PROVA DE MATEMÁTICA ESPCEX 1999

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1) (EsPCEx 99) Em uma pesquisa realizada na EsPCEx com 
uma turma de 30 alunos, constatou-se que: 
• 15 alunos conhecem a cidade do Rio de Janeiro; 
• 12 alunos conhecem a cidade de São Paulo; 
• 9 alunos conhecem ambas as cidades. 
Escolhendo ao acaso um aluno dessa turma, a probabilidade 
de que ele conheça a cidade do Rio de Janeiro ou a cidade de 
São Paulo é: 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/5 
d) 3/10 
e) 9/10 
 
2) (EsPCEx 99) A função 𝑓(𝑥) =
(1−
1
𝑥
)(𝑥−
1
𝑥
)
1−
2
𝑥
+
1
𝑥2
, definida em 
ℝ − {0, 1} tem, para o mesmo domínio, os mesmos valores nu-
méricos que a função: 
a) 𝑓(𝑥) = 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥² 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥+1
 
e) 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥+1)²
 
 
3) (EsPCEx 99) No desenvolvimento do projeto de um auto-
móvel, uma empresa realizou testes envolvendo misturas com 
o combustível A e o aditivo B e obteve o resultado apresentado 
na tabela abaixo: 
 Porcentagens 
Mistura A B Consumo 
1 100% 0% 10 km/ℓ 
2 90% 10% 12 km/ℓ 
3 80% 20% 14 km/ℓ 
 
Considerando-se que o custo do combustível A é R$0,80 o litro 
e o do aditivo B é R$1,00 o litro, pode-se afirmar que: 
a) a mistura 3 proporciona uma economia de 25% em relação 
à mistura 1. 
b) a mistura 2 proporciona uma economia de 20% em relação 
à mistura 1. 
c) a utilização de qualquer uma das misturas implica em um 
mesmo custo. 
d) a mistura 2 proporciona um custo adicional de 15% em re-
lação à mistura 1. 
e) a mistura 3 proporciona um custo adicional de 25% em re-
lação à mistura 1. 
 
4) (EsPCEx 99) Considere um triângulo equilátero de períme-
tro p. A função que relaciona a área e o perímetro desse triân-
gulo é dada por: 
a) 𝐴(𝑝) =
𝑝²√3
6
 
b) 𝐴(𝑝) =
𝑝²√3
9
 
c) 𝐴(𝑝) =
4𝑝²√3
9
 
d) 𝐴(𝑝) =
𝑝²√3
36
 
e) 𝐴(𝑝) =
9𝑝²√3
4
 
 
5) (EsPCEx 99) Determine os valores de 𝑘 que fazem a fun-
ção 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑘 −
8
𝑘
 corresponda ao gráfico dado. 
 
a) 2 e -2 
b) -1 e -2 
c) 3 e 4 
d) -2 e -1 
e) 2 e -4 
 
6) (EsPCEx 99) Sendo f uma função real tal que 𝑓(𝑥 − 2) =
𝑎𝑥 + 𝑏, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(2) = 5 e 𝑓(3) = 8, então o valor de 𝑎. 𝑏 é: 
a) -32 
b) -23 
c) -21 
d) 12 
e) 36 
 
7) (EsPCEx 99) Na criação de um determinado animal para 
abate, o criador dispõe de estudos que lhe informam que o 
custo de criação evolui no tempo segundo a relação 𝑃𝐶 =
√2
120
𝑡² + 2√2𝑡 + 200√2 e o preço obtido pelo criador ao vender 
o produto evolui no tempo segundo a relação 𝑃𝑉 = −
√2
120
𝑡² +
3√2𝑡 + 200√2, onde PC e PV são respectivamente os preços 
de custo e de venda da arroba de carne, em reais, e t, o tempo 
 
 
de engorda, em dias. Nestas condições pode-se afirmar que o 
tempo de engorda que fornece maior lucro (𝑃𝑉 − 𝑃𝐶) é de: 
a) 20 dias 
b) 30 dias 
c) 90 dias 
d) 60 dias 
e) 45 dias 
 
8) (EsPCEx 99) A equação 𝑓(𝑥) = −5 tem solução real se: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 10𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = tg 𝑥 
e) 𝑓(𝑥) = log3(|𝑥| + 1) 
 
9) (EsPCEx 99) Numa progressão geométrica (PG) crescente 
de 5 termos, o primeiro e o último correspondem, respectiva-
mente, às raízes da equação 𝑥² − 51𝑥 + 144 = 0. O valor da 
soma do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é: 
a) 12 
b) 24 
c) 28 
d) 36 
e) 42 
 
10) (EsPCEx 99) Numa modalidade de corrida, ganha a equipe 
que percorre uma determinada distância em menor tempo, re-
vezando seus atletas a cada 800 metros. A equipe Verde utili-
zou a tática de organizar seus atletas na ordem crescente de 
suas velocidades. Sabe-se que o atleta menos veloz dessa 
equipe gastou 5 minutos no revezamento e que a diferença de 
tempo entre dois atletas consecutivos foi sempre de 30 segun-
dos. Sabendo que a equipe Verde realizou a prova em 26 mi-
nutos, a distância total percorrida foi de: 
a) 4000 metros 
b) 4160 metros 
c) 6400 metros 
d) 10400 metros 
e) 20800 metros 
 
11) (EsPCEx 99) Observe os cinco cartões dados: 
log0,2
1
25
 
log2 5 log3 18 log1
2
8 log5 10 
Escolhendo-se ao acaso um desses cartões, a probabilidade 
de que nele esteja escrito um logaritmo cujo valor é um número 
natural é de: 
a) 0 
b) 1/5 
c) 2/5 
d) 3/5 
e) 4/5 
 
12) (EsPCEx 99) Sendo log2 √1024
3
= 𝑎; |
3 3
log 70 log 700
| = 𝑏 
e log3(log5 125) = 𝑐, a ordem crescente desses números é: 
a) 𝑎, 𝑏, 𝑐 
b) 𝑏, 𝑐, 𝑎 
c) 𝑐, 𝑏, 𝑎 
d) 𝑎, 𝑐, 𝑏 
e) 𝑐, 𝑎, 𝑏 
 
13) (EsPCEx 99) Dos gráficos dados, o que melhor representa 
a função 𝑓(𝑥) = |4𝑥² − 16𝑥 + 7| é: 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
14) (EsPCEx 99) Sendo 𝑋 =
𝜋
3
+
𝜋
6
+
𝜋
12
+ ⋯ e 𝑌 =
𝜋
4
+
𝜋
5
+
4𝜋
25
+
16𝜋
125
+ ⋯, o valor de sen(𝑋 + 𝑌) é: 
a) 
−√3+√2
2
 
b) 
−√6+√2
4
 
c) 
−√6−√2
2
 
d) 
√6−√2
4
 
e) 
√3−√2
2
 
 
15) (EsPCEx 99) Se cossec 𝜃 =
1
𝑥−1
 e sec 𝜃 =
√3−𝑥²
3−𝑥²
, então um 
valor de x que verifica essas igualdades é: 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 3/4 
e) 3/2 
 
16) (EsPCEx 99) Considere a expressão 𝑉𝑛 = cos (
𝜋
3
+
2𝑛𝜋
3
) +
sen (
𝜋
3
+
2𝑛𝜋
3
) onde 𝑛 ∈ ℕ. O valor de 𝑉0 + 𝑉2 é igual a: 
a) 2 + √3 
b) √3 
c) 1 
d) 2 − √3 
e) 0 
 
 
 
17) (EsPCEx 99) Na figura dada estão representados os gráfi-
cos das funções reais 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 e 𝑔(𝑥) = log 𝑥. 
 
O valor de 𝑥 que satisfaz a equação log 𝑥 = cos 𝑥 está entre: 
a) 0 e 1 
b) 1 e 1,6 
c) 1,6 e 2,4 
d) 2,4 e 3,2 
e) 3,2 e 4,0 
 
18) (EsPCEx 99) Um triângulo equilátero ABC é inscrito num 
círculo trigonométrico de raio unitário, conforme a figura dada. 
Os vértices do triângulo estão nos pontos: 
 
a) 𝐴 = (
√3
2
,
1
2
) , 𝐵 = (−1, 0) e 𝐶 = (
√3
2
, −
1
2
) 
b) 𝐴 = (
√3
2
,
1
2
) , 𝐵 = (−1, 0) e 𝐶 = (
1
2
, −
√3
2
) 
c) 𝐴 = (
1
2
,
√2
2
) , 𝐵 = (−1, 0) e 𝐶 = (
1
2
, −
√2
2
) 
d) 𝐴 = (
√2
2
,
√2
2
) , 𝐵 = (−1, 0) e 𝐶 = (
√2
2
, −
√2
2
) 
e) 𝐴 = (
1
2
,
√3
2
) , 𝐵 = (−1, 0) e 𝐶 = (
1
2
, −
√3
2
) 
 
19) (EsPCEx 99) A fórmula 𝑁 = 6. 108𝑉
−3
2 relaciona, numa 
dada sociedade, o número N de indivíduos que possuem renda 
anual superior ao valor V, em reais. Nessas condições, pode-
se afirmar que, para pertencer ao grupo dos 600 indivíduos 
mais ricos dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda 
anual de: 
a) R$10.000,00 
b) R$100.000,00 
c) R$1.000.000,00 
d) R$10.000.000,00 
e) R$100.000.000,00 
 
20) (EsPCEx 99) Sendo {𝑎, 𝑏} ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 𝑏 e o determinante 
|
𝑎² −4𝑏 𝑏²
𝑎 2 𝑎
𝑏² 0 𝑎²
| = 128𝑎 − 128𝑏, pode-se dizer que: 
a) 𝑎 + 𝑏 = 4 
b) 𝑎 + 𝑏 = 8 
c) 𝑎 + 𝑏 = 2√2 
d) 𝑎 + 𝑏 = 4√2 
e) 𝑎 + 𝑏 = 2 
 
21) (EsPCEx 99) Os valores de k para que o sistema linear 
{
𝑘𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 3
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 8
seja possível e tenha uma única solução 
são: 
a) 𝑘 = ℝ − {−1, 2} 
b) 𝑘 = ℝ − {−2, 2} 
c) 𝑘 = ℝ − {1, 2} 
d) 𝑘 = ℝ − {3, 4} 
e) 𝑘 = ℝ − {1, −2} 
 
22) (EsPCEx 99) Num curso de Matemática, cada bimestre 
teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas 
os pesos das provas eram diferentes. Alves, que acertou 6 
questões na primeira prova, 5 na segunda e 6 na terceira, ob-
teve, no final, um total de 57 pontos. Tadeu acertou 3, 6 e 6 
questões, respectivamente na 1ª, 2ª e 3ª provas, totalizando 
54 pontos. Por sua vez, João acertou 2, 7 e 3 questões, res-
pectivamente na 1ª, 2ª e 3ª provas, atingindo a soma de 40 
pontos no final. Sabendo que Xavier fez 5 questões certas na 
primeira prova, 8 na segunda e 3 na terceira, o total de pontos 
de Xavier foi: 
a) 49 
b) 50 
c) 51 
d) 52 
e) 53 
 
23) (EsPCEx 99) Para todo x real, podemos afirmar que: 
a) cos 𝑥 = − cos(𝜋 + 𝑥) 
b) cos 𝑥 = cos(𝜋 − 𝑥) 
c) cos 𝑥 = − sen (
𝜋
2
− 𝑥) 
d) − cos 𝑥 = cos(2𝜋 − 𝑥) 
e) cos 𝑥 = sen(2𝜋 + 𝑥) 
 
24) (EsPCEx 99) Na resolução do sistema [
matriz
dos
coeficientes
] . [
𝑥
𝑦
𝑧
] =
[
1
1
2
] sabe-se que a matriz [
1 1 0
0 −1 2
−1 0 1
] é a inversa da matriz 
dos coeficientes. Nessas condições, os valores de x, y e z são, 
respectivamente: 
a) 1, 2, 3 
b) 1, 3, 2 
c) 2, 1, 3 
d) 3, 2, 1 
e) 2, 3, 1 
 
25) (EsPCEx 99)Sobre um plano 𝛼 tomam-se 8 pontos distin-
tos dos quais não existem 3 na mesma reta, e fora de 𝛼 toma-
se um ponto A. O número de pirâmides de base quadrangular 
com vértice em A que pode-se obter a partir desses pontos é: 
a) 64 
b) 70 
c) 72 
d) 82 
e) 96 
 
26) (EsPCEx 99) O conjunto de todos os valores de x em 
[0, 2𝜋], em que a função 𝑓(𝑥) =
1
√tg 𝑥−1
 está definida, é: 
a) ]0,
𝜋
2
[ ∪ ]𝜋,
3𝜋
2
[ 
b) [0,
𝜋
2
[ ∪ [𝜋,
3𝜋
2
[ 
c) [0,
𝜋
4
[ ∪ [𝜋,
5𝜋
4
[ 
d) ]
𝜋
4
,
𝜋
2
[ ∪ ]
5𝜋
4
,
3𝜋
2
[ 
e) ]0,
𝜋
4
[ ∪ ]𝜋,
5𝜋
4
[ 
 
27) (EsPCEx 99) Aumentando-se em 10% as arestas da base 
e a altura de uma pirâmide regular, seu volume será aumen-
tado de: 
a) 10% 
b) 20% 
c) 21% 
d) 30% 
 
 
e) 33,1% 
 
28) (EsPCEx 99) A razão entre a altura de um cilindro circular 
reto e a altura de um cone circular reto, de mesmo volume, é 
igual a 1/3. Sendo R o raio do círculo e r o raio do cone, pode-
se afirmar que: 
a) 𝑅 = 𝑟/9 
b) 𝑅 = 𝑟/3 
c) 𝑅 = 3𝑟 
d) 𝑅 = 𝑟 
e) 𝑅 = 2𝑟 
 
29) (EsPCEx 99) Deseja-se estimar a quantidade de combus-
tível existente em um tanque cilíndrico disposto horizontal-
mente, medindo-se aparte molhada de uma régua, conforme a 
figura dada. Sabendo que o tanque tem 2m de raio e 12m de 
comprimento, e que a parte molhada da régua tem 3m de com-
primento, pode-se concluir que o volume de combustível, em 
litros, existente no tanque está compreendido entre: 
Dados: utilizar 𝜋 = 3,1 e √3 = 1,7 
 
a) 145000 e 155000 
b) 135000 e 145000 
c) 125000 e 135000 
d) 115000 e 125000 
e) 105000 e 115000 
 
 
GABARITO 1999 
1) C 
2) B 
3) A 
4) D 
5) E 
6) C 
7) B 
8) D 
9) E 
10) C 
11) B 
12) C 
13) B 
14) B 
15) E 
16) C 
17) B 
18) E 
19) A 
20) A 
21) D 
22) A 
23) A 
24) E 
25) B 
26) D 
27) E 
28) D 
29) D 
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