Flujo_de_campo_electrico

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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE 
FÍSICA II. 
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA 
ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y 
TECNOLOGÍA. 
CAPÍTULO 3: FLUJO DE CAMPO 
ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS. 
 
 
 
 
 
Ing. Willians Medina. 
 
 
 
Maturín, julio de 2017. 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2 
 
CONTENIDO. 
 
CONTENIDO........................................................................................................................ 2 
PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 5 
ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 7 
Fórmulas básicas de geometría. .......................................................................................... 9 
3.1.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS PUNTUALES. ............... 10 
Ejemplo 3.1. ................................................................................................................... 10 
Ejemplo 3.2. Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 688. ......................... 10 
Ejemplo 3.3. Problema 10 del Serway. Séptima Edición. Página 687. ......................... 10 
Ejemplo 3.4. ................................................................................................................... 10 
Ejemplo 3.5. Problema 11 del Serway. Quinta Edición. ............................................... 10 
Ejemplo 3.6. Problema 6 del Serway. Séxta Edición. Página 755................................. 11 
Ejemplo 3.7. Problema 9 del Serway. Séptima Edición. Página 687. ........................... 11 
Ejemplo 3.8. Problema 14 del Serway. Quinta Edición. ............................................... 11 
Ejemplo 3.9. Problema 7 del Serway. Séptima Edición. Página 687. ........................... 11 
Ejemplo 3.10. Problema 14 del Serway. Séptima Edición. Página 687. ....................... 12 
Ejemplo 3.11. Problema 13 del Serway. Séptima Edición. Página 687. ....................... 12 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 12 
3.2.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES CONTINUAS 
DE CARGA. ......................................................................................................................... 14 
Varillas. ............................................................................................................................. 14 
Ejemplo 3.12. Problema 15 del Serway. Séptima Edición. Página 687. ....................... 14 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 15 
Esferas. .............................................................................................................................. 15 
Ejemplo 3.13. ................................................................................................................. 15 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 16 
Cilindros. ........................................................................................................................... 16 
Ejemplo 3.14. ................................................................................................................. 16 
3.3.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES REGULARES 
PLANAS. .............................................................................................................................. 17 
Campo eléctrico constante. ............................................................................................... 17 
Ejemplo 3.15. ................................................................................................................. 17 
Ejemplo 3.16. Un plano de carga. .................................................................................. 17 
Ejemplo 3.17. Problema 5 del Serway. Quinta Edición. ............................................... 18 
Ejemplo 3.18. Problema 4 del Serway. Séptima Edición. Página 686 – 687. ............... 18 
Ejemplo 3.19. Problema 9 del Serway. Quinta Edición. ............................................... 18 
Ejemplo 3.20. Campo uniforme en superficie tetraédrica. Problema PR-3.10 del 
Figueroa. Quinta Edición. Página 120. .......................................................................... 19 
Ejemplo 3.21. ................................................................................................................. 19 
Ejemplo 3.22. Problema 3 del Serway. Séptima Edición. Página 686. ......................... 19 
Ejemplo 3.23. Problema 29 del Tipler. Sexta Edición. Página 758. .............................. 19 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 20 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Campo eléctrico variable. .................................................................................................. 23 
Ejemplo 3.24. ................................................................................................................. 23 
Ejemplo 3.25. Problema 2 del Serway. Quinta Edición. Página 631............................. 24 
Ejemplo 3.26. Problema 6 del Serway. Quinta Edición. ............................................... 24 
Ejemplo 3.27. ................................................................................................................. 24 
Ejemplo 3.28. Flujo eléctrico a través de un disco circular. Problema 56 del Serway. 
Séptima Edición. Página 690. Problema PR-3.04 del Figueroa. Quinta Edición. Página 
115.................................................................................................................................. 25 
Ejemplo 3.29. Superficie cilíndrica encerrando carga puntual. Problema PR-3.05 del 
Figueroa. Quinta Edición. Página 115. .......................................................................... 26 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 27 
3.4.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES REGULARES 
CURVAS. ............................................................................................................................. 28 
Ejemplo 3.30. Problema 8 del Serway. Quinta Edición. ............................................... 28 
Ejemplo 3.31. ................................................................................................................. 29 
Ejemplo 3.32. ................................................................................................................. 29 
Ejemplo 3.33. Flujo eléctrico en superficie cilíndrica. Problema PR-3.02 del Figueroa. 
Quinta edición. Página 113. ........................................................................................... 30 
Ejemplo 3.34. Flujo eléctrico a través de un hemisferio. Problema 3 del Resnick. 
Quinta Edición. Página 629. Problema PR-3.03 del Figueroa. Quinta Edición. Página 
114.................................................................................................................................. 30 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 31 
3.5. LA LEY DE GAUSS. .................................................................................................... 32 
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ESFÉRICAMENTE SIMÉTRICA. .......................... 32 
Relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área. ........................................... 32 
Campoeléctrico de una distribución de carga con simetría esférica. ............................... 33 
Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría cilíndrica. ............................. 34 
No conductores. ................................................................................................................. 34 
Ejemplo 3.35. ................................................................................................................. 34 
Ejemplo 3.36. ................................................................................................................. 34 
Ejempo 3.37. Problema 12 del Serway. Quinta Edición................................................ 35 
Ejemplo 3.38. ................................................................................................................. 35 
Ejemplo 3.39. ................................................................................................................. 35 
Ejemplo 3.40. Problema 42 del Tipler. Sexta Edición. Página 759. .............................. 36 
Ejemplo 3.41. Problema 57 del Serway. Séptima Edición. Página 690. ....................... 36 
Ejemplo 3.42. Modelo de cargas en un núcleo atómico. Problema PR-3.16 del 
Figueroa. Página 125. .................................................................................................... 37 
Ejemplo 3.43. Campo constante dentro de una esfera cargada. Problema PR-3.18 del 
Figueroa. Página 128. Problema 13 del Resnick. Quinta Edición. Página 632. ............ 37 
Ejemplo 3.44. ................................................................................................................. 38 
Ejemplo 3.45. ................................................................................................................. 38 
Ejemplo 3.46. ................................................................................................................. 39 
Ejemplo 3.47. ................................................................................................................. 39 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 4 
 
Ejemplo 3.48. Problema 1 del Resnick, Quinta Edición. Página 631. ........................... 40 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 40 
Conductores. ...................................................................................................................... 48 
Ejemplo 3.49. ................................................................................................................. 48 
Ejemplo 3.50. ................................................................................................................. 49 
Ejemplo 3.51. ................................................................................................................. 49 
Ejemplo 3.52. ................................................................................................................. 50 
Ejemplo 3.53. ................................................................................................................. 50 
Ejemplo 3.54. Problema 47 del Serway. Séptima Edición. Página 689. ....................... 51 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 51 
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CILÍNDRICAMENTE SIMÉTRICA....................... 58 
No conductores. ................................................................................................................. 58 
Ejemplo 3.55. ................................................................................................................. 58 
Ejemplo 3.56. Cilindro macizo con carga no homogénea. Problema PR-3.13 del 
Figueroa. Página 122. .................................................................................................... 58 
Ejemplo 3.57. ................................................................................................................. 59 
Ejemplo 3.58. ................................................................................................................. 59 
Ejemplo 3.59. ................................................................................................................. 60 
Ejemplo 3.60. ................................................................................................................. 60 
Ejemplo 3.61. Problema 31 del Serway. Séptima Edición. Página 688. ....................... 61 
Ejemplo 3.62. ................................................................................................................. 61 
Ejemplo 3.63. ................................................................................................................. 61 
Ejemplo 3.64. Problema 8 del Resnick. Quinta Edición. Página 632. ........................... 62 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 62 
Conductores. ...................................................................................................................... 68 
Ejemplo 3.65. Problema 18 del Resnck. Quinta Edición. Página 630. .......................... 68 
Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 69 
BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................... 73 
TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE 
ELECTRICIDAD (FÍSICA II). ......................................................................................... 74 
OBRAS DEL MISMO AUTOR. ....................................................................................... 75 
OFERTA DE SERVICIOS. ............................................................................................... 78 
 
 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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PRESENTACIÓN. 
 
El presente es un Manual de Ejercicios de Física II para estudiantes de Ingeniería, 
Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de 
Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y 
Química de reconocidas Universidades en Venezuela. 
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de 
algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación 
en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los 
mismos. 
Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada 
en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor 
sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente 
en la literatura. 
Este manual, cuyo contenido se limita al estudio del flujo de campo eléctrico y la 
ley de Gauss, contiene los fundamentos teóricos, 65 ejercicios resueltos paso a paso y 101 
ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes 
autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están 
tomando un curso universitario de Electricidad (Física II), así como por profesores que 
estén impartiendo clases en el área de enseñanza de Electricidad y Física II para estudiantes 
de Ingeniería, Ciencia y Tecnología. 
Antes de abordar los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante debe 
haber tomado un curso sobre Fuerza Eléctrica, Ley de Coulomb y Campo Eléctrico. 
El concepto de flujo de campo eléctrico y ley de Gauss es fundamental en el estudio 
de la Electricidad, pues es la base de algunas definiciones involucradas en el estudio de estamateria (potencial eléctrico), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa 
el espectro de situaciones involucradas en el manejo del flujo de campo eléctrico tanto en 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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el plano como en el espacio y debido a cargas puntuales y distribuciones continuas de carga 
así como a través de diversas superficies. 
Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante 
puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente al potencial eléctrico. 
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta 
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física y la Electricidad, así como las 
sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar 
directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, correo 
electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó 
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas. 
 
Ing. Willians Medina. 
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ACERCA DEL AUTOR. 
 
 
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la 
Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó 
sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas 
mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por 
LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios 
universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó 
como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica 
Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a 
la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de 
Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado 
Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma 
corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte 
del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan 
Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de 
preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando 
finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad 
de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos 
de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, 
forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, 
Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), 
cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), 
Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV 
(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de 
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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. El autor de video tutoriales para la 
enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a 
través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de 
ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, 
Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de 
Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. 
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración 
de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso 
y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, 
siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a 
los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como 
una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017) 
ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a 
través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con 
privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual 
cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa) 
mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros 
de Venezuela. 
 
 
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Fórmulas básicas de geometría. 
Cilindro. 
 
Área de las superficies 
circulares: 2rS  
Área de la superficie lateral: 
LrS 2 
Volumen: LrV 2 
Esfera. 
 
Área de la superficie: 
24 rS  
Volumen: 
3
3
4 rV  
Cono circular 
recto. 
 
Área de la superficie circular: 
2rS  
Área de la superficie lateral: 
22 hrrS  
Cono truncado. 
 
Área de la superficie circular 
superior: 
2
1rS  
Área de la superficie circular 
inferior: 
2
2rS  
Área de la superficie lateral: 
22
1221 )()( hrrrrS   
 
r 
L 
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3.1.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS PUNTUALES. 
Ejemplo 3.1. 
Una carga puntual C 104
8q se halla en el centro de una superficie cúbica de 4 cm de 
arista. Calcule el flujo del campo eléctrico en dicha superficie cerrada. 
Solución. 
Ejemplo 3.2. Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 688. 
Una carga de C 170  está en el centro de un cubo con una arista de 80.0 cm. a) Determine 
el flujo total a través de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el flujo a través de la 
superficie total del cubo. c) Cambiarían sus respuestas a los incisos a) y b) en caso de que la 
carga no estuviera ubicada en el centro? Explique por qué. 
Solución. 
Ejemplo 3.3. Problema 10 del Serway. Séptima Edición. Página 687. 
Una carga puntual de C 0.12  está colocada en el centro de un cascarón esférico con un 
radio de 22.0 cm. ¿Cuál es el flujo eléctrico total que pasa a través de a) la superficie del 
cascarón y b) cualquier superficie hemisférica de la misma? c) Dependen los resultados del 
radio del cascarón? Explique su respuesta. 
Solución. 
Ejemplo 3.4. 
Una carga puntual de C0462.0  está dentro de una pirámide. Determinar el flujo eléctrico 
total a través de la superficie de la pirámide. 
Solución. 
Ejemplo 3.5. Problema 11 del Serway. Quinta Edición. 
Una carga puntual de C5 se coloca en el centro de una esfera con un radio de 12 cm. 
¿Cuál es el flujo eléctrico a través de la superficie de esta esfera? 
Solución. 
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Ejemplo 3.6. Problema 6 del Serway. Séxta Edición. Página 755. 
Una carga puntual q está ubicada en el centro de un anillo uniforme que tiene una densidad 
de carga lineal  y un radio a, según se observa en la figura. Determine el flujo eléctrico 
total a través de una esfera centrada en la cargapuntual y de radio R, siendo R < a. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.7. Problema 9 del Serway. Séptima Edición. Página 687. 
En la figura se muestran cuatro superficies cerradas, S1 a S4, así como las cargas –2 Q, Q y 
–Q. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la página). 
Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.8. Problema 14 del Serway. Quinta Edición. 
a) Dos cargas de C 8 y C 5 están dentro de un cubo cuyo lado es 0.45 m. ¿Cuál es el 
flujo eléctrico total a través del cubo? Repita a) si las mismas cargas están dentro de un 
cascarón esférico de radio 0.45 m. 
Solución. 
Ejemplo 3.9. Problema 7 del Serway. Séptima Edición. Página 687. 
Las cargas siguientes están localizadas en el interior de un submarino: C 00.5  , 
C 00.9  , C 0.27  y C 84.0  . a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del 
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submarino. b) Cómo es el número de líneas de campo eléctrico que salen en comparación 
con las que entran, igual o menor? 
Solución. 
Ejemplo 3.10. Problema 14 del Serway. Séptima Edición. Página 687. 
Una carga puntual positiva Q está en el centro de un cubo de arista L. Además otras seis 
cargas puntuales negativas idénticas q están colocadas simétricamente alrededor de Q como 
se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.11. Problema 13 del Serway. Séptima Edición. Página 687. 
Una carga puntual C00.5 Q se localiza en el centro de un cubo de arista L = 0.100 m. 
Además, simétricamente alrededor de Q, como se muestra en la figura, existen otras seis 
cargas puntuales idénticas C00.1 q . Determine el flujo eléctrico a través de una de las 
caras del cubo. 
Solución. 
Ejercicios propuestos. 
1. [TM] Medidas cuidadosas del campo eléctrico en la superficie de una caja negra indican 
que el flujo neto que sale de la superficie de la caja es 6.0 kN.m
2
/C. a) ¿Cuál es la carga 
neta en el interior de la caja? b) Si el flujo neto que sale de la superficie de la caja fuese 
cero, ¿podría obtenerse la conclusión de que no hay ninguna carga en el interior de la caja? 
Explique sus respuestas. 
Respuesta: a) C 103125.5
8q . 
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2. [RH] Separamos la carga de un conductor aislado originalmente sin carga sosteniendo 
muy cerca una varilla de carga positiva, como se indica en la figura. Calcule el flujo que 
pasa por las cinco superficies gaussianas mostradas. Suponga que la carga negativa 
inducida en el conductor es igual a la carga positiva q de la varilla. 
 
Respuesta: 
0
1

q
 , 
0
2

q
 , 
0
3

q
 , 04  , 
0
5

q
 
3. [TM] ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una cara de un cubo que tiene una carga 
puntual de C 00.3  en su centro? 
Respuesta: /CN.m 45.56470 2E 
4. [RH] Una carga puntual de C .841  está en el centro de una superficie cúbica gaussiana, 
de 55 cm de lado. Calcule E a través de la superficie. 
Respuesta: /CkN.m 208 2E 
5. [TM] Una carga puntual está colocada en el centro de un cubo imaginario de 20 cm de 
lado. El flujo eléctrico que sale de una de sus caras es –1.50 kN.m
2
/C. ¿Cuánta carga hay en 
su centro? 
Respuesta: C 109687.7 8q 
6. [RS] Una esfera de radio R rodea una carga puntual Q, que se encuentra en su centro. a) 
Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo  es 
)cos1(
2 0



Q
E . ¿Cuál es el flujo correspondiente para b) º90 y c) º180 ? 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Respuesta: b) 
02
Q
E  ; c) 
0
Q
E  
7. [RS] Una carga puntual Q se localiza justo por encima del centro de la cara plana de un 
hemisferio de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico que pasa a) a 
través de la superficie curva y b) a través de la cara plana? 
 
Respuesta: a) 
02
Q
E  ; b) 
02
Q
E

 
3.2.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES 
CONTINUAS DE CARGA. 
Varillas. 
Ejemplo 3.12. Problema 15 del Serway. Séptima Edición. Página 687. 
Una carga lineal infinitamente larga con una carga uniforme por unidad de longitud  está 
a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico 
total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como resultado de la 
carga lineal. Tome en cuenta cuando R < d y R > d. 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Solución. 
Ejercicios propuestos. 
8. [DF] Una línea recta de carga infinita, con densidad  , atraviesa un cubo de lado a, 
perpendicularmente a dos de sus caras y por sus centros, como se indica en la figura. ¿Cuál 
es el flujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras del cubo? 
 
Respuesta: Cara que intersectan la línea de carga: 0E , Caras que no intersectan a la 
línea de carga: 
04
a
E 
 
Esferas. 
Ejemplo 3.13. 
Una esfera no conductora de radio R = 1 m tiene una densidad de carga 
34C/m102  . 
¿Cuál es el flujo del campo eléctrico de esta esfera en otra esfera concéntrica con la cargada 
y de radio: 
a) r = R/2 
b) r = 2 R 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Solución. 
Ejercicios propuestos. 
9. Una esfera no conductora tiene un radio igual a 1 m y una densidad de carga 
310 C/m 102  . Calcule el flujo del campo eléctrico de esta esfera en un cubo de arista 
0.5 m y cuyo centro coincide con el centro de la esfera. 
Respuesta: /CN.m 8248.2 2E 
10. [RS] Una esfera sólida aislante, de radio a, tiene una densidad de carga volumétrica 
uniforme y tiene una carga positiva total Q. Una superficie de radio r, que comparte un 
centro común con la esfera aislante, se infla partiendo de r = 0. a) Encuentre una expresión 
para el flujo eléctrico que pasa a través de la superficie de la esfera como función de r para 
r < a. b) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico para r > a. c) grafique el flujo en 
términos de r. 
Respuesta: a) 
3
0
3
a
rQ
E

 ; b) 
0
Q
E  
11. [RH] Una esfera conductora cargada uniformemente de 1.22 m de radio tiene una 
densidad de carga superficial de 
2C/m .138  . ¿Cuál es el flujo eléctrico total que sale de su 
superficie? 
Respuesta: /CN.m107174.1 27E 
Cilindros. 
Ejemplo 3.14. 
Un cilindro de radio a y longitud L tiene una carga uniforme 0 . Determinar el flujo en la 
superficie exterior del cilindro. 
R 
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Solución. 
3.3.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES 
REGULARES PLANAS. 
Campo eléctrico constante. 
Ejemplo 3.15. 
Una superficie plana de área A está inclinada de modo que su normal hace un ángulo  con 
un campo eléctrico uniforme E. Calcúlese E para esta superficie. 
Solución. 
Ejemplo 3.16. Un plano de carga. 
Determinar el flujo a través de la superficie plana de área “A” que se encuentra cerca de un 
plano no conductor e infinito que lleva una carga por unidad de área “ ”. 
 
Solución. 
aL 
 
A 
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Ejemplo 3.17. Problema 5 del Serway. Quinta Edición. 
Una espira de 40 cm de diámetro se rota en un campo eléctrico hasta encontrar la posición 
de máximo flujo eléctrico. El flujo eléctrico en esa posición es de C/N.m 102.5 25 . ¿Cuál 
es la intensidad del campo eléctrico?. 
Solución. 
Ejemplo 3.18. Problema 4 del Serway. Séptima Edición. Página 686 – 687. 
Imagine una caja triangular cerrada en reposo en un campo eléctrico horizontal con una 
magnitud de N/C 1080.7 4E , como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico a 
través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, c) la superficie total 
de la caja. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.19. Problema 9 del Serway. Quinta Edición. 
Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de 4.00 m 
está colocada en un campo eléctrico vertical de 52.0 N/C. Calcule: 
a) El flujo eléctrico total que pasa a través de las cuatro superficies inclinadas de la 
pirámide. 
b) El flujo eléctrico que pasa a través de la base. 
c) Verifique que el flujo eléctrico total a través de la pirámide es cero. 
Solución. 
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Ejemplo 3.20. Campo uniforme en superficie tetraédrica. Problema PR-3.10 del 
Figueroa. Quinta Edición. Página 120. 
Un campo uniforme, oE

, está aplicado a un tetraedro regular cuyas caras son triángulos 
equiláteros de lado a. Si el campo lo atraviesa perpendicularmente por su base, determine el 
flujo eléctrico a través de cada una de las tres caras superiores del tetraedro. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.21. 
[RS] Un campo eléctrico de magnitud 3.50 kN/C es aplicado a lo largo del eje de las x. 
Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350 m de ancho y 0.700 m 
de largo suponiendo que a) el plano es paralelo al plano y z, b) el plano es paralelo al plano 
x y, c) el plano contiene el eje de las y, y su normal forma un ángulo de 40º con el eje de las 
x. 
Solución. 
Ejemplo 3.22. Problema 3 del Serway. Séptima Edición. Página 686. 
Un campo eléctrico uniforme jbiaE  atraviesa por una superficie de área A. ¿Cuál es 
el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) en el plano y z, b) en el 
plano x z y c) en el plano x y? 
Solución. 
Ejemplo 3.23. Problema 29 del Tipler. Sexta Edición. Página 758. 
Un campo eléctrico dado por E = (300 N/C) i para x > 0 y E = (–300 N/C) i para x < 0. Un 
cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 4 cm de radio tiene su centro en el origen y su 
eje está situado a lo largo del eje x de modo que una de las bases está en x = 10 cm y la otra 
en x = –10 cm. a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada base? b) ¿Cuál es el flujo que 
E 
a 
a 
a 
a 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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atraviesa toda la superficie curvada (lateral) del cilindro? c) ¿Cuál es el flujo neto que 
atraviesa toda la superficie cilíndrica? d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro? 
Solución. 
Ejercicios propuestos. 
12. [RH] La superficie cuadrada de la figura mide 3.2 mm por lado. Está inmersa en un 
campo eléctrico uniforme con E = 1800 N/C. Las líneas del campo forman un ángulo de 
65º con la normal “que apunta hacia afuera”, como muestra en la figura. Calcule el flujo 
que atraviesa la superficie. 
 
Respuesta: –7.8 mN.m
2
/C 
13. Una superficie plana que tiene un área de 32 m
2
 se rota en un campo eléctrico uniforme 
de intensidad N/C102.6 5E . Calcule el flujo eléctrico a través del área cuando el 
campo eléctrico está: a) perpendicular a la superficie, b) paralelo a la superficie y c) 
haciendo un ángulo de 75º con el plano de la superficie. 
Respuesta: a) 0E ; /CN.m 10984.1
27E ; c) /CN.m 109164.1
27E 
14. [TM] Consideremos el campo eléctrico uniforme (–3 N/C) i + (4 N/C) j. a) ¿Cuál es el 
flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al 
plano y z? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano 
forma un ángulo de 30º con el eje x? 
Respuesta: a) /CN.m 03.0
2E ; b) /CN.m 109808.5
23E 
15. [RS] En un día en el cual existe la amenaza de una tormenta eléctrica existe un campo 
eléctrico vertical de magnitud N/C1000.2
4 por arriba de la superficie de la Tierra. Un 
automóvil con un tamaño rectangular de 6.00 m por 3.00 m circula por una carretera con 
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una inclinación descendente de 10.0º. Determine el flujo eléctrico que corre a través del 
fondo del automóvil. 
Respuesta: 355 kN.m
2
/C 
16. [RS] En un campo eléctrico uniforme se hace girar un lazo con un diámetro de 40.0 cm 
hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esa 
posición tiene un valor de /CN.m 1020.5 25 . ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 
Respuesta: 4.14 MN/C 
17. [RH] Un cubo con bordes de 1.4 m presenta la orientación que se indica en la figura, 
dentro de una región de un campo eléctrico uniforme. Calcule el flujo eléctrico que pasa 
por la cara derecha si el campo está dado por a) (6 N/C) i, b) (–2 N/C) j y c) (–3 N/C) i + (4 
N/C) j. d) Calcule el flujo total a través del cubo para esos campos. 
 
Respuesta: b) 0 
18. [RH] El flujo eléctrico neto que atraviesa las caras de un dado (un miembro de un par 
de dados) tiene una magnitud en unidades de 10
3
 N.m
2
/C igual al número N de puntos en la 
cara (1 a 6). El flujo se realiza hacia adentro con número N impares y hacia afuera con los 
números N pares. ¿Cuál es la carga neta dentro del dado? 
Respuesta: C 106563.2
8q 
19. [RS] a) A una distancia d de un plano infinito está localizada una carga puntual q. 
Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la carga puntual. b) Si una carga 
puntual q está localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea 
x 
y 
z 
1.4 m 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 22 
 
perpendicular a dicho cuadrado y que pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico 
aproximado que pasa a través del cuadrado debido a la carga puntual. c) Explique por qué 
las respuestas a los incisos a) y b) son idénticas. 
Respuesta: a) 
02
Q
E  ; b) 
02
Q
E  ; c) El plano y el cuadrado son similares a la carga 
20. [RS, RH] En la figura, la línea ag es la diagonal de un cubo. En la extensión de la línea 
ag, muy cerca al vértice a del cubo, se encuentra una carga puntual q. Determine el flujo 
eléctrico a través de cada una de las caras del cubo que se encuentran en el punto a. 
 
Respuesta: 
024
Q
E

 
21. [DF] Sea un paralelepípedo de base cuadrada de longitud a y con altura 2a, como se 
indica en la figura. Una partícula con carga Q se encuentra situada en el punto medio de 
una de las aristas largas. a) ¿Cuál es el flujo a través de la cara cuadrada A? b) ¿Cuál es el 
flujo total en las seis caras del paralelepípedo? 
 
a 
A 
Q 
a 
2a 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/23 
 
Respuesta: 
024
Q
E  
22. [RH] Una red para cazar mariposas se encuentra en un campo eléctrico uniforme como 
se ve en la figura. El borde, un círculo de radio a, está alineado de manera perpendicular al 
campo. Determine el campo eléctrico que cruza la red en relación con la normal hacia 
afuera. 
 
Respuesta: EaE
2 
Campo eléctrico variable. 
Ejemplo 3.24. 
Considere la superficie cúbica cerrada de lado 2 m que se muestra en la figura. 
 
Encuentre el flujo del campo eléctrico E

 en cada cara del cubo si: 
a) iE 5.0

 
b) ixE 2.0

 
c) jyixE 04.01.0 

 
x 
y 
z 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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(Las componentes de E

 están medidas en N/C) 
d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cubo en cada caso? 
Solución. 
Ejemplo 3.25. Problema 2 del Serway. Quinta Edición. Página 631. 
Las componentes del campo eléctrico en la figura son 0xE , 
2
1
ybEy  , 0zE , donde 
2
1
N/c.m 8830b . Calcule a) el flujo E a través del cubo y b) la carga dentro de él. 
Suponga que a = 0.13 cm. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.26. Problema 6 del Serway. Quinta Edición. 
Un campo eléctrico no uniforme se da por la expresión kxcjzbiyaE  , donde a, b y 
c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular en el 
plano x y, que se extiende de x = 0 a x = w y de y = 0 a y = h. 
Solución. 
Ejemplo 3.27. 
[RS] Un campo eléctrico está dado por kxbizaE  , donde a y b son constantes. 
Determine el flujo eléctrico a través de la superficie triangular que se aprecia en la figura. 
x 
y 
z 
a 
a 
a 
a 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Solución. 
Ejemplo 3.28. Flujo eléctrico a través de un disco circular. Problema 56 del Serway. 
Séptima Edición. Página 690. Problema PR-3.04 del Figueroa. Quinta Edición. Página 
115. 
 Una carga puntual Q está localizada sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b 
del plano del disco (Figura). 
a) Determine el flujo eléctrico de la carga que pasa a través del disco. 
b) Demuestre que en el caso de que una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a 
través del disco, entonces R sería igual a a3 . 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Solución. 
Ejemplo 3.29. Superficie cilíndrica encerrando carga puntual. Problema PR-3.05 del 
Figueroa. Quinta Edición. Página 115. 
Una carga puntual Q se encuentra en el centro de una superficie cilíndrica de radio R y 
altura 2 a. 
a) Calcule por integración directa el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie 
cilíndrica. 
b) Utilice el resultado del problema anterior para verificar que el flujo total sobre la 
superficie cerrada coincide con lo que predice la ley de Gauss. 
 
Solución. 
R 
a2
 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Ejercicios propuestos. 
23. [RH] Determine el flujo neto que atraviesa el cubo de la figura si el campo eléctrico 
está dado por a) E = (3 N/C.m) y j y b) (–4 N/C) i + [6 N/C + (3 N/C.m) y] j. c) En cada 
caso, ¿cuánta carga contiene el cubo? 
 
Respuesta: a) Cara sobre el plano y = 1.4 m: /CN.m 232.8
2E . Todas las demás caras: 
0E . b) Cara sobre el plano x = 0: /CN.m 84.7
2E . Cara sobre el plano x = 1.4 m: 
/CN.m 84.7 2E . Cara sobre el plano y = 0: /CN.m 76.11
2E . Cara sobre el 
plano y = 1.4 m: /CN.m 992.19 2E . Cara sobre el plano z = 0 y z = 1.4 m: 0E . c) 
C107.2888 -11q y C107.2888 -11q 
24. [RS, DF] La superficie cerrada de dimensiones a = b = 0.400 m y c = 0.600 m está 
colocada como se observa en la figura. La arista izquierda de la superficie cerrada está 
ubicada en la posición x = a. El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está 
dado por ixE )0.20.3(
2 N/C, donde x está expresado en metros. Calcule el flujo 
eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta que se encuentra 
dentro de la superficie? 
x 
y 
z 
1.4 m 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Respuesta: /CN.m 269.0
2E ; pC 38.2q 
3.4.- FLUJO DE CAMPO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE SUPERFICIES 
REGULARES CURVAS. 
Ejemplo 3.30. Problema 8 del Serway. Quinta Edición. 
Un cono con base circular de radio R está colocado de tal forma que su eje es vertical. Un 
campo eléctrico uniforme E se aplica en la dirección vertical. Demuestre que el flujo a 
través de la superficie cónica (sin contar su base) está dado por la expresión ER2 . 
 
Solución. 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Ejemplo 3.31. 
 [RS] Un cono con una base de radio R y altura h se coloca en una mesa. Si un campo 
uniforme horizontal E penetra en el cono, como se muestra en la figura, determine: 
a) El flujo eléctrico que entra por el lado izquierdo del cono. 
b) El flujo eléctrico que sale por el lado derecho del cono. 
c) Verifique que el flujo eléctrico total a través del cono es cero. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.32. 
Calcule el flujo eléctrico que atraviesa un cilindro de radio R, si el campo eléctrico E es 
uniforme y perpendicular al eje del cilindro. 
 
Solución. 
E 
R 
L 
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Ejemplo 3.33. Flujo eléctrico en superficie cilíndrica. Problema PR-3.02 del Figueroa. 
Quinta edición. Página 113. 
Un campo uniforme E penetra una superficie que tiene forma de un cilindro de radio R 
cortado por la mitad (como indica la figura). Las líneas de campo entran 
perpendicularmente por la base que tiene forma rectangular plana, de longitud L y ancho 
2R. 
a) Calcule el flujo del campo eléctrico a través de las superficies planas y curvas del 
semicírculo. 
b) Demuestre que la carga encerrada por la superficie entera es cero. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.34. Flujo eléctrico a través de un hemisferio. Problema 3 del Resnick. 
Quinta Edición. Página 629. Problema PR-3.03 del Figueroa. Quinta Edición. Página 
114. 
Calcule E en a) la base plana y en b) la superficie curva de un hemisferio de radio R. El 
campo E es uniforme y paralelo al eje del hemisferio; las líneas de E entran por la base 
plana. Utilice la normal que apunta hacia afuera. 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Solución. 
Ejercicios propuestos. 
25. [RS] Calcule el flujo eléctrico total a través de una superficie paraboloide debido a un 
campo eléctrico uniforme de magnitud E0 en la dirección que aparece en la figura. 
 
Respuesta: ErE
2 
26. [RS] Una esfera hueca no conductora y sin carga, con un radio de 10.0 cm, rodea una 
carga de C 0.10  localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Una 
broca de radio 1.00 mm es alineada a lo largo del eje de las z, y se hace una perforación en 
la esfera. Calcule el flujo eléctrico a través de la perforación. 
Respuesta: 
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Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 32 
 
3.5. LA LEY DE GAUSS. 
UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA ESFÉRICAMENTE SIMÉTRICA. 
Relación entre el campo eléctrico, la carga interna y el área. 
 
 
Flujo eléctrico. 
 AdEE . 
 cosAdEE 
El campo eléctrico es normal a la superficie y por tanto paralelo al diferencial de área en 
cada punto, resultando que el ángulo entre el diferencial de área y el campo eléctrico es 
nulo, 0 . 
 AdEE 
El valor del campo eléctrico es constante sobre la superficie esférica ó cilíndrica (superficie 
gaussiana) porque en cada caso todos los puntos sobre la superficie equidistan de la carga 
eléctrica: 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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 AdEE 
AEE  
0
in
E
q
 (Ley de Gauss). 
0
inqAE  
A
q
E in
0
 
La expresión anterior es útil para determinar campos eléctricos cuando la distribución de 
carga está caracterizada por un alto grado de simetría. 
Nota del autor: 
La expresión 
A
q
E in
0
 puede: 
- Ser tomada como una ecuación general para determinar el campo eléctrico siempre que se 
tenga una configuración con simetría esférica o cilíndrica tanto para no conductores como 
para conductores 
- Ser deducida en cada problema en particular. 
La forma de aplicar dicha ecuación para resolver los problemas dependerá de las 
exigencias del Profesor. Si al estudiante se le da la libertad, puede usarla en forma directa, 
mientras que si se le exige su deducción, debe obtenerla aplicando las condiciones ya 
descritas y posteriormente resolver la situación planteada en el problema. Particularmente 
considero que si se trata de una deducción generalizada, una vez que se verifican las 
condiciones que la generan, debe ser aplicada de manera directa omitiendo su deducción. 
Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría esférica. 
Área de la superficie de una esfera. 
24 rA  
)4( 20 r
q
E in

 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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2
04 r
q
E in

 
Campo eléctrico de una distribución de carga con simetría cilíndrica. 
Área de la superficie de un cilindro. 
LrA 2 
)2(0 Lr
q
E in

 
Lr
q
E in
02 
 
No conductores. 
Ejemplo 3.35. 
Una esfera no conductora tiene un radio igual a 1 m y una densidad de carga 
310 C/m 102  . 
a) Calcule la magnitud del campo eléctrico de la esfera en uno de los vértices de un cubo de 
arista 0.5 m y cuyo centro coincide con el centro de la esfera. 
b) Calcule la magnitud del campo eléctrico de la esfera en uno de los vértices del cubo. 
Solución. 
Ejemplo 3.36. 
Calcule la magnitud del campo eléctrico de una esfera no conductora de radio R y carga Q 
uniformemente distribuida en un punto que está a una distancia r de su centro siendo: 
a) r < R 
b) r > R 
c) Grafique E

 en función de r. 
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Solución. 
Ejempo 3.37. Problema 12 del Serway. Quinta Edición. 
En un día claro, el campo eléctrico cerca de la superficie de la Tierra es de 100 N/C 
apuntando radialmente hacia adentro. Si el mismo campo eléctrico existe en cualquier 
punto de la superficie de la tierra, determine la carga total que debería estar almacenada en 
la Tierra. 
Solución. 
Ejemplo 3.38. 
Una esfera sólida de 40.0 cm de radio tiene una carga positiva total de C0.26  distribuida 
uniformemente por todo su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico de a) 0 cm, 
b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0 cm del centro de la esfera. 
Solución. 
Ejemplo 3.39. 
[DF] Una esfera no conductora de radio R y densidad de carga uniforme  , tiene una 
cavidad esférica de radio R2
1 como se indica en la figura. 
a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el punto A (que está en la línea que 
une el centro de la esfera con el centro del hueco) es 







2
2
12
0
3
)(8
11
3 Rrr
R
E



,
 
siendo 
r la distancia del centro de la esfera al punto A. 
R 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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b) Demuestre, por dos mecanismos diferentes, que el campo eléctrico en el punto A ubicado 
a una distancia r >> R está dada por 
2
0
3
24
7
r
R
E




. 
Solución. 
Ejemplo 3.40. Problema 42 del Tipler. Sexta Edición. Página 759. 
Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga volumétrica 
proporcional a la distancia desde el centro: rA para r < R, siendo A una constante; 
0 para r > R. a) Hallar el campo eléctrico Er, generado tanto en el interior como en el 
exterior de la distribución de carga y representar Er en función de r. b) Dibujar una gráfica 
del módulo del campo eléctrico como función de la distancia r medida desde el centro de la 
esfera. 
Solución. 
Ejemplo 3.41. Problema 57 del Serway. Séptima Edición. Página 690. 
Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga expresada por 
r
a
 , siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una función de r. 
r 
R 
A 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Solución. 
Ejemplo 3.42. Modelo de cargas en un núcleo atómico. Problema PR-3.16 del 
Figueroa. Página 125. 
En un modelo propuesto para un núcleo atómico ligero, la carga está distribuida en una 
especie de nube esférica de radio r, con una densidad volumétrica que depende de la 
distancia r al origen 






2
2
0 1)(
a
r
r  para ar  . 
a) Determine el campo eléctrico dentro y fuera de la nube. 
b) ¿A qué distancia radial, tienen E el máximo valor? Determine el campo eléctrico 
máximo. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.43. Campo constante dentro de una esfera cargada. Problema PR-3.18 del 
Figueroa. Página 128. Problema 13 del Resnick. Quinta Edición. Página 632. 
La región esférica a < r < b tiene una carga por unidad de volumen de 
r
A
 , donde A es 
una constante. En el centro (r = 0) de la cavidad encerrada hay una carga puntual Q. ¿Cuál 
a
 
R 
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debería ser el valor de A para que el campo eléctrico en la región a < r < b tenga una 
magnitud constante? 
 
Solución. 
Ejemplo 3.44. 
En el interior de una esfera maciza cargada no conductora de radio R existe un campo 
eléctrico radial y de magnitud constante E0. 
a) Demuestre que la densidad de carga de esta esfera es: 
r
E
r 00
2
)(

  para Rr 0 . 
b) Calcule E

 de esta esfera para r > R. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.45. 
Dos cascarones esféricos de radios a y b concéntricos poseen carga 5 q (q > 0) y –3 q 
respectivamente. Encuentre el campo eléctrico en puntos que están a una distancia r del 
centro de los cascarones siendo: 
a) r < a 
a 
b 
Q 
R 
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b) a < r < b 
c) r > b 
 
Solución. 
Ejemplo 3.46. 
Un cascarón esférico no conductor tiene una densidad de carga  constante. El radio interno 
del cascarón es a yel externo es b. Construya el gráfico de E

 en función de r (siendo r la 
distancia del centro del cascarón al punto donde se calcule E

), si 
36 C/m 102  , a = 
0.15 m y b = 0.25 m. (Trabaje con el siguiente dominio de E

: m 30.00  r ) 
 
Solución. 
Ejemplo 3.47. 
Una esfera de radio a que posee una densidad de carga constante 0 se halla rodeada por 
un cascarón esférico con densidad de carga 0 , de radio interno b (b > a) y radio externo 
c, como muestra la figura. 
a
 
b
 
a
 
b
 
q5 
q3 
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a) Determinar el campo eléctrico en los puntos: 
i. r < a 
ii. a < r < b 
iii. b < r < c 
iv. r > c 
b) Si un electrón gira en trayectoria circular de radio “r” concéntrica a las esferas y 
colocadas entre ellas, determinar la energía cinética del electrón. 
Solución. 
Ejemplo 3.48. Problema 1 del Resnick, Quinta Edición. Página 631. 
La “Ley de Gauss para la gravitación es mSdg
GG
  .4
1
4
1



, donde m es la masa 
encerrada y G es la constante de gravitación universal. Obtenga de la ecuación anterior la 
ley de gravitación de Newton. ¿Qué importancia tiene el signo negativo? 
Solución. 
Ejercicios propuestos. 
27. [TM] El campo eléctrico justo por encima de la superficie de la Tierra, medido 
experimentalmente, es de 150 N/C, dirigido hacia abajo. a) ¿Cuál es el signo de la carga 
neta en la superficie de la Tierra en estas condiciones? b) A partir de este dato, ¿qué carga 
total se puede estimar que exista sobre la superficie de la tierra? 
Respuesta: a) Positiva; b) 677218.35 C 
28. [RS] El campo eléctrico presente en la superficie total de un casarón esférico delgado 
con un radio de 0.750 m tiene un valor de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de 
la esfera. a) ¿Cuál es la carga neta en el interior de la superficie de la esfera? b) ¿Qué se 
b
 
c 
a
 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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puede concluir en relación con la naturaleza y distribución de la carga en el interior de la 
envoltura esférica? 
Respuesta: a) q = –55.6 nC; b) La carga negativa tiene una distribución esféricamente 
simétrica 
29. [TM] Si el módulo de un campo eléctrico situado en la atmósfera es N/C 103
6 , el aire 
se ioniza y comienza a conducir la electricidad. Este fenómeno se denomina ruptura 
dieléctrica. Una carga de C18 se sitúa en una esfera conductora. ¿Cuál es el radio 
mínimo de una esfera que pueda soportar esta carga sin que se produzca la ruptura 
dieléctrica? 
Respuesta: R = 0.2322 m. 
30. [TM] Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volumétrica uniforme 
3nC/m 450 . Determinar el campo eléctrico en a) r = 2 cm, b) r = 5.9 cm, c) r = 6.1 cm 
y d) r = 10 cm. 
Respuesta: a) a) E = 338.8227 N/C; b) E = 999.5270 N/C; c) E = 983.4145 N/C: d) E = 
365.9285 N/C 
31. [RS] Una esfera sólida de plástico con un radio de 10.0 cm tiene una carga de densidad 
uniforme en todo su volumen. El campo eléctrico existente a 5 cm del centro es de 86.0 
kN/C y está dirigido radialmente hacia el interior. Determine la magnitud del campo 
eléctrico a 15.0 cm del centro. 
Respuesta: a) 
35 C/m 105688.4  ; b) N/C 106444.7 4E 
32. [TM] Una esfera no conductora de radio R = 0.1 m posee una densidad de carga 
volumétrica uniforme. El módulo del campo eléctrico en r = 2 R es 1883 N/C. a) ¿Cuál es 
la densidad de carga volumétrica? b) Determinar el módulo del campo eléctrico en r = 0.5 
R desde el centro de la esfera. 
Respuesta: a) 
36 C/m 102  ; b) E = 3766 N/C 
33. [RS] Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de 
plomo-208, que contiene 82 protones y 126 neutrones. Suponga que el núcleo de plomo 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 42 
 
tiene un volumen igual a 208 veces el volumen de un protón, considere al protón como una 
esfera de radio m 1020.1 15 . 
Respuesta: N/C 103358.2 21E 
34. [RH] En un trabajo publicado en 1911, Ernest Rutherford señalaba, a fin de hacerse una 
idea de las fuerzas necesarias para desviar una partícula alfa a través de un gran ángulo; 
consideremos un átomo que contenga una carga puntual positiva Ze en su centro y que esté 
rodeado de una distribución de electricidad negativa, –Ze 
distribuida uniformemente en una 
esfera de radio R. El campo eléctrico … a una distancia r del centro en un punto dentro del 
átomo (es) 






32
0
1
4 R
r
r
Ze
E

. Verifique la ecuación anterior. 
 
35. [RS] Una esfera de radio 2 a está hecha de un material no conductor con una densidad 
de carga volumétrica uniforme  . (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico). 
Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en la figura. 
demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado por Ex = 0, 
03
 a
Ey  . Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la sobreposición del campo 
debido a la esfera original sin perforación más el campo debido a una esfera del tamaño de 
la cavidad con una densidad de carga negativa uniforme de  . 
r 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 43 
 
 
36. [RH] Una región esférica tiene una carga uniforme por unidad de volumen  . Sea r el 
vector que del centro de la esfera se dirige a un punto general P dentro de ella. a) 
Demuestre que el campo eléctrico en P está dado por 
03
 r
Ey  . b) Una cavidad esférica se
 
crea en ella , como se aprecia en la figura. Mediante el concepto de superposición 
demuestre que en todos los puntos de la cavidad el campo eléctrico es 
03
 r
Ey  (campo 
uniforme), donde a

 es el vector que conecta el centro de la esfera al de la cavidad. Nótese 
que ambos resultados no dependen del radio de la esfera ni del de la cavidad. 
 
37. [TM, DF] Una capa esférica fina de radio R (Figura) tiene una carga total Q. Un 
pequeño trozo circular es extraído de la superficie. a) ¿Cuál es el valor del módulo, 
x
 
y 
a
 
x
 
y 
a2 
a
 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 44 
 
dirección y sentido del campo eléctrico en el centro del hueco que deja el “tapón” extraído? 
b) Utilizando el resultado del apartado a), calcular la fuerza eléctrica sobre el “tapón” 
cuando se vuelve a colocar en el hueco. c) A partir de estos últimos resultados, calcular la 
“presión electrostática” (fuerza/unidad de área) existente en toda la esfera. 
 
Respuesta: a) 
02

E ; b) 
02
 A
F  ; c) 
0
2
2

P ; d) 
2
08 R
Q
E

 , 
2
08 R
AQ
E

 , 
4
0
2
2
32 R
Q
P

 
38. [RH] Una esfera no conductora sólida de radio R tiene una distribución de carga 
uniforme, con una densidad RrS /  donde S es una constante, y r la distancia del 
centro de la esfera. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la esfera está dado por 
2
2
04
1
r
R
Q
E

 . 
39. [TM] Una esfera de radio R contiene una densidad de carga volumétrica rB / para 
r < R, donde B es una constante y 0 para r > R. a) Hallar las expresiones del campo 
eléctrico dentro y fuera de la distribución de carga. b) Hacer una gráfica del módulo del 
campo eléctrico en función de la distancia al centro de la esfera. 
Respuesta: a) 
02
B
E  ; b) 
2
0
2
2 r
RB
E

 
40. [TM] Una esfera de radio R contiene una densidad de carga volumétrica 
2/ rC para 
r < R,donde C es una constante y 0 para r > R. a) Obtener las expresiones del campo 
Agujero 
Tapón 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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eléctrico dentro y fuera de la distribución de carga. b) Hacer una gráfica del módulo del 
campo eléctrico en función de la distancia al centro de la esfera. 
Respuesta: a) 
r
C
E
0
 ; b) 
2
0r
RC
E


 
41. [RS] Una esfera aislante sólida de radio R tiene una densidad que varía en función de r 
de acuerdo con la expresión 
2rA , donde A es una constante y r está medida desde el 
centro de la esfera. A) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico exterior de la esfera 
(r > R) es igual a 
2
0
5
5 r
RA
E

 . b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico interior de 
la esfera (r < R) es igual a 
0
3
5
rA
E  . 
42. [RS] Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga 
expresada por 
r
a
 , siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una 
función de r. 
43. [DF] Una esfera maciza de radio R tiene una distribución de carga 






a
r
10 que 
varía con el radio, siendo 0 una constante y r una distancia variable radial. Determinar 
a) ¿Cuál es el campo eléctrico dentro de la distribución, r < a? 
b) ¿Cuál es el campo eléctrico fuera de la distribución, r > a? 
c) Coinciden las expresiones obtenidas en (a) y (b) para los puntos de la frontera r = a? 
d) El punto del valor máximo del campo eléctrico. 
 
a 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 46 
 
Respuesta: a) 






a
rr
E
43
1
0
0


; b) 
2
0
3
0
12 r
a
E


 ; c) Si; d) 
0
0
max
9
 a
E  
44. [DF] Una carga está distribuida en una esfera de radio R = 1 m con una densidad que 
depende únicamente de la distancia radial r. Se sabe que el campo eléctrico en el interior de 
la esfera está dado por la siguiente expresión 
0
2
4
r
E  . ¿Cuál es la densidad de carga )(r 
en C/m
3
? 
Respuesta: rr )( 
45. [TM] Una corteza esférica no conductora y gruesa de radio interior a y de radio exterior 
b posee una densidad  de carga volumétrica uniforme. Determinar el campo eléctrico en 
todos los puntos. 
Respuesta: r < a: E = 0; a < r < b: 
2
0
33
0
3
)(
r
ar
E

 
 ; r > b: 
2
0
33
0
3
)(
r
ab
E

 
 
46. Una esfera maciza no conductora de radio b con una cavidad esférica de radio a tiene 
una distribución uniforme de carga y su carga total es Q. Determinar el campo eléctrico en 
los puntos: 
a) r < a 
b) a < r < b 
c) r > b 
 
Respuesta: a) E = 0; b) 
233
33
)(
)(
rab
arQk
E


 ; c) 
2r
Qk
E  
a
 
b
 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 47 
 
47. [TM, DF] La mecánica cuántica considera que el electrón del átomo de hidrógeno no es 
puntual, sino que le asigna una distribución de carga extendida en todo el espacio cuya 
expresión es are
a
e
r /2
3
)( 

 , donde r es la distancia al centro del núcleo, y a es el 
denominado radio de Bohr (a = 0.0529 nm). Recordar que el núcleo de un átomo de 
hidrógeno está formado por un protón que es una carga unidad positiva que se puede 
considerar puntual. Calcular el campo eléctrico generado a una distancia r del núcleo. 
Considerar el protón como una carga puntual. 
Respuesta: 
22
0
2
22
4
)22(
ra
erraaq
E
a
r
e



 
48. [RS] Un protón gira con una velocidad v = 294 km/s fuera de una esfera cargada de 
radio r = 1.13 cm. Determine la carga de la esfera. 
Respuesta: C 101345.1 9q 
49. [RS] Una partícula con una carga de –60 nC está colocada en el centro de un cascarón 
esférico no conductor con un radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de 25.0 cm. 
El cascarón esférico tiene una carga con una densidad uniforme de 
3C/m 33.1  . Un 
protón está en movimiento en una órbita circular justo en el exterior del cascarón esférico. 
Calcule la velocidad del protón. 
Respuesta: m/s 109405.5 5v 
50. [RS] Considere un cascarón esférico delgado con un radio de 14.0 cm y una carga total 
de C 0.32  distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico 
a) a 10.0 cm y b) a 20.0 cm del centro de distribución de la carga. 
Respuesta: a) E = 0; b) N/C 101900.7 6E 
51. [TM] Una corteza esférica de radio 6 cm posee una densidad superficial uniforme de 
carga 2nC/m 9 . Determinar el campo eléctrico en a) r = 2 cm, b) r = 5.9 cm, c) r = 6.1 
cm y d) r = 10 cm. 
Respuesta: a) E = 0; b) E = 0; c) E = 983.4145 N/C; d) E = 365.9285 N/C 
Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 48 
 
52. [RH] Dos cascarones esféricos y concéntricos con carga eléctrica tienen un radio de 
10.0 y 15.0 cm. La carga en el cascarón interno es de 40.6 nC y la del cascarón externo es 
de 19.3 nC. Calcule el campo eléctrico en a) r = 12.0 cm, b) en r = 22.0 cm y c) en r = 8.18 
cm del centro de los cascarones. 
Respuesta: a) N/C 105340.2 4E ; b) N/C 101123.1 4E ; c) E = 0 
53. [TM] Una esfera sólida de 1.2 m de diámetro con su centro sobre el eje x en x = 4 m, 
tiene una carga volumétrica uniforme de densidad 
3C/m 5  . Una corteza esférica 
concéntrica con la esfera tiene un diámetro de 2.4 m y una densidad de carga superficial 
uniforme 
2C/m 5.1   . Calcular el módulo y la dirección del campo eléctrico en a) x = 
4.5 m, y = 0; b) x = 4.0 m, y = 1.1 m y c) x = 2.0 m, y = 3.0 m. 
Respuesta: a) iE N/C) 104117.9( 4 ; b) jE N/C) 100706.2( 5 ; c) 
N/C 100058.7 4E , º69.303 
54. [TM] Un plano infinito paralelo al plano y z en x = 2 m posee una densidad de carga 
superficial uniforme 
2C/m2  . Una carga lineal infinita de densidad uniforme 
C/m4  pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el eje x en el plano x y. Una 
esfera sólida no conductora con una densidad de carga volumétrica 
3C/m6  y radio 
0.8 m está centrada sobre el eje x en x = 1 m. Calcular el módulo y la dirección del campo 
eléctrico en el plano x y en x = 1.5 m, y = 0.5 m. 
Respuesta: Campo de la esfera: N/C 105972.1 5E , º45 . Distancia perpendicular 
entre la línea y la carga de prueba: R = 0.7071 m. Campo de la línea de carga: 
N/C 100168.1 5E , º315 . Campo del plano infinito: N/C 101294.1 5E , º180 . 
Campo resultante: N/C 102786.8 4E , º72.29 . 
Conductores. 
Ejemplo 3.49. 
El campo eléctrico creado por una esfera conductora de radio 2.5 m tiene una magnitud 
máxima de 10
5
 N/C. Calcule la densidad de carga de la esfera. 
Solución. 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
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Ejemplo 3.50. 
Una esfera conductora posee una densidad de carga 27 C/m 1085.8  . La magnitud del 
campo eléctrico en un punto situado a 2 m de la superficie de la esfera es 3.610
4
 N/C. 
Calcule: 
a) El radio de la esfera. 
b) E

 en la superficie de la esfera. 
 
Solución. 
Ejemplo 3.51. 
Una esfera de cobre tiene un radio R = 15 cm. y posee una carga de C 102 6 . Calcule la 
magnitud del campo eléctrico en puntos situados: 
a) Dentro de la esfera, a una distancia de 10 cm de su centro. 
b) En la superficie de la esfera. 
c) Fuera de la esfera, a una distancia de 20 cm de su centro. 
 
Solución. 
R 
R 
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Ejemplo 3.52. 
Un cascarón metálico esférico de radios R1 y R2 tiene una carga neta igual a Q (Q > 0). Enel centro del cascarón se coloca una carga puntual q (q > 0). 
 
Calcule E

 en puntos que están a una distancia r de la carga puntual para: 
a) r < R1 
b) R2 > r > R1 
c) r > R2 
Solución. 
Ejemplo 3.53. 
Dos cascarones esféricos conductores concéntricos tienen radios 0.2 m y 0.3 m 
respectivamente. A 0.25 m del centro de ambos cascarones el campo eléctrico tiene módulo 
90 N/C y a 0.35 m del centro el campo eléctrico tiene magnitud 45 N/C. Calcule la carga de 
cada cascarón. (Note que hay más de una solución y que éstas dependen de la dirección del 
campo). 
 
Solución. 
1R 
2R 
q 
a
 
b
 
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Capítulo 3. Flujo de campo eléctrico. La Ley de Gauss. 
 
Física II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 51 
 
Ejemplo 3.54. Problema 47 del Serway. Séptima Edición. Página 689. 
Una esfera aislante y sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme  y una 
carga total Q. Colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, 
conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se 
observa en la figura. a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r < a, a 
< r < b, b < r < c y r > c. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en la 
superficie interna y externa de la esfera hueca. 
 
Solución. 
Ejercicios propuestos. 
55. [TM] Consideremos dos esferas conductoras concéntricas (Figura). La esfera exterior es 
hueca y en ella se ha depositado una carga –7Q. La esfera interior es sólida y en ella hay 
una carga +2Q. a) Supongamos que se conecta un alambre entre ambas esferas. Una vez 
alcanzado el equilibrio electrostático, ¿Cambia el campo eléctrico de la superficie de la 
esfera interna al conectar el cable? Si es así, ¿cómo cambia? 
 
56. [RS] Un esfera conductora hueca está rodeada por un cascarón conductor esférico 
concéntrico de radio mayor. La esfera tiene una carga –Q y el cascarón exterior una carga 
b
 
c 
a
 
Q2 
Q7 
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+3Q. Las cargas están en equilibrio electrostático. Utilizando la ley de Gauss, determine el 
campo eléctrico presente en todas las regiones. 
 
Respuesta: r < a: E = 0, a < r < b: 
2
04 r
Q
E

 , r > b: 
2
04
2
r
Q
E

 
57. [RH] Una esfera conductora cargada uniformemente de 1.22 m de radio tiene una 
densidad de carga superficial de 
2C/m .138  . Calcule el campo eléctrico en la superficie 
de la esfera. 
Respuesta: N/C 101821.9 5E 
58. [RH] Unos vehículos espaciales que viajan por los cinturones de radiación terrestre 
chocan con los electrones atrapados. Puesto que en el espacio no hay tierra, la acumulación 
resultante de la carga puede ser considerable y dañar los componentes electrónicos, 
ocasionando perturbaciones en los circuitos de control y anomalías en la operación. Un 
satélite esférico metálico de 1.3 m de diámetro acumula C .42  de carga en una revolución 
orbital. Calcule el campo eléctrico resultante afuera de la superficie del satélite. 
Respuesta: N/C 102763.1 4E 
59. [RS] Una esfera sólida de cobre con un radio de 15.0 cm tiene una carga de 40.0 nC. 
Determine el campo eléctrico a) a 12.0 cm, b) a 17.0 cm y c) a 75.0 cm del centro de la 
esfera. d) ¿Cuáles serían sus respuestas si la esfera fuese hueca? 
Respuesta: a) E = 0; b) N/C 102439.1 4E ; c) E = 639.11 N/C; d) La misma 
60. [RH] La ecuación 0/E nos da el campo eléctrico en puntos cercanos a una 
superficie conductora cargada. Aplíquela a una esfera conductora de radio r que tiene una 
a
 
b
 
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carga q en su superficie; demuestre después que el campo eléctrico fuera de ella es el 
mismo que el de una carga puntual en el centro de la esfera. 
Respuesta: 
2
04 r
q
E

 
61. [RS] Un cascarón esférico conductor con un radio de 15.0 cm tiene una carga neta de 
C 40.6  distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico a) 
justo por dentro del cascarón y b) justo por fuera del cascarón. 
 
Respuesta: a) E = 0; b) N/C 105565.2 6E 
62. [RH] Un cascarón esférico delgado metálico sin carga tiene una carga puntual q en su 
centro. Por medio de la ley de Gauss, obtenga las expresiones del campo eléctrico a) dentro 
del cascarón y b) fuera de él. c) ¿Tiene el cascarón algún efecto en el campo debido a q? d) 
Produce la presencia de q algún efecto en el cascarón? e) Si mantenemos una segunda carga 
puntual fuera del cascarón, experimenta una fuerza? f) ¿Experimenta una fuerza la carga 
interna? g) ¿Contradice esto a la tercera ley de Newton? Explique su respuesta afirmativa o 
negativa. 
Respuesta: a) 
2
04 r
q
E

 ; b) 
2
04 r
q
E

 ; c) Si. Si la carga es movida del centro, el 
campo interno al cascarón sería distorsionado, y no podríamos aplicar la ley de Gauss para 
encontrarlo.; d) Si. q induce cargas en las superficies interna y externa del cascarón. Habrá 
una carga –q en la superficie interna y q en la superficie externa. e) Si. Existe un campo 
eléctrico fuera del cascarón. f) No. El campo eléctrico en el exterior del cascarón no actúa a 
través del conductor. El conductor actúa como un escudo. g) No, porque la carga externa 
R 
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nunca experimentó atracción electrostática o repulsión de la carga interna. La fuerza es 
entre el cascarón y la carga externa. 
63. [TM] Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un radio interior a 
y un radio exterior b. Se coloca una carga puntual q en el centro de la corteza. a) Utilizar la 
ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio para hallar el campo 
eléctrico en cada una de las regiones r < a, a < r < b y r > b. b) Determinar la densidad de 
carga en la superficie interna (r = a) y en la superficie externa (r = b) de la corteza. 
Respuesta: a) r < a; 
2
04 r
q
E

 , a < r < b: E = 0; r > b: 
2
04 r
q
E

 
64. [TM] Una carga puntual positiva de C .52  se encuentra en el centro de una corteza 
conductora esférica sin carga, de radio interior 60 cm y de radio exterior 90 cm. a) 
Determinar las densidades de carga de las superficies interior y exterior de la corteza y la 
carga total de cada superficie. b) Determinar el campo eléctrico generado en cualquier 
punto. c) Repetir a) y b) para el caso en que se añade una carga neta de C .53  a la 
corteza. 
Respuesta: a) 27 C/m 105262.5 i ; 
27 C/m 104561.2 o ; C 105.2
6iq , 
C 105.2 60
q ; b) r < 0.6 m; 
4
2
102469.2
r
E

 , 0.6 m < r < 0.9 m: E = 0; r > 0.9 m: 
4
2
102469.2
r
E

 
65. [RS] Para la configuración que aparece en la figura del ejemplo 3.54, suponga que a = 
5.00 cm, b = 20.0 cm y c = 25.00 cm. Además, suponga que el campo eléctrico en un punto 
10.0 cm del centro tiene un valor medido de N/C 1060.3 5 , radial hacia adentro, en tanto 
que el campo eléctrico en un punto a 50.0 cm del centro es N/C 1000.2 2 radial y hacia 
afuera. Con esta información encuentre a) la carga existente en la esfera aislante, b) la carga 
neta de la esfera conductora hueca y c) las cargas en las superficies interna y externa de la 
esfera conductora hueca. 
Respuesta: a) C 104
7q ; b) C 100556.4
7q ; c) C 104 7iq , C 1056.5
9
0
q 
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66. [DF] Una esfera no conductora de radio a y carga uniforme + Q está situada en el 
centro de una