Fábio_Haruo_Kita

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ISBN 978-85-8084-603-4 
 
 
Anais Eletrônico 
VVIIIIII EEPPCCCC –– EEnnccoonnttrroo IInntteerrnnaacciioonnaall ddee PPrroodduuççããoo CCiieennttííffiiccaa CCeessuummaarr 
UNICESUMAR – Centro Universitário Cesumar 
Editora CESUMAR 
Maringá – Paraná – Brasil 
 
 
CONTROLE DO PÊNDULO INVERTIDO 
 
 
Fábio Haruo Kita*; Matheus Frangiote Pallone**; Rosa Maria Ribeiro *** 
 
 
RESUMO: Utilizando habilidades do ensino didático-pedagógico para sistemas de controle e automação foi 
desenvolvido um projeto de um pendulo invertido, capaz de encontrar o deslocamento angular do pêndulo 
com relação ao eixo vertical. Através de um controlador PID utilizando um Arduíno (micro-controlador Atmel) 
uma plataforma de programação, foi processada e obteve-se a direção e velocidade necessárias para o 
deslocamento da base, capaz de deixar o pêndulo em equilíbrio, efetuando um controle automático do 
sistema. 
 
PALAVRAS-CHAVE: Controlador PID, Pêndulo invertido, Controle Automático. 
 
ABSTRACT: Using abilities of teaching educational-learning systems for control and automation, it was 
developed a project of an inverted pendulum, able to find the angular displacement of the pendulum in 
relation to the vertical axis. Through a PID controller using an Arduino® (microcontroller Atmel), a 
programming platform was processed and the direction and speed needed for the displacement of the base, 
was obtained , keeping balanced the pendulum, effecting an automatic control system. 
 
KEYWORDS: PID controller, Inverted Pendulum, Automatic Control. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O controle automatizado está presente em nosso dia-a-dia, principalmente nas 
fábricas onde podemos encontrar diversas malhas, cada qual com os mais diversos 
algoritmos de controle assim têm os sistemas não lineares, onde suas características de 
resposta dependem, de alguma forma, da entrada, Assim, o desenvolvimento de um 
método geral para análise ou projeto de sistemas não-lineares, é impossível. Todavia, é 
possível desenvolver métodos de análise que quase aplicam a classes restritas de não 
linearidades, e estender estas técnicas conhecidas a uma gama maior de sistemas 
(Gibson, 1963). Segundo OGATA, 2003, a modelagem matemática de um sistema 
dinâmico é definida como um conjunto de equações que representam a dinâmica do 
sistema com precisão ou, pelo menos, de forma bastante aceitável. Observe-se que um 
modelo matemático não é único para um dado sistema. . Um sistema pode ser 
representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode haver muitos modelos 
matemáticos, dependendo da perspectiva que se considere. Deve-se ter sempre em 
mente que a obtenção de um modelo matemático razoável é a parte mais importante de 
toda a análise. 
______________________________ 
*Acadêmico do Curso de Engenharia de Controle e Automação do Centro Universitário de Maringá – UNICESUMAR, Maringá - PR. 
Bolsista do Programa de Bolsas de Indução Científica do UNICESUMAR (PROIND). E-mail: 
**Acadêmico do Curso de Engenharia de Controle e Automação do Centro Universitário de Maringá – CESUMAR, Maringá - PR. 
Bolsista do Programa de Bolsas de Indução Científica do Cesumar (PROIND). E-mail: ∗∗∗ 
***Orientadora, Docente Doutora do Curso de Engenharia de Controle e Automação do Centro Universitário de Maringá – CESUMAR. 
E-mail: rosamaria,ribeiro@cesumar,br 
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Anais Eletrônico 
VVIIIIII EEPPCCCC –– EEnnccoonnttrroo IInntteerrnnaacciioonnaall ddee PPrroodduuççããoo CCiieennttííffiiccaa CCeessuummaarr 
UNICESUMAR – Centro Universitário Cesumar 
Editora CESUMAR 
Maringá – Paraná – Brasil 
Para avaliar o desempenho de diferentes técnicas de controle, a planta do pêndulo 
invertido é um modelo ideal devido as suas características de instabilidade. O pêndulo 
invertido é um sistema mecânico muito útil no estudo de controle de posição de sistemas 
instáveis como o controle de posição de veículos espaciais na fase de lançamento 
(OGATA 2003). 
De acordo com Ribeiro (2007), o controle do pêndulo invertido é análogo à 
brincadeira de equilibrar o cabo da vassoura com as pontas dos dedos; o cabo tende a 
cair para um lado, e para manter o cabo na posição vertical, desloca-se a mão de um lado 
para outro. No nosso caso, o sistema carro-motor mantem o pêndulo em equilíbrio. A 
estabilidade do pêndulo invertido se dá por meio de seu posicionamento em paralelo com 
o eixo vertical. Contudo, quando a não linearidade do modelo matemático, uma vez 
posicionado na vertical, ele não irá manter-se em equilíbrio, tendendo a cair. 
Para evitar sua queda buscou-se através do controlador, manipular um atuador, um motor 
CC, para que houvesse um deslocamento horizontal do ponto em que está fixado o 
pêndulo; este deslocamento tende a manter o ângulo de inclinação próximo à zero 
mantendo assim o pêndulo na posição vertical, mesmo quando perturbações são 
aplicadas ao sistema. 
 
2. JUSTIFICATIVA 
 
Solidificar e aplicar o conhecimento e as técnicas de controle adquiridas ao longo 
do curso para o desenvolvimento de um sistema de controle de uma planta de 
características não lineares que tenha um alto grau de complexidade para o controle. 
O sistema de um pêndulo invertido é considerado muito importante, porque simulam 
vários outros sistemas que necessita um grande conhecimento sobre a teoria de sistemas 
de controle automáticos. 
Esses conhecimentos podem ser aplicados, por exemplo, em robôs que precisam ter uma 
base com regulagem específica ou até em um Segway (veículo que utiliza os mesmo 
conceitos de pêndulo invertido). Este trabalho, será de grande importância para a 
formação dos futuros engenheiros de controle e automação. 
Assim, este trabalho teve o objetivo de solidificar e aplicar o conhecimento e as técnicas 
de controle adquiridas ao longo do curso, desenvolvendo um sistema de controle para 
uma planta de características não lineares, ou seja, que ofereça um alto grau de 
complexidade para o controle. 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
 
O presente trabalho foi efetuado em uma etapa preliminar, fazendo-se uma revisão 
bibliográfica, para o levantamento dos dados necessários em relação ao controle de um 
pêndulo invertido, o que facilitou o desenvolvendo de um algoritmo de programação. Este 
algoritmo foi capaz de processar as ações necessárias para a estabilidade de um 
pêndulo, fornecendo informações do micro-controlador aos dispositivos interligados a 
respeitos das ações a serem tomadas. 
 
3.1. MATERIAIS 
 
1. Uma plataforma Arduino Uno; onde se processa os dados obtidos, para o controle 
 do sistema. 
2. Motor shield; controle do sentido e velocidade do motor. 
3. Acelerômetro; obtêm-se os dados de deslocamento angular. 
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4. Carrinho com o motor; responsável pelo deslocamento. 
5. Fonte; responsável pela alimentação do sistema. 
6. MATLAB; um programa para simulação computacional. 
 
3.2. MÉTODOS 
 
 Para o desenvolvimento do projeto, o material essencial o estudo de vários 
assuntos onde teremos; fundamentos da física; transformada deLaplace; sistemas de 
controle e Matlab®. 
 
3.2.1. Fundamentos da física: 
 
 De acordo com (HIBBELER, 2010) Galileu Galilei (1564-1642) foi um dos primeiros 
grandes contribuintes para o principio da dinâmica desenvolvida para fazer uma medição 
exata em relação ao tempo, onde um dos seus trabalhos consistia em experimento com 
pêndulos e corpos em queda livre, depois temos Issac Newton (1642-1727), que mais 
contribuiu para sistemas dinâmicos, por sua formulação da lei da atração gravitacional 
universal e das três leis de movimento, onde temos a 1º lei, que é princípio da inercia, 2º 
lei, principio fundamental da dinâmica, e 3º lei, princípio da ação e reação. Poucos após 
essas leis forampostuladas, técnicas importantes para suas aplicações, onde foram 
desenvolvidas por Euler, D’Alembert, Lagrange, entre outros. 
 
3.2.2. Transformada de Laplace: 
 
 É uma ferramenta muito utilizada para simplificar e facilitar a resolução das 
equações diferenciais. Onde temos a função f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a 
função F(s), definida por: 
 


0
)()}({ dttfetfL st 
 As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas 
dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a 
integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o 
logaritmo transforma a multiplicação em adição. Ela permite levar a resolução de 
equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples 
de resolver. 
 
3.2.3. Sistemas de controle: 
 
Sistema de controle é usado para manter as variáveis do processo no valor 
desejado. Por exemplo, um sistema de controle pode medir uma temperatura (uma saída) 
e ajustar o vapor (uma entrada) para manter a temperatura desejada, é normalmente 
testada, através de uma simulação computacional para verificar os resultados 
(BEQUETTE, 1998), ou seja, de acordo com (NISE, 2011), o sistema de controle possui 
uma entrada, um processo e uma saída, podendo ser de malha aberta ou de malha 
fechada, onde sistema de malha aberta significa que não tem uma correção na saída por 
perturbações, enquanto em malha fechada, o sinal da saída é comparado com o da 
entrada e havendo uma correção caso haja uma diferença (erro), focalizando em três 
objetivos; (1) produzir uma resposta transiente desejada; (2) reduzir os erros de regime 
estacionário e; (3) alcançar a estabilidade. 
3.2.4. Matlab: 
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 É uma linguagem de alto nível que serve como uma ferramenta computacional 
numérica, para um entendimento de vários assuntos, incluindo a teoria de controle, 
projetos de filtros, sistemas linear e sinais. Pode se analisar os dados, desenvolver 
algoritmos e criar modelos e aplicações, pois a capacidade impressionante de 
visualização possibilita uma apreciação única do comportamento do sistema e 
característica do sinal (LATHI, 2007). 
 
3.2.5. Modelo matemático do sistema 
 
 O centro de massa de um pêndulo invertido está acima do seu ponto de 
suspensão. A instabilidade do sistema se dá quando o ponto é estacionário. Porém, se o 
ponto de suspensão é observada em uma oscilação de alta frequência, que seja na 
direção vertical, o pêndulo passa a ser estável. Se alguns toques forem feitos, 
promovendo um deslocamento lateral com o pêndulo na posição invertida, o pêndulo volta 
a se ajustar, retornando para a posição vertical. 
 A dedução das equações do sistema foi feita utilizando-se relações trigonométricas 
e das decomposições das forças (Figura 1), que mostra em duas dimensões, x e y, a 
decomposição das forças existentes. 
Esta Figura 1, foi a base para se fazer as relações trigonométricas, em relação aos eixos 
x e y. Ela mostra um esquema do sistema, as forças que atuam no pêndulo e e as 
coordenadas adotadas. 
O sistema está no equilíbrio se a soma do torque T produzido por Fx e Fy e o torque 
inercial (T) for nulo. 
 
Figura 1- Relações Trigonométricas 
 
Relacionando-se ao eixo x: 
 
Para se obter a equação da velocidade, deriva-se a equação em relação ao tempo 
(derivada primeira) : 
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Derivando a equação acima novamente em relação ao tempo, obtém-se uma equação de 
segundo grau, que é a equação da aceleração: 
 
Fazendo uma relação ao eixo Y tem-se: 
 
Fazendo a derivada primeira, obtém-se a velocidade angular: 
 
 
Derivando novamente, obtém-se a aceleração angular: 
 
Assim, por meio de relações trigonométricas aos eixos x e y equações que, ao serem 
derivadas pela segunda vez, obteve-se duas equações relativas à aceleração. 
Relação com Força: 
Sabendo-se que força está relacionada com a massa e com a aceleração, pode-se 
relacionar as forças aos eixos x e y. 
- Relacionando-se as forças ao eixo X tem-se: 
 
Assim, usando a equação obtida da aceleração em relação ao eixo x, obtém-se a 
somatória das forças neste eixo x : 
 
- Relacionando a somatória das forças em relação ao eixo Y: 
 
Neste caso, usando a equação da aceleração angular tem-se: 
 
E, relacionando a somatória dos Torques obtém-se: 
 
onde: I  momento de inércia (ml²/2). 
Fazendo-se as substituições e simplificando-se obtém-se: 
 
Aplicando Laplace a esta equação, chegou-se a equação matemática esperada do 
sistema: 
 
 Equação obtida matemática do sistema. 
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Com a equação matemática do sistema obtida, passou-se à construção do protótipo do 
Pêndulo Invertido. 
Usando-se o valor da aceleração gravitacional com sendo, g = 9,81 m/s², os valores de I 
e m foram: 
 l = 8 cm e m = 44g 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Com a equação matemática do sistema, e com o potencial da utilização do sistema 
proposto, para implementação prática de sistemas de controle de processos 
inerentemente instáveis, pode-se analisar e modelar a inclinação de um pêndulo invertido, 
como observado na Figura 2. 
 
Figura 2 : Modelo do sistema na simulação computacional. 
 
Nesta etapa, utilizou-se uma programação de um controlador PID, capaz de 
interligar os dados do pêndulo invertido, para controlar a base, ou seja, movimentar com 
uma aceleração e sentido correto, para manter o pêndulo em equilíbrio. Mas por causa de 
uma folga na engrenagem do motor, comprometendo todo o sistema, assim não foi 
possível obter o equilíbrio do pêndulo. 
De acordo com a simulação computacional ( 
Figura 2), ignorando a aceleração e desaceleração máxima da base e os atritos, utilizando 
o programa Matlab®, e representando o sistema em espaço de estados, os dados obtidos 
podem ser visualizados nos gráficos, entre as relações ângulo (Gráfico 1), da posição 
(Erro! Fonte de referência não encontrada.gráfico 2), da força (Erro! Fonte de 
referência não encontrada.gráfico 3) e o do tempo. 
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Gráfico 1 - Relações Ângulo 
 
 
Gráfico 2- Relações da Posição 
 
 
Gráfico 3- Relações da Força 
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O pêndulo foi solto numa inclinação de 30° (ɸ = 30°). Assim a força aplicada é de 
4,5 N, ou seja, no inicio a base terá uma aceleração de 102,27 m/s² e gastará 3 segundos 
para estabilizar o pêndulo. 
 
5. CONCLUSÕES 
 
Fazendo-se uma análise dos 3 gráficos apresentados sobre as relações de ângulo, 
posição e força, na seção Resultados, pode-se concluir que a equação matemática 
desenvolvida e obtida para o equilíbrio do pêndulo está correta, mostrandoque o sistema 
de controle para uma planta de características não lineares foi obtido, atingindo assim os 
objetivos propostos neste projeto. 
 
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
BEQUETTE, B. W. Process Dynamics, Modeling, Analysis, and Simulation. New Jersey: 
Pretince Hall, 1998. 
 
BUENO, A. M.; Leite Filho, W.C. Parameter identification of actuator nonlinear model 
based on limit-cicle phenomenon. In: XVII Congresso brasileiro de engenharia 
mecânica, 17 (COBEM). Anais do XVII congresso brasileiro de Engenharia mecânica. São 
Paulo, SP: setembro de 2003. 
 
GIBSON, J. E. Nonlinear automatic control. New York, NY: McGraw-Hill, 1963. 
 
HIBBELER, R. C. Engineering mechanics Dynamics. 12ª. ed. New Jersey: Prentice Hall, 
2010. 
 
KUO, Benjamin C. Automatic control systems. New Jersey: Prentice-Hall, 1995. 897p. 
 
NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 5ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
 
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
 
RIBEIRO, R. (2007). Implementação de um sistema de controle de um pêndulo 
invertido, Tese de Mestrado – Faculdade de Engenharia Elétrica da Universidade 
Federal de Itajubá. 
 
SLOTINE, J. J. E.; Li, W. Applied Nonlinear Control, New Jersey: Prentice-Hall, 
Englewood Cliffs,1991.