AD2 - MÉTODOS DETERMINÍSTICOS I - CEDERJ - UFFRJ - 2020-1

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Gabarito da Questão 1 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
Como vimos no EP9, o módulo pode ser interpretado como a distância entre dois números.
Por exemplo, se |a − b| = 1, então a distância entre os números a e b é igual a 1, o que significa
que a = b+ 1 ou a = b− 1. Para dar um exemplo um pouco menos abstrato, se |x− 5| = 1, então
teremos x = 6 ou x = 4, casos nos quais a distância entre x e 5 é igual a 1.
Outros exemplos interessantes surgem a partir de desigualdades envolvendo módulos. A desigualdade
|x− 1| < 2, por exemplo, significa que a distância entre x e 1 deve ser menor do que 2, o que será
satisfeito se, se somente se, −1 < x < 3 (ou seja x está entre 1− 2 e 1+2). Ou, ainda, |x− 3| 6 2
equivale a 1 6 x 6 5.
Ainda há exemplos igualmente interessantes, como nos casos em que |a − b| > c ou |a − b| > c.
Lembre-se também que |x + a| pode ser escrito como |x− (−a)|, isto é, a distância entre x e −a.
O EP9 traz uma grande variedade de exemplos e exerćıcios nesta direção, não deixe de resolvê-lo!
Esta interpretação do módulo como distância entre números é particularmente útil para pensarmos
no conceito de erro máximo na estimativa de um valor.
Um exemplo: Imagine que uma pesquisa busque estimar a quantidade q de unidades que serão
vendidas de um determinado produto. Baseando-se em um estudo do mercado, a pesquisa aponta
que serão vendidas 10.000 unidades, com um erro máximo de 500 unidades. Podemos então dizer
que, de acordo com a pesquisa,
|q − 10.000| 6 500,
isto é, segundo a pesquisa, o valor real de q (aquele que será apurado quando a venda começar) estará
a uma distância máxima (por isso o 6) de 500 unidades do valor estimado 10.000. Isto significa que,
segundo a pesquisa,
10.000− 500 6 q 6 10.500,
ou ainda
9.500 6 q 6 10.500.
Quando a venda do produto começar, poderemos saber se a pesquisa estava correta, isto é, se o
valor apurado realmente estava dentro da margem de erro máximo, isto é, |q − 10.000| 6 500, ou
fora da margem de erro, ou seja, |q − 10.000| > 500.
Agora vamos tentar definir de maneira geral. Imagine que uma grandeza tenha um valor real r, e
que alguém estime que este valor seja v. A estimativa estará dentro da margem de erro máximo E
se
|r − v| 6 E.
Obviamente, a estimativa v estará fora da margem de erro se |r − v| > E.
Lembre-se ainda que |r − v| = |v − r| (a distância entre r e v é igual à distância entre v e r), ou
seja, na definição acima, ou na hora de utilizarmos esta definição em um problema, tanto faz se
escrevermos |r − v| ou |v − r|. Dá absolutamente no mesmo!
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Questão 1 (2,5 pontos)
(a) Ao longo de muitos anos de estudo, as Indústrias Reunidas Palitex perceberam que a quantidade
de caixas de fósforos Fogaréu que serão vendidas em um mês pode ser estimada de acordo com
o preço p (em reais) de cada caixa. A quantidade estimada q de caixas vendidas se relaciona
com o preço p de acordo com a equação
q = 16.000− 2.500p,
quando o preço está entre 2,00 6 p < 6,00. A Palitex não pode vender com preço abaixo de R$
2,00 (inviável economicamente) e, com o preço maior ou igual a R$ 6,00 (a aproximação não
é boa a partir deste preço, podendo, inclusive, acontecer de não haver procura pelos fósforos
Fogaréu).
Repare que q é apenas uma estimativa da quantidade vendida. Nos cenários normais, esta
estimativa apresenta um erro máximo de 1.000 unidades em relação à quantidade real apurada
r ao final do mês.
Determine qual o intervalo de preços que deverá ser praticado (isto é, apresente uma desigual-
dade do tipo a 6 p 6 b) para que a quantidade de caixas vendidas seja igual a 7.250 unidades,
dentro da margem de erro máximo da pesquisa.
Solução: A quantidade estimada de caixas vendidas é dada por q = 16.000 − 2.500p e a
quantidade real é 7.250. Como a margem de erro máximo desta estimativa é de 1.000 unidades,
temos
|q − 7.250| 6 1.000,
logo
−1.000 6 q − 7.250 6 1000,
que equivale a
7.250− 1.000 6 q 6 1000 + 7.250,
ou ainda
6.250 6 q 6 8.250.
Como q = 16.000− 2.500p, temos
6.250 6 16.000− 2.500p 6 8.250,
que pode ser resolvido separadamente (para ficar mais simples) como
6.250 6 16.000− 2.500p e 16.000− 2.500p 6 8.250
m
2.500p 6 16.000− 6.250 e − 2.500p 6 8.250− 16.000
m
2.500p 6 9.750 e − 2.500p 6 −7.750
m
2.500p 6 9.750 e 2.500p > 7.750
m
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m
p 6
9.750
2.500
e p >
7.750
2.500
m
p 6 3,90 e p > 3,10
m
3,10 6 p 6 3,90.
Assim, o preço praticado deve estar entre R$ 3,10 e R$ 3,90, incluindo estes valores.
(b) As Indústrias Reunidas Palitex lançaram, há 6 meses, linha premium de palitos de fósforo, a
Flamme de Nuit. Ao longo deste peŕıodo, vários preços p foram experimentados, a fim de testar
o mercado. Observou-se as seguintes quantidades reais r vendidas, de acordo com cada preço
praticado:
p R$ 3,00 R$ 3,20 R$ 3,50 R$ 4,00 R$ 4,50 R$ 5,00
r 3.250 3.570 3.100 2.890 2.550 2.500
Baseando-se nestas observações, a Palitex acredita que uma boa estimativa q da quantidade
vendida possa ser dada por q = 5000− 500p.
Dê o melhor valor posśıvel para a margem de erro desta estimativa, baseando-se nas quantidades
apuradas para cada preço praticado. Isto é, dê o menor valor que você conseguir para E para
que
|q − r| 6 E
em todas as observações feitas.
Sugestão: Você pode acelerar as contas utilizando uma planilha eletrônica, como LibreOffice
Calc, Google Sheets ou ainda a opção paga Microsoft Excel. Em cada mês, calcule q a partir de
p, calcule a diferença q − r e a distância entre a quantidade real r e a estimadas q, dada por
|q − r|.
Solução: Completando a tabela dada com os valores de q (calculados a partir de q = 5000 −
500p), de q − r e de |q − r|, temos
p R$ 3,00 R$ 3,20 R$ 3,50 R$ 4,00 R$ 4,50 R$ 5,00
r 3.250 3.570 3.100 2.890 2.550 2.500
q 3.500 3.400 3.250 3.000 2.750 2.500
q − r 250 −170 150 110 −200 0
|q − r| 250 170 150 110 200 0
Baseados nestes valores calculados, podemos dizer que a margem de erro desta pesquisa é de
250 unidades.
Os cálculos acima foram feitos no Google Sheets. Você pode acessar esta planilha em
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ezLK8FOcvgQD2ed2oLd9XyV0RBJpH0uLxWjLnexTRHY.
A planilha contém as contas deste item e dos itens seguintes.
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https://docs.google.com/spreadsheets/d/1ezLK8FOcvgQD2ed2oLd9XyV0RBJpH0uLxWjLnexTRHY 
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 2 – 2020-1 4
(c) Calcule o percentual do erro observado (|q − r|) em relação à quantidade real vendida a cada
mês. A partir dáı, dê sua opinião sobre a qualidade desta estimativa.
Sugestão: Utilize novamente uma planilha eletrônica para acelerar as contas.
Solução: Completando a tabela dada com os valores de q (calculados a partir de q = 5000 −
500p), de q − r e de |q − r|, temos
p R$ 3,00 R$ 3,20 R$ 3,50 R$ 4,00 R$ 4,50 R$ 5,00
r 3.125 4.900 1.800 1.979 4.101 2.500
q 3.500 3.400 3.250 3.000 2.750 2.500
q − r 250 −170 150 110 −200 0
|q − r| 250 170 150 110 200 0
|q − r|/r* 0,07692307692 0,04761904762 0,04838709677 0,03806228374 0,07843137255 0
|q − r|/r como porcentagem**: 7,69% 4,76% 4,84% 3,81% 7,84% 0,00%
* aproximado para 10 casas decimais; ** aproximado para 2 casas decimais
A opinião é pessoal, mas como observamos erros máximos de 7, 84% do valor correto r, acredi-
tamos que esta estimativa seja razoável!
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Gabarito da Questão 2 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
Texto introdutório.
Questão 2 (2,5 pontos)
(a) Determine o conjunto solução da inequação abaixo, isto é, o conjunto de todos os valores de
x ∈ R para os quais ela é verdadeira:
x(2x2 − 6x− 8)
x2 + 4x− 5
6 0.
(b) Determine o conjunto solução da inequação abaixo, isto é, o conjunto de todos os valores de
x ∈ R para os quaisela é verdadeira:
x
x2 − x− 2
> − 1
5x+ 2
Solução:
(a) Note que 2x2 − 6x− 8 = 2(x2 − 3x− 4). As soluções de x2 − 3x− 4 são
x1 =
3 +
√
(−3)2 − 4(1)(−4)
2
=
3 +
√
25
2
=
3 + 5
2
= 4,
x2 =
3−
√
(−3)2 − 4(1)(−4)
2
=
3−
√
25
2
=
3− 5
2
= −1.
Assim, podemos escrever 2x2 − 6x− 8 = 2(x2 − 3x− 4) = 2(x− 4)(x+ 1).
As soluções de x2 + 4x− 5 são
x1 =
−4 +
√
42 − 4(1)(−5)
2
=
−4 +
√
36
2
=
−4 + 6
2
= 1,
x2 =
−4−
√
42 − 4(1)(−5)
2
=
−4−
√
36
2
=
−4− 6
2
= −5.
Assim, x2 + 4x− 5 = (x− 1)(x+ 5).
Com isso, voltando à desigualdade da questão, temos
x(2x2 − 6x− 8)
x2 + 4x− 5
6 0⇔ 2x(x− 4)(x+ 1)
(x− 1)(x+ 5)
6 0.
Vamos estudar os sinais da expressão
2x(x− 4)(x+ 1)
(x− 1)(x+ 5)
:
(−∞,−5) −5 (−5,−1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 4) 4 (4,+∞)
2x − − − − − 0 + + + + +
x− 4 − − − − − − − − − 0 +
x+ 1 − − − 0 + + + + + + +
x− 1 − − − − − − − 0 + + +
x+ 5 − 0 + + + + + + + + +
2x(x− 4)(x+ 1)
(x− 1)(x+ 5)
− 6∃ + 0 − 0 + 6 ∃ − 0 +
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 2 – 2020-1 2
Note que a expressão não está definida quando o denominador de anula, em x = −5 e x = 1.
Observando o quadro, os valores de x para os quais
2x(x− 4)(x+ 1)
(x− 1)(x+ 5)
6 0 são
x ∈ (−∞,−5) ∪ [−1, 0] ∪ (1, 4].
(b) Temos
x
x2 − x− 2
> − 1
5x+ 2
⇔ x
x2 − x− 2
+
1
5x+ 2
> 0⇔
⇔ x(5x+ 2)
(5x+ 2)(x2 − x− 2)
+
x2 − x− 2
(5x+ 2)(x2 − x− 2)
> 0⇔
⇔ 5x
2 + 2x
(5x+ 2)(x2 − x− 2)
+
x2 − x− 2
(5x+ 2)(x2 − x− 2)
> 0⇔
⇔ 5x
2 + 2x+ x2 − x− 2
(5x+ 2)(x2 − x− 2)
> 0⇔ 6x
2 + x− 2
(5x+ 2)(x2 − x− 2)
> 0
As soluções de 6x2 + x− 2 = 0 são
x1 =
−1 +
√
12 − 4(6)(−2)
2 · 6
=
−1 +
√
49
12
=
−1 + 7
12
=
6
12
=
1
2
,
x2 =
−1−
√
12 − 4(6)(−2)
2 · 6
=
−1−
√
49
12
= −25
6
=
−1− 7
12
= − 8
12
= −2
3
.
Assim, 6x2 + x− 2 = 6
(
x− 1
2
)(
x+
2
3
)
.
As soluções de x2 − x− 2 = 0 são
x1 =
1 +
√
(−1)2 − 4(1)(−2)
2
=
1 +
√
9
2
=
1 + 3
2
= 2,
x2 =
1−
√
(−1)2 − 4(1)(−2)
2
=
1−
√
9
2
=
1− 3
2
= −1.
Assim, x2 − x− 2 = (x− 2)(x+ 1). Logo,
x
x2 − x− 2
> − 1
5x+ 2
⇔
6
(
x− 1
2
)(
x+
2
3
)
(5x+ 2)(x− 2)(x+ 1)
> 0
Vamos estudar os sinais da expressão
6
(
x− 1
2
)(
x+
2
3
)
(5x+ 2)(x− 2)(x+ 1)
:
(−∞,−1) −1
(
−1,− 2
3
)
− 2
3
(
− 2
3
,− 2
5
)
− 2
5
(
− 2
5
, 1
2
)
1
2
(
− 1
2
, 2
)
2 (2,+∞)
x−
1
2
− − − − − − − 0 + + +
x+
2
3
− − − 0 + + + + + + +
5x+ 2 − − − − − 0 + + + + +
x− 2 − − − − − − − − − 0 +
x+ 1 − 0 + + + + + + + + +
6(x− 12 )(x+
2
3 )
(5x+2)(x−2)(x+1) − 6∃ + 0 − 6∃ + 0 − 6∃ +
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Assim,
6
(
x− 1
2
)(
x+
2
3
)
(5x+ 2)(x− 2)(x+ 1)
> 0⇔ x ∈
(
−1,−2
3
]
∪
(
−2
5
,
1
2
]
∪ (2,+∞).
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Gabarito da Questão 3 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
No EP11, foi visto que uma reta no R2 pode ser descrita por meio de uma equação da forma
ax+ by + c = 0, com a, b e c números reais.
Mas o que representa a desigualdade ax+ by + c > 0 ?
Vamos pensar no caso em que b 6= 0.
Agora, vamos pensar um pouco sobre a reta de equação ax + by + c = 0. Como estamos supondo
b 6= 0, podemos escrever
ax+ by + c = 0⇔ by = −ax− c⇔ y = −a
b
x− c
b
.
Ou seja, a reta é o conjunto dos pontos (x, y) ∈ R2 para os quais y = −a
b
x− c
b
.
Voltemos à desigualdade. Podemos escrever
ax+ by + c > 0⇔ by > −ax− c.
Podemos dividir agora por b. Mas repare que, dependendo do sinal de b, o sinal da desigualdade (>)
pode mudar. Vamos então pensar em dois casos:
• b > 0:
Neste caso, a desigualdade ficará
y > −a
b
x− c
b
, se b > 0.
A desigualdade representará, então, os pontos (x, y) ∈ R2 para os quais y > −a
b
x − c
b
.
Como o y representa a coordenada vertical, estes são os pontos acima da reta de equação
ax+ by + c = 0, para os quais, como visto acima, y = −a
b
x− c
b
.
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Assim, a desigualdade representará o semiplano esboçado abaixo:
• b < 0: Neste caso, ao dividir por b, o sinal da desigualdade muda e teremos
y < −a
b
x− c
b
, se b < 0.
A desigualdade representará, então, os pontos (x, y) ∈ R2 para os quais y < −a
b
x − c
b
.
De forma semelhante à que vimos acima, estes são os pontos abaixo da reta de equação
ax+ by + c = 0.
Assim, a desigualdade representará o semiplano esboçado abaixo:
E a equação ax + by + c < 0? Neste caso, basta seguirmos como acima, atentando apenas para a
troca do sentido da desigualdade.
E quando tivermos ax+ by + c > 0 ou ax+ by + c 6 0? Ora, lembre-se de que
ax+ by + c > 0⇔ ax+ by + c > 0 ou ax+ by + c = 0.
Assim, os pontos que satisfazem a desigualdade são os que estão na região acima ou abaixo da reta,
dependendo do sinal de b, como vimos acima, junto com aqueles que estão sobre a reta. Ou seja,
é a união do semiplano com a reta. Abaixo estão esboços, dependendo do sinal de b:
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O caso ax+ by + c 6 0 é semelhante.
Questão 3 (2,5 pontos)
(a) Esboce o conjunto de todos os pontos do R2 que satisfazem a desigualdade x− 7y + 16 > 0.
(b) Esboce o conjunto de todos os pontos do R2 que satisfazem a desigualdade
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 > 0.
(c) Esboce o conjunto de todos os pontos do R2 que satisfazem a desigualdade
(x− 7y + 16)
(
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25
)
> 0.
Dica: Lembre-se das regras de sinal na multiplicação.
Solução:
(a) Temos
x− 7y + 16 > 0⇔ −7y > −x− 16⇔ 7y < x+ 16⇔ y < x
7
+
16
7
Assim, o conjunto é formado por todos os pontos abaixo da reta x−7y+16 = 0. Para esboçar
a reta, vamos escolher dois de seus pontos. Para simplificar, vamos procurar valores de x para
os quais y seja inteiro. Tomando x = −2 e substituindo em y = x
7
+
16
7
temos y =
−2
7
+
16
7
=
14
7
= 2. Tomando x = 5 e substituindo em y =
x
7
+
16
7
temos y =
5
7
+
16
7
=
21
7
= 3. Assim,
a reta contém os pontos (−2, 2) e (5, 3) Esboçando a reta, temos:
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 3 da AD 2 – 2020-1 4
O conjunto representado por x− 7y + 16 > 0 será então
Como a desigualdade é estrita (> e não >) os pontos da reta não estão inclúıdos.
(b) Temos
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 > 0⇔ (x− 2)2 + (y + 1)2 > 25⇔ (x− 2)2 + (y + 1)2 > 52,
portanto os pontos que satisfazem a desigualdade são os que estão exteriores ao ćırculo de centro
(2,−1) e raio 5, representados abaixo:
(c) Como no item (a), podemos ver que
• x− 7y + 16 > 0 abaixo da reta;
• x− 7y + 16 < 0 acima da reta;
• x− 7y + 16 = 0 exatamente na reta.
Como no item (b),
• (x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 > 0 fora do ćırculo;
• (x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 < 0 dentro do ćırculo;
• (x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 = 0 exatamente no ćırculo.
Para que tenhamos (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) > 0, isto é, para que o produto
seja positivo, pelas regras de sinal na multiplicação, temos duas possibilidades:
• x− 7y+16 > 0 e (x− 2)2+(y+1)2− 25 > 0: região acima da reta e exterior ao ćırculo;
• x− 7y+16 < 0 e (x− 2)2+(y+1)2− 25 < 0: região abaixo da reta e interior ao ćırculo.
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 3 da AD 2 – 2020-1 5
Estas duas regiões estão representadas abaixo:
Qualquer uma das duas condições implica (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) > 0, assim,
o conjunto dos pontos que satisfazem a desigualdade (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) >
0 é a união dos dois conjuntos esboçados acima, ou seja, o conjunto representado abaixo:
Note que os pontos sobre a reta ou sobre o ćırculo não estão contidos na solução pois, neles,
um dos fatores será 0, portanto o produto será 0, sendo a desigualdade estrita.
Para a solução ficar bem completa, podemos achar o pontos de interseção entre a reta e o
ćırculo: {
x− 7y + 16 = 0
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 = 0 ⇔
{
x = 7y − 16
(x− 2)2 + (y + 1)2 − 25 = 0
Substituindo x = 7y − 16 na segundaequação, temos
(x−2)2+(y+1)2−25 = 0⇔ (7y−16−2)2+(y+1)2−25 = 0⇔ (7y−18)2+(y+1)2−25 = 0⇔
⇔ 49y2 − 252y + 324 + y2 + 2y + 1− 25 = 0⇔ 50y2 − 250y + 300 = 0⇔ y2 − 5y + 6 = 0.
Como solução desta equação, temos y = 2 ou y = 3. Para y = 2, temos x = 7 · 2− 16 = −2.
Para y = 3, temos x = 7 · 3 − 16 = 5. Assim, temos os pontos (−2, 2) e (5, 3), esboçados
abaixo junto com o conjunto solução de (x− 7y + 16) ((x− 2)2 + (y + 1)2 − 25) > 0:
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Gabarito da Questão 4 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-1
Questão 4 (2,5 pontos) Considere o sistema de equações abaixo, no qual a é um número real:{
(x− a)2 − y2 = (a+ 1)2
x2 + y2 = 1
Como visto no EP12, um par ordenado (x, y) ∈ R2 será solução do sistema acima se, e somente se,
ele tornar verdadeiras as duas igualdades. Por exemplo, no sistema acima, o ponto (−1, 0) é uma
solução, qualquer que seja o valor de a ∈ R. Vejamos, substituindo (−1, 0) nas equações, temos:
(x− a)2 − y2 = (−1− a)2 − 02 = (−1)2 − 2(−1)a+ a2 = 1 + 2a+ a2 = (a+ 1)2
x2 + y2 = (−1)2 + 02 = 1
Assim, temos (x− a)2 − y2 = (a+ 1)2 e x2 + y2 = 1, portanto as duas igualdades são verdadeiras
e, assim, (−1, 0) é solução do sistema. Note que outras soluções podem existir. Por exemplo, para
a =
1
2
, temos pelo menos mais duas soluções, os pontos
(
1/2,
√
3/2
)
e
(
1/2,
√
3/2
)
.
(a) Para que valores de a ∈ R o sistema possui apenas um par ordenado (x, y) ∈ R2 como solução?
(b) Para que valores de a ∈ R o sistema possui exatamente dois pares ordenados (x, y) ∈ R2 como
solução?
(c) Para que valores de a ∈ R o sistema possui exatamente três pares ordenados (x, y) ∈ R2 como
solução?
(d) Existem algum valor de a ∈ R para o qual o sistema tenha mais de três pares ordenados como
solução?
Atenção: Para entender quantas soluções tem o sistema, não basta estudar separadamente os valo-
res de x ou de y que resolvam as equações. É necessário pensar quantos pares (x, y) ∈ R2 existem
tornando verdadeiras as igualdades. Por exemplo, ao resolver o sistema eliminando o y para obter
um valor de x, o x obtido pode não conduzir a algum valor posśıvel para y
Dica: Lembre-se de que
√
(a+ 2)2 não é necessariamente igual a a + 2. Por exemplo, se
a = −3, temos
√
(a+ 2)2 =
√
(−3 + 2)2 =
√
(−1)2 =
√
1 = 1. A igualdade correta, que sempre
é verdadeira e que você deve utilizar caso apareça na solução, é
√
(a+ 2)2 = |a+ 2|.
Solução:
Antes de resolvermos especificamente cada item, vamos tentar simplificar o sistema.{
(x− a)2 − y2 = (a+ 1)2
x2 + y2 = 1
Uma forma simples de resolver é isolar o y2 na segunda equação, obtendo
y2 = 1− x2.
Substituindo na primeira equação, chegamos a
(x− a)2 − (1− x2) = (a+ 1)2 ⇔ x2 − 2ax+ a2 − 1 + x2 = a2 + 2a+ 1⇔
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 2 – 2020-1 2
⇔ 2x2 − 2ax− 2a− 2 = 0⇔ x2 − ax− a− 1 = 0.
Os valores de x que satisfazem a esta equação são dados por
x =
−(−a)±
√
(−a)2 − 4(1)(−a− 1)
2 · 1
=
a±
√
a2 + 4a+ 4
2
=
a±
√
(a+ 2)2
2
=
a± |a+ 2|
2
.
Vamos avaliar o módulo dividindo em casos:
• Para a+ 2 > 0, isto para a > −2, temos |a+ 2| = a+ 2, logo
x =
a± |a+ 2|
2
=
a± (a+ 2)
2
.
Com isso, temos
x =
a+ (a+ 2)
2
=
2a+ 2
2
= a+ 1 ou x =
a− (a+ 2)
2
=
−2
2
= −1.
Note que estas ráızes serão iguais se, e somente se a = −2.
Com isso, como y2 = 1− x2, teremos{
y2 = 1− (a+ 1)2 , quando x = a+ 1
y2 = 1− (−1)2 , quando x = −1
ou seja {
y2 = 1− (a2 + 2a+ 1) , quando x = a+ 1
y2 = 1− 1 , quando x = −1
ou ainda {
y2 = −a2 − 2a = −a(a+ 2) , quando x = a+ 1
y2 = 0 , quando x = −1
que nos dá {
y = ±
√
−a(a+ 2) , quando x = a+ 1
y = 0 , quando x = −1
Vamos estudar os sinais de −a(a+2), lembrando que estamos avaliando apenas o caso quando
a > −2:
−2 (−2, 0) 0 (0,+∞)
−a + + 0 −
a+ 2 0 + + +
−a(a+ 2) 0 + 0 −
Assim, temos as seguintes ráızes para y:
◦ a = −2: Como −a(a + 2) = 0, temos y = ±
√
−a(a+ 2) = ±
√
0 = 0 quando
x = (−2) + 1 = 1. A outra possibilidade é y = 0 quando x = −1. Pode-se ver, então,
que se trata de uma única solução (x, y) = (−1, 0).
◦ −2 < a < 0. Como −a(a + 2) > 0, temos y =
√
−a(a+ 2) ou y = −
√
−a(a+ 2)
quando x = a+ 1. Além disso, temos a solução y = 0 quando x = −1. Assim, temos 3
soluções (x, y):(
a+ 1,
√
−a(a+ 2)
)
,
(
a+ 1,−
√
−a(a+ 2)
)
e (−1, 0).
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◦ a = 0. Como −a(a + 2) = 0, temos y = ±
√
−a(a+ 2) = ±
√
0 = 0 quando
x = a + 1 = 1. Além disso, temos a solução y = 0 quando x = −1. Assim, temos 2
soluções (x, y):
(1, 0) e (−1, 0).
◦ a > 0: Como −a(a + 2) < 0, não existe a solução y = ±
√
−a(a+ 2) quando x =
(−2) + 1 = 1. Assim, temos apenas y = 0 quando x = −1. Temos então uma única
solução (x, y) = (−1, 0).
• Para a+ 2 < 0, isto para a < −2, temos |a+ 2| = −a− 2, logo
x =
a± |a+ 2|
2
=
a± (−a− 2)
2
.
Com isso, temos
x =
a− a− 2)
2
=
−2
2
= −1 ou x = a+ a+ 2)
2
=
2a+ 2
2
= a+ 1.
Como acima, estas ráızes serão iguais se, e somente se a = −2.
Com isso, como y2 = 1− x2, como no caso anterior, teremos{
y2 = 1− (a+ 1)2 , quando x = a+ 1
y2 = 1− (−1)2 , quando x = −1
ou seja {
y = ±
√
−a(a+ 2) , quando x = a+ 1
y = 0 , quando x = −1
Para a < −2, temos −a > 0 e a+2 < 0, logo −a(a+2) < 0 . Com isso, não existe a solução
y = ±
√
−a(a+ 2) quando x = (−2) + 1 = 1. Assim, temos apenas y = 0 quando x = −1.
Temos então uma única solução (x, y) = (−1, 0).
Juntando os casos acima, temos as seguintes soluções, de acordo com o valor de a:
• a < −2: uma única solução (x, y) = (−1, 0)
• a = −2: uma única solução (x, y) = (−1, 0)
• −2 < a < 0: três soluções (x, y) =
(
a+ 1,
√
−a(a+ 2)
)
, (x, y) =
(
a+ 1,−
√
−a(a+ 2)
)
e (x, y) = (−1, 0).
• a = 0: duas soluções (x, y) = (1, 0) e (x, y) = (−1, 0).
• a > 0: uma única solução (x, y) = (−1, 0).
(a) Pelo que vimos acima, o sistema tem como solução um único par ordenado se, e somente se,
a < −2 ou a = 2 ou a > 0, isto é, se e somente se, a ∈ (−∞,−2] ∪ (0,+∞)
(b) Pelo que vimos acima, o sistema tem como solução dois pares ordenados se, e somente se, a = 0.
(c) O sistema tem três pares ordenados como solução se, e somente se, −2 < a < 0, isto é, se
a ∈ (−2, 0).
(d) Não existe valor de a ∈ R para o qual o sistema tenha mais do que três pares ordenados como
solução.
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