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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL- REI Engenharia Química Laboratório de Engenharia Química I Viscosímetro de Stokes Ana Carolina de A. Faria; André M. Borges; Karina T. Pereira; Marcela M. de Paula; Thalyta F. Silva. Resumo O presente relatório expõe os resultados obtidos no experimento do Viscosímetro de Stokes realizado no Laboratório de Engenharia Química da Universidade Federal de São João Del-Rei. A prática objetivava o cálculo da viscosidade de líquidos, no caso do experimento, da glicerina, para analisar o atrito interno das camadas desse fluido através do movimento relativo de um corpo pelo meio viscoso, demonstrando que uma força viscosa, proporcional à velocidade do corpo atua no sistema, causando uma componente de resistência (força arrasto). Para tanto, utilizou-se o método de Stokes encontrado na literatura para fazer os cálculos de coeficiente de arrasto, número de Reynolds e velocidade terminal através das medições de tempo de queda das esferas, assim como o cálculo da densidade das esferas através das medições de peso e diâmetro e densidade do fluido com a utilização de um picnômetro. Por fim, observações gráficas comparativas das variáveis citadas acima foram feitas para análise dos resultados obtidos da resistência da glicerina em relação ao corpo em movimento vertical, assim como os valores de velocidade terminal e área frontal de impacto. Palavras-chave: Viscosímetro de Stokes, Viscosidade de Líquidos, Glicerina, Arrasto. Introdução Viscosidade é uma variável que auxilia na caracterização reológica de uma substância, fundamental para a construção de equipamentos e projeto de processos, assim como para que um produto seja especificado. Pode- se definir viscosidade como o atrito interno causado pelo deslizamento de camadas fluidas umas sobre outras, originando assim tensões tangenciais (1). As tensões/forças que podem surgir são o peso, empuxo e a força de arrasto, sendo que as duas últimas possuem sentido oposto ao da velocidade do movimento. O viscosímetro de Stokes, assim como outros viscosímetros, mede a viscosidade de líquidos. Seu princípio operacional baseia-se na determinação da velocidade de quadra livre de uma esfera através do fluido cujo deseja obter a viscosidade. Neste, no momento em que a esfera atinge a velocidade terminal, ou seja, dv/dt é nulo, um balanço entre a força de arrasto pode ser expresso em termos do coeficiente de arrasto pela equação seguinte: 𝐶𝐷 = 3𝜋𝜇𝑣𝐷𝑒 ( 𝜌𝑓𝑣 2 2 × 𝜋𝐷2 4 ) ≡ 24 𝑅𝑒𝐷 (1) Onde, 𝐷𝑒 é o diâmetro da esfera, 𝜌𝑓 é a densidade do fluido, 𝜇 é a viscosidade do fluido e 𝜈 a velocidade da esfera, e 𝑅𝑒𝐷, o número de Reynoolds, calculado pela equação (2): 𝑅𝑒𝐷 = 𝜌𝑓𝑣𝐷 𝜇 (2) Utilizando ambas as equações no balanço geral de forças, para um escoamento permanente, obtêm-se a Equação de Stokes, a qual prevê o arrasto de uma esfera pelos fundamentos teóricos, e demonstra alta precisão (2). A equação passa por algumas correções devido a presença de paredes do tubo, as quais podem causar um aumento no coeficiente de arrasto, e após tais ajustes e manipulações matemáticas, pode-se utilizar a equação (3) para o cálculo da viscosidade do fluido: 𝜇 = 1 8 × 𝐷𝑒 2𝑔 𝑣 × (𝜌𝑒 − 𝜌𝑓) 1 + (2,4 × 𝐷𝑒 𝐷𝑡 ) (3) Laboratório de Engenharia Química I – 2º semestre/2017 2 Experimental Materiais e Métodos Para o desenvolvimento do experimento do viscosímetro de Stokes utilizaram-se os seguintes materiais: tubo de acrílico, cronômetro, esferas metálicas, proveta, paquímetro, balança de precisão, picnômetro e imã. Em um primeiro momento separou-se três esferas de diâmetros distintos e com um paquímetro fez-se a medição das mesmas. Logo após, com o auxílio de uma proveta determinou-se a densidade das esferas, as mesmas foram pesadas em uma balança de precisão. A densidade dos fluidos foi medida através de um picnômetro, primeiro da água destilada posteriormente da glicerina. Um tubo de acrílico foi preenchido com glicerina, em seguida as esferas foram inseridas, uma de cada vez, no tubo e o tempo foi marcado com o auxílio de um cronômetro, repetiu-se este processo por três vezes. As esferas foram retiradas do tubo através de um imã. A distância percorrida pelas esferas pôde ser medida através das marcações, previamente feitas no tubo de acrílico. Os dados foram anotados para posteriores cálculos para a determinação da viscosidade da glicerina. Resultados e Discussão Determinação das densidades: A densidade da glicerina foi determinada a partir da picnometria. Essa técnica consiste na imersão da amostra de partícula em um picnômetro de volume previamente conhecido, vazio e com água, o volume de líquido deslocado corresponde ao volume ocupado pela amostra no recipiente. Os pesos necessários estão dispostos na Tabela 1. Tabela 1. Pesos do picnômetro vazio, com água e glicerina. Pa Pb Pc 24,457 g 55,049 g 62,86 g Onde: - Pa: Peso do picnômetro vazio - Pb: Picnômetro com água - Pc: Picnômetro com glicerina Assim, a densidade (𝜌𝑔) da glicerina pode ser calculada pela seguinte equação: 𝜌𝑔 = 𝑃𝑐 − 𝑃𝑎 𝑃𝑏 − 𝑃𝑎 (4) Encontrando 𝜌𝑔 = 1255,3 kg/m³. As densidades das esferas foram calculadas a partir de uma proveta contendo água, utilizando a relação da massa previamente medida e o volume deslocado na vidraria. ρ = 𝑀 𝑉 (5) Os valores obtidos se encontram na Tabela 2. Tabela 2. Valores da densidade, diâmetro das esferas, bem como a massa e o volume deslocado. Esfera De (m) M (kg) V (mL) ρ (g/mL) Grande 0,0095 8,289 1 2,289 Média 0,0070 4,466 0,5 8,932 Pequena 0,0050 2,037 0,2 10,185 Onde: - De: Diâmetro das esferas - M: Massa - V: Volume deslocado - ρ: Densidade Velocidade Terminal A fim de obter a velocidade terminal das esferas, fixou-se uma distância (h = 63,6 cm) a ser percorrida pela mesma e cronometrou-se o trajeto. Obtendo uma velocidade com a expressão: 𝑉 = ℎ 𝑡 (6) Essa análise foi feita em triplicatas para as três esferas e o tempo foi aferido por duas pessoas, sendo tomada a média dos mesmos, tem-se os valores na Tabela 3. Tabela 3. Tempos de queda e velocidade média das esferas. Esfera t1 (s) t2 (s) t3 (s) 𝑣 (𝑚/𝑠) Grande 1,21 1,185 1,25 0,32643 Média 1,375 1,34 1,41 0,23711 Pequena 2,01 1,835 2,00 0,19515 Área frontal de impacto A área frontal de impacto de um determinado objeto é a região na qual estará exposta sua superfície à uma força, ou pressão, que melhor se aplica já que a esfera projeta uma Laboratório de Engenharia Química I – 2º semestre/2017 3 circunferência, obtida pela equação abaixo e apresentados na tabela 4. 𝐴 = 𝜋𝐷2 4 (7) Tabela 4. Área e diâmetro das esferas. Esfera Diâmetro (m) Área (𝑚2) Grande 0,0095 0,000070 Média 0,0070 0,000038 Pequena 0,0050 0,000019 Determinação da Viscosidade da Glicerina Para encontrar o valor da viscosidade da glicerina, aplicou- se a segunda a relação de equilíbrio de forças que atuam sobre as esferas durante a queda. São estas as forças, e, as quais representam força peso, força de arraste do fluido e o empuxo, respectivamente. Elas se relacionam pela seguinte equação: 𝐹𝑃 = 𝐹𝐸 + 𝐹𝐴 (8) Substituindo cada uma dessas forças por suas definições, têm-se: 𝐹𝐴 = 𝐶𝐷. 𝜌𝑓 . 𝐴. 𝑣2 2 (9) 𝑅𝑒 = 𝜌𝑓 . 𝐷. 𝑣 𝜇 (10) 𝐶𝐷 = 24 𝑅𝑒 (11) 𝐹𝐴 = 24. 𝜇 𝜌𝑓 . 𝐷. 𝑣 𝜌𝑓 . 𝐴. 𝑣2 2 (12) 𝐹𝐴 = 24𝜇 𝐷 . 𝐴. 𝑣 2 (13) 𝐹𝐸 = 𝜌𝑓 . 𝑔. 𝑉𝑒𝑠𝑓 (14) 𝐹𝑃 = 𝜌𝑒𝑠𝑓 . 𝑔. 𝑉𝑒𝑠𝑓 (15) Onde: 𝐶𝐷 − Coeficiente de arraste; 𝑔 − Aceleração da gravidade; 𝜌𝑓 − Densidade fluido;𝜌𝑒𝑠𝑓 −Densidade esfera; 𝑉𝑒𝑠𝑓 −Volume da esfera; 𝑅𝑒 − Número de Reynolds; 𝐷 − Diâmetro da esfera; 𝑣 − Velocidade terminal; 𝜇 − Viscosidade do fluido (glicerina); 𝐴 − Área frontal de impacto. Substituindo (15), (14) e (13) em (8), tem-se: 𝜌𝑒𝑠𝑓 . 𝑔. 𝑉𝑒𝑠𝑓 = 𝜌𝑓 . 𝑔. 𝑉𝑒𝑠𝑓 + 24𝜇 𝐷 . 𝐴. 𝑣 2 (16) Isolando 𝜇, 𝜇 = 𝑉𝑒𝑠𝑓 . 𝑔. 𝐷(𝜌𝑒𝑠𝑓 − 𝜌𝑓) 𝑣. 𝐴. 12 (17) Para a viscosidade 𝜇 da glicerina, utilizou-se velocidade terminal de cada esfera e os outros dados apresentados nas tabelas anteriores. Com isso, pôde-se obter três valores para a viscosidade, dos quais fez-se novamente uma média aritmética para encontrar os valores experimentais. Estes valores estão representados na Tabela 5. Tabela 5. Viscosidade 𝜇 da glicerina. Esfera Velocidade Terminal 𝑣 (m/s) Viscosidade 𝜇 (Kg/m.s) Viscosidade Media Grande 0,32643 2,39 2,26 Média 0,23711 2,43 Pequena 0,19515 1,96 Com os dados experimentais e os resultados obtidos, foram calculados o Re e o CD respectivos ao escoamento da glicerina. Os valores encontrados estão expostos na Tabela 6, e a relação de CD versus Re está exposta no Imagem 1. Laboratório de Engenharia Química I – 2º semestre/2017 4 Tabela 6. Raio das esferas, Re e CD. Esfera Re CD Grande 1,722 13,93728223 Média 0,857 28,00466744 Pequena 0,624 38,46153846 Imagem 1. Velocidade terminal versus raio da esfera Observa-se que o número de Reynolds calculado foi bem baixo, caracterizando que a esfera escoou laminarmente pela glicerina. Além disso, o coeficiente de arrasto decai com o aumento do número de Reynolds. Com os resultados obtidos de velocidade terminal e raio da esfera, fez-se um estudo comparativo da velocidade em relação ao tamanho da esfera. As análises seguiram com a forma mostrada no Imagem 2. Imagem 2. Velocidade terminal versus raio da esfera. O gráfico apresenta que a velocidade terminal é proporcional ao raio da esfera, ou seja, quanto maior o raio da esfera, maior a sua velocidade ao longo do trajeto no meio viscoso. Conclusões Pode-se concluir que a viscosidade da glicerina provoca uma força de arrasto contrária ao vetor velocidade de um corpo quando colocado imerso em queda livre. Essa força caracteriza a viscosidade do fluido e a velocidade de descida do corpo dependerá diretamente do tamanho do mesmo. Referências 1. M. A. Cremasco. Operações Unitárias em Sistemas Particulados e Fluidomecânicos. 2ed; Blusher, São Paulo,2014;127-157. 10 15 20 25 30 35 40 0,5 1 1,5 2 C D Reynolds 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,0023 0,0033 0,0043 0,0053 V el o ci d ad e Te rm in al (m /s ) Raio (m)
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