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Curso aplicado de Cálculo I

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logo:
arcsin′(x) =
1
cos(arcsin(x))
.
Agora uso a relac¸a˜o trigonome´trica
cos2(arcsin(x)) + sin2(arcsin(x)) ≡ 1
e
sin2(arcsin(x)) = ( sin(arcsin(x) )2 = x2
para obter:
cos2(arcsin(x)) = 1− x2,
e como cos(arcsin(x)) > 0 quando arcsin(x) ∈ (−pi
2
, pi
2
) enta˜o obtenho:
cos(arcsin(x)) = +
√
1− x2
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 227
e portanto
arcsin′(x) =
1√
1− x2 ,
como quer´ıamos.
Quando tomo a > 0, enta˜o pela regra da derivada da composta:
arcsin′(
x
a
) =
1√
1− (x
a
)2
· 1
a
=
=
1√
a2
1√
1− (x
a
)2
=
1√
a2 − x2 .
De ii):
Pelo Teorema 0.1:
arccos′(x) =
1
cos′(arccos(x))
.
Mas ja´ sabemos a derivada do cosseno, logo:
arccos′(x) =
−1
sin(arccos(x))
.
Exatamente como fizemos antes, a relac¸a˜o trigonome´trica entre seno e cosseno e o
fato de que o seno restrito a [0, pi] e´ ≥ 0, da˜o:
arccos′(x) =
−1√
1− x2 .
De iii):
Os itens i) e ii) ja´ provados da˜o que:
arccos′(x) = − arcsin′(x), ∀x ∈ (−1, 1).
Portanto existe uma constante C ∈ R tal que:
arccos(x) = − arcsin(x) + C, ∀x ∈ (−1, 1).
Mas
pi
2
= arccos(0) = − arcsin(0) + C = 0 + C,
o que nos diz que
C =
pi
2
.
Ademais tambe´m:
pi = arccos(−1) = pi
2
+
pi
2
= − arcsin(−1) + pi
2
,
bem como:
0 = arccos(1) = −pi
2
+
pi
2
= − arcsin(1) + pi
2
.
�
5. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 228
O Exerc´ıcio 6.8 propo˜e comprovar geometricamente (qualitativamente ao menos)
que arccos(x) = − arcsin(x) + pi
2
.
Note agora que a func¸a˜o 1√
1−x2 para x ∈ (−1, 1) e´ sempre positiva, vale 1 na
origem e tem
lim
x↗1
1√
1− x2 = +∞, e limx↘1
1√
1− x2 = +∞.
Tudo isso se veˆ na figura abaixo, onde plotei o arcoseno e sua derivada, para
x ∈ [−0.95, 0.95] (na˜o posso me aproximar demais de −1 ou de 1 se na˜o o gra´fico fica
muito alto !)
3
1
2
0
-1
x
0,4 0,80-0,8-0,4
Figura: Gra´fico de y = arcsin(x) (vermelho) e de sua derivada y = 1√
1−x2 (verde).
Essa figura e´ ta˜o parecida (qualitativamente) com a que ja´ vimos no Cap´ıtulo
anterior da func¸a˜o y = tan(x) e sua derivada que resolvi plota´-las juntas, para que o
leitor possa fazer comparac¸o˜es:
2
0
1
-1
0,8
x
-0,8-0,4 0,40
Figura: y = tan(x) (vermelho), sua derivada (verde), y = arcsin(x)
(amarelo) e sua derivada (azul) restritas a (−0.9, 0.9).
5. Derivada do arcotangente
Se x ∈ (−pi
2
, pi
2
) enta˜o
tan′(x) =
1
cos2(x)
> 0,
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 229
o que diz que para x ∈ (−pi
2
, pi
2
) a func¸a˜o y = tan(x) e´ estritamente crescente.
Logo e´ injetora e tem func¸a˜o inversa denotada:
arctan : R→ (−pi
2
,
pi
2
).
Afirmac¸a˜o 5.1.
arctan′(x) =
1
1 + x2
, ∀x ∈ R
e para a > 0 :
1
a
· arctan′(x
a
) =
1
a2 + x2
, ∀x ∈ R
Demonstrac¸a˜o.
Pelo Teorema 0.1 e pela derivada da func¸a˜o tan(x):
arctan′(x) =
1
tan′(arctan(x))
=
=
1
( 1
cos2(arctan(x))
)
=
= cos2(arctan(x)).
Agora arctan(x) e´ um arco/aˆngulo e portanto vale para ele a relac¸a˜o trigonome´trica
ba´sica:
sin2(arctan(x)) + cos2(arctan(x)) = 1
e da´ı, dividindo por cos2(arctan(x)) > 0, temos:
sin2(arctan(x))
cos2(arctan(x))
+ 1 =
1
cos2(arctan(x))
ou seja
tan2(arctan(x)) + 1 =
1
cos2(arctan(x))
,
e como
tan2(arctan(x)) = (tan(arctan(x)))2 = x2,
x2 + 1 =
1
cos2(arctan(x))
quer dizer:
cos2(arctan(x)) =
1
1 + x2
Logo
arctan′(x) =
1
1 + x2
.
Se a > 0 a derivada da composta da´:
arctan′(
x
a
) =
1
1 + (x
a
)2
· 1
a
= a · 1
a2 + x2
.
�
5. DERIVADA DO ARCOTANGENTE 230
1
0
0,5
-0,5
-1
x
2-2 31-3 -1 0
Figura: A func¸a˜o arcotangente (vermelho) e sua derivada
(verde) restritas a (−4, 4)
Exemplo:
Para completar essa Sec¸a˜o, vou mostra neste Exemplo como informac¸a˜o qualita-
tiva pode servir para dar informac¸a˜o quantitativa !
Considere
y = F (x) =
x
2
− 2 arctan(x
2
).
A pergunta e´: em que pontos F (x) se anula, ale´m do x = 0 ? Ou pelo menos, como
dar uma aproximac¸a˜o dessas ra´ızes ? Nem pensar em tentar resolver explicitamente
F (x) = 0 ...
Ja´ inicialmente e´ bom observar que F (x) e´ uma func¸a˜o ı´mpar, F (−x) = −F (x).
Portanto vamos pensar no eixo x > 0 apenas, depois fica fa´cil o eixo x < 0.
Note que
F ′(x) =
1
2
− 2 · 1
2
· 1
1 + (x
2
)2
=
1
2
− 4
x2 + 4
e esta u´ltima func¸a˜o teve seu gra´fico esboc¸ado na Sec¸a˜o 4 do Cap´ıtulo 14.
Vimos la´ naquela Sec¸a˜o que F ′(x) se anula, no eixo x > 0, em x = 2, que F ′(x) < 0
em (0, 2) e que F ′(x) > 0 em (2,+∞).
Enta˜o, como F (0) = 0, concluo que y = F (x) < 0 em (0, 2), assume um mı´nimo
em x = 2 e depois comec¸a a crescer.
Como
lim
x+∞
arctan(
x
2
) =
pi
2
temos
lim
x+∞
F (x) = +∞.
Ou seja, como F (x) e´ cont´ınua, tem que voltar a se anular em algum ponto a` direita
de x = 2.
So´ que, para x > 0,
F (x) =
x
2
− 2 arctan(x
2
) >
x
2
− 2 · pi
2
.
CAPI´TULO 16. FUNC¸O˜ES INVERSAS E SUAS DERIVADAS 231
Como a reta y = x
2
− pi corta o eixo x > 0 em x = 2pi ∼ 6.3, concluo que F (x) se
anula1 em x ∈ (2, 6.3).
Pela propriedade ı´mpar, F (x) se anula em −x ∈ (−6.3, 2).
Note que:
lim
x+∞
F ′(x) = lim
x−∞
F ′(x) =
1
2
ou seja que a inclinac¸a˜o tende a 1/2 quando |x| → ∞.
Como
lim
x−∞
arctan(
x
2
) = −pi
2
vemos que o gra´fico de y = F (x) se aproxima de
y =
x
2
+ pi
quando x→ −∞.
A figura a seguir ilustra F (x) em vermelho, F ′(x) em verde, y = y = x
2
+ pi em
azul e y = x
2
− pi em amarelo.
8
0
4
-4
x
-8
-5-10 5 100
6. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 6.1. (resolvidos: iii, iv, v, xv.)
Derive usando regras de derivac¸a˜o de +,−, x, /,√ e a derivada da composta:
i)
√
sin(x3), se sin(x3) > 0 ii) cos5(x) + sin(x5),
1Com o me´todo de Newton do Cap´ıtulo 18, comec¸ando com 6.3 obtive na quinta iterac¸a˜o x ∼
4.662244741
6. EXERCI´CIOS 232
iii) sin3(x3), iv) sin(x) cos(x), v)
x4 + x2 + 1
3x4 + 4x2 + 1
,
vi)
√
1− x2, se |x| < 1, vii) sin(x3), viii) cos3(x) + sin3(x),
ix)
x7 − x2 − 1
x4 + 4x2 + 8
, x)
x3 − x+ 1
x4 − x3 + x2 − 1 ,
xi) sin3(x)− sin(x3), xii) 2
x3
, 0 < x,
xiii) (sin(x) · cos2(x))2, xiv) (x+ 3)100, xv) (3x+ 4)100.
Exerc´ıcio 6.2. Determine o domı´nio de cada uma das quatro func¸o˜es a seguir e em
que que pontos do domı´nio existe a derivada. Derive-as usando as regras de derivac¸a˜o
(produto, soma, composic¸a˜o, etc).
i) y =
√
x
x2 − 1 , ii) y =
1
sin(x)
,
iii) y = tan(x) · sin(cos(x)), iv) y = x4 · x 14 .
Exerc´ıcio 6.3. No Cap´ıtulo 28 vamos definir
κ(x) :=
| f ′′(x) |
(1 + (f ′(x))2)
3
2
como sendo a curvatura do gra´fico de y = f(x) em cada ponto x.
Verifique que
i) κ(x) ≡ 0 para uma reta y = a · x+ b e
ii) κ(x) ≡ 1
r
para a parte do c´ırculo x2 + y2 = r2 que fica no primeiro quadrante.
Exerc´ıcio 6.4. Suponha que voceˆ so´ conhece a reta tangente ao C´ırculo como o
fizemos aqui neste curso de Ca´lculo, ou seja, como reta cujo coeficiente angular e´
dado por uma derivada, etc.
Prove que essa reta tangente e´ ortogonal ao raio do C´ırculo, ou seja, que coincide
com a definic¸a˜o do Ensino Me´dio (dica: basta considerar pontos do c´ırculo x2+y2 = 1
com coordenada y > 0).
Exerc´ıcio 6.5. Considere a func¸a˜o f : R>0 → [−1, 1] dada por f(x) = sin( 1
x
).
i) derive-a pela regra da composta, ii) comprove que |f ′(x)| fica arbitrariamente
grande quando x tende a zero, iii) interprete geometricamente o resultado, sobre o
que acontece com o gra´fico de f pro´ximo a` origem, iv) agora considere a func¸a˜o dada
por f(x) = x2 · sin( 1
x
) (para x > 0). v) derive-a , vi) veja se o mo´dulo da derivada
f ′(x) fica arbitrariamente grande pro´ximo a`