Lista4Fis403-202001

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4a Lista de Problemas de Fis403
— Física Geral III —
IFQ/UNIFEI 1o Semestre de 2020
Questões
1) Quais são os vetores que comparecem na equação F = qv×B que formam sempre pares ortogonais
entre si? Quais são os que não precisam ser sempre ortogonais?
2) Imagine que você está sentado numa sala com as costas voltadas para uma parede da qual emerge
um feixe de elétrons que se move horizontalmente na direção da parede em frente. Se o feixe de elétrons
for desviado para sua direita, qual será a direção e o sentido do campo magnético existente na sala?
3) Se um elétron não sofre desvio algum ao atravessar uma certa região do espaço, podemos afirmar que
não existe campo magnético nessa região?
4) A equação τ= m×B mostra que não existe torque atuando sobre uma espira de corrente quando seu
eixo faz um ângulo de a) 0◦ ou b) 180◦ com o campo magnético externo. Discuta a natureza do equilíbrio
(se é estável, indiferente ou instável) para cada uma dessas posições.
Problemas
1) Mostre como as leis de Kirchhoff das malhas e dos nós (das tensões e correntes) têm suas origens
na teoria eletromagnética. Explique as condições a que elas se aplicam e quais as aproximações usual-
mente adotadas nas suas aplicações práticas, bem como os limites de validade dessas aproximações.
2) A corrente que flui através da seção reta de um condutor é dada por I = I0 +at . Determine:
a) a expressão da carga que atravessa a seção reta.
b) O valor da carga para t = 1s e para t = 10s, sabendo-se que I0 = 2A, a = 0,04A/s e t é dado em
segundos. Resp: a) q = I0t +0,5at 2, b) 2,02C e 22C
3) Um cilindro muito longo de raio R carregado gira com velocidade angular ω constante ao redor de
seu eixo, que coincide com o eixo z. Determine a corrente que ele produz sobre uma região retangular
definida por R/2 < y < 2R e 0 < z < ` quando estiver carregado com a) uma carga superficial uniforme
de densidade σ; b) uma carga volumétrica de densidade ρv = ρ0ρ/R.
Resp: a) I =σωR`, b) I = 7ρ0ωR2`/24.
4) Considere uma distribuição uniforme de cargas elétricas de densidade volumétrica constante ρ. De-
termine a intensidade da corrente elétrica que flui através da superfície de uma esfera imaginária de
raio a, quando o raio da esfera varia de acordo com:
a) a(t ) = αt b) a(t ) = α(t0 − t ) c) a(t ) = a0(1 − cosωt ). Resp: a) I = −4πρα3t 2 b) I =
4πρα3(t0 − t )2 c) I =−4πρa03ωsenωt (1−cosωt )2.
5) Numa região do espaço existe uma corrente cuja densidade é dada por J =αz ẑ , onde α é uma cons-
tante. Sendo Q a carga total contida na esfera r = R, determine dQ/d t . Resp: −4παR3/3
6) Um capacitor cilíndrico de comprimento L muito grande, cujos cabos coaxiais possuem raios a e b
(b > a), é preenchido por um dielétrico imperfeito de permissividade ² e condutividade g . Quando se
aplica ao capacitor uma ddp, existirá assim uma corrente I fluindo radialmente entre as placas. Deter-
mine a relação entre a condutância G e a capacitância C deste dispositivo. (A condutância é definida
como sendo o inverso da resistência, ou seja, a razão entre a corrente que flui entre dois pontos pela
ddp aplicada entre os mesmos). Resp: G = g
²
C = 2πg L
ln ba
.
7) A relação que você determinou no exercício anterior é válida em geral para condensadores de qual-
quer formato com dielétricos imperfeitos. Prove esta afirmativa e utilize a relação para determinar a
corrente de fuga, em função da ddp aplicada, nos seguintes dispositivos:
a) capacitor de placas planas paralelas; b) capacitor esférico.
Suponha conhecidas as respectivas dimensões. Resp: a) I = g A
d
V b)I = 4πg baV
b −a
8) O espaço entre duas placas planas perfeitamente condutoras de área A que coincidem com os planos
z = 0 e z = d , é preenchido por um material de condutividade não uniforme dada por g = g0
p
1+ z/d .
Uma ddp V0 é aplicada entre elas, sendo a de maior potencial aquela em z = d . Desprezando quais-
quer efeitos de borda, determine: a) a corrente elétrica; b) o campo elétrico; c) a resistência elétrica do
dispositivo. Resp: R = 2(p2−1)d/(g0 A), E =−ẑ(
p
2+1)V0/(2
√
d2 +d z)
9) Um material condutor de espessura h e condutividade g possui a forma de um quarto de uma arruela
de raios interno e externo respectivamente a e b. Determine a resistência entre as suas faces retangula-
res. Resp: R = π
2g h ln(b/a)
10) Determine a resistência de um tronco de cunha cônica definida por R1 ≤ r ≤ R2 e 0 ≤ θ ≤ θ0, entre as
faces r = R1 e r = R2. O material possui condutividade g uniforme. Resp: R2 −R1
4πg R1R2 sen2
θ0
2
11) Um feixe de elétrons de energia K é produzido por um acelerador. A uma distância d da janela
de saída do acelerador e perpendicular à direção do feixe, coloca-se uma placa metálica. Determine o
valor mínimo do campo magnético que devemos aplicar na região para impedir que os elétrons atinjam
a placa. Como deve estar orientado o vetor B? Considere conhecidas a massa m e a carga e do elétron.
Resp: Bmin =
(
2mK
e2d2
)1/2
12) Uma partícula neutra instável encontra-se em repouso num laboratório onde existe um campo mag-
nético uniforme de módulo B . No instante t = 0 a partícula decai em duas de mesma massa m. Uma
delas tem carga +q e se desloca num plano ortogonal ao de B.
a) Qual a carga da outra partícula?
b) Qual a direção e o sentido da velocidade da segunda partícula relativamente à primeira?
c) Depois de quanto tempo elas colidem? Resp: a) −q b) −v c) πm
qB
13) Um pósitron de 4,5 keV penetra num região de campo magnético uniforme de 0,10T fazendo um
ângulo de 80◦ com o vetor B.
a) Mostre que a trajetória será uma hélice com eixo na direção de B.
b) Determine o período de rotação do pósitron, o passo p e o raio r da hélice.
Resp: b) T = 3,6.10−10 s, p = 2,5mm, r = 2,3mm
14) Um quadrado de lado a delimita uma região de campo magnético de intensidade B , perpendicular
ao plano do papel. Nela penetram três partículas de mesma massa m com
a mesma energia cinética, descrevendo as trajetórias mostradas na figura ao
lado, sendo que duas delas são arcos de circunferência. A partícula que des-
creve a trajetória de raio a/2 possui carga q =+e, onde e é a carga elementar.
Determine:
a) O sentido do campo magnético.
b) O valor das outras duas cargas em função de e, explicitando o sinal. Resp: a) B
entrando no plano do papel. b) q2 = 0, q3 =−2e.
2
a/2
a/4
1
3
15) São dados um plano infinito carregado com uma densidade superficial de cargas uniforme σ e um
fio retilíneo infinito percorrido por uma corrente estacionária I , paralelo ao plano e a uma distância d
deste. Um elétron percorre uma trajetória retilínea paralelamente ao fio, contida num plano perpen-
dicular ao plano eletrizado e que contem o fio, a meio caminho entre o condutor e o plano eletrizado.
Desprezando qualquer efeito gravitacional, determine a velocidade do elétron (módulo e sentido relati-
vamente à corrente I ). Dica: utilize o resultado obtido em sala para o campo de um fio retilíneo infinito.
Resp: v = πσd
2²0µ0I
, sentido oposto ao da corrente no fio.
16) Uma calha semicircular muito longa possui seção reta em forma de um anel semicircular de raio R
e espessura desprezível. Ela é percorrida longitudinalmente por uma corrente I distribuída uniforme-
mente, que retorna por um fio retilíneo igualmente longo que coincide com o eixo da calha. Determine
a força de interação por unidade de comprimento entre a calha e o fio. Resp: Repulsão de µ0I
2
π2R
ao longo do eixo de
simetria da calha.
17) A um fio condutor de comprimento L = 10m é dada a forma de uma espiral logarítmica e disposto
de tal forma que, num determinado sistema de coordenadas, sua equação é descrita por ρ = e2ϕ, em
coordenadas cilíndricas, no plano z = 0. O condutor é percorrido por uma corrente de 5,0A.
a) Determine a força que atua sobre o fio, se na região existir um campo magnético externo B = ẑ 2,5G.
b) Determine o campo magnético produzido pelo fio na origem do sistema de coordenadas. Resp: a)
F = (1,13 x̂ −0,38 ŷ)10−2 N
18) A figura ao lado mostra um fio condutor formado por dois segmentos retilíneos e um arco de circunfe-
rênciade 90◦. Ele é percorrido por uma corrente I e se encontra imerso numa
região de campo magnético uniforme cuja indução magnética tem módulo
B0, direção perpendicular ao plano do papel e sentido saindo deste (¯).
a) Calcule a força resultante F sobre o fio;
b) O campo magnético produzido por I em C.
Resp: a)F = 2I RB0(x̂ − ŷ), b)BC =−
µ0I
8R
ẑ
x
y
I
R
R
R
C
�B
19) Um fio infinito disposto na horizontal (adote como sendo o eixo y do seu sistema de coordenadas)
é percorrido por uma corrente I no sentido positivo do eixo y . Uma espira quadrada de lado a, feita
por um fio cuja massa por unidade de comprimento é λ é disposta no plano vertical y z paralelamente
ao fio, com seu lado mais próximo do fio a uma distância a do fio infinito. Qual deve ser a corrente na
espira para que ela permaneça em repouso? (Considerar a ação da gravidade). Resp: I ′ = 16πaλg
µ0I
20) A figura mostra um cilindro de madeira de massa m, raio R e comprimento L, ao longo do qual foram
dadas N voltas de um condutor, de modo a fazer uma bobina retangular cujo plano contém o eixo do
cilindro. O cilindro é colocado sobre um plano inclinado de um ângulo θ com relação à horizontal, de
modo que o plano da bobina seja paralelo a esse plano. Calcule o menor valor da corrente i capaz de
impedir o cilindro de rolar, na presença de um campo magnético B vertical. Resp: i = mg
2N l B
.
21) Um fio de cobre de massa m, dobrado em forma de uma letra U de largura l , tem seus extremos
mergulhados em dois vasos contendo mercúrio, como mostra a figura. O fio está submetido à ação de
um campo magnético B. Se um impulso de corrente, que transporta uma carga q =
∫
i d t , percorre o
fio, este salta bruscamente para cima, atingindo uma altura máxima h. Determine o valor da carga q ,
supondo que o tempo de duração da corrente é muito menor do que o tempo que o fio leva para subir e
descer. Resp: q = m
lB
√
2g h.
22) Um circuito plano é definido, em coordenadas polares, por:
ρ = a, 0 ≤ϕ≤π; ρ cosϕ=−a, π≤ϕ≤ 3π/2; ρ cosϕ= a, 3π/2 ≤ϕ≤ 2π.
Ele é percorrido por uma corrente I no sentido deϕ crescente. Determine B na origem. Resp: B = ẑ µ0I (π+2)
4πa
23) Uma bússola tende a oscilar antes de alinhar-se com o campo magnético da Terra. Considere uma
agulha imantada de momento de dipolo magnético m e momento de inércia I , suspensa de forma a po-
der oscilar livremente em torno de um eixo vertical, situada num campo magnético horizontal uniforme
B0. As direções de m e B0 formam inicialmente um pequeno ângulo θ0. Calcule a frequência angular de
oscilação (desprezando o amortecimento) e mostre que sua determinação permite medir |m||B0|. Resp:
ω=
√ |m||B0|
I
24) A Terra se comporta aproximadamente como um dipolo magnético. Determine o seu momento
de dipolo sabendo que a uma latitude de 40◦ seu campo magnético vale 0,23G. Se esse dipolo fosse
produzido por uma espira circular com raio um terço do da Terra, qual seria a corrente necessária para
tal? Resp: 2,8.109 A
25) Duas espiras circulares de corrente idênticas de raio a são inicialmente dispostas no plano x y com
centro na origem. Ambas são percorridas pela mesma corrente i no sentido de ϕ̂. Uma delas é então
girada de +π/4rd ao redor do eixo x, enquanto a outra é girada de −π/4rd, de forma que elas agora são
perpendiculares entre si, interceptando-se em x = ±a. Qual é o momento magnético total do sistema
de espiras? Determine os campos A e B (potencial e indução magnética) a uma distância muito grande
do conjunto (r À a). Resp: B =
p
2µ0i a
2
4
2senθ r̂+cosθ θ̂
r 3
26) Dois pequenos circuitos, um circular de raio b e o outro quadrado de aresta também b, são colocados
com seus centros a uma distância a um do outro, a >> b, dispostos
como mostra a figura ao lado. Determine o torque e a força que um
exerce sobre o outro se ambos forem percorridos pela mesma corrente
I . Resp: Adotando o eixo da espira circular como z e o eixo que contem os centros das espiras como y , o
torque sobre a espira retangular será −x̂ µ0I
2b4
4a3
I
m1
I
a
m2
27) Um dipolo magnético de momento m e dimensões desprezíveis está situado a uma distância z acima
do plano de uma espira circular de raio R percorrida por uma corrente I . O vetor m faz um ângulo
θ com o eixo da espira. Determine a força e o torque atuantes sobre o dipolo. Resp: F =− 3µ0ImR
2 cosθz
2(R2 + z2)5/2 ẑ ,
τ= µ0ImR
2 senθ
2(R2 + z2)3/2 , perpendicular ao plano que contem o eixo z e a direção do dipolo magnético.
28) Considere um circuito fechado de raios a e b (ver figura), percorrido por uma corrente I . Determine:
a) B no ponto P .
b) O momento de dipolo magnético do circuito.
Resp: a)BP =−
µ0I
4ab
(a +b)ẑ , b)m =−πI
2
(a2 +b2)ẑ. P
b
a
I
I
29) Um disco de plástico de raio R possui uma carga total q distribuída uniformemente em sua superfí-
cie. Se o disco gira a uma velocidade angular ω constante em torno de seu eixo, determinar:
a) O campo magnético num ponto de seu eixo; Resp: B = ẑ µ0ωq
2πa2
(
2z2 +a2√
z2 +a2
−2|z|
)
b) seu momento magnético. Resp: m = ωqR
2
4
ẑ
30) Seja uma esfera de raio R e carga total Q girando com velocidade angular ω constante em torno de
um de seus diâmetros. Determine o campo magnético B no seu centro e os seus momentos magnéticos
quando:
a) a carga estiver distribuída uniformemente em seu volume; Resp: B = ẑ µ0ωQ
4πR
, m = ẑ 1
5
ωQR2
b) a carga estiver distribuída uniformemente em sua superfície. Resp: B = ẑ µ0ωQ
6πR
, m = ẑ ωQR
2
3
31) Um cone carregado superficialmente com densidade de cargas σ uniforme gira com velocidade
angular ω constante ao redor de seu eixo de simetria. O cone possui raio R e geratriz L. Determine o
campo magnético no seu vértice. Resp: B = µ0σωR
3
2L2
, na direção do eixo.