resumo derivadas parciais
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resumo derivadas parciais

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CALCULO II 
Derivadas parciais 
Numa função de mais de uma variável a derivada parcial num ponto é a taxa de 
variação da função na direção que se deriva no ponto, por exemplo, (a,b) é a 
derivada da função \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) somente com relação à incógnita x no ponto (a,b). 
Podemos derivar uma função mais de uma vez com relação a incógnitas 
diferentes. Exemplo: 
\ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) = \ud835\udc65 + \ud835\udc65\ud835\udc52\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc65\ud835\udc662 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
= \ud835\udc53\ud835\udc65 = 1 + \ud835\udc52
\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc662 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
= \ud835\udc53\ud835\udc66 = \ud835\udc65\ud835\udc52
\ud835\udc66 \u2212 2\ud835\udc65\ud835\udc66 
 
 
 
 
PS: Quando estamos calculando uma derivada parcial com relação a uma 
incógnita x, nós consideramos todas as outras incógnitas como constantes. 
Seja f uma função de duas variáveis x e y onde \ud835\udc67 = \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66). Suas derivadas 
parciais 
\ud835\udf4f\ud835\udc6d
\ud835\udf4f\ud835\udc99
\ud835\udc86
\ud835\udf4f\ud835\udc6d
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
 também são funções de duas variáveis x e y, e deste modo 
podemos derivar parcialmente cada uma delas em relação a x e a y. 
\ud835\udf4f\ud835\udc6d
\ud835\udf4f\ud835\udc99
\ud835\udc86
\ud835\udf4f\ud835\udc6d
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
 são chamadas de derivadas parciais de primeira ordem de f. 
\ud835\udf4f
\ud835\udf4f\ud835\udc99
(
\ud835\udf4f\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc99
) =
\ud835\udf4f\ud835\udfd0\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc99\ud835\udfd0
 \ud835\udc90\ud835\udc96 \ud835\udc87\ud835\udc99\ud835\udc99 Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a x 
\ud835\udf4f
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
(
\ud835\udf4f\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
) =
\ud835\udf4f\ud835\udfd0\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc9a\ud835\udfd0
 \ud835\udc90\ud835\udc96 \ud835\udc87\ud835\udc9a\ud835\udc9a Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a y 
\ud835\udf4f
\ud835\udf4f\ud835\udc99
(
\ud835\udf4f\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
) =
\ud835\udf4f\ud835\udfd0\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc99\ud835\udf4f\ud835\udc9a
 \ud835\udc90\ud835\udc96 \ud835\udc87\ud835\udc99\ud835\udc9a Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a x e em 
relação a y 
 
\ud835\udf4f
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
(
\ud835\udf4f\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc99
) =
\ud835\udf4f\ud835\udfd0\ud835\udc87
\ud835\udf4f\ud835\udc9a\ud835\udf4f\ud835\udc99
 \ud835\udc90\ud835\udc96 \ud835\udc87\ud835\udc9a\ud835\udc99 Derivada parcial de 2º ordem de F em relação a y e em 
relação a x 
 
Em resumo, podemos dizer que uma função z=f(x,y) com duas variáveis x e 
y possui naturalmente duas derivadas. São as chamadas derivadas parciais 
de F em relação a X e outra em relação a Y 
 
TEOREMA DE SCHWARZ : Seja f uma função de duas variáveis reais com 
derivadas parciais contínuas até a 2ª ordem, então podemos assumir que \ud835\udc39\ud835\udc65\ud835\udc66 =
\ud835\udc39\ud835\udc66\ud835\udc65 
 
Interpretação geométrica das derivadas parciais 
\uf0b7 Equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto \ud835\udc650, \ud835\udc660,\ud835\udc53(\ud835\udc650, \ud835\udc660,) 
\ud835\udc67 \u2212 \ud835\udc670 = \ud835\udc53(\ud835\udc650, \ud835\udc660) +
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
(\ud835\udc650, \ud835\udc660)(\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc650) +
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
(\ud835\udc650, \ud835\udc660)(\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc660) 
\uf0b7 Aproximação linear 
A linearização é uma superfície que possui valores muito próximos aos da função \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) 
no ponto (\ud835\udc650, \ud835\udc660). A equação da linearização é: 
\ud835\udc3f(\ud835\udc65, \ud835\udc66) = \ud835\udc53(\ud835\udc650, \ud835\udc660) +
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
(\ud835\udc650, \ud835\udc660)(\ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc650) +
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
(\ud835\udc650, \ud835\udc660)(\ud835\udc66 \u2212 \ud835\udc660) 
Derivação Implícita 
Para calcularmos derivadas implícitas de funções \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66)=0 recorremos a seguinte formula: 
\ud835\udf15\ud835\udc65
\ud835\udf15\ud835\udc66
=
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
 
Vetor Gradiente 
O vetor gradiente de F em ponto (x,y) qualquer é dado pela expressão: 
\u2207\u20d7\u20d7 \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) = (
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
,
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
) 
Derivada direcional 
A derivada direcional \ud835\udc37\ud835\udc62\ud835\udc53 é a derivada numa direção dada por um vetor unitário \ufffd\u20d7\ufffd = (\ud835\udc4e, \ud835\udc4f). 
Para calcula-la usamos a seguinte formula: 
\ud835\udc37\ud835\udc62\ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) = \ufffd\u20d7\ufffd \u2217 \u2207\u20d7\u20d7 \ud835\udc53 
PS: A derivada direcional de f no ponto (x,y) é máxima se for igual a |\u2207\u20d7\u20d7 \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66)| . Esta 
derivada é obtida se for calculada na direção do vetor \u2207\u20d7\u20d7 \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66). 
A derivada direcional de f no ponto (x,y) é mínima se for igual a -|\u2207\u20d7\u20d7 \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66)|. Esta derivada 
é obtida se for calculada na direção do vetor OPOSTO \u2207\u20d7\u20d7 \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66). 
Máximos e mínimos 
Para calcular máximos e mínimos locais, precisamos resolver o sistema 
\ud835\udf4f\ud835\udc6d
\ud835\udf4f\ud835\udc99
= \ud835\udfce 
\ud835\udf4f\ud835\udc6d
\ud835\udf4f\ud835\udc9a
= \ud835\udfce 
E calculamos o determinante da matriz (hessiano): H(a,b)= |
\ud835\udf152\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc652
\ud835\udf152\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65\ud835\udf15\ud835\udc66
\ud835\udf152\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65\ud835\udf15\ud835\udc66
\ud835\udf152\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc662
| 
Agora, para cada solução (a,b) do sistema inicial fazemos os testes: 
\uf0d8 Se D (a, b) > 0 e fxx (a, b) < 0, então (a, b) é ponto de máximo local. 
\uf0d8 Se D (a, b) > 0 e fxx (a, b) > 0, então (a, b) é ponto de mínimo local. 
\uf0d8 Se D (a, b) < 0 então (a, b) é ponto de sela. 
Para calcular máximos e mínimos globais em uma região, fazemos teste de máximos e 
mínimos locais, restringimos os pontos à região e depois analisamos a fronteira da região 
 
 
 
 
 
Método de lagrange 
No método de lagrange, nosso objetivo e encontrar máximos e mínimos em restrições. No 
caso, f é a função que queremos encontrar seus máximos e mínimos e g = k é a restrição. 
O método consiste em resolver o sistema: 
{
\u2207\u20d7\u20d7 f = \u3bb\u2207g
\ud835\udc54 = \ud835\udc58
} 
Como encontrar máximos e mínimos absolutos de uma função f em um conjunto 
compacto? 
1. Encontrar pontos críticos de f; 
2. Encontrar pontos críticos de f na fronteira (BORDO) da região compacta; 
3. Calcular o valor de z para cada ponto crítico; 
 
Onde \u3bb é uma incógnita, que chamamos de multiplicador de lagrange. As soluções do 
sistema são os candidatos a máximos e mínimos, depois disso é só testar os valores 
desses pontos. Caso haja mais de uma restrição, acrescenta-se mais um multiplicador ao 
sistema e a nova restrição 
{
\u2207\u20d7\u20d7 f = \u3bb\u2207g + \u3b3\u2207h
\ud835\udc54 = \ud835\udc58
\u210e = \ud835\udc61
} 
PS: Calcule f em todos os pontos (x, y, z) encontrados no passo anterior. O maior desses 
valores é o máximo de f, e o menor será o mínimo de f.