Aula 2 - Modelagem
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Aula 2 - Modelagem


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Modelos matemáticos 
Pesquisa Operacional 
Engenharia de Alimentos - IFSP/Matão 
Prof. Cássia Oliveira 
IFSP - Matão 
Sumário 
- Pesquisa Operacional - 
1 
Modelagem do problema 2 
3 Resolução do problema 
4 Referências 
Tomada de decisões 
2 
IFSP - Matão 
Tomada de decisões 
Definições 
 
\uf0a7 Processo cognitivo que resulta na seleção de uma opção entre várias alternativas 
(Wikipédia); 
 
\uf0a7 Processo que consiste em realizar uma escolha entre diversas alternativas 
(Forma conceitual). 
 
 
3 - Pesquisa Operacional - 
IFSP - Matão 
Tomada de decisões 
Exemplos 
 
\uf0a7 Escolha de uma alternativa de localização de um centro de distribuição; 
 
\uf0a7 Determinação da melhor composição de uma carteira de ações; 
 
\uf0a7 Escolha da melhor combinação de alimentos para a formulação de uma dieta. 
 
 
4 - Pesquisa Operacional - 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Definição 
 
 
5 - Pesquisa Operacional - 
Problema do 
mundo real 
Modelo 
matemático 
Solução 
matemática 
Validação 
Formulação 
Simplificações 
Resolução 
Métodos matemáticos 
Interpretação 
Solução aceitável 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Definição 
 
\uf0a7 Um modelo matemático é a representação simplificada de um sistema real 
(Lisboa, 2009); 
 
\uf0a7 Sistema real é influenciado por diversas variáveis, por isso há a necessidade de 
simplificação a partir de um modelo. 
6 - Pesquisa Operacional - 
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Modelagem do problema 
Definição 
 
\uf0a7 Modelo é composto por: 
\uf0fc Variáveis e parâmetros de decisão; 
\uf0fc Função objetivo; 
\uf0fc Restrições. 
7 - Pesquisa Operacional - 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Variáveis de decisão e parâmetros 
 
\uf0a7 Variáveis de decisão: 
\uf0fc Incógnitas, sua determinação é feita pela solução do modelo; 
\uf0fc Resposta do problema; 
\uf0fc Valores positivos; 
\uf0fc Exemplo: Número de unidades vendidas do produto X para maximizar o 
lucro, quanto comprar de uma carteira de investimentos para maximizar o 
lucro, etc. 
8 - Pesquisa Operacional - 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Variáveis de decisão e parâmetros 
 
\uf0a7 Parâmetros: 
\uf0fc Valores fixos, previamente conhecidos no modelo; 
\uf0fc Exemplo: Preço de cada unidade vendida do produto X para maximizar o 
lucro, custo de ação, distância entre duas cidades, etc. 
9 - Pesquisa Operacional - 
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Modelagem do problema 
Variáveis de decisão e parâmetros 
 
\uf0a7 Tipos de variáveis de decisão: 
\uf0a7 Contínua: Intervalo de números reais. Exemplo: Quantidade ótima em litros 
de cada tipo de refrigerante em uma empresa de bebidas; 
\uf0a7 Discreta: Número inteiro. Exemplo: Número ideal de funcionários por 
turno; 
\uf0a7 Binária: 0 (não presente) ou 1 (presente). Exemplo: Fabricar (1) ou não (0) 
determinado produto. 
10 - Pesquisa Operacional - 
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Modelagem do problema 
Exemplo 1 
 
\uf0a7 Classificar as variáveis como: discreta, contínua ou binária. 
a. Tempo de atendimento de cada cliente; 
b. Distância percorrida; 
c. Atuação em um ramo de atividade: indústria ou comércio; 
d. Número de lojas de um varejista; 
e. Número de computadores por departamento; 
f. Decisão de um veículo será designado a determinado cliente; 
g. Área total de vendas; 
h. Quantidade de agências a serem inauguradas; 
i. Tempo de processamento de um sistema operacional. 
11 - Pesquisa Operacional - 
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Modelagem do problema 
Exemplo 1 
 
\uf0a7 Classificar as variáveis como: discreta, contínua ou binária. 
a. Tempo de atendimento de cada cliente: contínua; 
b. Distância percorrida: contínua; 
c. Atuação em um ramo de atividade: indústria ou comércio: binária; 
d. Número de lojas de um varejista: discreta; 
e. Número de computadores por departamento: discreta; 
f. Decisão de um veículo será designado a determinado cliente: binária; 
g. Área total de vendas: contínua; 
h. Quantidade de agências a serem inauguradas: discreta; 
i. Tempo de processamento de um sistema operacional: contínua. 
12 - Pesquisa Operacional - 
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Modelagem do problema 
Função objetivo 
 
\uf0a7 Função matemática que determina o valor alvo em função das variáveis de 
decisão; 
 
\uf0a7 Pode ser uma função de maximização ou minimização; 
 
\uf0a7 Exemplos: 
\uf0fc Minimização do custo total de produção de diversos tipos de chocolate; 
\uf0fc Minimização do número de funcionários em determinado serviço; 
\uf0fc Maximização do lucro de uma fábrica que produz vários tipos de bebidas; 
\uf0fc Maximização do retorno sobre investimentos em ações e renda fixa. 
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Modelagem do problema 
Função objetivo 
 
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Modelagem do problema 
Função objetivo 
 
15 - Pesquisa Operacional - 
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Modelagem do problema 
Restrições 
 
\uf0a7 Conjunto de equações e inequações, as quais as variáveis de decisão do modelo 
devem satisfazer; 
 
\uf0a7 Exemplos: 
\uf0fc Capacidade máxima de produção de cada produto dentro da empresa; 
\uf0fc Demanda mínima de uma empresa; 
\uf0fc Número máximo de veículos disponíveis; 
\uf0fc Risco máximo que um investidor está disposto a se submeter. 
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IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Tipos de modelos matemáticos 
 
17 - Pesquisa Operacional - 
M
o
d
el
o
s 
m
at
em
át
ic
o
s 
Modelos determinísticos 
Modelos estocásticos 
Outros 
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Modelagem do problema 
Tipos de modelos matemáticos 
 
\uf0a7 Determinísticos: consideram que todos os dados de entrada (parâmetros) do 
problema são conhecidos com certeza; 
 
\uf0a7 Probabilísticos (ou estocásticos): consideram incertezas nos parâmetros do 
problema; 
 
\uf0a7 Outras técnicas: são técnicas criadas em função do desenvolvimento 
computacional. 
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IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Tipos de modelos matemáticos 
 
19 - Pesquisa Operacional - 
M
o
d
el
o
s 
d
et
er
m
in
ís
ti
co
s 
Programação Linear 
Programação Inteira 
Programação Não Linear 
Programação dinâmica determinística 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Tipos de modelos matemáticos 
 
20 - Pesquisa Operacional - 
M
o
d
el
o
s 
es
to
cá
st
ic
o
s 
Teoria das filas 
Simulação 
Programação dinâmica estocástica (Cadeias de 
Markov) 
Teoria dos jogos 
21 
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Modelagem do problema 
Teoria das filas 
21 - Pesquisa Operacional - 
22 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Teoria dos jogos 
22 - Pesquisa Operacional - 
IFSP - Matão 
Modelagem do problema 
Tipos de modelos matemáticos 
 
23 - Pesquisa Operacional - 
O
u
tr
as
 t
éc
n
ic
as
 
Metodologia multicritério de apoio a decisão 
Análise envoltória de dados 
Inteligência artificial 
Inteligência computacional 
Heurísticas 
Metaheurísticas 
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Resolução do problema 
Problema 
 
max ou min f(x1, x2, ..., xn) 
 
sujeito a: 
g1(x1, x2, ..., xn) {\u2264,=,\u2265} b1 
g2(x1, x2, ..., xn) {\u2264,=,\u2265} b2 
. 
. 
. 
gm(x1, x2, ..., xn) {\u2264,=,\u2265} bm 
x1, x2, ..., xn \u2265 0 (restrição de não negatividade) 
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Resolução do problema 
Problema: modelo determinístico 
 
\uf0a7 Programação Linear (PL) 
\uf0fc Função objetivo e todas as restrições do problema são representadas por 
funções lineares das variáveis de decisão; 
\uf0fc Envolve constantes e termos com variáveis de primeira ordem; 
\uf0fc Graficamente uma função linear é representada por uma reta; 
\uf0fc As variáveis de decisão são contínuas. 
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Resolução do problema 
Problema: modelo determinístico 
 
\uf0a7 Programação Não Linear (PNL) 
\uf0fc Função objetivo e/ou ao menos uma das restrições do problema é 
representada por uma função não linear das variáveis de decisão; 
\uf0fc Graficamente uma função não linear não será uma reta; 
\uf0fc As variáveis de decisão são contínuas. 
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Resolução do problema 
Problema: modelo determinístico 
 
\uf0a7 Programação Inteira (PI) 
\uf0fc As variáveis de decisão são discretas (números