CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL

Prévia do material em texto

Autores: Profa. Valéria de Carvalho
 Prof. Éder Carlos Moreira
 Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa 
Colaboradoras: Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Profa. Marisa Rezende Bernardes 
Cálculo Diferencial e 
Integral de Várias Variáveis
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Professores conteudistas: Valéria de Carvalho / Éder Carlos Moreira / 
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C331c Carvalho, Valéria de.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis / Valéria de 
Carvalho; Éder Carlos Moreira; Isabel Cristina de Oliveira Navarro 
Espinosa. - São Paulo: Editora Sol, 2019.
256 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-197/19, ISSN 1517-9230.
1. Funções. 2. Funções derivadas parciais. 3. Funções integrais 
integrais duplas. I. Título.
CDU 517.2/.3
U502.43 – 19
Valéria de Carvalho
Possui graduação em Ciências, com habilitação em 
Matemática pela Universidade de Bauru (1987), atual 
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. É mestre 
em Educação Matemática pela Universidade Estadual de 
Campinas (1999) e doutora em Educação Matemática também 
pela Universidade Estadual de Campinas (2007). Foi professora 
colaboradora do Laboratório de ensino de Matemática da 
Universidade Estadual de Campinas e atualmente leciona 
na Universidade Paulista, sendo também coordenadora do 
curso de Matemática na modalidade EaD. Possui experiência 
nas áreas de Educação, com ênfase em Ensino e Tecnologias, 
Educação Matemática e Educação Matemática Crítica, atuando 
principalmente nos seguintes temas: Educação Matemática; 
Matemática Crítica; Educação Matemática; Tecnologias de 
Informação e Comunicação; Sociedade e Meio Ambiente; 
Educação Estatística e Tecnologias, Estatística e Cálculo.
Éder Carlos Moreira
É engenheiro geólogo pela Universidade Federal de Ouro 
Preto (UFOP), mestre em Engenharia Civil pela Universidade 
de São Paulo (USP) e doutor em Metalogênese e Geoquímica 
pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Teve como característica comum, em todos os seus trabalhos 
de doutorado, mestrado e graduação, a modelagem matemática 
de problemas relacionados à Engenharia.
Atua no Ensino Superior desde 1995. No presente, é 
professor da Universidade Paulista (UNIP) e coordenador do Ciclo 
Básico de Engenharia da UNIP Campinas. Leciona as disciplinas 
Tópicos de Matemática, Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo de 
Funções de Várias Variáveis e Equações Diferenciais.
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Mestra em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade 
Católica (PUC–SP), graduada em Matemática pela Faculdade 
Oswaldo Cruz, leciona no ensino superior desde 1981.
Foi professora nos cursos de licenciatura em Matemática 
e de pós-graduação lato sensu em Educação Matemática das 
Faculdades Oswaldo Cruz.
Atualmente dá aulas na Universidade Paulista (UNIP) nas 
modalidades presencial e EaD (Educação a Distância).
É coautora dos seguintes livros: Geometria Analítica para 
Computação; Álgebra Linear para Computação; Matemática: 
complementos e aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, 
Administração e Economia; Cálculo Diferencial de uma Variável; 
Cálculo Integral de uma Variável.
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Andréia Andrade
 Michel Kahan
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Sumário
Cálculo Diferencial e Integral de Várias Variáveis
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VÁRIAS VARIÁVEIS E GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS 
VARIÁVEIS .................................................................................................................................................................9
1.1 Conceituando funções de várias variáveis ....................................................................................9
1.2 Conceituando e operando com funções de duas variáveis ................................................ 11
1.3 Domínio ou o campo de existência de uma função .............................................................. 17
1.4 Representação gráfica de uma função de duas variáveis e curvas de nível ................ 31
1.5 Aprofundando os estudos de funções de duas variáveis e das curvas 
de níveis ........................................................................................................................................................... 40
1.6 Visualizando gráficos construídos no Winplot ........................................................................ 48
1.7 Voltando às curvas de nível ............................................................................................................. 51
1.8 Limite e continuidade de funções de duas variáveis ............................................................. 53
2 DERIVADAS PARCIAIS .................................................................................................................................... 61
2.1 Derivadas parciais ................................................................................................................................ 63
2.2 Cálculo das derivadas parciais ....................................................................................................... 64
2.3 Interpretação geométrica da derivada parcial ......................................................................... 64
2.4 A técnica das derivadas parciais .................................................................................................... 65
2.5 Generalização de derivadas parciais para funções de n variáveis .................................... 73
2.6 Regra da cadeia ..................................................................................................................................... 73
2.7 Diferencial total de uma função de duas ou mais variáveis .............................................. 76
3 APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS .................................................................................................. 87
3.1 Primeiros exemplos de aplicações ................................................................................................87
3.2 Plano tangente ..................................................................................................................................... 90
3.3 Derivadas de funções compostas .................................................................................................. 92
3.3.1 Primeira regra da cadeia ...................................................................................................................... 92
3.3.2 Segunda regra da cadeia ..................................................................................................................... 97
3.4 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis ........................................100
3.5 Derivadas de ordem superior.........................................................................................................102
3.6 Derivada direcional e vetor gradiente .......................................................................................108
3.6.1 Vetor gradiente .....................................................................................................................................108
3.6.2 Interpretação geométrica do vetor gradiente ..........................................................................108
3.6.3 Derivada direcional Duf (x,y) ............................................................................................................109
3.6.4 Maximização da derivada direcional ............................................................................................ 110
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
4 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ..........................................................119
4.1 Conceituando pontos de máximo, de mínimo e de sela ....................................................119
4.2 Determinando pontos de máximo, de mínimo e de sela ...................................................120
4.3 Critérios para caracterização de um ponto de máximo ou de mínimo .......................124
4.4 Máximos e mínimos com restrições; Multiplicadores de Lagrange ...............................133
Unidade II
5 INTEGRAIS DUPLAS: RETOMANDO OS CONCEITOS E O CÁLCULO DE UMA INTEGRAL .........149
5.1 Integral a duas variáveis ..................................................................................................................157
5.2 Integral dupla.......................................................................................................................................159
5.3 Integral dupla em uma região retangular ................................................................................160
5.4 Escolha da ordem de integração ..................................................................................................161
6 INTEGRAIS DUPLAS: INTEGRAIS SOBRE REGIÕES NÃO RETANGULARES ...............................166
6.1 Integrais sobre regiões genéricas .................................................................................................166
6.2 Integrais duplas em coordenadas polares ................................................................................180
Unidade III
7 CONCEITOS, CLASSIFICAÇÃO E EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES DE 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..............................................................................................................................194
7.1 Conceitos básicos ...............................................................................................................................194
7.2 Classificação da equação diferencial quanto ao tipo de derivação ..............................195
7.2.1 Equação diferencial ordinária ......................................................................................................... 195
7.2.2 Equação diferencial parcial .............................................................................................................. 195
7.3 Ordem de uma equação diferencial ............................................................................................195
7.4 Classificação da equação diferencial quanto a sua linearidade .....................................196
7.5 A notação da equação diferencial ...............................................................................................197
7.6 Existência da solução de uma equação diferencial ..............................................................198
7.7 Existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ..........................................203
8 RESOLVENDO ALGUNS TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS .......................................................213
8.1 Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ......................................................................213
8.1.1 Introdução ...............................................................................................................................................213
8.1.2 Equações diferenciais de variáveis separáveis ..........................................................................216
8.2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem ...............................................................................226
8.2.1 Introdução .............................................................................................................................................. 226
8.2.2 A solução geral da equação diferencial de primeira ordem ............................................... 227
8.3 Aplicações: Modelagem utilizando equações diferenciais de primeira ordem .........239
8.3.1 Crescimento e decaimento .............................................................................................................. 239
7
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
APRESENTAÇÃO
Nesta disciplina, ampliaremos vários dos conceitos já estudados de cálculo diferencial de uma 
variável e cálculo integral de uma variável. Nosso estudo de cálculo diferencial de várias variáveis está 
apoiado em ideias e conceitos que desenvolvemos em funções de uma variável. Tomando os conceitos 
de funções de variáveis como ponto de partida, faremos a expansão lógica das operações com funções 
reais de uma variável para duas ou mais variáveis. 
Funções de duas ou mais variáveis independentes aparecem nas ciências mais frequentemente 
que funções de uma variável. Elas estão presentes nos estudos de probabilidade estatística, na 
determinação de volumes de superfícies, na eletricidade, nas análises de produtividade (marginal 
de mão de obra e marginal de capital), em situações de otimização – determinação de máximos e 
mínimos –, na determinação de taxa de variação, na modelagem de situações reais, em métodos 
de mínimos quadrados, na determinação de volumes e áreas de superfícies, na física, no cálculo 
de massa, carga elétrica, centro de massa, momento de inércia, na avaliação da taxa a qual um 
poluente liberado no meio ambiente dispersa, na mensuração da intensidade dos ventos de um 
furação, no planejamento de chips para computador, na relação entre o preço de um produto e na 
procura do consumidor, entre outros.
O tema Equações Diferenciais lida com problemas de taxa de variação. Uma equação diferencial é 
uma equação que envolve derivadas, ou seja, é um problema que encerra relações de variáveis da forma: 
dx
dt
f t= ( ) .
Na equação anterior, pode-se observar x como deslocamento em função do tempo t e, assim, ler que 
a velocidade dx
dt
é função do tempo t.
Este livro-texto apresenta, no primeiro plano, a importância do conhecimento em equações 
diferenciais para sua formação profissional. Mostra ao estudante uma ferramenta matemática para a 
resolução de exercícios de equações diferenciais, em diversos campos do conhecimento.
Os objetivos específicossão reconhecer e identificar uma equação diferencial, utilizar um método 
de solução para a equação diferencial e visualizar problemas que envolvam taxas de variação de 
quantidades variáveis.
O conteúdo programático consiste em:
• classificação das equações diferenciais;
• equações diferenciais de primeira ordem – introdução;
• existência e unicidade de soluções de equações diferenciais;
• equações de variáveis separáveis;
• equações lineares de primeira ordem;
8
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
De forma sucinta, pode-se destacar que será realizado o estudo da classificação e da identificação de 
equações diferenciais e adotado um método de solução para cada tipo de equação diferencial. Exemplos 
práticos nos diversos campos do conhecimento serão apresentados para ilustrar os tópicos abordados.
INTRODUÇÃO
Vamos iniciar nosso estudo saboreando o que vem a ser uma função de duas variáveis, seu domínio, 
sua imagem, suas curvas de nível e a representação gráfica desse tipo de função. Na sequência, 
avaliaremos limites e continuidade e, apoiados nos conhecimentos de derivada de função de uma 
variável, aprenderemos a derivar funções de duas ou mais variáveis, estudaremos suas aplicações, a 
integração dupla e suas aplicações.
Nossa intenção é que, ao terminar esta disciplina, você tenha desenvolvido solidez de conceitos e 
conteúdos matemáticos, bem como aprendido a identificar os conhecimentos matemáticos necessários 
para se tornar um bom profissional. E também capacitá-lo a trabalhar de forma integrada como 
professor da sua área e de outras, de modo a contribuir efetivamente com a proposta pedagógica da 
escola onde atuará. O presente livro-texto foi pensado e desenvolvido para facilitar seu engajamento 
num processo contínuo de aprimoramento profissional, atualizando seus conhecimentos, incorporando 
novas tecnologias e adaptando seu trabalho às novas demandas socioculturais. Nossa intenção também 
é auxiliá-lo a reconhecer as dificuldades individuais de seus futuros educandos e que seja capaz de 
sugerir caminhos alternativos a eles.
Ao cursar esta disciplina, você deve estar preocupado em se capacitar a identificar, interpretar 
e utilizar representações numéricas, algébricas e geométricas de funções com duas variáveis em 
situações-problema do cotidiano. Você deve procurar compreender e se familiarizar com técnicas e 
símbolos matemáticos que envolvem o estudo de funções com duas ou mais variáveis. Além de ficar 
plenamente capacitado a derivar e integrar funções com mais de uma variável e aplicar o conteúdo 
ensinado em resolução de problemas.
9
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Unidade I
1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VÁRIAS VARIÁVEIS E GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
DE DUAS VARIÁVEIS
1.1 Conceituando funções de várias variáveis
Vamos iniciar nosso estudo saboreando o que vem a ser uma função de duas variáveis, seu domínio, 
sua imagem, suas curvas de nível e a representação gráfica desse tipo de função. 
Nesta unidade, abordaremos funções de duas variáveis sob quatro pontos de vista diferentes:
Quadro 1
Ponto de vista Por meio de
Verbal descrição literal;
Numérico tabela de valores das variáveis;
Algébrico fórmula relacionando as variáveis;
Visual gráfico (do domínio da função, no plano), gráfico da função (no espaço) ou curva de nível (no plano estará contido o domínio da função).
No mundo não generalizado1, social ou físico, a Matemática pode ser apresentada de forma verbal; 
por exemplo, o volume de uma caixa d’água residencial permanentemente possui 1.000 litros (ponto 
de vista numérico), ou o volume de uma caixa de formato cúbico de lado igual a um metro (ponto de 
vista verbal), ou V = l3 (ponto de vista algébrico), ou, finalmente, do ponto de vista gráfico, veja a seguir:
volume
(litros)
tempo
(horas)
1.000
Figura 1 
1 Nós que, usualmente, estudamos Matemática apreciamos contar, medir, descobrir padrões e depois generalizamos. 
Ou seja, muitas vezes partimos de situações reais, colocamo-nos a contar e medir os eventos e suas consequências em 
relação a determinados focos de interesse (variáveis), a matematizar, ou seja, levantar padrões e modelos matemáticos, 
formalizamos e generalizamos dentro de um determinado domínio (conjunto de validade dos padrões) e devolvemos à 
sociedade ciência simbólica, muitas vezes desvinculada de sua origem no mundo social ou físico.
10
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Note que, em V = l3 ou V(l) = l3 (bastou uma variável para termos o volume bem definido), a expressão 
está matematizada e generalizada; mas ela ainda pode ser socialmente abstraída, ou seja, desconectada 
de sua origem social, basta escrever f(x) = 3. Acabamos de apresentar os quatro diferentes pontos de 
vista para a função de uma variável, note que o volume da caixa d’água não variou com o tempo. 
Se nossa caixa d’água fosse de formato cilíndrico, precisaríamos de duas variáveis para definir 
bem o volume. Sabemos que o volume do cilindro é a área da base (área de uma circunferência pr2) 
vezes a altura da caixa h, ou seja, depende de duas variáveis, do comprimento do raio e da altura, 
V = pr2 h ou V(r, h) = pr2 h.
r
h
Figura 2 – Caixa d’água cilíndrica de raio r e altura h
Outro exemplo do mundo social pode ser o caso de um fabricante constatando que o custo de 
produção C de um produto depende da quantidade de material usado, do salário-hora dos operários, do 
tipo de equipamento necessário para a produção do material, das despesas de manutenção, dos custos 
fixos e das variáveis para manter a empresa funcionando. Desse modo, o custo C é uma função de sete 
variáveis, pois depende de referências de quantidade.
Refletindo rapidamente sobre outros exemplos, você irá perceber que já está habituado a pensar em 
mais de uma variável, só que não abordava esse tema sob o ponto de vista do cálculo diferencial. Vamos 
a alguns deles:
• a área do triângulo depende de duas variáveis – base e altura;
• a localização de objeto no espaço;
• a função lucro;
• a função quantidade de mercadoria produzida;
• na biomedicina
11
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
— no estudo de difusão;
— no fluxo de eletricidade por meio de tecidos;
— nas tensões ósseas;
— na interação de elementos sensórios na retina.
 Lembrete
Pode haver relações matemáticas que, se não restringirmos o domínio, 
não se caracterizarão como função.
Vamos recordar qual é a definição da função de uma variável:
Sejam A, B ⊂ R. Seja f uma relação matemática definida em A e com 
valores em B, f é uma função de A em B se f for uma regra que associa a 
cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. A notação usual é: 
f : A → B tal que y = f(x).
O número x é chamado variável independente da função, e y variável 
dependente da função.
Vamos nos ater à definição, quebrando-a em dois trechos:
“Uma regra que associa a cada elemento X ∈ A”; isso significa que não 
podem “sobrar” elementos em A, ou seja, não pode ter elemento de A sem 
correspondente em B.
“Um único elemento Y ∈ B”, um elemento de A não pode ter dois 
correspondentes em B.
Adiante, vamos estender os conceitos e as definições estudados em cálculo de uma variável a duas 
ou mais variáveis. Logo, você vai precisar de uma base sólida em cálculo diferencial e integral de uma 
variável para ter um bom desempenho em cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Minha 
sugestão: sevocê não está tão seguro com os conteúdos passados de cálculo, vai ter de estudar, estudar 
e estudar... Faça dessa empreitada uma trajetória lúdica. Vamos aos estudos!
1.2 Conceituando e operando com funções de duas variáveis
Seja D um subconjunto (região) do espaço R². Chama-se uma função f de D toda relação que associa, 
a cada par (x,y) ∈ D, um, e apenas um, número real, representado pelo símbolo f(x,y). Isto é, D é domínio 
12
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
da função, f é a função e f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y), f(x,y) ∈ R, em que R é o “conjunto 
de chegada” da função f.
f: D → R, tal que z = f(x,y)
(x,y) → z = f(x,y).
x D y
z
(x0, y0) = (x0, y0, o)
f(x0, y0)z0
Figura 3 
Avaliando a figura, você pode perceber que o domínio da função representado no R² encontra-se no 
plano XOY, e a imagem z = f(x,y) é representada no eixo z.
 Lembrete
Vale lembrar que o ângulo entre os eixos é sempre de 90° e que, ao 
projetarmos uma figura espacial (do R³) no plano (R²), há uma deformação 
na imagem que visualizamos. 
De outro modo:
x
y z
D
f(x0, y0)
z0 = f(x0, y0)
(x0, y0)
Figura 4 
13
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Definição de função de várias variáveis:
A função f é uma função real se todos os valores que assume são números reais. Dizemos que f 
é uma função de variável vetorial se o seu domínio é um subconjunto de números reais no espaço 
n-dimensional, com n > 1, isto é, se 
 D ∈ Rn. 
Em duas variáveis, temos:
z= f(x,y)
argumentos imagem 
Exemplos de modelos de funções de mais de uma variável:
    
  

f x x x x x fun o polinomial
f x y
y x
x
( , )
( , ) ln
1 2 1
4
2
2
1
2
3 12
2
é çã
11
2




   
é áfunção composta de duas i veis
f a b c a
var
( , , ) cos ( ) cc
b
função composta de tr s i veis
f r s t r t s função c
é ê á
é
var
( , , )  2 15 oomposta de tr s veisê iávar
• P R T V
nRT
V
( , , ) = para determinar a pressão de um gás
• F (m,a)= m.a para determinar a força necessária para mover um corpo com massa m, com uma 
aceleração a
Exemplos de valores de função de duas variáveis 
Quando nada for especificado no enunciado do exercício, significa que ele está sendo trabalhado no 
campo dos números reais:
Exemplo 1 
Dado f x y x xy y( , )   3 23 2 determine f(-3,5)
O primeiro passo, quando se tem a função com duas variáveis e são dados os pontos, é substituir os 
pontos na função.
Lembre-se de que o primeiro ponto é em componente de x; nesse caso, o valor que será substituído 
na variável x é -3. O mesmo procedimento deve ser feito para a variável y, e neste exemplo y = 5.
14
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Substituindo o ponto na função, temos:
f( , ) ( ) * ( ) * *     3 5 3 3 3 5 2 53 2
O próximo passo é resolver as operações matemáticas. Observe a resolução a seguir:
f
f
( , ) * *
( , )
    
    
3 5 27 9 5 2 25
3 5 27 45 50
Resolvendo a soma da expressão, temos:
f( , ) 3 5 68
Exemplo 2
Dada a função f x y x y( , ) * ln( ) 2 2 2 determine:
a) f(0,1) 
Substituindo as variáveis da função pelos pontos dados, temos que f( , ) * ln( )0 1 2 0 12 2 
f( , ) * ln( )0 1 2 0 1 
f( , ) * ln0 1 2 1= , aqui é necessário lembrar que ln1 = 0; logo,
f( , ) *0 1 2 0=
f( , )0 1 0=
Zero é a imagem de f(0,1) pela função f x y x y( , ) * ln( ) 2 2 2
b) f e( , )0 2
 temos que f x y x y( , ) * ln( ) 2 2 2
Assim, 
f e e
f e e
f e e
( , ) * ln( ( ) )
( , ) * ln( )
( , ) * ln *
0 2 0
0 2 0
0 2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 4
 
 
  44 2 4 1 8
0 82
* ln * *
( , )
e
f e
 

15
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
 Lembrete
ln 0 não existe! Uma vez que não existe a ∈ R, com a > 0, tal que 
an = 0 , para n ∈ R, analogamente e n Rn   0, . 
ln , log ,e pois a
a= =1 1 se a > 0 e a ≠ 1, pois a a1 = , segue que 
ln loge e
e= =1
 lne4 = 4lne, lembrando que log * logb
an
b
an= , com a b n R, , ∈ , a > 0, 
b > 0 e b ≠ 1.
Exemplo 3
Dado o ponto (0,2p) e f(x,y) = cos(x +y), determine f(0,2p).
Devemos substituir os pontos do exercício na função dada, temos que:
f( , ) cos( ) cos0 2 0 2 2 1     
Assim, f(0,2p) = 1, isto é, a imagem do ponto (0,2p) é 1.
 Lembrete
O ciclo trigonométrico tem raio igual a um, sendo que cosseno é a 
leitura da projeção de um ponto no eixo x, e seno é a leitura da projeção de 
um ponto feita no eixo y. 
0
-1
-1
1 x
cosx
(0,1)
(-1,0) (1,0)
(0,-1)
eixo dos 
cossenos
Figura 5 
Avaliando as projeções feitas no ciclo trigonométrico, podemos dizer 
que cosseno é igual ao valor de x (-1 < x < 1), isto é, a primeira coordenada 
do par ordenado é o valor do cosseno e a segunda coordenada do par, o 
valor do seno.
16
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Desejávamos calcular cos 2p, analisando o desenho, vimos que o par 
ordenado para o arco 2p corresponde ao ponto (1,0); o cosseno é o primeiro 
elemento do par; logo, cos 2p = 1.
Exemplo 4 
Dada f x y x xy( , )  3 2 , calcule f(-2, 3).
f x y x xy
f
f
f
( , )
( , ) ( ) ( )( )
( , )
( , )
 
    
   
  
3
3
2
2 3 2 2 2 3
2 3 8 12
2 3 300
Exemplo 5
Dada f x y xy y( , )   2 , calcule f(5, 3).
f x y xy y
f
f
f x y
( , )
( , ) *
( , )
( , )
 
 
 

2
25 3 5 3 3
5 3 15 9
6
Exemplo 6
Dada f x y xy y( , )   2 , calcule f(2, 3).
f x y xy y
f
f
f x y
( , )
( , ) *
( , )
( , )
 
 
 
  
2
22 3 2 3 3
2 3 6 9
3
Note que −3 é um número complexo, e nosso campo de estudo de funções são os números 
reais, isto é, D = R², e contradomínio são os reais. O domínio do exemplo três não foi especificado; 
logo, devemos considerar como domínio o campo dos reais, ou seja, D = R². Porém, como acabamos de 
ver, o par (2,3) não tem imagem para a relação f x y xy y( , )   2 , isso significa que f, assim definida 
para esse domínio, não satisfaz as condições básicas para ser uma função, ou seja, há pelo menos um 
elemento no domínio (2,3) para o qual f x y xy y( , )   2 não tem correspondente. Para garantir que 
17
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
f x y xy y( , )   2 seja uma função, teremos de restringir o domínio. Sabemos que não existe raiz 
quadrada de valor negativo. Teremos de retirar do domínio todo para ordenado que, ao aplicarmos 
a relação f x y xy y( , )   2 , nos retorne um valor negativo e manter todos os que retornem valores 
positivos ou zero; uma vez que normalmente o domínio é o maior conjunto possível que satisfaça as 
condições da relação. Por essa razão, antes de sair calculando a imagem de uma relação, necessitamos 
determinar as condições em que a relação é viável. Em termos matemáticos, significa que devemos 
determinar o domínio da função.
1.3 Domínio ou o campo de existência de uma função
Para determinar o domínio ou o campo de existência de uma função, temos que refletir quais 
operações se verificam ou não quando trabalhamos com relações matemáticas. Sempre que o domínio 
de uma função não for definido, consideramos como domínio o maior conjunto possível;quando se 
tratar de uma variável, será os reais (toda a reta), quando se tratar de função, duas variáveis o plano 
todo (R²).
Atenção!!!
• Não existe divisão por zero.
• Não é possível, no campo dos números reais, extrairmos raiz de índice par de um número negativo.
• Quando estamos usando a função logaritmo ( ( ) log )f x b
x= , temos que estar atentos à base do 
logaritmo e ao logaritmando, pois:
— a base precisa ser maior que zero e diferente de um, ou seja, b e b 0 1;
— logaritmando x tem que ser maior que zero, isto é, x > 0.
 Saiba mais
Para relembrar os conceitos e as definições sobre os logaritmos:
LOGARITMO. Matemática didática, [s. d.]. Disponível em: <http://www.
matematicadidatica.com.br/Logaritmo.aspx>. Acesso em: 2 set. 2013. 
MIRANDA, D. Logaritmo. Brasil Escola, Goiânia, [s. d.]. Disponível em: 
<http://www.brasilescola.com/matematica/logaritmo.htm>. Acesso em: 2 
set. 2013.
18
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
 Observação
A seguir, serão feitas análises de problemas com funções de duas ou 
mais variáveis e representação do domínio de cada função; para isso, é 
importante recordar algumas equações importantes:
1) Plano: f x y ax by c ou z ax by c( , )      
a) O plano z = 3 é uma superfície paralela ao plano XY, passando no ponto z = 3
x
y
z = 3
z
Figura 6 
b) O plano f x y x y( , )   8 2 2 intercepta os três eixos nos primeiros quadrantes e segue 
infinitamente, nas laterais, para cima e para baixo.
z
x
y
(0,0,8)
(0,4,0)
(4,0,0)
Figura 7 
2) Hipérbole 
a) x
a
y
b
2
2
2
2 1 
Exemplo: x y
2 1
1 4
1 
19
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
y
x
(-1,0) (1,0)
x
y
(-a,0) (a,0)
Figura 8 Figura 9 
b) 
y
a
x
b
2
2
2
2 1 
 Exemplo: y x
2 2
4 1
1 
y
(0,-2)
(0,2)
x
x
y
(0,b)
(0,-b)
Figura 10 Figura 11 
20
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
3) Circunferências 
a) Circunferência de centro (0,0) e raio r
r x y2 2 2 
x
y
r
r
r
-r
-r
Figura 12 
b) Circunferência de centro ( , )x y0 0 e raio r
r y y x x2 0
2
0
2   ( ) ( )
 
x
y
r
X0
Y0
Figura 13 
4) Esferas ou superfície esférica
a) Esfera de centro (0,0,0) e raio r
r x y z2 2 2 2  
21
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x
y
z
r
Figura 14 
b) Esfera de centro (X0, Y0, Z0) e raio r
r x x y y z z2 0
2
0
2
0
2� � � � � �( ) ( ) ( )
x
y
z
r
x0
z0
y0
Figura 15 
5) Superfícies cilíndricas
São constituídas por retas paralelas que passam por uma curva plana, chamadas geratrizes, e a curva 
plana é chamada diretriz.
22
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
a) Superfície cilíndrica parabólica
z
z = x^2 z
x x
y y
diretriz diretriz
geratriz
geratriz
Figura 16 
b) Cilindro circular reto
geratrizes
geratrizes
Figura 17 
6) Superfícies quádricas
Uma quádrica é um conjunto de pontos que respeitam uma equação do segundo grau, nas variáveis 
x, y e z. São as correspondentes espaciais das cônicas no plano. 
 Saiba mais
Para saber mais e fazer uma revisão sobre as cônicas, revisite a unidade 
6 do livro de Geometria Analítica e Álgebra Linear, da professora Isabel 
Espinosa (UNIP Interativa). 
23
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
a) O elisoide
x
y z
²
² ²  
9 4
1
z
x
y
Figura 18 
b) Paraboloide elíptico z x y 10 9² ² e paraboloide circular z x y 4 4² ²
z z
x
x
y
y
Figura 19 Figura 20 
 
Exemplos de análise do domínio e determinação de valores da imagem de funções de duas 
variáveis
Exemplo 1 
Dada a função f x y
x y
x y
,   

3 2 :
a) determine o domínio de f e represente graficamente seu domínio;
24
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
b) calcule f 1 3,  .
Solução:
a) Como é possível dividir um polinômio por qualquer número real, exceto por zero, a função dada 
pode ser calculada para qualquer par ordenado (x,y), tal que x + y ≠ 0 ou y ≠ -x. Note que sempre 
podemos elevar um número real ao quadrado, multiplicá-lo por 3 e depois adicionar outro número real, 
que o resultado continua sendo um número real. Logo, não há restrição ao numerador da função.
Representação gráfica do domínio da função:
y = -x y
x
D
D
D
D
D
Figura 21 
Note que a reta y = -x não pertence ao domínio da função; por isso, ela foi desenhada tracejada. 
Para indicar que uma curva não pertence ao domínio da função, nós a representaremos com uma linha 
descontínua; caso contrário, ou seja, a curva pertença ao domínio da função, nós a representaremos 
como uma linha contínua.
Determinar que y ≠ -x é excluir do domínio todo par ordenado em que y e x possuem o mesmo 
módulo, mas com sinais opostos.
Para fazermos o gráfico da função, temos sempre que igualar a restrição a zero e avaliar que tipo de 
curva ela representa. Em nosso exemplo, y = x pertence à família de retas y = ax + b (a é o coeficiente 
angular e b é o linear, que indica onde o gráfico cruza o eixo y), b = 0, isto é, y = x é uma reta que 
pertence à família de retas que passam pela origem.
Se tiver dúvida sobre a inclinação, monte uma pequena tabela. Por ser equação de uma reta, basta 
verificar dois pontos.
Tabela 1 
x y = -x
0 0
1 -1
25
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Como não há qualquer outra restrição, destacamos todo o plano e representamos a curva y = -x com 
uma linha tracejada, para indicar que os pontos sobre ela não podem ser usados ao calcularmos f(x,y). 
Algebricamente, temos que o domínio da função pode ser representado da seguinte forma: 
D x y R y x    ( , ) /2 ou, simplesmente, D x y y x   ( , ) / .
b) Vamos, agora calcular f(1,-3):
temos que f x y
x y
x y
,   

3 2 ; logo,
f 1 3
3 1 3
1 3
3 3
1 3
0
2
0
2
,       
   





Exemplo 2 
Determinar o domínio da função f x y y x,    e representá-lo graficamente.
Solução:
Sabemos que não existe raiz par de um número negativo2, raiz quadrada é uma raiz par; logo, 
o resultado da conta dentro da raiz tem que ser positivo ou zero; isto é, a condição de existência 
dessa função é y x  0 ; portanto, seu domínio algebricamente é representado da seguinte forma: 
D x y R y x   ( , ) /2 ou, simplesmente, D x y y x  ( , ) / .
Representação geométrica do domínio da função
y = x
y
x
D
Figura 22 
Sabemos que y = x é a reta que coincide com a bissetriz do primeiro e terceiro quadrante do plano. 
Essa reta irá dividir o plano em duas regiões. Uma acima da reta, e outra abaixo. A reta é contínua, uma 
2 4 2= , mas não existe solução real para −4 . A solução é o número complexo 2i, o mesmo ocorre com
−81 , que não tem solução real; no campo dos complexos, a solução é o número 9i.
26
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
edim
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
vez que o sinal de igual pertence ao domínio da função. Para saber que região do plano representa 
o domínio, podemos avaliar um ponto fora da região que limita a divisão do plano, ou seja, fora da 
reta y = x.
Escolhendo um ponto acima da reta, por exemplo, veja se (0,1) pertence ao domínio da função:
D: y ≥ x, substituindo o ponto x = 0 e y = 1 em nossa expressão y x≥ ⇒ 1 0≥ , esse fato constitui uma 
verdade; logo, ( , )0 1 ∈D. Esse ponto é uma amostra do que vai ocorrer com qualquer ponto acima da reta. Isso 
significa que o domínio a ser destacado na representação gráfica está acima da reta.
O que teria acontecido se tivéssemos escolhido um ponto no plano abaixo da reta? Testaremos, por 
exemplo, o ponto; vamos substituí-lo: x = 0 e y = 1 (0,1) na expressão do domínio y x≥ . Veja o que 
ocorre: y x  0 1, que é uma expressão falsa; logo, ( , )0 1 ∉D, isso significa que não posso destacar 
essa região como parte do domínio da função. 
 Observação
Foram escolhidos pontos sobre os eixos ordenados; pois, por um lado, 
eles são fáceis para verificação visual no plano e, por outro, sempre terão 
uma coordenada igual a zero, o que facilitará nossos cálculos. 
Exemplo 3
Determinar o domínio da função f x y y x( , )  3 e representá-lo graficamente.
Note que a raiz da função desse exemplo é ímpar, e sempre é possível determinar raiz de índice ímpar 
de um número real; por exemplo:   8 23 .
Desse modo, não há restrição a essa função e, como o domínio deve ser o maior possível, este é todo 
o plano R².
Representação gráfica do domínio da função:
y
x
D
D
D
D
Figura 23 
27
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Algebricamente, temos D R= 2 .
Exemplo 4
Determinar o domínio da função f x y
x
x y
( , ) 

2
2
 e representá-lo graficamente.
Sabemos que não existe divisão por zero.
Assim, devemos fazer 2x - y ≠ 0 => y ≠ 2x. 
A representação gráfica do domínio será: 
y
x
D
D
D
D
D
y = 2x
D
Figura 24 
Poderíamos representar o domínio dessa função num gráfico, pois no espaço ele ficaria representado 
da seguinte forma:
y
x
z
DD
D
y = 2x
Figura 25 
Note que, no espaço, a equação y = 2x deve ser representada por um plano, como o domínio pede 
y ≠ 2x, esse plano será vazado ou descontínuo.
28
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Observe também que há grande diferença entre representações gráficas no plano e no espaço. 
Por um lado, a função y = 2x, quando representada no plano, é uma reta; por outro, função 
y = 2x, quando representada no espaço, é, como vimos, um plano. Mais adiante, após vermos a 
representação gráfica de funções de duas variáveis, voltaremos a essa reflexão sobre representação 
gráfica de modelos matemáticos.
Algebricamente, temos domínio D = {(x, y) ∈ R² / y ≠ 2x }.
Exemplos de aplicação
Exemplos que representam o domínio das funções D(f):
1: f x y x x( , )   6 9 13 2 D(f) = 2
2: f x y
x
x y
( , )  
 
2
2 2
4
2 2 2
2 2 2 02 2x y   , não tem solução; logo, D(f) = 2
Representação gráfica do domínio da função: 
x0
y
Figura 26 
Os exercícios 1 e 2 são representações de domínio de funções que não apresentam restrição quanto 
à função.
3: f x y
x y
x y
( , )  

2
3 3
2
2 2
Domínio: 3 3 02 2x y� �
Assim 3 3 0 02 2x y x y� � � � �
Logo, D(f) = IR2 0 0�� �( , ) .
29
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Representação gráfica do domínio da função: 
x0
y
Figura 27 
O domínio da função é toda a parte que não está no ponto (0,0), que é o único ponto de restrição 
da função. 
4: f x y
y x
( , ) 

3
D f x y R x y( ) , /      2 0 , quer dizer, o domínio é todo o plano, exceto a bissetriz dos quadrantes 
ímpares, ou seja, primeiro e terceiro quadrantes.
Representação gráfica do domínio da função:
x0
y =
 x
y
Figura 28 
O domínio da função é toda a parte que não está no tracejado, pois ele representa a restrição do 
domínio.
5: f x y
y
x y
( , ) 
2 2
D f x y IR x y( ) {( , ) / }� � �2 22
30
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
x0
y = 2x2
y
Figura 29 
O domínio da função é representado por toda área abaixo da curva y = 2x², que é a restrição da 
função. 
6: f x y
y x
y
( , ) ln( ) 
1
D f x y IR
y x
y
� � � � �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
, /2
1
0
Equivalente a y x e y   0 1 0
ou y x e y   0 1 0 .
x0
y = -1
y = x
y
Figura 30 
O domínio dessa função é representado pela região do gráfico que não está pintada. Note que as 
retas estão tracejadas, pois não pertencem ao domínio da função.
7: f x y arc x y
D f x y x y ou x y
( , ) sec( )
( ) {( , ) ;
 
      
4 4
4 4 1 4 4 1
2 2
2 2 2 2 2
 }};
 ou melhor, como 4 4 12 2x y   , não ocorre para nenhum ( , ) ;x y ∈2
 D f x y x y ou x y( ) {( , ) ; * ( ) }     2 2 2 2 24 1 1
4
.
31
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x0
y
Figura 31 
O domínio da função é representado por toda a parte externa à circunferência. O interior da 
circunferência é a restrição da função.
8: f x y
x y
( , ) arccos( ) 
2 2
4 16
 D f x y IR
x y
( ) {( , ) / }� � � � � �2
2 2
1
4 16
1 , 
ou melhor, como   1
4 16
2 2x y
, para todo ( , )x y IR∈ 2
Logo, D f x y IR
x y
( ) {( , ) / }� � � �2
2 2
4 16
1
0 x
y
Figura 32 
 O domínio da função é representado pela área dentro da elipse. A área externa na elipse representa 
a restrição da função.
1.4 Representação gráfica de uma função de duas variáveis e curvas de nível
O gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) é o conjunto de todos os grupos ordenados de três 
números (x,y,z), tais que o par (x,y) pertence ao domínio de f e z = f(x,y). Para visualizar o gráfico desse 
tipo, é necessário um sistema de coordenadas tridimensionais, acrescentando um terceiro eixo (o eixo z) 
perpendicular aos eixos x e y. Logo, uma função de duas variáveis sempre gera uma superfície no espaço 
R³ (tridimensional).
32
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
A seguir, mostramos três dessas superfícies, em que a primeira é cônica, a segunda, paraboloide, e a 
terceira, elipsoide.
x
z
y
Superfície cônica
z x y 2 2
Figura 33 
Esboçando gráficos de superfícies sem auxílio computacional
Exemplo 1 
Esboçando o gráfico da superfície z x y 2 2 .
Etapas para o esboço do gráfico da superfície z x y 2 2 , note que z > 0.
1ª etapa A: o traço no plano xy é obtido quando tomamos z = 0. Temos os valores x = 0 e y = 0, isto 
é, o ponto (0,0), de fato, pois:
0 0 0 02 2 2 2     x y x y ( , )
Logo, o ponto (0, 0, 0) faz parte do gráfico de Z.
1ª etapa B: tomando z = 1, temos: 
1 12 2 2 2 2    x y x y
A seguir, a representação gráfica dessa curva de nível:
33
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1
1
x^2 + y^2 = 1
Figura 34 – Representação gráfica da curva em nível z = 1 de z x y 2 2
A imagem da figura ilustrao traço dessa curva, na altura z = 1 é uma circunferência3 de centro na 
origem (0,0) e raio 1.
1ª etapa C: tomando z = 4, temos: 
4 162 2 2 2    x y x y
O traço dessa curva na altura z = 4 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 4.
A seguir, a representação gráfica dessa curva de nível:
4
4
x^2 + y^2 = 16
Figura 35 – Representação gráfica da curva em nível z = 4 de z x y 2 2
A imagem da figura ilustra o traço dessa curva, na altura z = 4 é uma circunferência4 de centro na 
origem (0,0) e raio 4.
3 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é: (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
4 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é : (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
34
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
1ª etapa D 
Tomando z = 5, temos: 
5 252 2 2 2    x y x y
O traço dessa curva na altura z = 5 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 5.
5
5
x^2 + y^2 = 25
Figura 36 – Representação gráfica da curva em nível z = 5 de z x y 2 2
Quando fazemos o “fatiamento” ou cortes no eixo z, estamos olhando para a curva da superfície 
em uma determinada altura, temos consequentemente a curva de nível numa altura z = k, onde K é 
uma constante.
Ao unirmos num mesmo sistema de coordenadas essas curvas de níveis, temos o mapa de contornos 
ou as curvas de nível da função, como segue:
x
y
Figura 37 – Curvas de nível ou mapa de contorno da função z x y 2 2
2ª etapa
 Estabelecendo y = 0, obtemos o traço no plano xz.
35
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Como segue:
z x z x z x     2 2 20 ; logo, o traço é reta.
z
x
4
3
2
1
1 2 3 4
Figura 38 
3ª etapa 
Estabelecendo x = 0, obtemos o traço no plano yz.
Como segue:
z y z y z y     02 2 2 ; logo, o traço é reta.
z
y
4
3
2
1
1 2 3 4
Figura 39 
Unindo os traços das três etapas, temos um esboço do gráfico da superfície cônica.
36
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
x
y
z
z x y 2 2
Figura 40 – Esboço do gráfico da superfície z x y 2 2
A seguir, a representação gráfica feita no Winplot:
y
x
z
Figura 41 – Gráfico da superfície z x y 2 2 produzido no Winplot
Exemplo 2
Vamos traçar agora o gráfico do paraboloide z x y 2 2.
Etapas para o esboço do gráfico da superfície: z x y 2 2, note que z > 0.
1ª etapa A 
O traço no plano xy é obtido quando tomamos z = 0, temos os valores x = 0 e y = 0, isto é, o ponto 
(0,0), de fato, pois:
0 0 02 2  x y ( , )
Logo, o ponto (0, 0, 0) faz parte do gráfico de Z.
37
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
1ª etapa B 
Tomando z = 1, temos: 
x y2 2 1 
1
1
x^2 + y^2 = 1
Figura 42 – Representação gráfica da curva em nível z = 1 de z x y 2 2
O traço dessa curva na altura z = 1 é uma circunferência5 de centro na origem (0,0) e raio 1.
1ª etapa C 
Tomando z = 4, temos: 
4 22 2 2 2 2    x y x y
O traço dessa curva na altura z = 4 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 2.
2
2
x^2 + y^2 = 4
Figura 43 – representação gráfica da curva em nível z = 4 de z x y 2 2
5 A equação geral da circunferência de centro (x0, y0) e raio (r) é: (x - x0)
2 + (y - y0)
2 = r2.
38
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
1ª etapa D 
Tomando z = 5, temos: 
5 52 2 2 2 2    x y x y ( )
O traço dessa curva na altura z = 5 é uma circunferência de centro na origem (0,0) e raio 5 .
2
2
x^2 + y^2 = 5
Figura 44 – Representação gráfica da curva em nível z = 5 de z x y 2 2
Quando estamos fazendo o “fatiamento” ou cortes no eixo z, estamos olhando para a curva da 
superfície em uma determinada altura, temos, consequentemente, a curva de nível numa altura z = k, 
onde K é uma constante.
Ao unirmos num mesmo sistema de coordenadas essas curvas de nível, temos o mapa de contornos 
ou as curvas de nível da função, como segue:
y
x
K=2
K=0
Figura 45 
2ª etapa 
Estabelecendo y = 0, obtemos o traço no plano xz.
Como segue:
39
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z x z x   2 2 20 ; logo, o traço é uma parábola.
x
z
Figura 46 
3ª etapa 
Estabelecendo x = 0, obtemos o traço no plano yz.
Como segue:
z y z y   02 2 2 ; logo, o traço é uma parábola.
y
z
Figura 47 
Unindo os traços das três etapas, temos um esboço do gráfico da superfície cônica, como ilustrado 
a seguir.
y
x
z
z x y 2 2
Figura 48 – Esboço do gráfico da função z x y 2 2
A seguir, a representação da função z x y 2 2 feita no Winplot.
40
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
z
x y
Figura 49 – Gráfico de z x y 2 2 feito no Winplot
Note que a diferença gráfica mais marcante entre z x y 2 2 e z x y 2 2 encontra-se nos 
cortes das superfícies, nos planos XZ e YZ. Na primeira superfície, temos retas e, na segunda, parábolas. 
A primeira superfície é um cone e a segunda, um paraboloide.
A seguir, um estudo mais aprofundado de curvas de nível de algumas funções.
1.5 Aprofundando os estudos de funções de duas variáveis e das curvas 
de níveis
Esboçando alguns gráficos de funções e o diagrama de contornos:
1) f x y x y( , )  2 29 (retirado do livro Cálculo, de James Stewart, exercício 44, p. 885).
0
1 432
y
x
x
y
z=1
z=2
z=3
z=4
z
Figura 50 
41
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2) f x y x y( , )   36 9 42 2 (retirado do livro Cálculo, de James Stewart, exercício 45, p. 885).
y
6 x
5
4 3
2
1 0
z=5
z=4
z=3
z=2
z=1
y
z
x
Figura 51 
3) Esboçar algumas curvas de nível do elipsoide f x y x y( , )   4 3 22 2 ; note que z > 0.
 Observação
Antes, vamos lembrar a equação geral da elipse x
a
y
b
2
2
2
2 1  , estudo 
gráfico da elipse.
Exemplos: 
4 9 36 36
9 4
12 2
2 2
x y
x y     ( ) 5 3 15 15
3 5
12 2
2 2
x y
x y     ( )
-1
-2
-1-2-3 1 2 3
 1
 2
 y
 x
a e b   3 2
2
 y
 x
1-1-2
-1
-2
1
2
a e b   3 5
Interceptos ( +3, 0) e (0, +2) Interceptos ( , ) ( , )± ±3 0 0 5e
Figura 52 Figura 53 
42
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Etapas para o esboço das curvas de nível do elipsoide
1ª etapa 
Fazemos f x y K( , ) = , temos:
K x y  4 3 22 2 , ajustando essa equação ao formato da equação geral da elipse. 
K   4 3 22 2x y
Elevando os dois membros ao 
quadrado.
K2    4 3 22 2 2x y Simplificando a raiz com o quadrado.
K2 = 4 - 3x2 - 2y2 Isolando as constantes.
K2 - 4 = -3x2 - 2y2
Multiplicando por (-1) a linha.
3x2 + 2y2 = 4 - K2 - (÷(4 - K2)
Dividindo os dois lados por 
4 - K2.
3 3
4 3
2 2
4 2
2
2
2
2
x
k
y
k
  
   
  
   =1
Dividindo em cima e embaixo 
as frações do primeiro termo: 
aprimeira fração por 3 e a 
segunda, por 2.
x
K
y
K
2
2
2
24
3
4
2









 =1
Obtemos a equação na forma 
padrão da elipse.
Comparando com a forma geral da equação da elipse, temos que:
 
a
K
a
K
b
K
b
K
2
2 2
2
2 2
4
3
4
3
4
2
4
2
     
     








Note que 4 - K2 > 0; logo, 4 > K2 ⇒ -2 < K < 2.
Isso significa que a superfície tem imagem no intervalo [-2,2]. 
43
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z
yxx
z = sqrt (4 - 3x^2 - 2y^2)
y
z
Figura 54 – gráfico da função f x y x y( , )   4 3 22 2 no Winplot
De fato, avaliando o gráfico, vemos que existe uma altura máxima, e foi isso que concluímos 
algebricamente ao obter a condição K < 2.
Tomando K = 0, temos:
a a a
b b b b
        
           




4 0
3
4
3
11547
4 0
2
4
2
2 14142
2
2
,
,




Tomando K = 1, temos:
a a
b b
     
     








4 1
3
1
4 1
2
12247
2
2
,
44
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
A seguir, apresentamos o mapa de contornos da função f x y x y( , )   4 3 22 2 .
Y
X
2
-2
-2
2
Figura 55 – Gráfico das curvas de nível da função f x y x y( , )   4 3 22 2
4) Se V(x,y) é o potencial elétrico de um ponto (x,y) do plano xy, as curvas de nível de V são chamadas 
curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Encontre a equação 
geral das curvas de nível (fazendo V(x,y) = K e isolando x2 + y2). 
Obs.: Esse exercício é um caso particular do exercício nº 46 do livro Cálculo, de James Stewart, p. 887.
V x y
x y
( , ) 
 
10
100 2 2
Figura 56 – Representação gráfica da função V x y
x y
( , ) 
 
10
100 2 2
45
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Etapas para o esboço das curvas de nível do elipsoide 
1ª etapa 
Fazemos V(x,y) = K, temos:
K 
 
10
100 2 2x y
Primeiro, dividimos os dois lados da 
igualdade por 10, depois elevamos os 
membros ao quadrado.
10 2
K




   100 2 2 2x y Simplificando a raiz quadrada com o quadrado no segundo membro.
 



10 2
K
  100 2 2x y
Isolando as constantes e multiplicando a 
linha por (-1).
x y2 2+   


100
10 2
K
Obtemos a equação de uma 
circunferência de centro (0,0) e com
R
K
2
2
100
10  



.
segue que R
K
sabemos que
R note que quando K t
: ; :
,
  



  
100
10
0
2
eemos R 10
2ª etapa
Atribuição de alguns valores de k para esboçar o mapa de contornos.
quandoK R
quandoK R
quandoK R
  
   
   
1 0
2 75 8 66025
5 96 9 7
;
, ;
, 99796
10 99 9 94987
;
, .quandoK R   
3ª etapa 
Esboço das curvas de nível: representamos as curvas de nível da função tanto no plano XY como no 
fatiamento da própria superfície. 
46
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
y
-10
-10
10
10
Fatiamento da superfície 3D Curvas de nível no plano xy
x
z
Figura 57 – Gráficos das curvas de nível de V x y
x y
( , ) 
 
10
100 2 2
Na representação das curvas de nível, não fica visível o que havíamos constatado numericamente 
(pela determinação de K) – que as circunferências curvas de nível ficam cada vez mais próximas de 10 
sem jamais alcançar tal valor.
Caro aluno, nem sempre conseguimos construir sem apoio computacional a representação de uma 
superfície e de suas curvas de nível. Veja os exemplos das funções (a) e (b) a seguir, cujas superfícies no 
espaço tridimensional e suas respectivas curvas de nível são mostradas na figura a seguir.
(a) f x y x y x y( , ) , ,       3 3 3 3 3 3
(b) f x y x seny x y( , ) cos , ,       2 2    
Resolução 
(a) f x y x y x y( , ) , ,       3 3 3 3 3 3
47
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
z
z
x
x
y
y
(I) (II)
Representação gráfica da 
função f(x) = x3+ y3 vista de 
dois pontos de vista
Representação gráfica das 
curvas de nível da função 
f(x) = x3+ y3
Figura 58 – (I) Gráfico da função (a) e (II) suas respectivas curvas de nível
(b) f x y x seny x y( , ) cos , ,       2 2    
Curvas de nível na superfície 3D Curvas de nível no plano xy
(III) (IV)
y
z
x
Figura 59 – (III) Gráfico da função com algumas de suas curvas de nível (b) e (IV) algumas curvas de nível no plano
48
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Às vezes, fica difícil traçar algumas superfícies, bem como expressar graficamente as curvas de nível 
dessas funções. Ao mapear um relevo, por exemplo, unem-se pontos de mesma elevação, o que resulta 
em um mapa topográfico com um panorama claro a partir da representação bidimensional. Pode-se 
fazer o mesmo com uma função z = f(x,y) de duas variáveis. Vale lembrar que as curvas resultantes 
chamam-se curvas de nível e são mais usualmente representadas no domínio da função. 
 Saiba mais
Para saber mais sobre avaliação e construção de superfícies mais 
complexas, bem como suas curvas de nível, estude a unidade IV deste livro-
texto.
1.6 Visualizando gráficos construídos no Winplot
x y
z
Elipsoide
z x y  4 3 22 2
Figura 60 
x
y
z
Superfície de sela
z y x 2 2
Figura 61 
49
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Outros exemplos de superfícies de funções de duas variáveis:
x
y
z
3
x
y
z
A função é f(x,y) = 3.
A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando
por z = 3.
A função x = sen(u).cos(t), 
z = cos(u) e y = sen(u) . sen(t) é a equação 
paramétrica da esfera.
Figura 62 
É muito importante você construir mentalmente a representação gráfica de modelos matemáticos. 
Neste momento, vamos apresentar visualmente a diferença entre representar um modelo matemático 
no plano e no espaço. Muitas vezes, para construirmos a representação gráfica da superfície (equação 
no espaço), precisamos “fatiar” a superfície nos planos XY, YZ, XZ. 
Gráfico no plano XY Gráfico no espaço ou superfícies
f(x) = x2
x
y
 D = R²
z = x^2 + y^2 + 1
x y
z
 D = R²
50
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
f(x) = 1/x
x
y
 D = R
 D=R²
z
x y
f(x,y) = 1/(x-y)
 
x = y2
x
y
D = R 
Obs.: x = y² com D = R não é uma função. Acima, temos a 
representação gráfica do modelo da equação.
z
y
x
 D = R²; f(x,y) = y² - x²
x = 3
x
y
x = 3 não é função
D = R
y
x
z
 
D = R²
f(x,y) = 2x + 3y-6
51
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x
y
D = R
f x
sen x
x
( ) = 2
2
2
2
z
y
x
D = R²
f x y
sen x y
x y
( , )
( ) 

2 2
2 2
2 2
2 2
Figura 63 
 Observação
O programa Winplot pode ser baixado do AVA. Ele é de fácil instalação,e 
você irá aprender a representar gráficos de quaisquer funções ou equações 
no Winplot, quando for estudar a unidade IV deste livro-texto.
1.7 Voltando às curvas de nível
Para visualizar funções de duas variáveis, pode-se também adotar um método semelhante ao de representar 
uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Suponhamos que a superfície 
z = f(x,y) seja interceptada por um plano z = k e a curva da intersecção seja projetada no plano XY. Essa curva 
tem equação z = f(x,y) = k, e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k.
x y
z
Na figura ao lado, as curvas 
de nível estão em azul.
Figura 64 
52
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no XY de equações da forma 
f(x,y) = k. O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. Todos os pontos (x,y) que estão 
na mesma curva de nível têm a imagem z.
No caso de f(x,y) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância, 
recebendo inclusive denominações específicas.
Se f(x,y) é a temperatura no ponto (x,y) de uma chapa plana, as curvas f(x,y) = k são chamadas de 
isotérmicas ou isotermas.
Se f(x,y) é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas são chamadas de isobáricas 
ou isóbaras.
Se f(x,y) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano XY, então, as curvas 
f(x,y) = k são chamadas equipotenciais.
Exemplo:
Seja a função dada por z x y 2 2 .
As curvas de nível para z= 0, z = 1, z = 2 e z = 4 são:
z x y
x y
   
  
0 0
0
2 2
x y
z
z x y   1 12 2
(circunferência de centro C(0,0) e 
raio 1)
z x y   2 22 2
(circunferência de centro C(0,0) e 
raio 2 )
z x y   4 42 2
(circunferência de centro C(0,0) e 
raio 2)
E assim continua.
Figura 65 – Gráfico da superfície z =x2 + y2
53
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
 Observação
As curvas de nível nunca se interceptam. As funções de três ou mais 
variáveis não podem ser representadas graficamente.
1.8 Limite e continuidade de funções de duas variáveis
Se o limite da função f(x,y), quando (x,y), tende para um valor qualquer, que chamaremos de (x0,y0), 
dizemos que a função é contínua nesse ponto. Caso contrário, será descontínua no ponto. O mesmo é 
válido para um intervalo, isto é, a função é contínua no intervalo quando o limite existe em todos os 
pontos desse intervalo. 
Para estimar o limite de uma função de duas variáveis f no ponto (x0,y0), é necessário calcular esse 
valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0). Se em todos os pontos o resultado for sempre o 
mesmo, por exemplo, L, diz-se que o limite existe e vale L.
x y x y
f x y L
, ,
lim ,
  
  
0 0
Retomando, quando existe o limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), 
significa que a função é contínua nesse ponto. Caso contrário, será descontínua no ponto. O mesmo 
é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos 
os pontos desse intervalo. Geralmente, a verificação da continuidade da função é fácil, por simples 
inspeção dela. 
Nas funções a seguir, o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
Exemplo 1: f x y x y xy,    2 2 é contínua para todo par (x,y).
Exemplo 2: f x y x y xy y,     3 2 3 6 é contínua para ∀(x,y).
Exemplo 3: f x y
x y
xy
,   

3 2
1
 é contínua para   x y ou y
x
. 1
1
.
Exemplo 4: f x y
x y
x y
,   

 é contínua para  x y .
Exemplo 5: f x y x y, ln     é contínua para ∀x,y, tal que x - y > 0 ou x > y.
Exemplo 6: f x y x y,    1 2 2 é contínua se 1 - x² -y² > 0 ou x² + y² < 1. 
Exemplo 7: f x y y
x
,    1 é contínua se y
x
y
x
  1 0 1, .
54
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Ampliando seu leque de exemplos:
Exemplo 8: provar que o lim ( )
x
y
x y


 
4
2
2 22 36
A resolução é dada pelo fato de o limite da soma (ou diferença) ser igual à soma (ou diferença) dos 
limites, ou seja, lim ( ( , ) ( , )) lim ( , ) lim ( , )
x a
y b
x a
y b
x a
y b
f x y g x y f x y g x y f






    (( , ) ( , ).a b g a b
Para facilitar a visualização de como resolver o exercício passo a passo, deve-se separar a função em 
dois limites.
lim ( )
x
y
x y


 
4
2
2 22 36
Veja:
lim ( ) lim lim
lim ( ) l
x
y
x y
x
y
x y x y
x y


 


   
 
4
2
2 2
4
2
2
2
4
2
2 2
2 2 36
2 iim ( * ) lim( )
lim ( ) lim ( * ) lim
x y
x
y
x y
x y
 




  
4
2
2
2
4
2
2 2
4
2 4 2
2 2 16



   
2
4
2
2 2
4
2 32 4 36
( )
lim ( )
x
y
x y
Comprova-se que o limite da função no ponto é igual a 36.
Exemplo 9 
Mostrar que a função f x y x y( , )  2 2 2 tem continuidade no ponto (4,2).
Tendo como base o exemplo 5.8, como não há restrição para o ponto (4,2) da função dada, 
lim ( )
x
y
x y


 
4
2
2 22 36 , podemos resolver este exercício de outra forma que represente o mesmo resultado. 
Isso pode ser feito igualando o limite da função com a função, com os pontos dados.
lim ( ) ( , )
x
y
x y f x y x y


    
4
2
2 2 2 22 36 2 nos pontos (4,2).
55
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Resolvendo o exercício, substituindo os pontos x = 4 e y = 2 diretamente na função. Vejamos a 
resolução: 
f x y x y( , )  2 2 2 , nos pontos (4,2)
Substituindo os pontos nas respectivas variáveis, temos:
f
f
( , ) *
( , ) *
4 2 2 4 2
4 2 2 16 4
2 2 
 
Conclui-se, portanto, que conseguimos chegar ao mesmo resultado usando o conceito de 
continuidade, e não por limites.
f(4,2) = 32 + 4
f(4,2) = 36
Vamos, agora, avaliar exatamente pontos de restrição de algumas funções.
Limites e continuidade de funções de duas ou mais variáveis.
Exemplo 1
O exemplo a seguir é adaptado do livro Cálculo, de James Stewart, 2001, p. 887-889. v. 2.
A seguir, apresentamos as análises numéricas das funções f x y
sen x y
x y
( , )
( ) 

2 2
2 2
2 2
2 2 na tabela 1, e 
g x y
x y
x y
( , )  

2 2
2 2
2 2
2 2
 na tabela 2.
Também nas tabelas 1 e 2, apresentaremos os valores de f(x,y) e g(x,y) com precisão de duas casas 
decimais para os pares (x,y) próximos da origem, ou seja, lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 e lim
( , ) ( , )x y
x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
.
Vale notar que, para (x, y) = (0,0), o par não pertence ao domínio de nenhuma das duas funções. 
Vamos analisar f(x,y) e g(x,y), as análises serão feitas separadamente, caso A: lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 
e caso B: lim
( , ) ( , )x y
x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
.
Avaliando o caso A 
lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
56
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
Tabela 2 – Aproximação numérica de lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 YX -2 1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
-2 -0,02 0,07 -0,01 -0,09 -0,05 0,03 0,09 0,12 0,12 0,12 0,09 0,03 -0,05 -0,09 -0,01 0,07 -0,02
-1,75 0,07 -0,03 -0,09 0,02 0,12 0,11 0,05 -0,01 -0,03 -0,01 0,05 0,11 0,12 0,02 -0,09 -0,03 0,07
-1,5 -0,01 -0,09 0,050,13 -0,03 -0,11 -0,19 -022 -022 -022 -0,19 -0,11 -0,03 0,13 0,05 -0,09 -0,01
-1,25 -0,09 0,02 0,13 -0,01 -018 -0,21 -0,13 -0,03 -0,01 -0,03 -0,13 -0,21 -018 -0,01 0,13 0,02 -0,09
-1 -0,05 0,12 0,03 -0,18 -0,19 0,01 0,24 0,40 0,45 0,40 0,24 0,01 -0,19 -0,18 0,03 0,12 -0,05
-0,75 0,03 0,11 -0,11 -0,21 0,01 0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35 0,01 -0,21 -0,11 0,11 0,03
-0,5 0,09 0,05 -0,19 -0,13 0,24 0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61 0,24 -0,13 -0,19 0,05 0,09
-0,25 0,12 -0,01 -0,22 -0,03 0,40 0,76 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 0,76 0,40 -0,03 -0,22 -0,01 0,12
0 0,12 -0,03 -022 -0,01 0,45 0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80 0,45 -0,01 -022 -0,03 0,12
0,25 0,12 -0,01 -0,22 -0,03 0,40 0,76 0,99 0,99 1,00 0,99 0,99 0,76 0,40 -0,03 -0,22 -0,01 0,12
0,5 0,09 0,05 -0,19 -0,13 0,24 0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61 0,24 -0,13 -0,19 0,05 0,09
0,75 0,03 0,11 -0,11 -0,21 0,01 0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35 0,01 -0,21 -0,11 0,11 0,03
1 -0,05 0,12 0,03 -0,18 -0,19 0,01 0,24 0,40 0,45 0,40 0,24 0,01 -0,19 -0,18 0,03 0,12 -0,05
1,25 -0,09 0,02 0,13 -0,01 -018 -0,21 -0,13 -0,03 -0,01 -0,03 -0,13 -0,21 -018 -0,01 0,13 0,02 -0,09
1,5 -0,01 -0,09 0,05 0,13 -0,03 -0,11 -0,19 -022 -022 -022 -0,19 -0,11 -0,03 0,13 0,05 -0,09 -0,01
1,75 0,07 -0,03 -0,09 0,02 0,12 0,11 0,05 -0,01 -0,03 -0,01 0,05 0,11 0,12 0,02 -0,09 -0,03 0,07
2 -0,02 0,07 -0,01 -0,09 -0,05 0,03 0,09 0,12 0,12 0,12 0,09 0,03 -0,05 -0,09 -0,01 0,07 -0,02
O entorno do ponto (0,0), o limite da região em vermelho, na tabela, aproxima-se de um mesmo 
valor, ou seja, de 1. 
Analisando a tabela, ficamos tentados a afirmar que, embora (0,0) não pertença ao domínio da 
função, lim
( )
( , ) ( , )x y
sen x y
x y



0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
1.
Vamos focar nosso olhar aproximando do ponto (0,0). 
Tabela 3 – Aproximação numérica do limite de f(x,y) quando tendem a (0,0)
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
C4
C1 C1
C3
C2
C2
C3
C4
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,80 0,96 1,00 1,00 0,96 0,80
0,76 0,94 0,99 1,00 0,99 0,94 0,76
0,61 0,84 0,94 0,96 0,94 0,84 0,61
0,35 0,61 0,76 0,80 0,76 0,61 0,35
Pela tabela anterior, podemos perceber que, qualquer que seja o percurso escolhido para caminharmos 
com f(x,y), no sentido do ponto(0,0) pelas direções c1, c2, c3, c4 (note: cada direção nos fornece dois 
57
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
caminhos), estamos caminhando no limite para o resultado 1, isto é, lim ( , )
( , ) ( , )
f x y
x y


1
0 0
. Em outras palavras, 
podemos tomar valores de f(x,y) tão próximos quanto desejarmos de 1 que encontraremos pontos (x,y) 
suficientemente próximos de (0,0), mas ainda diferentes de (0,0).
 Observação
Não é porque alguns caminhos resultam num mesmo valor “L” que 
podemos dizer que o limite é L.
A título de referência conceitual, apresentaremos a definição de limite de uma função de duas 
variáveis. 
Seja f uma função de duas variáveis, na qual o domínio D contém pontos aleatoriamente próximos 
do ponto ao qual desejamos calcular o limite, digamos, (a,b). O limite de f(x,y) é L quando (x,y) tende 
a (a,b) é L ( lim ( , )
( , ) ( , )
f x y L
x y ab


), se para todo número ε > 0 existe um número correspondente δ > 0, tal que 
| f(x,y) - L | < ε sempre que (x,y) ∈ D e 0 2 2    ( ) ( )x a y b  .
Teoricamente, temos que uma função descontínua num ponto (a,b) pode ter o limite definido 
naquele mesmo ponto desde que, independente do caminho que você escolher para percorrer sobre o 
domínio até o ponto (a,b), o limite de f(a,b) seja sempre o mesmo, ou seja, por diferentes caminhos 
(c1, c2, c3, c4,..., cn, ...) que você percorra o domínio até um ponto chegamos aproximadamente a um 
mesmo resultado L, na imagem, conforme ilustrado na figura a seguir. 
y z
x
c2 c1
c3
(a,b)
f(a,b)
L
Figura 66 
Analisando e conversando sobre a imagem anterior e a definição de limite de uma função de duas 
variáveis:
Dado um ponto (a, b), onde desejamos verificar se o limite da função existe ou não, desenhamos 
em azul uma região (chamada de bola) contendo pontos arbitrariamente próximos de (a, b). 
Dizemos que o limite de f(x,y), quando (x,y) tende a (a,b), é L, e escrevemos lim ( , )
( , ) ( , )
f x y L
x y ab


, se toda 
58
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
Unidade I
vez que nos aproximamos do intervalo azul na imagem que contém L (fazendo o módulo de f(x,y) 
– L), temos uma bola, de raio diferente de zero, em azul no domínio de f, que contém (x,y) – (a,b).
Para provarmos qual é o limite de uma função de duas ou mais variáveis, precisamos fazê-lo 
teoricamente por épsilons e deltas, como indicamos teoricamente antes, entretanto, esse não é nosso 
objetivo neste livro-texto. Se encontrarmos um par de caminhos aproximando de (a,b) chegando em 
dois limites diferentes, porém, podemos afirmar que o limite da função no ponto (a,b) não existe.
A seguir, o gráfico da função f x y
sen x y
x y
( , )
( ) 

2 2
2 2
2 2
2 2 .
z
limf(0,0)=1
(0,0)
y
x
Figura 67 – Gráfico da função f x y
sen x y
x y
( , )
( ) 

2 2
2 2
2 2
2 2
É de seu conhecimento que a função f(x) = senx é uma curva suave e tem imagem variando entre 
[-1,1], ou seja, é limitada. O gráfico mostra-nos que a função f x y
sen x y
x y
( , )
( ) 

2 2
2 2
2 2
2 2
 também é uma 
superfície com traços suaves (veja o padrão das linhas poligonais que formam a superfície – elas são 
parecidas) na região próxima da origem. Por isso, verificamos que, embora a função seja descontínua na 
origem, seu limite vale 1.
Não é mostrando que percorrendo a superfície por dois caminhos diferentes e chegando a um 
mesmo resultado que mostramos que o limite existe! 
Não se iluda com as representações gráficas, note que, além da argumentação geométrica, também 
nos apoiamos na análise do padrão numérico da superfície, visualizando numericamente vários caminhos 
em torno do provável ponto de descontinuidade.
59
M
AT
 -
 R
ev
is
ão
: A
nd
re
ia
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
3/
08
/1
3 
 //
 R
ed
im
en
si
on
am
en
to
 -
 M
ár
ci
o:
 2
2/
07
/2
01
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS
 Observação
Vale destacar que a forma segura de verificar se o limite de uma função 
existe é fazendo o limite pela definição, ou seja, demonstrar algebricamente 
que dada qualquer bola (intervalo) diferente de zero, bem pequena na 
imagem contendo (f(x,y) – L), existe uma bola diferente de zero contendo 
((x,y) – (a,b)).
 Saiba mais
Para saber mais sobre a demonstração se um limite existe ou não por 
épsilons e delta, recomendamos o livro: 
LEITHOLD, L. Sequências e séries infinitas de termos constantes. In: 
______. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
p. 711-8. v. 2.
Avaliando o caso B lim
( , ) ( , )x y
x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
Tabela 4 – Aproximação numérica de lim
( , ) ( , )x y
x y
x y

0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
 YX -2 1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
-2 0,00 0,13 0,28 0,44 0,60 0,75 0,88 0,97 1,00 0,97 0,88 0,75 0,60 0,44 0,28 0,13 0,00
-1,75 -0,13 0,00 0,15 0,32 0,51 0,69 0,85 0,96 1,00 0,96 0,85 0,69 0,51 0,32 0,15 0,00 -0,13
-1,5 -0,28 -0,15 0,00 0,18 0,38 0,60 0,80 0,95 1,00 0,95 0,80 0,60 0,38 0,18 0,00 -0,15 -0,28
-1,25 -0,44 -0,32 -0,18 0,00 0,22 0,47 0,72 0,92 1,00 0,92 0,72 0,47 0,22 0,00 -0,18 -0,32 -0,44
-1 -0,60 -0,51 -0,38 -0,22 0,00 0,28 0,60 0,88 1,00 0,88 0,60 0,28