resumo derivadas parciais

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CALCULO II 
Derivadas parciais 
Numa função de mais de uma variável a derivada parcial num ponto é a taxa de 
variação da função na direção que se deriva no ponto, por exemplo, (a,b) é a 
derivada da função 𝑓(𝑥, 𝑦) somente com relação à incógnita x no ponto (a,b). 
Podemos derivar uma função mais de uma vez com relação a incógnitas 
diferentes. Exemplo: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥𝑒𝑦 − 𝑥𝑦2 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑓𝑥 = 1 + 𝑒
𝑦 − 𝑦2 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑓𝑦 = 𝑥𝑒
𝑦 − 2𝑥𝑦 
 
 
 
 
PS: Quando estamos calculando uma derivada parcial com relação a uma 
incógnita x, nós consideramos todas as outras incógnitas como constantes. 
Seja f uma função de duas variáveis x e y onde 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Suas derivadas 
parciais 
𝝏𝑭
𝝏𝒙
𝒆
𝝏𝑭
𝝏𝒚
 também são funções de duas variáveis x e y, e deste modo 
podemos derivar parcialmente cada uma delas em relação a x e a y. 
𝝏𝑭
𝝏𝒙
𝒆
𝝏𝑭
𝝏𝒚
 são chamadas de derivadas parciais de primeira ordem de f. 
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝒇
𝝏𝒙
) =
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝟐
 𝒐𝒖 𝒇𝒙𝒙 Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a x 
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝒇
𝝏𝒚
) =
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝟐
 𝒐𝒖 𝒇𝒚𝒚 Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a y 
𝝏
𝝏𝒙
(
𝝏𝒇
𝝏𝒚
) =
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚
 𝒐𝒖 𝒇𝒙𝒚 Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a x e em 
relação a y 
 
𝝏
𝝏𝒚
(
𝝏𝒇
𝝏𝒙
) =
𝝏𝟐𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
 𝒐𝒖 𝒇𝒚𝒙 Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a y e em 
relação a x 
 
Em resumo, podemos dizer que uma função z=f(x,y) com duas variáveis x e 
y possui naturalmente duas derivadas. São as chamadas derivadas parciais 
de F em relação a X e outra em relação a Y 
 
TEOREMA DE SCHWARZ : Seja f uma função de duas variáveis reais com 
derivadas parciais contínuas até a 2ª ordem, então podemos assumir que 𝐹𝑥𝑦 =
𝐹𝑦𝑥 
 
Interpretação geométrica das derivadas parciais 
 Equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 𝑥0, 𝑦0,𝑓(𝑥0, 𝑦0,) 
𝑧 − 𝑧0 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) 
 Aproximação linear 
A linearização é uma superfície que possui valores muito próximos aos da função 𝑓(𝑥, 𝑦) 
no ponto (𝑥0, 𝑦0). A equação da linearização é: 
𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) 
Derivação Implícita 
Para calcularmos derivadas implícitas de funções 𝑓(𝑥, 𝑦)=0 recorremos a seguinte formula: 
𝜕𝑥
𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
Vetor Gradiente 
O vetor gradiente de F em ponto (x,y) qualquer é dado pela expressão: 
∇⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) 
Derivada direcional 
A derivada direcional 𝐷𝑢𝑓 é a derivada numa direção dada por um vetor unitário �⃗� = (𝑎, 𝑏). 
Para calcula-la usamos a seguinte formula: 
𝐷𝑢𝑓(𝑥, 𝑦) = �⃗� ∗ ∇⃗⃗ 𝑓 
PS: A derivada direcional de f no ponto (x,y) é máxima se for igual a |∇⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦)| . Esta 
derivada é obtida se for calculada na direção do vetor ∇⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦). 
A derivada direcional de f no ponto (x,y) é mínima se for igual a -|∇⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦)|. Esta derivada 
é obtida se for calculada na direção do vetor OPOSTO ∇⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦). 
Máximos e mínimos 
Para calcular máximos e mínimos locais, precisamos resolver o sistema 
𝝏𝑭
𝝏𝒙
= 𝟎 
𝝏𝑭
𝝏𝒚
= 𝟎 
E calculamos o determinante da matriz (hessiano): H(a,b)= |
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
| 
Agora, para cada solução (a,b) do sistema inicial fazemos os testes: 
 Se D (a, b) > 0 e fxx (a, b) < 0, então (a, b) é ponto de máximo local. 
 Se D (a, b) > 0 e fxx (a, b) > 0, então (a, b) é ponto de mínimo local. 
 Se D (a, b) < 0 então (a, b) é ponto de sela. 
Para calcular máximos e mínimos globais em uma região, fazemos teste de máximos e 
mínimos locais, restringimos os pontos à região e depois analisamos a fronteira da região 
 
 
 
 
 
Método de lagrange 
No método de lagrange, nosso objetivo e encontrar máximos e mínimos em restrições. No 
caso, f é a função que queremos encontrar seus máximos e mínimos e g = k é a restrição. 
O método consiste em resolver o sistema: 
{
∇⃗⃗ f = λ∇g
𝑔 = 𝑘
} 
Como encontrar máximos e mínimos absolutos de uma função f em um conjunto 
compacto? 
1. Encontrar pontos críticos de f; 
2. Encontrar pontos críticos de f na fronteira (BORDO) da região compacta; 
3. Calcular o valor de z para cada ponto crítico; 
 
Onde λ é uma incógnita, que chamamos de multiplicador de lagrange. As soluções do 
sistema são os candidatos a máximos e mínimos, depois disso é só testar os valores 
desses pontos. Caso haja mais de uma restrição, acrescenta-se mais um multiplicador ao 
sistema e a nova restrição 
{
∇⃗⃗ f = λ∇g + γ∇h
𝑔 = 𝑘
ℎ = 𝑡
} 
PS: Calcule f em todos os pontos (x, y, z) encontrados no passo anterior. O maior desses 
valores é o máximo de f, e o menor será o mínimo de f.