A+Derivada06-03-18

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A Derivada
Professora Andreia de Faria Nogueira
Motivação
Nessa seção veremos que a derivada f’ de uma função f pode ser interpretada ou
como uma função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x)
em x, ou, como uma função cujo valor em x é a taxa instantânea de variação de y
em relação à x no ponto x
Reta Tangente
Consideremos dois pontos P e Q ao
longo de uma curva. Tracemos uma
reta secante passando por esses dois
pontos sobre a curva. Admitindo que
Q move-se ao longo da curva em
direção à P, podemos esperar uma
rotação da reta secante em direção à
P, podemos esperar uma rotação da
reta secante em direção à uma
posição limite, a qual pode ser
considerada como à reta tangente à
curva no ponto P
Reta Tangente
 Inclinação da reta secante
Como podemos observar na figura, o
ponto Q move-se ao longo da curva
em direção à P se somente se, 𝑥1
tender à 𝑥0. Quando isto acontece
definimos então a inclinação da reta
tangente em P como:
𝑚𝑠𝑒𝑐 =
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Reta Tangente
 Inclinação da reta tangente
𝑚𝑡𝑔 = lim
𝑥1→ℎ
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Taxa de Variação
Vamos estabelecer a relação básica entre retas tangentes e taxa de 
variação.
 Velocidade média
A velocidade média diz respeito ao que acontece em um intervalo
de tempo. O tempo decorrido será representado por um
segmento de reta. Podemos dizer então que a velocidade média é
definida coma a distância percorrida durante um certo intervalo de
tempo. De acordo com a definição de retas secantes podemos
dizer que velocidade média de uma partícula é representada
geometricamente pela inclinação da reta secante, que passa
pelos pontos 𝑡0, 𝑆 𝑡0 𝑒 𝑡1, 𝑆 𝑡1
Taxa de Variação
𝒗𝒎 =
𝒔𝟏 − 𝒔𝟎
𝒕𝟏 − 𝒕𝟎
=
𝒇(𝒕𝟏) − 𝒇(𝒕𝟎)
𝒕𝟏 − 𝒕𝟎
Definição: Se y=f(t), então a taxa
de variação média de y em
relação ao tempo t no intervalo
𝑡0, 𝑡1 é a inclinação da reta
secante ao gráfico.
Taxa de Variação
 Velocidade instantânea
A palavra instantânea é usada para afirmar que alguma coisa
aconteceu tão rápido a ponto de não decorrer nenhum tempo, o
evento é momentâneo. Podemos imaginar então, que a distância
percorrida foi muito pequena, bem como o respectivo intervalo de
tempo.
De acordo com a definição de retas tangentes podemos dizer que
velocidade instantânea de uma partícula é representada
geometricamente pela inclinação da reta tangente, que passa
pelos pontos 𝑡0, 𝑆 𝑡0 𝑒 𝑡1, 𝑆 𝑡1
Taxa de Variação
𝒗𝒊 = lim
𝒕𝟏→𝒕𝟎
𝒇(𝒕𝟏) − 𝒇(𝒕𝟎)
𝒕𝟏 − 𝒕𝟎
Definição: Se y=f(t), então a taxa
de variação instantânea de y em
relação ao tempo t no ponto 𝑡0 é
a inclinação da reta tangente ao
gráfico.
Definição de derivadas 
𝒇′(𝒙) = lim
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
A derivada de uma função f é a
função indicada por f’, tal que
seu valor em qualquer número x
no domínio de f é dado por:
𝐷𝑥𝑓(𝑥), 𝐷𝑥𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝒇′(𝒙𝟏) = lim
𝒙→𝒙𝟏
𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒙𝟏)
𝒙 − 𝒙𝟏
Em um ponto 
particular 𝒙𝟏
Regras básicas de diferenciação
1. Se 𝑐 é uma constante e se 𝑓(𝑥) = 𝑐 para todo 𝑥, então
𝑓′(𝑥) = 0
2. Se 𝑝 é um número racional 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑝 , então
𝑓′(𝑥) = 𝑝𝑥𝑝−1
Obs.: 𝑓 𝑥 = 𝑥 → 𝑓′ 𝑥 = 1𝑥1−1 = 1
Regras básicas de diferenciação
3. Se 𝑓 é uma função, 𝑐 é uma constante e 𝑔 é a função definida por 𝑔 𝑥 = 𝑐. 𝑓 𝑥
𝑔′(𝑥) = 𝑐. 𝑓′(𝑥)
4. Se 𝑓 e 𝑔 são funções tais que existem 𝑓’(𝑥) e 𝑔’(𝑥), então:
a. Se ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), então ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)
b. Regra do produto: Se ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥), então ℎ′ 𝑥 = 𝑓′(𝑥). 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
Regras básicas de diferenciação
c. Regra do quociente: Se ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, e 𝑔(𝑥) ≠ 0 então ℎ′ 𝑥 =
𝑓′ 𝑥 .𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 .𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥 2
5. A derivada da soma de um número finito de funções é igual a soma de suas 
derivadas, se estas existirem.