P2 - Exercícios - Plano e Reta

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LISTA – PLANO e RETA 
 
1) Determine a equação do plano que contém o ponto P e é ortogonal ao vetor n nos casos: 
a) P = (1, −1, 1) e n = ( 2, 4, 1) R: 2x + 4y + z + 1 = 0 
b) P = (4, 2, 1) e n = ( 2, −3, 0) R: 2x − 3y − 2 = 0 
c) P = (0, 0, 1) e n = (1, 2, −1) R: x + 2y − z + 1 = 0 
 
2) Dê a equação do plano que passa pela origem do sistema cartesiano e é normal ao vetor n = 
(1, 2, 3). R: x + 2y + 3z = 0 
 
3) Dê a equação do plano que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores u e v, nos casos: 
a) A (0, 1, −1), u (1, 2, 2) e v (2, 3, 1). R: 4x − 3y + z + 4 = 0 
b) A (0, 0, 0), u (1, 1, 2) e v (3, −1, 1). R: 3x + 5y − 4z = 0 
 
4) Dê a equação do plano que passa pelos pontos A, B e C nos casos: 
a) A = (1, 2, 4), B = ( 2, 3, 5) e C = (3, 4, 7). R: x − y + 1 = 0 
b) A = (1, 2, 3), B = ( 2, 3, 1) e C = (3, 1, 2). R: x + y + z − 6 = 0 
c) A = (1, 1, 0), B = ( 0, 1, 1) e C = (1, 0, 1). R: x + y + z − 2 = 0 
 
5) Dê a equação do plano que passa pelos pontos A (−1, 1, 7) e B (2, 4, 5) e é paralelo ao vetor 
v (2, 1, 1). R: 5x − 7y − 3z + 33 = 0 
 
6) Determine as interseções do plano : 2x + y + z −4 = 0 com os eixos coordenados e esboce 
o gráfico deste plano. R: Px = (2, 0, 0), Py = (0, 4, 0) e Pz = (0, 0, 4). 
 
7) Determine as interseções do plano : 3x +2y − z + 6 = 0 com os eixos coordenados. 
R: Px = (−2, 0, 0), Py = (0, −3, 0) e Pz = (0, 0, 6). 
 
8) Entre os pontos A (1, 3, 5), B (2, 4, 6) e C (−3, 1, −1), quais pertencem ao plano : 2x  y −z 
+ 6 = 0? R: A, B e C. 
 
 9) Determine a e b de modo que os planos : ax +by + 4z = 3 e ’: 3x − 2y + 2z = 5 sejam 
paralelos. 
 
10) Calcule k de modo que os planos : x + ky + z − 1 = 0 e ’: kx + y − z + 1 = 0 sejam 
perpendiculares. 
 
11) Obtenha, em cada caso, a condição sobre os coeficientes da equação ax + by + cz + d = 0 
para que ela represente: Dê um exemplo em cada caso. 
a) um plano paralelo ao plano xy. 
b) um plano paralelo ao plano yz. 
c) um plano paralelo ao plano xz. 
 
13) Dê a equação do plano que passa: 
a) pelo ponto A (2, −3, 3) e é paralelo ao plano xy. 
b) pelo ponto B (1, −2, 4) e é paralelo ao plano xz. 
c) pelo ponto C (−5, 2, −1) e é paralelo ao plano yz. 
 
14) Calcule os pontos de interseção do plano 2x −3y −4z −24 = 0 com os eixos coordenados. 
R: Px = (12, 0, 0), Py = (0, −8, 0) e Pz = (0, 0, −6). 
 
15) Determine as coordenadas do ponto de interseção dos planos : 2x + 3y − z − 24 = 0, 
: x −y + z −1 = 0 e : 3x −2y + 2z − 9 = 0. R: P = (7, 2, −4). 
 
16) Determine a equação do plano que passa pelo ponto A (0, 1, −2) e é paralelo aos vetores 
u (1, 2, 3) e v (2, −1, 1). R: x + y − z −3 = 0 
 
17) Escreva as equações da reta r que passa por A (2, 0, 3) e tem a direção do vetor 
v (5, 1, − 2). 
 
18) Obtenha as equações da reta que passa por A (3, −2, 4) e tem a direção do vetor (0, 2, −1), 
bem como as equações planos interceptados por essa reta. 
 
19) Dê as equações da reta r que passa pelos pontos A (1, 0, 2) e B (3, 1, −1). 
 
20) Entre os pontos A (1, 0, 1), B (2, 0, 2), C (5, 6, 1), D (1, 3, 2) e E (9, 12, 4), quais 
 
pertencem à reta 
 
 
 
21) Dada a reta , , qual é o ponto de abscissa 11? 
 
 
22) Determine as equações paramétricas da reta que passa por A e B nos casos: 
a) A (1, 1, 2) e B (2, 3, 4). b) A (7, 1, 8) e B (1, 2, 2) 
 
23) Em cada caso, dê as equações da reta que passa por A e tem a direção do vetor v nas 
formas paramétrica e simétrica. 
a) A = (3, 2, 5) e v = (7, 1, 4) b) A = (1, 0, 2) e v = (3, 5, 4) 
c) A = (1, 1, 1) e v = (2, 3, 4) d) A = (0, 0, 0) e v = (a, b, c) 
 
24) Determine as equações paramétricas da reta que passa por A (1, 2, 1) e é perpendicular 
ao plano : 3x 2y + z 1 = 0 (Lembre-se que um vetor normal ao plano é vetor diretor da reta.) 
 
25) Qual é o ponto de interseção da reta com o plano xy? 
 
26) Determine a equação do plano que passa por P (2, 0, 3) e é perpendicular à reta de 
 
 
equações paramétricas r: 
 
 
27) Determine a interseção da reta r de equações paramétricas com o 
plano : 2x  y +3z  15 = 0. 
 
28) Determine a equação do plano que passa por P (1, 1, 2) e é perpendicular à reta 
 
 
 
29) Determine a equação do plano que passa por P (2, 2, 4) e é paralelo às retas e 
 
30) Determine as equações da reta que passa por A (0, 1, 0) e é paralela aos planos : 2x + y + 
z = 1 e : 3x −2z = 4. (Lembre-se que um vetor diretor da reta é o produto vetorial de vetores 
normais aos planos.) 
 
 
31) Determine as interseções da reta com os planos coordenados xy, yz e 
xz. 
 
31) Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r: com o 
plano : 2x − y + 3z − 15 = 0. R: P = (3, 0, 3). 
 
32) Determine a interseção de  e r nos casos: 
 
a) r: e : 3x − y + 4z + 6 = 0. R: P = (−1, −1, −1). 
 
 
 
b) r: e : x + y + z − 20 = 0. R: P = (9, 8, 3). 
 
33) A equação x = 2 representa 
a) no IR² um ponto, e no IR³ uma reta; b) no IR² uma reta e no IR³ um plano; 
c) no IR² e no IR³ uma reta; d) no IR² e no IR³ um ponto; 
e) n. r. a. 
 
34) Obtenha o plano perpendicular à reta e que passa pela origem do sistema 
cartesiano. R: x − y + 4z = 0. 
 
 
35) As retas r: e s: são paralelas. Podemos afirmar que 
 
 
2a + 3b é igual a: a) 0 b) −8 c) 8 d) −13 e) 13/2 
 
36) A reta é paralela ao plano ax + by + cz + d se, e somente se 
 
a) 2a + 3b −c = d b) 2a + 3b −c = 0 c) 
132 

cba d) a = 2, b = 3 e c = −1 
 
37) Para que valores de a e b a reta de equações paramétricas é 
 
 
perpendicular ao plano de equação x + by + z + 1 = 0?