Aula 5 Física Ótica Moderna

Prévia do material em texto

FÍSICA- ÓTICA E PRINCÍPIOS DE 
FÍSICA MODERNA 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Bruno André Charneski 
 
 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
No início da física moderna, ainda não se sabia ao certo se a luz era uma 
onda ou uma partícula. Trabalhos importantes, como o do efeito fotoelétrico de 
Einstein, o espalhamento Compton e o estudo dos espectros de difração por 
Bohr, levaram à conclusão de que a luz, assim como a matéria, comporta-se 
como onda e partícula ao mesmo tempo. Além disso, suas energias não são 
contínuas, mas sim quantizadas, ou seja, só podem assumir valores discretos. 
Posteriormente, Schrodinger propôs a equação de onda do elétron e Born 
sugeriu a interpretação probabilística da mecânica quântica. Aliado a esse 
caráter probabilístico, o fato de essa teoria ser estruturada sobre postulados e 
descrever fenômenos estranhos ao nosso senso clássico, infringe certa 
dificuldade na sua interpretação, exigindo maior atenção e esforço para seu 
entendimento. 
Dualidade onda-partícula 
A mecânica quântica explica o comportamento do mundo microscópico. 
Nesse contexto, surgem fenômenos que contariam nosso senso comum, 
esculpido pela mecânica clássica. Além disso, a formulação da mecânica 
quântica se dá, essencialmente, através de postulados, o que torna ainda mais 
difícil sua compreensão. Sendo assim, é interessante conhecer a evolução 
histórica da física moderna, como as dificuldades, as contradições e as ideias 
foram se apresentando ao longo do tempo. Posto isso, começaremos nossa 
abordagem analisando o comportamento dual, de onda e partícula, exibido pela 
luz e pela matéria. 
No século XVII, dois modelos distintos concorriam para explicar o 
comportamento da luz. Christiaan Huygens defendia a ideia de que a luz se 
comportava como uma onda, enquanto Isaac Newton acreditava que a luz era 
uma partícula. Nesta época, ambas as teorias enfrentavam dificuldades, pois, 
para Newton, a velocidade da luz no vidro era maior que sua velocidade no ar. 
Por outro lado, até então, não se observara a difração da luz, fenômeno 
associado às ondas que ratificaria o modelo de Huygens. Devido à influência de 
Newton, sua teoria perdurou por cem anos, até que, no século XVII, Thomas 
Young obteve uma figura de difração da luz através do experimento de dupla 
 
 
3 
fenda. O auge do modelo ondulatório se deu em 1860, quando James Clerk 
Maxwell publicou sua formulação da teoria eletromagnética. Maxwell encontrou 
a velocidade de uma onda eletromagnética (𝑣 = 3 × 108𝑚/𝑠) a partir dos 
conceitos da eletricidade e do magnetismo, indicando que a luz seria essa onda. 
Já em 1905, Albert Einstein explicou o efeito fotoelétrico admitindo que a energia 
proveniente da luz pudesse ser transferida em quantidades discretas. Porém, 
esse comportamento é distinto ao das ondas, que transferem energia de modo 
contínuo. Este trabalho, além de ser um precursor da mecânica quântica, rendeu 
a Einstein o prêmio Nobel de física em 1921. O espalhamento Compton, que 
explica a interação entre a luz e um elétron, também admite o comportamento 
corpuscular da luz. O estudo desse fenômeno foi realizado em 1923 por Arthur 
H. Compton, o qual também lhe rendeu um prêmio Nobel de física. As novas 
ideias acerca do comportamento dual da luz foram estendidas para a matéria e, 
Niels Bohr, em 1913, inspirado no espectro de emissão dos gases, sugeriu que 
a energia interna dos átomos só pode variar de valores discretos e bem 
definidos. Finalmente, em 1924, Louis de Broglie propôs que a matéria exibe 
comportamento de onda e partícula ao mesmo tempo, assim como a luz. Com 
essa sequência histórica podemos notar que o comportamento dual da matéria 
e a discretização da energia são fenômenos característicos da mecânica 
quântica. Vamos verificar adiante, que outras grandezas físicas são quantizadas, 
além disso, veremos que a mecânica quântica tem natureza probabilística, 
diferentemente da mecânica clássica, que é dita, determinística. 
 
TEMA 1: O EFEITO FOTOELÉTRICO 
No efeito fotoelétrico, um raio de luz atinge uma placa de metal e arranca 
um elétron dessa superfície. Isso pode ser comprovado devido ao surgimento de 
uma corrente elétrica indicada pelo amperímetro (figura 5-1). 
Figura 5-1: A bateria estabelece uma diferença de potencial entre as placas. 
Consequentemente, um campo elétrico surge entre elas. O elétron arrancado 
pelo feixe de luz incidente precisa ter energia cinética suficiente para vencer a 
força repulsiva desse campo e chegar à placa coletora. Quando isso ocorre, o 
amperímetro indica a existência de uma corrente elétrica não nula entre as 
placas. 
 
 
4 
 
 
Fonte: https://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/fismod/mod03/m_s03.html 
 
De acordo com nossa intuição sobre o comportamento ondulatório da luz, 
somos levados a crer que aumentando a intensidade da luz aumentaríamos a 
energia cinética do elétron arrancado por ela, contudo, as experiências não 
mostravam isso. Para explicar essa discrepância, Einstein sugeriu que um feixe 
de luz seria constituído por pequenas partículas, cada uma com energia 
5.1.1 𝐸 = ℎ𝑓 =
ℎ𝑐
𝜆
 
(ℎ = 6,626 × 10−34𝐽. 𝑠 = 4,136 × 10−15𝑒𝑉. 𝑠 é a constante de Planck ), 
denominadas fótons. Além disso, a intensidade da luz deveria ser proporcional 
ao número de fótons, de modo que, ao aumentarmos a intensidade de um feixe 
luminoso, aumentamos a quantidade de fótons emitidos e não suas energias. 
Sendo assim, ao variarmos a intensidade da luz incidente em uma placa 
metálica, temos uma variação do número de elétrons arrancados dela, sem 
alterar a energia cinética de cada um. De acordo com a equação 5.1.1, para 
aumentar a energia do fóton e, consequentemente, a energia cinética dos 
elétrons extraídos, devemos diminuir o comprimento de onda da luz. 
De acordo com Einstein, a energia cinética do elétron é dada por 
5.1.2 𝐾máx = (
1
2
𝑚𝑣2)
máx
= ℎ𝑓 − 𝜙 
onde 𝜙 representa a função trabalho, isto é, a energia necessária para extrair o 
elétron da superfície do metal, portanto, cada material possui um 𝜙 específico. 
A energia cinética máxima do elétron pode ser encontrada aumentando 
https://www.if.ufrgs.br/tex/fis142/fismod/mod03/m_s03.html
 
 
5 
lentamente a diferença de potencial entre as placas até que nenhuma corrente 
elétrica seja indicada no amperímetro. Nesse ponto, sabemos que a energia 
cinética do elétron foi completamente convertida em energia potencial elétrica (a 
ideia é semelhante ao lançamento vertical de projéteis), a qual pode ser 
calculada facilmente através da tensão aplicada às placas (𝑈 = 𝑒𝑉0, onde 𝑒 é a 
carga do elétron e 𝑉0 é a tensão). A energia mínima necessária para extrair um 
elétron da superfície do metal define a frequência mínima 𝑓𝑡 (ou comprimento de 
onda máximo 𝜆𝑡) que a luz deve ter para que um elétron seja extraído do material 
e o efeito fotoelétrico ocorra. Note que nesse caso, a energia cinética do elétron 
corresponde exatamente à energia potencial elétrica, portanto, 𝐾máx = 0, o que 
fornece 
5.1.3 𝜙 = ℎ𝑓𝑡 = 
ℎ𝑐
𝜆𝑡
 
 
Exercício 
O comprimento de onda de corte do potássio é 558𝜂𝑚. Qual é a função trabalho 
do potássio? Qual é potencial de corte para uma luz incidente de 400𝜂𝑚? 
 
Resolução 
O comprimento de onda de corte corresponde ao comprimento de onda 
máximo para o qual ocorre o efeito fotoelétrico. Nesse caso, a energia cinética é 
completamente convertida em energia potencial elétrica e a partícula está no 
limiar do retorno. Sendo assim, 𝐾máx = 0, e o resultado 5.1.3 fornece 
𝜙 =
ℎ𝑐
𝜆𝑡
=
6,62 × 10−34 × 3 × 108
558 × 10−9
= 2,22𝑒𝑉 
O potencial de corte define a tensão máxima aplicada às placas para que 
ocorra o efeito fotoelétrico. Assim como no caso anterior, nesse ponto, a energia 
cinética é completamente convertida em energia potencial. A partir 5.1.2 
obtemos 
𝐾máx= ℎ𝑓 − 𝜙 =
ℎ𝑐
𝜆
− 𝜙 =
6,62 × 10−34 × 3 × 108
400 × 10−9
− 2,22 = 0,88𝑒𝑉 
 
 
6 
Tendo em vista a conservação da energia, 𝐾máx = 𝑈ele = 𝑒𝑉0. Portanto, a 
tensão aplicada será 
𝑒𝑉0 = 0,88𝑒𝑉 → 𝑉0 = 0,88𝑉 
 
Espalhamento compton 
O espalhamento Compton descreve o processo de colisão entre um fóton 
e um elétron. Segundo a teoria eletromagnética clássica, quando uma onda 
eletromagnética encontra um meio contendo cargas elétricas, essas cargas 
oscilam e emitem radiação com as mesmas características da onda incidente. 
Por outro lado, Compton (em 1923) observou que, se o espalhamento fosse, na 
verdade, a colisão entre um fóton e um elétron, parte da energia seria absorvida 
pelo elétron e o fóton espalhado teria energia menor que o incidente (figura 5-2). 
De fato, segundo a equação 5.2.1, se há diminuição da energia após a colisão, 
a luz terá menor frequência e maior comprimento de onda. Este resultado está 
de acordo com as medidas experimentais atestando a natureza corpuscular da 
luz. 
Figura 5-2: Espalhamento Compton. Um fóton de comprimento de onda 𝜆 colide 
com um elétron em repouso. O fóton espalhado tem comprimento de onda 𝜆′ 
menor que 𝜆. O elétron recebe parte da energia do fóton, assim, adquire 
velocidade v. 
 
Fonte: http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Fisica-4/Aulas/Aula-19/aula-19.html 
 
TEMA 2: O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO DE BOHR 
A descrição semiclássica do átomo de hidrogênio Bohr resolve, de modo 
brilhante, as dificuldades enfrentadas por outras teorias atômicas, como a de 
Rutherford. Contudo o modelo de Bohr não é capaz de descrever átomos mais 
http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Fisica-4/Aulas/Aula-19/aula-19.html
 
 
7 
complexos, além disso, não há justificativa para seus postulados. Como veremos 
adiante, essas questões foram solucionadas pela mecânica quântica. Sendo 
assim, considere o primeiro postulado de Bohr, a seguir 
Primeiro postulado de Bohr: 
O elétron do átomo de hidrogênio pode se mover apenas em certas 
órbitas circulares, denominadas estados estacionários, nas quais não 
perde energia por radiação. 
De acordo com Bohr, a força de atração elétrica entre cargas positivas e 
negativas mantém o elétron girando em uma órbita circular ao redor do núcleo 
atômico. Sendo assim, esse elétron está sujeito a ação de uma aceleração 
centrípeta. Por outro lado, a teoria eletromagnética clássica prevê que uma 
partícula acelerada emite radiação eletromagnética. Isso implica que o átomo 
seria instável, pois o elétron emitiria radiação, ou seja, perderia energia em seu 
movimento, levando-o a colidir com o núcleo. Assim, com seu primeiro postulado, 
Bohr conseguiu contornar o problema da instabilidade do átomo. 
Segundo postulado de Bohr: 
5.2.1 𝑓 =
𝐸𝑖−𝐸𝑓
ℎ
 
onde ℎ é a constante de Planck e 𝐸𝑖 e 𝐸𝑓 são as energias inicial e final, 
respectivamente, das órbitas ocupadas pelo elétron. 
Quando observamos a figura de difração de alguns gases (figura 5-3), não 
temos um espectro contínuo, mas sim, linhas espaçadas que são características 
de comprimentos de onda bem definidos. Isso indica que quando um átomo 
emite radiação a energia é liberada em valores discretos e não de forma 
contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Figura 5-3: Espectro de difração de alguns gases. 
 
Fonte: http://expquanticaufrj.blogspot.com.br/2014/12/serie-de-balmer.html 
 
Segundo Bohr, o átomo só pode irradiar energia quando um elétron sofre 
a transição de uma órbita permitida para outra. Nesse caso, a frequência da 
radiação emitida é proporcional à diferença das energias entre os estados 
estacionários pelos quais o elétron transita (equação 5.2.1). Note que este 
resultado combina a conservação da energia e a hipótese de Einstein de que a 
luz é um fóton cuja energia é dada pela equação 5.1.1. 
Antes de analisarmos o terceiro postulado de Bohr, faremos alguns 
comentários acerca da energia de um elétron (carga – 𝑒, sendo 𝑒 = 1,602 ×
10−19𝐶) que orbita um núcleo positivo formado por 𝑍 partículas (carga total +𝑍𝑒). 
De acordo com o eletromagnetismo, a energia potencial associada a esse elétron 
será 
5.2.2 𝑈 = 
𝑘𝑞1𝑞2
𝑟
= 
𝑘(𝑍𝑒)(−𝑒)
𝑟
= −
𝑘𝑍𝑒2
𝑟
 
onde 𝑘 = 8,987 × 109 𝑁𝑚2 𝐶2⁄ é a constante de Coulomb. Além disso, a segunda 
lei de Newton aplicada ao elétron diz que a força elétrica (𝐹𝑒 = 
𝑘𝑞1𝑞2
𝑟2
) deve ser 
igual à força centrípeta (𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚
𝑣2
𝑟
), o que resulta 
5.2.3 
𝑘𝑍𝑒2
𝑟2
= 𝑚
𝑣2
𝑟
 
Com isso, a energia cinética do elétron pode ser escrita como 
5.2.4 𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 =
1
2
𝑘𝑍𝑒2
𝑟
 
http://expquanticaufrj.blogspot.com.br/2014/12/serie-de-balmer.html
 
 
9 
Observe que 𝑈 = −2𝐾, assim, a energia total do elétron será dada por 
5.2.5 𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = −
1
2
𝑘𝑍𝑒2
𝑟
 
Combinando esse resultado com a equação 5.2.1 podemos reescrever o 
segundo postulado de Bohr, isto é, 
5.2.6 𝑓 =
𝐸𝑖−𝐸𝑓
ℎ
=
1
2
𝑘𝑍𝑒2
ℎ
(
1
𝑟𝑓
−
1
𝑟𝑖
) 
 
 
 
Terceiro postulado de Bohr: 
5.2.7 𝑟𝑚𝑣 = 
𝑛ℎ
2𝜋
= 𝑛ℏ, 𝑛 = 1,2, … 
Neste postulado, Bohr assume que o momento angular do elétron em uma 
órbita estável (�⃗� = 𝑟 × 𝑝 , no nosso caso 𝐿 = 𝑟𝑚𝑣), corresponde a quantidades 
inteiras de ℏ (obviamente, ℏ = ℎ 2𝜋⁄ ). 
Outro resultado importante pode ser obtido se igualarmos as velocidades 
das equações 5.2.4 e 5.2.7, ou seja 
5.2.8 
𝑛2ℏ2
𝑚2𝑟2
=
𝑘𝑍𝑒2
𝑚𝑟
 
Logo, os raios das órbitas de Bohr serão dados por 
5.2.9 𝑟 =
𝑛2ℏ2
𝑚𝑘𝑍𝑒2
=
𝑛2𝑎0
𝑍
 
onde 𝑎0 ≈ 0,0529𝜂𝑚 é o primeiro raio de Bohr. Observe que assim como o 
momento angular (equação 5.2.7), o raio das órbitas também é quantizado e não 
pode assumir qualquer valor. Podemos substituir o resultado 5.2.9 na equação 
da energia, 5.2.5, o que fornece 
5.2.10 𝐸𝑛 = −
𝑚𝑘2𝑒4
2ℏ2
𝑍2
𝑛2
= −
𝑍2𝐸0
𝑛2
, 𝑛 = 1,2, … 
tal que 𝐸0 ≈ 13,6𝑒𝑉. O resultado acima, que demonstra a quantização da 
energia, está de acordo com o primeiro postulado de Bohr e com as imagens de 
 
 
10 
difração obtidas para os gases, como pode ser visto na figura 5-3 (as linhas de 
difração estão associadas a comprimentos de onda e energias bem específicos, 
isto é, não temos um espectro contínuo, o que aconteceria somente se não 
houvesse a quantização das grandezas físicas). 
Para encontrar os níveis de energia permitidos para o átomo de hidrogênio 
tomamos 𝑍 = 1 na equação 5.2.10. A energia mais baixa, ou seja, a energia do 
estado fundamental do átomo de hidrogênio é obtida quando 𝑛 = 1, resultando 
𝐸1 = −13,6𝑒𝑉. Por outro lado, quando 𝑛 → ∞, 𝐸 → 0, que é o estado de maior 
energia. Para ionizar o átomo de hidrogênio, ou seja, remover seu único elétron, 
devemos fornecer energia suficiente para romper a ligação elétrica entre o 
elétron e o núcleo. Assim, a energia de ionização do átomo de hidrogênio 
corresponde à energia do estado fundamental, isto é, 13,6𝑒𝑉. 
Exercício 
A série de Lyman descreve transições possíveis do átomo de hidrogênio que 
envolvem o estado fundamental. Sabendo que 𝐸1 = −13,6𝑒𝑉, 𝐸2 = −3,4𝑒𝑉,
𝐸3 = −1,51𝑒𝑉, 𝐸4 = −0,85𝑒𝑉, encontre o maior comprimento de onda existente 
na série. 
Resolução 
Tendo em vista que o comprimento de onda e a energia são inversamente 
proporcionais, podemos concluir que a menor variação de energia fornecerá o 
maior comprimento de onda. De acordo com 5.2.1 
𝑓 =
𝑐
𝜆
=
𝐸2 − 𝐸1
ℎ
→
3 × 108
𝜆
=
−3,4 − (−13,6)
6,62 × 10−34
→ 𝜆 = 121,6𝜂𝑚 
 
TEMA 3: MECÂNICA QUÂNTICA 
Vimos anteriormente que amatéria, assim como a luz, exibe 
comportamento dual. Sendo assim, um elétron, por exemplo, também produz 
uma figura de difração. Da mesma forma que a luz obedece uma equação de 
onda, a função de onda associada ao elétron (𝜓) satisfaz a equação de 
Schrodinger 
5.3.1 𝑖ℏ
𝜕𝜓
𝜕𝑡
= �̂�𝜓 
 
 
11 
onde �̂� é um operador diferencial escrito a partir da energia do sistema. 
Demonstrar sua obtenção está fora do nosso escopo, sendo assim, 
empregaremos diretamente o resultado expandido. Com isso, a equação de 
Schrodinger, em uma dimensão, será dada por 
5.3.2 −
ℏ2
2𝑚
𝜕2𝜓(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2
+ 𝑈𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
 
onde 𝑈 é a energia potencial. Embora 5.3.2 seja uma equação de onda, ela é 
diferente da equação de onda clássica, tendo em vista que exibe derivadas 
espaciais e temporais de ordens distintas, além disso, contém o número 
imaginário 𝑖. De modo semelhante, a função de onda que satisfaz 5.3.2 é 
incomum, pois não é uma função mensurável, de fato, pode nem ser uma função 
real. Na mecânica quântica, empregamos essas soluções para calcular a 
probabilidade de encontrar a partícula em um certo local, por exemplo. Esta é 
uma das principais características dessa teoria: 
A mecânica quântica é uma teoria probabilística. 
Dizemos que a mecânica clássica é determinística, isto é, conhecendo a 
posição e a velocidade de uma partícula num dado momento, podemos 
determinar seu movimento nos instantes posteriores. A mecânica quântica, por 
outro lado, é probabilística. Não somos capazes de informar, exatamente, o valor 
da posição ou momento de uma partícula, somente a probabilidade de ela estar 
em determinado lugar ou a probabilidade de ela ter uma certa velocidade. 
A energia potencial em 5.3.2 determina a forma da função de onda 𝜓. 
Uma grande simplificação ocorre se 𝑈 for independente do tempo, onde teremos 
uma onda estacionária. Nesse caso, podemos separar a equação de 
Schrodinger em uma parcela dependente e outra independente do tempo. Sendo 
assim, a função de onda estacionária que satisfaz 5.3.2, será 
5.3.3 Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒−𝑖⍵𝑡 
Substituindo o resultado acima no lado direito de 5.3.2, obtemos 
5.3.4 𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑖ℏ(−𝑖⍵)𝜓(𝑥)𝑒−𝑖⍵𝑡 = ℏ⍵𝜓(𝑥)𝑒−𝑖⍵𝑡 = 𝐸𝜓(𝑥)𝑒−𝑖⍵𝑡 
Empregando o resultado acima podemos reescrever 5.3.2, de fato 
 
 
12 
5.3.5 −
ℏ2
2𝑚
𝑑2𝜓(𝑥)
𝑑𝑥2
+ 𝑈(𝑥)𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) 
Para calcular as energias permitidas de um sistema usaremos a equação 
de Schrodinger independente do tempo (equação 5.3.5). A probabilidade de 
transição de um nível de energia para outro é obtida através da equação de 
Schrodinger dependente do tempo, contudo não faremos isso nesse contexto. 
Para compreender melhor a aplicação e interpretação desses resultados 
vamos estudar o caso do poço quadrado infinito, figura 5-4. 
 
Figura 5-4: Representação gráfica de um poço quadrado infinito. As paredes do 
poço são representadas por potenciais infinitos, assim, a partícula fica confinada 
em uma certa região do espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse problema, uma partícula está confinada em uma região do espaço, 
a qual é definida pela energia potencial a seguir 
5.3.6 
𝑈(𝑥) = 0, 0 < 𝑥 < 𝐿
𝑈(𝑥) = ∞, 𝐿 < 𝑥 < 0 
 
Para o lado externo do poço, 𝜓(𝑥) = 0, tendo em vista que a partícula não 
pode sair da caixa. Com isso, a equação de Schrodinger independente do tempo, 
no interior do poço, será dada por 
5.3.7 −
ℏ2
2𝑚
𝑑2𝜓(𝑥)
𝑑𝑥2
= 𝐸𝜓(𝑥) 
5.3.8 
𝑑2𝜓(𝑥)
𝑑𝑥2
= −
2𝑚𝐸
ℏ2
𝜓(𝑥) = −𝑘2𝜓(𝑥) 
 
 
13 
onde fizemos 
5.3.9 𝑘2 =
2𝑚𝐸
ℏ2
. 
A solução geral da equação 5.3.8 tem a forma 
5.3.10 𝜓(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 + 𝐵 cos 𝑘𝑥 
Podemos determinar as constantes 𝐴 e 𝐵 de 5.3.10, bem como as 
constantes de soluções associadas a outras classes de potenciais, através das 
condições de contorno aplicadas às funções de onda. Nesse caso, a função 
5.3.10 deve satisfazer a condição 𝜓(0) = 𝜓(𝐿) = 0, isto é, a função de onda deve 
ser nula nas extremidades do poço. Com isso, teremos 
5.3.11 𝜓(0) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝑘0) + 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝑘0) = 0 + 𝐵 
o que implica que 𝐵 = 0. De modo semelhante, a condição de contorno aplicada 
ao outro extremo da caixa fornece 
5.3.12 𝜓(𝐿) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝐿 = 0 
Para que essa exigência seja satisfeita, o argumento da função seno, 𝑘𝐿, 
deve ser um múltiplo inteiro de 𝜋, isto é, 
5.3.13 𝑘𝑛 = 𝑛
𝜋
𝐿
, 𝑛 = 1,2,3, … 
Substituindo este resultado em 5.3.9 obtemos os valores associados à 
quantização da energia, de fato 
5.3.14 𝐸𝑛 =
ℏ2𝑘𝑛
2
2𝑚
=
ℏ2
2𝑚
(𝑛
𝜋
𝐿
)
2
= 𝑛2 (
ℎ2
8𝑚𝐿2
) = 𝑛2𝐸1 
Note que as condições de contorno, além de determinar as constantes da 
função de onda, são responsáveis pela quantização da energia. Assim, o 
resultado geral 5.3.10 se reduz a equação 
5.3.15 𝜓𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛 𝑠𝑒𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 
Finalmente, a constante 𝐴𝑛 será determinada adiante pela condição de 
normalização, a qual está associada à probabilidade de encontrar a partícula em 
qualquer ponto do espaço. 
 
 
14 
Vimos anteriormente que a função de onda não fornece resultados 
observáveis, de fato, ela pode até mesmo conter um número imaginário. Para 
extrairmos quantidades físicas da função de onda devemos considerar a 
densidade de probabilidade, uma grandeza real, dada por 
5.3.16 𝑃(𝑥, 𝑡) = |Ψ(𝑥, 𝑡)|2 = Ψ∗Ψ 
Com isso, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma certa região 
do espaço, 𝑑𝑥, será 
5.3.17 𝑃(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = |Ѱ(𝑥, 𝑡)|2𝑑𝑥 = Ѱ∗Ѱ 𝑑𝑥 
Para que os valores de probabilidade encontrados sejam coerentes, 
devemos empregar a condição de normalização. Esta imposição estabelece que 
a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço é de cem 
por cento, ou seja 
5.3.18 ∫ |Ѱ|2
∞
−∞
𝑑𝑥 = 1 
Voltando à função de onda 5.3.15 do nosso exemplo, teremos a seguinte 
condição normalização 
5.3.19 ∫ |𝜓𝑛|
2𝐿
0
𝑑𝑥 = 1 
o que resulta na constante 𝐴𝑛 = √2 𝐿⁄ . Assim, a função de onda que descreve 
uma partícula no interior de um poço infinito de potencial é dada por 
5.3.20 𝜓𝑛(𝑥) = √2 𝐿⁄ 𝑠𝑒𝑛 
𝑛𝜋𝑥
𝐿
 
Os valores de 𝑛 em 5.3.13, encontrados pela imposição da condição de 
contorno, definem a forma da função de onda e, consequentemente, a 
probabilidade de encontrar a partícula em uma determinada região da caixa, 
como pode ser visto na figura 5-5a e 5-5b. Além disso, a equação 5.3.14 e a 
figura 5-5c, nos dizem que, quanto maior o valor de 𝑛, maior o valor da energia. 
 
Figura 5-5: (a) Funções de onda de uma partícula em uma caixa, para os casos 
𝑛 = 1, 𝑛 = 2, 𝑛 = 3. (b) Densidades de probabilidade correspondentes às 
 
 
15 
funções de onda do item (a). (c) Energias associadas aos valores 𝑛 = 1, 𝑛 =
2, 𝑛 = 3, 𝑛 = 4, 𝑛 = 5, de baixo para cima) 
 
Fonte: http://www.if.ufrgs.br/~marcia/MQ_aula4.pdf 
 
Com o propósito de tornar mais clara a interpretação probabilística dos 
resultados da mecânica quântica, convém realizar alguns cálculos e comparar 
os resultados obtidos com os gráficos da figura 5-5. Sendo assim, vamos 
começar determinando a probabilidade de encontrar uma partícula no poço de 
potencial no intervalo entre 0,45𝐿 e 0,55𝐿 (a) no primeiro estado excitado, (b) no 
segundoestado excitado e (c) no terceiro estado excitado. 
Tendo em vista que essa é a região central do poço, de acordo com as 
figuras 5-5(a) e 5-5(b), esperamos obter uma probabilidade alta para 𝑛 = 1 e 𝑛 =
3 e baixa para 𝑛 = 2. Considere então, a função de onda 5.3.20 com os 
respectivos 𝑛’s. Além disso, note que os limites da integração da densidade de 
probabilidade devem estar de acordo com o intervalo estabelecido pelo 
problema. Com isso, para 𝑛 = 1, teremos 
𝑃1 = ∫ |𝜓1|
2
0,55𝐿
0,45𝐿
𝑑𝑥 =
2
𝐿
∫ 𝑠𝑒𝑛2 (
𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
0,55𝐿
0,45𝐿
=
2
𝐿
∫
1
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋𝑥
𝐿
))𝑑𝑥
0,55𝐿
0,45𝐿
=
2
𝐿
∫
1
2
(1 − 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋𝑥
𝐿
))𝑑𝑥 =
0,55𝐿
0,45𝐿
1
𝐿
(𝑥 −
𝐿
2𝜋
 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋𝑥
𝐿
))|0,45𝐿
0,55𝐿
 
 
= (0,55 −
1
2𝜋
 𝑠𝑒𝑛(2𝜋. 0,55)) − (0,45 −
1
2𝜋
 𝑠𝑒𝑛(2𝜋. 0,45)) = 0,599 − 0,401
= 0,198 = 19,8% 
 
http://www.if.ufrgs.br/~marcia/MQ_aula4.pdf
 
 
16 
De modo semelhante, para 𝑛 = 2: 
𝑃2 =
2
𝐿
∫ 𝑠𝑒𝑛2 (
2𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
0,55𝐿
0,45𝐿
=
1
𝐿
(𝑥 −
𝐿
4𝜋
 𝑠𝑒𝑛 (
4𝜋𝑥
𝐿
)) |0,45𝐿
0,55𝐿 = 0,006 = 0,6% 
 
Para 𝑛 = 3: 
𝑃3 =
2
𝐿
∫ 𝑠𝑒𝑛2 (
3𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
0,55𝐿
0,45𝐿
=
1
𝐿
(𝑥 −
𝐿
6𝜋
 𝑠𝑒𝑛 (
6𝜋𝑥
𝐿
)) |0,45𝐿
0,55𝐿 = 0,186 = 18,6% 
 
Observe que os resultados estão de acordo com o que esperávamos. 
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula no segundo estado 
excitado, entre 0 e 0,5𝐿? De acordo com a figura 5-5(b), a probabilidade de 
encontrar a partícula metade esquerda da caixa deve ser de 50%. A partir do 
cálculo direto obtemos 
𝑃2 =
2
𝐿
∫ 𝑠𝑒𝑛2 (
2𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
0,5𝐿
0
=
1
𝐿
(𝑥 −
𝐿
4𝜋
 𝑠𝑒𝑛 (
4𝜋𝑥
𝐿
)) |0
0,5𝐿 = 0,5 = 50% 
 
Analogamente, a probabilidade de encontrar a partícula no terceiro estado 
excitado em cada terço da caixa é de aproximadamente 33%. 
TEMA 4: O EFEITO TÚNEL 
Considere a abordagem clássica da seguinte situação, uma partícula de 
massa 𝑚 se desloca horizontalmente com velocidade 𝑣. Sabemos, portanto, que 
existe uma energia cinética 𝐾 associada a ela. Durante sua trajetória a partícula 
encontra uma barreira de potencial 𝑈0, isto é, uma rampa de altura ℎ (𝑈0 = 𝑚𝑔ℎ). 
Se 𝐾 for maior que 𝑈0, a partícula transpõe a rampa e continua seu caminho 
horizontal com energia total 𝐸 = 𝐾 − 𝑈0. Por outro lado, se 𝐾 for menor que 𝑈0, 
o objeto sobe uma parte da rampa, fica momentaneamente em repouso (𝐸 = 𝑈0) 
e retorna, rampa abaixo, até alcançar novamente o trecho horizontal inicial, onde 
sua energia será 𝐸 = 𝐾. Sendo assim, a partícula nunca conseguirá transpor a 
 
 
17 
barreira se 𝐾 < 𝑈0. Por outro lado, do ponto de vista da mecânica quântica, isto 
é possível. Esse fenômeno recebe o nome de efeito túnel. 
Para descrever a penetração de barreiras, vamos admitir que uma 
partícula com energia 𝐸 incide em uma barreira de potencial de largura 𝑎 e altura 
𝑈0, ligeiramente maior que 𝐸 (figura 5-6a), isto é, 
5.4.1 
𝑈(𝑥) = 0, 𝑥 < 0
𝑈(𝑥) = 𝑈0, 0 < 𝑥 < 𝑎
𝑈(𝑥) = 0, 𝑥 > 𝑎
 
Nesse caso, a equação de Schrodinger deve ser solucionada em cada 
uma das três regiões e então, as soluções são conectadas através das 
condições de continuidade nas extremidades da barreira. A solução das 
equações livres, onde o potencial é nulo, é idêntica ao resultado geral 5.3.10. 
Em contrapartida, no interior da barreira, teremos 
5.4.2 
𝑑2𝜓(𝑥)
𝑑𝑥2
=
2𝑚
ℏ2
(𝑈0 − 𝐸)𝜓(𝑥) = 𝑎
2𝜓(𝑥) 
cuja solução tem a forma 
 
5.4.3 𝜓(𝑥) = 𝐶𝑒−𝛼𝑥 
Analisando esses resultados podemos ver que uma partícula que vem da 
esquerda, seguindo por uma região livre, é descrita por uma função senoidal. 
Contudo, ao penetrar na região de potencial, ocorre um decaimento exponencial 
da amplitude da onda. Finalmente, após atravessar a barreira, a onda ressurge 
novamente como uma senoide (figura 5-6b). Isso implica que existe uma 
probabilidade finita de encontrar a partícula após a barreira de potencial, 
contrariando os resultados da mecânica clássica. 
 
 
18 
 
Figura 5-6: (a) Barreira de potencial de altura 𝑈0 ligeiramente maior que a energia 
𝐸 da partícula. (b) Representação de uma partícula que incide da esquerda para 
direita. Parte da onda é refretada e atravessa a barreira de potencial.) 
Um exemplo de aplicação muito interessante do fenômeno de penetração 
de barreiras se dá na construção dos microscópios de tunelamento. Nesses 
aparelhos, uma sonda com uma ponta muito fina mapeia a superfície da amostra. 
Entre a sonda e o material, existe uma diferença de potencial, a qual estabelece 
uma corrente elétrica que é muito sensível à distância entre eles. Sendo assim, 
mantendo a corrente de tunelamento constante, podemos mapear os contornos 
da superfície do material. Uma das principais dificuldades encontradas na 
fabricação dos microscópios de tunelamento está associada ao tamanho da 
sonda, a qual determina a resolução do aparelho. Atualmente somos capazes 
de produzir ponteiras com raio da ordem de micrometros, o que corresponde à 
mil vezes o tamanho atômico, ou seja, o aparelho não possui qualquer resolução. 
Contudo, por mais polida que pareça a sonda, ainda existem imperfeições 
microscópicas, as quais são empregadas como minipontas, proporcionando uma 
melhor resposta. Outro problema enfrentado se deve ao controle da posição da 
sonda, tendo em vista que, para medir algo tão pequeno, são necessários 
movimentos muito sutis. Essa dificuldade foi sanada com o uso de cerâmicas 
piezoelétricas, cujas dimensões sofrem variações nanométricas quando sujeitas 
a aplicação de alguns volts. 
 
 
19 
 
TEMA 5: PRINCÍPIO DA INDETERMINAÇÃO DE HEISENBERG 
Segundo a mecânica newtoniana, conhecendo a posição inicial de um 
corpo, sua velocidade e as forças às quais ele está sujeito, somos capazes de 
descrever sua trajetória. Por outro lado, do ponto de vista da mecânica quântica, 
não podemos determinar completamente a posição e a velocidade de uma 
partícula, pois o processo de medida em si altera a configuração do sistema. 
Imagine que você está em uma sala escura e uma bola de basquete é lançada 
obliquamente, tendo seu percurso parabólico registrado por uma câmera 
fotográfica em vários instantes. Ao tirar uma foto, um flash de luz é emitido. A luz 
é refletida pela bola e então retorna à câmera registrando sua imagem. Nesse 
caso, podemos determinar com precisão o percurso da bola, porque a interação 
entre a ela e o processo de medida (interação da bola com a luz) é insignificante 
e não afeta seu percurso. Contudo, quando tentamos medir a posição de um 
elétron, lançando “luz” (radiação) sobre ele, ocorre um espalhamento, alterando 
completamente sua posição e velocidade. Seria como tentar medir a posição da 
bola de basquete lançando um balde de água sobre ela, em vez de um feixe de 
luz. 
Essa é uma característica marcante da mecânica quântica denominada 
como “o princípio da indeterminação de Heisenberg” e constitui um dos pilares 
da mecânica quântica. Podemos enunciar essa importante premissa da teoria 
quântica da seguinte maneira: 
“É impossível determinar, ao mesmo tempo, com precisão arbitrária, 
a posição e o momento de uma partícula”. 
O princípio da incerteza pode ser descrito matematicamente através da 
relação 
5.5.1 ∆𝑥∆𝑝 ≥
ℏ
2
 
tal que as grandezas que obedecem esse tipo de relação, como a posição e o 
momento, são ditas canonicamente conjugadas. Além disso, podemos notar 
que, quanto maior a precisão na medida da posição, menor será a precisão do 
momento, sendo ℏ 2⁄ o valor mínimo do produto dos desvios padrões das 
medidas. 
 
 
20 
Exercício 
Um corpo com 1𝜇𝑔 de massa está se movendo com uma velocidade de 1𝑐𝑚/𝑠. 
Se a velocidade do corpo é conhecida com uma indeterminação de 1%, qual é a 
ordem de grandeza da indeterminação mínima da sua posição? 
Resolução 
O momento da partícula será 
𝑝 = 𝑚𝑣 = 10−9 × 10−2 = 10−11𝑘𝑔𝑚/𝑠Tendo em vista que a indeterminação na velocidade é de 1%, a 
indeterminação no momento será 
∆𝑝 = 𝑝 × 0,01 = 10−13𝑘𝑔𝑚/𝑠 
Empregando o principio da indeterminação de Heisenberg, equação 5.5.1, 
teremos a inderteminação mínima na posição 
∆𝑥∆𝑝 ≥
ℏ
2
→ ∆𝑥 × 10−13 ≥
1,05 × 10−34
2
→ ∆𝑥 ≥ 10−21𝑚 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula vimos algumas das dificuldades encontradas pela física 
clássica na descrição de certos fenômenos físicos, o que motivou o 
desenvolvimento de um novo ramo da física, a mecânica quântica. Aprendemos 
que esta é uma teoria probalística e empregamos essa abordagem no estudo de 
um poço de potencial infinito e finito, o qual é utilizado, em particular, no estudo 
do efeito túnel. Além disso, discutimos o princípio da indeterminação de 
Heinsenberg, que expressa um limite máximo para a precisão das medidas dos 
observáveis. 
 
BIBLIOGRAFIA 
PAUL A. TIPLER, Física. 4ª ed. vol. 2 LTC, 2000. 
Paul A. Tipler e Ralph A. Llewellyn, Física Moderna. 3ª ed. LTC, 2001.