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Apol de numeros complexos II

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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Em torno do ano 1700 a.C. os babilônios utilizavam tabletes cuneiformes, nos quais escreviam e operavam com o sistema de numeração sexagesimal posicional. Problemas que recaem numa equação de 2º grau já se faziam presentes, como a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele esta disponível em: RIBEIRO, D. M. A. A. Uma abordagem didática para função quadrática. Dissertação de Mestrado. Disponível em: <http://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/08/22032013Dayse-Maria-Alves-de-Andrade-Ribeiro.pdf>. Acesso em 31 jan 2018. 
Com base no fragmento de texto acima, e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações quadráticas, analise a seguinte situação e responda o que se pede:
O lucro L e o preço x de um certo produto é dada pela expressão L=−2x2+54x−220L=−2x2+54x−220.
Para quais valores de x teremos o lucro igual a 84?
Nota: 10.0
	
	A
	10 e 20
	
	B
	5 e 22
	
	C
	8 e 19
Você acertou!
	L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±√1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8
(livro-base pp.15-33)
	
	D
	7 e 49
	
	E
	13 e 14
Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o seguinte fragmento de texto:
"Dizemos que p(x)p(x) é divisível por g(x)g(x) quando o resto da divisão r(x)r(x) é igual a zero. E ainda, se p(x)p(x) é divisível por (x−a)(x−a), então p(a)=0p(a)=0".
Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. 
Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, sobre raízes de polinômios, calcule o valor de kk presente no polinômio:
 
p(x)=−x3+4x2−2x+kp(x)=−x3+4x2−2x+k , sabendo que este polinômio é divisível por g(x)=x−3g(x)=x−3.
Nota: 0.0
	
	A
	k=−2k=−2
	
	B
	k=2k=2
	
	C
	k=3k=3
	
	D
	k=−3k=−3
Conforme o enunciado, se p(x)p(x) é divisível por (x−a)(x−a), então p(a)=0p(a)=0. Temos aqui que p(x)p(x) é divisível por (x−3)(x−3), então p(3)=0p(3)=0. 
Com isto,  −x3+4x2−2x+k=0−x3+4x2−2x+k=0 e, substituindo xx por 33, temos:
−(3)3+4(3)2−2(3)+k=0−(3)3+4(3)2−2(3)+k=0
−27+36+6+k=0−27+36+6+k=0
3+k=03+k=0
k=−3k=−3
(livro-base, p. 147-168).
	
	E
	k=4k=4
Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a informação a seguir:
"Os polinômios possuem parte literal e coeficientes numéricos e podem ser classificados como monômios, binômios, trinômios ou polinômios. Essas classificações e informações são úteis quando efetuamos operações com expressões algébricas".
Texto elaborado pelo autor desta questão.
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre polinômios, analise as afirmativas a seguir, marcando como V as asserções verdadeiras e com F as asserções falsas:
I. (   ) Podemos afirmar que −8x2y−8x2y é um binômio, pois há duas variáveis diferentes nessa expressão algébrica.
II. (   ) O grau de 5x3y6z35x3y6z3 é 1212.
III. (   ) 3m3m e −5m−5m são considerados termos semelhantes, uma vez que possuem a mesma parte literal. 
IV. (   ) As partes literais de 5z³5z³ e −2z5−2z5 são idênticas, pois a variável é a mesma nos dois monômios. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V - V
	
	B
	V - V - F - F
	
	C
	F - V - V - V
	
	D
	F - F - V - V
	
	E
	F - V - V - F
Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois a expressão é um monômio, que é "um produto de constante e variável". Pode haver várias variáveis nesse produto.
A afirmativa II é verdadeira, pois "o grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal".
A afirmativa III é verdadeira, porque "termos são semelhantes quando possuem a mesma parte literal".
A afirmativa IV é falsa, porque "os expoentes das variáveis são diferentes".
(livro-base, p. 131-133).
Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para multiplicação de polinômios é possível utilizar a propriedade distributiva em conjunto com a regra da multiplicação de potências de mesma base, na qual é possível repetir a base e somar os expoentes.
De acordo com o exposto acima e com o livro-base Números complexos e equações algébricas, resolva a situação proposta abaixo.
Utilizando estas propriedades, calcule p(x).q(x)p(x).q(x) sabendo que p(x)=3x2+2p(x)=3x2+2  e  q(x)=7x+2q(x)=7x+2 e, indique a resposta correta para o valor da multiplicação destes dois polinômios.
Nota: 10.0
	
	A
	p(x).q(x)=3x3+6x2+7x+4p(x).q(x)=3x3+6x2+7x+4
	
	B
	p(x).q(x)=21x2+6x2+7x+4p(x).q(x)=21x2+6x2+7x+4
	
	C
	p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4
Você acertou!
Para fazer os cálculos p(x).q(x)p(x).q(x) deve-se seguir os passos seguintes:
p(x).q(x)=(3x2+2)(7x+2)p(x).q(x)=3x2.7x+3x2.2+2.7x+2.2p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4p(x).q(x)=(3x2+2)(7x+2)p(x).q(x)=3x2.7x+3x2.2+2.7x+2.2p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4
Livro-base, p. 127-146
	
	D
	p(x).q(x)=21x3+6x2+7x+2p(x).q(x)=21x3+6x2+7x+2
	
	E
	p(x).q(x)=7x3+6x2+7x+2p(x).q(x)=7x3+6x2+7x+2
Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Considere os seguintes polinômios:
p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12
Com base nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com polinômios e considerando os dados apresentados acima, analise as seguintes afirmativas:
I. p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7
II. p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7
III. p(x)+p(x)=6x4−6x2+10p(x)+p(x)=6x4−6x2+10
IV. p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I e II.
	
	B
	I, II e III.
	
	C
	I e III.
	
	D
	I, III e IV.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois somando as partes semelhantes dos polinômios, obtemos 15x4+5x3−5x2−715x4+5x3−5x2−7.
A afirmativa II é falsa, porque efetuando a subtração temos:
3x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+173x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+17
A afirmativa III é verdadeira, pois: 3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.
A afirmativa IV é verdadeira, deve-se utilizar a propriedade distributiva da multiplicação:
(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60
(livro-base, p. 135-136).
	
	E
	II, III e IV.
Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas resolva a situação dada abaixo.
Um cavalo salta sobre um obstáculo cujo movimento, nesse salto, é descrito pela expressão y=−0,2x2+xy=−0,2x2+x onde as unidades de medida são dadas em metros. Com base nessa afirmação, determine a distância entre o ponto inicial e o ponto final do salto do cavalo.
Nota: 10.0
	
	A
	3 metros3 metros
	
	B
	4 metros4 metros
	
	C
	5 metros5 metros
Você acertou!
Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá responder:
A distância entre o ponto inicial e o ponto final do salto corresponde à distância entre as raízes da função y=−0,2x2+xy=−0,2x2+x.
Podemos utilizar a fórmula quadrática ou fatorarmos a expressão y=−0,2x2+xy=−0,2x2+x que corresponde a x(−0,2x+1)x(−0,2x+1).
Fazendo x(−0,2x+1)=0x(−0,2x+1)=0, temos
x=0x=0
ou
−0,2x+1=0−0,2x+1=0
−0,2x=−1−0,2x=−1
0,2x=10,2x=1
x=10,2x=10,2
x=5x=5
Logo, as raízes são x1=0x1=0 e x2=5x2=5. A distância d entre elas é dada por d=5−0d=5−0 d onde d=5.d=5.
(livro-base, p. 24-28)
	
	D
	6 metros6 metros
	
	E
	7 metros7 metros
Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a informação abaixo:
As equações de quarto grau consideradas biquadradas podemser resolvidas com substituição de variável.
Com base na informação lida e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações de quarto grau, identifique o conjunto solução para a equação x4−12x2−64=0.x4−12x2−64=0.
Nota: 0.0
	
	A
	S={0,2,6,12}S={0,2,6,12}
	
	B
	S={−4,−2,2,4}S={−4,−2,2,4}
	
	C
	S={−2,2}S={−2,2}
	
	D
	S={−4,4}S={−4,4}
Fazemos a mudança de variável:
x2=yx2=y
Logo, a equação terá a forma: y2−12y−64=0y2−12y−64=0.
Resolvemos a equação: 
Δ=144+256=400y=12±√4002y=12±202y1=16y2=−4Δ=144+256=400y=12±4002y=12±202y1=16y2=−4
Substituindo os valores de y, teremos.
Para y=16x2=16x1=4x2=−4y=16x2=16x1=4x2=−4
Para 
y=−4x2=−4x=∅y=−4x2=−4x=∅
Logo,  S={−4,4}S={−4,4}
(livro-base, p. 43).
	
	E
	S={  }S={  }
Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Atente para a seguinte informação:
"Uma equação de terceiro grau do tipo ax3+bx2+cx=0ax3+bx2+cx=0 pode ser resolvida a partir da fatoração. Quando a equação possui um termo independente, sendo do tipo ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0, uma outra forma de resolução envolve a suposição de raízes a partir dos múltiplos desse termo independente dd. Quando uma raiz αα encontrada, pode-se determinar as demais dividindo-se ax3+bx2+cx+dax3+bx2+cx+d por x−αx−α".
Texto elaborado pelo autor desta questão.
Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, sabendo que 2 é uma raiz do polinômio x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 determine o conjunto solução da equação x3+2x2−x−14=0x3+2x2−x−14=0.
Nota: 0.0
	
	A
	S={2}S={2}
	
	B
	S={−2−2√3i,−2+2√3i,2}S={−2−23i,−2+23i,2}
	
	C
	S={−4−√122,−4+√122,2}S={−4−122,−4+122,2}
	
	D
	S={−2,0,2}S={−2,0,2}
	
	E
	S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2}
Se 2 é raiz do polinômio, dividimos a expressão x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 por x−2x−2. O quociente será x2+4x+7x2+4x+7.
Resolvendo a equação x2+4x+7=0x2+4x+7=0, obtemos como raízes −2−√3i e −2+√3i−2−3i e −2+3i.
Logo S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2}
(
livro-base, p. 147-162).
Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Leia o fragmento de texto a seguir:
"Normalmente no estudo de polinômios tem-se interesse por suas raízes. A raiz de um polinômio P(n) é um número complexo r tal que Pn(r) = 0. Quando uma raiz se repete por m vezes, diz-se que ela é raiz de multiplicidade m. Se m = 1, diz-se, simplesmente, que ela é raiz simples."
Após essa avaliação, caso queira ler o texto completo, ele está disponível em: CAMARGO JÚNIOR, I.; BERGAMASCHI, P.R. Uma investigação sobre as raízes de polinômios e aplicação em robôs manipuladores ortogonais 3R. <https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Bergamaschi/publication/268290512_UMA_INVESTIGACAO_SOBRE_AS_RAIZES_DE_POLINOMIOS_E_APLICACAO_EM_ROBOS_MANIPULADORES_ORTOGONAIS_3R/links/560e90d108aec422d1117ec6.pdf>. Acesso em 01 fev 2018. 
Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre Polinômios do Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). Considere n (grau do polinômio) um número natural.
I. (  ) Dado um polinômio p(x)p(x), se aa é raiz de p(x)p(x), então p(a)=0.p(a)=0.
II. (   ) Se p(x)p(x) tem grau nn, o polinômio terá no máximo n−1n−1 raízes.
III. (   ) Se uma das raízes de um polinômio com coeficientes reais é um número complexo, o conjugado desse número complexo também será raiz do polinômio. 
IV. (   ) Raízes múltiplas são as raízes distintas de um determinado polinômio. 
A sequência de V ou F que preenche corretamente as lacunas acima é:
Nota: 10.0
	
	A
	V - F - V - F
Você acertou!
As afirmativas I e III são verdadeiras, pois "se αα é uma raiz, ela satisfaz a equação, ou seja p(α)=0"p(α)=0" e "se um polinômio tiver como raiz um número imaginário, então ele também terá como raiz o conjugado desse número imaginário".
As afirmativas II e IV são falsas, pois "o número de raízes de uma equação polinomial é igual ao número de seu maior grau" e  "raízes que são iguais" são chamadas de raízes múltiplas (livro-base, p. 148-150). 
	
	B
	F - V - F - V
	
	C
	V - V - V - F
	
	D
	F - F - V - V
	
	E
	V - F - F - F
Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas
Para a adição de polinômios é preciso agrupar termos semelhantes.
De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, considere os polinômios p(x)=5x4−5x3+x+1p(x)=5x4−5x3+x+1 e q(x)=2x5+6x4−x3+9q(x)=2x5+6x4−x3+9 e indique o resultado da soma de p(x)p(x) com q(x)q(x).
Nota: 10.0
	
	A
	p(x)+q(x)=2x5+6x4−x3+x+1p(x)+q(x)=2x5+6x4−x3+x+1
	
	B
	p(x)+q(x)=2x5+6x4−6x3+x+9p(x)+q(x)=2x5+6x4−6x3+x+9
	
	C
	p(x)+q(x)=2x5+11x4−5x3+x+10p(x)+q(x)=2x5+11x4−5x3+x+10
	
	D
	p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10
Você acertou!
Para a soma dos polinômios p(x)p(x) e q(x)q(x) fazemos os seguintes cálculos:
p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+(2x5+6x4−x3+9)p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+2x5+6x4−x3+9p(x)+q(x)=2x5+5x4+6x4−5x3−x3+x+1+9p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+(2x5+6x4−x3+9)p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+2x5+6x4−x3+9p(x)+q(x)=2x5+5x4+6x4−5x3−x3+x+1+9p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10
Livro-base, p. 127-146.
	
	E
	p(x)+q(x)=3x5+6x4−6x3+x+103x5+6x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=3x5+6x4−6x3+x+103x5+6x4−6x3+x+10

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