INTRODUÇÃO AO CALCULO

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INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO 
PROFESSORES
Me. Issao Massago
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
ACESSE AQUI 
O SEU LIVRO 
NA VERSÃO 
DIGITAL!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/2348
EXPEDIENTE
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. MASSAGO, Issao; SUGUIURA, 
Tiago Peres da Silva.
Introdução ao Cálculo. 
Issao Massago; Tiago Peres da Silva Suguiura.
Maringá - PR.: UniCesumar, 2020. 
216 p.
“Graduação - EaD”. 
1. Cálculo 2. Números 3. Equações. EaD. I. Título.
FICHA CATALOGRÁFICA
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4Jd. Aclimação - Cep 87050-900 | Maringá - Paraná
www.unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
Coordenador(a) de Conteúdo 
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Projeto Gráfico e Capa
Arthur Cantareli, Jhonny Coelho
e Thayla Guimarães
Editoração
Lucas Pinna Silveira Lima
Design Educacional
Amanda Peçanha
Revisão Textual
Cindy Mayumi Okamoto Luca
Ilustração
Natália Scalassara
Welington Vainer
Bruno Cesar Pardinho
Fotos
Shutterstock
CDD - 22 ed. 515.5 
CIP - NBR 12899 - AACR/2
ISBN 978-65-5615-033-8
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679
DIREÇÃO UNICESUMAR
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James Prestes, Tiago Stachon Diretoria de Design Educacio-
nal Débora Leite Diretoria de Graduação Kátia Coelho Diretoria de Pós-Graduação Bruno do Val 
Jorge Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane 
Yoshie Fukushima Gerência de Processos Acadêmicos Taessa Penha Shiraishi Vieira Gerência de 
Curadoria Carolina Abdalla Normann de Freitas Gerência de Contratos e Operações Jislaine Cristina 
da Silva Gerência de Produção de Conteúdo Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Projetos Especiais 
Daniel Fuverki Hey Supervisora de Projetos Especiais Yasminn Talyta Tavares Zagonel
Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração 
Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Pró-Reitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi
BOAS-VINDAS
Neste mundo globalizado e dinâmico, nós tra-
balhamos com princípios éticos e profissiona-
lismo, não somente para oferecer educação de 
qualidade, como, acima de tudo, gerar a con-
versão integral das pessoas ao conhecimento. 
Baseamo-nos em 4 pilares: intelectual, profis-
sional, emocional e espiritual.
Assim, iniciamos a Unicesumar em 1990, com 
dois cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, 
temos mais de 100 mil estudantes espalhados 
em todo o Brasil, nos quatro campi presenciais 
(Maringá, Londrina, Curitiba e Ponta Grossa) e 
em mais de 500 polos de educação a distância 
espalhados por todos os estados do Brasil e, 
também, no exterior, com dezenas de cursos 
de graduação e pós-graduação. Por ano, pro-
duzimos e revisamos 500 livros e distribuímos 
mais de 500 mil exemplares. Somos reconhe-
cidos pelo MEC como uma instituição de exce-
lência, com IGC 4 por sete anos consecutivos 
e estamos entre os 10 maiores grupos educa-
cionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos edu-
cadores soluções inteligentes para as neces-
sidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter, pelo menos, 
três virtudes: inovação, coragem e compromis-
so com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, 
para os cursos de Engenharia, metodologias ati-
vas, as quais visam reunir o melhor do ensino 
presencial e a distância.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
Tudo isso para honrarmos a nossa mis-
são, que é promover a educação de qua-
lidade nas diferentes áreas do conheci-
mento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
P R O F I S S I O N A LT R A J E T Ó R I A
Me. Issao Massago
Possui graduação em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de 
Jandaia do Sul (1990) e em Ciências - Habilitação Plena em Matemática pela Fun-
dação Faculdade de Filosofia Ciências e Letras de Mandaguari (1992). É mestre em 
Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2015) e atua como professor 
da disciplina de Matemática na rede pública estadual do Paraná. Sempre se preo-
cupou com o processo de construção de conhecimentos matemáticos e procura 
atualizações em tecnologia educacional.
http://lattes.cnpq.br/5103036905790051
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (2015) e 
mestrado em Bioestatística pela mesma instituição (2017). Atualmente, é professor 
mediador do curso de Licenciatura em Matemática da Unicesumar.
http://lattes.cnpq.br/4322415939992048
A P R E S E N TA Ç Ã O D A D I S C I P L I N A
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Seja bem-vindo(a)! Este material foi elaborado especialmente para que você inicia o estudo 
de alguns conteúdos relacionados à disciplina de Cálculo. Embora a relação dos conteúdos 
abordados possa parecer um pouco estranha para aqueles que já tiveram algum contato com 
essa disciplina, este material pode auxiliar no estudo das disciplinas de Cálculo. Pensando nis-
so, a ideia é introduzi-lo de forma simples, mantendo o foco e sem perder o rigor matemático. 
Vale lembrar, ainda, que os conteúdos devem ser compreendidos, e não decorados. A aqui-
sição plena de conhecimentos ocorre somente quando conseguimos incorporá-los e, para 
isso, precisamos acompanhar e reconstituir os raciocínios apresentados, de maneira que 
possamos compreendê-los. Dessa forma, você deve focar na análise e na compreensão das 
regras, das propriedades e, até mesmo, de algumas fórmulas, ao contrário de simplesmente 
decorá-las, assim como muitos costumam fazer. 
Temos plena consciência das possíveis dificuldades que você pode encontrar, ao mudar a forma 
como encara a matemática, já que demoramos alguns anos de atuação, como professores dessa 
disciplina, até começarmos a abandonar a forma tradicional de estudá-la e passarmos a vê-la 
como algo que reserva muitas surpresas e margens para discussão. Além disso, precisamos ter 
domínio pleno dos conteúdos abordados e da capacidade de analisar cada situação apresen-
tada, para que possamos transmitir o conteúdo de forma segura e que facilite a vida daqueles 
que dependem de nós para aprender a matemática. Assim, além da aquisição dos conteúdos 
matemáticos, começaremos a mudar um pouco a visão que temos acerca dessa disciplina.
Para facilitar o estudo, este material foi dividido em cinco unidades: na primeira, estudare-
mos os polinômios, as equações e as inequações; na segunda, as frações algébricas, pois, 
para resolvermos muitas situações-problema, precisaremos de um novo tipo de equação; 
já na terceira, a progressão aritmética e a progressão geométrica, dois tipos de sequências; 
na quarta, a trigonometria, a qual, às vezes, é vista como algo de difícil compreensão ou até 
um pouco confuso, mesmo que, comumente, esse fato se deve à falha na forma como é 
apresentada para aqueles que precisam estudá-la; e, finalmente, na quinta, estudaremos os 
números complexos, a unidade imaginária, suas formas de representação e propriedades.
Esperamos que este material auxilie sua formação acadêmica e contribua, também, para 
sua prática docente, ao assumir uma sala de aula (se você ainda não é, será futuro(a) colega 
de trabalho), para que, juntos, possamos sonhar com a melhoria da qualidade do ensino da 
matemática, nesse país. Além disso, não podemos deixar de lhe desejar um bom estudo, 
pois este material só terá valor na mão de alguém como você, que procura novos horizontes.
ÍCONES
Sabe aquela palavra ou aquele termo que você não conhece? Este ele-
mento ajudará você a conceituá-la(o) melhor da maneira mais simples.
conceituando
No fim da unidade, o tema em estudo aparecerá de forma resumida 
para ajudar você a fixar e a memorizar melhor os conceitos aprendidos. 
quadro-resumo
Neste elemento, você fará uma pausa para conhecer um pouco 
mais sobreo assunto em estudo e aprenderá novos conceitos. 
explorando ideias
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e 
transformar. Aproveite este momento! 
pensando juntos
Enquanto estuda, você encontrará conteúdos relevantes 
online e aprenderá de maneira interativa usando a tecno-
logia a seu favor. 
conecte-se
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos online. O download do aplicativo 
está disponível nas plataformas: Google Play App Store
CONTEÚDO
PROGRAMÁTICO
UNIDADE 01 UNIDADE 02
UNIDADE 03
UNIDADE 05
UNIDADE 04
FECHAMENTO
POLINÔMIOS, 
EQUAÇÕES E
INEQUAÇÕES
8
FRAÇÕES
ALGÉBRICAS
45
67
TRIGONOMETRIA
122
PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA
E PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
150
NÚMEROS
COMPLEXOS
182
CONCLUSÃO GERAL
1
POLINÔMIOS, EQUAÇÕES E
INEQUAÇÕES
PLANO DE ESTUDO 
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Polinômios • Equações polinomiais 
• Sistemas de equações • Inequações
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
• Identificar e efetuar operações que envolvem polinômios • Definir equações e resolvê-las • Construir 
sistemas de equações e resolvê-los • Identificar as inequações e resolvê-las.
PROFESSORES 
Me. Issao Massago
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à primeira unidade do nosso livro! 
Iniciaremos o nosso estudo, tratando de polinômios, equações e inequa-
ções. Apesar de existirem relações entre os assuntos, cada um apresenta 
suas particularidades e, portanto, necessitam de alguns cuidados. 
As equações, os sistemas de equações e as inequações estão presentes 
no nosso cotidiano, mesmo que, às vezes, não atribuímos muita atenção. 
Simples compras envolvem equações, pois certa quantia em dinheiro, ge-
ralmente, cédulas de alto valor, são trocadas por mercadorias, as quais re-
tornam um pequeno valor em espécie, nesse caso, o troco. As inequações, 
que alguns acreditam que servem somente como desafios matemáticos, 
também estão diretamente ligadas à nossa vida. Utilizamos as inequações 
com frequência quando precisamos analisar se o dinheiro que possuímos 
seria o suficiente para comprar certa quantia de mercadorias, por exemplo. 
Assim, mesmo que alguns alunos, principalmente os da Educação 
Básica, tenham certa rejeição a esses conteúdos, eles não devem ficar em 
segundo plano. Talvez, a rejeição apresentada por alguns se deve ao fato 
de não haver uma relação desses conteúdos ao cotidiano e de não existir 
a realização da comprovação da validade de fórmulas ou de raciocínios, 
devido à falha ou à ausência de contextualização e/ou demonstração. 
Verificamos que os conteúdos matemáticos vieram para solucionar os 
problemas do cotidiano, mesmo que tenham se tornado “pedras no sapa-
to” para alguns alunos. Para minimizar esse problema, estudaremos tais 
assuntos a partir de uma ótica diferente, para que você incorpore mais um 
pouco de conhecimento. Bom estudo!
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N
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1
10
1 POLINÔMIOS
Iniciaremos o nosso estudo sobre polinômios a partir de sua definição. Assim, 
como a raiz – poli – do próprio nome diz, o polinômio é composto por vários 
termos, isto é, uma soma de monômios de graus diferentes, não admitindo ex-
poentes fracionários, nem negativos. Portanto, podemos defini-lo como:
i
n
i
i
n
n
n
n
n
na x a a a a a ix x x a x x
�
�
�
�
�� � � � � � �� �
0
1
1
2
2
2
2
1
1
0� �, 
Observação: 
i
n
i
ia x
�
�
0
 lê-se somatória de a xi
i , com i variando de 0 a n .
O que é, no entanto, somatória? A somatória nada mais é do que a soma de vários 
termos que seguem características definidas, variando a partir de um valor até 
outro. No caso apresentado, a condição é a xi
i e i varia a partir de um determi-
nado valor (neste caso, 0 ) até outro (neste caso, n ). Por exemplo, se n = 5 , temos:
i
i
ia a a a a a ax x x x x x x
�
� � � � � � �
0
5
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0 .
Nesse caso, o índice i de ai indica a ordem do coeficiente, isto é, indica a ordem 
do termo, enquanto o índice i de xi indica o valor do expoente.
U
N
IC
ES
U
M
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11
O grau de um polinômio é determinado pelo maior dos expoentes da variável. 
Dessa forma, o polinômio apresentado 
i
i
ia a a a a a ax x x x x x x
�
� � � � � � �
0
5
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0 é de grau 5 (ou de 5º grau).
Observação: caso algum(ns) ai for(em) 0 , geralmente, não escrevemos esse(s) 
termo(s).
Agora, estudaremos um pouco as operações que envolvem os polinômios.
Adição e subtração de polinômios
Considerando os polinômios
p a a a a a nx x x a x xn
n
n
n
n
n
1 1
1
2
2
2
2
1
1
0� � � � � �� ��
�
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� � �, 
e
p b b b b b mx x x b x xm
m
m
m
m
m
2 1
1
2
2
2
2
1
1
0� � � � � �� ��
�
�
� � �, 
tal que n m> , temos:
p a a a a a
b b
p x x x a x x
x x
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
1 2 1
1
2
2
2
2
1
1
0
1
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2
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2
2
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0
1
1
2
2
1
b b b
a a a
x b x x
x x x a
m
m
n
n
n
n
n
n
m


)
xx
x x a b x
a b x
a b a b
m
m m
m
m m
m
m m
m
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1
1 1
1
2 2
2
2 2
( )
( ) ( ) )( 22
1 1
1
0 0� �� �( ) ( )a b a bx
Exemplo 1: Considerando os polinômios 
p x x x x x x1
7 6 5 4 3 24 9 4 2 6 8� � � � � � � e p x x x x2
4 3 22 4 7 5� � � � � , 
procedemos da seguinte maneira para determinar a sua soma:
p xp x x x x x x x x x
x x
1 2
7 6 5 4 3 2 4 3 2
7 6
4 9 4 2 6 8 4 7 5
4 9
2� � � � � � � � � � �
�
� �
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( ) ( )
�� � � � � � � �
� � � �
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4 1 2 2 4 6 1 8 5
4 4 3 6
7
9
5 4 3 2
7 6 5 4
x x x x
x x x
x
x
( ) ) ( ) )( (
xx x x3 27 7 3� � �
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E 
1
12
Observação: é usual omitirmos o coeficiente 1 dos termos de polinômios.
A diferença entre polinômios é determinada de forma análoga à da soma dos polinô-
mios, tendo em vista que toda subtração pode ser transformada na adição do minuen-
do com o polinômio oposto do subtraendo. Entretanto o que é polinômio oposto? 
O polinômio oposto é aquele cujo sinal de cada termo é oposto do polinômio dado.
Exemplo 2: Considerando os polinômios p x x x x x x1
6 5 4 3 27 2 5 6 15 3� � � � � � � 
e p x x x x x x2
7 6 5 3 24 4 4 6 10� � � � � � � , procederemos da seguinte maneira 
para determinarmos a diferença entre o primeiro e o segundo polinômio:
p x xp x x x x x x x x x x1 2
6 5 4 3 2 7 6 5 3 27 2 5 6 15 3 4 4 6 104� � � � � � � � � � � � �� �( ) ( )
�� � � � � � � �
� �
� � � � � � �( ) ( )x xx x x x x x x x x x6 5 4 3 2 7 6 5 3 27 2 5 6 15 3 4 4 6 104
4xx x xx x x x7 6 5 4 3 21 1 7 4 2 15 1 3 10
4
5 4 6 6� � � � � � � � � �
� �
� � � �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
xx x x x x x7 5 4 3 23 2 9 12 14 13� � � � � �
Para determinarmos o grau da soma dos polinômios, temos duas situações:
a) Se o grau dos polinômios envolvidos for diferente, o grau da soma dos 
polinômios será o maior grau verificado.
b) Se o grau dos polinômios envolvidos for igual, o grau da soma dos poli-
nômios será o maior grau de termos não opostos.
Exemplo 3: Considerando p x x x1
3 25 6 15 3� � � � e p x x x2
3 24 6 10� � � � , 
o grau da soma p p1 2+ é 3 , pois o grau de p1 e p2 são iguais e os primeiros termos 
de p1 e p2 não são opostos, isto é, 5 4
3 3x x� � .
Exemplo 4: Considerando os polinômios p x x x x1
4 3 26 5 6 15 3� � � � � e 
p x x x x2
4 3 26 5 6 10� � � � � � , o grau da soma p p1 2+ é 2, pois os termos de 
maior grau que não são opostos são 6 62 2x x� � , tendo em vista que os termos 
de grau 4 e 3 desses polinômios são opostos. 
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13
Multiplicação envolvendo polinômios
Recorremos à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição para 
determinarmos o produto, assim como podemos observar a seguir:
a) Multiplicação de polinômio por monômio: nesse caso, multiplicamos 
cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplo 5: Considerando p x x x1
3 27 5 3 1� � � � e p x2 2= , procedemos da 
seguinte maneira:
p xp x x
x x xx
x
x x x x
1 2
3 2
3 2
7 5 3 1
7 5 3 1
7 2
2
2 2 2 2
� � � � �
� � � �� � � � � � �
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33 1 2 1 1 1
4 3 2
5 3 1
14 10 6 2
2 2 2� � �� �� � � � � � � �
� � � �
� � �x x x
x x x x
 
Observação: na multiplicação da potência de mesma base, conservamos a base 
e adicionamos os expoentes, isto é, x xxa b a b� � � .
b) Multiplicação de dois polinômios: para a multiplicação de dois poli-
nômios, aplicamos a propriedade distributiva em todos os termos. Por 
exemplo: considere os polinômios 
p a a nx x a x a x a x an
n
n
n
n
n
1 1
1
2
2
2
2
1
1
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p b b mx x b x b x b x bm
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m
m
m
m
2 1
1
2
2
2
2
1
1
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Assim, teremos:
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1
14
p
b
p1 2�
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� � �a +ax x +a x + +a x +a x +an n n-1 n-1 n-2 n-2 2 2 1 1 0
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x x b x b x b x b
x x
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1
1
2
2
2
2
1
1
0
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1
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b x b x b x b
x xb b
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m
2
2
2
2
1
1
0
1

 a xn-1
n-1 ��
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2
2
2
2
1
1
0
1
b x b x b x b
xb b
m
m
m
m
m

 a xn-2
n-2 xx b x b x b x b
xb b
m
m
m
m
m
m
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1
2
2
2
2
1
1
0
1

 a x1
1 xx b x b x b x b
x xb b
m
m
m
m
m
m
m
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2
2
2
2
1
1
0
1
1

 a0 �� � � � �� �� �b x b x b x bm m2 2 2 2 1 1 0
Ou seja, multiplicamos cada um dos termos do primeiro polinômio com todos 
os termos do segundo e, em seguida, adicionamos os termos de mesmo grau.
Exemplo 6: Considerando os polinômios p x x x1
3 27 5 3 1� � � � e 
p x x2
2 4 7� � � , procedemos da seguinte forma:
p p x x
x x x x
1 2
2
2 2
4 7
4 7 4
� � � �� �
� � � �� � � � � � � �
� � �7x -5x +3x+1
7x -5x
3 2
3 2 77 4 7
4 7
7 7 4 7
2
2
3 2 3
� � � � � �� �
� � � �� �
� �� � � � �� � �
3x
1
x x
x x
x x x x
 
xx x x x x
x x x
3 2 2 2
2 2
7 5 5 4
5 7 3
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3 4 3 7
1 1 4 1 7
7 428
2
5 4
x x x
x x
x x
 
99 5 20 35 3 12
12 21 4 7
7
3 4 3 2 3 3
2 2
5
x x x x x x
x x x x
x
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� � � � �
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228 5 49 20 3 35 12 1
21 4 7
7 3
4 3 2
5
�� � � � �� � � � � �� �
� �� � �
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x x x
x
x
 
33 72 46 17 74 3 2x x x x� � � �
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M
A
R
15
Observação: o grau do produto de dois polinômios ou de polinômio por mo-
nômio é igual à soma de seus graus.
Divisão de polinômios
Para a divisão de dois polinômios, temos duas situações:
a) Divisão de polinômio por monômio: dividimos cada termo do poli-
nômio pelo monômio.
Observação: na divisão de potências da mesma base, subtraímos o expoente do 
divisor pelo expoente do dividendo, isto é, x x
x
x
xa b
a
b
a b� � � � .
Exemplo 7: Para determinarmos o quociente do polinômio 9 5 6 86 4 3 2x x x x� � � 
pelo monômio 3 2x , procedemos da seguinte maneira:
9 3 9
3
9
3
5
3
6
5 6 8 5 6 86 4 3 2 2
6 4 3 2
2
6
2
4
2
x x x
x
x
x
x
x
x x x x x x� � � � � �
� � �
� � � � � �
xx
x
x
x
x
x
x x x
x x
3
2
2
6 2 4 2 3 2 2 2
4 2
23
8
3
5
3
2
3
3 8
3
5
3
2 8
3
�
�
� � �
� � �
�
� � � �
Observação: quando o expoente for igual a 0, sua potência é igual a 1 , isto é, 
a ax a� � ��0 1 
b) Divisão de polinômio por polinômio: procedemos de acordo com o 
exemplo a seguir:
Exemplo 8: Dividiremos o polinômio 10 11 27 203 2x x x� � � pelo binômio 
2 5x + :
U
N
ID
A
D
E 
1
16
10 11 27 20 2 5
10 25 5 7
3 2
3 2 2
x x x x
x x x x
� � � �
� � � �
 
 44
14 27
35
2
2
 
 +14x
 
� �
�
x x
x
 
 
 
8 20
8 20
x
x� �
 0
Observação: quando o resto da divisão é 0 , dizemos que é uma divisão exata.
Exemplo 9: Ao dividir o polinômio 20 58 97 25 175 4 2x x x x� � � � pelo po-
linômio x x2 3 1� � , obtemos o quociente 20 2 26 173 2x x x� � � , assim como 
podemos observar a seguir:
20 58 0 97 25 17 3 1
20
5 4 3 2 2
5
x x x x x x x
x
� � � � � � �
� �
 
660 20 20 2 26 17
2 20
4 3 3 2
4 3
x x x x x
x x
� � � �
� �
 
��
� �
� �
97
2 6 2
26 95 25
2
4 3 2
3 2
x
x x x
x x x
 
 
 
 
� � �26 78 26
17
3 2x x x
x22
2
51 17
17 51 17
x
x x
�
� � � 
 0
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, assista à resolução detalhada 
desse problema no vídeo.
conecte-se
U
N
IC
ES
U
M
A
R
17
Observação: pelo fato de que não existia um termo com o expoente x3 no 
exemplo anterior, ele foi substituído por 0 3⋅ x .
Apresentamos um exemplo cuja divisão resultou em resto igual a 0 , mas isso não 
ocorre sempre. Uma das maneiras para determinarmos o resto é efetuar a divisão, 
mas existe uma maneira de verificarmos esse fato por meio de divisibilidade, quan-
do o divisor for um binômio do tipo a x b� � . Para isso, consideramos x
b
a
� � e 
determinamos o valor numérico do dividendo, o qual será o resto da divisão.
Para finalizar esse conceito, surge o Teorema do Resto, que diz o seguinte:
Teorema (do resto): o resto da divisão de um polinômio P x( ) pelo binômio 
a x b� � é igual ao valor numérico desse polinômio para x
b
a
� � , ou seja, 
P rb
a
��
�
�
�
�
� � . 
Exemplo 10: O resto da divisão do polinômio 3 7 5 23 2x x x� � � pelo binômio 
x + 3 é igual a −35 . De fato, considerando x x x� � � �� �� � �3 3 0 3 , temos:
P( )� � �� � � �� � �� � � �� � � � �3 3 3 7 3 5 3 2 353 2
Observação: o símbolo matemático “⇒” lê-se “implica” e significa que uma situação 
resulta em outra verdadeira. Como anteriormente afirmado, x � �3 0 resulta em 
x � �3 .
U
N
ID
A
D
E 
1
18
Exemplo 11: O resto da divisão do polinômio 10 11 70 203 2x x x� � � pelo binô-
mio 2 5x − é igual a 70 . De fato, como 2 5 0 2 5
5
2
x x x� � � � � � , 
temos:
P 5
2
5
2
5
2
5
2
10 11 70 20
10 125
8
3 2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
� � �
���
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
� � �
�
11
4
70 20
625
4
25 5
2
275
4
175 20
70
Você refletiu sobre o raciocínio que dá suporte à teoria de resto?
pensando juntos
U
N
IC
ES
U
M
A
R
19
2 
EQUAÇÕES
POLINOMIAIS
As expressões matemáticas em que ocorrem igualdade entre polinômios são 
chamadas de equações e algumas são bem conhecidas por todos. As equações 
que trabalharemos nesta unidade são as de 1º grau e de 2º grau.
Quando dizemos “vamos resolver uma equação”, estamos a determinar o(s) 
valor(es) da variável, tal que a expressão matemática se torne verdadeira.
Equação do 1º grau
O polinômio envolvido nessa igualdade possui grau 1 , ou seja, sua representação 
é da forma a x b� � � 0 . Esse tipo de equação é muito presente em nossa vida. 
Vamos pensar em algumas situações:
Exemplo 12: Ao comprar uma roupa, você utiliza uma nota de R$ ,100 00 e 
recebe uma nota de R$ ,20 00 de troco. Instantaneamente, você responde que 
essa roupa custou R$ ,80 00 . No entanto, ao apresentar a equação x � �20 100 , 
U
N
ID
A
D
E 
1
20
nem todos respondem que x = 80 , além de demorar mais para chegar ao resul-
tado. Para resolvê-la, podemos proceder da seguinte forma:
 
Adicionamos 
x
x
20 100
20 10020 20 em ambos os lados da equação( )20 80x 
Exemplo 13: Se estivermos em uma mercearia e verificarmos que 4 pacotes de 
doces custaram R$ ,20 00 , sem dúvida, a resposta é que cada pacote custou 
R$ ,5 00 . Entretanto qual é o raciocínio utilizado?
Considerando o valor do pacote de doces como x , temos:
 
Multiplicamos ambos 
4 20
4 201
4
1
4
� �
� � � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
x oos termos por 1
44
4
20
4
5
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
� �
x
x
Exemplo 14: Para resolver a equação 4 8 2 2x x� � � , adicionaremos −8 e−2x 
em ambos os lados da equação. Assim, temos:
 4 8 2 2
4 8 2 2
4 2 8 8 2
2 28 8
x x
x x
x x x
x x
� � �
� � � � � � � �
� � � � �
�� � �� ��� � �� �
�� � �
� � �
2 2 8
2 6
x
x
Prosseguindo, multiplicaremos ambos os lados por 
1
2
. Assim, temos:
 
Adicionamos 
x
x
20 100
20 10020 20 em ambos os lados da equação( )20 80x
U
N
IC
ES
U
M
A
R
21
 2 1
2
1
2
6
2
2
6
2
3
x
x
x
� � � �
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Equação do 2º grau
O polinômio envolvido nesse tipo de equação é aquele cujo maior expoente é de 
grau 2. Sua representação geral é ax bx c2 0� � � , com a ≠ 0 . Uma das maneiras 
mais conhecidas e utilizadas para resolver uma equação do 2º grau é por meio da 
Equação de Bháskara (ou fórmula quadrática), dada da seguinte maneira:
x b b ac
a
�
� � �2 4
2
No entanto, às vezes, a origem dessa fórmula não é comentada com os alunos, 
mesmo que a sua demonstração não seja difícil. Assim, vale a pena tentar com-
preendê-la. Vamos lá!
Primeiramente, vamos considerar uma equação geral do 2º grau dada por:
ax bx c2 0� � �
tal que a b c a, , � � e 0 . 
Agora, adicionaremos −c em ambos os membros da equação, mantendo a 
sua igualdade:
ax bx c
ax bx c
c c2
2
0� � � � �
� � � �
�� � �� �
O próximo passo é multiplicar ambos os membros por 
1
a
. Assim, temos:
U
N
ID
A
D
E 
1
22
ax bx
a a
c
ax
a
bx
a
c
2
2
1 1
1 1
�� � � � � �
� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
2
a
a x
a
bx
a
c
a
c
a
�
�
�
�
�
�
� � �
�
� �
�
x
bx
a
I+2 ( )
Agora, precisamos utilizar uma técnica chamada completar quadrado. Ela con-
siste, basicamente, em adicionar termos em sua equação para que ela se torne um 
produto notável. Logo, como sabemos que x b x bx b�� � � � �2 2 22 , temos:
x b
a
b
a
��
�
�
�
�
� � �2 4
2 2
2x +
bx
a
2 ,
Note que a parte em negrito é exatamente o que temos em nossa equação. Então, 
resta-nos, apenas, acrescentar a última parte para que possamos transformar a 
nossa equação em um produto notável.
Assim, ao adicionar b a
2
24 para ambos os membros da nossa equação I� � , 
é possível realizar a transformação do primeiro membro no produto notável 
x b
a
��
�
�
�
�
�2
2
:
x
bx
a
+2 �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
��
�
�
��
� � �
� �
�
b
a
c
a
b
a
x bx
a
b
a
ac b
2
2
2
2
2
2
2
4 4
4
4 22
2
2 2
2
4
2
4
4
a
x b
a
acb
a
� ��
�
�
�
�
�
�
�
U
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ES
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A
R
23
Prosseguindo, extrairemos a raiz quadrada em ambos os termos:
x b
a
b ac
a
��
�
�
�
�
� � �
�
2
4
4
2 2
2 .
Todavia, como: 
�
�
�
�
� �
�b
a
b
a
ac ac
a
b ac2
2
2
2
24 4
4
4
4 2
,
Temos:
� � � �
�x b
a
acb
a2
4
2
2
.
Agora, isolando a variável x , adicionaremos -
b
2a
 em ambos os membros:
x
a
b
a
b ac
� �
�
�
�
�
� �� �
�
� �
�
�
�
�
�2
4
2
2
- -
b
2a
b
2a
,
O que resulta em:
x b b ac
a
�
� � �2 4
2
Caro(a) aluno(a), para melhor compreensão, vejamos, no vídeo, alguns 
exemplos de equações do segundo grau.
conecte-se
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/2383
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A
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E 
1
24
A equação do 2º grau também pode ser resolvida pelo método de fatoração, 
quando existir(em) raiz(es) real(is), tendo em vista que:
x x x x xx x x x x�� � � � � �� �� � � � � �1 2 2 1 2 1 2
Assim, se x x− 1 e/ou x x− 2 for igual a 0 , a equação anterior, - dada por 
x x xx x x2 1 2 1 2 0� � � � �� � � , torna-se verdadeira, isto é, x1 e x2 são os valores 
procurados, ou melhor, são as raízes da equação do 2º grau.
A partir dessa equação, ainda verificamos que, se x1 e x2 são as raízes da 
equação, então, constatamos que o termo 
b
a
 é oposto da soma das raízes e que o 
termo 
c
a
 é o produto das raízes. Ou seja:
x x b
a1 2
� � �
e 
x x c
a1 2
� � .
Exemplo 15: A equação do 2º grau x x2 5 6 0� � � pode ser resolvida da se-
guinte maneira:
Note que, para essa equação, temos: a b� � �1 1, e c = 6 . Logo, sabemos que a 
soma das duas raízes da equação se dá por:
 x x
x
x
b
a
x
x
1 2
1 2
1 2
5
1
5
� � �
� � �
� �
�
�
�
U
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R
25
Além disso, sabemos que o produto das duas raízes se dá por:
 x x c
a
x x
1 2
1 2
6
1
�
� �
�
�
Agora, precisamos saber quais são os dois valores cuja soma é 5 e o produto é 
6 . Logo, constatamos que esses números são x1 2= e x2 3= , os quais são as 
raízes da equação.
Observação: note que podemos reescrever a equação, em termos de suas raízes, 
da seguinte maneira:
x x x x2 5 6 0 2 3 0� � � �� �� � �� � � 
Você já percebeu que muitos recorrem à fórmula para determinar o conjunto solu-
ção da equação do 2º grau, mesmo que exista o processo de fatoração. O que leva 
a essa escolha?
pensando juntos
U
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1
26
3 
SISTEMAS DE
EQUAÇÕES
Um sistema de equações é formado por um conjunto de equações que apresentam 
mais de uma incógnita. Se possuirmos 2 incógnitas, precisamos de duas equações; 
se possuirmos 3 incógnitas, precisamos de 3 equações e, assim, sucessivamente.
Para resolver um sistema, é necessário encontrar valores que satisfaçam si-
multaneamente todas as equações. Para tanto, existem algumas maneiras de se 
resolver um sistema de equações, este assunto veremos adiante.
Dizemos que um sistema é do 1º grau, quando o maior expoente das in-
cógnitas é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas variáveis. O conjunto 
solução para um sistema de equações é dado por um par de valores que satisfaça 
as equações simultaneamente.
 Método da substituição
Para esse método, primeiramente, resolvemos uma das equações em termo de 
uma das variáveis. Por exemplo, se uma das equações for 3 2x y� � , fazemos 
y x� �2 3 . Então, substituímos essa expressão na segunda equação, obtendo uma 
equação somente dependendo da variável x . Após resolvermos essa equação e 
encontrarmos o valor da variável x , retornamos a uma das equações para en-
contrarmos o valor da variável y .
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27
Exemplo 16: Resolva o sistema 
3 2 16
7 19
x y
x y
� �
� �
�
�
�
.
Pelo fato de que, na segunda equação, a variável y não é multiplicada por ne-
nhum valor, vamos isolá-la na equação, obtendo:
7 19 19 7x y y x� � � � � 
Substituiremos esse valor da variável y na primeira equação. Assim, obtemos:
3 2 16 3 2 19 7 16
3
x y x x� � � � � �� � �
�
 
 xx x
x
� � �
� � � �
38 14 16
11 22 
 � �x 2
Agora que encontramos o valor de x , vamos substituí-lo em qualquer uma das 
equações, a fim de encontrarmos o valor de y . Substituindo em y x� �19 7 , temos:
y x y
y
� � � � � �
� � �
19 7 19 7 2
19 14
 
 
 � �y 5
Logo, constatamos que a solução para esse sistema de equações é 2 5,� � , isto 
é, x = 2 e y = 5 .
 Método da adição
Basicamente, o método da adição consiste em somarmos as variáveis semelhantes de 
ambas as equações, com o intuito de obtermos um resultado igual a zero. Em outras 
palavras, realizando uma adição (ou subtração) entre as equações, a ideia é que uma das 
variáveis seja “cancelada”, pois, assim, podemos encontrar o valor da segunda variável.
U
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E 
1
28
Exemplo 17: Resolva o sistema dado por 
x y
x y
� �
� � �
�
�
�
2 17
2 11
.
Note que, se somarmos as duas equações, o termo com a variável y se cancelará, 
restando somente a variável x . Assim, temos:
x y
x y
x y
� �
� � �
�
�
�
�
� � � � � � � �
� �
2 17
2 11
2 0 6
Agora, podemos encontrar o valor da variável x :
2 0 6 2 6
6
2
x y x
x
� � � �
� �
 
 
 � �x 3
Nesse momento, realizamos o mesmo procedimento do exemplo anterior: subs-
tituímos o resultado obtido em uma das equações, a fim de obtermos o valor da 
variável y :
x y y
y
� � � � �
� � �
2 17 3 2 17
2 17 3� �
� �
2 14
14
2
y
y
 � �y 7
Logo, constatamos que a solução para esse sistema de equações é dada por 
3 7, ,� � isto é, x = 3 e y = 7 .
U
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29
Exemplo 18: Resolva o sistema 
4 3 2
8 2 12
x y
x y
� � �
� �
�
�
�
.
Analisando o sistema, não conseguimos realizar uma soma que, diretamente, 
elimine uma das variáveis. Então, o que podemos fazer é multiplicar uma das 
equações por um valor que resulte em algo desejável. Nesse caso, multiplicaremos 
a primeira equação por −2 , obtendo:
4 3 2
8 2 12
8 6 4
8 2 12
2x y
x y
x y
x y
� � �
� �
�
�
�
��
� � �
� �
�
�
� �� �
�
 
 
��
Agora, podemos realizar a soma entre as duas equações. Assim, obtemos: 
� � �
� �
�
�
�
� � � � � � � �
� �
8 6 4
8 2 12
0 8 16
x y
x y
y 
A partir disso, podemos encontrar o valor de y :
 � �
� �
�
� � �
8 16
16
8
2
y
y
y
Substituindo esse valor em qualquer uma das equações originais, temos:
4 3 2 4 3 2 2
4 6 2
x y x
x
� � � � � � �� � � �
� � � �
 
 
 
 
� �
� �
4 4
4
4
x
x
 � �x 1
Portanto, o conjunto solução desse sistema de equações é 1 2,�� � ou x =1 
e y � �2 .
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1
30
Exemplo 19: A diferença de idade entre dois primos é de 4 anos e o produto de 
suas idades é 221 . Qual é a idade de cada um?
Vamos denotar a idade dos primos x e y . Pelo fato de que a diferença entre eles 
é 4 e o produto é 221 , temos o seguinte sistema:
x y
x y
� �
�
�
�
� �
4
221
Isolando a variável x na primeira equação, temos:
x y x y� � � � �4 4 
Agora, substituindo-a na segunda equação, temos:
x y y y
y y
� � � �� � � �
� � �
221 4 221
4 2212
 
 
 � � � �y y2 4 221 0
Resolvendo essa equação por meio da Equação de Bháskara, obtemos:
 y b
a
b a c
y
y
y
�
�
�
� �
� �
� � � � � �
�
� �
� �
�
�
2
1
4
4 16 4 1 221
2 1
4 900
2
4
2
. .
( )
��
�
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
30
2
13
4 30
2
172y
Pelo fato de que estamos tratando de idades, consideraremos y =13 . Agora, subs-
tituindo o valor na primeira equação, temos:
U
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R
31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
anotações
x y x
x
� � � � �
� �
4 13 4
17
 
 
Logo, constatamos que as idades dos primos são 13 e 17 anos.
O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 
a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na 
cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um 
escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática.
Fonte: Silva ([2020], on-line)¹.
explorando Ideias
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1
32
4 INEQUAÇÕES
Às vezes, deparamo-nos com a situação em que precisamos pensar se o dinhei-
ro que temos seria, ou não, suficiente para comprar certa quantidade de pro-
dutos. Essa situação, sem dúvida, é um dos exemplos das inequações, pelo fato 
de envolver polinômios e desigualdades. Assim, podemos definir as inequações 
como expressões matemáticas que envolvem polinômios e desigualdades como 
� � �, , ou ≤ . 
Caro(a) aluno(a), a seguir, estudaremos as inequações polinomiais do 1º e 
do 2º grau.
Inequação do 1º grau
Para determinarmos o conjunto solução das inequações polinomiais do 1º grau, 
em muitos casos, procedemos de forma análoga à das equações.
Exemplo 20: Para determinarmos o conjunto solução da inequação, definida 
por 3 2 11x � � , procedemos da seguinte forma:
U
N
IC
ES
U
M
A
R
33
 3 2 2 11 2
3 9
3 1
3
9 1
3
3
x
x
x
x
� � � � � �
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
� �
( ) ( )
Assim, S x x�� �� � | 3 .
Exemplo 21: para determinarmos o conjunto solução da inequação definida por 
4 7 6 15x x� � � , procedemos da seguinte maneira:
 4 7 6 6 15 6
2 7 7 15 7
2 8
2 8
x x x x
x
x
x
� � �� � � � � �� �
� � � �� � � � �� �
� �
� �
�
�
� � �� �
� � � �� � � � �� �
� � �
� ��
�
�
�
�
�
1
2 1 8 1
2 8
2 1
2
x
x
x �� � ��
�
�
�
�
�
� � �
8 1
2
4x
Assim, S x x�� �� � � | 4 
Observação: ao multiplicar ambos os membros de uma inequação por �� �1 , 
invertemos o sentido do sinal da desigualdade.
Inequação do 2º grau
Uma inequação do 2º grau na incógnita x é uma expressão que pode ser escrita 
em uma das seguintes formas:
U
N
ID
A
D
E 
1
34
ax bx c
ax bx c
ax bx c
ax bx c
2
2
2
2
0
0
0
0
� � �
� � �
� � �
� � �
Para resolvermos uma inequação do 2º grau, devemos, inicialmente, estudar o 
sinal da expressão correspondente à equação obtida, trocando-se a desigualda-
de pela igualdade. Ao localizarmos as raízes da equação, estudamos o sinal da 
equação correspondente.
Veremos dois casos de inequações do 2º grau.
Inequação-produto
Considere a seguinte inequação do segundo grau:
x x2 2 8 0� � �
Fatorando o primeiro termo da desigualdade, temos:
x x�� � � �� � �2 4 0
Assim, transformamos um polinômio de grau 2 em um produto de polinô-
mios de grau 1 . Como sabemos que o produto de dois termos é positivo quando 
ambos são positivos ou quando ambos são negativos, constatamos que a solução 
dessa inequação-produto é o conjunto de todos os x reais, tais que:
x �� � �2 0 e x �� � �4 0
ou
x �� � �2 0 e x �� � �4 0 .
Para o primeiro caso, temos x x� � � �2 0 2 e x x� � � � �4 0 4 . Anali-
sando esses intervalos, temos:
 
U
N
IC
ES
U
M
A
R
35
x ≥ 2 
x � �4 
----------------------------------------------------------------------------------------
x x� � �2 4 e 
Portanto, para essa opção, temos x ≥ 2 .
Por outro lado, para a segunda opção, temos x x� � � �2 0 2 e 
x x� � � � �4 0 4 . Analisando esses intervalos, temos:
x ≤ 2 
x � �4
----------------------------------------------------------------------------------------
x x� � �2 4 e 
Portanto, para essa opção, temos x � �4 . Logo, o conjunto solução para a inequa-
ção x x2 2 8 0� � � é S x x x�� �� � � � | 2 4 ou ou S � �� � � �( , ] [ , )4 2 . 
Observação: note que realizamos, primeiramente, a interseção entre os inter-
valos de uma mesma condição � �� �0 0 ou , para, posteriormente, unirmos 
os resultados.
U
N
ID
A
D
E 
1
36
Inequação-quociente
Observe que as seguintes inequações apresentam um quociente de polinômios 
de 1º grau:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
� � �
1
1
0 1 0
1
3 2
0 3 2 0
2 1
4
0 4
,
,
,
 
 
 00
2 3
2
0 2 0x
x
x�
�
� � �, 
A maneira de resolvermos esse tipo de inequação é semelhante ao visto 
nas inequações-produto. Isto é, analisamos os sinais das equações polinomiais 
de 1º grau envolvidas e, depois, analisamos o sinal do produto ou quociente, 
lembrando as regras de sinais para números reais.
Exemplo 22: Determine os valores de x∈, tal que: 
x
x
� �
�
1 2
2
.
Primeiramente, observamos que x ≠ 2 , para que a expressão faça sentido. 
Temos duas opções para o termo x + 2 :
I - Se x � �2 0 , segue que x x�� � � �� � �1 2 2 .
II - Se x � �2 0 , segue que x x�� � � �� � �1 2 2 .
Para (i), temos x x2 3 2 2 0� � � � , ou, ainda,
x x2 3 0� �
Isto é: 
x x� �� � �3 0 .
U
N
IC
ES
U
M
A
R
37
Observe que as raízes da equação são: x = 0 e x � �3 , e a inequação é satis-
feita para x � �3 e x > 0 . Analisando os intervalos, temos 
x � �3 
x > 0 
---------------------------------------------------------------------------------------
x x� � �3 0 e 
Além disso, a condição do item (I), de que x x� � � � �2 0 2 , implica 
que a solução para o item (I) é x > 0 ou 0,�� � .
Para o item (II), segue da mesma forma que:
x x� �� � �3 0
A inequação, nesse caso, é satisfeita para � � �3 0x . Entretanto a condição 
do item (ii) indica que devemos ter x � �2 . Assim, constatamos que a solução 
para esse item é:
� � � � �� �3 2 3 2x ou , .
Logo, a solução da inequação dada é a união entre asduas soluções:
�� �� �� �3 2 0, , . 
Observação: para o caso de uma inequação-produto ou inequação-quociente 
na qual o resultado desejado é � � ou , devemos nos recordar que os sinais dos 
termos devem ser opostos para que o produto entre dois termos seja negativo. 
Em outras palavras, é necessário analisar os casos em que um termo é positivo 
e o outro é negativo, e vice-versa, para, depois, realizar a união dos resultados.
U
N
ID
A
D
E 
1
38
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), chegamos ao final de nossa primeira unidade. Nós acabamos 
de estudar partes importantes e fundamentais para todo o decorrer do curso: 
os polinômios, as equações (e seus sistemas) e as inequações. Algumas pessoas 
não gostam dos polinômios por considerá-los abstratos. No entanto dão suporte 
aos demais conteúdos, tendo em vista que os polinômios estão envolvidos nas 
equações e nas inequações.
Além disso, alguns confundem e/ou não diferenciam a expressão “resolver 
equações” de “efetuar operações matemáticas”. Entretanto ao resolvermos uma 
equação, estamos determinando o(s) valor(es) da variável, que, na maioria 
dos casos, é representada pela letra x , a fim de que a igualdade se torne ver-
dadeira. Para tanto, recorremos ao processo que consiste em isolar a variável 
dos valores numéricos. 
Para os primeiros exemplos que estiver realizando e ao passar para seus alu-
nos, é interessante que você indique quais operações são inseridas para que se 
consiga isolar a variável, seja uma multiplicação, seja uma adição/subtração de 
um termo. Depois de muita prática e de já compreender a importância desse pas-
so, as indicações não são mais necessárias e as resoluções se tornam mais diretas.
Os sistemas de equações apresentam uma variedade imensa de aplicações 
no dia a dia. Muitos dos problemas enfrentados por todos utilizam duas ou mais 
variáveis e, por isso, saber resolver sistemas de equações se torna fundamental.
Resolver inequações de 2º grau pode parecer trabalhoso, mas com bastante 
prática, resolução de vários exemplos e dedicação, essa atividade se torna algo 
tranquilo, pois somente é necessário analisar as possibilidades para o sinal de 
cada uma das equações de 1º grau e, depois, unir os resultados.
Caro(a) aluno(a), você deve ter notado que várias demonstrações foram apre-
sentadas no decorrer desta unidade, tendo em vista que as demonstrações são 
tão importantes quanto à contextualização. Esperamos que você tenha gostado 
dessa forma de apresentação de conteúdo. Até a próxima unidade!
39
na prática
1. Analise as afirmativas, a seguir, e julgue com (V) para as Verdadeiras e (F) para as Falsas:
( ) O grau da soma de dois polinômios sempre será igual ao maior grau dos poli-
nômios envolvidos nessa adição.
( ) O grau da diferença entre dois polinômios sempre será igual ao menor grau 
verificado entre os polinômios envolvidos nessa subtração.
( ) O grau do produto de dois polinômios sempre será igual à soma dos graus de 
seus fatores.
( ) O grau do quociente de um polinômio por outro sempre será igual à diferença 
entre o grau de dividendo e do divisor.
A sequência correta é:
a) V, V, V, V.
b) V, F, F, F.
c) F, V, V, V.
d) F, F, V, V.
e) F, F, F, F.
2. Analise as afirmativas, a seguir, e julgue com (V) para as Verdadeiras e (F) para as Falsas:
( ) O conjunto solução de uma equação polinomial de 2º grau apresenta até dois 
valores reais distintos.
( ) O conjunto solução da equação polinomial de 2º grau sempre apresenta um ou 
dois valores reais distintos.
( ) Para determinar as raízes de uma equação polinomial de 2º grau, deve-se igualar 
a equação por 0.
( ) O conjunto solução de uma inequação polinomial de 2º grau sempre será um 
intervalo ou conjunto vazio.
A sequência correta é:
a) V, V, V, V.
b) V, F, V, V.
c) F, F, F, V.
d) F, F, V, F.
e) F, F, F, F.
40
na prática
3. Quanto às equações, analise as afirmativas a seguir:
I - Uma equação do 1º grau é um polinômio de 1º grau cujo maior expoente da 
variável é 1.
II - Uma equação do 2º grau do tipo não ad-
mite raízes opostas.
III - O método de fatoração permite resolver todos os tipos de equações do 2º grau, 
mesmo aquelas que não admitem raízes reais.
É correto afirmar que:
a) Apenas, a afirmativa I está correta.
b) Apenas, a afirmativa II está correta.
c) Apenas, a afirmativa III está correta.
d) Apenas, as afirmativas I e II estão corretas.
e) Apenas, as afirmativas I e III estão corretas.
4. Uma pessoa aumentou igualmente os lados de um jardim retangular de 5 metros 
por 3 metros e sua área passou para 35 m2. Cada lado desse jardim foi aumentado 
em quantos metros?
5. Uma companhia de táxis cobra R$ ,4 00 de taxa fixa mais R$ ,0 75 para cada qui-
lômetro rodado. Um cliente fez uma corrida com essa companhia de táxis e pagou 
R$ ,50 00 . Qual é a equação que representa esse valor?
6. Um cinema cobra R$ ,18 00 a entrada inteira e R$ ,9 00 a meia-entrada. Para uma 
seção de lançamento de um novo filme, foram vendidos 380 ingressos, arrecadan-
do um total de R$ ,5985 00 . Determine quantos ingressos de cada tipo foi vendido.
41
na prática
7. João quer construir uma cerca retangular em sua fazenda. Ele deseja que a cerca 
tenha, pelo menos, 180 m de perímetro. Se a cerca tem 20 m de largura, quantos 
metros a cerca deve ter de comprimento?
8. Um objeto é lançado para cima com uma velocidade dada pela equação V t� �80 32 , 
em que t é dado em segundos e a velocidade em metros por segundo. Quando a velo-
cidade desse objeto estará entre 32 e 64 metros por segundo? 
9. A Secretaria de Saúde de uma cidade realiza a vacinação contra Pólio e Sarampo. 
Cada vacina de Pólio é constituída por 4 doses e cada vacina de Sarampo é cons-
tituída por 2 doses. Ano passado, a Secretaria de Saúde realizou 60 vacinações, o 
que consistiu em um total de 184 doses. Quantas vacinas de Pólio e quantas vacinas 
de Sarampo a Secretaria realizou no ano passado? 
10. Encontre o conjunto solução da inequação � �� � � �� � �3 6 5 7 0x x . 
42
aprimore-se
De acordo com Miguel (1993), Clairaut, em 1741, demonstrava interesse em utilizar 
a História da Matemática no ensino e na aprendizagem da matemática. Contudo, 
existem poucos materiais instrucionais que podem auxiliar os professores a utiliza-
rem a História da Matemática como um recurso metodológico de ensino (BROLEZ-
ZI, 1991; MENDES, 2006; MIGUEL, 1993). Apesar da dificuldade de utilização desses 
materiais, os resultados de estudos recentes mostram que a História da Matemática 
pode ser utilizada de duas maneiras distintas no ensino e na aprendizagem da ma-
temática, ou seja, explícita e implícita (FERREIRA; RICH, 2001 apud DAMBROS, 2006). 
Nesse sentido, a utilização da História da Matemática, de uma maneira implícita, 
pode funcionar como um eixo orientador para auxiliar os professores a entenderem 
algumas dificuldades dos alunos, que estão relacionadas com o ensino de um deter-
minado conteúdo matemático, por exemplo, funções. Entendemos que essa abor-
dagem pode resultar em uma antecipação dessas dificuldades pelos professores. 
Em outra perspectiva, podemos empregar a História da Matemática, de uma ma-
neira explícita, por meio da utilização de situações-problema que ocorreram no de-
correr da história. Dessa maneira, podemos nos apropriar desses problemas para 
oferecer situações históricas semelhantes àquelas ocorridas na história, porém, 
adaptadas para outros contextos socioculturais. Então, a História da Matemática 
funciona como um pano de fundo na preparação das aulas, pois não há uma preo-
cupação com o detalhamento da história do conteúdo matemático a ser estudado.
43
aprimore-se
Por exemplo, comparando os procedimentos utilizados na antiguidade para o 
trabalho com os números negativos, percebe-se que esses números apresenta-
ram muitos obstáculos de entendimento pelas civilizações daquela época. Nesse 
sentido, as civilizações europeias demoraram para aceitar os números negativos, 
enquanto que acivilização chinesa utilizou barras pretas para representá-los e bar-
ras vermelhas para representar os números positivos, facilitando, dessa maneira, o 
trabalho operacional com esses números. Assim, historicamente, os números nega-
tivos tiveram impactos diferentes em culturas distintas, pois o seu desenvolvimento 
dependeu do contexto local e das ideias matemáticas que foram desenvolvidas em 
grupos culturais específicos (RADFORD, 1997).
Então, é de suma importância que percebamos a influência dos aspectos cultu-
rais no desenvolvimento do conhecimento matemático, pois existe a necessidade 
de que a cultura seja considerada como um fator relevante para o processo de ela-
boração de atividades matemáticas baseadas na perspectiva Sociocultural da Histó-
ria da Matemática. 
Fonte: Oliveira, Viana e Rosa (2013).
44
eu recomendo!
Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções
Autor: Gelson Iezzi e Carlos Murakami
Editora: Atual
Sinopse: o livro é uma coleção consagrada, ao longo dos anos, por 
oferecer ao estudante o mais completo conteúdo de matemática 
elementar. Este volume apresenta os seguintes tópicos: conjun-
tos e funções. Além disso, é composto por teoria e exercícios de 
aplicação, testes de vestibulares atualizados, selecionados criteriosamente e or-
denados por grau de dificuldade, acompanhados das respostas correspondentes. 
Há, ainda, uma série de artigos sobre história da matemática, relacionados aos 
temas abordados.
livro
Como resolver inequação do 2º grau
É uma ótima videoaula que mostra a forma de resolver inequações do 2º grau. 
https://www.youtube.com/watch?v=4nWOEQns2iw
conecte-se
2
FRAÇÕES
ALGÉBRICAS
PROFESSOR 
Me. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO 
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Expressões algébricas em forma 
de fração • Expressões algébricas • Equações fracionárias • Sistemas com equações fracionárias
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
• Conceituar variáveis e expressão algébrica • Definir, exemplificar e operar expressões algébricas • 
Identificar o conceito de equação algébrica • Resolver sistemas e problemas com equações algébricas.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a)! É notória a importância da matemática no dia a dia das 
pessoas, pois ela está presente em muitos lugares, desde a contagem de 
moedas para se comprar uma dúzia de pães franceses, até na escolha das 
roupas que usaremos, já que devemos relacionar a roupa com o local, a 
temperatura e as combinações que podemos fazer. Tudo isso é fazer ma-
temática no dia a dia.
Obviamente, nem toda a matemática pode ser descrita de forma algé-
brica. Algumas vezes, basta utilizarmos o raciocínio lógico para se resolver 
um problema, como uma coleção de informações essenciais que servem de 
base para um raciocínio (premissas) e as quais, se estudadas, levam-nos a 
uma conclusão, por exemplo. Entretanto, é bom saber que nem toda cole-
ção de premissas nos leva a uma conclusão.
Em nossa primeira unidade, apresentamos o conceito de equações po-
linomiais, mas quem garante que essas expressões matemáticas garantem o 
estudo de todas as situações possíveis? Por exemplo, quando uma incógnita 
se encontra presente no denominador de uma fração, será que podemos 
ter uma solução? A resposta é sim, pois, em nossa segunda unidade, apre-
sentaremos o conceito de equações fracionárias ou frações algébricas, ou 
seja, aquelas que apresentam incógnita no denominador.
Trata-se de um tema importante e relevante, pois corresponde a um tó-
pico que fará parte de sua vida profissional, como professor de Matemática 
no Ensino Fundamental e, algumas vezes, até no Ensino Médio ou, ainda, 
no Ensino Superior, nas disciplinas de exatas.
Assim, cabe a você, enquanto futuro educador, dedicar-se à identifi-
cação de frações algébricas, assim como a sua simplificação, na adição, na 
subtração e por que não na multiplicação dessas expressões, além estender 
esse conceito para sistemas de equações fracionarias, pois também é uma 
possibilidade que apresentaremos nesta unidade. Portanto, explore, inves-
tigue e dedique-se. Um forte abraço e mãos à obra!
U
N
IC
ES
U
M
A
R
47
1 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EM
FORMA DE FRAÇÃO
Antes de começarmos a falar sobre o conteúdo de nossa unidade, precisamos 
relembrar alguns conceitos importantes. Vamos lá?
Definição: denomina-se variável a letra que representará qualquer número ou 
um conjunto de números, ou seja, é um símbolo representativo (incógnita) capaz 
de representar o número de um conjunto.
Ao expandirmos esse conceito, misturamos as variáveis com outros números 
e operações aritméticas, como 2 2 3x x� � �( ) , por exemplo, e acabamos repre-
sentando uma expressão. Tais expressões são chamadas expressões algébricas. 
Note que, nessa expressão, temos uma variável, x , números conhecidos, 2 e 3 , 
e operações aritméticas também conhecidas, a soma e a multiplicação. 
U
N
ID
A
D
E 
2
48
2 
EXPRESSÕES
ALGÉBRICAS
Agora que já retomamos o conceito de expressão algébrica, analisaremos um caso 
específico, quando as expressões envolvem frações. Vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo 1: 
1
x
, 
a b
b
−
−2
, 
x
x x y y2 22� � � �
, 
a x
b y
⋅
⋅ ⋅2
.
Perceba que, em todos os casos, temos números conhecidos, variáveis cujo valor 
não conhecemos (uma ou mais variáveis) e operações aritméticas. É comum, 
também, o fato de que todos os casos apresentam variáveis no denominador das 
frações. Por isso, essas expressões recebem o nome de frações algébricas.
Algo muito importante e que deve ser destacado é: nunca podemos ter o 
valor zero no denominador de uma fração. Pelo fato de que temos variáveis nos 
denominadores de nossas frações, precisamos estar atentos aos valores que essas 
variáveis podem assumir. Por exemplo, na fração algébrica 1 x, sabemos direta-
mente que x ≠ 0 , pois x é o único elemento do denominador e, portanto, deve 
ser diferente de zero. Vejamos outros exemplos.
Exemplo 2:
I - 
x
x −1
. Nesse caso, a expressão no denominador é x −1 . Precisamos en-
U
N
IC
ES
U
M
A
R
49
contrar qual é a restrição que deve acontecer:
x
x
x
� � � �
� � � � � � � �
�
1 0 1
1 1 0 1
1
 +
Logo, a restrição é que x deve ser diferente de 1 .
II - 
n
m n−3
. Aqui, a expressão no denominador é m n−3 . Isto é, possuímos 
duas variáveis distintas. Isso demonstra que a restrição de uma das va-
riáveis está ligada à restrição da outra. Novamente, sabemos que o de-
nominador deve ser diferente de zero. Assim, temos:
m n n
m n n n
m n
� � � �
� � � � � � � �
�
3 0 3
3 3 0 3
3
 +
Logo, a restrição é m n≠ 3 . Por exemplo, se n =1 , sabemos que m não 
pode assumir o valor 3 .
III - 
y
x2 1−
. Nesse exemplo, a expressão no denominador é x2 1− , a qual é 
uma expressão do segundo grau. Podemos reescrever essa expressão, 
utilizando produto notável, como x x x2 1 1 1� � �� � �� � . Assim, a res-
trição de nosso denominador deve ser:
x x
x x
x
�� � � �� � �
� �� � � �� � �
� �
1 1 0
1 0 1 0
1
 e 
 e x � �1
Ou seja, temos duas restrições para nossa variável: x não pode ser 1 e 
não pode ser −1 .
U
N
ID
A
D
E 
2
50
Simplificação de frações algébricas
Quando queremos realizar a simplificação de uma fração, dividimos tanto o nu-
merador quanto o denominador pelo mesmo número diferente de zero. Isso equi-
vale a “cancelar” os fatores em comum, obtendo uma fração mais simples, como:
15
20
3 5
2 2 5
3
4
�
� �
� � �
� 
42
252
2 3 7
2 3 7
1
62 2
�
� � � � �
� � �
�
� �
Com o mesmo procedimento em mente, podemos realizar simplificações de 
frações algébricas, quando há algum fator em comum, não nulo, no numerador 
e no denominador. 
Exemplo 3:
I - 
4
6
2 2
2 3
2
3
2
2
� �
� �
�
� � � � � � �
� � � � � � �
�
�
�
x y
x y
x y y
x x y
y
x
II - 
x y
x y
2 2�
�
. Note que o numerador é uma diferença entre dois quadrados, 
logo, podemos reescrever como x y x y x y2 2� � �� � � �� �. Assim, temos:Você sabia que as frações algébricas estão muito presentes em nosso dia a dia? Imagine 
que você está abastecendo R$ ,100 00 de combustível e que o preço de um litro de com-
bustível é x reais: assim, seu carro receberá 100 x litro de combustível. Essa é uma conta 
que fazemos constantemente e nem percebemos!
pensando juntos
U
N
IC
ES
U
M
A
R
51
x y x y
x y
x y
�� � � �� �
�
� �
III - 
8 4
2
2b b
b
−
. Constatamos que 4b é um fator comum das parcelas do nu-
merador, portanto, podemos colocá-lo em evidência e simplificar:
8 4
2
4 2
2
2 2
1
4 2
2 2b b
b
b b
b
b
b
�
�
� � �� �
� �
�
�� �
� �
Adição e subtração de frações algébricas
As operações de adição e subtração com frações algébricas são realizadas da 
mesma maneira que adicionamos ou subtraímos números na forma fracionária:
 ■ Obtemos frações equivalentes e de mesmo denominador.
 ■ O denominador comum poderá ser o produto ou o MMC dos denominadores.
Exemplo 4:
i - 
1
2
3
4
2
3x y
� � . Vamos realizar essa operação, usando o produto dos deno-
minadores:
1
2
3
4
2
3
12 18 16
24
2 6 9 8
2 12
x y
y x x y
x y
y x x y
x
� � �
� � � � �
� �
�
� � � � � � � �� �
� � � ��
�
� � � � � �
� �
y
y x x y
x y
6 9 8
12
U
N
ID
A
D
E 
2
52
ii - 
1
2 2x y
x
x y�
�
�
. Vamos realizar essa operação, utilizando o MMC:
1
2
2
2 2
2 2
x y
x
x y
x y x
x y x y
x y
x y x y
x y
x y
�
�
�
�
�� � �
�� � � �� �
�
�
�� � � �� �
�
�
�
Observação: note que x y x y x y2 2� � �� � � �� � , ou seja, os denominadores 
x y− e x y x y�� � � �� � possuem um termo em comum. Isso quer dizer que 
mmc x y x y x y x y x y� �� � �� �� � � �� � � �� �, . Em outras palavras, quando 
queremos calcular o MMC entre duas expressões algébricas e ambas possuem 
um termo em comum, não é necessário realizar o produto entre elas. 
Multiplicação de frações algébricas
A operação de multiplicação, envolvendo frações algébricas, ocorre do 
mesmo modo como multiplicamos números em forma de fração. Vejamos 
alguns exemplos:
Exemplo 5:
I - 
3
4
8
7
3 8
4 7
6
7
2
3
2
2
x
y
y
x
x y y
y x x x
y
x
�
�
�
�
� � � � � � �
� � � � � � � �
�
�
�
 
II - 
6
2
6
2
6
2 2
3� �
�
�
�
�
�
� �
�� � � �� �
�
�
�
�
� � � � � �� �
�
x y
x y
x y
x
x y
x y x y
x y
x
x y x y
x yy x y x
y
x y� � � �� � � � � �
�
�2
3
 
Observação: é necessário sempre estar atento às restrições. Para o exemplo I), 
sabemos que x y, ≠ 0 . Para o exemplo II), sabemos que:
U
N
IC
ES
U
M
A
R
53
x y x y
x y
x y
2 2 2 2
2 2
0� � � �
� �
� �
 
 
Além disso, x ≠ 0 .
Divisão de frações algébricas
Da mesma maneira que ocorre com as outras operações, a divisão de frações 
algébricas também se dá de modo similar: multiplica-se a primeira fração pelo 
inverso da segunda fração.
Exemplo 6:
I - 
4 4
5
4 5
4
5
2 2
xy
z
x
z
xy
z
z
x
y
z
: � � � � �
� �
� 
II - 
x
x x y
x x
y
x
x x y
y
x x
x x2 2 2
2
4
2
2
2 1
4
2
2 1
2
2 2 2�
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�
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�
�
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�
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�� � �� � �: �� �� �
� �� � � �� �
�
�y
x y x x
x
x
1
1 2 2
2
2 
Observação: lembre-se que 
4 4
5
4
4
5
2
2xy
z
x
z
xy
z
x
z
: = .
Potenciação de frações algébricas
Assim como nos casos anteriores, o cálculo de potências de frações algébricas 
ocorre da mesma maneira. Vejamos alguns exemplos:
I - 
2
3
2
3
4
9
2 2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
� 
II - 
a b
x a b
x
x
a b
x
a b
x
a
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�� �
�
�
3
1
3
3 3 92
2
2 2
2
2
2 �� �2 2ab b
U
N
ID
A
D
E 
2
54
3 
EQUAÇÕES
FRACIONÁRIAS
Denominamos equação fracionária toda fração que possui, ao menos, uma va-
riável no denominador:
I - 
45
3
4
x
= 
II - 
23 3
4
0( )x
x
�
�
Resolução de equações fracionárias
I - 
3
4
2 1
3
� � �
x
x, *  
U
N
IC
ES
U
M
A
R
55
 Reduzimos ao mesmo denominador.3
4
2 1
3x
99
12
24
12
4
12
9
x
x x
x
x
 Realizamos a soma do lado esquerdo.
xx
x
x
x
x x
x
24
12
4
12
9 24 4
9
 Eliminamos o denominador.
4 24
5 24
24
5
x
x
x
II - 
x
x x
x
x
x x
�
�
�
�
�
�
� � �
3
1
3
1
9
3 3
2
2 , para e 
 Reduzir ao mesmox
x x
x
x3
1
3
1
9
2
2 denominador (mmc).
x x
x x
x
x x
x3
3 3
3
3 3
12
xx x
x x x x
x
3 3
3 3 12
 Eliminar o denominador.
22 2
2 2
3 2
3 2
2 2
2
2
1
x x x
x x x x
x
x
x
U
N
ID
A
D
E 
2
56
Neste tópico, apresentaremos um caso particular dos sistemas de equações que 
estudamos, na Unidade 1, deste livro. Aqui, as equações que aparecem no sistema 
são equações fracionárias, isto é, possuem pelo menos uma variável no denomi-
nador. Vejamos, por meio de exemplos, como devemos solucionar um sistema 
de equações fracionárias:
Exemplo 7:
I - 
2 3 21
5
1 2
1
5
6
x
y
x y x
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
.
O primeiro passo é impor as restrições: para a primeira equação, temos y ≠ 0 , 
enquanto, para a segunda equação, temos x y≠ ≠0 1, . Isto é, para o nosso siste-
ma, as restrições são x y y≠ ≠ ≠0 0 1, , .
Agora, é necessário reescrever o sistema, de forma que as equações estejam 
na forma ax by c� � . Em outras palavras, devemos reduzir o denominador a 
um termo comum e realizar a simplificação:
4 
SISTEMA COM EQUAÇÕES
FRACIONÁRIAS
U
N
IC
ES
U
M
A
R
57
 2 3
1
21
5
10
5
15
5
21
5
10 15 21
10 15 21
x
y
x
y
y
y
y
y
x y y
x y y
� �
� � �
� � �
� � � � 00
10 6 0� � �x y
 1 2
1
5
6
1 6 1
6 1
2 6
6 1
5 1
6 1
x y x
y
x y
x
x y
y
x y
�
�
�
�
� �� �
�� �
�
�
�� �
�
� �� �
�� ��
� �� � � � �� �
� � � � �
� � � � � �
� � �
6 1 12 5 1
6 6 12 5 5
12 6 5 5 6
12 1
y x y
y x y
x y y
x y
 
Agora, resolvemos o sistema resultante: 
10 6 0
12 1
x y
x y
� �
� �
�
�
�
.
 
 
10 6 0
12 1 6
10 6 0
72 6 6
82 6
x y
x y
x y
x y
x
x
� �
� � �� �
�
�
�
��
�
� �
� �
�
�
�
�
� �
66
82
3
41
� �x
10 6 0
10 3
41
6 0
30
41
6
30
246
5
41
x y
y
y
y
y
� �
� � � �
� �
� �
� �
 
Precisamos, então, verificar as restrições. Assim, como 
3
41
0 5
41
0≠ ≠, e 
5
41
1≠ , 
a solução do sistema é o par ordenado 3
41
5
41
,�
�
�
�
�
� . 
II - 
x y
x y
� �
� �
�
�
�
��
60
5 9 8
15
 , sabendo que x y� � 675 .
U
N
ID
A
D
E 
2
58
Note que as restrições são x ≠ 0 e y ≠ 0 . Assim, reduziremos a equação que 
possui uma fração algébrica a um denominador comum:
5 9 8
15
75
15
135
15
8
15
75 135 8
135
675
x y
y
xy
x
xy
xy
xy
y x xy
xy
� �
� � �
� � �
�
�

xx y
x y
x y
� � �
� � � �� �
� � �
75 8 675
135 75 5400 15
9 5 360
 
Isso resulta, então, no sistema dado por 
x y
x y
� �
� �
�
�
�
60
9 5 360
. Vamos resolvê-lo pelo 
método da substituição:
x y
y x
� �
� � �
60
60
 
9 5 360
9 5 60 360
9 300 5 360
4 60
15
x y
x x
x x
x
x
� �
� � �� � �
� � � �
� �
� �
 
y x
y
y
� �
� � �
� �
60
60 15
45
No século XVI, o astrônomo polonês Nicolaus Copernicus trocou a visão tradicional do 
movimento planetário centrado na Terra por um em que o Sol estava no centro e os pla-
netas giravam em torno dele, em órbitas circulares. Embora o modelo de Copérnico esti-
vesse muito próximo de predizer o movimento planetário corretamente, existiam discre-
pâncias. Todavia o problema foi resolvido pelo matemático alemão Johannes Kepler, que 
descobriu que as órbitas planetárias não eram círculos, mas elipses. Kepler descreveu o 
movimento planetário por três leis, sendo que uma delas pode ser representada por uma 
equação fracionária, evidenciando, assim, uma constante k , conhecida como a constante 
de Kepler, a qual só depende da massa do Sol.
explorando Ideias
U
N
IC
ES
U
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A
R
59
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a)! Chegamos ao fim de mais uma unidade, a segunda de um total 
de cinco, em que conceitos importantes foram apresentados e, talvez, até relem-
brados. Contudo, isso não demonstra que eles são menos importantes, pois, para 
um bom desenvolvimento da matemática, é precisoter uma base teórica sólida. É 
como um ditado: uma casa construída sobre a areia não é resistente como uma casa 
construída sobre a rocha. Assim, a sua dedicação é essencial para que isso aconteça.
Esta unidade foi importante para que você descobrisse ou relembrasse que as 
equações polinomiais não se limitam apenas as apresentadas na unidade anterior, 
pois também podemos ter incógnitas no denominador de uma fração e, por que 
não, no expoente de um número. Esse conceito será apresentado (ou relembrado), 
futuramente, em outras disciplinas. 
Aqui, também foi possível notar que, mesmo mais complexas, as equações fracio-
narias também fazem parte de nosso cotidiano, podendo aparecer no dia a dia e sendo 
importantes na execução de uma tarefa ou apresentação de um resultado. Portanto, 
saber como elas funcionam e se aplicam é essencial para a nossa vida docente.
Outro ponto importante foi perceber que os sistemas de equações podem utili-
zar as equações fracionárias, com algumas restrições, é claro. Não só, mas que pode-
mos utilizar alguns métodos já vistos para resolvê-los e que novos métodos surgem 
a partir disso, assim como é o caso do artifício de mudança de variáveis. Dessa 
forma, torna-se importante saber como utilizá-los e em que momento aplicá-los.
Portanto, cabe agora a você, aluno(a), revisar os temas apresentados, refazer 
os exemplos citados e treinar os exercícios propostos a seguir, pois, como um 
bom matemático, também devemos treinar os nossos conhecimentos, por meio 
da realização de exercícios, para fixação do conteúdo. Não se esqueça de assistir 
às aulas conceituais, uma vez que se tratam de um importante recurso de estudo 
e fixação da matéria. Está preparado(a) para a nossa próxima unidade? Espero 
que sim! Um forte abraço e até a próxima.
T kr T
r
k2 3
2
3� � ou 
As leis de Kepler não se aplicam somente aos planetas orbitando o sol, mas a todos os 
casos em que um corpo celestial orbita outro sob a influência da gravitação e, até mesmo, 
estrelas orbitando outras estrelas.
Fonte: o autor.
60
na prática
1. Escreva cada uma das frações algébricas com as respectivas restrições ao denominador: 
a) Numerador: dez.
 Denominador: o dobro de um número real qualquer.
b) Numerador: o sucessor de um número natural qualquer.
 Denominador: o triplo desse número.
c) Numerador: um número real qualquer.
 Denominador: esse número aumentado em um.
2. Apresente a restrição que devemos fazer ao denominador, para que cada fração 
algébrica represente um número real:
a) 
x
x −1
.
b) 
y
x2 6+
.
c) 
x
x2 1−
.
d) 
x
x y−
.
3. Simplifique as frações algébricas:
a) 
x xy
x xz
+
+
.
b) 
a
a
�
�
3
2
.
c) 
2 10
5
2y y
y
−
−
.
61
na prática
d) 
a b
a a b ab
3 3
3 2 2
�
� �
.
4. Por meio de frações algébricas, apresente o perímetro e a área de uma região re-
tangular cujo comprimento corresponde a 
x
y
 e a largura a 
2
y
.
5. Resolva as seguintes equações fracionárias:
a) 
3 2
5
3
4
0
x
x� � �� � .
b) 
2
4
1
2
2 22x x
x x
�
�
�
�
� � �� � ; .
c) 
1
3
2
9
3
3
3 32x x x
x x
�
�
�
�
�
� � �� � ; .
6. Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra enche o mesmo tanque em x 
horas. Juntas, elas enchem o tanque em 4 horas. Descubra o número x de horas 
que a segunda torneira demora para encher o tanque.
62
aprimore-se
NEM SÓ ÁLGEBRA, NEM SÓ ARITMÉTICA
Este artigo se inspira na linha de que se pode ensinar matemática, no primeiro grau, 
por meio de dados simples, tirados de fatos da vida cotidiana, evitando que um sim-
bolismo exagerado leve à fuga do concreto e ameace tornar as aulas enfadonhas.
Acreditamos que, ao partir de situações concretas, impedimos que o aluno se 
escravize às operações e às regras, estimulando-o a refletir sobre um problema, e 
não somente sobre quais operações executar para resolvê-lo.
Nessa direção, apresentamos sugestão de novo enfoque para 5 problemas que, 
nessa ou noutra versão, são comumente estudados em sala de aula. Tentaremos, 
ainda, mostrar, nos exemplos, como um desenho da situação descrita em um pro-
blema pode ajudar na busca da solução.
Exemplo 1: Calcular dois números, dadas sua soma e diferença.
Sabendo que, para determinar o menor deles, basta dividir por 2 a diferença dos 
números dados, o estudante poderá sair-se bem em um exame. Mas o que restará 
quando a regra tiver sido esquecida?
Nossa sugestão é apresentar o problema numa situação concreta: Mário e Ro-
berto têm, juntos, 45 bolinhas. Mário tem 7 bolinhas a mais do que Roberto. Quan-
tas bolinhas tem cada um?
Pode-se encenar o problema dando a dois alunos da classe 45 objetos (bolinhas, 
feijões, ou o que estiver ao alcance) e pedir que eles os dividam entre si, nas condi-
ções do problema. A classe toda será convidada a participar e todas as sugestões 
serão analisadas. Eventualmente, a classe perceberá que dando, inicialmente, ao 
Mário, as 7 bolinhas que ele possui a mais do que Roberto e, em seguida, repartindo 
em partes iguais as bolinhas restantes, o problema estará resolvido.
Posteriormente, pode-se dar ao problema um tratamento mais abstrato: Se x for 
o número de bolinhas de Roberto,
x x x� � � � � � �7 45 45 7
2
19 .
63
aprimore-se
O desenho pode ser um grande auxiliar no ensino de matemática, mesmo fora da 
geometria. Quem já não viu o problema folclórico:
Exemplo 2: Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo inteiro?
O seguinte desenho fala por si:
um tijolo meio
tijolo
1 kg
 
Se um quilo está no lugar de meio tijolo, meio tijolo pesa um quilo. Logo, o tijolo 
pesa 2 quilos.
"Algebrizando": x x x� � � ��
�
�
�
�
�1 2
2 .
Observação final:
Durante muitos anos, no primeiro grau, predominavam as seguintes atitudes:
 ■ Até a 5.ª série, problemas eram resolvidos com o uso, apenas, da aritmética.
 ■ Da 6.ª série em diante, com a introdução da álgebra, os problemas passavam 
a ser resolvidos, exclusivamente, por processos algébricos.
A nossa opinião é que o raciocínio aritmético (nos exemplos, apoiado por figuras) 
deva continuar sendo cultivado, mesmo após a introdução da Álgebra, ou seja, no 
primeiro grau, nem só álgebra, nem só aritmética.
Fonte: Viotto (1990).
64
aprimore-se
Tudo é matemática - 8º ano
Autor: Luiz Roberto Dante
Editora: Ática
Sinopse: coleção que ensina matemática por meio de exemplos e 
situações-problema inteligentes e criativos. Inicia-se, no primeiro 
capítulo, revendo o que aprendemos, para uma eficaz revisão de 
conteúdos estudados. A teoria é apresentada com destaque, por 
meio de explicações sempre ligadas a exemplos do cotidiano dos alunos. Além 
disso, atividades e problemas seguem as explicações para trabalhar imediata-
mente os conceitos. Todos os exercícios estão em rigorosa ordem de dificuldade: 
do mais fácil ao mais complexo.
livro
O homem que viu o infinito
Ano: 2016
Sinopse: o filme retrata a história de Srinivasa Ramanujan, um 
matemático indiano que fez importantes contribuições para o 
mundo da matemática, para a teoria dos números, a série e fra-
ções contínuas.
filme
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
anotações
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
anotações
3TRIGONOMETRIAPROFESSORES Me. Issao MassagoMe. Tiago Peres da Silva Suguiura
PLANO DE ESTUDO 
A seguir, apresentam-se as aulas que você estudará nesta unidade: • Triângulo retângulo e Teorema de 
Pitágoras • Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Ciclos trigonométricos • Leis trigonométricas
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
• Identificar os triângulos retângulos e aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações-problema 
• Definir as principais razões trigonométricas no triângulo retângulo e resolver situações-problema que 
as envolvem • Resolver situações-problema que envolvem o ciclo trigonométrico • Conhecer as leis dos 
senos e dos cossenos, envolvendo triângulos quaisquer, e resolver situações-problema que as envolvem.
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),bem-vindo(a)! Nesta unidade, estudaremos trigonome-
tria. Para tanto, iniciaremos o nosso estudo, caracterizando o triângulo 
retângulo. Aproveitando, avançaremos para o Teorema de Pitágoras, de-
monstrando-o a partir de duas óticas: a primeira é a de nosso costume e a 
segunda é uma maneira mais elaborada.
Após a nossa familiarização com os triângulos retângulos, estudaremos 
a trigonometria, o foco de estudo desta unidade. Como de costume, par-
timos da definição de cada uma das razões trigonométricas e, em seguida, 
demonstraremos as relações entre elas. Para demonstrarmos as relações en-
tre várias razões trigonométricas, recorremos às semelhanças de triângulos. 
Depois, avançaremos para a determinação das razões seno, cosseno e 
tangente dos ângulos notáveis, que são de 30º, 45º e 60º, tendo em vista que 
não devemos, apenas, decorar os valores, mas precisamos ter noção de como 
esses valores foram determinados. Para determinarmos os valores dessas ra-
zões trigonométricas, recorremos novamente às semelhanças de triângulos. 
Posteriormente, estudaremos os ciclos trigonométricos conhecidos 
como trigonometria na circunferência. Nos ciclos trigonométricos, com-
preenderemos o sinal de cada uma das razões trigonométricas e a redução 
ao 1º quadrante. Para isso, precisamos nos lembrar das simetrias e dos 
ângulos complementares e suplementares.
Por fim, estudaremos duas leis trigonométricas, isto é, a lei de senos e 
a lei de cossenos para triângulos quaisquer. Essas duas leis trigonométri-
cas permitem a resolução de algumas situações-problemas que envolvem 
razões trigonométricas em triângulos quaisquer. Atente-se para o fato de 
que a sua demonstração envolve semelhanças de triângulos, mais especi-
ficamente, de triângulos retângulos, tendo em vista que as razões trigono-
métricas são razões verificadas entre os lados de um triângulo retângulo.
Caro(a) aluno(a), desejamos-lhe um bom estudo!
U
N
IC
ES
U
M
A
R
69
1 
TRIÂNGULO RETÂNGULO E
TEOREMA DE
pitágoras
Antes de iniciarmos o estudo da trigonometria propriamente dita, compreende-
remos um pouco o triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
Ao dividirmos um retângulo por uma das diagonais, obtemos dois triângulos 
semelhantes, assim como podemos observar na figura a seguir:
ou
Figura 1 – Obtenção de dois triângulos a partir da divisão de um retângulo / Fonte: os autores. 
U
N
ID
A
D
E 
3
70
Por ser exatamente a metade de um retângulo, podemos observar que o maior 
ângulo de cada um dos triângulos é de 90º graus. O lado oposto ao ângulo reto 
(ângulo de 90º ) do triângulo retângulo, nesse caso, o que era diagonal, é o lado 
de maior medida e é chamado hipotenusa. Os lados adjacentes ao ângulo reto, 
que eram os lados do retângulo, são chamados catetos. 
Teorema de Pitágoras
A partir da medida de dois lados de um triângulo retângulo, podemos determinar 
a medida do terceiro lado por meio de Teorema de Pitágoras:
h cc2 1
2
2
2� �
Sendo:
h : hipotenusa,
c1 : cateto 1 , e
c2 : cateto 2 . 
Observação: alguns escrevem o Teorema de Pitágoras como h c C2 2 2� � . No 
entanto, não podemos usar letra maiúscula para representar o segmento de reta, 
como o cateto. O pior é associar o C ao cateto de medida maior, uma vez que nem 
sempre conhecemos as medidas de ambos os catetos.
Alguns demonstram a validade do Teorema de Pitágoras, construindo um 
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5 cm e os catetos medem 4 cm e 3 
cm, assim como é observável na figura a seguir:
4 cm
3 cm
5 cm
Figura 2 – Construção de um triângulo retângulo / Fonte: os autores.
U
N
IC
ES
U
M
A
R
71
Em seguida, constroem-se 3 quadrados cujas arestas são cada um dos lados deste 
triângulo retângulo, assim como é mostrado a seguir:
4 cm
3 cm5 cm
A = 9 cm2
A = 16 cm2
A = 25 cm2
Figura 3 – Três quadrados são formados a partir de um triângulo retângulo / Fonte: os autores. 
Podemos observar que a área do quadrado maior, isto é, a área do quadrado cuja 
aresta é a hipotenusa do triângulo, equivale à soma das áreas de quadrados cujas 
arestas são iguais aos catetos do mesmo triângulo.
Essa relação também pode ser observada na figura a seguir:
4 cm
3 cm
5 cm
A = 3.125π cm2
A = 2π cm2
A = 1.125π cm2
Figura 4 – Formam-se três metades de círculo a partir de um retângulo / Fonte: os autores. 
U
N
ID
A
D
E 
3
72
Entretanto, no Ensino Superior, precisamos mostrar que o Teorema de Pitágoras 
é válido para todos os triângulos retângulos. Dessa forma, faremos assim como 
é evidenciado no exemplo a seguir: 
α
β
BA
C
 
Figura 5 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
Marcamos o ponto D , de forma que DB seja a altura do triângulo em relação à 
base AC , assim como é visível na figura a seguir:
α
β
BA
C
β
α
D
Figura 6 – Dividimos o triângulo retângulo em dois por meio de sua altura / Fonte: os autores .
Observação: denotaremos por AB , o segmento de reta entre os pontos A e B , 
e denotaremos por AB , a medida desse segmento de reta.
Verificamos que   ABC ADB BDC, , são semelhantes pela relação AAA 
(ângulo, ângulo, ângulo), isto é, todos os ângulos correspondentes são congruentes:
U
N
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ES
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R
73
α
β
BA
C
α
β
B
A D
α
β
B
C
D
 
Figura 7 – Triângulos semelhantes com ângulos congruentes / Fonte: os autores.
Observação: ângulos congruentes significam ângulos com a mesma medida.
Pelo fato de que as razões entre os lados correspondentes de dois triângulos se-
melhantes são proporcionais, ao comparar ABC e ADB , temos:
 AB
AC
AD
AB
AB AC AD
�
� � � �� �� � �2
Comparando ABC e BDC , temos:
 BC
AC
DC
BC
BC AC DC
�
� � � �� �� � �2
Assim: 
AB BC AC AD AC CD
AC AD DC
� � � � � � �� �� � � � � �� �
� � � � �� �
2 2
Como AD CD AC� � , substituindo AD CD+ por AC , temos:
U
N
ID
A
D
E 
3
74
 AB BC AC AC
AB BC AC
� � � � � � � �
� � �
�� �
� � � � � �
2 2
2 2 2
O que equivale a:
AC AB BC� � � � � � � �2 2 2 .
Pelo fato de que no ABC AC, é hipotenusa h� � , AB é um dos catetos c1� � 
e BC é outro cateto c2� � , fazendo as substituições, temos:
h c c2 1
2
2
2� � .
Alguns recorrem à soma das áreas de quadrados, enquanto outros empregam a soma de 
semicírculos, para mostrar a validade do Teorema de Pitágoras. Será que podemos usar 
outras áreas, como a de triângulos equiláteros ou de pentágonos?
pensando juntos
U
N
IC
ES
U
M
A
R
75
2 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
NO TRIÂNGULO
retângulo
Primeiramente, estudaremos as razões seno, cosseno e tangente. Para isso, ana-
lisemos o triângulo retângulo a seguir:
α
hipotenusa
cateto adjacente ao ângulo α 
cateto oposto ao ângulo α 
 
Figura 8 – Triângulo retângulo inscrito em uma circunferência tal que a hipotenusa do triân-
gulo é igual ao raio da circunferência / Fonte: os autores.
U
N
ID
A
D
E 
3
76
Começaremos com a razão seno, que é a razão entre o cateto oposto ao ângulo 
dado e a hipotenusa.
Exemplo 1: na figura apresentada a seguir, temos:
α
3 cm
2 cm
 
Figura 9 – Triângulo retângulo com hipotenusa igual a 3 cm e cateto oposto igual a 2 cm
Fonte: os autores.
sena =
2
3
, tendo em vista que sena =
Cateto Oposto
Hipotenusa
.
Já a razão cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo dado e a hipotenusa.
Exemplo 2: na figura:
α
5 cm
4 cm 
Figura 10 – Triângulo retângulo com hipotenusa igual a 5 cm e cateto adjacente igual a 4 cm
Fonte: os autores.
temos cosa =
4
5
, tendo em vista que cosa =
Cateto Adjacente
Hipotenusa
.
U
N
IC
ES
U
M
A
R
77
Observação: note que sen sen2 2a a� � � .
Utilizaremos a observação anterior para introduzirmos a principal relação exis-
tente entre seno e cosseno, a qual é conhecida como a Relação Fundamental 
da Trigonometria. Ela é dada por:
sen cos2 2 1a a� �
.
Demonstração: façamos a demonstração da relação fundamental, partindo do 
seguinte triângulo retângulo, sabendo que 0 90º º< <a :
α
C
BA 
Figura 11 – Triângulo retângulo / Fonte: os autores.
A partir disso, temos:
sen sena a� � �
Cateto Oposto