Lista do Plantão do Matemático - Aula 1

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Matemática com alegria e competência Foco na excelência. 
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Lista do Plantão do Matemático - Áreas - Aula 1 
 
1) Considere dois círculos tangentes entre si, de centros A e B sobre a reta r, e tais que o raio de cada um 
tenha medida 10. 
Os segmentos CD e FE são tangentes aos círculos e têm extremidades nos pontos de tangência C, D, E e 
F, como representado na figura a seguir. 
 
 
 
A área da região sombreada é 
a) 100 25 .π 
b) 200 50 .π 
c) 200 50 .π 
d) 400 100 .π 
e) 400 100 .π 
 
2) No triângulo ABC exibido na figura a seguir, M é o ponto médio do lado AB, e N é o ponto médio do 
lado AC. 
 
 
 
Se a área do triângulo MBN é igual a t, então a área do triângulo ABC é igual a 
a) 3t. 
b) 2 3t. 
c) 4t. 
d) 3 2t. 
 
3) Na figura a seguir, são mostradas as medidas em centímetros dos lados de um pentágono PQRST, em 
que os ângulos P e Q são retos. 
 
 
 
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A área, em 2cm , desse pentágono será: 
a) 100 
b) 92 
c) 84 
d) 76 
 
4) Na figura a seguir, temos um triângulo equilátero ABC e duas circunferências concêntricas de centro D, 
uma inscrita e outra circunscrita ao triângulo ABC. Dado que o perímetro do triângulo é 6 cm, a medida 
da área sombreada da figura, em 2cm , é: 
 
 
a) 
3
.
2
 
b) 
3
.
4
 
c) 
3
.
2
π
 
d) 
3
.
4
π
 
e) .π 
 
5) Para o projeto de reforma de uma casa, foi planejada a troca do piso da cozinha. Foi escolhido um 
modelo de piso representado pela Figura 1. No momento de assentar o piso, unindo quatro peças e 
 
 
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invertendo a posição de três delas, obtém-se a Figura 2. 
 
 
 
 
 
Os lados da Figura 1 medem 2 cm cada. A estampa do piso é formada por arcos de circunferência, com 
centros nos pontos E, C e F, de tal forma que BE EC e DF FC. Quanto mede a área escura da Figura 
2? 
a) 26 cm .π 
b) 220 2 cm .π 
c) 24 8 cm .π  
d) 22 cm .π  
e) 224 4 cm .π 
 
6) O triângulo ABC tem área 272 cm e nos seus lados são marcados os pontos M, N e P tais que 
 
- M é o ponto médio de AC; 
- N é o ponto médio de BC; 
- P é o ponto médio de BN. 
 
Nessas condições, a área do triângulo MNP, em 2cm , vale 
a) 24. 
b) 36. 
c) 9. 
d) 18. 
 
 
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e) 32. 
 
7) Se as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo são respectivamente 4 m, 6 m e 8 m, 
então, a medida da área desse triângulo, em 2m , é 
a) 5 6. 
b) 3 15. 
c) 6 5. 
d) 4 15. 
 
8) Seis círculos de raio 1cm são inseridos no paralelogramo MNPQ, de área 2X cm , de acordo com a 
figura abaixo. 
 
 
 
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do paralelogramo, a área X, em 
2cm , é 
a) 11 6 3. 
b) 
30 14 3
.
3

 
c) 10 5 3. 
d) 11 6 3. 
e) 
36 20 3
.
3

 
 
9) Considere a semicircunferência y, que possui raio de 5 5 cm e contém os quadrados ABCD e BEFG, 
conforme indica a imagem. 
 
 
 
Os vértices C, D e F pertencem à y, e os vértices A, B e E estão sobre seu diâmetro. 
 
A área do quadrado BEFG, em 2cm , é igual a: 
 
 
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a) 25 
b) 35 
c) 45 
d) 55 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Como CD e FE são tangentes aos círculos, podemos concluir que CDEF é um quadrado de lado 20. 
A área da região sombreada corresponde à diferença entre as áreas do quadrado CDEF e do círculo inscrito, ou seja, 
2 220 10 400 100 .π π    
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Sendo M o ponto médio de AB e tendo os triângulos AMN e MBN a mesma altura, temos (AMN) (MBN) t.  
Analogamente, sendo N o ponto médio de AC, vem (BCN) (BAN). 
Portanto, a reposta é 4(MBN) 4t. 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
 
 
Traça-se RA // QP e TR, portanto RA 8 cm. 
 
No triângulo retângulo ATR, temos: 
2 2 2TR 6 8 TR 10 cm    
 
Considerando que o triângulo TRS é isósceles, 
Temos: RM 5 cm 
 
No triângulo retângulo RMS, temos: 
2 2 2MS 5 13 MS 12 cm    
 
 
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Portanto, a área do pentágono será dada por: 
PQRA RAT SRT
2
A A A A
8 6 10 12
A 2 8
2 2
A 16 24 60
A 100 cm
  
 
   
  

 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
 
 
6
AB 2 cm MB 1cm
3
    
 
A área da coroa circular assinalada será dada por: 
2 2A (R r )π   
 
No triângulo DMB, temos: 
2 2 2 2R r 1 R r 1     
 
Portanto: 2A (1) cm .π π   
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
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A área do segmento circular definido pela corda CG, no círculo de centro E e raio EC, é dada por 
2 2 2 2
2
1 1 1 1
EC EC 1 1
4 2 4 2
1
cm .
4 2
π π
π
        
 
  
 
 
 
Em consequência, área da parte escura da figura 1 é dada por 
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
AB AB 2 EC 2 2 2 1 4
4 2 4 2 4 4 2
(6 )cm .
π π
π π π π
π
    
                      
    
 
 
 
Desse modo, para encontrar a resposta, basta multiplicar a área da figura 1 por 4, isto é, 24 (6 ) (24 4 )cm .π π    
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
De acordo com as informações do problema e com a figura a seguir, podemos escrever que: 
 
 
 
A área do triângulo ABC é 272 cm . 
1
b h 72 b h 144
2
      
 
Utilizando o Teorema de Tales, temos: 
 
 
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h' MC h' 1 h
h'
h AC h 2 2
     
 
Portanto, a área do triângulo MNP será dada por: 
21 1 b h 144A b' h' 9 cm
2 2 4 2 16
        
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Sendo 
4 6 8
p 9 m
2
 
  o semiperímetro do triângulo, pela fórmula de Heron, temos 
2
9 (9 4) (9 6) (9 8) 9 5 3 1
3 15 m
         

 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
 
 
Na figura, temos: 
 
 
 
 
1
2
3
4
A, 1
B, 1
C, 1
D, 1
λ
λ
λ
λ
 
 
ABC é um triângulo equilátero, pois AB AC BC 2.   
1T é ponto de tangência entre 1λ e MQ, logo, 1AT MQ 
2T é ponto de tangência entre 2λ e MQ, logo, 2BT MQ 
3T é ponto de tangência entre 2λ e QP, logo, 3BT QP 
4T é ponto de tangência entre 4λ e QP, logo, 4DT QP 
5T é ponto de tangência entre 4λ e NP, logo, 5DT NP 
 
Como 1 2 2 1 1 2AT T BT T 90 , AT / /BT .   
Como 1 2 1 2AT / /BT , AT BT 1  e 1 2 2 1 1 2AT T BT T 90 , AT T B   é um retângulo, logo, AB / /MQ. 
Analogamente, BD / /QP, portanto, ˆMQP 60 .  
Os triângulos 3QBT e 2QBT são congruentes, pelo caso LAL, logo, 3 2
60ˆ ˆBQT BQT 30 .
2

    
 
 
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No triângulo 3BQT , 
3
3
3
1
tg30
QT
3 1
3 QT
QT 3
 


 
Os triângulos 4PDT e 5PDT são congruentes, pelo caso LAL, logo, 4 5
120ˆ ˆT PD T PD 60 .
2

    
No triângulo 4PT D, 
44
4
1
tg60
PT
1
3
PT
3
PT
3
 


 
 
Assim, temos: 
 
 
 
Portanto, 
2
6 4 3 12 4 3
X sen 60
3 3
6 4 3 12 4 3 3
X
3 3 2
36 20 3
X cm
3
 
   
 
  


 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Sejam O, L e ,l respectivamente, o centro da circunferência, a medida do lado do quadrado ABCD e a medida do 
quadrado BEFG. Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, do triângulo OBC, encontramos 
2
2 2 2 2 2LOC OB BC (5 5) L
2
L 10cm.
 
     
 
 
 
 
Em consequência, pelo Teorema de Pitágoras, do triângulo OEF, vem 
 
 
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2 2 2 2 2 2
2
OF OE EF (5 5) ( 5)
5 50 0
5cm.
     
   
 
l l
l l
l
 
 
Portanto, segue que a resposta é 2 25 25cm . 
 
 
 
 
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