Manual de Matemática básicaa

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Capítulo 01 – Aritmética Básica 
1. Divisor de um número 
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c. 
Exemplo: Divisores de 12  D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
Observações: 
 O menor divisor de um número é 1. 
 O maior divisor de um número é ele próprio. 
 
Quantidade de divisores naturais de um número 
 
Para determinar a quantidade de divisores naturais de um número 
procede-se assim: 
 Decompõem-se em fatores primos o número dado; 
 Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses 
expoentes adiciona-se uma unidade. 
 Multiplicam-se os resultados assim obtidos. 
 
Exemplo: Determinar o número de divisores naturais de 90 
Solução: 90 = 21 . 32 . 51 
(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 
Logo, 90 possui 12 divisores naturais 
3. Critérios de divisibilidade 
Um número x é divisível por um número p se existir um número k  N, tal 
que k.p = x 
3.1. Divisibilidade por 2 
Um número é divisível por 2 se for par, ou seja terminar em 0, 2, 4, 6, 8. 
Exemplos: 28, 402, 5128. 
 
 
[4] 
 
3.2. Divisibilidade por 3 
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus 
algarismos for divisível por 3. 
Exemplos: 18, 243, 3126. 
 
3.3. Divisibilidade por 4 
Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis 
por 4 ou quando o número terminar em 00. 
Exemplos: 5716, 8700, 198200. 
 
3.4. Divisibilidade por 5 
Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5. 
Exemplos: 235, 4670, 87210. 
 
3.5. Divisibilidade por 6 
Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3. 
Exemplos: 24, 288, 8460. 
 
3.6. Divisibilidade por 7 
Processo prático: Veja o número 4137 
 
1º Passo: separa-se o último algarismo e dobra-se o seu valor. 
 4137  7  2 x 7 = 14 
2º Passo: subtrai-se o número assim obtido do número que restou após a 
separação do último algarismo. 
 413 – 14 = 399 
3º Passo: procede-se assim até se obter um número múltiplo de 7. 
 399  9  2 x 9 = 18 
 39 – 18 = 21 
 21  1  2 x 1 = 2 
 2 – 2 = 0 
 Logo 4137 é múltiplo de 7 
 
3.7. Divisibilidade por 8 
Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis 
por 8 ou forem três zeros 
Exemplos: 15320, 67000. 
 
 
[5] 
 
3.8. Divisibilidade por 9 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um 
número divisível por 9. 
Exemplos: 8316, 35289. 
 
3.9. Divisibilidade por 10 
Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero. 
Exemplos: 5480, 1200, 345160. 
 
4. Números Primos 
Um número natural p, p  0 e p  1, é denominado número primo se 
apresentar apenas dois divisores, 1 e p. 
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 
Observação: Um número é denominado composto se não for primo. 
 
Reconhecimento de um número primo 
Vamos apresentar dois modos para reconhecer se um número é primo. 
Crivo de Erastótenes 
Podemos observar nesse quadro que os números circulados, que 
permaneceram sem ser riscados são números primos. 
 
 
[6] 
 
Para identificá-los procede-se assim: 
1º risca-se o número 1, pois ele não é primo; 
2º risca-se todos os números pares com exceção do 2, pois todos tem mais 
de 2 divisores; 
3º risca-se todos os números divisíveis por 3, com exceção do 3, pois todos 
têm mais de 2 divisores; 
4º como o 4 já estava riscado pois é divisível por 2, risca-se todos os 
números divisíveis por 5, com exceção do 5, pois todos têm mais de 2 
divisores; E assim por diante. 
 
Divisões sucessivas: Com o conhecimento de alguns números primos 
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) procede-se assim: 
 Divide-se o número dado pela sucessão dos números primos 
conhecidos. 
 Caso se obtenha o quociente menor ou igual ao divisor antes de se 
obter nessas divisões o resto nulo, diz-se que o número é primo. 
Exemplo: Verificar se o número 113 é primo. 
 
Como o quociente é menor que o divisor antes de obtido o resto nulo, o 
número 113 é primo. 
Exercícios Resolvidos 
 
01) O número x2 3 6 20   possui exatamente 96 divisores inteiros 
positivos quando x é um número natural igual a 
 
Solução: 
x x 2 x 3 22 3 6 20 2 3 3 2 2 5 2 3 5            
O número de divisores positivos será dado por: 
      
       
(x 3 1) (2 1) (1 1) 96
(x 4) 6 96 x 4 16 x 12
 
 
02) O número de divisores positivos do produto dos fatores é 
   
8 3
20 x 200 é 
 
[7] 
 
Solução: 
Escrevendo o produto dado na forma canônica, obtemos 
      8 3 2 8 3 2 3 25 14(20) (200) (2 5) (2 5 ) 2 5 . 
Assim, o número de divisores do produto 8 3(20) (200) é 
(25 1) (14 1) 26 15 390.      
 
03) ( CMRJ ) Durante uma aula de Matemática para o 6º ano do Colégio 
Militar do Rio de Janeiro, o professor Flávio escreveu no quadro a seguinte 
distribuição dos números naturais: 
 
Mantendo-se a disposição acima, pode-se afirmar que o número que inicia 
a 21ª linha é um 
a) divisível por 7. b) divisível por 3. c) múltiplo de 4. d) primo. e) par. 
 
Solução 
Da tabela, temos: 
Primeiro número da primeira linha: 20 1 1  
Primeiro número da segunda linha: 21 1 2  
Primeiro número da terceira linha: 22 1 5  
Primeiro número da quarta linha: 23 1 10  
Primeiro número da quinta linha: 24 1 17  
 Primeiro número da vigésima primeira linha: 220 1 401  
Os únicos divisores positivos de 401 são os números 1 e 401, logo, 401 
é primo. Resposta: [D] 
 
04) Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, obtemos a expressão 
x yn 2 5 ,  onde x e y são números inteiros positivos. Se n admite 
exatamente 12 divisores positivos e é menor do que o número 199 
então, 
 
Solução: 
Se o número de divisores positivos de n é igual a 12 então 
 
[8] 
 
(x 1) (y 1) 12.    Logo, sendo x e y inteiros positivos, temos 
(x, y) {(1, 5), (2, 3), (3, 2), (5,1)}. Porém, como n 199, só pode ser 
x 5 e y 1. Daí, segue que x y 5 1 6.    
 
05) ( FUVEST – SP ) Sejam a e b dois números inteiros positivos. Diz-se que 
a e b são equivalentes se a soma dos divisores positivos de a 
coincide com a soma dos divisores positivos de b. 
Constituem dois inteiros positivos equivalentes: 
a) 8 e 9. b) 9 e 11. c) 10 e 12. d) 15 e 20. e) 16 e 25. 
 
Solução 
Calculando os divisores: 
 
 
 
 
 
 
 
Divisores de 8 1, 2, 4, 8 Soma 15
Divisores de 9 1, 3, 9 Soma 13
Divisores de 10 1, 2, 5, 10 Soma 18
Divisores de 11 1, 11 Soma 12
Divisores de 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Soma 28
Divisores de 15 1, 3, 5, 15 Soma 24
Divisores de 16 1, 2, 4, 8, 16 S
  
  
  
  
  
  
 
 
oma 31
Divisores de 25 1, 5, 25 Soma 31

  
 
Logo, 16 e 25 são dois inteiros positivos equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[9] 
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 1 
 
01) Determine o número de divisores naturais dos números abaixo: 
a) 72 b) 196 c) 1800 
 
02) Considere-se o número de 9 algarismos dos quais o algarismos das 
unidades é n e todos os demais são iguais a 2, ou seja: 22222222n . O 
valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é: 
a) 2 ou 8 b) 2 ou 7 c) 0 ou 6 d) 3 ou 6 e) 1 ou 3 
 
03) Considere o número 313131A onde A representa o algarismos das 
unidades. Se esse número é divisível por 4, então o valor máximo que 
A pode assumir é: 
 
04) Qual dos números abaixo é primo? 
a) 219 b) 121 c) 133d) 189 e) 113 
 
05) Seja x um número inteiro, 0 x 60  e o conjunto 
60
A K | K .
x
 
   
 
 Nessas condições, o número máximo de 
elementos do conjunto A é 
 
06) O conjunto formado pelos divisores positivos de 18 possui quantos 
elementos? 
 
07) Deseja-se acondicionar 2004 bolas de tênis em caixas de mesma 
capacidade, de modo que cada caixa contenha o número de bolas 
determinado por sua capacidade. Dispõe-se de vários tipos de caixas, 
desde o tipo com capacidade para apenas uma bola até o tipo com 
capacidade para todas as bolas. Nessas condições, o número de todos 
os possíveis tipos de caixas para acondicionar as 2004 bolas é 
 
08) ( ITA – SP ) O número de divisores positivos de 17 640 que, por sua vez, 
são divisíveis por 3 é: 
 
GABARITO – CAPÍTULO 01 
1) a) 12 b) 9 c) 36 2) a 3) 6 4) e 5) 12 6) 6 7) 12 8) 48 
 
[10] 
 
Capítulo 02 – M.M.C e M.D.C 
 
1. Máximo Divisor Comum 
Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números 
naturais o maior dos seus divisores comuns. 
Considere, por exemplo, os números 36 e 42. Observe, agora os conjuntos 
dos divisores de cada um deles. 
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} 
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} 
Veja, agora abaixo o conjuntos formado pelos divisores comuns de 36 e 42. 
{1, 2, 3, 6}. Logo, o maior divisor comum entre 36 e 42 é 6. 
Processo Prático: 
Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 
Decompõe-se os números dados em fatores primos. 
Em seguida, forma-se o produto entre os fatores comuns a ambos. 
 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 
Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3. Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6. 
Há ainda um outro método para a obtenção do M.D.C. Acompanhe: 
Divide-se o maior número dos números dados pelo menor; caso a divisão 
seja exata, o M.D.C entre os números dados é o menor deles. Caso 
contrário, divide-se o menor número pelo resto obtido anteriormente, e 
assim até se obter resto nulo. 
O último divisor obtido será o M.D.C entre os números dados. Acompanhe 
o cálculo do M.D.C entre 36 e 20. 
 
 Logo: MDC(36, 20) = 4 
 
 
 
 1 1 4 
36 20 16 4 
16 4 0 
 
 
[11] 
 
Observações: 
 O M.D.C. entre dois números em que o maior é múltiplo do menor é o 
menor deles. 
Exemplo: M.D.C (12, 24) = 12 
 Dado dois números (a, b). Se o M.D.C entre eles for igual a 1, dizemos 
que a e b são primos entre si. 
 Exemplo: 15 e 16 
 
2. Múltiplo de um número 
 
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b. 
 Exemplo: Múltiplos de 3  M(3) = {0, 3, 6, 9, ....} 
Observações: 
 O zero é múltiplo de todos os números. 
 Todo número é múltiplo de si mesmo. 
 Os números da forma 2k, k  N, são números múltiplos de 2 e esses 
são chamados números pares. 
 Os números da forma 2k + 1, k  N, são números ímpares. 
 
3. Mínimo Múltiplo Comum 
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais 
números naturais o número p diferente de zero, tal que p seja o menor 
número divisível pelos números em questão. 
Considere, por exemplo, os números 6 e 8. Observe, agora os conjuntos dos 
múltiplos de cada um deles. 
M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48....} 
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} 
Veja, agora abaixo o conjuntos formado pelos múltiplos comuns de 6 e 8. 
{24, 48, 72, ....} 
Logo, o menor múltiplo comum entre 6 e 8 é 24. 
 
 
 
[12] 
 
Processo Prático: 
Decomponhos, simultaneamente, os números dados em fatores primos. 
Observe: 
Portanto: M.M.C(6, 8) = 23.3 = 24 
Observações: 
 O M.M.C. entre dois números em que o maior é múltiplo do menor é 
o maior deles. 
 Exemplo: M.M.C(8,16) = 16 
 O M.M.C. entre dois números primos entre si é o produto deles. 
Exemplo: M.M.C(15,16) = 240 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01) De um terminal rodoviário saem ônibus para o bairro A, a cada 24 
minutos, para o bairro B a cada 32 minutos e para o bairro C a cada 48 
minutos. Se os ônibus para o bairro A, B e C partiram juntos ao meio-
dia, quando eles partirão novamente juntos? 
Solução: 
Devemos determinar o M.M.C entre 24, 32 e 48, acompanhe: 
Portanto: M.M.C(24, 32, 48) = 25.3 = 96 
Logo, os três ônibus voltarão a partir juntos em 96 minutos, ou seja, 13h36. 
 
[13] 
 
02) Roberto e João são amigos de infância e, sempre que podem, saem para 
pedalar juntos. Um dia, empolgados com a ideia de saberem mais sobre 
o desempenho da dupla, resolveram cronometrar o tempo que 
gastavam andando de bicicleta. Para tanto, decidiram pedalar numa 
pista circular, próxima à casa deles. 
Constataram, então, que Roberto dava uma volta completa em 24 
segundos, enquanto João demorava 28 segundos para fazer o mesmo 
percurso. Diante disso, João questionou: 
– Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo momento, em 
quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste 
mesmo ponto de largada? 
 Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 3 min 8 s b) 2 min 48 s c) 1min 28 s d) 2 min 28 s 
 
Solução: 
Para obter após quanto tempo os dois amigos se encontram na linha de 
chegada, basta obter o mínimo múltiplo comum (MMC) entre dos dois 
tempos. Ou seja: 
28 24 2
14,12 2
7, 6 2
MMC(28, 24) 2 2 2 3 7 1 168
7, 3 3
7,1 7
1,1 1
       
 
Dividindo 168 segundos por 60 para obter o tempo em minutos temos: 
168
2,8 2 min
60
  e 48 segundos. 
 
03) Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Suponha 
que a tribo indígena Kayapó Gorotire, do Norte do Brasil, celebre o 
Ritual do Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias, 
e o Ritual da Terra de 30 em 30 dias. Se os três rituais acontecerem 
hoje, 10 de setembro de 2017, que é um domingo, o próximo dia da 
semana em que os três rituais serão celebrados juntos novamente 
será 
 
 
[14] 
 
a) Sábado. b) Terça-feira. c) Quarta-feira. d) Quinta-feira. 
 
Solução: 
Como o Ritual do Sol é de 20 e, 20 dias, o da Chuva é de 66 em 66 dias e 
o da Terra é de 30 em 30 dias, os Rituais ocorrem simultaneamente a 
cada múltiplo do mmc (20, 30, 66), ou seja, a cada 660 dias. 
1 semana possui 7 dias. Note que 660 7 94 2,   logo, significa que 
passaram 94 semanas mais 2 dois dias. Dado que os três rituais 
ocorreram juntos num domingo, eles voltarão a ocorrer juntos numa 
terça-feira. 
 
04) O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao Orfanato 
“Me Adote” e dispõe, para esta ação, 528 kg de açúcar, 240 kg de 
feijão e 2.016 kg de arroz. Serão montados Kits contendo, cada um, as 
mesmas quantidades de açúcar, de feijão e de arroz. Quantos quilos de 
açúcar deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de forma 
a contemplar um número máximo para cada item? 
 
Solução: 
Decompondo os valores em fatores primos, temos: 
528, 240, 2016 2
264, 120, 1008 2
132, 60, 504 2
66, 30, 252 2
33, 15, 126 3
11, 5, 42
 Logo, o total de açúcar por kit é de 11 quilos. 
 
05) 
 
O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, 
que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, 
é 
 
 
 
[15] 
 
Solução: 
 A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem 
completamente o paralelepípedo retângulo da figura é dada por 
mdc(8, 36, 20) 4. Portanto, o resultado pedido é dado por 
8 36 20
2 9 5 90.
4 4 4
      
 
06) (ENEM) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir 
com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas 
da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 
1.080 cm, todas de mesma largura eespessura. Ele pediu a um 
carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo 
comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças 
ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor 
que 2 m. Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá 
produzir 
a) 105 peças. b) 120 peças. c) 210 peças. d) 243peças. e) 420 peças. 
 
Solução: [E] 
Sendo   2 3540 2 3 5,   4810 2 3 5 e   3 31080 2 3 5, vem que 
o máximo divisor comum desses números é   32 3 5 270. Contudo, se 
o comprimento das novas peças deve ser menor do que 200 
centímetros, então queremos o maior divisor comum que seja menor do 
que 200, ou seja,  33 5 135. 
Em consequência, a resposta é 540 810 108040 30 10 420.
135 135 135
      
 
07) (ENEM) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo 
apresentado na Figura 1, devera ser descarregada no porto de uma 
cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida 
para o empilhamento desses contêineres (Figura 2). 
 
 
[16] 
 
 
De acordo com as normas desse porto, os contêineres deverão ser 
empilhados de forma a não sobrarem espaços nem ultrapassarem a 
área delimitada. Após o empilhamento total da carga e atendendo a 
norma do porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de 
contêineres é 
a) 12,5 m. b) 17,5 m. c) 25,0 m. d) 22,5 m. e) 32,5 m. 
 
Solução: 
A altura mínima é atingida quando toda a área é ocupada pelos 
contêineres. A única maneira de fazer isso, é dispor os contêineres de 
modo que  10 4 2,5 e 32 5 6,4.  Logo, serão dispostos 
 4 5 20 contêineres em cada nível e, portanto, a resposta é 
 
100
2,5 12,5 m.
20
 
08) ( ACAFE – SC ) Um grupo de 216 mulheres e 180 homens 
inscreveram-se como voluntários para visitar pessoas doentes em 
hospitais de uma cidade. Todas as pessoas inscritas serão divididas em 
grupos segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão ter a 
mesma quantidade de pessoas, e em cada grupo só haverá pessoas do 
mesmo sexo. 
Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar hospitais 
distintos, o menor número de hospitais a serem visitados é um 
número: 
a) par. b) divisível por 6. c) quadrado perfeito. d) primo. 
 
 
 
[17] 
 
Solução: 
Para visitar o menor número de hospitais, devemos ter o máximo de 
pessoas em cada grupo. O máximo divisor comum entre 216 e 180 
é 36. Logo, serão formados 6 grupos de mulheres (216 36 6),  e 
5 grupos de homens (180 36 5).  Se cada grupo visitará um 
hospital distinto, serão visitados 11 hospitais (6 5). 
 
09) ( PUC – PR ) Um estagiário recebeu a tarefa de organizar documentos 
em três arquivos. No primeiro arquivo, havia apenas 42 contratos de 
locação; no segundo arquivo, apenas 30 contratos de compra e venda; 
no terceiro arquivo, apenas 18 laudos de avaliação de imóveis. Ele foi 
orientado a colocar os documentos em pastas, de modo que todas as 
pastas devem conter a mesma quantidade de documentos. Além de não 
poder mudar algum documento do seu arquivo original, deveria colocar 
na menor quantidade possível de pastas. O número mínimo de pastas 
que ele pode usar é: 
 
Solução: 
O número de documentos em cada pasta é dado por 
mdc(42, 30,18) 6. Por conseguinte, a resposta é 
42 30 18
15.
6 6 6
   
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 2 
 
01) Determine o M.M.C. entre os números abaixo: 
 a) 8 e 12 b) 30 e 48 c) 12 e 24 d) x e 2x e) 3 e 5 
 
02) ( UFSC – SC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B 
e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de 
preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano 
Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um 
em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os 
satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem 
uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o 
próximo alinhamento é: 
 
[18] 
 
03) Determine o M.D.C. entre os números abaixo: 
 
a) 24 e 36 b) 300 e 360 c) 12 e 24 d) x e 2x 
e) 3 e 5 f) 8 e 9 
 
04) Três tábuas que medem respectivamente 24m, 36m e 48m, foram 
cortadas em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então o 
comprimento de cada pedaço (em m), assim como a quantidade de 
pedaços obtidos são respectivamente: 
 
a) 12 e 20 b) 24 e 9 c) 12 e 9 d) 24 e 20 e) 12 e 24 
05) O M.D.C e o M.M.C entre os números 36 e 60 são respectivamente: 
 
a) 18 e 180 b) 12 e 360 c) 12 e 180 d) 9 e 60 e) 18 e 360 
 
06) ( UEL – PR ) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo 
tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o 
percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base 
nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se 
reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e 
quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, 
respectivamente? 
 
a) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas. 
b) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas. 
c) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas. 
d) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas. 
e) 9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas. 
 
07) Três rolos de arame que medem respectivamente 24m, 84m e 90m, 
foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então 
o comprimento de cada pedaço é: 
 
08) Considere os números A = 24, B = 60; C = 48. Determine: 
 
a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C 
c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C 
 
[19] 
 
 
09) O MDC dos números 36, 40 e 56 é x e o MMC dos números 12, 24 e 
144 é y. Determine o valor de x.y. 
 
a) 576 b) 768 c) 459 d) 324 e) 312 
 
10) ( PUC – SP ) Um lojista dispõe de três peças de um mesmo tecido, 
cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m. Nas três peças o tecido 
tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, 
cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento 
possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos 
ele deverá obter? 
 
11) Assinale V para as alternativas Verdadeiras ou F para as alternativas 
Falsas: 
a) ( ) ( UFSC – SC ) No ponto de ônibus da Praça X passa um ônibus 
para a Linha Vermelha de 15 em 15 minutos e um ônibus para a 
Linha Amarela de 25 em 25 minutos. Se os dois ônibus passaram 
juntos às 10 horas, na primeira vez em que voltarem a passar 
juntos pelo ponto serão 10 horas e 40 minutos. 
b) ( ) ( UFSC – SC ) Um carpinteiro tem um bloco de madeira, na forma 
de um paralelepípedo retângulo, com as dimensões 112cm, 80cm 
e 48cm. Se o carpinteiro deve cortar esse bloco em cubos 
idênticos, com a maior aresta possível e sem que haja sobra de 
material, então a medida da aresta dos maiores cubos que ele 
pode obter é 16cm. 
c) ( ) Um marceneiro precisa cortar três tábuas em pedaços de 
mesmo comprimento. Para melhor aproveitamento das tábuas, 
o comprimento dos pedaços deve ser o maior possível. Uma 
tábua mede 250 cm de comprimento, a outra mede 350 cm e a 
outra 550 cm. O comprimento de cada pedaço de tábua será de 
50 cm. 
 
12) ( UFPR – PR ) Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor 
das engrenagens deve realizar para que as quatro flechas fiquem 
alinhadas da mesma maneira novamente? 
 
[20] 
 
 
a) 14 voltas b) 21 voltas c) 57 voltas d) 60 voltas e) 84 voltas. 
 
13) ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter 
e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do 
outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta 
completaao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, 
respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos estiveram em 
conjunção no céu da Terra? 
a) 1840 b) 1852 c) 1864 d) 1922 e) 1960 
 
14) Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e 324m, 
respectivamente, e mesmas medidas para os fundos. Queremos dividi-
los em faixas que tenham medidas iguais de frente e cujo tamanho seja 
o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: 
15) Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, 
um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em 
determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo 
voltarão a soar juntos? 
a) 240 h b) 120 h c) 32 h d) 360 h e) 320 h 
 
16) ( UDESC – SC ) A quantidade de números naturais que são divisores do 
mínimo múltiplo comum entre os números a = 540, b = 720 e c = 1800 
é igual a: 
a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60 
 
GABARITO – CAPÍTULO 02 
 
1) a) 24 b) 240 c) 24 d) 2x e) 15 
2) 90 3) a) 12 b) 60 c) 12 d) x e) 1 f) 1 
4) c 5) c 6) b 7) 6 m 
8) a) 120 b) 12 c) 240 d) 12 9) a 10) 47 11) a) F b) V c) V 12) d 13) d 
14) 36m 15) d 16) e 
 
[21] 
 
Capítulo 03 – Conjuntos Numéricos 
1. Conjunto dos Números Naturais 
O conjunto dos números naturais surgiram na necessidade de representar 
quantidades. Números que resultam de uma contagem de unidades é 
denominado NATURAL. 
 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
Um subconjunto importante do conjunto dos números naturais (N) é o 
conjunto * ( naturais sem o zero ) 
* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
O conjunto dos números Naturais é fechado para a adição e multiplicação, 
ou seja, somando-se ou multiplicando-se números naturais, sempre 
resultará um outro natural. 
 a, b  N, (a + b)  N e (a . b)  N 
 
2. Conjunto dos Números Inteiros 
 
Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou 
a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem 
situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram 
de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. 
Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em 
seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 
acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 Kg de arroz, escreveria o 
numeral 7 acompanhado do sinal +. 
Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram 
técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo 
números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico 
representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo 
formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos, 
podendo ser escrito da seguinte forma: Z = {...,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...} 
mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm/ Acesso em 
25/10/2018 
 
[22] 
 
Em síntese: o conjunto dos números inteiros surgiram com a necessidade 
de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro 
fosse menor que o segundo. 
 = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } 
Podemos citar alguns subconjuntos do conjunto dos números inteiros 
Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } 
Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } 
Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } 
Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} 
Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 } 
O conjunto dos números inteiros é fechado para a adição, multiplicação e 
subtração. 
 a, b  Z, (a + b)  Z, (a . b)  Z e (a – b)  Z 
 
3. Conjunto dos Números Racionais 
A origem do conjunto dos números racionais se deu com a necessidade de 
demonstrar partes de um inteiro e as divisões que obtinham resultados 
decimais. Ou seja, o conjunto dos números racionais surgiram com a 
necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um 
número não inteiro. 
a
{x|x , com a Z,b Z e b 0}
b
     
São exemplos de números racionais: 
a) Naturais b) Inteiros 
c) Decimais exatos ( 0, 8 =
10
8
 ) d) Dízimas periódicas (
8
0, 888... =
9
) 
As quatro operações são definidas nos racionais. Com a ressalva que a 
divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero 
também). Convém observar que entre dois racionais sempre existe um 
outro racional, como por exemplo: Entre 
6 3
e
5 2
 existe 
5
4
. Em regra, dados 
a e b dois números racionais, existe entre eles um outro número racional 
2
ba  . Um conjunto que possui tal propriedade é chamado denso. 
 
[23] 
 
Geratrizes de uma dízima periódica 
 
Toda fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se GERATRIZ. 
Para se determinar a GERATRIZ de uma dízima periódica, procede-se assim: 
 
a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o 
algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um 
número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do 
período. 
Exemplos: 
a) 0777...= 
9
7 b) 0,434343... = 
99
43 c) 1,777....= 1 + 0,777... = 1 + 
9
7 = 
9
16 
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é 
a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte 
não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos 
noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros 
quantos são os algarismos da parte não periódica. 
Exemplos: 
a) 0,3777... = 
45
17
90
34
90
337

 b) 0,32515151... = 
3300
1073
9900
3219
9900
323251

 
 
4. Conjunto dos Números Irracionais 
 
Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro 
racional, isso não significa que o conjunto dos números racionais 
preencham toda reta. Considere o quadrado abaixo de lados de medidas 
1. Calculando, pelo teorema de Pitágoras o valor da medida da diagonal d, 
chega-se a 2 . 
 
Extraindo a raiz de 2, tem-se um número que não é natural, inteiro, nem 
racional, surge então o conjunto dos números irracionais. 
 
[24] 
 
Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma 
de fração
b
a
, com a Z, b  Z*, como por exemplo: 
Os números irracionais podem ser divididos em: 
 reais algébricos irracionais 
 reais transcendentes. 
Os números reais algébricos irracionais são raízes de polinômios com 
coeficientes inteiros; 
Exemplos: Raízes não exatas: 
a) 2 1,41421356... b) 5 2,23606798...  
Já os números reais transcendentes não são raízes de polinômios com 
coeficientes inteiros. São exemplos: 
a)  = 3,14... (razão entre o perímetro de uma circunferência e seu 
diâmetro) 
b) e = 2, 71... (Constante de Euler ou número de Neper) 
c)  1,618... (Número Áureo ou número de ouro 
Quando operamos entre um número racional (não nulo) e irracional, 
resultará sempre um número irracional. Quando operamos só com 
números irracionais o resultado pode ser racional ou irracional. 
 
5. Conjunto dos Números Reais 
 
O Conjunto dos números reais, simbolizado por , é a reunião do conjunto 
dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. 
 = {x| x é racional ou x é irracional} 
 
 
 
 
[25] 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números 
racionais. 
a)  1, 2, 2, .π b)  15, 0, , 9
2
 c)  22, 0, ,
3
π 
d)  3, 64, , 2π e) 11, 0, 3,
3
 
 
 
 
 
Solução: 
 A resposta correta é a [B], pois todos os elementos do conjunto 
 15, 0, , 9
2
 podem ser escritos comofração: 
10
–5 – ,
2
 
0
0 ,
3
 
1
,
2
 e 
6
9 .
2
 
02) (CEFET - MG) Sobre os números racionais 
1
,
11
 
7
33
 e 
14
,
55
 é correto 
afirmar que 
a) apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados 
por dízimas periódicas. 
b) apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por 
uma dízima periódica simples. 
c) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por 
dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número 
primo. 
d) os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por 
dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número 
divisível por 3. 
 
Solução: 
Tem-se que 
1
0,09,
11
 
7
0,21
33
 e 
14
0,2545.
55
 Em consequência, 
os três números, em sua forma decimal, são representados por dízimas 
periódicas, com 0,09 e 0,21 sendo dízimas periódicas simples e 
 
[26] 
 
0,2545 uma dízima periódica composta. Ademais, os períodos dessas 
dízimas são: 9, 21 e 45, todos divisíveis por 3. Resposta é o item [D]. 
 
03) ( IFSUL ) Sobre os números 
25
,
3
 
36
5
 e 17, afirma-se que 
a) pertencem ao conjunto dos números naturais. 
b) pertencem ao conjunto dos números inteiros. 
c) 
25 36
17
3 5
  
d) 
36 25
17
5 3
  
 
Solução: 
[A] Incorreta. Os três números não são exatos, isto é, são decimais. 
[B] Incorreta. Os três números não são exatos, isto é, são decimais. 
[C] Incorreta. 
25 36
3 5
 ou 8,333... 7,2 
[D] Correta. 4,123... 7,2 8,333...  
 
04) ( UEM – PR ) Sobre os conjuntos numéricos, é correto afirmar que 
 
01) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
02) a soma de dois números irracionais é sempre um número racional. 
04) o produto de um número irracional por um número racional não nulo é 
sempre um número irracional. 
08) a soma de um número irracional com um número racional é sempre um 
número irracional. 
16) o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. 
 
Solução: 
[01] FALSO. Calculando  
2
2 2. 
[02] FALSO. Calculando 2 2 0.   
[04] VERDADEIRO. O produto de um número irracional por um número 
racional não nulo é sempre um número irracional. 
 
[27] 
 
[08] VERDADEIRO. A soma de um número irracional com um número 
racional é sempre um número irracional. 
[16] VERDADEIRO. O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos 
números racionais com o conjunto dos números irracionais. 
 
05) Analise as afirmações abaixo: 
 
I. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Inteiros. 
II. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Racionais. 
III. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números 
Irracionais. 
a) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
d) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
Solução: 
Considere a relação hierárquica dos conjuntos numéricos: 
Ι
Ι
   
 
 
 
 
Analisando as afirmações a resposta é o item [D] 
[I] Verdadeira, pois  
[II] Verdadeira, pois     
[III] Falsa. Note que os números irracionais não possuem subconjuntos 
definidos segundo os conjuntos apresentados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[28] 
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 3 
 
01) Utilize os símbolos () e  para relacionar elemento e conjunto em 
casa caso: 
 
 
02) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números 
irracionais. 
a)  1, 2, 2, .π b)  32; 3;3,14; 5 c)  15, 0, , 9
2
 
d)  33; ; 22; 2 e)  3, 64, , 2π 
03) Escreva os números abaixo na forma irredutível *Zb;Za,
b
a
 . 
a) 0,4 b) 0,04 c) 0,004 d) 3,14 
e) 6,28 f) 0,444.... g) 0,474747... h) 0,212121... 
i) 0,25555.... 
 
04) ( PUC-RS ) Em nossos trabalhos com matemática, mantemos um 
contato permanente com o conjunto dos números reais, que 
possui, como subconjuntos, o conjunto dos números naturais, o 
conjunto dos números inteiros, o dos números racionais e o 
dos números irracionais I . O conjunto dos números reais também 
pode ser identificado por 
 a)  b)  c)  d) I e) I 
 
 
[29] 
 
05) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), 
“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” 
Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das 
grandes invenções humanas. 
 Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar 
que: 
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número 
irracional. 
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. 
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um 
número racional. 
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um 
número inteiro negativo. 
 
06) Determine a soma dos números associados às proposições 
VERDADEIRAS: 
01. O conjunto dos números racionais é suficiente para medir (com 
exatidão) todo e qualquer comprimento. 
02. Os números como 2 e  ( e outros irracionais) só estão 
relacionados a coisas abstratas e “distantes” da nossa realidade. 
04. A solução da equação 2x+ 3 = 7 não é um número racional. 
08. 3,14 é um número racional. 
 
07) ( UEPG – PR ) Assinale o que for correto. 
01. O número real representado por 0,5222... é um número racional. 
02. O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 
04. Se m e n são números irracionais então m.n pode ser racional. 
08. O número real 3 pode ser escrito sob a forma 
a
b
, onde a e b são 
inteiros e b  0. 
 
08) ( ENEM ) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da 
reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo 
números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas 
equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos. 
 
[30] 
 
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas: 
 
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que 
representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
GABARITO – CAPÍTULO 03 
2) d 3) 
90
23
)i
3
7
)h
99
47
)g
9
4
)f
25
157
)e
50
157
)d
250
1
)c
25
1
)b
5
2
)a 
4) e 5) d 6) 08 7) 05 8) d 
 
 
[31] 
 
 Capítulo 04 – Frações - operações 
1. Classificação das frações 
 
Frações próprias: Quando o numerador for menor que o denominador. 
Exemplo: 3
7
 
Frações impróprias: Quando o numerador for maior que o denominador. 
Exemplo: 9
7
 
2. Algumas propriedades das frações 
 
1. Se multiplicarmos (ou dividirmos) o numerador de uma fração por um 
número qualquer, diferente de zero, o valor da fração ficará 
multiplicado (ou dividido) por esse número. 
2. Se multiplicarmos (ou dividirmos) o denominador de uma fração por 
um número qualquer, diferente de zero, o valor de fração ficará dividido 
(ou multiplicado) por esse número. 
3. Se multiplicarmos (ou dividirmos) ambos os membros de uma fração 
por um mesmo número diferente de zero, o valor da fração não se 
altera. 
 
3. Reduzindo frações ao mesmo denominador 
 
Nas operações com frações logo adiante, precisaremos por vezes frações 
ao mesmo denominador. O processo se dá de modo bem simples. 
Acompanhe: 
 
[32] 
 
Vamos reduzir as frações 3 5e4 6
 ao mesmo denominador. 
 Extrai-se o mmc entre os denominadores, o qual será o 
denominador comum. 
m.m.c(4, 6) = 12 
 A seguir, divide-se o mmc obtido pelo denominador de cada uma 
das frações, e o resultado obtido multiplica-se pelo numerador 
ou seja: constroem-se frações equivalentes às frações dadas. 
7 5
,
4 6
 
m.m.c(4, 6) = 12 
(12: 4).7 (12: 6).5
,
12 12
 
Resultando em: 21 10,
12 12
que são frações equivalentes a: 7 5,
4 6
 
 
4. Operação com frações 
 
Adição e Subtração: 
Se a frações estiverem com os mesmos denominadores, conservamos 
o denominador comum e adicionamos ou subtraímos os numeradores. 
Assim, temos: 
2 1 2 1 3 7 2 7 2 5
a) b)
5 5 5 5 3 3 3 3
 
      
Se a frações estiverem com denominadores diferentes, determinamos 
o M.M.C entre os denominadores e daí recaímos no caso anterior. 
2 1 8 3 11 7 1 28 3 25
a) b)
3 4 12 12 12 6 8 24 24 24
        
Multiplicação: 
Para multiplicar várias frações, devemos formar uma nova fração que 
terá, para numerador, o produto dos numeradores; para denominador, 
o produto dos denominadores. Observe os exemplos: 
2 1 2.1 2 7 2 7.2 14
a) . b) .
5 7 5.7 35 3 3 3.3 9
    
 
[33] 
 
Divisão: 
Para dividir uma fração por outra, conservamos a primeira fração e 
multiplicamos pela inversa da segunda fração. Assim, temos: 
9 32 3 2 7 14 7 2 7 21
a) : . b) : .
5 7 5 3 15 3 9 3 2 2
    
Com as condições de existência estabelecidas, segue um resumo sobre 
as 4 operações fundamentais com números racionais: 
 Adição e Subtração: p r ps rq
q s qs

  
 Multiplicação: p r pr.
q s qs
 
 Divisão: p r p s p.s: .
q s q r q.r
  
 
Exercícios Resolvidos 
 
01) Sabendo-se que 3
5
 de uma quantia valem R$90.000,00, pergunta-se: 
Qual o valor dessa quantia? 
Solução: 
3 5.90000
x 90000 x
5 3
x 150000
  
 
 
Logo, a quantia procurada é R$ 150.000,00 
02) Uma pessoa percorreu 
2
3
 de um trecho de uma trilha ecológica, cuja 
distância total é de 6km, pergunta-se: quantos quilômetros faltam ainda 
para finalizar o percurso? 
 
[34] 
 
Solução: 
2 3.6
x 6 x
3 2
x 9
1
Por tanto : .9 3
3
  


 
Logo, ainda faltam percorrer 3km. 
03) ( ENEM ) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que 
exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o 
número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam 
seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que 
seu índice de popularidade é 0,3121212 O índice revela que as 
quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que 
visitam seu perfil são 
 
a) 103 em cada 330. b) 104 em cada 333. c) 104 em cada 3.333. 
d) 139 em cada 330. e) 1.039 em cada 3.330. 
 
Solução: 
 Tem-se que: 
0,3121212 0,3 0,0121212
1
0,3 0,121212
10
3 1 12
10 10 99
3 1 4
10 10 33
99 4
330
103
.
330
 
  
  
  



 
Portanto, o índice revela que as quantidades relativas de admiradores 
do estudante e pessoas que visitam seu perfil são 103 em cada 330. 
Resposta item [A]. 
 
 
[35] 
 
04) Uma fração unitária é uma fração da forma 
1
,
n
 onde n é um número 
natural. Uma fração escrita como soma de frações unitárias é 
denominada fração egípcia. Por exemplo: 
2 1 1
= +
3 2 6
 e 
5 1 1 1
= + + .
11 3 9 99
 
A soma 
1 1 1
+ +
3 8 60
 é a representação egípcia de qual fração? 
a) 
71
.
120
 b) 
3
.
71
 c) 
17
.
60
 d) 
19
.
40
 e) 
17
.
30
 
 
Solução: 
1 1 1 40 15 2 57 19
3 8 60 120 120 40
 
     
 
05) Sendo x um número real tal que 
1 4 1
x : (1 0,8) 0,25 ,
5 3 4
 
     
 
 
pode-se afirmar que: 
a) 
1 1
x
2 2
   b) 
1
x 1
2
  c) 
3
1 x
2
  d) 
3 7
x
2 2
  
 
Solução: 
   
             
   
       
1 4 1 1 1 4 1 1
x : (1 0,8) 0,25 x :
5 3 4 5 5 3 4 4
4 2 2 1
x 1 x 1 x
3 4 3 3
 
Portanto, 
1 1
x .
2 2
   
 
 
 
 
 
[36] 
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 4 
 
01) Determine o valor de cada expressão a seguir: 
 
a) 
2
5
2
1
 b) 
2
5
.
2
1
 c) 
4
5
3
2
 d) 
1 1 1
3 4 5
  
e) 
4 1 7
:
5 2 8

  
  
  
 f) 
y
1
x
1
 g) 
2
3
2
2
1
6
1
3
1
6
1
1














 
h)  
2 1 1
1 0,7 . 0,75
5 2 4
   
 
 
 
 i) 3 2 1 1 7
4 5 2 5 10
    
       
    
 
 
1 2 1 4 5
j) 2
3 7 7 3 21
      
          
       
15 6 1 3
l) 1+ ÷ +
4 8 2 4
   
   
    
 
1 2
5 2 5 3 1
m) . . + 3
6 5 2 4 2
      
       
       
 n) 
2 2
7 2 1 5 1
4 3 2 3 3
    
       
     
 
 
02) Resolva a expressão numérica 
2
2 5 1 2 3
3 4 2 5 10
    
      
     
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
Qual o resultado da expressão, em sua forma irredutível (mais 
simplificada possível)? 
a) 5 3 b) 10 6 c) 260 123 d) 90 54 e) 12 25 
03) A expressão 
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2


 

 é equivalente a: 
 
[37] 
 
 a) 3 b) -3 c) 6 d) -6 e) 
1
2
 
04) Qual é o valor da expressão numérica 
1 1 1 1
5 50 500 5000
   ? 
a) 0,2222 b) 0,2323 c) 0,2332 d) 0,3222 
 
05) ( ENEM ) Até novembro de 2011, não havia uma lei específica que 
punisse fraude em concursos públicos. Isso dificultava o 
enquadramento dos fraudadores em algum artigo específico do Código 
Penal, fazendo com que eles escapassem da Justiça mais facilmente. 
Entretanto, com o sancionamento da Lei 12.550/11, é considerado 
crime utilizar ou divulgar indevidamente o conteúdo sigiloso de 
concurso público, com pena de reclusão de 12 a 48 meses (1 a 4 
anos). Caso esse crime seja cometido por um funcionário público, a 
pena sofrerá um aumento de 1 3. 
Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 15 ago. 2012. 
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso 
público, sua pena de reclusão poderá variar de 
 
a) 4 a 16 meses. 
b) 16 a 52 meses. 
c) 16 a 64 meses. 
d) 24 a 60 meses. 
e) 28 a 64 meses. 
 
 
 
GABARITO – CAPÍTULO 4 
 1) a) 3 b) 
4
5
 c) 
12
23
 d) 
60
47
 e) 
70
104
 f) 
xy
yx 
 g) 
5
3
 h) 
12
13
 i) 
3
20
 j) 
23
21
 
l) 
83
20
 m) 
41
24
 n) 
1
6
 2) a 3) a 4) a 5) c 
 
 
[38] 
 
Capítulo 05 – Potenciação 
 
1. Definição 
 
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. 
Seja a um número real e m um número natural maior que 1, tem-se que: 
 m
m fatores
a = a.a.a ...a 
Casos Particulares 
a) , ( 0) b) c) 0) 0 1 -n
n
1
a = 1 a a = a a = ,(a
a
 
Exemplos: 
a) 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 b) (– 5)2 = (–5) . (–5) = 25 
c) – 52 = – (52) = – 25 d) (–3)3 = (–3) . (–3) . (–3) = – 27 
e) (– 51)0 = 1 f) 71 = 7 
g) 
2
2
1
5 25
1
5

  
2. Propriedades 
 Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se: 
Potências de mesma base: 
 am.an = am + n 
 
Exemplo: 23 . 24 . 27 = 23 + 4 + 7 = 214 
 
 
nm
an
a
m
a 
 com a ≠ 0 
 
[39] 
 
Exemplos: 1) 
2
2
35
2
3
2
5
2


 
 2) 
27
1
33
13
3
1512
3
15
3
12
3
15
3
75
3
15
3
7
.3
5
3






 
 (am)n = am.n 
Exemplos: 
1) (23)4= 212 
2) (–23)4 = 212 
3) (24)3 = 212 
4) (–24)3 = –212 
Cuidado:   nmnm aa  
Potências de mesmo expoente: 
 an.bn = (a.b)n 
 
Exemplo: 56 · 26 = (5 · 2)6 = 106 = 1 000 000 
 
n
b
a
n
b
n
a






 
Exemplo: 16
4
2
4
5
10
45
410
 





 
 Potência de base 10 
 Sabe-se que: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 
 Então 
n
zerosn
10 = 100....000 
 
[40] 
 
Observe ainda que: 10-1 = 
10
1
= 0,1 10-2 = 
210
1
= 0,01 10-3 = 
310
1
= 0,001 
 Então: 
n
casas decimais

n
10 = 0, 00....001 
 Exemplos: 
a) 10² = 100 b) 107 = 10 000 000 c)200 = 2 . 100 = 2 . 10² 
d) 4000 = 4 . 10³ e) 300 000 = 3 . 105 f) 3 . 108 = 300 000 000 
g) 0,001 = 10-3 h) 0,002 = 2 . 10-3 i) 0,00008 = 8 . 10-5 
j) 1,255 = 1255 . 10-3 k) 2 . 10-3 = 0,002 
 
3. Notação Científica 
 
Notação científica é uma maneira mais conveniente de manipularmos 
números muito grandes ou muito pequenos. 
A notação científica de um número assume a forma 
n
.10 com 1   < 10 
e n  . 
Nessa disposição,  é chamado de mantissa, ou coeficiente, e n é chamado 
de expoente, ou ordem de grandeza. 
Assim, são exemplos de números reais e suas 
respectivas notações científicas: 
a) 5420 = 5, 42. 103 
b) 0,0000032 = 3,2 . 10 – 6 
A notação científica é usada para diminuir a escrita de um número tornando 
mais fácil as operações por meio das propriedades de potência. 
Exercícios Resolvidos 
 
01) Em matemática, potências são valores que representam uma 
multiplicação sucessiva de um número. Usando as propriedades de 
potenciação, qual dos números a seguir é o maior? 
a) 453 b) 219 c) 8243 d) 1281 
 
 
[41] 
 
Solução: 
Reescrevendo os números dados em potências de 3 : 
 
 
 
45 45
21
21 2 42
8
8 5 40
12
12 4 48
3 3
9 3 3
243 3 3
81 3 3

 
 
 
 Portanto, a resposta é o item [D] 
02) Sendo 
10 3 24 8 16
y ,
32
  
 a metade do valor de y vale 
a) 32 b) 42 c) 52 d) 62 
 
Solução: 
     
10 3 2
2 3 4
10 3 2 20 9 8 3
2
5 5 5
2 2 24 8 16 2 2 2 2
y 2
32 2 2 2
 
   

    
     
 
Portanto, a metade do valor de y é 
2
32 2 .
2

 
 
03) O valor da expressão 
2 3
2
2 2
2
  é igual a 
a) 
5
4
1 2
.
2

 b) 32 . c) 52 . d) 52 . e) 
5
4
2 1
.
2

 
 
Solução: 
2 3 2 3
5
2 5
1 1 1 1 2 1
2 2 1 14 8 82 2 2 .
4 4 4 322 2
 

 

      
04) Leia o trecho adaptado abaixo para responder à questão. 
“A perereca-macaco-de-cera, encontrada na América do Sul e 
Central, é capaz de aguentar mais tempo no sol forte do que outras 
espécies de anfíbios, devido à secreção de cera que reduz a perda 
de água por evaporação, protegendo sua pele.” 
 
[42] 
 
A área territorial da América Central é de, aproximadamente, 
2523.000 km . Assinale a alternativa que apresenta a área em 
notação científica. 
 a) 2523 10 . b)  55,23 10 . c) 25,23 10 . 
 d) 4523 10 . e) 35,23 10 . 
 
Solução: 
 Transformando em 523.000 em potência de 10, temos: 
     3 5523.000 523 1000 523 10 5,23 10 
 
05) ( EPCAR ) Considere 50a 11 , 
100b 4 e 150c 2 e assinale a 
alternativa correta. 
a) c a b  b) c b a  c) a b c  d) a c b  
 
Solução: 
 
50
100 2 50 50
150 3 50 50
50 50 50
a 11
b 4 (4 ) 16
c 2 (2 ) 8
8 11 16 c a b

  
  
   
 
 
06) ( ENEM ) Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a 
prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de Sevilha, em 
1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 
43,18 segundos. Esse tempo, em segundo, escrito em notação 
científica é 
 
a) 20,4318 10 b) 14,318 10 c) 043,18 10 
d) 1431,8 10 e) 
24.318 10 
 
Solução: 
A resposta é 143,1843,18 10 4,318 10 .
10
    [B] 
 
[43] 
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 5 
 
01) Determine o valor das expressões: 
a) 34 b) – 34 c) (– 3)4 d) 1201 
e) 080 f) 5000 g) 4-2 h) 
3
2
5







 
i) (5 – 5)5 j) 
42
3)2(242)(


 k) 
12
2
3
3
2













 
l) 
211
2
1
3
1





















 
 
02) Escreva em notação científica, isto é, expresse na forma a.10k com 
1 a < 10 e k inteiro os seguintes números: 
a) 516000 b) 0,000516 
 
03) ( UFRGS – RS ) A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano 
luz, é de aproximadamente 38.45 . 512 quilômetros. A notação científica 
desse número é: 
 a) 9,5. 1010 b) 0,95. 1012 c) 9,5. 1012 d) 95.1012 e) 9,5.1014 
 
04) Simplificando a expressão 
3n
n4n
2.2
2.22

 
obtém-se: 
7 1 17 3 5
a) b) c) d) e)
8 8 8 8 8
 
05) Se   .3z,9y,3x 24332  O valor de  
1
2
z
y.x

é: 
 
20 30 26 36 16a) 3 b)3 c)3 d)3 e)3 
 
06) ( UFRGS – RS ) A expressão  15125,0 é equivalente a: 
  
4545 45 45 45a) 5 b) 5 c) 2 d) 2 e) 2   
07) Determine a alternativa correta. 
a) 32000 < 23000 
 
[44] 
 
b) A terça parte de 527 é 153 e a metade de 2550 2é2 . 
c) O algarismo das unidades do número 159 é 2. 
d) O número de algarismos do número n = 86 . 2511 é 21. 
e) A expressão  525,0 é equivalente a 92 . 
08) ( UDESC – SC ) Se   e8r,4q,2p 323223  , 3
1
r
pq
s 





 então se 
pode afirmar que: 
a) 0 < s < 
4
1
 b) 0 < s < 
2
1
 c) 0 < s < 1 
d) 1 < s < 2 e) 2 < s < 4 
 
09) Assinale V para as alternativas Verdadeiras ou F para as alternativas 
Falsas: 
a) ( ) Sendo x = (22)3, y = 
32
2 e z = 
23
2 , escrevendo o produto x.y.z na 
forma 2n, o valor de n é 23. 
b) ( ) ( UFSC – SC ) Dividindo-se 
232 por 
322 obtém-se 1. 
c) ( ) O valor da expressão 
)10.(0,0001
).100,1.(0,001 1 é equivalente a 10- 2 
d) ( ) Simplificando a expressão  
2
1642
3232
x.x
x:x

 







, obtemos x – 4 
e) ( ) ( UFSC – SC ) 125 é divisor de 1522 
 
10) Escreva em notação científica, isto é, expresse na forma a.10k com 
1 a < 10 e k inteiro os seguintes números: 
a) 314 b) 3140 c) 31400 d) 0,314 e) 0,00000314 
 
11) ( UFRGS – RS ) O algarismo das unidades de 109 é 
a) 0. b) 1. c) 3. d) 6. e)9. 
 
12) ( UFRGS – RS ) Por qual potência de 10 deve ser multiplicado o número 
3333 10.10.10.10  para que esse produto seja igual a 10? 
9 10 11 12 13a) 10 b) 10 c) 10 d) 10 e) 10 
 
 
[45] 
 
13) ( FUVEST – SP ) Se 416 . 525 =  . 10n, com 1   < 10, então n é igual a : 
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28 
 
14) ( FGV – SP ) Qual o valor da expressão    
  
 ,
b.a.b.a.b.a
b.a.b.a.b.a
1123
214212


quando 
a = 103 e b = 102 
 a) 106 b) 102 c) 103 d) 109 e) 107 
 
15) ( FGV – SP ) Simplificando a expressão 
1n2n
1n2n4n
22
222




 temos: 
 ) ) ) ) )1
3 87 82 34
a b c d e
4 4 3 3
 
16) ( UFRGS – RS ) O algarismo das unidades de 4499 49  é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
17) ( UFRGS – RS ) O algarismo das unidades da soma 4454 + 5545 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
18) ( ENEM ) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o 
asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e aLua no mês de 
novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide 
percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita 
pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do 
asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou 
da superfície terrestre. 
 
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 
55 passou da superfície da Terra é igual a 
 
[46] 
 
a) 3,25 x 102 km. b) 3,25 x 103 km. c) 3,25 x 104 km. 
d) 3,25 x 105 km. e) 3,25 x 106 km. 
 
19) ( UFRGS – RS ) Um adulto saudável abriga cerca de 100 bilhões de 
bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias 
pode ser escrito como: 
a) 109 b) 1010 c) 1011 d) 1012 e) 1013 
 
20) ( ENEM ) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa 
dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a 
sequência conforme mostrada no esquema a seguir. 
 
 
 Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma 
propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a 
soma de qualquer linha posterior as já construídas. A partir dessa 
propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas 
empilhadas por Ronaldo? 
a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285 
 
21) Sabendo-se que 1,09832 é aproximadamente igual a 20, qual dos valores 
abaixo está mais próximo do número 56 . (1,098)192? 
a) 100 mil b) 1 milhão c) 100 milhões d) 1 bilhão e) 1 trilhão 
 
22) ( FUVEST – SP ) Qual desses números é igual a 0,064? 
 
2 2 3 2 3
1 1 2 1 8
a) b) c) d) e) 
80 8 5 800 10
         
         
         
 
 
GABARITO – CAPÍTULO 05 
 
1) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0 f) 1 g) 
16
1 h) 
125
8 i) 
255
1 j) – 5 k) 
12
35 l) 1 
2) a) 510.16,5 b) 410.16,5  3) c 4) a 5) d 6) d 7) d 
8) c 9) a) V b) F c) V d) V e) V 10) a) 3,14 . 102 b) 3,14.103 c) 3,14.104 
d) 3,14.10-1 e) 3,14.10-6 11) b 12) e 13) d 14) d 15) c 16)c 
17) b 18) d 19) c 20) d 21) e 22) c 
 
[47] 
 
Capítulo 06 – Radiciação 
 
1. Definição 
 Considere a um número real e n um número natural não nulo. O número 
b é chamado raiz enésima de a se, e só se, elevado ao expoente n resulta a. 
 b é a raiz enésima de a, se bn = a 
2. Representação 
 n a = b  bn = a 
Exemplos: a) 4 16  pois 4² = 16 b) 2 83  pois 2³ = 8 
c) 3 814  pois 34 = 81 d) 2- 8-3  pois (- 2)3 = - 8 
3. Nomenclatura 
 Em n a = b, temos: 
 n é o índice da raiz 
 a é o radicando 
 
4. Condição de existência em 
Em n a , se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero. 
Se n for ímpar então n a sempre existe. 
 
5. Propriedades 
Obedecidas as condições de existência das raízes, valem as seguintes 
propriedades: 
 
m
n
n a an n n na) a. b a.b b) n bb
m n.p m.pn nm mnc) a a d) a a
n mn m n.me) a a f) a a
 
 
 
 
 
[48] 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01) Simplificar: 
a) 6 3 . 2 3 . 2  b) 3 
2
6
 
2
6
 
c) 30 2 . 5 . 3 2 . 5 . 3  d) 4
4
4
4
44
2
15
 
2
15
 
2
3 . 5
 
e) 42 . 2 3 3 3  f) 24
3 4 3 3  
g) 3 3 2
1
 h) 3
3 23
2
4 2 2  
i) 4
34 3 6 6  j) 3 2 3 . 2 12 2  
k) 5 6 5 3 . 2 5 .3 . 2 180 22  l) 42
4 48 2 5 . 3 2 . 5 . 3  
m) 24 : 84 8 3 3 3  
02) Simplificar 4 62. 3 
 
12 123 264Solução : M.M.C de4e 6 é 12 : 2. 3 2 . 3
64 12 122. 3 8. 9
64 122. 3 72



 
6. Adição algébrica com radicais 
 Para efetuar a adição algébrica com radicais, simplificamos os radicais e 
reduzimos os termos que têm radicais iguais (radicais de mesmo índice e 
mesmo radicando), somando algebricamente os fatores externos. 
Exemplos: 
2 2 2a) 48 12 2 .2 .3 2 .3 4 3 2 3 6 3     
 3 33 33 3 3 3 3b) 24 81 2 .3 3 .3 2 3 3 3 3       
 
[49] 
 
As operações de multiplicação e divisão já estão colocadas nas 
propriedades do item 5. 
7.Racionalização de denominadores 
Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o 
denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a 
primeira sem no entanto com o radical no denominador. 
 1º CASO: O denominador é do tipo 
n ma 
 Neste caso multiplica-se numerador e denominador pelo fator: 
n mna  . 
2º CASO: O denominador é do tipo ba  Neste caso multiplica-se 
numerador e denominador pelo fator: ba  
Exercícios Resolvidos 
 
03) Racionalizar: 
a) 
2
2
 
4
2
 
2 . 2
2 . 1
 
2
1

 b) 
6
3
 
3 . 2
3
 
92
3
 
3 . 32
3 . 1
 
32
1
 
c) 
3
6
 
9
6
 
3 . 3
3 . 2
 
3
2
 d) 
3-1 23 3 3 3
3-1 2 33 3 3 3 3
1 1 . 5 1 5 25 25
 = = = =
55 . 5 5. 5 5
 
e) 
2
327
2
327
 
2.2
27
 
2 . 
2 . 7
 
2
7 3
6 6
3
6 56
3 5
6 1-6
6 1-6
6
 
f)  
        3
2 - 5
 
2 - 5
2 - 5
 
2 - 5
2 - 5
 
2 - 5 .2 5
2 - 5 . 1
 
2 5
1
22




 
g)  
   
 
 
   3 - 2 . 5 
3 - 4
3 - 2 5.
 
2
3 - 
2
2
3 - 2 . 5
 
3 - 2 . 3 2
3 - 2 . 5
 
3 2
5




 
 
 
 
[50] 
 
04) O valor da expressão 50 18 98  é: 
a) 130. b) 5 2. c) 9 2. d) 5 13. e) 15 2. 
 
Solução: 
           2 2 250 18 98 5 2 3 2 7 2 5 2 3 2 7 2 9 2. 
 
05) O valor exato da raiz cúbica de 1.728 é 
 Solução: 
 
33 3 3 3 3 33
31728
3576
3192
264
2 3 2 2 1728 3 2 2 1232
216
28
24
22
       
 
 
06) ( PUC – SP ) Usando a tecnologia de uma calculadora pode-se calcular a 
divisão de 2 por 3 4 e obter um resultado igual a 
a) 4. b) 3 3. c) 5. d) 3 2. e) 24 . 
 
Solução: 
3 3
3
3 33 32 3
2 2 2 2 2
2
4 22 2

    
07) ( PUC – RJ ) Quanto vale 1 ?
2 1
 
Solução: 
2 2
1 1 2 1
2 1 2 1 2 1
2 1
( 2) 1
2 1.

 
  



 
 
 
 
[51] 
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 6 
 
01) Calcule o valor de: 
 
33 7
3 3
a) 256 b) 729 c) 27 d) 0
e) 1 f) 0,01 g) 0,001

 
02) Simplificando a expressão 5018  obtém-se: 
a) 2 17 b) 34 2 c) 8 2 d) 5 3 e) 2 2 
03) A metade de 21,2 e o triplo de 
3
1
3
1






valem, respectivamente: 
 a) 20,6 e 
3
1
 b) 5 2 e 1 c) 1 e 3 9 d) 5 2 e 3 9 e) 3 9 e 
3
1
 
 
04) Racionalizar os seguintes denominadores: 
 
3
1 10 1
a) b) c)
3 2 7 3
 
 
05) Determine o valor de 3 15625 . 
 
06) Simplificando a expressão 19248  obtém-se: 
 
a) 2 10 b) 34 2 c) 8 2 d) 12 3 e) 14 3 
 
07) A expressão 
3
4
4
3
 é igual a: 
 a) 7
6
1
 b) 
4
3
 c) 1 d) 6
6
5
 e) 3
6
7
 
08) Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes: 
a) 4 625 b) 5 32 c) 5 0 d) 3 1 
e) 
16
81
 f) 25,0 g) 3 125,0 h) 3 008,0 
 
[52] 
 
09) Simplificar: 
 
3
16 353 3 5
a) 3. 9 b) 4. 8 c) d) 64 .
3
2
 
10) Assinale V para as alternativas Verdadeiras ou F para as alternativas 
Falsas: 
a) ( ) A expressão 32502208  é igual a 31 2 
b) ( ) Simplificando a expressão 3 543 163 250  obtém-se 0. 
c) ( ) A diferença entre os números reais 75 e 35 é um númeroracional. 
d) ( ) A expressão 9722352  é equivalente a: 
 46 3 
e) ( )O produto  3 93 3 4.2 é igual a 24 
 
11) Racionalize os seguintes denominadores: 
 a) 
2
5
 b) 
3
6
 c) 
2
4
 
 d) 
3 5
2
 e) 
25
1

 f) 
23
4

 
 g) 
13 2
1
 
12) ( UEL – PR ) Seja o número real x =
15
522203500


. Escrevendo 
x na forma x = a + b c , tem-se que a + b + c é igual a: 
 
13) O valor de 42222  é: 
 14) ( UFRGS – RS ) A expressão 
3
5
5
3
 é igual a: 
 
15
8
 b) 
5
3
 c) 1 d) 
15
34
 e) 
15
158
 
 
 
[53] 
 
15) ( IFCE – CE ) Para todo número real positivo a, a expressão 
3 5a a a
a
  é equivalente a 
a) 1 + a + a. b) 1 + a + a2. c) a + a. d) a + a2. e) 1 + a. 
 
16) ( UFRJ ) Se considerarmos satisfatória a aproximação de 3,14 para o 
número , devemos achar satisfatória como aproximação de 2 , o 
número: 
 50 50 50 50 50a)2 128 b)4 128 c)6 128 d)8 128 e)10 128 
 
17) ( UEL – PR ) A expressão 1
22
1
22
1




 é 
 equivalente a: 
a) – 1 b) 2 – 2 c) 2 + 2 
d) 2 – 1 e) 2 + 1 
 
18) ( ENEM ) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente 
utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e as faixas 
de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de 
acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação 
matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a 
altura, uma variável de dimensões lineares. 
As fórmulas que determinam esses índices são: 
  
 
 
 
2 3
massa kg altura cm
IMC RIP
altura m massa kg
 
  
 
 
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, 
então ela possui RIP igual a 
a) 
1
30,4 cm/kg b) 
1
32,5 cm/kg c) 
1
38 cm/kg 
d) 
1
320 cm/kg e) 
1
340 cm/kg 
 
19) ( UFPR – PR ) De acordo com a Organização Mundial de Saúde, um Índice 
de Massa Corporal inferior a 18,5 pode indicar que uma pessoa está em 
risco nutricional. Há, inclusive, um projeto de lei tramitando no 
 
[54] 
 
Senado Federal, e uma lei já aprovada no Estado de Santa Catarina, 
proibindo a participação em eventos de modelos que apresentem esse 
índice inferior a 18,5. O Índice de Massa Corporal de uma pessoa, 
abreviado por IMC, é calculado através da expressão: 
2h
m
IMC 
 em que m representa a massa da pessoa, em quilogramas, e h sua altura, 
em metros. Dessa forma, uma modelo que possua IMC = 18,5 e massa 
corporal de 55,5 kg, tem aproximadamente que altura? 
 a) 1,85 m. b) 1,81 m. c) 1,77 m. d) 1,73 m. e) 1,69 m. 
 
20) ( ENEM ) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a 
relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por 
exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma 
pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k.m2/3, em 
que k é uma constante positiva. 
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua 
massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da 
superfície corporal? 
a) 16 b) 4 c) 24 d) 8 e) 64 
 
 
 
 
GABARITO – CAPÍTULO 06 
 
1) a) 16 b) 9 c) – 3 d) 0 e) 1 f) 0,1 g) – 0,1 
2) c 3) d 
4) a) 
3
3 b) 3 45 c) 
4
37
 
5) 25 6) d 7) e 8) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 
4
9
 f) 0,5 g) – 0,5 
 h) – 0,2 9) a) 3 b) 2 c) 2 d) 2 10) a) V b) V c) V d) V e) V 
11) a) 
2
25 b) 32 c) 2 2 d) 
5
2523 e) 
3
25
 
 f)  234  g) 
17
123 
 
12) 9 13) 2 14) e 15) b 16) d 17) d 18) e 19) d 20) b 
 
 
[55] 
 
 Capítulo 07 – Fatoração 
 
1.Produtos Notáveis 
Inicialmente vamos lembrar de alguns produtos notáveis vistos no ensino 
fundamental. Os Produtos Notáveis podem ser desenvolvidos de duas 
maneiras: 
 Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, que 
consiste no desenvolvimento mais detalhado, optando pelo 
emprego exagerado de cálculos. 
 A utilização da regra prática, que vem a ser o uso de uma 
definição geral para cada caso, simplificando os cálculos. 
 
Os principais produtos notáveis são: 
 Quadrado da Soma 
    
2 2 2a b a 2.a.b b 
 Quadrado da diferença 
    
2 2 2a b a 2.a.b b 
 Produto da soma pela diferença 
    2 2a b .(a b) a b 
VISÃO GEOMÉTRICA DOS PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Inicialmente observe a formação de  
2
a b 
Geometricamente, podemos determinar a relação (A): 
 
 
[56] 
 
Determinando a área do quadrado maior de lado (a + b) da primeira figura 
acima como o produto dos seus lados, teremos: 
     21A (a b).(a b) (a b) 
Determinando a área do quadrado maior da segunda figura acima como a 
soma dos dois quadrados menores e os dois retângulos que o 
compreendem, obtemos: 
      2 2 2 22A a ab ab b a 2ab b 
Fazendo A1 = A2, temos:     
2 2 2a b a 2.a.b b 
 Veja a formação de  
2
a b 
 
A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos dois quadrados 
menores mais a soma das áreas dos dois retângulos, ou seja: 
a2 = (a – b)2 + b(a – b) + b(a – b) + b2, então: 
(a – b)2 = a2 – [b(a – b) + b(a – b) + b2]  
(a – b)2 = a2 – [ ba – b2 + ba – b2 + b2]  
(a – b)2 = a2 – [2ab - b2] 
Chegamos finalmente à expressão:     
2 2 2a b a 2.a.b b 
 Formação de   a b .(a b) 
 
 
[57] 
 
Na primeira figura acima, a área do quadrado maior é a2 e a área do 
quadrado menor é b2. Logo a área da região hachurada dessa figura será: 
 2 21A a b 
Na segunda figura o retângulo hachurado que estava na horizontal foi 
transposto para a vertical, ou seja, as áreas hachuradas das duas figuras são 
iguais. Determinando a área da segunda figura teremos:
   2A a b .(a b)        
2 2
1 2Como A A , temos : a b . a b a b 
 
2. Fatoração 
 
Fatorar uma expressão é transformar uma soma ou diferença de duas 
ou mais parcelas em um produto de dois ou mais fatores. Em síntese, 
fatorar é fazer o processo inverso do item 1 (produtos notáveis) 
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos 
colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo 
polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo 
fator comum. Os casos de fatoração mais comum são: 
 
2.1. Fator Comum: ax + bx = x(a + b) 
 
Exemplos: a) 6xy + 8xyz = 2xy(3 + 4z) 
 b) 4ax² + 8a²x³ + 2a³x = 2ax(2x + 4ax2 + a2) 
 c) 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2) 
Fator Comum - Agrupamento 
Observe a expressão ax + bx + ay + by. Perceba que não há fator comum às 
quatro parcelas. Podemos então, nesse caso, agrupar as parcelas de forma 
conveniente. Observe: 
ax bx ay by x(a b) y(a b) (a b)(x y)         
2.2. Diferença de Quadrados: a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
A diferença entre dois quadrados (a2 – b2) é igual ao produto da soma 
(a + b) pela diferença (a – b). 
a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
 
[58] 
 
Exemplos: 
a) x2 – 16 = (x + 4)(x – 4) 
b) 4x2 – 25 = (2x + 5)(2x – 5) 
c) 100x4 – 36 = (10x2 + 6).(10x2 – 6) 
d) 10002 – 9992 = (1000 + 999)(1000 – 999) = 1999 
e) 2x2 – 72 = 2(x2 – 36) = 2(x + 6)(x – 6) 
Observação: A expressão a2 + b2 não é fatorável em . 
2.3. Trinômio Quadrado Perfeito 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 
 
Exercícios Resolvidos 
 
01) Fatorar os seguintes trinômios 
 
a) x2 + 6x + 9 = x2+ 2.x.3 + 32 = (x + 3)2 
b) x2 + 10x + 25 = x2 + 2.x.5 + 52 = (x + 5)2 
c) x2 – 12x + 36 = x2 – 2.x.6 + 62 = (x – 6)2 
d) 4x2 + 4xy + y2 = (2x)2 + 2.2x.y + y2 = (2x + y)2 
e) 25x2 – 70x + 49 = (5x)2 – 2.5x.7 + 72 = (5x – 7)2 
 
02) Determine o valor de x – y sabendo que x + y = 8 e x² – y² = 72? 
 
Solução: 
x² – y² = (x – y) . (x + y) 
72 = (x – y) . 8 
Portanto: x – y = 9 
 
03) Se x + y = 11 e x – y = 2, então o valor de x² – y² é: 
 
Solução: 
x² – y² = (x – y) . (x + y) 
x² – y² = 2 .11 
Portanto: x² – y² = 22 
 
[59] 
 
04) ( IFSC ) Após analisar as afirmações a seguir sobre produtos notáveis e 
fatoração, marque com (V) o que for verdadeiro e, com (F), o que for 
falso. 
 
( ) 2 2 4 2 2(3a 2b) 9a 12a b 4b    
( ) 3 3 3(a b) a b   
( ) 2 264a 49b (8a 7b)(8a 7b)    
( ) 2 2 24a 16b (2a 4b)   
Assinale a alternativa que contém a ordem CORRETA de preenchimento 
dos parênteses, de cima para baixo. 
a) V – F – V – F b) V – V – F – F. c) V – F – V – V. 
d) F – F – V – V. e) F – V – F – V. 
 
Solução: [A] 
 
Verdadeira, pois, aplicando o produto notável temos: 
        2 2 2 2 2 2 4 2 2(3a 2b) (3a ) 2 (3a ) (2b) (2b) 9a 12a b 4b 
Falsa, pois seguindo a regra do produto notável: 
3 2 2(a b) (a b)(a 2ab b )     
Verdadeira, pois:    2 2(8a 7b)(8a 7b) 64a 49b 
Falsa, pois, 2 2 2 2 2(2a 4b) 4a 2 (2a) (4b) 16b 4a 16ab 16b         
 
05) Determine o resultado da operação 2 2525 523 . 
 
Solução: 
   
2 2x 525 523
x 525 523 525 523
x 2 1048
x 2096
 
   
 

 
 
06) Efetuando-se 2 2(2.341) (2.340) , obtém-se: 
 
Solução: 
Sabendo que temos uma diferença de quadrados, temos a seguinte lei: 
 
[60] 
 
2 2a b (a b)(a b)    
Dessa maneira, segundo a expressão, podemos reescrevê-la: 
    
 
2 2(2.341) (2.340) (2341 2340)(2341 2340)
4681 1 4681
 
 
07) Determine o valor do produto 2(3x 2y) , sabendo que 2 29x 4y 25  e 
xy 2. 
 
Solução: 
Aplicando a fórmula do quadrado perfeito temos: 
2 2 2
2 2 2
(3x 2y) (3x) 2 3x 2y (2y)
(3x 2y) 9x 4y 12xy
     
   
 
Sabendo que 2 29x 4y 25  e xy 2. 
2(3x 2y) 25 12 2 49     
 
08) ( UFSC – SC ) Guardadas as condições de existência, determine o valor 
numérico da expressão 
3 2
2
(x 14x 49x) (ax bx 7a 7b)
(x 49) (2a 2b) (7x 49)
     
    
para x = 966. 
 
Solução: 
 
Calculando: 
     

    
        
      
     

      
  
 
3 2
2
2
2
(x 14x 49x) (ax bx 7a 7b)
(x 49) (2a 2b) (7x 49)
x (x 14x 49) (x (a b) 7 (a b))
(x 7) (x 7) 2(a b) 7(x 7)
x (x 7) (a b) (x 7)
(x 7) (x 7) 2(a b) 7(x 7)
x 966 966
69
2 7 2 7 14
 
 
 
 
 
 
[61] 
 
09) O valor da expressão:    
2 2
a b a b  é 
a) ab. b) 2ab. c) 3ab. d) 4ab. e) 6ab. 
 
Solução: 
     2 2 2 2 2 2a b a b a 2ab b a 2ab b 4ab.         
 
10) Sejam x, y , com x y 16   e xy 64. O valor da expressão 
x y
y x
 é 
 
Solução: 
Tem-se que 

 
 


 

 
  
2 2
2
2
2
x y x y
y x xy
(x y) 2xy
xy
(x y)
2
xy
( 16)
2
64
4 2 2.
 
 
11) ( CEFET – MG )Ao fatorar a expressão 210xy + 75x2y + 147y, obtém-se 
a) 3(7x + 5)2. b) 3y(5x + 7)2. c) 3(5x – 7)(5x + 7). d) 3y(7x – 5)(7x + 5). 
 
Solução: 
            22 2210xy 75x y 147y 3y 25x 70x 49 3y 5x 7 . 
 
12) ( UECE – CE ) Se u, v e w são números reais tais que u v w 17,   
u v w 135   e u v u w v w 87,      então, o valor da soma 
u v w
v w u w u v
 
  
 é 
 
[62] 
 
 
a) 
23
.
27
 b) 
17
.
135
 c) 
27
.
87
 d) 
16
.
27
 
 
Solução: 
Sabendo que 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
(u v w) u v w 2 (u v u w v w)
u v w 17 2 87
u v w 115,
            
     
  
 
temos 
 
    
    
2 2 2u v w u v w 115 23
.
v w u w u v u v w 135 27
 
 
13) Simplificando a fração algébrica 
2 2
2 2
x y 2x 2y
,
x y
  

 sendo x e y 
números reais, tais que x y 0  e x y 4,  obtém-se o valor 
 
Solução: 
 
 
        
 
   

 
2 2
2 2
x y 2x 2y (x y) (x y 2) (x y) 2
(x y) (x y) x yx y
4 2
1,5
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[63] 
 
Exercícios de Fixação – Capítulo 7 
 
01) Fatore as seguintes expressões: 
a) x5 + x4 + x2 b) 4x3y2z + 6x5y3z2 – 8x4y4z3 
c) x2 +xy + xy2 + y3 d) x2 – 64 
e) 4x2 – 9 f) x2 + 14x + 49 
g) x2 – 18x + 81 h) 2x2 – 20x + 50 
 
02) O valor de E =
2y2x
nynxmymx


, x  y, sendo m = 4,731 e n = 0,731, é: 
03) Simplificando-se a expressão 








x
1
y
1
2
y
2
x
xy
2
x , em que x e y são números 
positivos e distintos, obtém-se: 
a) 1/x b) 2y c) xy d) 1/y e) 2x 
 
04) Se x + 
x
1
 = 5, calcule x2 + 
2
1
x
 
05) Desenvolvendo  23a2  obtém-se: 
 2 2 2 2 2 2a)4a 9 b)2a 12a 3 c)4a 12a 9 d)a a 3 e)2a 3        
06) Simplificando a expressão yxpara
y3x3
y12x12 22



 , obtém-se: 
a) 4 b) 4(x – y) c) 2(x + y) d) 4(x + y) e) 2 
 
07) Simplificar a expressão 
6x4
9x12x4 2


para 
2
3
x  . 
08) Desenvolva as seguintes expressões: 
 
a) (x + 3)2 b) (x – 3)2 c) (2x + 7)2 
d) (3x – 1)2 e) (2a– 3b)2 f) (2a + b)2 – (a – b)2 
 g) (x – 6).(x + 6) h) (2x – 5)(2x + 5) 
 
09) Fatore as seguintes expressões 
a) ax + bx b) 5a + 5b c) m3 + m2 
d) 3x2 + 15x5 + 12x7 e) 6x3y + 8xy2 – 2xy f) ax + bx + ay + by 
 
[64] 
 
g) 2x + 2y + ax + ay h) 2x + 2y – ax – ay i) x3 – x2 – 3x + 3 
j) x2 – 36 k) 9x2 – 25 l) 3x2 – 12 
m) 2x3 + 3x2 + 4x + 6 
 
10) Fatorar as seguintes expressões: 
a) x2 + 8x + 16 b) x2 – 4x + 4 c) 4x2 + 12xy + 9y2 
d) 25x2 – 20xy + 4y2 e) x3 – 16x2 + 64x f) 3x2 – 18x + 27 
 
11) O desenvolvimento da expressão  21327  toma forma b3a 
; então o valor numérico de a + b é: 
 
12) Assinale V para as alternativas Verdadeiras ou F para as alternativas 
Falsas: 
a) ( ) ( UFSC – SC )O número A = 10150 -1 é um múltiplo de 4. 
b) ( ) ( UFSC – SC ) 2 5 < 2 + 6 
c) ( ) ( UFSC – SC ) Se a e b são números reais positivos, então 
2
a b
b a
  
13) ( ACAFE – SC ) A expressão 
)32.(2
1636 2


x
yxy
 equivale a: 
a) 2y(3 – 2x) b) 
x
y
43
2

 c) y(2x – 3) d) 
32 

x
xy
 e) 4x – 6 
14) Sendo a = 
36
144 2


x
xx
, para x ≠ - 1/2 e b = 
22
43223
55
102010
yx
xyyxyx


para x2 – y2 ≠ 0. Determine a e b. 
15) ( UEL – PR ) Se a  R e a > 0, a expressão 
2
a
1
a 





 é equivalente a: 
a) 1 b) 2 c) 
a
1a2 
 d) 
2
4
a
1a 
 e) 
a
1a2a2 
 
16) ( FATEC – SP ) Seja m = 2 2 2 2 2(a +b ) - 4a b . Então  a, b reais com 
a  b  0, tem-se: 
a) m = a2 – ab + b2 b) m = a2 + b2 c) m = (a + b)2 
d) m = (a – b)2 e) m = (a + b) (a – b) 
 
 
[65] 
 
17) Determine a soma dos números associados às proposições 
VERDADEIRAS: 
 01. Sendo x = 0,6 e y = 0,4, obtenha o valor numérico da expressão 
x2 + 2xy + y2 é 1 
 02. Simplificando a expressão 
yx
2y2xy2x


 com x  y obtém-se x – y 
 04. O valor de 10002 – 9992 é 1999 
 08. sendo x, um número real, a expressão 
1
1
2
4


x
x pode ser escrita como 
(x – 1) (x + 1) 
 16. O valor