produto de outras duas funções. 
Lembre-se de que na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I deduzimos a 
fórmula da derivada do produto de duas funções: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).d f x g x f x g x f x g x
dx
′ ⋅ = ⋅ ⋅ ′+ 
Também podemos reescrever da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).df x g x f x g x f x g x
dx
′  ⋅ = ⋅ − ⋅ ′ 
Integrando em relação a x em ambos os termos da igualdade temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .df x g x dx f x g x dx f x g x dx
dx
 ∫ ∫′ ′⋅ = ⋅ − ∫ ⋅ 
Observe que a integral da derivada pode ser calculada e encontramos
( ) ( ) ( ) ( ) .d f x g x dx f x g x c
dx
 ∫ ⋅ = ⋅ + 
ou seja,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx c∫ ⋅ = ′⋅ − ⋅′ ∫ +
Como a integral f (x) · g'(x) vai resultar em uma função mais uma constante, 
podemos desconsiderar a constante c. Portanto, a fórmula da integração por 
partes é dada pela igualdade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx∫ − ∫ ⋅ ′⋅ =′ ⋅
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
39
Uma outra maneira de escrevermos a fórmula da integração por partes é:
.u dv uv vdu=′∫ − ∫
ATENCAO
Caro acadêmico, você deve estar pensando que essa fórmula não ajuda 
em nada, não é mesmo? Já que se quisermos integrar uma função da forma f'(x) 
· g(x), e usarmos a fórmula da integração por partes, transferimos o problema de 
integração para a função f'(x) · g(x). Isso é verdade, pois a fórmula de integração 
por partes transfere a integral de um a função para outra, porém cabe a nós a 
escolha dessas funções e devemos escolher de forma adequada para que a nova 
integral seja mais fácil de ser calculada. Vamos analisar como fazer isso através de 
um exemplo padrão para esse assunto. 
Exemplo: Calcule a integral: 
.xxe dx∫
Resolução: Primeiro precisamos determinar quem é f e quem é g para 
usarmos a fórmula de integração por partes. Note que:
( ) ( ) .xf x g x xe⋅ =′
Podemos escolher f e g de duas formas: 
Primeira forma: f'(x) = x e g(x) = ex.
 
Para aplicarmos a fórmula de integração por partes, temos que determinar 
que f e g':
( ) ( )
2
' .
2
xf x f x dx xdx= ∫ = ∫ =
Não vamos colocar a constante c novamente nessa integral, pois como já 
comentamos, todas elas irão aparecer depois de resolvermos a última integral. E:
( ) x xdg x e e
dx
′  = = 
40
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Portanto, a fórmula de integração por partes é reescrita da seguinte 
maneira:
2 2
 .
2 2
x x xx xx e dx e e dx∫ ⋅ = ⋅ − ∫ ⋅
Observe que a segunda integral ficou pior para ser calculada do que a 
integral inicial. 
Segunda forma: f'(x) = ex e g(x) = x.
 Vamos determinar que é f e g':
( ) ( )' .x xf x f x dx e dx e= ∫ = ∫ =
e
( ) [ ] 1.dg x x
dx
= =′
Portanto, a fórmula de integração por partes é reescrita da seguinte 
maneira:
 1 .x x xe x dx e x e dx∫ ⋅ = ⋅ − ∫ ⋅
Já na segunda forma, a fórmula de integração por partes gerou uma 
integral mais simples que a primeira e sabemos que:
1 .x x xe dx e dx e c∫ ⋅ = ∫ = +
Portanto, usando a segunda forma, concluímos que:
.x x xxe dx xe e c∫ = − −
Esse exemplo nos mostra que a escolha das funções f e g são fundamentais 
para conseguirmos calcular a integral ou não. Fique atento a essa escolha. 
 
Outra situação é termos que calcular a integral definida de uma função, 
então primeiro integramos de forma indefinida e depois avaliamos a função no 
intervalo de integração, como apresentamos a seguir:
( )
22
2 2 1 1 2
11
|
2 1 .
|
x x xxe dx xe e e e e e e = − = − − − = ∫
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
41
Uma maneira de reescrevermos a fórmula de integração por partes usando 
integrais definidas é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
|
.
|
bb b
aa a
f x g x dx f x g x f x g x dx  −′ ′⋅ = ⋅ ⋅ ∫ ∫
Verifiquei que vale a igualdade ∫ xex dx = e2 usando a fórmula de integração 
por partes com integrais definidas.
2
1
A partir de agora, vamos apresentar a escolha de f' e g que são adequadas para 
a resolução, mas não esqueça acadêmico, essa escolha demanda treino.
ATENCAO
Acadêmico, você deve ficar atento! Em algumas situações não teremos 
uma multiplicação de funções, mesmo assim é possível usar a fórmula de 
integração por partes. O exemplo a seguir ilustra essa situação. 
Exemplo: Usando a fórmula de integral por partes, calcule a integral: 
( )ln x dx∫
Resolução: Considere f' (x) = 1 e g(x) = In(x) então temos que:( ) 1 .f x dx x= ∫ =
e
( ) ( ) 1ln .dg x x
dx x
′  = = 
Usando a fórmula de integração por partes temos:
1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ( ) 1).In x dx x In x x dx x In x dx x In x x x In x
x
= − ⋅ = − = − = −∫ ∫ ∫
42
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Outra situação que pode acontecer é precisar usar a fórmula de integração 
por partes mais de uma vez para encontrar um integral que você consiga resolver. 
No exemplo a seguir é apresentada uma função que, para ser integrada, usaremos 
duas vezes a integral por partes: 
Exemplo: Calcule a integral: 
( )2cos .x x dx∫
Resolução: Considere f'(x) = cos (x) e g (x) = x2 então:
( ) ( ) ( )cos sen .f x x dx x= ∫ =
e
( ) 2 2 .dg x x x
dx
 =′ = 
Usando a fórmula de integral por partes, temos:
( ) ( ) ( )( )2 2cos sen 2 senx x dx x x x x dx∫ = − ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sen 2 sen . 1x x dx x x x x dx∫ = − ∫
Ainda não conseguimos calcular a segunda integral, porém, usando 
novamente a integração por partes, com f'(x) = sen(x) e g(x) = x temos que:
( ) ( ) ( ) sen cos cos .x x dx x x x dx∫ = − + ∫
pois f(x)= –cos(x) e g'(x) = 1.
Substituindo na igualdade (1) temos:
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2cos sen 2 cos cosx x dx x x x x x dx∫ = − − + ∫
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2cos sen 2 cos sen x x dx x x x x x c∫ = − + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos 2 sen 2 cos .x x dx x x x x c∫ = − + +
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
43
4 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
O método da substituição trigonométrica, como o nome já diz, é fazer 
uma substituição adequada trocando algum termo na função original por uma 
função trigonométrica. Esse método é muito similar ao método da substituição. 
Antes de apresentarmos o método, precisamos relembrar algumas 
relações trigonométricas do triângulo retângulo. Considere a figura a seguir:
FIGURA 1 – TRIÂNGULO RETÂNGULO
FONTE: Os autores.
FONTE: Os autores.
A
B
c
a
b
C
Assim temos as seguintes relações: 
QUADRO 1 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Ângulo 0 Ângulo B Ângulo C
( ) catetoopostosen
hipotenusa
θ =
cos( ) cateto adjacente
hipotenusa
θ =
( ) catetoopostotg
cateto adjacente
θ =
( ) bsen B
a
= ( )
csen C
a
=
cos( ) cB
a
= cos( ) bC
a
=
( ) btg B
c
= ( ) ctg C
b
=
Também usaremos algumas identidades trigonométricas e suas variações:
( ) ( )2 2cos sen 1x x+ =
( ) ( )2 21 tg sec .x x+ =
Dependendo do tipo de função, precisamos fazer uma substituição 
diferente, por isso vamos dividir essa seção em subseções, apresentando 
separadamente cada uma das substituições.
44
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
4.1 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA 
FORMA √a2 – x2
Das relações expressas no quadro anterior, temos sen(θ)= para um 
ângulo θ, tal que o cateto que é oposto a esse ângulo mede x e a hipotenusa mede 
a, ou ainda, x = a sen(θ).
Substituindo x = a sen(θ) no radical √a2 – x2, concluímos que:
( )2 2 2 2 2sena x a a θ− = −
( )( )2 2 2 21 en .a x a s θ− = −
 Usando a igualdade trigonométrica 1 – sen2(θ) = cos2(θ), temos que:
( )2 2 2 2cosa x a θ− =
( )2 2 cos .a x a θ− =
pois a ≥ 0 e 
2 2
π πθ− ≤ ≤ .
Quando a função for envolver um radical da forma √a2 – x2 faremos a 
seguinte mudança de variável: √a2 – x2 = a cos(θ) com dx = a cos(θ) dθ, pois:
( ) ( ) sen cos .dx d a a
d d
θ θ
θ θ
 = = 
Exemplo: Calcule a integral:
2
2 .
16
x dx
x
∫
−
Resolução: Note que nesse caso:
4a =
( )4 senx θ=
( )216 4cosx θ− =
( )4 cos .dx dθ θ=
x
a
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
45
então reescrevemos a integral:
2
2 2 4 ( )4cos( ) 8 ( ) 8cos( ).
4cos( )16
x sendx d sen d
x
θ θ θ θ θ θ
θ
⋅
= = = −
−
∫ ∫ ∫
pois, vale que:
( ) ( )sen cos .dθ θ θ∫ = −
Como √16 – x2 = 4 cos(θ) podemos escrever ( )
216 cos
4
x θ− = e, portanto:
2
2
2
2 8 16 2 16 .
416
x xdx x
x
−
∫ = − = − −
−
4.2 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA 
FORMA √a2 + x2
Das relações expressas no Quadro 1, temos que tg(θ) = para um ângulo 
θ, tal que o cateto que é oposto a esse ângulo mede x e o cateto adjacente mede a, 
ou ainda, x = a tg(θ). 
Substituindo x = a tg(θ) no radical √a2 + x2 concluímos que:
( )2 2 2 2 2 tga x a a θ+ = +
( )( )2 2 2 21 tg .a x a θ+ = +
Usando a igualdade trigonométrica 1 + tg2(θ) = sec2(θ), temos que:
( )
( )
2 2 2 2
2 2
sec
sec ,
pois 0e .
2 2
a x a
a x a
a
θ
θ
π πθ
+ =
+ =
≥ − < <
Quando a função for envolver um radical da forma √a2 + x2 faremos a 
seguinte mudança de variável: √a2 + x2 = a sec(θ) com dx = a sec2(θ) dθ, pois:
( ) ( )2 tg sec .dx d a a
d d
θ θ
θ θ
 = = 
x
a
46
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Das relações expressas no Quadro 1 temos que sec(θ) = para um ângulo 
θ, tal que o cateto que é adjacente a esse ângulo mede x e o cateto oposto mede a, 
ou ainda, x = a sec(θ).
Resolução: Essa integral não está escrita da mesma forma como 
apresentamos anteriormente, porém:
( ) ( )22 2 236 9 9 4 9 4 .x x x+ = + = +
Logo, a integral pode ser reescrita como:
( )22 2
1 1 .
36 9 9 4
dx dx
x x
∫ = ∫
+ +
Nesse caso:
2a =
( )2 tgx θ=
( )24 2secx θ+ =
( )22 sec .dx dθ θ=
Então reescrevemos a integral:
2
22 2
1 1 1 1 12sec ( ) .
9 (2sec( )) 9 2 189( 4 )
dx d d
x
θ θ θ θ
θ
= = =
⋅+
∫ ∫ ∫
Como x = 2 tg(θ), podemos escrever θ = arctg e, portanto:
2
1 1 arctg .
36 9 18 2
xdx
x
 ∫ =  +  
( x2
( 
x
a
4.3 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA 
FORMA √x2 – a2
Exemplo: Calcule a integral:
2
1 .
36 9
dx
x
∫
+
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
47
π
2
Usando a igualdade trigonométrica 1 + tg2(θ) = sec2(θ), temos que:
( )2 2 2 2tgx a a θ− =
( )2 2 tg .x a a θ− =
pois a ≥ 0 e 0 ≤ θ < .
Quando a função envolver um radical da forma √x2 – a2 faremos a seguinte 
mudança de variável: √x2 – a2 = a tg(θ) com dx = a sec(θ) tg(θ)dθ, pois:
( ) ( ) ( ) sec sec tg .dx d a a
d d
θ θ θ
θ θ
 = = 
Exemplo: Calcule a integral:
2
2 .
4
x dx
x x
−
∫
−
Resolução: Essa integral não está escrita da mesma forma como 
apresentamos anteriormente, porém:
( )22 24 4 4 4 2 4.x x x x x− = − + − = − −
Fazendo a substituição de variável y = x – 2 temos que:
( )2 22 4 4.x y− − = −
e
.dy dx=
Logo, a integral pode ser reescrita como:
Substituindo x = a sec(θ) no radical √x2 – a2, concluímos que:
( )2 2 2 2 2secx a a aθ− = −
( )( )2 2 2 2sec 1 .x a a θ− = −
48
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Então, reescrevemos a integral:
2
2
2sec( )2sec( ) ( ) 2 sec ( ) 2 ( ).
2 ( )4
y dy tg d d tg
tgy
θ θ θ θ θ θ θ
θ
= = =
−
∫ ∫ ∫
Como √y2 – 4 = 2 tg(θ), podemos escrever tg(θ) = e, portanto:
2
2
4 .
4 
y dy y
y
∫ = −
−
Por último, trocamos y = x – 2 temos que:
2
2
2 4 
4
x dx y
x x
−
∫ = −
−
( )2
2
2 2 4
4
x dx x
x x
−
∫ = − −
−
2
2
2 4 .
4
x dx x x
x x
−
∫ = −
−
2
√y2 – 4
5 INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
Nesta seção apresentaremos estratégias para resolver integrais que são 
potências das funções trigonométricas e/ou produto delas. Sabemos que: 
( ) ( )cossen x dx x c∫ = − +
( ) ( )cos .x dx sen x c∫ = +
2 2
2 .
4 4 
x ydx dy
x x y
−
∫ = ∫
− −
Nesse caso:
2a =
( )2 secy θ=
( )2 4 2 tgy θ− =
( ) ( )2 sec tg .dy dθ θ θ=
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
49
Trancando a variável, temos que:
( ) ( ) ( )
2
cos .
2
sen x
sen x x dx c∫ ⋅ = +
Note que sen2(x) = 1 – cos2(x) logo podemos reescrever a integral como:
( ) ( ) ( )
2
cos .
2
sen x
sen x x dx c∫ ⋅ = +
As duas respostas estão corretas, a única diferençaé a constante. Fique atento a esses 
ajustes na solução das integrais trigonométricas.
ATENCAO
Suponha, agora, que queremos calcular: 
( ) ( )cos .m nsen x x dx∫ ⋅
com n um número ímpar, ou seja, n = 2k + 1. Vamos reescrever a nossa integral de 
outra maneira, mais adequada à situação:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2cos cos cos .m n m ksen x x dx sen x x x dx∫ ⋅ = ∫ ⋅ ⋅
Lembre-se de que cos2(x) = 1 – sen2(x), então cos2k(x) = (1 – sen2(x))k, logo ∫ 
senm(x) · cosn(x) dx = ∫ senm(x) · (1 – sen2(x))k · cos(x) dx.
Mas como calculamos, por exemplo, a integral?
( ) ( )cos .sen x x dx∫ ⋅
Das propriedades de integração sabemos que não podemos apenas 
multiplicar o resultado das integrais. A ideia aqui também é usar substituição. 
Considere u = sen(x) então du = cos(x)dx, fazendo a substituição temos:
( ) ( )
2
cos .
2
usen x x dx u du c∫ ⋅ = ∫ = +
50
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Resolução: Pela observação anterior temos, para u = sen(x), que: 
5 7 5 7
4 3 4 2 1 4 6 ( ) ( )( ) cos ( ) (1 ) .
5 7 5 7
u u sen x sen xsen x x dx u u du u u du c c⋅ = ⋅ − = − = − + = − +∫ ∫ ∫
Aqui é importante ressaltar que m = 0 também vale a propriedade. 
Exemplo: Calcule a integral de:
( )5cos .x dx∫
Resolução: Pela observação anterior temos, para u = sen(x), que:
( ) ( )25 2cos 1 .x dx u du∫ = ∫ −
Usando produtos notáveis temos:
3 5 3 5
5 2 4 2 ( ) ( )cos ( ) 1 2 2 ( ) .
3 5 3 5
u u sen x sen xx dx u u du u c sen x c= − + = − + + = − + +∫ ∫
Outra situação é termos o valor de m ímpar, ou seja, m = 2j + 1 nesse caso 
a integral pode ser reescrita da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2cos cos .m n j nsen x x dx sen x sen x x dx∫ ⋅ = ∫ ⋅ ⋅
Usando novamente a identidade trigonométrica sen2(x) = 1 – cos2(x) temos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2cos 1 cos cos .jm n nsen x x dx x x sen x dx∫ ⋅ = ∫ − ⋅ ⋅
Nesse caso, usamos a substituição trigonométrica u = cos(x), pois du = –
sen(x) dx, e assim:
( ) ( ) ( )2cos 1 .jm n nsen x x dx u u du∫ ⋅ = ∫ −
Agora, usando a substituição trigonométrica u = sen(x) sabemos que du = 
cos(x) dx, então ∫ senm(x) · (1 – sen2(x))k cos(x)dx.
Exemplo: Calcule a integral de:
( ) ( )4 3cos .sen x x dx∫ ⋅
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
51
( ) ( ) ( )25 3 2 3cos 1 .sen x x dx u u du∫ ⋅ = ∫ −
Usando produtos notáveis temos:
4 6 8 4 6 8
5 3 2 4 3 5 7 cos ( ) cos ( ) cos ( )( ) cos ( ) (1 2 ) 2 .
4 3 8 4 3 8
u u u x x xsen x x dx u u udu u u u du c c⋅ = − + − + = − + + = − + +∫ ∫ ∫
Observe que se n = 0, temos que:
( ) ( )21 .jmsen x dx u du∫ = ∫ −
ATENCAO
Outra situação que pode ocorrer é quando, tanto m quanto n, são 
números pares. Nesse caso a estratégia é um pouco diferente, lembre-se de 
que podemos escrever o produto de seno e cosseno usando as identidades dos 
ângulos metades, ou seja:
( ) ( )( )2 1 1 cos 22sen x x= −
( ) ( )( )2 1cos 1 cos 2 .2x x= +
Assim a integral, quando m = 2j e n = 2k, é reescrita da seguinte maneira:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1cos 1 cos 2 1 cos 2 .2 2
j k
m nsen x x dx x x dx   ∫ ⋅ = ∫ − ⋅ +   
   
Exemplo: Calcule a integral:
( ) ( )5 3cos .sen x x dx∫ ⋅
Resolução: Fazendo a substituição trigonométrica u = cos(x) podemos 
reescrever a integral da seguinte maneira:
52
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
Resolução: Usando as propriedades de arco metade, temos: 
1 1
2 2 2 2 21 1 1 1 1( ) cos ( ) (1 cos(2 )) (1 cos(2 )) 1 cos(2 ) cos(2 ) cos (2 ) 1 cos (2 ) (2 ) .
2 2 4 4 4
sen x x dx x x dx x x x dx x dx sen x dx   ⋅ = − ⋅ + = + − − = − =   
   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Usando novamente a identidade do arco metade, temos que sen2(2x) = 
(1 – cos(4x)), logo:
2 1 1 1 (4 )(2 ) (1 cos(4 )) 1 cos(4 ) .
2 2 2 2 8
x sen xsen x dx x dx dx x dx c= − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫
Portanto, podemos concluir que:
( ) ( ) ( )2 2 1
4
cos .
8 32
sen xxsen x x dx c∫ ⋅ = − +
1
2
Outra maneira de resolver essa integral é usando a identidade do 
produto entre o seno e o cosseno:
( ) ( ) ( )1cos 2
2
x sen x sen x⋅ =
Porém, fique atento, pois você só pode usar no caso em que m = n. 
Refaça o exemplo anterior usando essa igualdade.
AUTOATIVIDADE
Mesmo que apareçam outras funções trigonométricas, podemos usar as 
estratégias citadas no UNI anterior, pois sempre podemos reescrever como um produto de 
função seno e cosseno, já que:
ATENCAO
Exemplo: Calcule a integral:
( ) ( )2 2cos .sen x x dx∫ ⋅
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
53
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
cos 1, , sec
cos cos
sen x x
tg x cotg x x
x sen x x
= = =
( ) ( )
1 .cossec x
sen x
=
No exemplo anterior precisamos calcular a integral de
( )cos 4 .x dx∫
Para isso basta usar mudança de variável, como aprendemos nas seções 
anteriores, porém, o que acontece se temos um produto de seno e cosseno dessa 
forma? Por exemplo, como calculamos
( ) ( )sen 5 cos 4 .x x dx∫
A estratégia aqui é usar as seguintes identidades:
Caso 1: Para resolver uma integral da forma
( ) ( )cos .sen mx nx dx∫
usamos a identidade
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1cos .2sen mx nx sen m n x sen m n x= − + +
Caso 2: Para resolver uma integral da forma
( ) ( )sen .sen mx nx dx∫
usamos a identidade
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1cos .2cos mx nx cos m n x cos m n x= − + +
Caso 3: Para resolver uma integral da forma
( ) ( )cos .cos mx nx dx∫
54
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
logo, a integral pode ser reescrita da seguinte maneira: 
1 1 cos(9 ) cos( ) cos(9 )(5 )cos(4 ) ( ) (9 ) cos( ) .
2 2 9 2 18
x x xsen x x dx sen x sen x dx x c c = + = − − + = − − + 
 ∫ ∫
6 INTEGRAÇÃO USANDO FRAÇÕES PARCIAIS
Antes de apresentarmos a integração usando frações parciais, vamos 
entender o que são frações parciais. Considere a função: 
( ) 2
2 .
1
xf x
x
=
−
Sabemos que x2 – 1 = (x + 1)(x – 1), então a função f é reescrita:
( ) ( )( )
2 .
1 1
xf x
x x
=
+ −
Agora vamos reescrever essa função como soma de frações, já que o 
denominador é o produto de duas funções queremos, então, encontrar A e B tal 
que a igualdade a seguir seja verdadeira:
( )( )
2 .
1 1 1 1
x A B
x x x x
= +
+ − + −
Desenvolvendo o lado direito, concluímos que:
Então, para resolver
( ) ( )sen 5 cos 4 .x x dx∫
vamos usar a identidade
( ) ( ) ( ) ( )( )15 cos 4 9 .2sen x x sen x sen x= +
usamos a identidade
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1cos .2cos mx nx cos m n x cos m n x= − + +
TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
55
Resolvendo o sistema linear, encontramos A = 1 e B = 1, portanto:
2
2 1 1 .
1 1 1
x
x x x
= +
− + −
Suponha, agora, que o objetivo era integrar essa função, assim:
2
2 1 1 1 1 .
1 1 1 1 1
x dx dx dx dx
x x x x x
= + = +
− + − + −∫ ∫ ∫ ∫
Reescrevendo a função como uma soma de frações, transformamos o 
cálculo da integral de uma função em duas integrais cujo cálculo é mais simples 
de ser feito. No caso anterior, vemos que as integrais que aparecem são calculadas 
usando substituição de variáveis.
 
Seja y = x + 1, então dy = dx e
( )
2
1
22
1 1 1 1 .
1 2 2 2 1
ydx dy y dy
x y y x
−
−∫ = ∫ = ∫ = = − = −
+ − +
E considerando y = x – 1 temos dy = dx e
( )
2
1
22
1 1 1 1 .
1 2 2 2 1
ydx dy y dy
x y y x
−
−∫ = ∫ = ∫ = = − = −
− − −
Portanto:
( ) ( )2 22
2 1 1 .
1 2 1 2 1
x dx c
x x x
∫ = − − +
− + −
( )( )
( ) ( )
( )( )
1 12
1 1 1 1
A x B xx
x x x x
− + +
=
+ − + −
( )( ) ( )( )
2
1 1 1 1
x Ax A Bx B
x x x x
− + +
=
+ − + −
( )( )
( )
( )( )
2 .
1 1 1 1
A B x A Bx
x x x x
+ − +
=
+ − + −
Portanto, precisamos escolher A e B de forma que:
2
0
A B
A B
+ =
− + =
56
UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN
O método de integração por partes é um método aplicado para