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Questão 1/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Leia o fragmento de texto a seguir: "Em torno do ano 1700 a.C. os babilônios utilizavam tabletes cuneiformes, nos quais escreviam e operavam com o sistema de numeração sexagesimal posicional. Problemas que recaem numa equação de 2º grau já se faziam presentes, como a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e seu produto p." Após essa avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele esta disponível em: RIBEIRO, D. M. A. A. Uma abordagem didática para função quadrática. Dissertação de Mestrado. Disponível em: <http://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/08/22032013Dayse-Maria-Alves-de-Andrade-Ribeiro.pdf>. Acesso em 31 jan 2018. Com base no fragmento de texto acima, e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações quadráticas, analise a seguinte situação e responda o que se pede: O lucro L e o preço x de um certo produto é dada pela expressão L=−2x2+54x−220L=−2x2+54x−220. Para quais valores de x teremos o lucro igual a 84? Nota: 10.0 A 10 e 20 B 5 e 22 C 8 e 19 Você acertou! L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±√1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8L=−2x2+54x−22084=−2x2+54x−220−2x2+54x−304=0x2−27x+152=0Δ=(−27)2−4.1.152=729−608=121x=−(−27)±1212.1x=27±112x1=382=19x2=162=8 (livro-base pp.15-33) D 7 e 49 E 13 e 14 Questão 2/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Leia o seguinte fragmento de texto: "Dizemos que p(x)p(x) é divisível por g(x)g(x) quando o resto da divisão r(x)r(x) é igual a zero. E ainda, se p(x)p(x) é divisível por (x−a)(x−a), então p(a)=0p(a)=0". Fonte: Texto elaborado pelo autor desta questão. Considerando o dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébrica, sobre raízes de polinômios, calcule o valor de kk presente no polinômio: p(x)=−x3+4x2−2x+kp(x)=−x3+4x2−2x+k , sabendo que este polinômio é divisível por g(x)=x−3g(x)=x−3. Nota: 0.0 A k=−2k=−2 B k=2k=2 C k=3k=3 D k=−3k=−3 Conforme o enunciado, se p(x)p(x) é divisível por (x−a)(x−a), então p(a)=0p(a)=0. Temos aqui que p(x)p(x) é divisível por (x−3)(x−3), então p(3)=0p(3)=0. Com isto, −x3+4x2−2x+k=0−x3+4x2−2x+k=0 e, substituindo xx por 33, temos: −(3)3+4(3)2−2(3)+k=0−(3)3+4(3)2−2(3)+k=0 −27+36+6+k=0−27+36+6+k=0 3+k=03+k=0 k=−3k=−3 (livro-base, p. 147-168). E k=4k=4 Questão 3/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Atente para a informação a seguir: "Os polinômios possuem parte literal e coeficientes numéricos e podem ser classificados como monômios, binômios, trinômios ou polinômios. Essas classificações e informações são úteis quando efetuamos operações com expressões algébricas". Texto elaborado pelo autor desta questão. Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre polinômios, analise as afirmativas a seguir, marcando como V as asserções verdadeiras e com F as asserções falsas: I. ( ) Podemos afirmar que −8x2y−8x2y é um binômio, pois há duas variáveis diferentes nessa expressão algébrica. II. ( ) O grau de 5x3y6z35x3y6z3 é 1212. III. ( ) 3m3m e −5m−5m são considerados termos semelhantes, uma vez que possuem a mesma parte literal. IV. ( ) As partes literais de 5z³5z³ e −2z5−2z5 são idênticas, pois a variável é a mesma nos dois monômios. Agora, assinale a alternativa com a sequência correta. Nota: 10.0 A V - V - V - V B V - V - F - F C F - V - V - V D F - F - V - V E F - V - V - F Você acertou! A afirmativa I é falsa, pois a expressão é um monômio, que é "um produto de constante e variável". Pode haver várias variáveis nesse produto. A afirmativa II é verdadeira, pois "o grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal". A afirmativa III é verdadeira, porque "termos são semelhantes quando possuem a mesma parte literal". A afirmativa IV é falsa, porque "os expoentes das variáveis são diferentes". (livro-base, p. 131-133). Questão 4/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Para multiplicação de polinômios é possível utilizar a propriedade distributiva em conjunto com a regra da multiplicação de potências de mesma base, na qual é possível repetir a base e somar os expoentes. De acordo com o exposto acima e com o livro-base Números complexos e equações algébricas, resolva a situação proposta abaixo. Utilizando estas propriedades, calcule p(x).q(x)p(x).q(x) sabendo que p(x)=3x2+2p(x)=3x2+2 e q(x)=7x+2q(x)=7x+2 e, indique a resposta correta para o valor da multiplicação destes dois polinômios. Nota: 10.0 A p(x).q(x)=3x3+6x2+7x+4p(x).q(x)=3x3+6x2+7x+4 B p(x).q(x)=21x2+6x2+7x+4p(x).q(x)=21x2+6x2+7x+4 C p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4 Você acertou! Para fazer os cálculos p(x).q(x)p(x).q(x) deve-se seguir os passos seguintes: p(x).q(x)=(3x2+2)(7x+2)p(x).q(x)=3x2.7x+3x2.2+2.7x+2.2p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4p(x).q(x)=(3x2+2)(7x+2)p(x).q(x)=3x2.7x+3x2.2+2.7x+2.2p(x).q(x)=21x3+6x2+14x+4 Livro-base, p. 127-146 D p(x).q(x)=21x3+6x2+7x+2p(x).q(x)=21x3+6x2+7x+2 E p(x).q(x)=7x3+6x2+7x+2p(x).q(x)=7x3+6x2+7x+2 Questão 5/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Considere os seguintes polinômios: p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12p(x)=3x4−3x2+5q(x)=12x4+5x3−2x2−12 Com base nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre operações com polinômios e considerando os dados apresentados acima, analise as seguintes afirmativas: I. p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7p(x)+q(x)=15x4+5x3−5x2−7 II. p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7p(x)−q(x)=−9x4+5x3−x2−7 III. p(x)+p(x)=6x4−6x2+10p(x)+p(x)=6x4−6x2+10 IV. p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60p(x).q(x)=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60 São corretas apenas as afirmativas: Nota: 10.0 A I e II. B I, II e III. C I e III. D I, III e IV. Você acertou! A afirmativa I é verdadeira, pois somando as partes semelhantes dos polinômios, obtemos 15x4+5x3−5x2−715x4+5x3−5x2−7. A afirmativa II é falsa, porque efetuando a subtração temos: 3x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+173x4−3x2+5−(12x4+5x3−2x2+12)=3x4−3x2+5−12x4−5x3+2x2+12=−9x4−5x3−x2+17 A afirmativa III é verdadeira, pois: 3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10.3x4−3x2+5+3x4−3x2+5=6x4−6x2+10. A afirmativa IV é verdadeira, deve-se utilizar a propriedade distributiva da multiplicação: (3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60(3x4−3x2+5).(12x4+5x3−2x2−12)=36x8+15x7−6x6−36x4−36x6−15x5+6x4+36x2+60x4+25x3−10x2−60=36x8+15x7−42x6−15x5+30x4+25x3+26x2−60 (livro-base, p. 135-136). E II, III e IV. Questão 6/10 - Números Complexos e Equações Algébricas De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas resolva a situação dada abaixo. Um cavalo salta sobre um obstáculo cujo movimento, nesse salto, é descrito pela expressão y=−0,2x2+xy=−0,2x2+x onde as unidades de medida são dadas em metros. Com base nessa afirmação, determine a distância entre o ponto inicial e o ponto final do salto do cavalo. Nota: 10.0 A 3 metros3 metros B 4 metros4 metros C 5 metros5 metros Você acertou! Para resposta ser considerada válida, o aluno deverá responder: A distância entre o ponto inicial e o ponto final do salto corresponde à distância entre as raízes da função y=−0,2x2+xy=−0,2x2+x. Podemos utilizar a fórmula quadrática ou fatorarmos a expressão y=−0,2x2+xy=−0,2x2+x que corresponde a x(−0,2x+1)x(−0,2x+1). Fazendo x(−0,2x+1)=0x(−0,2x+1)=0, temos x=0x=0 ou −0,2x+1=0−0,2x+1=0 −0,2x=−1−0,2x=−1 0,2x=10,2x=1 x=10,2x=10,2 x=5x=5 Logo, as raízes são x1=0x1=0 e x2=5x2=5. A distância d entre elas é dada por d=5−0d=5−0 d onde d=5.d=5. (livro-base, p. 24-28) D 6 metros6 metros E 7 metros7 metros Questão 7/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Atente para a informação abaixo: As equações de quarto grau consideradas biquadradas podemser resolvidas com substituição de variável. Com base na informação lida e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre equações de quarto grau, identifique o conjunto solução para a equação x4−12x2−64=0.x4−12x2−64=0. Nota: 0.0 A S={0,2,6,12}S={0,2,6,12} B S={−4,−2,2,4}S={−4,−2,2,4} C S={−2,2}S={−2,2} D S={−4,4}S={−4,4} Fazemos a mudança de variável: x2=yx2=y Logo, a equação terá a forma: y2−12y−64=0y2−12y−64=0. Resolvemos a equação: Δ=144+256=400y=12±√4002y=12±202y1=16y2=−4Δ=144+256=400y=12±4002y=12±202y1=16y2=−4 Substituindo os valores de y, teremos. Para y=16x2=16x1=4x2=−4y=16x2=16x1=4x2=−4 Para y=−4x2=−4x=∅y=−4x2=−4x=∅ Logo, S={−4,4}S={−4,4} (livro-base, p. 43). E S={ }S={ } Questão 8/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Atente para a seguinte informação: "Uma equação de terceiro grau do tipo ax3+bx2+cx=0ax3+bx2+cx=0 pode ser resolvida a partir da fatoração. Quando a equação possui um termo independente, sendo do tipo ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0, uma outra forma de resolução envolve a suposição de raízes a partir dos múltiplos desse termo independente dd. Quando uma raiz αα encontrada, pode-se determinar as demais dividindo-se ax3+bx2+cx+dax3+bx2+cx+d por x−αx−α". Texto elaborado pelo autor desta questão. Com base na informação acima e nos conteúdos do livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, sabendo que 2 é uma raiz do polinômio x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 determine o conjunto solução da equação x3+2x2−x−14=0x3+2x2−x−14=0. Nota: 0.0 A S={2}S={2} B S={−2−2√3i,−2+2√3i,2}S={−2−23i,−2+23i,2} C S={−4−√122,−4+√122,2}S={−4−122,−4+122,2} D S={−2,0,2}S={−2,0,2} E S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2} Se 2 é raiz do polinômio, dividimos a expressão x3+2x2−x−14x3+2x2−x−14 por x−2x−2. O quociente será x2+4x+7x2+4x+7. Resolvendo a equação x2+4x+7=0x2+4x+7=0, obtemos como raízes −2−√3i e −2+√3i−2−3i e −2+3i. Logo S={−2−√3i,−2+√3i,2}S={−2−3i,−2+3i,2} ( livro-base, p. 147-162). Questão 9/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Leia o fragmento de texto a seguir: "Normalmente no estudo de polinômios tem-se interesse por suas raízes. A raiz de um polinômio P(n) é um número complexo r tal que Pn(r) = 0. Quando uma raiz se repete por m vezes, diz-se que ela é raiz de multiplicidade m. Se m = 1, diz-se, simplesmente, que ela é raiz simples." Após essa avaliação, caso queira ler o texto completo, ele está disponível em: CAMARGO JÚNIOR, I.; BERGAMASCHI, P.R. Uma investigação sobre as raízes de polinômios e aplicação em robôs manipuladores ortogonais 3R. <https://www.researchgate.net/profile/Paulo_Bergamaschi/publication/268290512_UMA_INVESTIGACAO_SOBRE_AS_RAIZES_DE_POLINOMIOS_E_APLICACAO_EM_ROBOS_MANIPULADORES_ORTOGONAIS_3R/links/560e90d108aec422d1117ec6.pdf>. Acesso em 01 fev 2018. Com base no fragmento de texto acima e nos conteúdos sobre Polinômios do Livro-base Números complexos e equações algébricas sobre raízes de polinômios, classifique as afirmações abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). Considere n (grau do polinômio) um número natural. I. ( ) Dado um polinômio p(x)p(x), se aa é raiz de p(x)p(x), então p(a)=0.p(a)=0. II. ( ) Se p(x)p(x) tem grau nn, o polinômio terá no máximo n−1n−1 raízes. III. ( ) Se uma das raízes de um polinômio com coeficientes reais é um número complexo, o conjugado desse número complexo também será raiz do polinômio. IV. ( ) Raízes múltiplas são as raízes distintas de um determinado polinômio. A sequência de V ou F que preenche corretamente as lacunas acima é: Nota: 10.0 A V - F - V - F Você acertou! As afirmativas I e III são verdadeiras, pois "se αα é uma raiz, ela satisfaz a equação, ou seja p(α)=0"p(α)=0" e "se um polinômio tiver como raiz um número imaginário, então ele também terá como raiz o conjugado desse número imaginário". As afirmativas II e IV são falsas, pois "o número de raízes de uma equação polinomial é igual ao número de seu maior grau" e "raízes que são iguais" são chamadas de raízes múltiplas (livro-base, p. 148-150). B F - V - F - V C V - V - V - F D F - F - V - V E V - F - F - F Questão 10/10 - Números Complexos e Equações Algébricas Para a adição de polinômios é preciso agrupar termos semelhantes. De acordo com o livro-base Números complexos e equações algébricas, considere os polinômios p(x)=5x4−5x3+x+1p(x)=5x4−5x3+x+1 e q(x)=2x5+6x4−x3+9q(x)=2x5+6x4−x3+9 e indique o resultado da soma de p(x)p(x) com q(x)q(x). Nota: 10.0 A p(x)+q(x)=2x5+6x4−x3+x+1p(x)+q(x)=2x5+6x4−x3+x+1 B p(x)+q(x)=2x5+6x4−6x3+x+9p(x)+q(x)=2x5+6x4−6x3+x+9 C p(x)+q(x)=2x5+11x4−5x3+x+10p(x)+q(x)=2x5+11x4−5x3+x+10 D p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10 Você acertou! Para a soma dos polinômios p(x)p(x) e q(x)q(x) fazemos os seguintes cálculos: p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+(2x5+6x4−x3+9)p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+2x5+6x4−x3+9p(x)+q(x)=2x5+5x4+6x4−5x3−x3+x+1+9p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+(2x5+6x4−x3+9)p(x)+q(x)=5x4−5x3+x+1+2x5+6x4−x3+9p(x)+q(x)=2x5+5x4+6x4−5x3−x3+x+1+9p(x)+q(x)=2x5+11x4−6x3+x+10 Livro-base, p. 127-146. E p(x)+q(x)=3x5+6x4−6x3+x+103x5+6x4−6x3+x+10p(x)+q(x)=3x5+6x4−6x3+x+103x5+6x4−6x3+x+10
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