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Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Capítulo 2 Torção Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. 2.1 – Revisão Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Ip: momento polar de inércia da área da seção. max e p p Tr T I I ρ: distância radial da linha central do eixo T: torque interno resultante que age na seção τ: tensão de cisalhamento (máxima na superfície externa) Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Ângulo de torção: p TL I G G : módulo de elasticidade ao cisalhamento L: comprimento do eixo ϕ: ângulo de torção (rad) Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Se a carga de torção ou a seção transversal da barra ou o material muda ao longo do comprimento, o ângulo de rotação é encontrado como a soma de rotações de cada segmento. i i i pi i T L I G Convenção de sinais Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Dadas as dimensões da barra e do torque aplicado (solicitação), gostaríamos de encontrar as reações de torque em A e B. A partir de uma análise de corpo livre da barra, estaticamente indeterminado (1)A BT T T EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE: Dividindo o eixo em dois componentes que devem ter deslocamentos rotacionais compatíveis, 0 (2) A AC B CB AB AC CB p p AC B A CB T L T L I G I G L T T L 2.2 – Eixos Estaticamente Indeterminados Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Teremos um sistema: A B AC B A CB T T T L T T L CB A AC B L T T Ll L T T Ll Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 1)O eixo maciço de aço mostrado abaixo tem diâmetro de 20mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B. Respostas: TA=-345Nm e TB=645Nm Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2)Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ip é constante. Resposta: 16,3MPa Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 3) O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 0,5in e CB, com diâmetro de 1in. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 500lb.ft, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Gaço=10,8(10 3)ksi. Resposta: τmax=29,3ksi Exercício de fixação Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão. Se um torque de T=250Nm for aplicado em sua extremidade, como se distribuem as tensões de cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal? GAÇO=80GPa GLAT=36GPa 2.3- Estruturas heterogêneas quanto aos materiais Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 250 (1)Aço LATT T Nm A reação na parede é representada pelas quantidades desconhecidas de torque às quais resistem o aço e o latão. O equilíbrio exige: Compatibilidade: Exige-se que o ângulo de torção na extremidade A sejam o mesmo para o aço e para o latão, visto que eles estão unidos. Aplicando a relação carga-deslocamento, temos: AÇO LAT / pTL I G AÇO LAT pAÇO AÇO pLAT LAT T L T L I G I G 4 3 24 4 3 2 /2 10 36 10 //2 20 10 80 10 / AÇO LAT T T mm N mmmm mm N mm Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 33,33 (2)AÇO LATT T Resolvendo o sistema: Pela fórmula da torção: Observe a descontinuidade da tensão de cisalhamento na interface latão- aço. Isso era de se esperar, já que os materiais têm módulos de rigidez diferentes. 242,72 7,28 AÇO LAT T Nm T Nm 3 4 7,28 10 10 4,63 /2 10 LAT máx Nmm mm MPa mm 3 4 4 242,72 10 20 20,6 /2 20 10 AÇO máx Nmm mm MPa mm mm 3 4 4 242,72 10 10 10,3 /2 20 10 AÇO mín Nmm mm MPa mm mm max p Tr I Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 4)O eixo é feito de um tubo de aço com núcleo de latão. Se estiver preso a um dos apoio rígido, determine o ângulo de torção que ocorre em sua extremidade. GAÇO=75GPa e GLAT=37GPa Respostas: Exercício de fixação 0,00617rad Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 5)Uma barra de aço sólida de diâmetro 1,2in está circundada por um tubo de diâmetro externo igual a 1,8in e diâmetro interno igual a 1,4in. Tanto a barra como o tubo estão fixados rigidamente na extremidade A e unidos de forma bem segura na extremidade B. A barra composta, que tem 20in de comprimento, é torcida por um torque T=4400lb.in agindo na placa da extremidade. Determine as tensões de cisalhamento máximas na barra e no tubo e o ângulo de torção em graus da placa, assumindo que o módulo de elasticidade do aço é G=11,6x106psi. Respostas: Exercício de fixação 0,507 3,08 4,62barra tuboksi ksi Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 2.4 – Eixos maciços não circulares Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal não circular são: Análise completa da teoria é apresentada em livros como Mathematical Theory of Elasticity, I. S. Sokolnikoff, 2ª Ed, 109-134. Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para eixos com seção transversal retangular são: a/b c1 c2 1,0 0,208 0,1406 1,2 0,219 0,1661 1,5 0,231 0,1958 2,0 0,246 0,229 2,5 0,258 0,249 3,0 0,267 0,263 4,0 0,282 0,281 5,0 0,291 0,291 10,0 0,312 0,312 max 2 1 3 2 T c ab TL c ab G a→maior lado b→menor lado a b Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O eixo de alumínio 6061-T6 tem área de seção transversal na forma de um triângulo equilátero. Determine o maior torque T que pode ser aplicado à extremidade do eixo se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o ângulo de torção na extremidade estiver restrito a Φadm = 0,02 rad. Gal =26 GPa. Exemplo 1- Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O torque interno resultante em qualquer seção transversal ao longo da linha central do eixo também é T. adm 3 2 3 3 3 adm 4 4 4 3al 2 20 20 ; 56 179200 Nmm=179,2Nm 40 46 1,2 1046 ; 0,02rad 24120 24,12 40 26 10 24,12 Nm T N T T a mm mm T mmTL T Nmm Nm Na G mm mmT Por comparação, o torque é limitado devido ao ângulo de torção. Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 6)O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC. Respostas: Exercício de fixação BC ACmáx máx0,955 1,592MPa MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 7)Determinar o maior torque T que pode ser aplicado a cada uma das duas barras de alumínio mostradas, e o correspondente ângulo de torção em B, sabendo-se que G=26GPa e . Respostas: Exercício de fixação ) 2,25 =0,816° ) 1,77 =0,901° a T kNm b T kNm adm 50MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias A tensão de cisalhamento média para tubos com paredes finas é Para o ângulo de torção, mtA T 2 méd τméd = tensão de cisalhamento média T = torque interno resultante na seção transversal t = espessura do tubo Am = área média contida no contorno da linha central t ds GA TL m 24 2.5 – Tubos de parede fina com seções transversais fechadas Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Um tubo quadrado de alumínio tem as mesmas dimensões. Determine a tensão de cisalhamento média no tubo no ponto A se ele for submetido a um torque de 85 Nm. Calcule também o ângulo de torção devido a esse carregamento. Considere Gal = 26 GPa. Exemplo 2- Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias O torque interno no ponto A é T = 85 Nm. 3 méd 2 méd 85 10 2 2 10 2.500 1,7 m NmmT tA mm mm MPa Para tensão de cisalhamento média: 22 mm 500.250 mAA área sombreada é . ds ds t ds GA TL m 14 32 33 2 mm 10196,0 101026500.24 105,11085 4 Para ângulo de torção, A integral representa o comprimento em torno da linha central do contorno do tubo. Assim, 4 3 0,196 10 4 50 3,92 10 rad Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 8)O tubo da figura é construído em bronze e tem a seção transversal na forma e dimensões indicadas. Se está sujeito aos dois torques como mostrado, determine o valor da tensão tangencial nos pontos A e B, e o ângulo de torção do extremo C em relação ao suporte fixo E. Considerar G=38GPa. Respostas: Exercício de fixação A B1,75 , 2,92 e =0,00626rad MPa MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 9)Um torque de 1,2kNm é aplicado a uma barra vazada de alumínio, que tem a seção mostrada na figura. Determinar a tensão de cisalhamento da barra. Respostas: Exercício de fixação 44,4MPa Resistência dos Materiais II Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias Universidade Federal de Pelotas Centro de Engenharias 10)O tubo é feito de plástico, tem 5mm de espessura e as dimensões médias são mostradas na figura. Determine a tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque de T=500Nm. Respostas: Exercício de fixação 9,6MPa
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